پاورپوینت ذره ی باردار در میدان مغناطیسی

ذره باردار در میدان مغناطیسی

نظریه کلاسیک
میدان های الکتریکی و مغناطیسی:
تبدیلات پیمانه ای:
برای ذره ای با جرم و بار در یک میدان الکترومغناطیسی نوعی، لاگرانژی بصورت زیر است:
می توان از روی لاگرانژی، تکانه کانونی
را تعریف کرد:
(1)
(2)
(3)
(4)

هامیلتونی برای ذره ای در یک میدان الکترومغناطیسی:
پس چگونه هامیلتونی می تواند حرکت ناشی از میدان مغناطیسی را برای یک ذره
باعث گردد، هنگامیکه میدان مغناطیسی ظاهراً در رابطه بالاوارد نمی شود!!
تصویرشرودینگری
تصویرهایزنبرگی
تصویر ماتریسی
(5)
(6)

نظریه کوانتومی
شکل کلی هامیلتونی:
عملگر سرعت:
عملگر نیرو:
(7)
(8)
(9)

نمایش مختصه ای
هامیلتونی:
اغلب انتخاب می کنیم:
شکل عمومی هامیلتونی در نمایش مختصه ای:
چگالی جریان احتمال
معادله پیوستگی:
(10)
(11)
(12)
(13)

تبدیل پیمانه ای دربررسی کوانتومی
میدان های الکتریکی و مغناطیسی تحت تبدیلات (2) برای پتانسیل ها تغییر نمی کنند.
… ولی هامیلتونی تحت این تبدیلات ناوردا نیست!
برای معادله شرودینگر
تبدیلات پیمانه ای به صورت زیر است:
معادله تبدیل یافته:
مقدار چشم داشتی سرعت
تحت تبدیلات پیمانه ای ناورداست .
همچنین می توان نشان داد اگر چه شکل عملگر سرعت، ، به انتخاب خاص پتانسیل
برداری بستگی دارد، طیف ویژه مقادیر مولفه سرعت، پیمانه ای- ناورداست.
(14)
(15)
(16)

حرکت در یک میدان مغناطیسی ایستای یکنواخت
فرض می کنیم که پتانسیل برداری ایستاست و پتانسیل نرده ای صفر است.
ترازهای انرژی
با نماد نویسی
، نتیجه می گیریم:
نوسانگر هماهنگ
و
و
(17)
(18)
(19)

ویژه مقادیر :

ویژه مقادیر انرژی برای یک ذره باردار در میدان مغناطیسی

(23)
از روابط بالا نتیجه می گیریم که
ایستای یکنواخت به صورت زیر هستند:
بسامد سیکلوترونی حرکت کلاسیکی در صفحه ای عمود بر راستای میدان در یک مدار مستدیر
جدایی متناظر با ترازهای گسسته انرژی طبق نظریه کلاسیک بور
(20)
(21)
(22)
(24)

برای بدست آوردن توابع حالت پتانسیل برداری را به صورت زیر انتخاب می کنیم:
و
معادله ویژه مقداری:
(27)
از آنجا که همچنین می تواند ویژه تابع همزمان و نیز باشد،می توانیم قرار دهیم:
با انتقال مبدا به نقطه

هامیلتونی کاهش یافته
که در آن
انرژی همبسته با حرکت در صفحه است.
(25)
(26)
(28)
(29)

نوسانگر هماهنگ
انرژی های ذره باردار در میدان
مغناطیسی:
طول مغناطیسی:
(32)
مرکز چند جمله ای های هرمیت:
(30)
(31)
(33)
(34)

مختصات مرکز مداری
معادلات
مکان و سرعت مداری ذره
مختصات مرکز مداری
کلاسیکی
عملگرهای مرکز مداری مکانیک کوانتومی
(37)
:رابطه عدم قطعیت
عملگرهای مرکز مداری برای پتانسیل برداری خاص
به صورت
و
و
درمی آیند.
بنابراین:
(35)
(36)
(38)
(39)

عملگرشعاع مدار را تعریف می کنیم:
شعاع مدار و تکانه زاویه ای
بنابراین هامیلتونی عرضی، رابطه زیر را ارضاء می کند:
:ویژه مقادیر
تعریف می کنیم :
مجموعه سه عملگر

با مکان، تکانه و هامیلتونی یک نوسانگر هماهنگ همریختند.

در روابط جابجایی شان
بنابراین ویژه مقادیر
(42)
برابرند با
با
و در نتیجه ویژه مقادیر
مساوی است با
(43)
(40)
(41)
(44)

تکانه زاویه ای مداری در جهت میدان مغناطیسی:
پتانسیل برداری را به صورت عملگری
بر می گزینیم.
مولفه های
پتانسیل برداری:
(46)
(47)
(48)
ضریب تبهگنی یک تراز انرژی:
(45)

اثر آهارونوف- بوهم
برای
فرض می کنیم
جواب معادله شرودینگر باشد.

در حالتی که درون استوانه باشد، پتانسیل برداری در همه جای ناحیه بیرون صفر
با بکار بردن قضیه استوکس:
در این حالت می توان تابع حالت را بصورت بیان کرد.
نخواهد بود،
حتی اگر باشد.

در نتیجه اختلاف فاز دو جمله معادله( 49) است.ولی
بنابراین اگر چه ذرات هرگز از درون ناحیه ای که میدان مغناطیسی آن غیر صفر است، عبور نمی-
ملاحظات اثر آهارونوف-بوهم:
کنند، ولی الگوی تداخل نسبت به شارمغناطیسی درون استوانه حساس است!
1-اگر بخواهیم فرض کنیم که الگوی تداخل به شار بستگی ندارد،آنگاه می بایست شار مغناطیسی
کوانتیده باشد:

2-نیروی لورنتزی کلاسیک واردبر ذرات صفراست.این مطلب در مکانیک کوانتومی بطور میانگین
صحیح می باشد:
(51)
(49)
(50)
(52)

اثر آهارونوف- بوهم برای حالت مقید
با اختیار بصورت پتانسیل متقارن استوانه ای
هامیلتونی بصورت
در می آید.
ویژه توابع این هامیلتونی
که در آن تابع با جمله های تابع بسل داده می شود.
هستند
(56)
(53)
(54)
(55)
(57)

اثر زیمن
هامیلتونی برای الکترونی درون اتم
میدان های مغناطیسی ضعیف:
پتانسیل برداری
را انتخاب می کنیم
:ویژه مقادیر
میدان های مغناطیسی قوی:
(60)
میدان های مغناطیسی خیلی قوی:
(58)
(59)
(61)
(62)
(63)

وﻳﮋه مقادیر انرﮊی:
(67)

معادله وﻳﮋه مقداری:
وﻳﮋه توابع تقریبی:
(64)
(65)
(66)
(68)

اتم هیدروژن
پتانسیل کولنی ناقص:
کمترین وﻳﮋه مقدار:

حالت پایه:
انرژی حالت پایه یک اتم هیدروژن گونه در یک میدان مغناطیسی قوی:
(70)
(69)
(71)
(72)
(73)

با سپاس از استاد ارجمند
جناب آقای دکتر سعید جلالی
بخاطر راهنماییها و تدریس خوب ایشان.
و همچنین با تشکر از
انجمن علمی گروه فیزیک
و آقایان
سید امید سید آقایی، حامد پورایمانی و احمدرضا قائدی.
همکاری صمیمانه