Stefan-Boltzmann law
The Stefan-Boltzmann law, also known as Stefan's law, states that the total energy radiated per unit surface area of a black body in unit time (known variously as the black-body irradiance, energy flux density, radiant flux, or the emissive power), j*, is directly proportional to the fourth power of the black body's thermodynamic temperature T (also called absolute temperature):
The irradiance j* has dimensions of power density (energy per time per square distance), and the SI units of measure are joules per second per square meter, or equivalently, watts per square meter. The SI unit for absolute temperature T is the kelvin. ε is the emissivity of the blackbody; if it is a perfect blackbody, ε = 1.
The constant of proportionality σ, called the Stefan-Boltzmann constant or Stefan's constant, is non-fundamental in the sense that it derives from other known constants of nature. The value of the constant is
where k is Boltzmann constant. Thus at 100 K the energy flux density is 5.67 W/m2, at 1000 K 56,700 W/m2, etc.
The Stefan-Boltzmann law is an example of a power law.
The law was discovered experimentally by Jožef Stefan (1835-1893) in 1879 and derived theoretically, using thermodynamics, by Ludwig Boltzmann (1844-1906) in 1884. Boltzmann treated a certain ideal heat engine with the light as a working matter instead of the gas. This law is the only physical law of nature named after a Slovene physicist. The law is valid only for ideal black objects, the perfect radiators, called black bodies. Stefan published this law on March 20 in the article Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (On the relationship between thermal radiation and temperature) in the Bulletins from the sessions of the Vienna Academy of Sciences.
Derivation of the Stefan-Boltzmann law
Integration of intensity derivation
The Stefan-Boltzmann law can be easily derived by integrating the emitted intensity from the surface of a black body given by Planck's law of black body radiation over the half-sphere into which it is emitted, and over all frequencies.
where Ω0 is the half-sphere into which the radiation is emitted, and I(ν,T)dν is the amount of energy emitted by a black body at temperature T per unit surface per unit time per unit solid angle in the frequency range [ν,ν + dν]. The cosine factor is included because the black body is a perfect Lambertian radiator. Using dΩ= sin(θ) dθdφ and integrating yields:
(See appendix for the solution of this integral)
Thermodynamic derivation
The fact that the energy density of the box containing radiation is proportional to T4 can be derived using thermodynamics. It follows from classical electrodynamics that the radiation pressure P is related to the internal energy density:
The total internal energy of the box containing radiation can thus be written as:
Inserting this in the fundamental law of thermodynamics
yields the equation:
We can now use this equation to derive a Maxwell relation. From the above equation it can be seen that:
and
The symmetry of second derivatives of S w.r.t. P and V then implies:
Because the pressure is proportional to the internal energy density it depends only on the temperature and not on the volume. In the derivative on the r.h.s. the temperature is thus a constant. Evaluating the derivatives gives the differential equation:
This implies that
Examples
Temperature of the Sun
With his law Stefan also determined the temperature of the Sun's surface. He learned from the data of Charles Soret (1854-1904) that the energy flux density from the Sun is 29 times greater than the energy flux density of a warmed metal lamella. A round lamella was placed at such a distance from the measuring device that it would be seen at the same angle as the Sun. Soret estimated the temperature of the lamella to be approximately 1900 °C to 2000 °C. Stefan surmised that ⅓ of the energy flux from the Sun is absorbed by the Earth's atmosphere, so he took for the correct Sun's energy flux a value 3/2 times greater, namely 29 × 3/2 = 43.5.
Precise measurements of atmospheric absorption were not made until 1888 and 1904. The temperature Stefan obtained was a median value of previous ones, 1950 °C and the absolute thermodynamic one 2200 K. As 2.574 = 43.5, it follows from the law that the temperature of the Sun is 2.57 times greater than the temperature of a lamella, so Stefan got a value of 5430 °C or 5700 K (modern value is 5780 K). This was the first sensible value for the temperature of the Sun. Before this, values ranging from as low as 1800 °C to as high as 13,000,000 °C were claimed. The lower value of 1800 °C was determined by Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) in 1838 using the Dulong-Petit law. Pouilett also took just half the value of the Sun's correct energy flux. Perhaps this result reminded Stefan that the Dulong-Petit law could break down at large temperatures.
Temperature of stars
The temperature of stars other than the Sun can be approximated using a similar means by treating the emitted energy as a black body radiation.[1][2] So:
where L is the luminosity, σ is the Stefan-Boltzmann constant, R is the stellar radius and T is the effective temperature. This same formula can be used to compute the approximate radius of a main sequence star relative to the sun:
where , is the solar radius, and so forth.
With the Stefan-Boltzmann law, astronomers can easily infer the radii of stars. The law is also met in the thermodynamics of black holes in so called Hawking radiation.
Temperature of the Earth
Similarly we can calculate the temperature of the Earth TE by equating the energy received from the Sun and the energy transmitted by the Earth:
where TS is the temperature of the Sun, rS the radius of the Sun and a0 astronomical unit, giving 6°C.
Summarizing: the surface of the Sun is 21 times as hot as that of the Earth, therefore it emits 190,000 times as much energy per square metre. The distance from the Sun to the Earth is 215 times the radius of the Sun, reducing the energy per square metre by a factor 46,000. Taking into account that the cross-section of a sphere is 1/4 of its surface area, we see that there is equilibrium (342 W per m2 surface area, 1,370 W per m2 cross-sectional area).
This shows roughly why T ~ 300 K is the temperature of our world. The slightest change of the distance from the Sun might change the average Earth's temperature.
قانون استفان بولتزمن:
قانون استفان بولتزمن که بنام قانون بولتزمن نیز شناخته شده است چنین می گوید که مجموع انرژی منتشر شده در واحد سطح از یک جسم سیاه در واحد زمان (که بنامهای مختلف از جمله بازتابش جسم تیره ،چگالی فلوی انرژی ، فلوی تابشی یا توان انتشار شناخته شده است)، j*، با توان چهارم درجه حرارت ترمودینامیکی جسم تیرهT (که درجه حرارت مطلق نیز نامیده میشود) متناسب است.
تابش j* دارای مقادیری از چگالی توان (انرژی در واحد زمان در مجذور فاصله)است و واحد اندازه گیریآن در سیستمSI ژول بر ثانیه بر متر مربع یا وات بر متر مربع است. واحد SI برای دمای مطلق T کلوین است. ε توانایی انتشار جسم تیره است ،اگر جسم کاملاً تیره باشد ε = 1 .
ثابت تناسب σ که به آن ثابت بولتزمن یا ثابت استفان میگویند یک مقدار غیر اساسی در فرمول است که از طریق محاسبه سایر ثابتهای طبیعی بدست می آید.
مقدار این ضریب برابر است با:
که در آن K ثابت بولتزمن است.بنابراین 100K چگالی جریان انرژی معادل
5.67 W/m2, at 1000 K 56,700 W/m2 است.
قانون استفان بولتزمن نمونه ایی از قانون توان است.
این قانون برای اولین بار به صورت آزمایشی بوسیله جوزف استفان (1893-1835) در سال 1879 کشف شد و بوسیله لئودویگ بولتزمن(1906-1844) به صورت تئوری و با استفاده از ترمودینامیک ثابت گردید.بولتزمن با یک موتور گرمایی خاص که بجای گاز از نور استفاده میکرد ،کار میکرد. این قانون تنها قانون طبیعی است که بنام یک فیزیکدان اسلونیایی نام گذاری شده است.این قانون فقط برای اجسام کاملاً تیره و منعکس کننده های کامل،که به آنها اجسام سیاه می گویند صادق است. استفان این قانون را در 20 مارس در مقاله ایی تحت عنوان
Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur
(رابطه بین تشعشع گرمایی و درجه حرارت) در نشریاتی از آکادمی علوم وین منتشر نمود.
نتیجه گیری از قانون استفان- بولتزمن
انتگرال چگالی تابش:
قانون استفان – بولتزمن را به راحتی میتوان با انتگرال گیری از چگالی ساطع شده از سطح یک جسم سیاه را براساس قانون پلانک در مورد اینکه بازتابش جسم سیاه در یک نیمکره ودر هر فرکانسی به خودش برمیگردد ، به دست آورد.
که در آن Ω0 نیمدایره ایی است که تابش را منتشر میکند و I(ν,T)dν مقدار انرژی منتشر شده توسط جسم سیاه در درجه حرارت T در واحد سطح در واحد زمان در زاویه سه بعدی در رنج[ν,ν + dν] . عامل کسینوس بدین دلیل در نظر گرفته شده است که جسم سیاه یک منعکس کننده لامبرتین کامل است. با استفاده از dΩ= sin(θ) dθdφ و انتگرال گیری داریم:
استنتاج از طریق ترمودینامیکی:
واقعیت این است که چگالی انرژی در یک جعبه تابش کننده با T4 نسبت مستقیم دارد و این موضوع را می توان از طریق اصول ترمودینامیک ثابت کرد. از ترمودینامیک کلاسیک به یاد داریم که فشار تابش P با چگالی داخلی انرژی متناسب است:
مجموع انرژی داخلی یک جعبه محتوی جسم تابش کننده را میتوان بدین گونه نوشت:
اگر این معادلات را در قانون اساسی ترمودینامیک قرار دهیم داریم:
در نتیجه خواهیم داشت:
حالا می توانیم از این معادله برای استخراج یک رابطه ماکسول استفاده کنیم.از معادلات بالا مشخص است که :
و
با استفاده از مشتق دوم از S w.r.t. P, V داریم:
زیرا فشار با چگالی انرژی داخلی متناسب است و تنها به درجه حرارت بستگی داشته و ربطی به حجم آن ندارد.بنابراین در محاسبه مشتق r.h.s. درجه حرارت ثابت است.با بررسی مشتقات به معادله دیفرانسیلی زیر میرسیم:
و براساس این معادله می توان نتیجه گیری کرد که:
مثالها:
درجه حرارت خورشید:
با استفاده از قانون استفان می توان درجه حرارت سطح خورشید را اندازه گیری کرد.او با استفاده از اطلاعات کارلس سورت (1904-1854) فهمید که چگالی شار انرژی حاصل از خورشید 29 برابر بیش از چگالی شارانرژی حاصل از یک تیغه فلزی گزم شده است.یک تیغه فلزی گرد را در نقطه ایی که زاویه دید آن از وسیله اندازه گیری مشابه زاویه دید خورشید بود ،قرار داد.سورت برآور کرده بود که درجه حرارت تیغه بایستس در حدود 1900تا 2000 درجه سانتیگراد باشد. سورت چنین نتیجه گیری کرد که 3/1 شار انرژی خورشید بوسیله اتمسفر زمین جذب می شود،بنابراین برای آنکه شار انرژی خورشید را را درست محاسبه کند آنر در 2/3 ضرب کرد یعنی 29 × 3/2 = 43.5 .
اندازه گیری دقیق میزان جذب اتمسفر تا سال 1888 و 1904 امکان پذیر نبود. درجه حرارتی که استفان بدست آورده بود میانگین مقادیر قبلی بود ،°C 1905و میزان جذب ترمودینامیکی در حدود K 2200بود.از آنجایکه 2.574 = 43.5 است از قانون مربوطه چنین نتیجه گرفته می شود که خورشید 57/2 برابر از تیغه داغتراست،بنابراین استفان مقدار °C 5430 یا K5700 را بدست آورد .(مقدار میانگینK 5780 است.)
این مقدار اولن مقدار قابل توجه برای درجه حرارت خورشید بود. قبل از این رنج دمایی بین 1800 تا °C 13000000تخمین زده شده بود. کمترازمقدار °C 1800 بوسیله کلئود سروایس ماتیاس پیولت(1868-1790) در سال1838 و با استفاده از قانون Dulong-Petitمحاسبه شده بود.پیولت فقط نصف مقدار واقعی شار انرژی خورشید را در نظر گرفته بود.شاید این نتیجه باعث شده بود که استفان چنین نتیجه گیری کند که قانون Dulong-Petit در دماهای بالا نقض می شود.
درجه حرارت ستارگان:
درجه حرارت ستارگان بغیر از خورشید را میتوان به طور تقریبی و با استفاده از روشی مشابه و با در نظر گرفتن انرژی ساطع شدعه به عنوان تابش یک جسم سیاه محاسبه نمود. بنابراین:
که در آن L شدت نور ، σثابت استفان – بولتزمن ، R شعاع ستاره و T درجه حرارت موثر است. از این چنین فرمولی میتوان برای محاسبه تقریبی شعاع دور شدن ستاره نسبت به خورشید استفاده کرد:
که در آن شعاع خورشید است.
با استفاده از قانون استفان بولتزمن ،اخترشناسان به آسانی می توانند شعاع ستارگان را حدس بزنند.این قانون همچنین در مورد ترمودینامیک سیاهچاله ها که به آن تابش هاوکینگ میگویند کاربرد دارد.
درجه حرارت زمین:
به روش مشابه می توانیم درجه حرارت زمین TE را با محاسبه انرزی دریافت شده از خورشید و انرزی منتقل شده بوسیله زمین محاسبه کرد:
که در آن TS درجه حرارت خورشید ، rS شعاع خورشید و a0 واحد نجومی °C6 است .
خلاصه:
سطح خورشید 21 برابر داغتر از سطح زمین است بنابراین در هر متر مربع 190000 برابر انرژی ساطع می کند.فاصله خورشید تا زمین 215 برابر شعاع خورشید است و مقدار انرژی به میزان 46000 در هر متر مربع کم میشود. اگر در نظر بگیریم که سطح مقطع یک کره 4/1 مساحت آن است می بینیم که این مقدار معادل ( 342 وات در هر مترمربع یا 1370وات در هر متر مربع از سطح مقطع آن است).
این موضوع همچنین بطور ضمنی نشان میدهد که چرا T ~ 300 K درجه حرارت دنیای ما است. تغییرات جزیی در فاصله از خورشید میتواند میانگین درجه حرارت زمین را تغییردهد.
11