1
ELECTRE
مدل تصمیم گیری چندشاخصه
مدل ELECTRE
روش الکتر اولین بار توسط Benayoun در سال 1966 معرفی گردید و سپس در اواخر دهه 1980 توسعه یافت و به عنوان یکی از بهترین فنون در حل مسائل تصمیم گیری با معیار های چندگانه ، مورد توجه قرار گرفت.
از مزایای آن می توان به قوانین ساده، حداکثر استفاده از اطلاعات ماتریس تصمیم و در نهایت محاسبات منظم و منسجم اشاره کرد.
هدف مدل : ELECTRE
1-تعیین ماتریس تصمیم گیری باتوجه به شاخص ها وگزینه ها
2-بی مقیاس سازی بااستفاده ازروش نورم
3-بدست آوردن ماتریس بی مقیاس شده موزون
4-ارزیابی گزینه ها نسبت به تمام شاخصها وتشکیل ماتریس های هماهنگ وناهماهنگ
5-بدست آوردن ماتریس هماهنگ موثر
6-بدست آوردن ماتریس ناهماهنگ موثر
7-بدست آوردن ماتریس کلی موثرازترکیب ماتریس هماهنگ موثر وناهماهنگ موثر
8-الویت بندی گزینه ها
الگوریتم حل این مدل تصمیم گیری ، به صورت زیر می باشد :
گام 1 : در این مرحله ، مقادیر ماتریس تصمام گیری مساله با استفاده از ماتریس نورم ، بی مقیاس می کنیم. این ماتریس را N می نامیم.
𝑁= nij , nij= aij 𝑖=1 𝑚 aij2 ½
گام 2 : در این مرحله ، با استفاده از ماتریس W (اوزان شاخص ها) و رابطه ی زیر ، «ماتریس بی مقیاس شده موزون» را به دست می اوریم .
𝑉=𝑁 ×Wm×𝑛
V= عبارتست از ماتریس بی مقیاس شده موزون.
Wm×𝑛= عبارتست از ماتریس قطری وزن های به دست آمده برای شاخص ها.
گام 3 : در این مرحله تمامی گزینه ها ، نسبت به تمام شاخص ها ، مورد ارزیابی قرار می گیرد و مجموعه ی « ماتریس های هماهنگ و نا هماهنگ » تشکیل می شود . مجموعه هماهنگ از گزینه های k وI که با Sk,𝑖نشان داده می شود ، مشتمل بر کلیه ی شاخص هایی خواهد بود که در آن ها ، گزینه ی Ai بر گزینه ی𝐴𝑘به ازای آن ها مطلوبیت بیشتری داشته باشد. برای یافتن این مطلوبیت ، باید به نوع شاخص های تصمیم گیری ، از نظر داشتن جنبه ی مثبت یا منفی توجه شود.
یعنی :
– اگر شاخص مورد نظر ، دارای جنبه ی مثبت باشد ، داریم :
Sk,I = 𝑗 | 𝑉𝑘𝑗 ≥𝑉𝑖𝑗 , j = 1 , … , m
– اگر شاخص مورد نظر ، دارای جنبه ی منفی باشد ، داریم :
Sk,I = 𝑗 | 𝑉𝑘𝑗 ≤𝑉𝑖𝑗 , j = 1 , … , m
مجموعه ی نا هماهنگ Dk,i نیز شامل شاخص هایی است که در آن ها ، گزینه ی Ak ، نسبت به گزینه ی Ai مطلوبیت کمتری داشته باشد ، یعنی :
Dk,I = 𝑗 | 𝑉𝑘𝑗 <𝑉𝑖𝑗 , j = 1 , … , m
این فرمول ، برای شاخص های مثبت است و برای شاخص های منفی داریم :
Dk,I = 𝑗 | 𝑉𝑘𝑗 >𝑉𝑖𝑗 , j = 1 , … , m
گام 4 : در این مرحله ، از اطلاعات فوق ، ماتریس هماهنگ را به دست می اوریم. این ماتریس ، یک ماتریس مربعیm×m بوده که قطر آن ، فاقد عنصر می باشد. سایر خناصر این ماتریس نیز از جمع اوزان شاخص های متعلق به مجموعه ی هماهنگ حاصل می شود.
یعنی :
I ki = 𝑊𝑗 , 𝑗 ∈𝐴 𝑘,𝑖
این معیار (Iki ) بیان کننده اهمیت نسبی Ak نسبت به Ai است. مقدار این معیار ، عددی بین صفر و یک است و هر چه این مقدار بیشتر باشد ، بیانگر آن است که Ak ، ارجحیت بیشتری بر Ai دارد و برعکس.
گام 5 : در این مرحله ، ماتریس ناهماهنگی محاسبه می شود. این ماتریس با NI نشان داده می شود و مانند ماتریس هماهنگ ، ماتریسی m * m است. قطر اصلی این ماتریس ، عنصری ندارد و سایر عناصر این ماتریس ، از ماتریس بی مقیاس شده ی موزون به دست می آید .
این عناصر ، طبق رابطه ی زیر به دست می آید :
Niki = 𝑀𝑎𝑥 𝑉𝑘𝑗 −𝑉𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐷 𝑘,𝑖 𝑀𝑎𝑥 𝑉𝑘𝑗 −𝑉𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ها شاخص همه
این معیار ، نسبت عدم مطلوبیت مجموعه ی نا هماهنگ k و I را به کل نا هماهنگی در شاخص ها ، اندازه گیری می کند.
گام 6 : در این مرحله ، ماتریس هماهنگ موثر محاسبه می شود. این ماتریس را با H مشخص می کنند. برای ایجاد این ماتریس ، ابتدا باید یک آستانه ای را تعیین کرد و اگر هر عنصر ماتریس I بزرگتر یا مساوی آن باشد ، آن مولفه در ماتریس H ، مقدار یک به خود می گیرد و در غیر این صورت مقدار صفر می گیرد. برای تعیین حد آستانه Ī ، می توان از اطلاعات گذشته و نظر تصمیم گیرنده استفاده کرد.
یک معیار عمومی برای مشخص شدن این حد ، عبارتست از میانگین مقادیر ماتریس I (یعنی Ī).
Ī = 𝑖=1 𝑚 𝑘=1 𝑚 𝐼𝑘𝑖 𝑚(𝑚−1)
حال داریم :
H ki = 1 ← I ki ≥ Ī اگر
H ki = 0 ← I ki < Ī اگر
این ماتریس نشان دهنده ارجحیت یک گزینه بر گزینه دیگر است.
گام 7 : در این مرحله نیز ماتریس نا هماهنگ موثر را به دست می آوریم. این ماتریس نیز که با G نشان داده می شود ، مانند ماتریس هماهنگ موثر به دست می آید.
حد آستانه برای این ماتریس ، به صورت زیر محاسبه می شود.
𝑁𝐼 = 𝑖=1 𝑚 𝑘=1 𝑚 𝑁𝐼 𝑘𝑖 𝑚(𝑚−1)
عناصر ماتریس نیز به این صورت به دست می آید :
G ki = 0 ← 𝑁𝐼ki ≥ 𝑁𝐼 اگر
G ki = 1 ← 𝑁𝐼ki< 𝑁𝐼 اگر
گام 8 : در این مرحله ، با ترکیب ماتریس هماهنگ موثر (H) و ماتریس نا هماهنگ موثر (G) «ماتریس کلی موثر» (F) به دست می آید. محاسبه ی این ماتریس به صورت زیر است :
𝐹 𝑘𝑖=𝐻𝑘𝑖 ×𝐺𝑘𝑖
این ماتریس ، نشان دهنده ی ترتیب برتری راهکارهای مختلف ، نسبت به یکدیگر می باشد ؛ یعنی اگر Fki = 1 باشد ، می توان گفت Ak بر Ai ارجحیت دارد. البته ممکن است این ارجحیت ، تحت تاثیر راهکارهای دیگر قرار گیرد. بنابراین ، شرط این که در روش فوق ، Ak یک گزینه ی ارجح باشد ، این است که :
F ki= 1 برای حداقل یک 1 و
F ki= 0 برای کلیه 1 ها و
می توان هر ستونی از H را که حداقل دارای یک «عنصر یک» باشد حذف کرد ، سپس بر اساس سطر های دیگر تصمیم گیری نمود.
مثال : ما قصد داریم دهستان های A ، B ، C را به منظور احداث سردخانه جهت نگهداری محصولات کشاورزی و باغی اولویت بندی کنیم. در جدول زیر ما گزینه ها (یعنی دهستان ها) و معیارها ( 8 مورد) را در ماترس شماره 1 مشاهده می کنیم.
گام 1 :
مقادیر ماتریس تصمیم را با فرمول زیر بی مقیاس می کنیم.
𝑛𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗 𝑖=1 𝑚 𝑎2 𝑖𝑗
ماتریس شماره 1
𝑛𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗 𝑖=1 𝑚 𝑎2 𝑖𝑗
گام 1 :
در ماتریس شماره 2، اعداد ماتریس 1 را به توان 2 میرسانیم و از آن جمع وجذر می گیریم
ماتریس شماره 2
𝑛𝑖𝑗= 𝑎𝑖𝑗 𝑖=1 𝑚 𝑎2 𝑖𝑗
گام 1 :
در ماتریس شماره 3، داده های خام (ماتریس 1) را تقسیم بر جذر به دست آمده می کنیم.
ماتریس شماره 3
گام 2 :
برای محاسبه ی ماتریس بی مقیاس وزنی (V) ، مقادیر ماتریس بی مقیاس شده (N) را در وزن شاخص ها (W) ضرب می کنیم.
𝑉=𝑁 ×𝑊 𝑛 ×𝑛
در ماتریس شماره 4، به هر یک از معیارها با توجه به ارزششان وزن می دهیم. که جمع وزن ها باید 1 بشود.
ماتریس شماره 4
گام 2 :
𝑉=𝑁 ×𝑊 𝑛 ×𝑛
ماتریس شماره 5
در ماتریس شماره 5، اعداد ماتریس 3 را در وزن هایشان ضرب می کنیم
گام 3 :
در ماتریس شماره 6، ابتدا باید جدول 5 را در پایین کپی کرده و سپس معیارها را به دو رنگ سبز و قرمز نشان دهیم.
رنگ سبز به معنای برد و رنگ قرمز به معنای باخت می باشد. مثلاَ فاصله تا تهران هر چه قدر کمتر باشد بهتر است، در نتیجه کمتر را باید با رنگ قرمز نشان داد. و یا معیار حجم تولیدات کشاورزی و باغی هر چه بیشتر باشد بهتر است پس می شود سبز.
توجه: در این جا ما با اعداد کاری نداریم و فقط معیارهایمان را رنگ بندی میکنیم (سبز یا قرمز).
ماتریس شماره 6
گام 3 :
در ماتریس شماره 7، ما باید گزینه ها یعنی دهستان هایمان را دو به دو با هم مقایسه کنیم. مثلا
B را با A
Cرا با A
Aرا با B
Cرا با B
Aرا با C
B را با C
نکته: برای سهولت در انجام مراحل بعدی پیشنهاد می شود که به جای دهستان هایمان از عدد استفاده کنیم. این گونه:
A = 1 B = 2 C = 3
مثال: برای درایه 1با 2 (در معیار فاصله تا تهران) عدد 0/085 بیشتر است یا 0/044؟؟ عدد 0/085 بیشتر است. پس طبق فرمول چون در معیار قرمز رنگ قرار دارد باید درایه 1 با 2 را قرمز کنیم. باز برای درایه 1 با 2 در معیار فاصله تا مرکز استان، عدد 0/004 بیشتر است یا 0/015 ؟؟ مشاهده می کنیم که عدد 0/015 بیشتر اسات و 0/004 کمتر است.
پس چون عدد 0/004 کمتر است با توجه به فرمول بالا که گفتیم اگر در معیار قرمز رنگ هایمان عددمان کم بود سبز می شود پس درایه 1 با 2 در معیار فاصله تا مرکز استان سبز رنگ می شود.
مثال مقایسه 1 با 2: ابتدا به رنگ سبز یا قرمز بودن معیارمان نگاه می کنیم. در معیارهای قرمز عدد هر سلول یا درایه اگر بیشتر بود یعنی بازنده است پس قرمز می شود. و اگر کمتر بود سبز میشود (مثال: فاصله هر چه کمتر باشد بهتر است و اگر بیشتر باشد بدتر است). برعکس در معیارهای سبزمان اگر عدد درایه بیشتر از درایه دیگری بود سبز رنگ می زنیم و اگر کمتر بود قرمز رنگ می خورد.
ماتریس شماره 8: میخواهیم ماتریس هماهنگ را به دست بیاوریم. در اینجا ما با وزن ها و رنگ های سبز در ماتریس شماره 7 کار داریم. برای سهولت در فهم مطلب ماتریس شماره 7 را در زیر کپی کارده و وزن هایمان را هم در زیر آن کپی می کنیم.
ماتریس شماره 8
حال ماتریس هماهنگ را تشکیل میدهیم. مثال برای به دست آوردن درایه 1 با 2 (یعنی عدد 0/74 ) ، در ماتریس بالا در سطر 1,2 سبزها را پیدا کرده و عدد وزن آن ها را با هم جمع می کنیم. برای درایه 1,2 باید اعداد 0/02 و 0/19 و 0/18 و 0/21 و 0/14 را با هم جمع کنیم که جواب می شود 0/74 و همین طور برای درایه های دیگر.
توجه: در اینجا ما با رنگ سبز کار داریم و با رنگ قرمز اصلا کاری نداریم.
گام 4 :
تعیین ماتریس هماهنگ.
I ki = 𝑊𝑗 , 𝑗 ∈𝑆𝑘𝑖
حال اعدا داخل ماتریس را با هم جمع می کنیم و در جلوی آن می نویسیم. بعد هم آن را تقسیم بر 6 می کنیم . چرا 6 ؟؟ چون تعداد سطرهایمان در ماتریس شماره 8، 6 تا است.
گام 5 :
تعیین ماتریس نا هماهنگ.
بر اساس V (گام 2) و با استفاده از فرمول زیر ، هر عنصر ماتریس ناهماهنگ را حساب می کنیم.
NIki = 𝑀𝑎𝑥 𝑉𝑘𝑗 −𝑉𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐷 𝑘,𝑖 𝑀𝑎𝑥 𝑉𝑘𝑗 −𝑉𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ها شاخص همه
ماتریس شماره 9، تشکیل ماتریس ناهماهنگ: برای محاسبه ماتریس ناهماهنگ ما ابتدا باید درایه های دو به دو از هم کم
کنیم. همانگونه که در شکل صفحه بعد مشاهده می شود.
در مرحله بعد باید بیشترین عدد در بین باخت ها یعنی قرمزها را تقسیم بر بالاترین عدد در بین کل اعداد (چه قرمز چه سبز) می کنیم. مثلا برای محاسبه درایه 1 با 2 طبق ماتریس زیر باید رنگ های قرمز (باخت ها) در سطر 1,2 را نگاه کنیم و بالا یعنی در سطر 1 منهای 2 بیشترین عدد در بین قرمزها را پیدا می کنیم و تقسیم بر بیشترین عدد در بین کل می کنیم. و همین طور برای سایر درایه ها عمل می کنیم.
نکته ی خیلی مهم: ما در پیدا کردن بیشترین عدد در بین باخت ها و بیشترین عدد در بین کل اعداد، منفی ها را نادیده می گیرم به علت آن که قدر مطلق است. و عدد منفی در قدر مطلق مثبت می شود.
ماتریس شماره 9
مانند ماتریس هماهنگ در ماتریس ناهماهنگ هم ما اعداد ماتریس را جمع می کنیم و تقسیم بر 6 می کنیم.
ماتریس شماره 10 ، تشکیل ماتریس هماهنگ موثر: برای این کار ما ماتریس هماهنگ را کپی کرده و در پایین پیست می کنیم
در اینجا ما می گوییم که عدد درایه 1 با 2 بیشتر است یا 0/55؟؟ عدد درایه 1 با 2 بیشتر است. پس ما در درایه 1 با 2 در
ماتریس هماهنگ موثر عدد 1 را می گذاریم اگر کمتر بود عدد صفر را می گذاریم.
ماتریس شماره 11 ، تشکیل ماتریس ناهماهنگ موثر: ابتدا ماتریس ناهماهنگ را در پایین کپی می کنیم.
مثلا برای محاسبه درایه 1 با 2 حساب میکنیم که عدد درایه 1 با 2 در ماتریس ناهماهنگ بیشتر است یا 0/87 ؟؟
مشاهده می کنیم که عدد 0/656 در درایه 1 با 2 در ماتریس ناهماهنگ کمتر از 0/87 است. پس در درایه 1 با 2 در
ماتریس ناهماهنگ موثر عدد یک را می گذاریم ولی اگر عدد درایه ما از 0/87 بیشتر باشد صفر می گذاریم. دقیقا
برعکس ماتریس هماهنگ موثر.
ماتریس نهایی : درایه های ماتریس هماهنگ موثر را در درایه های ماتریس ناهماهنگ موثر ضرب میکنیم. بعد یک ستون
با عنوان برد و یک ستون با عنوان باخت و یک ستون هم با عنوان جواب نهایی تشکیل می دهیم. جمع سطرها می شود
برد. و جمع ستونها می شود باخت. و اختلاف برد و باخت می شود جواب نهایی. هر عددی که بیشتر از همه باشد آن
جواب ما خواهد بود
پس دهستان 1 بهترین مکان برای احداث سردخانه جهت نگهداری محصولات کشاورزی خواهد بود
29