بسم الله الرحمن الرحیم
خسرو حجتی
2
برنامه آموزشی
نام درس : ریاضی 2
تعداد واحد : 4
منبع : ریاضی 2و3
مولف : جلوداری مقانی
تهیه کننده : خسرو حجتی
( درس پایه رشته فیزیک )
خسرو حجتی
3
اهداف
تعاریف و فرمولها و شکلهای رویه هارا بیان نموده و بشناسد و با استفاده از صورتهای درجه دوم نوع رویه ها را تشخیص دهد.
توابع برداری و کاربرد آنها در حرکت صفحه و فضا را بشناسد و سرعت، تندی، شتاب و مولفه های آن، بردارهای یکه مماسی و قایم ومضاع،انحنا و تاب را محاسبه کند. توابع چند متغیره را شناخته و اعمال مربوطه را با استفاده از تعاریف و قضایا انجام دهد.
انواع مجموعه ها را بشناسد.
تعاریف حد و مشتقات جزیی توابع و قضایای آنها را بیان نموده و در حل مسایل بکار برد.
بسط تیلور توابع را بنویسد و مقادیر تقریبی را محاسبه کند.
تعریف نقاط بحرانی و انواع آنها را بداند و با استفاده از قضایا آنها را محاسبه و تشخیص دهد.
آزمون مشتق دوم را بیان و در حل مسایل بکار برد.
ماکزیمم و مینیمم توابع را تحت شرایط تابعی با استفاده از روش لاگرانژ محاسبه کند.
انتگرالهای چند گانه را با توجه به نواحی انتگرالگیری محاسبه کند.
کاربرد انتگرالهای چندگانه در محاسبه حجم، ممان اینرسیو… بداند.
روشهای تغییر متغیر در انتگرالهای چند گانه را بداند و در حل مسایل بکار بندد.
انتگرال خطیف منحنی الخط و رویه ای را بشناسد و مسایل مربوطه را حل کند.
اپراتور دل را بشناسد و گرادیان، دیورژانس، کرل و لاپلاسین توابع را محاسبه کند.
قضایای گرین، دیورژانس و استوکس را بیان نموده و آنها را در حل مسایل بکار گیرد.
رویه ها
خسروحجتی
5
1-استوانه
خسروحجتی
6
تعریف: هر گاه c یک منحنی(منحنی هادی استوانه) در یک صفحه و L خطی ناواقع بر این صفحه باشد، خطی که متکی بر c و موازی با Lحرکت کند(مولد استوانه) رویه ای تولید میکند که استوانه یا رویه استوانه ای نام دارد
مثال:
استوانه
خسروحجتی
7
خسروحجتی
8
راه حل کلی حل مسایل:فرض
هادی وD یک مولد استوانه باشد:
D را به شکل فصل
مشترک دو صفحه در نظر میگیریم و دستگاه معادلات حاصل را با حذف x,y,z, حل میکنیم و سپس بجای مقدار میگذاریم. معادله استوانه بدست میآید.
خسروحجتی
9
مثال:معادله استوانه ای را بنویسید که خم هادی و امتداد مولد آن داده شده است:
حل:فرض کنید:
داریم:
خسروحجتی
10
ادامه حل:
خسروحجتی
ادامه حل:x,y,z را در معادله کره قرار میدهیم:
پس از ساده کردن و جایگذاریt,r بر حسب x,y,z داریم:
خسروحجتی
12
ادامه حل:
پس از ساده کردن نتیجه نهایی چنین میشود:
خسروحجتی
2- رویه دوار
خسروحجتی
تعریف: منحنی c وخط L را که هر دو روی یک صفحه واقع هستند را در نظر میگیریم:اگر c (مولد رویه) حولL (محور دوران) دوران کند. رویه ای ایجاد میشود که رویه دوار نام دارد.
روش حل:در صورتی که منحنی در یکی از صفحات مختصات و محور دوران یکی از محور های مختصات باشد کافی است در معادله منحنی فقط بجای نام متغیری که محور دوران نیست جذر مجموع مربعات دو محور غیر دوران را جایگذاری کنیم.
خسروحجتی
15
معادله رویه دوار محور دوران معادله منحنی
خسروحجتی
16
مثال: رویه حاصل از دوران خم xy=1 حول محور x را پیدا کنید. حل:
خسروحجتی
3- سایر رویه های درجه دوم
خسروحجتی
18
اصول کلی رسم نمودار رویه ها:
1- محل برخورد با محور های مختصات را بدست آورید.مثلا:با قرار دادنy=z=0
2- محل برخورد با صفحات مختصات را بدست آورید.مثلا:با قرار دادنz=0
3- محل برخورد با صفحات موازی صفحات مختصات را بدست آورید.مثلا:با قرار دادنz=k
خسروحجتی
صورت کلی رویه های درجه دوم:
حالت خاص:اگر ضرایب جملات حاصلضرب صفر شود
خسروحجتی
20
روش حل مسایل حالت خاص:
عبارتهای درجه دوم در معادله را به مربع کامل تبدیل کرده ومعادله را به یکی از صورتهای استانده(استاندارد) در میآوریم.
معادلات استانده در ادامه توضیح داده خواهدشد.
خسروحجتی
21
3-1-بیضوی:
روش شناخت:
سه جمله مربع هم علامت سمت چپ وعدد یک سمت
راست تساوی
خسروحجتی
22
خسروحجتی
3-2- هذلولیوار یک پارچه:
روش شناخت:
سه جمله مربع که فقط یک جمله منفی (که نشان دهنده محور شکل است) سمت چپ وعدد یک سمت راست تساوی.
خسروحجتی
24
خسروحجتی
3-3- هذلولیوار دو پارچه:
روش شناخت:
سه جمله مربع که دو جمله منفی سمت چپ (جمله مثبت نشان دهنده محور است) وعدد یک سمت راست تساوی
25
خسروحجتی
26
خسروحجتی
27
3-4- سهمیوار:
روش شناخت:
دو جمله مربع در یک سمت ویک جمله درجه یک در سمت دیگر تساوی .همه جملات هم علامت (جمله درجه یک نشان دهنده محور است)
خسروحجتی
28
خسروحجتی
29
3-4- سهمیوار هذلولوی(زین اسبی):
روش شناخت:
دو جمله مربع مختلف العلامه در یک سمت ویک جمله درجه یک در سمت دیگر تساوی (جمله درجه یک نشان دهنده محور است)
خسروحجتی
30
خسروحجتی
31
3-4- مخروط:
روش شناخت:
دو جمله مربع در یک سمت ویک جمله مربع در سمت دیگر تساوی (جمله تکی نشان دهنده محور است)
خسروحجتی
32
خسروحجتی
33
مثال:رویه زیر را شناسایی کنید: حل:
هذلولیوار یک پارچه
خسروحجتی
روش حل مسایل رویه ها در حالت کلی:
1-ماتریس صورت درجه دوم را مینویسیم.
2-مقادیر ویژه را بدست میآوریم(ضرایب جملات درجه دوم جدید)
3-بردارهای ویژه را بدست میآوریم.
4-ماتریس تبدیل مختصات را مینویسیم(با قرار دادن بردارهای ویژه یکه در ستونها).
5-معادلات تبدیل مختصات را بدست میآوریم و در عبارت درجه یک قرار میدهیم.
6- نتیجه بند2و5 را در یک عبارت ساده میکنیم.
خسروحجتی
35
مثال:رویه درجه دوم زیر را شناسایی کنید:
حل:
خسروحجتی
36
ادامه حل:
خسروحجتی
37
ادامه حل:
خسروحجتی
38
ادامه حل:ماتریس تبدیل مختصات:
معادلات تبدیل مختصات که باید در عبارت درجه یک
جایگذاری کرد:
خسروحجتی
39
ادامه حل:حال را بترتیب ضریب و معادلات تبدیل مختصات را در عبارت درجه یک قرار میدهیم:
خسروحجتی
40
ادامه حل:
بیضوی است.
خسروحجتی
مختصات
خسروحجتی
42
مختصات قطبی:
x
y
A(x,y)=(r, )
قرارداد:
خسروحجتی
43
مختصات استوانه ای:
x
x
y
y
z
z
r
قرارداد:
A(x,y,z)=(r, ,z)
خسروحجتی
44
معرفی بعضی شکلها در مختصات استوانه ای:
R=0 محور z است.
معادله استوانه در مختصات دکارتی
R=c معادله همان استوانه در مختصات استوانه ای
مجموعه نیم صفحه شامل محور z و نیم خط
Z=c معادله یک صفحه که محور z بر آن عمود است
خسروحجتی
45
مختصات کروی:
x
x
y
y
z
z
r
A(x,y,z)=
قرار داد:
خسروحجتی
46
معرفی بعضی شکلها در مختصات کروی:
کره ای به شعاع r در مختصات دکارتی
کروی
نمودار نیم صفحه ای شامل محور z
نمودار نیم مخروط
خسروحجتی
توابع برداری
48
تعریف تابع برداری یک متغیره:
تابع که در آن وn=2 یا n=3 را یک تابع برداری یک متغیره، مجموعه A را دامنه و مجموعه را برد این تابع مینامند.
به ازای n=2 و ،f(t) را میتوانیم به صورت بنویسیم. که در آن توابعی حقیقی روی A هستند. از طرف دیگر f(t) معرف نقطه ای چون است. بنابراین داریم:
49
ادامه تابع برداری:
معادلات فوق را معادلات پارامتری نگاره f ، و توابع را مولفه هایf و متغیرt را یک پارامتر مینامند.
به همین ترتیب:
مولفه ها
معادلات پارامتری
50
مثال:معادلات پارامتری نگارهf رابنویسید.این نگاره چه شکلی دارد؟
حل:
معادلات پارامتری
51
52
تعریف حد:تابع برداری با ( )( با )در نقطه دارای حد است اگر
به عبارت دیگر تابعf در نقطه حد دارد اگر و تنها اکر هر یک از مولفه های آن در این نقطه حد داشته باشد
53
مثال:حد تابع زیر را درt=0 پیدا کنید:
حل:
تعریف پیوستگی: تابع که در آن n=2
یا n=3 در نقطه پیوسته است اگر داشته
باشیم:
F را روی A پیوسته نامند اگر در هر یک از نقاط A
پیوسته باشد. یعنی وقتی که هر یک از مولفه های آن
پیوسته باشد.
54
مثال: آیا تابع زیر در نقطه داده شده پیوسته است؟
حل: چون مولفه اول پیوسته نیست بنابراین تابع پیوسته یست.
تعریف اثر:اگر با وn=2یاn=3 تابعی پیوسته روی [a,b] باشد، آنگاه f را یک خم در یا مینامند.نگاره f یعنی مجموعه
را اثر یا مسیر خم(و گاه خود خم)گویند.
55
روش یافتن اثر خم:با نقطه یابی یا پیدا کردن محل برخورد دو رویه که از حذف پارامتر بین هر دو مولفه تابع بدست میآید.
مثال:قسمتی از خم زیرکه در یک هشتم اول دستگاهمختصات است را بدست آورید:
حل:
56
57
تمرین:قرصی به شعاع a در صفحه xoy روی محور x بدون اینکه بلغزد میغلتد. نقطهq بر این قرص واقع است .معادلات پارامتری q را پیدا کنید.
حل:
B
A
C
q
E
D
O
F
58
ادامه حل:q:(x=oB-AB,y=oD+DE) مسافت طی شده بوسیلهq :
در مثلث قایم الزاویهCFq داریم:
AB=CF,DE=Fq
59
تعریف مشتق:تابع برداریf در نقطه x=t مشتق پذیر است اگرحد زیر وجود داشته باشد:
بدیهی است در نقاطt=a ,t=b منظور از وجود حد فوق، وجود حدهای یکطرفه است. در این صورت حد فوق را مشتقf در نقطه t مینامندوبا نمادهای زیر نشان میدهند:
60
توضیح:به ازای n=2 : به ازای n=3 :
بنابر اینf در نقطهt مشتق پذیر است اگر وتنها اگر مولفه های آن در این نقطه مشتق پذیر باشند
مثال:مشتق تابع رادر نقطه داده شده پیدا کنید.
61
قضیه:(قواعد مشتق گیری)
62
مثال: حل:
63
ادامه حل:
64
قضیه:(قاعده زنجیره ای)
توابع فوق را با I که بازه ای درR است در نظر بگیرید. فرض کنید f در نقطه t وg درs=f(t) مشتق پذیر است. در این صورت تابع برداری gof در نقطه t مشتق پذیر است و داریم
gof
65
مثال:مشتق تابع زیر را در نقطهt=1 بیابید
حل:
66
تعریف خم هموار:
تابع فوق را روی دامنه اش هموار گویند اگر به ازای هر ، وجود داشته و پیوسته باشد و
بنابر این خمf همیشه روی(a,b) هموار است اگر وتنها اگر در هر نقطه مشتق یکی از مولفه های آن غیر صفر باشد.
67
مثال: آیا خم زیر در بازه[1و1-] هموار است.
حل: تابع فوق روی بازه داده شده هموار
نیست زیرا در در نقطه صفر مولفه اول آن
مشتق پذیر نیست
68
تعریف خم پاره هموار:
خم فوق را پاره هموار نامند اگر در تعداد متناهی نقطه از دامنه هموار نباشد.
به عبارت دیگر خمf پاره هموار است اگر نقطه های وجود داشته باشند بطوری که f در این نقطه ها یا مشتق نداشته باشد یا در شرط صدق کند ولی در بقیه نقاط [a,b] درشرط صدق کند.
69
مثال: خم در نقطهt=0 هموار نیست، زیرا:
تعریف طول خم:فرض کنید: : خمی هموار باشد، طول این خم را باs نشان میدهند و با رابطه زیر تعریف مکنند:
70
تعمیم تعریف طول خم:اگرf در نقاط زیر پاره هموار باشد
و طولf را با رابطه زیر تعریف میکنند:
با قراردادن این فرمول بصورت زیر در میآید:
71
مثال:اگر خم ذیل در بازه داده شده هموار است طول خم را پیدا کنید.
حل:
هموار است
توابع چند متغیری
خسرو حجتی
73
تعریف توابع اسکالر:
خسرو حجتی
74
مثال تابع دومتغیره اسکالر:
اعمال جبری مانند توابع حقیقی است
خسرو حجتی
75
تعریف توابع برداری:
بنابراین تابع اسکالر حالت خاص تابع برداری است
خسرو حجتی
76
مثالی از تابع برداری :
t=0
f(0) = (1,0)
یا
خسرو حجتی
77
تعریف: درتابع برداری زیر
,
i=1,2,3,…,m
توابع اسکالر fi را توابع مولفه ای ویا مولفه های تابع برداری fمی نامیم .
خسرو حجتی
78
مثال :
خسرو حجتی
79
تعریف : در تابع بردارى
با انتخاب متغیرهای وابستهum,…, u1 معادلاتum= f m(x),…, u1=f 1(x) را معادلات تابع برداری f مى نامیم .
اعمال جبری مانند بردارهاست
خسرو حجتی
80
تعریف : در تابع چند متغیره
را می نامند .
2) مجموعه زیررا می نامند :
,
X ~ (x1, x2 ,…, x n )
1) اگر
تصویر مجموعهB تحت f
نمودار تابع f
خسرو حجتی
81
3) نقطه را در نظر می گیریم ، مجموعه
را
به ازاء y0 نامند . که اگر تابع f اسکالر دو متغیره باشد
مجموعه های تراز را این تابع و اگرf
اسکالرسه متغیره باشد مجموعه های ترازرا نامند .
منحنی های تراز
سطوح تراز
مجموعه ترازتابع f
خسرو حجتی
82
مثال 1:
f تحت [-1/2 , 0 ] تصویر فاصله:
خسرو حجتی
83
که معادلات پارامتری خطی است که از نقطه (0و1و0 ) می گذرد و با بردار u ~(1,2,-1) موازی است .
خسرو حجتی
84
مثال2 :
تابع بردارى سه متغیره زیر و نقطه را در
نظر می گیریم ، مجموعه تراز تابع f به ازاء نقطه (2و1)
را بدست آورید .
خسرو حجتی
85
2
2
2
2
2
2
2
2
بیضى واقع در صفحه Z = 2
خسرو حجتی
86
تعریف همسایگی :
شعاع : r مرکز : a
اگر باشد همسایگی را قرص به مرکزa گویند .
2)و اگر باشد همسایگی را یک گوی گویند .
3)همسایگی در تعبیر هندسی ندارد .
خسرو حجتی
87
تعریف فاصله :
فاصله نقطه x از a عبارت است از :
خسرو حجتی
88
مثال : قرص N((0,0),2)عبارت است از:
خسرو حجتی
89
مثال : نشان می دهیم که درهرهمسایگی میتوان یک همسایگی کوچکتر محاط کرد . یعنی :
فرض : حل
فرض
حال برای اثبات yدلخواه را در نظر می گیریم:
خسرو حجتی
90
براساس نامساوىمثلث
خسرو حجتی
91
تعریف مجموعه باز :
فرض کنیم آنگاه Uرا یک مجموعه باز درRn می نامیم هرگاه :
خسرو حجتی
92
مثال : یک زیرمجموعه باز از R2 است: زیرا
فرض
فرض
r=x
: برای اثبات داریم
?
خسرو حجتی
93
وحکم ثابت است .
خسرو حجتی
تعریف مجموعه بسته :
را بسته گوئیم هرگاه (متمم (F
FC
در باز باشد .
Rn
خسرو حجتی
در بسته است .زیرا
RC
خسرو حجتی
تعریف مجموعه کراندار :
را کراندار گویند اگر زیرمجموعه ای از یک قرص باشد . بعبارت دیگر :
اگر: کراندار است
را کراندار گویند اگر زیرمجموعه ای از یک گوی باشد . بعبارت دیگر :
S
S
2
S
S
اگر: کراندار است
3
خسرو حجتی
در غیراینصورت را بی کران گویند .
یعنی خارج هر قرص به مرکز مبدا نقطه ای
از واقع است .
S
S
خسرو حجتی
مثال :
کراندار است
زیرا مجموعه همه نقاط داخل دایره به شعاع و مرکز(1و1) است . بنابراین کافی است قرصی انتخاب شود که همه دایره را در برگیرد . یعنی کافی است باشد .
خسرو حجتی
تعریف مجموعه همبند :
(n=2,3) را همبند گویند هر گاه بتوان
هر دونقطه x ,y از آن را توسط یک خط شکسته
واقع در آن بهم وصل کرد .
مجموعه باز همبند را یک ناحیه گویند .
خسرو حجتی
تعریف همسایگی محذوف یا بدون مرکز :
مفروض
خسرو حجتی
مثال : در R3 باز است . زیرا :
فرض
اگر: فرض
خسرو حجتی
برای اثبات در نظر می گیریم :
بنابر نا مساوی مثلث
باز است
خسرو حجتی
تعریف حد : در نظر می گیریم
تابع
فرض کنید A شامل یک همسایگی محذوف نقطه x0 است .
گوئیم F در نقطهx0 دارای حد است اگر :
در این صورت می نویسیم :
خسرو حجتی
و یا :
خسرو حجتی
مثال : نشان می دهیم حد تابع
در نقطه برابر است .
خسرو حجتی
و بطور کلی همان فرمول حد برای تابع n متغیره صحیح است .
خسرو حجتی
مثال: نشان می دهیم که تابع زیردرنقطه حد ندارد .
فرض خلف :
خسرو حجتی
بنابراین برای باید عددی مانند وجود داشته باشد بطوریکه :
خسرو حجتی
حالا نقطه را در نظر می گیریم چون
1
داریم
حال اگر نقطه را در نظر بگیریم چون
داریم
2
خسرو حجتی
حال اگر :
که تناقض است بنابراین تابع حد ندارد .
خسرو حجتی
حد در صورت وجود منحصر به فرد است .
کلیه فرمولهای حد توابع حقیقی در مورد توابع چند
متغیره نیز صادق است .
بنابراین اگر هر مولفه حد داشته باشد تابع حد دارد .
خسرو حجتی
مثال :
خسرو حجتی
پیوستگی مثل توابع حقیقی ، اگر حد با مقدارتابع برابرباشد پیوسته است و بطور کلی وقتی همه مولفه هاپیوسته باشند تابع پیوسته است .
خسرو حجتی
نکاتی درمورد پیوستگی
تعریف: هر گاه f یک تابع دو متغیره بوده ونمو f در نقطه را چنین نمایش دهیم:
بطوریکه:
خسرو حجتی
تعریف مشتقپذیری
اگر در تعریف قبل داشته باشیم:
در اینصورت fدر مشتقپذیر است.
خسرو حجتی
قضیه: هر گاه تابع دو متغیره fدر نقطه ای مشتقپذیر باشد در آن نقطه پیوسته است.
قضیه: اگر مشتقات جزئی تابع دو متغیره بر قرص باز
موجود و در نقطه aپیوسته باشد آنگاه f در آن نقطه مشتقپذیر است.
خسرو حجتی
مثال:
با استفاده از تعریف محاسبه میکنیم:
1
خسرو حجتی
طرف چپ 1 پس از خلاصه کردن:
که باید به یکی از چهار طریق زیر معادل طرف راست 1 باشد. یعنی:
خسرو حجتی
چون توابع وجود دارند کافی است در یک مورد نشان داده شود که
بنابراین
خسرو حجتی
در نتیجه تابع مشتقپذیر بوده
و در نقطه
پیوسته است.
مثال:در مورد پیوستگی تابع زیر تحقیق کنید:
بنابر این حد ندارد و در نتیجه پیوسته نیست.
خسرو حجتی
تمرین: نشان دهید تابع زیر پیوسته است
پیوسته
پیوسته
چون توابع هیپربولیک و نمائی پیوسته و ترکیب توابع پیوسته، پیوسته است بنابراین تابع f پیوسته است
پیوسته
خسرو حجتی
تعریف مشتق جزئی :
اگر تابع اسکالر روی یک همسایگی نقطه
تعریف شده باشد در اینصورت رابطه زیر را در
صورت وجود مشتق جزئیF درنقطهX نسبت به متغیر i ام نامند و با
یا یا نشان می دهند .
خسرو حجتی
مثال :
مشتقات جزئی مراتب بالا تر
خسرو حجتی
مثال :
اگر مشتقات جزئی موجود وپیوسته باشند تا هر مرتبه ای گویند تابع از رده Cn (n همان مرتبه ) است .
تساوی وقتی برقرار است که پیوسته باشد .
خسرو حجتی
مثال :
خسرو حجتی
تمرین: مشتقات جزئی تابع زیر را پیدا کنید:
خسرو حجتی
128
خسرو حجتی
تمرین:اگر تابع fدارای مشتقات جزئی پیوسته باشدوv=x-y,u=x+y,w=f(u,v) ثابت کنید:
حل:
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تمرین:مشتق جزئی تابع داده شده را در نقطه داده شده پیدا کنید
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تعریف مشتق جهت دار :
با فرض:Vبردارواحد
در صورت وجود مشتق جهت دار f در نقطه x0 و در جهت V است .
خسرو حجتی
مثال :
در نقطه
و در جهت بردار واحد
: داریم
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تعریف مماس و قائم :
صفحه در نقطه Pبر رویه S مماس است اگر برمنحنی های واقع برS ومار برP مماس باشد. بعبارت دیگر صفحه در نقطه P بر رویه S مماس است اگر شامل تمام خطوطی باشد که در نقطه P به منحنى هاى واقع برS و مار بر P مماس باشد .
خسرو حجتی
خطی که از P گذشته و بر صفحه مماس برS در P
عمودباشد، خط عمود برS درنقطه Pنامیده می شود .
خسرو حجتی
فرمول امتداد قائم بر صفحه مماس بر رویه در نقطه :
خسرو حجتی
معادله صفحه مماس بر رویه S در نقطه : P
خسرو حجتی
خسرو حجتی
معادله خط قائم بر رویه S در نقطه : P
خسرو حجتی
مثال :
معادله صفحه مماس
معادله خط قائم
خسرو حجتی
شرط وجود صفحه مماس :
اگر تابع روی مستطیل باز زیر پیوسته باشد
ومشتقات جزئی آن روی R وجود داشته ودرنقطه
پیوسته باشد،(شرایط قضیه نمو)آنگاه تابع خطیL که نمودار آن صفحه مماس بررویه Z درنقطه است وجود دارد . که نمودار آن صفحه مماس رویه است .
خسرو حجتی
قاعده زنجیره ای :
اگر g دارای مشتقات جزئی روی همسایگی از نقطه (x0,y0) بوده و در این
نقطه پیوسته باشند و توابعx وy در نقطه t=t0 مشتقپذیر آنگاه با فرض
تابع مرکب
درنقطه مشتقپذیر است و داریم :
خسرو حجتی
خسرو حجتی
مثال:
خسرو حجتی
مشتق گیری ضمنی :
خسرو حجتی
فرمول تقریب :
بشرط و بحد کافی کوچک
خسرو حجتی
مثال : معادله صفحه مماس بر را در نقطه پیدا کنید .
خسرو حجتی
تعریف گرادیان :
فرض کنیم تابع اسکالر n متغیره F روی مجموعه
دارای تمام مشتقات جزئی مرتبه اول باشد در اینصورت :
خسرو حجتی
مثال:
خسرو حجتی
قاعده زنجیره ای : (برداری و اسکالر)
g,f روی قلمروشان دارای مشتقات جزئی پیوسته اند .
در اینصورت داریم :
خسرو حجتی
مثال :
خسرو حجتی
حل مثال فوق از روش معمولی :
که همان است .
خسرو حجتی
قضیه :
رابطه بین مشتق جهت دار و گرادیان :
خسرو حجتی
مثال :
مشتق جهت دارتابع روبرورا درنقطه
و در جهت بردار بدست آورید :
خسرو حجتی
تمرین:مشتق سوئی تابع داده شده را در نقطه وسوی تعیین شده پیدا کنید:
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تمرین:مشتق سوئی تابع داده شده را در نقطه وسوی تعیین شده پیدا کنید:
حل:
خسرو حجتی
تمرین: معادله صفحه مماس و خط قائم بر رویه داده شده را در نقطه داده شده پیدا کنید:
خسرو حجتی
یادآوری بسط تیلور توابع یک متغیره :
اگر مشتقات مراتب مختلف تابع یک متغیره حقیقی f در همسایگی ( a-h , a+h ) موجود باشند آنگاه برای وداریم :
خسرو حجتی
باقیمانده مرتبه n ام f در نقطه a :
بینa و x وجود دارد که
خواهیم داشت :
در فرمول فوق اگر باقیمانده نوشته نشود آن را چند جمله ای تیلور گویند
خسرو حجتی
قضیه :
فرض کنیم f درهمسایگی N از نقطه (a,b) دارای مشتقات جزئی مرتبه سوم پیوسته باشد . دراینصورت :
خط واصل
خسرو حجتی
بسط تیلورمرتبه اول تابع حول نقطه باباقیمانده است.
f
(a,b)
R
خسرو حجتی
که بسط تیلور مرتبه دوم تابع حول نقطه با باقیمانده است.
f
(a,b)
R
خسرو حجتی
مثال :
بسط تیلور مرتبه دوم تابع را در نقطه (a,b)=(0,0) محاسبه کنید .
خسرو حجتی
تمرین: بسط تیلور مرتبه دوم تابع زیر را در نقطه داده شده پیدا کنید
حل:
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تمرین: بسط تیلور مرتبه دوم تابع زیر را در نقطه داده شده پیدا کنید
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تعریف مینیمم و ماکسیمم :
را یک نقطه مینیمم نسبی f می نامیم هرگاه
بطوریکه :
در این صورت f(x0) یک مینیمم نسبی f است .
رایک نقطه ماکزیمم نسبی f می نامیم هرگاه
بطوریکه
در اینصورت f(x0) را یک ماکزیمم نسبی f گویند .
خسرو حجتی
را یک نقطه ماکزیمم مطلق f نامند هرگاه
در اینصورت ) f(x0 را ماکزیمم مطلق f نامند .
را یک نقطه مینیمم مطلق f نامند هرگاه
در اینصورت ) f(x0 را مینیمم مطلق f نامند .
خسرو حجتی
مثال :
تابع را در نظر می گیریم :
(0,0) نقطه ماکزیمم مطلق است .
F(0,0) ماکزیمم مطلق و نسبی است .
خسرو حجتی
تابع را در نظر می گیریم :
مثال :
چون مقدار تابع در هر نقطه خط برابر صفر است نقاط روی خط فوق مینیمم مطلق f است .
خسرو حجتی
قضیه :
اگرf روی مشتق پذیر باشد و یک نقطه
ماکزیمم یا مینیمم نسبی f باشد . آنگاه
بعبارت دیگر :
خسرو حجتی
تعریف نقطه بحرانی :
را یک نقطه بحرانی f گویند اگر در یکی از دو شرط زیر صدق کند :
الف) f در نقطه x0 مشتق پذیر نباشد .( لااقل یکی از مشتقات جزئی موجود نباشد .)
ب) f در x0 مشتقپذیر و
خسرو حجتی
در نتیجه نقاط ماکزیمم و مینیمم یکی از نقاط بحرانی است یعنی جواب دستگاه زیر یک نقطه بحرانی یا ماکزیمم و مینیمم است .
در صورتیکه نقاط بحرانی ، ماکزیمم یا مینیمم نباشد آنرا نقطه زین اسبی گویند .
خسرو حجتی
مثال :
نقاط بحرانی تابع زیر کدامند ؟
پاسخ:
نقاط بحرانی : (1- و2)
خسرو حجتی
قضیه : (آزمون مشتق دوم )
فرض می کنیم f روی N(x 0 )از رده C2و x 0 یک نقطه بحرانی f باشد در اینصورت :
مفروض : N(x 0 ), همسایگی
خسرو حجتی
آنگاه :
الف : اگر D<0 نقطه x0 نقطه زین اسبی است .
ب: اگرD>0 و A>0 نقطه x0 مینیمم نسبی است .
ج: اگر D>0 و A<0 نقطه x0 ماکزیمم نسبی است .
د: اگر D=0 نمی توان اظهار نظر کرد .
خسرو حجتی
مثال :
نوع نقاط بحرانی تابع زیر را تعیین کنید .
پاسخ:
خسرو حجتی
: ادامه جواب
زین اسبی
مینیمم نسبی
خسرو حجتی
محاسبه ماکزیمم ومینیمم تحت شرایط خاص :
برای پیدا کردن نقطه ماکزیمم و مینیمم تابع f نسبت به
شرط g(x,y,z)=0 باید دستگاه
را نسبت به x وy وz و حل نمود وجواب نقطه (x,y,z)
است .
خسرو حجتی
مثال :
ماکزیمم و مینیمم فاصله مبدا را تا منحنی زیر پیدا کنید .
پاسخ:
فرمول فاصله : ( زیرا نقاط واقع بر این دایره بیشترین فاصله را دارند )
خسرو حجتی
نقاط ماکزیمم ومینیمم
ماکزیمم
مینیمم
خسرو حجتی
تمرین: نشان دهید که ماکزیمم تابع f(x,y,z)=x+y+z روی کره زیر عبارت است از
حل:
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
انتگرال دوبل :
خسرو حجتی
انتگرال در ناحیه R که توسط منحنی C محدود شده:
خسرو حجتی
برای محاسبه ناحیه را به مستطیل های کوچک تقسیم میکنیم ومشابه عملیات انتگرال معمولی مجموع مساحات و حد آنها را حساب می نمائیم که به این ترتیب اگر ناحیه f به مستطیلی فرض شود که توسط خطوط y=d و y=c و x=b و x=a محدود شده خواهیم داشت :
خسرو حجتی
اول محاسبه می شود
اول محاسبه می شود
بعد
بعد
: حالت خاص
a
b
c
d
o
خسرو حجتی
در حالت کلیR مستطیل نبوده و ناحیه ای باشد که با منحنی C محدود شده باشد .
فرض کنید که B1 و B2 به ترتیب مینیمم و ماکزیمم منحنی را تشکیل داده و A1 و A2 کمترین وبیشترین مقادیر C روی محور افقی را تعیین می کنند .
خسرو حجتی
را معادله و را معادله منحنی بگیرید . در اینصورت به جای a و b مقادیر و و بجای c و d مقادیر B1 و B2 قرار می گیرند . در نتیجه خواهیم داشت :
خسرو حجتی
و بهمین ترتیب می توان نوشت :
خسرو حجتی
مثال :
مقدار را روی ناحیه محدود شده R که ربع بیضی ای به معادله است را محاسبه کنید .
پاسخ:
خسرو حجتی
که با توجه به مطالب ریاضی1 همان مختص y مرکز ثقل ربع بیضی است و بهمین ترتیب
که مختص x مرکز
ثقل است .
خسرو حجتی
چند مورد کاربردی
خسرو حجتی
1- ممان اینرسی :
ممان اینرسی یک ذره حول یک محور مساویست با حاصلضرب جرم آن در مربع فاصله آن از محور .
برای محاسبه ممان اینرسی یک ناحیه مسطح حول محوری عمود بر آن از انتگرال دوبل استفاده می کنیم.
خسرو حجتی
مثال :
ممان اینرسی سطحی را که در ربع اول دستگاه مختصات قرار گرفته و توسط منحنی y2 =1-x محدود شده حول محوری عمود بر سطح xy در (1,0)را پیدا می نمائیم .
حل :
فاصله هر نقطه دلخواه p(x,y) از نقطه (1,0) برابر است با :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
2- محاسبه حجم :
اگر z=f(x,y) معادله یک سطح (رویه) باشد که توسط منحنی C بوجود آمده آنگاه حجم حادث از آن رویه و دو ناحیه محدود شده بوسیله دو مقطع آن رویه توسط منحنی C بوسیله انتگرال دوبل محاسبه می شود .
خسرو حجتی
تذکر : (هرگاه f(x,y)=1 باشد انتگرال دوبل مساحت ناحیه R را بدست می دهد)
خسرو حجتی
مثال :
حجم یک چهار وجهی که توسط سطح و سطوح مختصات محدود شده را پیدا کنید :
حل :
در صفحه xy منحنی C خط است لذا خواهیم داشت :
خسرو حجتی
تمرین: اگر D مثلثی به رئوس (0و0)و باشد انتگرال زیر را روی D محاسبه کنید:
y=x
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تمرین: مساحت ناحیه تمرین قبل را به کمک انتگرال دوگانه محاسبه کنید:
y=x
خسرو حجتی
تمرین: اگر D ذوزنقه ای به رئوس (0و0)o=وA=(1,0),B=(1,2),c=(0,1) باشد انتگرال زیر را روی D محاسبه کنید:
خسرو حجتی
حل:
O
C
B
A
y=x+1
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تمرین: مساحت ناحیه تمرین قبل را به کمک انتگرال دوگانه محاسبه کنید:
خسرو حجتی
تمرین: انتگرال داده شده را روی ناحیه D محاسبه کنید:
حل:
x+y=1
-x+y=1
x-y=1
-x-y=1
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تمرین: مساحت ناحیه تمرین قبل را به کمک انتگرال دوگانه محاسبه کنید:
خسرو حجتی
تمرین: انتگرال داده شده را روی ناحیه D محصور بین دو هذلولی xy=1 , xy=2 و خطوط y=x, y=4x واقع در ربع اول محاسبه کنید:
خسرو حجتی
حل:
y=x
y=4x
xy=1
xy=2
ََD
ََC
ََB
ََA
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
نکته کاربردی1: اگر ناحیه انتگرال گیری Rنسبت به محور y ها متقارن و f روی x فرد باشد، چون f(-x,y)=-f(x,y) آنگاه:
خسرو حجتی
مثال:(14-2-1)
ناحیه Rبین دو منحنی محصور است.
خسرو حجتی
نکته کاربردی2: اگر ناحیه انتگرال گیری Rنسبت به محور y ها متقارن و f روی x زوج باشد، چون f(-x,y)=f(x,y) آنگاه:
خسرو حجتی
مثال:(36-2-1)
مساحت دایره به شعاع r روی ناحیه D : کافی است از تابع f(x,y)=1 روی ناحیه و با توجه به نکته بیان شده انتگرال دو گانه بگیریم:
خسرو حجتی
خسرو حجتی
نکته کاربردی3: اگر ناحیه انتگرال گیری Rنسبت به محور x ها متقارن و f روی y فرد باشد، چون f(x,-y)=-f(x,y) آنگاه:
خسرو حجتی
نکته کاربردی4: اگر ناحیه انتگرال گیری Rنسبت به محور x ها متقارن و f روی y زوج باشد، چون f(x,-y)=f(x,y) آنگاه:
خسرو حجتی
انتگرال تریپل (سه گانه )
خسرو حجتی
انتگرال سه گانه :
مشابه انتگرال یک گانه و دو گانه تقسیمات جزئی حجمی را در نظر می گیریم و حجم ناحیه را محاسبه می کنیم (برای توابع سه متغیره )
خسرو حجتی
که با جایگذاری مناسب مشابه انتگرال دوگانه می توان بشکل زیر فرمول را تبدیل کرد :
خسرو حجتی
مثال :
ممان اینرسی Ix جسم جامدی را که با استوانه
و سطوح z=b و z=0 محصور شده حول محور x (مطابق شکل ) تعیین می کنیم ( با فرض چگالی ثابت (
خسرو حجتی
پاسخ :
چون فاصله هر نقطه از محور x با فرمول زیر بدست می آید .
بنابراین خواهیم داشت :
خسرو حجتی
اگر در نظر بگیریم :
خسرو حجتی
خسرو حجتی
تعریف ژاکوبین :
فرض کنید u=u(x,y) و v=v(x,y) دو تابع دومتغیره پیوسته باشند بطوریکه مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته داشته باشند لذا
دترمینان تابعی u و v نسبت به x و y
خسرو حجتی
در مورد تابع سه متغیره ژاکوبین بطور مشابه چنین تعریف می شود :
فرض کنیم :
خسرو حجتی
تعریف قبل بهمین ترتیب برای توابعی با بیش از سه متغیر نیز تعمیم می یابد .
از ژاکوبین برای تغییر متغیر انتگرالهای چندگانه استفاده می شود. بدین ترتیب که اگر لازم شود در انتگرال
متغیر با قرار دادن
تغییر داده شود عبارت dA برحسب جملات u و v بدین صورت تغییر می کند :
خسرو حجتی
به عنوان مثال در تغییر متعیر به مختصات قطبی :
خسرو حجتی
بنابراین بطور کلی داریم :
و بطور مشابه نیز برای توابع سه متغیره محاسبه می شود .
خسرو حجتی
تغییر متغیر
خسرو حجتی
مثال :
انتگرال دوگانه زیر که در دستگاه دکارتی است را به دستگاه قطبی تبدیل و سپس محاسبه می کنیم :
: تغییر متغیر به قطبی
خسرو حجتی
خسرو حجتی
بهمین ترتیب تغییر متغیر (برای توابع سه متغیره ) به دستگاه مختصات استوانه ای بطور خلاصه چنین می شود :
وتغییرمتغیر به دستگاه مختصات کروی برابر است با :
خسرو حجتی
مثال :
اگر جسمی باشد که در ناحیه اول مختصات قرار داشته باشد و توسط کره و صفحات مختصات محصور شده باشد . را الف) با استفاده از مختصات کروی
ب) با استفاده از مختصات استوانه ای پیدا کنید .
خسرو حجتی
حل قسمت الف :
خسرو حجتی
ادامه قسمت الف :
خسرو حجتی
دنباله حل مثال(قسمت ب):
خسرو حجتی
ادامه قسمت ب :
خسرو حجتی
بنابراین از هر طریق جواب یکی است .
ادامه قسمت ب :
خسرو حجتی
انتگرال خطی :
مقدمه: می دانیم حاصلضرب تغییر مکان و مولفه نیروی وارده در جهت تغییر مکان را کار انجام شده توسط این نیرو گویند .
بعبارت دیگر اگر نیرو و تغییر مکان باشد :
مولفه F در امتداد تغییر مکان
خسرو حجتی
فرض کنیم که C منحنی نمایش یک تابع برداری در فاصله (a,b) باشد و یک نیروی برداری باشد که در روی C تعریف شده باشد و در فاصله [a,b]
قابل انتگرال گیری باشد . در اینصورت کار انجام شده توسط نیروی F برای بحرکت در آوردن یک ذره در امتداد C از r(a) تا r(b) عبارت است از :
خسرو حجتی
اگر نیروی
را داشته باشیم مقدار کار انجام شده توسط این نیرو را برای بحرکت درآوردن ذره ای در امتداد y=x از A(0,0) تا B(1,1) را بدست آورید .
مثال :
خسرو حجتی
پاسخ :
خسرو حجتی
ادامه مثال :
خسرو حجتی
انتگرال روی خم :
C عبارت از خم
انتگرال روی خم f(x,y) در مسیرC :
خسرو حجتی
انتگرال روی خم روبرو را محاسبه کنید:
که C عبارت است از خم زیر :
مثال :
خسرو حجتی
پاسخ :
خسرو حجتی
ادامه پاسخ :
خسرو حجتی
ادامه پاسخ :
خسرو حجتی
مثال :
مطلوبست محاسبه انتگرال
در مسیر خطهای زیر که دو نقطه (0,0) و (1,1) را بیکدیگر وصل می کنند :
الف) خط y=x :
حل:
خسرو حجتی
ب)سهمی : y=x2
حل:
خسرو حجتی
ج) سهمی : y2=x
حل:
خسرو حجتی
دیفرانسیل کامل یا واقعی
خسرو حجتی
یادآوری :
با فرض اینکه باشد داریم :
f(x)dx دیفرانسیل F(x) است
خسرو حجتی
بطور مشابه اگر P(x,y) و (x,y) Q دو تابع دو متغیره باشند آنگاه در صورتیکه برای
(1) P(x,y)dx+ Q (x,y)dy
تابعی مثل F(x,y) وجود داشته باشد که
خسرو حجتی
دراینصورت رابطه (1) را دیفرانسیل واقعی یا کاملF(x,y) گویند و یا بعبارت دیگر برای تابع F(x,y) دیفرانسیل واقعی یا کامل چنین تعریف می شود :
خسرو حجتی
مثال1 :
خسرو حجتی
مثال 2:
با فرض
خسرو حجتی
قضیه :
شرط لازم و کافی برای آنکه P(x,y)dx+ Q (x,y)dy
یک دیفرانسیل کامل باشد این است که
خسرو حجتی
اگر P(x,y)=y و (x,y)=-x Q باشد آنوقت
بنابراین ydx-xdy
دیفرانسیل کاملی نیست .
مثال 3:
خسرو حجتی
آیا عبارت روبرو دیفرانسیل کاملی است ؟
مثال4 :
حل:
بله زیرا :
خسرو حجتی
میدانهای برداری کنسرواتیو یا میدانهای برداری نگهدارنده :
اگر تابع اسکالر F بنحوی وجود داشته باشد که برای بردار داشته باشیم در اینصورت F را پتانسیل یا (نگهدارنده ) نامند .
دراینصورت را یک میدان برداری کنسرواتیو نامند و داریم :
خسرو حجتی
مثال :
ثابت کنید که عبارت زیرکنسرواتیو است و تابع پتانسیل آن را بدست آورید .
خسرو حجتی
یک میدان برداری کنسرواتیو است .
: طبق تعریف
حل :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
کرل (چرخه ) چرخش
خسرو حجتی
تعریف کرل :
اگر تابع برداری u در همه نقاط تعریف شده مشتق پذیر باشد در اینصورت :
خسرو حجتی
کرل u را در نقطه (1,1,1) محاسبه کنید :
مثال :
حل :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
تعریف عملگر لاپلاسین:
اگر دراینصورت u را تابع هارمونیک گویند .
خسرو حجتی
مثال :
لاپلاسین u را در نقطه (1,0,1) محاسبه کنید .
خسرو حجتی
انتگرال رویه ای
برای تعریف و محاسبه مساحت و سطح رویه از انتگرالهای
چندگانه استفاده می کنیم :
قسمتی از سطح رویه که بوسیله منحنی بسته محدود
شده و Z=f(x,y)معادله سطح رویه S
(با شرط اینکه هر خط موازی با محور z فقط در یک نقطه
سطح را قطع کند محاسبات قابل انجام شدن است .
خسرو حجتی
288
x
y
z
s
N
R
c
خسرو حجتی
C تصویر روی سطح xy و زاویه هادی خط
عمود برS یا قائم بر S است و پس از تقسیمات جزئی روی مساحت ومجموع و حدگیری بطور خلاصه و در نتیجه:
خسرو حجتی
بطور مشابه اگر بر سطوح دیگر مختصات نیز تصویر کنیم با توجه به زوایای هادی فرمولهای مشابهی حاصل می شود و بطور کلی انتگرال تابع u(x,y,z) روی سطح z=f(x,y) را میتوان چنین تعریف نمود :
خسرو حجتی
مثال :
مساحت قسمتی از استوانه را که در اول دستگاه مختصات بین سطوح Z=0 و Z=mx قرار گرفته حساب کنید .
خسرو حجتی
292
حل :
بدیهی است که فقط این سطح روی صفحات xz یا xyقابل تصویر نمودن است چون قائم بر سطح xy روی سطح قرار دارد لذا روی xy قابل تصویر نمودن نیست .
حال با تصویر روی xz داریم :
خسرو حجتی
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
انتگرال رویه ای را در صورتیکه رویه سهمیگون بوده و u=1 است محاسبه کنید . ( توضیح اینکه چون u=1 است بنابراین یعنی مقدار انتگرال رویه ای همان سطح رویه S است .(
مثال :
خسرو حجتی
حل :
خسرو حجتی
تصویر را روی صفحه xy می نماییم :
ادامه جواب :
خسرو حجتی
تعریف دیورژانس واگرائی :
اگر تابع برداری u در تمام نقاط تعریف شده مشتق پذیر باشد . دیورژانس تابع u عبارت است از :
: تابع برداری مفروض
خسرو حجتی
مثال :
دیورژانس u را در نقطه (1,1,1) حساب کنید :
خسرو حجتی
قضیه گرین در صفحه :
اگر R یک میدان درصفحه xy باشد که توسط منحنی C محدود شده ( منحنی بطوری است که هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع نکند ) اگرP و Q توابعی پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در اینصورت
خسرو حجتی
مثال :
با استفاده از قضیه گرین انتگرال خطی زیر را محاسبه نمائید .
حل :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
تبصره :
قضیه در حالتیکه منحنی بسته C طوری باشد که هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع کند نیز صادق است .
خسرو حجتی
مثال :
انتگرال خطی زیر را روی مسیر داده شده حساب کرده و سپس با استفاده از قضیه گرین مقدارانتگرال را بدست آورید و مقایسه کنید :
خسرو حجتی
روی مسیر
روی مسیر
طبق قضیه گرین می توان چنین نوشت :
حل :
خسرو حجتی
روی مسیر
روی مسیر
ادامه جواب :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
حال با استفاده از قضیه گرین
خسرو حجتی
نتیجه : S مساحت میدان R را می توان از یکی از فرمولهای زیر بدست آورد :
خسرو حجتی
مثال :
با استفاده از قضیه گرین سطح بیضی
را بدست آورید :
حل :
می دانیم معادلات پارامتری مسیر بدینگونه است :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
تبصره :
در مختصات قطبی مساحت از فرمول زیر به روش قبل محاسبه می شود :
خسرو حجتی
اولین فرم برداری قضیه گرین :
پارامتر طول قوس منحنی
بردار واحد مماس بر منحنیT
که برداری است عمود بر میدان و به طول
خسرو حجتی
تعبیر فیزیکی :
اگر نمایانگر جهت ومیزان شار یک سیال در نقطه در صفحه باشد انتگرال فوق عبارت از انتگرال مولفه ای از شار است که در جهت مماس بر منحنی است و بنام گردش در اطراف نقاط مرزی موسوم است .
F(x,y)
Flow
(x,y)
C
F
R
خسرو حجتی
قضیه دیورژانس (قضیه گرین در فضا)
مقدمه :
بردار نرمال خارجی یک رویه : برداریست که
بر رویه عمود بوده و جهت ان به طرف خارج رویه باشد .
خسرو حجتی
مثلا : اگر یک کره بمرکز مبدا مختصات و شعاع R
( X2 + Y2 + Z2 =R2 ) داشته باشیم ، این کره محور Z ها را در نقطه A و B قطع می کند آنگاه بردار نرمال خارجی این کره در دو نقطه A وB به ترتیب K و-K یعنی در جهت مثبت ومنفی محور Z ها خواهد بود یعنی
خسرو حجتی
قضیه دیورژانس :
عملا تبدیل انتگرال سه گانه به دوگانه و بالعکس است .
فرض کنید S یک رویه و V فضای داخلی آن و بردار یکه نرمال خارجی بطوریکه تابع برداری S عبارت از
که 1A و 2A و 3A توابع پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در اینصورت خواهیم داشت:
خسرو حجتی
خسرو حجتی
و یا
دیورژانس
که u و v و w زوایای بردار نرمال خارجی رویه S در جهت مثبت مثلثاتی با محورهای مختصات است .
خسرو حجتی
320
مثال : قضیه دیور ژانس را در مورد مساله زیر تحقیق کنید.
خسرو حجتی
حل :
: قضیه دیورژانس
خسرو حجتی
322
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
O
1
1
1
خسرو حجتی
ادامه حل : رویه S چنین است که از شش سطح تشکیل شده بنابراین داریم :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
ادامه جواب :
خسرو حجتی
3
خسرو حجتی
327
دومین فرم برداری قضیه گرین (حالت خاص)
( با توجه به اینکه
)
خسرو حجتی
328
مثال: اگر تابع اسکالری با مشتقات جزئی پیوسته مرتبه اول در میدان باز در صفحه باشد و میدانی در باشد که نقاط مرزی آن یک منحنی بسته ساده باشد ثابت کنید
g
s
xy
R
s
c
خسرو حجتی
329
حل:
می دانیم مشتق جهت دار در امتداد عبارت است از:
g
n
با جایگزاری داریم:
خسرو حجتی
330
قضیه استوکس: حالت کلی قضیه گرین : فرض کنید که رویه طوری باشد که تصاویر آن در صفحات مختصات بوسیله یک منحنی بسته مسدود شده باشد ، اگر
s
وx=g(y,z) وy=h(x,z)
معادلات رویه باشند و توابع پیوسته و دارای مشتقات
نسبی مرتبه اول باشند .آنگاه اگر
s
f,g,h
با توجه به اینکه
پیوسته و دارای مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته و
خسرو حجتی
331
مثال: قضیه استوکس را در مورد مسئله زیر تحقیق کنید.
حل:
می خواهیم تساوی زیر (فرمول استوکس) را نشان دهیم:
o
B
D
E
s
xy
تصویر روی
x
y
از چهارمسیر ، ، و تشکیل شده
خسرو حجتی
خسرو حجتی
332
طرف اول
o
B
D
E
x
y
1
خسرو حجتی
333
طرف دوم
است پس موازی صفحه چون رویه
s
xy
خسرو حجتی