تغییر مکان گرهی خرپا
الف) روش کار مجازی:
در این روش پس از تعیین نیروی داخلی اعضاء تحت اثر بارگذاری خارجی (N) بر نیروی سازه بدون بارگذاری با اعمال بار واحد به گره موردنظر در راستای خواسته شده نیروی داخلی اعضاء (n) تعیین می شود و نهایتاً جهت تعیین تغییر مکان گرهی از رابطه کلی زیر استفاده می نمایند:
در این رابطه:
کار مجازی انجام شده در تکیه گاه به واسطه نشست های تکیه گاهی در اثر واکنش های تکیه گاهی بوجود آمده تحت اثر بار واحد اعمال شده به گره موردنظر:
: واکنش تکیه گاهی بر اثر بار واحد : نشست تکیه گاهی
: تغییر طول محوری اعضاء : تغییر طول اعضاء در اثر تغییر دما ( ضریب انبساط حرارتی، تغییر دما ( در حالت افزایش دما مثبت درنظر گرفته می شود). : خطای ساخت (اگر عضو بلندتر ساخته شده باشد، مثبت درنظر گرفته می شود).
نکته: اگر بین دو گره عضوی موجود نبوده و جابجایی نسبی دو گره خواسته شده باشد، برای تعیین n از یک جفت بار واحد مخالف هم در دو گره و راستای خط واصل بین دو گره استفاده می شود. عضوی که بین دو تکیه گاه ثابت مفصلی قرار دارد، نیرویی تحمل نکرده و می توان آن را حذف نمود. عضو صلب () دارای تغییر طول ناچیز بوده و می توان از آن صرف نظر نمود.
توجه: در سازه معین نشست تکیه گاهی و تغییر درجه دما و خطای ساخت تولید هیچگونه تنشی در سازه بوجود نیاورده و فقط هندسی خارجی سازه تغییر می کند، زیرا در سازه معین امکان حرکت صلب معیاست، ولی در سازه نامعین باعث تنش های اضافی می گردد.
ب) روش کاستیگلیانو:
در این روش بر مبنای مشتق جزئی انرژی داخلی یک سیستم نسبت به عامل نیرویی بوده که تغییر مکان نقطه اثر آن نیرو را می دهد.
انرژی کرنش ارتجاعی در عضو محوری:
انرژی کرنش در عضو خمشی:
انرژی کرنش در حالت تنش برشی:
در سیستم خرپا رابطه آن به صورت زیر است:
در راستای تغییر مکان موردنظر نیروی پارامتری P را اعمال کرده، پس از محاسبه N و مشتق گیری مقدار حقیقی P را قرار می دهیم (در صورتی که باری بر گره موردنظر و در راستای مطلوب موجود نباشد، پس از مشتق گیری بار پارامتری را برابر صفر می گیریم).
توجه: عضو صلب انرژی جذب نکرده و در رابطه فوق وارد نخواهد شد.
تست خرپاها
102) در خرپای مقابل تعداد اعضای صفر نیرویی چند تاست؟
1) 8 2) 9 3) 10 4) 11
(4) اگر تعادل نیرو را در راستای عمود بر AD در گره های G, F, E بنویسیم، نتیجه می گیریم که نیروی اعضای GH, FI, EJ برابر صفر است که این خود نتیجه می دهد نیروی اعضای BJ, BI, BH نیز صفر است (با توجه به صفر بودن نیروی میله همراستای آنها) و اگر تعادل نیرو را در راستای عمود برBD در گره C بنویسیم، نتیجه می شود که نیروی عضو CJ برابر صفر است که به دنبال آن نتیجه می شود نیروی سه عضو AH, IH, JI که با CJ همراستا هستند، برابر صفر است. با نوشتن تعادل نیروها در راستای قائم در تکیه گاه B نتیجه می شود که نیروی عضو AB نیز برابر صفر است و در نتیجه خرپا جمعاً 11 عضو صفر نیرویی دارد.
103) در خرپای مقابل تعداد اعضای صفر نیرویی چند تاست؟
1) 7 2) 8 3) 9 4) 10
(3) با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم برای گره های H, G, D نتیجه می شود که نیروی اعضای IH, JG, DJ برابر صفر است. با نوشتن معادله تعادل در راستای عمود بر AE در گره J نتیجه می شود نیروی عضو CJ نیز برابر با صفر است و با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم برای گره C نتیجه می شود نیروی عضو CI برابر صفر است و باز اگر معادله تعادل را در راستای عمود بر AE در گره I بنویسیم، نتیجه می شود نیروی عضو BI نیز برابر صفر است. به راحتی با نوشتن معادلات تعادل در راستای افقی در گره های H, G, F نتیجه می شود نیروی سه عضو HG, AH, GF نیز برابر با صفر است و بنابراین خرپا جمعاً 9 عضو صفر نیرویی دارد.
104) در خرپای مقابل تعداد اعضای صفر نیرویی چند تاست؟
1) 6 2) 7 3) 8 4) 9
(3) با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم برای گره های E, B نتیجه می شود نیروی اعضای EL, BI برابر صفر است. با نوشتن معادل تعادل در راستای افقی برای گره هیا K, J نتیجه می شود نیروی اعضای IJ, KL نیز برابر با صفر است. با نوشتن معادلات تعادل در گره های L, I نتیجه می شود نیروی اعضای IC, IA، همچنین LF, LD برابر صفر است و بنابراین خرپا جمعاً 8 عضو صفر نیرویی دارد.
105) در خرپای مقابل تعداد اعضای صفر نیرویی چند تاست؟
1) 3 2) 4 3) 7 4) 11
(4) با نوشتن معادل تعادل در راستای قائم برای گره های I, G, C نتیجه می شود که نیروی اعضای DI, BG, CH برابر صفر است. با توجه به تقارن سازه و بارگذاری، نتیجه می شود که نیروی اعضای DH, BH دقیقاً برابر یکدیگر است که اگر معادله تعادل در راستای قائم را برای گره H بنویسیم، نتیجه می شود که نیروی این اعضاء برابر صفر است و حال با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم برای گره های D, B نتیجه می شود نیروی اعضای DJ, BF نیز برابر صفر است. نوشتن معادله تعادل در راستای افقی در گره E نتیجه می دهد نیروی عضو DE و بالتبع نیروی اعضای AB, BC, CD هم صفر است. بنابراین خرپا جمعاً 11 عضو صفر نیرویی دارد.
106) در خرپای مقابل تعداد اعضای صفر نیرویی چند تاست؟
1) 7 2) 8 3) 9 4) 15
(4) با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم در گره های K, F, E, C, B نتیجه می شود نیروی اعضای DK, FM, EL, CJ, BI برابر صفر است. باز اگر معادله تعادل در راستای قائم را در گره های M, L, J, I بنویسیم، نتیجه می شود نیروی اعضای DJ, DI، همچنین DM, DL برابر صفر است. نوشتن معادله تعادل در گره G نتیجه می دهد نیروی عضو FG و بالتبع نیروی اعضای EF, DE نیز برابر صفر است. چون بر سازه هیچ بار افقی وارد نمی شود، مولفه افقی عکس العمل تکیه گاه A برابر صفر است که از آنجا نتیجه می شود نیروی عضو AB و بالتبع نیروی اعضای CD, BC نیز برابر با صفر است و بنابراین خرپا جمعاً 15 عضو صفر نیرویی دارد.
107) در تست قبل نیروی عضو HI چقدر است؟
1) 2) 3) 4)
(3) با توجه به تقارن سازه، نتیجه می شود که عکس العمل قائم تکیه گاه های G, A برابر و بطرف بالاست. حال اگر برای خرپای ADH معادله تعادل را حول گره D بنویسیم، داریم:
بنابراین نیروی عضو HI و در نتیجه تمام اعضای افقی در راستای آن فشاری و مقدار آن برابر می باشد.
108) در خرپای مقابل نیروی عضو AB چقدر است؟
1) 2) 3) 4)
(4) با نوشتن معادلات تعادل در گره های F, D نتیجه می شود نیروی اعضای ED, AD، همچنین EF, CF برابر صفر است. اگر معادله تعادل را در راستای قائم در گره B بنویسیم، نتیجه می شود نیروی عضو BE برابر صفر است. حال اگر معادلات تعادل در گره E را بنویسیم، نتیجه می شود نیروی اعضای CE, AE هم صفر است و گویا نیروهای وارده تنها به دو عضو BC, AB وارد می شود. بنابراین نیروی این اعضاء کششی و برابر P می باشد.
109) در خرپای مقابل نیروی عضو HI چقدر است؟
1) -P 2) -1.5p 3) -2P 4) -2.5P
(3) با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم در گره C (و همچنین گره E) نتیجه می شود نیروی عضو CJ (و همچنین EL) برابر صفر است. اگر معادله تعادل را در راستای قائم در گره B (و همچنین گره F) بنویسیم، نتیجه می شود نیروی عضو BI (و همچنین FM) برابر P است و نیروی عضو BI (و همچنین FM) با نیروی P خنثی می شود. با توجه به تقارن سازه عکس العمل قائم تکیه گاه های G, A برابر P و به طرف بالا می باشد. حال اگر برای خرپای ADH معادله تعادل را حول گره D بنویسیم، داریم:
110) در تست قبل، نیروی عضوی DI چقدر است؟
1) 2) 3) 4)
(1) همانطوریکه ذکر شد، با نوشتن معادله تعادل در راستای قائم در گره B، نتیجه می شود نیروی عضو BI کششی و برابر P می باشد. حال اگر معادله تعادل را در راستای قائم در گره I بنویسیم، نیروی عضو DI بدست می آید که واضح است نیرویی فشاری می باشد. اگر فرض کنیم زاویه میله DI با راستای افق باشد، داریم:
111) در خرپای مقابل نیروی عضو JK چقدر است؟
1) 2) 3) 4)
(1) ابتدا عکس العمل قائم تکیه گاه A را با گرفتن تعادل حول تکیه گاه C بدست می آوریم و آنگاه مطابق شکل، تعادل را برای خرپای کوچکتر سمت چپ می نویسیم. مولفه افقی تکیه گاه A و نیروی اعضای HE, BE, BC, HK از گروه B می گذرد و بنابراین لنگر این نیروها حول B برابر صفر است.
(به طرف پایین)
(کششی)
خط تاثیر: اصل مولد ـ برسلاو:
1. خط تاثیر کیفی عکس العمل تکیه گاهی: تکیه گاه را حذف نموده و در راستای عکس العمل یک جابجایی واحد به سازه اعمال می کنیم. شکل این سازه در اثر این عمل همان خط تاثیر کیفی عکس العمل تکیه گاهی خواهد بود.
2. خط تاثیر کیفی نیروی برشی در یک نقطه: آن نقطه از سازه را بریده و یک جابجایی متناظر با نیروی داخلی برشی به سازه می دهیم. شکل سازه در اثر این عمل، خط تاثیر کیفی نیروی برشی در آن نقطه از سازه خواهد بود.
3. خط تاثیر کیفی لنگر خمشی در یک نقطه: آن نقطه از سازه را به مفصل تبدیل کرده و یک دوران متناظر با لنگر داخلی به سازه می دهیم. شکل این سازه در اثر این عمل، خط تاثیر کیفی لنگر خمشی آن نقطه می باشد.
تعریف خط تاثیر:
عبارت است از نمودار تغیرات واکنش تکیه گاهی یا نیروی برشی یا لنگر خمشی نقطه ای از سازه در اثر عبور بار واحد روی سازه. خط تاثیر به ما کمک می کند تا بدانیم بارهای متحرک (زنده) در کجای سازه قرار بگیرد تا واکنش تکیه گاهی و نیروی برشی و یا لنگر خمشی یک نقطه از تیر، ماکزیمم شود.
چند نکته:
خط تاثیر سازه معین به صورت خطی می باشد و اگر در اثر جابجایی یا دوران متناظر قسمتی از سازه به صورت منحنی درآید، خط تاثیر این قسمت صفر خواهد بود.
در تیرهای خط تاثیر، جز در تکیه گاه تیر را قطع نمی کند.
خط تاثیر نیروی برشی در قسمت آزاد کنسول ثابت و برابر یک می باشد.
خط تاثیر واکنش تکیه گاهی، لنگر خمشی، نیروی برشی در هر نقطه در هر محل مفصل میانی شکستگی دارد.
خط تاثیر لنگر خمشی، مفصل میانی کلاً صفر است.
تست های خط تاثیر
223) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه مقابل صحیح نیست؟
(4) گزینه های اول تا سوم صحیح هستند و گزینه چهارم نادرست است. اگر بخواهیم خط تاثیر VC را رسم کنیم، باید سازه را از گره C تفکیک کنیم و گره C در سازه سمت راست را یک واحد به سمت بالا جابجا کنیم. نکته خیلی مهم در رسم خط تاثیر برش یک نقطه، آن است که اگر سازه در آن نقطه پیوسته باشد، برای آنکه کار لنگر صفر شود، باید شیب خط تاثیر برش در چپ و راست آن نقطه برابر باشد، ولی اگر آن نقطه مفصل باشد، لنگر خمشی در آن نقطه صفر است و چه شیب های چپ و راست خط تاثیر در آن نقطه برابر باشند و چه نباشند، کار لنگر صفر است و البته در خط تاثیر برش، شیب های چپ و راست برابر نخواهند بود. خط تاثیر VC به صورت زیر می باشد و می بینیم که چون C مفصل است، شیب ها در چپ و راست C برابر نیستند.
224) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه مثابل صحیح نیست؟
(1) خط تاثیر RA صحیح نیست. چون باید شیب خط تاثیر در تکیه گاه A صفر باشد، والا لنگر تکیه گاه A هم کار انجام می دهد. برای رسم خط تاثیر RA با توجه به گیردار بودن تکیه گاه A باید AB را به صورت صلب یک واحد به سمت بالا جابجا کنیم و شکل سازه را با توجه به تکیه گاه ها و مفصل های خمشی و شرایط دیگر رسم کنیم که نتیجه می شود خط تاثیر RA به صورت زیر می باشد:
225) کدام یک از خطوط تاثیر زیرمربوط به سازه مقابل صحیح نیست؟
(1) خط تاثیر RA صحیح نیست و اگر AB را به صورت صلب یک واحد به سمت بالا جابجا کنیم، با توجه باینکه در B مفصل برشی داریم و برش منتقل نمی شود، تیر BCDE هیچگونه شکلی نخواهد داشت و خط تاثیر RA به صورت شکل زیر است. نکته مهم در مورد سازه هایی که دارای مفصل برشی هستند، این است که اگر برای رسم یک خط تاثیر، تغییر شکلی به سازه اعمال شود، در چپ و راست مفصل برشی تغییر مکان نسبی وجود دارد و جابجایی در چپ و راست مفصل برشی برابر نیست، اما همواره باید شیب در چپ و راست مفصل برشی برابر باشد، مگر اینکه خط تاثیر لنگر در محل مفصل برشی رسم شود که در آنجا ما خودمان این تغییر شیب را ایجاد می کنیم و اگر در خط تاثیر MB دقت شود، نکات فوق در آن دیده می شود.
226) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه تست قبل صحیح نیست؟
(1) خط تاثیر (VC)R صحیح نیست، چون گره C مفصل نیست. بنابراین باید خط تاثیر برش (چه (VC)R و چه (VC)L) در چپ و راست گره C شیب های برابر داشته باشد. اگر خط تاثیر (VC)R را رسم کنیم، به صورت شکل زیر خواهد بود که شیب در چپ و راست گره C، صفر است.
227) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه مقابل صحیح نیست؟
(3) خط تاثیر VB صحیح نیست، چون در خط تاثیر VB در گره C که مفصلی هم نیست تغییر شیب داریم و شیب ناگهان صفر شده است. با توجه باینکه در خط تاثیر برش یک نقطه مفصلی، شیب خط تاثیردر چپ و راست آن نقطه برابر نیستند، خط تاثیر VB به صورت زیر است:
228) در تست قبل اگر یک بار گسترده به شدت 1t/m و به طول زیاد از روی سازه عبور کند، تکیه گاه D برای چه عکس العملی باید طراحی شود؟
1) 3.6t 2) 4.2t 3) 5t 4) 7.2t
(3) خط تاثیر عمل تکیه گاه D به صورت زیر است. با توجه به شکل اگر بخواهیم عکس العمل مثبت (به طرف بالا) تکیه گاه D ماکزیمم شود، باید دهانه های DE, CD بارگذاری شوند و اگر بخواهیم عکس العمل منفی (بطرف پایین) تکیه گاه D ماکزیمم شود، باید دهانه های BC, AB بارگذاری شوند. عکس العمل تکیه گاه D را در این دو حالت و مشخص است که عکس العملی که مقدار بیشتری دارد، تعیین کننده طراحی است. البته با مقایسه مساحت مثلث های بالا و پایین محور نیز به راحتی می توان نتیجه گیری کرد.
229) در تست 227 اگر یک بار گسترده به شدت 1t/m و به طول 5m از روی سازه عبور کند، تکیه گاه D برای چه عکس العملی باید طراحی شود؟
1) 2.5t 2) 3.5t 3) 3.75t 4) 4t
(3 با توجه به خط تاثیر RD برای بدست آوردن ماکزیمم عکس العمل مثبت(بطرف بالا) تکیه گاه D باید بار گسترده به طول 5m را در منتهی الیه سمت راست تیر وارد کرد و برای بدست آوردن ماکزیمم عکس العمل منفی (بطرف پایین) تکیه گاه D باید بار گسترده را به صورت متقارن در چپ و راست مفصل B وارد کرد. اگر مقدار خط تاثیر در فاصله 5 متری از E را y بنامیم، با توجه به تشابه مثلث ها y بدست می آی و A- نیز با کاستن مساحت دو مثلث یکسان از مثلث بزرگتر بدست می آید.
230) در سازه زیر بار گسترده یکنواخت در چه دهانه هایی وارد شود تا برش ایجاد شده در سمت چپ تکیه گاه C، ماکزیمم شود؟
1) 1.2 2) 1.3 3) 2.3.4 4) 2 یا 3
(1) خط تاثیر (VC)L به صورت زیر است و علت اینکه در قسمت BC خط افقی دارد، این است که چون سازه معین است، می دانیم خط تاثیرهای آن به صورت خطی می باشد و چنانچه BC افقی نباشد و شیب داشته باشد، بنا به پیوستگی شیب در گره C (که مفصل نیست) قسمت CD هم خطی شیب دار خواهد بود و بناچار خط تاثیر در قسمت DEF خطی نبوده و منحنی خواهد شد که قابل قبول نیست. با توجه به خط تاثیر زیر، بارگذاری در دهانه های 3.4.5 تاثیری روی (VC)L ندارد و برای ماکزیمم شدن آن باید دهانه های 1.2 بارگذاری شود.
231) برش ماکزیمم مطلق در یک تیر ساده به طول 6m ناشی از اعمال یک بار زنده گسترده به شدت 1t/m و طول زیاد و همچنین یک بار متمرکز زنده برابر 2t چقدر است؟
1) 3t 2) 4t 3) 5t 4) 6t
(3) برش ماکزیمم مطلق در صورتی که جهت بارهای وارده به سازه اعم از بارهای متمرکز و گسترده تغییر نکند (مثلاً جهت همه بارها مانند بارهای ثقلی بطرف پایین باشد) همواره در تکیه گاه اتفاق می افتد. با توجه به خط تاثیر RA برای آنکه برش ماکزیمم مطلق را بدست آوریم، باید در 6m دهانه تیر بار زنده گسترده را وارد کنیم و بار متمرکز 2 تنی را در فاصله بسیار کوچکی از یک تکیه گاه وارد کنیم (مطابق شکل) که در این صورت عکس العمل تکیه گاه مجاور بار متمرکز که همان برش ماکزیمم مطلق است، با استفاده از خط تاثیر بدست می آید:
232) برش ماکزیمم مثبت در یک تیر ساده به طول 6m ناشی از اعمال یک بار زنده گسترده به شدت 1t/m و طول زیاد یک جفت بار زنده متمرکز برابر 1.2t, 7.2t به فاصله ثابت 2m چقدر است؟
1) 9t 2) 9t 3) 10t 4) 11t
(4) روش حل مانند تست قبل است، فقط چون اینجا دو بار متمرکز داریم، بار متمرکز بزرگتر (2/7تنی) را در تکیه گاه می گذاریم و بار 2/1 تنی را به فاصله 2 متری از تکیه گاه اعمال می کنیم و با استفاده از خط تاثیر، عکس العمل تکیه گاه A را که همان برش ماکزیمم مطلق است، بدست می آوریم. در اینجا چون بار 2/7 تنی در سمت چپ است، بنابراین عکس العمل تکیه گاه سمت چپ را محاسبه کرده ایم و اگر بار 2/7 تنی در سمت راست باشد، با عکس العمل تکیه گاه سمت راست را محاسبه کنیم که البته نتیجه در دو حالت یکسان است.
17