تحقیق تحلیل ارتعاشی تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند FGM


واحد الیگودرز

عنوان :
تحلیل ارتعاشی تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند (FGM)

گردآورنده :
…..

شماره دانشجویی :
….

رشته :
مکانیک

استاد مربوطه :
جناب آقای دکتر ….

فهرست مطالب

فصل اول: آشنایی با مواد هدفمند و کاربرد آنها
3
فصل دوم: ساختار میکروسکوپی و خواص مکانیکی مواد هدفمند ZrO2/NiCr
9
فصل سوم: بررسی رفتارهای تصادفی صفحات ساخته شده از مواد FGM در محیط های اختلالی صوتی و گرمایی

21
فصل چهارم: آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند (FGM) با تکیه گاه های ساده

28
فصل پنجم: استفاده از روش تحلیلی برای آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند (FGM)

51
فصل ششم: ارتعاش آزاد و اجباری تیر FGM قرار گرفته در معرض بار هارمونیک متحرک متمرکز

72
فصل هفتم: تحلیل ارتعاش آزاد تیر ساندویچی با هسته FGM به روش بدون المان گالرکین

94
فصل هشتم: بهینه سازی فرکانس طبیعی تیر های FGM دوسویه
114
فصل نهم: مدل سازی المان محدود تیر ساخته شده از مواد FGM با استفاده از لایه های پیزوالکتریک مجتمع برای کنترل ارتعاش

145
فصل دهم: تحلیل ارتعاشی تیر یک سر درگیر کامپوزیتی چند لایه، با استفاده از قانون نمایی، بوسیله نرم افزار ABAQUS

163

فصل اول
آشنایی با مواد هدفمند و کاربرد آنها

1.FGM چیست؟
2. اجزاء مواد FGM و روش های ساخت آن
3. اهمیت تحلیل و بررسی مواد FGM

آشنایی با مواد هدفمند و کاربرد آنها
1.FGM چیست؟
در سالهای اخیر با توسعه موتورهای پرقدرت صنایع هوافضا ، توربین ها و راکتورها و دیگرماشین ها، نیاز به موادی با مقاومت حرارتی بالا و مقاومتر از لحاظ مکانیکی احساس شده است . در سالهای قبل در صنایع هوافضا از مواد سرامیکی خالص جهت پوشش و روکش قطعات با درجه کارکرد بالا استفاده می شد .این مواد عایق های بسیار خوبی بودند ولی مقاومت زیادی در برابر تنش های پس ماند نداشتند. تنشهای پس ماند در این مواد مشکلات زیادی از جمله ایجاد حفره و ترک می نمود .بعدها برای رفع این مشکل از مواد کامپوزیت لایه ای استفاده شد.تنشهای حرارتی در این مواد نیز موجب پدیده لایه لایه شدن می گردید. با توجه به این مشکلات طرح ماده ای مرکب که هم مقاومت حرارتی و مکانیکی بالا داشته وهم مشکل لایه لایه شدن نداشته باشد.ضرورت پیدا کرد. بنابر مشکلاتی که در صنایع مختلف برای مواد تحت تنشهای حرارتی بالا وجود داشت، دانشمندان علم مواد در 1984 در منطقه سندایی ژاپن در طول پروژه یک هواپیمای فضایی برای اولین بار مواد FGM را به عنوان موادی با تحمل حرارتی بالا پیشنهاد نمودند.
FGM مخفف Functionally Graded Material می باشد . FGM ها مواد کامپوزیتی با ریز ساختار ناهمگن می باشند ، که خواص مکانیکی آنها بطور ملایم و پیوسته از یک سطح به سطح دیگر جسم تغییر میکند. تا مدت ها افزایش یکنواختی در ریز ساختار مورد توجه بوده است تا بدین وسیله خصوصیات ماده بهبود یابد . حال آنکه امروزه مواد FGM همراه با غیر یکنواختی های فضایی که عمدا در آنها ایجاد می شود محبوبیت زیادی در محیط های دمایی بالا کسب نموده اند .FGM ها بیشتر برای پوشش دهی عایق حرارتی ((Thermal Barrier Coating به کار می روند . FGM ها موادی کامپوزیتی می باشند که از نظر میکروسکوپی غیر همگن بوده و خصوصیات ساختاری شامل نوع توزیع ، اندازه فاز ها ، به طور تدریجی از سطحی به سطح دیگر تغییر می کند و همین تغییر تدریجی منجر به تغییر تدریجی خواص در FGM می شود. این مواد عموما از مخلوط سرامیک با فلز و یا ترکیبی از فلزات مختلف ساخته می شوند . ماده سرامیک مقاومت دمایی بالایی را به خاطر رسانایی گرمایی کم دارا می باشد و از طرفی ماده فلزی چکش خوار ، از شکستگی یا ترک به خاطر تنش حرارتی ممانعت به عمل می آورد.
در ساده ترین FGM ها دو جزء ماده مختلف به طور نتایجی از یکی به دیگری ،همانطوری که در شکل الف توضیح داده شده است تغییر می کند و همچنین عناصر مواد می توانند به صورت غیر پیوسته و مرحله به مرحله به شکل ب تغییر کنند . هر دوی این حالات از نظر ساختاری FGM در نظر گرفته می شوند.
ایده اصلی این ساختار ابتدا در سال 1972 برای کامپوزیت ها و مواد پلیمری ارائه شد و مدل های مختلفی برای المانی ترکیبی در پلیمریزاسیون با کاربرد های ممکن برای ساختار های طبقه بندی شده پیشنهاد می شد . با این وجود تا سال 1980 بررسی و تحقیق واقعی پیرامون چگونگی ساخت و ارزیابی ساختار های طبقه ای وجود نداشت .
به طور معمول این چنین ساختار هایی به سختی ساخته می شوند و حفظ تنوع ترکیبی به وسیله روش های مرسوم بسیار سخت و یک پروسه زمان بر می باشد . خصوصیات آنها در دماها و زمان های لازم ، با نفوذ داخلی ، زمخت شدن و واکنش های شیمیایی به تنزل می گراید . این پروسه با Microwave Heating به طور موثر به دست می آید ( شکل ج برای کاربید تنگستن) . ماکروویو به طور انتخابی پودر فلز را گرم نموده و در مواجهه با حجم فلز در دمای اتاق منعکس می شود . این کار می تواند تا اتصال فلز با سرامیک ادامه یابد و همچنین به توسعه پوشش های سرامیکی روی فلزات یا پوشش های فلزی روی سرامیک ها بینجامد .

الف ب
ج
نوع رایج FGM ها ترکیب پیوسته ای از سرامیک وفلز می باشد. این مواد از اختلاط پودر فلز و سرامیک بدست می آیند. تغییر فلز وسرامیک از یک سطح به سطح دیگر کاملا پیوسته می باشد. بگونه ای که یک سطح از جنس سرامیک خالص و یک سطح فلز خالص است. بین دو سطح ترکیب پیوسته ای از هردو می باشد. خواص مکانیکی نیز با توجه به نوع ترکیب تغیییرات پیوسته ای در جهت ضخامت دارد. این مواد با توجه به پیوستگی ترکیب مواد تشکیل دهنده دارای خواص مکانیکی موثری نسبت به مواد کامپوزیت لایه ای می باشد.
این مواد در ساخت صفحات و پوسته های مخازن راکتورها و، توربین ها ودیگر المانی ماشین ها کاربرد بالایی دارند ، زیرا این قطعات آمادگی بالایی جهت واماندگی ناشی از کمانش حرارتی دارند.از دیگر مزایای مواد FGM نسبت به مواد کامپوزیت لایه ای ،عدم گسستگی در محل اتصال لایه ها می باشد، زیرا همانطور که گفته شد در مواد FGM ترکیب سرامیک و فلز پیوسته می باشد. البته شایان ذکر است که FGM ها می توانند به جای دو فاز فلز و سرامیک از دو فاز فلزی نیز تشکیل شوند.
2. اجزاء مواد FGM و روش های ساخت آن:
جزء فلزی مواد FGM می تواند آلومینیوم، مس ، کرم ، نیکل ویا سرب باشد. قسمت سرامیک نیز می تواند از جنس سرامیک بدون اکسید- بدون فلز مانند Si3N4 ,SiC ، سرامیک های بدون اکسید – بافلز ZrC,TiC ، سرامیک های با اکسید- بدون فلز SiO2 و یا سرامیک های با اکسید – با فلز Al2O3 و ZrO2 انتخاب شود.
برای تهیه مواد FGMچندین روش وجود دارد،که از جمله آنها می توان به مواد زیر اشاره نمود.
1- CVD/PVD (نشت بخار مواد ،توسط روشهای شیمیایی یا فیزیکی)
2- Plasma Sprays
3- متالوژی پودر
4- سنتز احتراقی خود انتشار
قبل از ساخت ماده FGM باید مشخص شود که فلز و سرامیک به چه صورتی توزیع شده است،در بعضی مقاله ها هدف یافتن یک پروفیل با توجه به کمینه کردن یک کمیت است. در مواقع دیگر پروفیل توزیع فلز وسرامیک انتخاب می شود ویک پارامتر برای اهداف بهینه یا کمینه کردن یک کمیت در آن در نظر گرفته می شود.
مواد تابعی یا هدفمند (FGM) از نظر میکروسکپی غیر هموژن بوده و خواص مکانیکی آنها به طور پیوسته از یک سمت سازه تا سمت دیگر تغییر می کند. این تغییرات مواد به صورت تدریجی با تغییر نسبت حجمی دو ماده ساختاری ایجاد می شود. ماده ساختاری سرامیک به علت ضریب انتقال حرارت کم و مقاومت زیاد در مقابل درجه حرارت، درجات حرارت بسیار بالا را تحمل کرده و ماده ساختاری فلز انعطاف پذیری لازم را فراهم می کند. به علاوه اختلاط سرامیک و فلز با تغییرات پیوسته از یک سطح تا سطح دیگر در یک سازه به آسانی قابل ساختن می باشد. به علت تغییرات پیوسته خواص مکانیکی مشکلات عدم پیوستگـی که در سازه های کامپوزیت وجود دارد در مواد FGMبه وجود نمی آید. این مواد ابتدا برای ایجاد سپر حرارتی در سازه های مختلف است. مزیت استفاده این مواد این است که قادر به تحمل درجات حرارت بسیار بالا و اختلاف درجه حرارت بسیار بالا بوده و مقاوم در مقابل خوردگی و سایندگی بوده و مقاومت بالایی در مقابل شکست دارند. در حال حاضر از این مواد برای سازه هایی که در مقابل درجات حرارت بالا باید مقاوم باشند استفاده می شود. از نکات بسیار برجسته این مواد بهینه نمودن تغییرات تنش در آنها با تغییر مناسب پروفیل تغییرات مواد ساختاری است.
3. اهمیت تحلیل و بررسی مواد FGM:
ویژگی مهمی که مواد هدفمند را از سایر مواد متمایز می سازد تغییر تدریجی و آرام خواص مواد در جهت های دلخواه و مطابق با نیازهای طراحی می باشد. این ویژگی سبب شده تا از مواد آنگونه که مورد نیاز است نه آن گونه که وجود دارند استفاده شود. بدیهی است تغییر هدفمند خواص مواد در جهت های مختلف موجب پیچیدگیهای در تحلیل سازه هایی که از این مواد ساخته می شوند خواهد شد و لکن نتایج حاصله از کاربرد این مواد آنقدر مهم و با ارزش هستند که طراحان دشواری های مربوط را پذیرفته و در تکاپوی تحلیل های دقیق تری برای سازه های مختلف و شرایطی که بایستی تحت آن کار کنند می باشند. حل تحلیلی چنین سازه هایی با پیچیدگیهایی که دارند از اهمیت و جایگاه ویژه ای برخوردار است و در بعضی از موارد این تحلیل ها انگشت شمارند . لذاست که تحلیل غیرخطی تیرهای FGM به عنوان یکی از المانهای پرکاربرد در سازه های مهندسی ارزش بسیار بالایی داشته و علاوه بر استفاده از نتایج آن در کاربردهای مختلف موضوع بسیار خوب و قابل توجهی برای انتشار مقالات ژورنالی می باشد. تحلیل خطی سازه ها مبتنی بر فرض های ساده کننده ای است و این فرضیات در محدوده های معین و تعریف شده ای اعتبار دارند و در خارج از محدوده های تعریف شده بایستی از تحلیل های غیر خطی که عمومیت بیشتری دارند استفاده نمود طبیعی است هر چه عمومیت مساله بیشتر و فرضیات ساده کننده کمتر شود تحلیل سازه مشکل تر و بعضاً لاینحل خواهد شد. تحلیل غیرخطی تیر FG به روش تحلیلی و با استفاده از تئوری Layerwise موضوع جدیدی است و تاکنون مقاله ای در این خصوص منتشر نگردیده است. در این تحلیل عبارات غیرخطی هندسه از نوع Von Karman در نظر گرفته می شوند. پس از بدست آوردن معادلات غیرخطی حاکم بر تیر FG حالت ها و مدلهای مختلف مواد FGM با شرایط تکیه گاهی مختلف متقارن تیر مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در ادامه به منظور عمومیت بخشیدن به شرایط تکیه گاهی و یکسان نبودن آن در دو طرف تیر از تکنیک Perturbation استفاده خواهد شد. این تکنیک که اغلب برای مسائل غیرخطی بکار گرفته می شود یک روش تحلیل ـ تقریبی است که از دقت بسیار بالایی برخوردار است و استفاده از این تکنیک سبب خواهد شد تا مشکل یکسان بودن تکیه گاه ها در دو طرف که در روش قبلی وجود داشت در این روش از بین رفته و گستره نتایج بدست آمده وسیعتر و کاربردهای بیشتری پیدا کند.

فصل دوم
ساختار میکروسکوپی و خواص مکانیکی مواد هدفمند ZrO2/NiCr

1. مقدمه
2. مواد و پروسه های آزمایشی
2.1 مواد
2.2 تست مکانیکی
2.3 خصوصیات مواد
3. نتایج
3.1 ساختار میکروسکوپی
3.2 خواص مکانیکی
4. مباحث
4.1 تاثیر ساختار میکروسوپی بر سختی
4.2 تاثیر ساختار میکروسکوپی بر قابلیت چکش خواری
4.3 تاثیر ساختار میکروسکوپی بر استحکام خمشی
4.4 تاثیر ساختار میکروسکوپی بر مدول الاستیک
5. نتیجه نهایی
مراجع
ساختار میکروسکوپی و خواص مکانیکی مواد هدفمند ZrO2/NiCr

چکیده:
در این فصل ما قصد داریم تا خواص مکانیکی و همچنین ساختارمیکروسکوپی یک نوع از مواد FGM را مورد بررسی قرار داده، تا در شروع پروژه آشنایی خوبی با ساختارها و خواص مواد هدفمند پیدا کنیم. سپس در فصول بعد تحلیلی ارتعاشی تیرهای مختلف FGM را با متدهای متفاوت مورد بررسی قرار خواهیم داد. ماده FGM مورد نظر در این بررسی ZrO2/NiCr خواهد بود، که با استفاده از متالورژی پودر ساخته شده است.
بررسی میکروسکوپی نشان می دهد که ترکیب ماده و ساختار میکروسکوپی FGM ها، به تدریج تغییر می کند. توزیع خواص مکانیکی در FGM ها از طریق تست نمونه های کامپوزیتی همگن و متجانس (غیرFGM) با نسبت های حجمی متفاوت ZrO2 بدست می آید. نتایج آزمایش نشان می دهد که توزیع خواص مکانیکی، به شدت به تغییرات و واریاسیون ساختار میکروسکوپی بستگی دارد. همچنین فهمیده شده است که با افزایش ZrO2 سختی افزایش و چکش خواری آن کاهش می یابد، که دلیل آن تغییرات فاز ماتریسی از فلز به سرامیک است.
مشاهده شده است، که استحکام خمشی و مدول الاستیک با افزایش نسبت حجمی ZrO2 از 0% به 40% کاهش می یابد، اما این میزان با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 50% به 100% افزایش می یابد. این امر اساسا به دلیل اتصال ضعیف سطح مشترک سرامیک/فلز می باشد.
1. مقدمه:
مواد هدفمند یا FGM ها مفهوم جدید و مفیدی از ترکیب مواد مختلف و ارائه تغییرات فضایی در ترکیب و خواص مواد عرضه کرده اند. مواد هدفمند تشکیل یافته از سرامیک و فلز کاندیدایی امید بخش در کاربردهایی با دمای بالا در آینده می باشند. جزء سرامیکی FGM ها تاثیر سد و عایق حرارتی را ایجاد کرده و از خوردگی و اکسیداسیون فلز جلو گیری می کند، ونیز جزء فلزی آن استحکام و چقرمگی ماده را به وجود می آورد. بررسی پاسخ های مکانیکی مواد هدفمند در فرآیند ساخت و طرح بهینه اهمیت دارد. خواص مکانیکی مختلف معمولا به روش های میکرو مکانیکی یا روش المان محدود مشخص می شوند. اما آزمایشات کمی برای بررسی رابطه میان خواص مکانیکی و ترکیب مواد و نیز ساختار های میکروسکوپی مواد هدفمند صورت گرفته است.
به دلیل خواص مکانیکی و حرارتی بالا مواد تشکیل دهنده، مواد هدفمند ZrO2/NiCr می تواند عملکرد خوبی را در محیط های سخت مانند دماهای فوق العاده بالا و گرادیان های دمایی زیاد از خود نشان دهند.
در عین حال بررسی های آزمایشگاهی در مورد پاسخ مکانیکی مواد هدفمند ZrO2/NiCr اندک است. Zhu و همکارانش، تست های مکانیکی بر روی یک نمونه از مواد هدفمند ZrO2/NiCrشش لایه انجام دادند و دریافتند که خواص مکانیکی FGM، گرادیان توزیع مختلفی را با تغییر ترکیب و نسبت اجزاء سازنده نشان می دهد. با استفاده از متالورژی پودر Jin و همکارانش ، ماده هدفمند ZrO2/NiCr را با نسبت حجمی NiCr که از 0% تا 50% افزایش می یافت، ساختند. آنها دریافتند که با افزایش NiCr، مدول الاستیک کاهش و چقرمگی شکست افزایش می یابد. اما تحقیقات بیشتری برای درک کامل تاثیر ترکیبات مواد و ساختارهای میکروسکوپی گوناگون بر روی پاسخ های مکانیکی ماده هدفمند ZrO2/NiCr مورد نیاز است.
در این فصل، ما یک نمونه ماده هدفمند ZrO2/NiCr که از یازده لایه تشکیل یافته و بوسیله متالورژی پودر ساخته شده است را مورد مطالعه قرار می دهیم و خصوصیات ساختار میکروسکوپی آنرا توسط یک میکروسکپ اپتیکال نوری آزمایش می کنیم. توزیع خواص مکانیکی در FGM ها، مستقیما با تست مکانیکی انجام شده برروی نمونه های مواد غیر FGM بدست آمده است. در پایان، اسکن میکروسکوپی الکترونی (SEM) بر روی سطح شکست را برای آنالیز مکانیزم شکست حاکم بر FGM ها انجام داده ایم.
2. مواد و پروسه های آزمایشی:
2.1 مواد:
پودر ZrO2 تجاری قابل دسترس و پودر آلیاژیNi-20wt.%Cr (NiCr) (پودر آلیاژی NiCr با 20% وزنیCr)، بعنوان پودر خام مورد استفاده قرار گرفته است. خصوصیات این پودر خام در جدول 1 بیان شده است. برای این بررسی یک نمونه ماده هدفمند ZrO2/NiCr یازده لایه توسط متالورژی پودر ساخته شده است، که آنرا در شکل 1 مشاهده می کنید. پودر های ZrO2 و NiCr با نسبت های حجمی مختلف مطابق با نقشه مخلوط شده اند. مخلوط به صورت لایه لایه روی هم انباشته شده و با پرس سرد در فشار 30Mpa در قالب فولادی پرس شده تا به شکل یک دیسک فشرده خام درآید. برای حفظ توزیع ترکیب طرح شده، لایه انباشته شده قبل از آنکه روی لایه بعدی قرار بگیرد، با فشار کمتری فشرده شده است. سپس فشردگی خام تحت شرایط پرس گرم در دمای 1300oC و فشار 5Mpa به مدت 1.5 ساعت، تفجوشی می شود. به طریق مشابه، یازده نمونه ماده هدفمند با کسرهای حجمی مختلف ZrO2 ساخته شد. برای بررسی ساختار میکروسکوپی و تست های مکانیکی، نمونه ها بوسیله اره الماسه بریده و سطح آن ها پولیش و صیقل کاری کرده ایم.

2.2 تست مکانیکی:
توزیع سختی ویکرز در مواد FGM مستقیما با میزان تورفتگی یک بار 10Kgf بر روی هر لایه لایه از نمونه مورد آزمایش مشخص می شود. توزیع استحکام خمشی و مدول الاستیک در مواد هدفمند بوسیله انجام آزمون خمش در سه نقطه از نمونه های غیر FGM، انجام می گیرد، که آنرا در شکل 2 مشاهده می کنید. آزمون خمش سه نقطه،بایک ماشین یونیورسال Instron 5569 تحت شرایط کنترل جابجایی به میزان 0.5mm/min انجام می شود. برای هر ترکیب ماده، پنج نمونه تست انجام شده است.

2.3 خصوصیات مواد:
یرای تشخیص ساختار میکروسکوپی FGM ها از میکروسکوپ اپتیکال (Olympus – SZX12) استفاده کردیم. جرم مخصوص نمونه های تفجوشی شده بوسیله روش ارشمیدس اندازه گیری شد. در نمونه هاس شکسته شده در طول تست، سطح شکست بوسیله میکروسکوپ الکترونی آزمایش و بازرسی شد. (SEM, Philips – XH3)
3. نتایج:
3.1 ساختار میکروسکوپی:
ساختار میکروسکوپی ZrO2/NiCr تفجوشی شده در شکل 3 نشان داده شده است، که در این شکل فازهای سفید و خاکستری به ترتیب NiCr و ZrO2 هستند. این میکرو گراف ها به خوبی تغییرات ساختاری مواد FGM را نشان می دهد. در عین حال فصل مشترک ماکروسکوپی واضحی حتی روی سطح واصل بین دولایه متفاوت که در آنجا پرش ترکیب ماده وجود دارد، مشاهده نشده است (در شکل 3 با علامت( مشخص شده است). شکل 3 تغییر ساختار میکروسکوپی ماده FGM را نشان می دهد. ساختارهای میکروسکوپی مختلف بوسیله تغییر تدریجی فاز ماتریسی از فلز به سرامیک با افزایش ZrO2 مشخص شده است. در سمت غنی از فلز، ذرات سرامیک در ماتریس فلزی پراکنده اند. با افزایش ZrO2 دسته های سرامیکی شکل می گیرند و رشد بیشتر آنها باعث شکل گیری ساختار شبکه ای می شود.سپس شبکه فلز به تدریج کاهش یافته و تبدیل به ذرات پراکنده و مجزای فلز در ماتریس سرامیک و در سمت غنی از سرامیک می شود.
از سوی دیگر فرآیند پرس گرم یک روش موثر برای ایجاد نمونه های متراکم است. تراکم نسبی نمونه های متراکم مواد FGM و غیر FGM در شکل 4 نشان داده شده است. نمونه هدفمند سطح پایین تخلخل را نشان داده و چگالی نسبی (وزن مخصوص) آن 97.2% است، در حالی که این میزان برای نمونه غیر هدفمند برابر با 94.5% می باشد.

3.2 خواص مکانیکی:
شکل 5 رابطه میان سختی ویکرز و ترکیب مواد، در ماده FGM 'ZrO2/NiCr' را نشان می دهد. وابستگی شدید سختی به کسر حجمی ZrO2 قابل مشاهده است. با افزایش ZrO2، سختی به طور یکنواخت از مقدار 1.79Gpa به 11.14Gpa افزایش می یابد.
منحنی های بار – تغییر شکل خمشی در شکل 6 نشان داده شده است. می توان از این منحنی ها دریافت که نسبت حجمی ZrO2 تاثیر چشمگیری بر قابلیت چکش خواری نمونه های غیر FGM دارد. همانطور که در شکل 6 ملاحظه می کنید، در نمونه های با کسر حجمی کمتر از 40%، با افزایش ZrO2 خاصیت چکش خواری به تدریج کاهش می یابد. اما در نمونه هایی با کسر حجمی بیش از 50% ZrO2، شکست بصورت ترد اتفاق می افتد.

شکل 7 استحکام خمشی را نسبت به ترکیب مواد در ماده هدفمند نشان می دهد. با افزایش نسبت حجمی ZrO2 از 0% تا 40% استحکام خمشی به تدریج از 606.7Mpa به 263.3Mpa کاهش می یابد. اما با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 50% تا 100% مقدار استحکام خمشی از 260Mpa به 538.7Mpa افزایش می یابد.
مدول الاستیک از قسمت خطی اولیه منحنی بار – تغییر شکل خمشی محاسبه می شود. (شکل 6). توزیع حاصل از مدول الاستیک در شکل 8 نشان داده شده است. با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 0% تا 40% مدول الاستیک به تدریج از 194.2%Gpa به 145.1%Gpa کاهش می یابد، اما با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 50% تا 100% این مقدار از 119.5Gpa به 201Gpa افزایش می یابد. شکل 9(a)-(d) میکرو گراف های SEM سطوح شکست نمونه های غیر هدفمند انتخاب شده که به ترتیب حاوی 10%، 30%، 50% و 70% ZrO2 هستند را نشان می دهد. شناسایی مقطع شکست کامپوزیت ZrO2 10%، بوسیله مورفولوژی گودی (شناخت شکل گودی ها) در ماتریس فلز توصیف شده است، که مشخص کننده فرآیند شکست نرم است. جوانه زنی، رشد و تجمع (بهم جوش خوردگی) حفره های بسیار ریز در شکل 9(a) نشان داده شده است. همان طور که در شکل 9(b) نشان داده شده است، مورفولوژی سطح شکست کامپوزیت ZrO2 30%، بسیار پیچیده است. در این وضعیت، گودی ها در ماتریس فلز، دسته های ذرات سرامیکی و فضاهای خالی بین آن دو در سطح شکست قابل مشاهده است. خصوصیت مقطع شکست کامپوزیت ZrO2 30%، به دلیل ناپیوستگی ماتریس فلز که به علت دسته های ذرات سرامیک ایجاد شده است، می باشد.

مقطع شکست کامپوزیت های ZrO2 50% و 70% نیز به وسیله ذرات فلز جدا شده و نشانه آن ها در سطح شکست، ماتریس سرامیک می باشد، که در شکل 9(b) و 9(c) نشان داده شده است. همچنین ذرات فلز شکسته نشده در سطح شکست این نمونه ها نیز دیده می شود. این امر نشان می دهد، استحکام اتصال سرامیک/فلز نسبتا پایین است.
4. مباحث:
4.1 تاثیر ساختار میکروسوپی بر سختی:
تاثیر ساختارهای میکروسکوپی مختلف بر سختس نمونه FGM واضح است. همانطور که در شکل 5 نشان داده شده، با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 0% به 30%، میزان سختی به آرامی افزایش می یابد. این بدین دلیل است که مقدار سرامیک بسیار کم است تا اسکلت محکمی از سرامیک سخت را تشکیل دهد. در این لایه ها ساختار میکروسکوپی بوسیله ذرات سرامیک پراکنده در ماتریس فلز مشخص می شود. همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، با افزایش نسبت حجمی ZrO2 از 40% تا 60%، شیب منحنی سختی تغییر می کند و سختی اساسا افزایش می یابد. این امر عمدتا بوسیله تغییرات تدریجی ساختار میکروسکوپی در مواد هدفمند ایجاد می شود. همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است، در این لایه ها، فاز ماتریسی از فلز نرم تا سرامیک سخت متغییر است.
4.2 تاثیر ساختار میکروسکوپی بر قابلیت چکش خواری:
با افزایش ZrO2، رفتارهای مکانیکی نمونه های غیر FGM، بین نوع الاستیک – پلاستیک و نوع الاستیک متغییر است (شکل 6) و حالت شکست از حالت نرم به حالت ترد تغییر می کند (شکل 9).

این نتایج نشان می دهد، که چکش خواری نمونه های غیر هدفمند به تدریج با افزایش ZrO2 کاهش می یابد. اعتقاد بر این است که این نتیجه در اثر تغییر فاز ماتریسی از فلز با خواص شکل پذیری خوب تا سرامیک با خواص کم شکل پذیری می باشد.
نمونه های آلیاژی NiCr و کامپوزیت ZrO2 10%، خواص چکش خواری خوبی را نشان می دهند. تغییر شکل بیشتر در سمت کششی نمونه ها، در طول تست قابل مشاهده است. آلیاژ NiCr و کامپوزیت ZrO2 10%، به ترتیب تا زمانی که 3.77mm و 1.41mm منحرف و خم نشوند، تخریب نمی شوند. کاهش چکش خواری در کامپوزیت ZrO2 10%، به دلیل وجود سرامیک سخت است که می تواند جریان پلاستیک را در ماتریس فلزی نرم، محبوس کند. نمونه های غیر FGM حاوی 20%، 30% و 40% ZrO2 به ترتیب 0.54mm، 0.34mm و 0.32mm انحراف خمشی می یابند. تغییر شکل پلاستیک مشخصی در سمت کششی نمونه اتفاق نمی افتد. همانطور که در شکل های 3 و 9(b) نشان داده شده است، در این نمونه ها، عامل دیگری که باعث ضعیف شدن خاصیت چکش خواری می شود، پیوستگی ماتریس فلز است که با دسته های ذرات سرامیک تداخل پیدا می کند.
وقتی فاز ماتریسی از فلز به سرامیک تغییر می کند، نمونه های غیر هدفمند عمدتا رفتار شکننده نشان می دهند. با توجه به شکل 6(b) می بینیم، نمونه های غیر هدفمند با نسبت حجمی ZrO2 بیش از 50%، در حالت شکست ترد می شکنند.
4.3 تاثیر ساختار میکروسکوپی بر استحکام خمشی:
توزیع خاصیت استحکام خمشی در مواد هدفمند (شکل 7)، می تواند به علت اثرات ساختار میکروسکوپی مثل، تخلخل، سطح مشترک فلز/سرامیک و توزیع این دو جزء باشد. نمونه خالص ZrO2 بالاترین میزان تخلخل را در میان نمونه های غیر هدفمند داشت، در عین حال پایین ترین استحکام خمشی را نیز به همراه داشت. این بدین معنی است، که تخلخل اثر برجسته ای بر نیروی خمش مواد FGM ندارد.
با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 0% به 40%، استحکام خمشی کاهش می یابد، که این را می توان بوسیله وجود اتصال ضعیف سرامیک/فلز توجیه کرد. با توجه به شکل 9(a) و 9(b) می توان دریافت، که فضاهای خالی بسیاری بین ماتریس فلز و ذرات سرامیک وجود دارد، که بوسیله از بین رفتن پیوند اتصال و سطح مشترک بین سرامیک/فلز در طول تست ایجاد شده است. این نوع از شکل اتصال به علت به هم پیوستگی مکانیکی بوجود آمده بوسیله انقباض و جمع شدگی ماتریس فلز حول ذرات سرامیک در حین سرد کردن از دمای تفجوش شدن می باشد. افزایش ذرات سرامیک می تواند منجر به افزایش مجموع مساحت سطح مشترک اتصالی شده و آنرا ضعیف کند، که در نتیجه آن استحکام خمشی کاهش می یابد. به علاوه همانطور که در شکل 9(b) نشان داده شده است، ذرات سرامیک با اندازه کوچکتر بیشتر می تواند به فضای ماتریس فلز نفوذ کرده و دسته ها را تشکیل دهند. دسته های ذرات سرامیک می تواند پیوستگی ماتریس فلز را از بین برده و اثرات منفی بر استحکام خمشی وارد نمایند. با توجه به شکل های 9(d) و 9(c) متوجه می شویم که در نمونه های غیر FGM با کسر حجمی بیش از 50% ZrO2، سطح مقطع شکست بوسیله ذرات فلز ازماتریس سرامیک جدا شده است. با افزایش نسبت حجمی ZrO2 از 50% به 100% مساحت کل سطح مشترک متصل شده ضعیف فلز/سرامیک، کاهش یافته و از این رو استحکام خمشی افزایش می یابد.
4.4 تاثیر ساختار میکروسکوپی بر مدول الاستیک:
برای مواد هدفمند ZrO2/NiCr مدول الاستیک آلیاژ NiCr و ZrO2 به ترتیب برابر 194Gpa و 201Gpa می باشد. طبق مدل های میکرومکانیکی همچون Mori – Tanka یا خودسازگار (که در فصل بهینه سازی فرکانس راجع به آن ها صحبت خواهیم کرد)، مدول الاستیک پیش بینی شده برای نمونه های غیر هدفمند ممکن است به طور مشهود تغییر نکند، زیرا مدول الاستیک NiCr و ZrO2 تقریبا با هم برابرست. اما از نتایج آزمایشگاهی فهمیدیم که حداقل مدول الاستیک بدست آمده 119.5Gpaاست و به میزان 40.7% از حداکثر مدول الاستیک یعنی 201Gpa کمتر است. تفاوت میان نتایج آزمایشگاهی و نتایج تئوریک در مورد مدول الاستیک، معلول اتصال ضعیف سرامیک/فلز است. Tan و دیگران اذعان کردند که سطح مشترک اتصال نیافته می تواند منجر به کاهش مدول الاستیک کامپوزیت ها در مقایسه با آنهایی که سطح مشترک اتصالی کامل دارند شود. Tsui و همکارانش، تاثیر اتصال سطح مشترک ضعیف را بر مدول الاستیک کامپوزیت های دارای ذرات تقویت شده با استفاده از متد FEM بررسی کردند. آن ها نشان دادند که با افزایش ذرات، مدول الاستیک کاهش قابل توجهی می یابد. در نمونه های غیر FGM با تغییرات نسبت حجمی 10% تا 40% ZrO2، ساختار میکروسکوپی آن ها می تواند به عنوان ذرات سرامیکی پراکنده شده در ماتریس فلزی پیوسته بررسی شود.
از این رو با افزایش ZrO2 مدول الاستیک این نمونه ها کاهش می یابد. اما در نمونه های غیر هدفمند با تغییرات کسر حجمی 50% تا 90%، ساختار میکروسکوپی آن ها بوسیله ذرات فلزی پراکنده در ماتریس سرامیک مشخص می شود. بنابراین با افزایش ZrO2 مدول الاستیک این نمونه ها افزایش می یابد. با توجه به بیشترین مقدار ذرات در کامپوزیتی با 50% ZrO2، در میان تمام کامپوزیت های غیر هدفمند، کمترین میزان مدول الاستیک را در این نوع از کامپوزیت مشاهده می کنیم.
5. نتیجه نهایی:
در ساختار میکروسکوپی مواد هدفمند ZrO2/NiCr تغییرات تدریجی وجود دارد که در آن فاز ماتریسی از فلز به سرامیک و فاز دربرگیری از سرامیک به فلز تغییر میکند.
با افزایش ZrO2، سختی به طور یکنواخت افزایش یافته و چکش خواری به تدریج کاهش می یابد. سختی و چکش خواری ماده هدفمند ZrO2/NiCr بوسیله ساختار میکروسکوپی متغییر که در آن فاز ماتریسی از فلز به سرامیک تغییر می کند، تحت تاثیر قرار می گیرد. فاز سرامیک می تواند اسکلت محکم کرده را ایجاد کرده و جریان پلاستیک فلز را محدود کند.
استحکام خمشی و مدول الاستیک ابتدا با افزایش کسر حجمی ZrO2 از 0% تا 50% کاهش می یابد و سپس با افزایش آن از 50% تا 100% افزایش می یابد. عمدتا دلیل این امر تاثیر اتصال ضعیف سرامیک/فلز می باشد. فضاهای خالی بین فلز و سرامیک، ذرات فلزی گسسته و جدا از هم و وجود این ذرات گسسته در ماتریس سرامیک در تصاویر اسکن شده مقطع شکست بوسیله میکروسکوپ الکترونی (SEM) در نمونه های غیر هدفمند ، مشاهده شدند.
علاوه بر این دسته های ذرات سرامیک نیز اثر منفی بر چکش خواری و استحکام خمشی نمونه های غیر هدفمند دارند، ولی به نظر نمی رسد تخلخل اثر خاصی بر توزیع خواص مکانیکی مواد هدفمند ZrO2/NiCr داشته باشد.

فصل سوم
بررسی رفتارهای تصادفی صفحات ساخته شده از مواد FGM
در محیط های اختلالی صوتی و گرمایی

1. مقدمه
2. فرمول بندی اجزا محدود
2.1 روابط جابجایی
2.2 کرنش غیر خطی: روابط جابجایی
2.3 مواد (FGM)
2.4 ارتباط تنش کرنش در یک صفحه FGM
2.5. معادلات حاکم
3. روشهای حل
3.1 انحراف کمانش گرمایی
3.2 پاسخ های دینامیکی با استفاده از مختصات نمایی
4. نتایج عددی و مباحث
4.1 کمانش گرمایی و پنل FGM
4.2. پاسخهای تصادفی ترمو آکوستیک
5. نتیجه گیری
مراجع
بررسی رفتارهای تصادفی صفحات ساخته شده از مواد FGM
در محیط های اختلالی صوتی و گرمایی

چکیده:
در این فصل با استفاده از روش المان محدود، پاسخ های تصادفی و کمانش گرمایی صفحات FGM قرار گرفته تحت تاثیر بارهای ترکیبی گرمایی و صوتی، مبتنی بر تئوری صفحات نازک و روابط جابجایی – کرنش ون کارمن بررسی می شود، تا میانگین خیز و تغییر شکل خمشی بوجود آمده محاسبه شود. فرض شده است بار گرمایی حالت پایدار و با توزیع دمایی مداوم باشد و تحریک اکوستیک (صوتی) بصورت فشار گوسی ساکن با میانگین صفر و شدت یکنواخت بر روی سطح صفحه مطرح اعمال شود. معادلات غیر خطی حاکم با استفاده از اصول کار مجازی بدست آمده است. معادلات استاتیکی غیر خطی با استفاده از تکنیک عددی نیوتن رافسون حل شده است تا میزان خیز ناشی از پس کمانش حرارتی را بدهد. معادلات دینامیکی غیر خطی حرکت به مختصات نمایی (مودال) انتقال داده شد، تا میزان محاسبات را کاهش دهد. روش انتگرال گیری ضمنی نیومارک به کار گرفته شد تا معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم حرکت را حل کند. در انتها فصل نیز کمانش گرمایی، خیز پس کمانش و پاسخ های تصادفی پنل FGM مهیا شده است. همچنین تاثیرات کسر حجمی توانی، میزان فشار صوتی و افزایش دما روی رفتارهای پنل نشان داده شده است.
1. مقدمه:
پوسته خارجی هواپیماها و سفینه هایی که دارای سرعت بسیار زیادی هستند متحمل افزایش بسیار زیاد گرما می شوند که این گرما ناشی از جریان سریع هوای روی سطح آیرودینامیکی آنهاست. این گرما می تواند منجربه افزایش بسیار زیاد دما و درنتیجه بی ثباتی دینامیکی شود. بطورکلی، این کمانش و ازدیاد گرما نشانه نقص یا ضعف سازه ای نیست. هرچند این گرمای زیاد میتواند موجب تغییر شکل و انحراف پوسته و درنتیجه تغییر در حالت آیرودینامیکی و اختلال در عملکرد پرواز شود.
بررسی و تحلیل هایی روی میزان گرما القایی ،خمش، پیچش و ارتعاش صفحات و پوسته ها بوسیله افراد زیر انجام شده است.
Tauchart[1] Thornton[2] Gray and Mei: تحقیق و بررسی رفتار کمانش گرمایی و همچنین ارتعاش ناشی کمانش گرمایی روی صفحات کامپوزیتی به روش المان محدود
Shi and Me:حل مشکل کمانش گرمایی صفحات مرکب با عیوب اولیه بوسیله روش آنالیز المان محدود
Shi et al: بررسی رفتار کمانش گرمایی در لایه های متقارن و نامتقارن و خمش نامتقارن لایه های صفحات کامپوزیتی زیر بار مکانیکی و حرارتی
سطح جلویی هواپیما و سفینه های پرسرعت وپیشرفته دربرابرفشارهای بالای صوتی ارتعاش های زیادی را ازخودنشان می دهند که این ارتعاش و کمانش گرمایی می تواند منجر به ازیاد دما می شود. این عوامل دارای اثر غیر خطی بوده و ممکن است باعث خستگی شدید آن شود.
Locke: بررسی خمش زیاد ناشی از ارتعاش تصادفی روی یک صفحه ایزوتروپ قرار گرفته تحت کمانش گرمایی، با استفاده از روش خطی سازی معادل، با فرض مستقل بود خواص مواد از دما.
Abdel-Motagaly et al: استفاده مستقیم از انتگرال گیری عددی برای مطالعه پاسخ غیر خطی پنل قرار گرفته زیر بار صوتی و آیرودینامیکی
Dhainaut et al: ارائه فرمول اجزا محدود برای پیش بینی رفتار غیر خطی تصادفی پنل های مرکب و نازک ایزوتروپ در معرض عوامل همزمان بارهای اختلالی صوتی گوسی با کران محدود و دماهای بالا.
Dhainaut et al: ارائه پاسخ غیر خطی و تخمین زمان خستگی ایزوتروپ نازک در معرض non-white تحریک صوتی
مواد FGM کامپوزیتهای غیر متشابه ای هستند که با خواص نرم و ملایم و قابل تغییر از یک سطح تا سطح دیگر مشخص می شوند. این خواص با کسر حجمی مختلف از جز اصلی و تشکیل دهنده مواد بدست می آید. یکی از فوائد استفاده ازین مواد اینست که آنها می توانند در محیطهایی با گرادیان دمایی زیاد باقی بمانند در حالی که ساختار خود را بدون نقص حفظ کنند. موادتابعی یا هدفمند معمولا از 2 ماده یا بیشتر ساخته می شوند که کسر حجمی آنها بصورت یکنواخت و پیوسته تغییر می کند و به یک سمت پیش می رود. این تغییرات پیوسته در ساختار منجر به خواص ملایم و یکنواخت در مواد می شود که فوائد بسیار زیادی بر کامپوزیتهای چند لایه دارند. در جایی که احتمال ترک و لایه لایه شدن بیشتر شده است بعنوان واسطه بعلت تغییر ناگهانی خواص مکانیکی بین لایه ها وارد می شوند.
Javaheri and Eslami: نتیجه گرفتن از معادله تعادل و پایداری یک صفحه مستطیلی ساخته شده از مواد FGM زیر بار حرارتی در تئوری تغییر شکل صفحه. در نتیجه راه حل برای پیش گویی کمانش گرمایی برای صفحه مستطیی براحتی بدست می آید.
Woo et al: توسعه دادن راه حل تحلیلی برای رفتار پس کمانش صفحات و پوسته های سیلندرهای کم عمق ساخته شده از مواد FGM زیر کنش متقارن بارهای فشاری و میدان دمایی.
Kim: توسعه دادن روش تحلیلی برای بدست آوردن تاثیر دما روی مشخصات ارتعاش صفحات مستطیلی FGM ضخیم و ارتباط خواص مواد با دما.
Batra and Jin: اتخاذ تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول FSDT و ترکیب آن با روش المان محدود برای بررسی ارتعاش صفحه مستطیل نا ایزوتروپ هدفمند با شرایط تکیه گاهی مختلف.
Ibrahim et al: بررسی کمانش گرمایی و لرزش های مرزی صفحه FGM نازک در معرض درجه حرارت زیاد. معادلات حاکم با استفاده از قانون کار مجازی و تئوری صفحات کلاسیک مبتنی بر یک فرمول نموی برای بدست آوردن تاثیر تدریجی تغییر ضریب انبساط حرارتی باحرارت، روی رفتار پنل
دراین بررسی ، یک صفحه هدفمند سرامیک – فلز زیر بار صوتی و گرمایی با استفاده از روش المان محدود مطالعه شده است. معادله غیر خطی حاکم بر صفحه مستطیلی FGM نازک با استفاده از اصل کار مجازی و رابطه کرنش – جابجایی ون کارمن فراهم شده است. نتایج عددی فراهم شده، تا اثر میدان گرمایی، شدت فشار صوت، کسر حجمی توان و شرایط مرزی را روی پس کمانش گرمایی و ریشه میانگین توانهای دوم پاسخ تصادفی صفحات مستطیلی را نشان دهد.
2. فرمول بندی اجزا محدود:
معادلات حرکت باتوجه به تغییر شکل خمشی و خیز زیاد و وابستگی خواص مواد به دما ناشی شده است که برای یک صفحه FGM آنرا به بارهای صوتی و گرمایی ارتباط می دهد. برای محاسبه وابستگی دما و خواص مواد، یک کرنش نسبی حرارتی جمع شونده اتخاذ شده است. عنصر استفاده شده دراین بررسی صفحه مستطیلی می باشد.
2.1 روابط جابجایی:
تعداد درجات آزادی صفحه مستطیلی می تواند از رابطه زیر بدست آید:

(1)
که Wb بردارجابجایی عرضی و Wm بردارجابجایی پوسته (غشا) است. روابط جابجایی و تغیرمکان می تواند بصورت ترم های ماتریسی Nw ، Nu ، Nv بیان شود.
(2)

2.2. کرنش غیر خطی: روابط جابجایی
کرنش صفحه ای و میزان انحنا بصورت زیر نوشته می شود.

(3)
و یا بطور خلاصه :
(4)
پارامترهای u,v,w, به ترتیب جابجایی در راستای محورهای x,y,z و, zk εm , εθ به ترتیب بردار کرنش خطی، بردار کرنش غیر خطی، و بردار کرنش خمشی هستند.
2.3. مواد (FGM) :
نوعا موادFGM خود از ترکیب دو ماده ساخته می شوند. یکی سرامیک که می تواند درمحیطهایی با دماهای بالا به دلیل ضریب هدایت گرمایی پایینش دوام بیاورد و یکی فلز که بدلیل ساختارش بتواند بار را تحمل کرده و مانع شکست شود. معمولا بین دو سطع FGM سطح بالایی از سرامیک و سطح زیرین از فلز غنی است. ناحیه بین دو سطح شامل مخلوطی از دو ماده بوده است:
(5),(6)

که z مختصات در جهت ضخامت ورق، (Pe, Pc, PM) خواص مواد موثر در FGM، یعنی سرامیک و فلز، Vc کسر حجمی سرامیک،h ضخامت ورق و n توان کسر حجمی می باشد.
2.4. ارتباط تنش کرنش در یک صفحه FGM :
ارتباط بین نیروهای داخل صفحه {N} و گشتاور خمشی {M} در ترم بردار کرنش بصورت زیر نوشته می شود:

(7)

T میزان افزایش دماست تا زمانی که توزیع ثابت دما در راستای x,y,z رخ دهد. با جایگذاری معادله 4 در 7 داریم:
(8),(9)
2.5. معادلات حاکم:
با استفاده از اصل کار مجازی و معادلات (2),(4),(8),(9) ، معادلات حاکم بر کمانش گرمایی و ارتعاشات صوتی غیر خطی در صفحه ساخته شده از مواد تابعی (FGM) بصورت زیر حاصل میشود:
(10)
کار مجازی داخلی δWint از رابطه زیر بدست می آید:
(11)

از طرف دیگر مقدار کار مجازی انجام شده بوسیله نیروهای خارجی روی یک المان صفحه ناشی از اینرسی و تحریکات فشاری تصادفی برابرست با:

(12)
که {Wb}=[W Wx Wy Wxy] و P(t) تحریک تصادفی هستند. با ترکیب معادلات 11 و 12 معادله حرکت چنین بیان می شود:
(13)
معادله (13) دستگاهی است از معادله دیفرانسیل غیر خطی، که حرکت پنل، زیر بار حرارتی و تصادفی رانشان می دهد.
{W} = [w wx wy wxy u v] بردار جابجایی، [M] ماتریس جرم، [K] و [KT] ماتریس خطی سفتی (سختی) و ماتریس سختی هندسی حرارتی می باشد. [N1] و [N2]ماتریس مرتبه اول و مرتبه دوم غیر خطی سختی هستند. {Pt} و {PT}به ترتیب بردارهای بارهای تصادفی و بارهای گرمایی هستند.
3. روشهای حل :
3.1. انحراف کمانش گرمایی:
مسائل فیزیکی مرتبط با معادلات حرکت سیستم به دو دسته تقسیم می شوند:
مسائل استاتیکی و دینامیکی
در مسائل استاتیکی ترم اینرسی به خوبی تحریکات ناگهانی رها میشود. از اینرو برای کمانش گرمایی استاتیکی معادله (13) بصورت زیر در می آید.

(14)

با وارد کردن ترم {Ψ (W)}، در رابطه (14) داریم:
(15)

با استفاده از بسط تیلور داریم:
(16)

که:
(17)
بنابرین روش نیوتن رافسون برای تعیین کمانش گرمایی به شرح زیر بیان میگردد:

(18),(19)

(20),(21)

همگرایی در فرآیند بالا وقتی اتفاق می افتد، که ماکزیمم مقدار {δW}i+1 از حد مجاز(تلرانس) εtol کمتر باشد: max |{δW}i+1| ≤ ε tol
3.2. پاسخ های دینامیکی با استفاده از مختصات نمایی:
ورق می تواند سه نوع ارتعاش تصادفی را نشان دهد:
.1 ارتعاش تصادفی کوچک، حدود یکی از دو موقعیت تعادل کمانش گرمایی
.2 حالت میانی، بین دو موقعیت تعادل کمانش گرمایی
.3 ارتعاش تصادفی بزرگ، پیش از دو موقعیت تعادل کمانش گرمایی
برای ارتعاش تصادفی با اثر گرمایی رابطه (13) به حالت زیر در می آید:

(22)

با تفکیک معادلات پوسته (غشا) و معادله جابجایی عرضی در رابطه 22 داریم:

(23)
(24)

توجه: صرف نظر کردن از ترم اینرسی در صفحه، خطای قابل توجه ای را بدنبال نخواهد داشت، زیرا فرکانس های طبیعی در صفحه 2 الی 3 مرتبه بزرگتر از خمش آنند. بنابرین ترم جابجایی در صفحه می تواند در ترم جابجایی خمشی بصورت زیر بیان شود:

(25)

با جایگذاری معادله (25) در (23) رابطه زیر حاصل خواهد شد.

(26)

با بیان جابجایی خمشی سیستم {Wb} بعنوان ترکیب خطی بعضی از مدشیپ ها داریم:
(27)

که rth مد نرمال {Ør} و فرکانس طبیعی متناظر ωr از ارتعاش خطی سیستم بصورت زیر حاصل می شود:

(28)
برپایه ارزیابی مد نرمال درمعادله (28)، معادله (26) می تواند بصورت مختصات لگاریتمی (نمایی) بصورت زیر درآید.
(29)
در مختصات لگاریتمی ترم ماتریس دمپینگ 2[ζr ωr] [Mb] به معادله (29) اضافه شده تا میزان تاثیر دمپینگ ساختاری محاسبه شود.
4. نتایج عددی و مباحث:
4.1. کمانش گرمایی و پنل FGM :
دراین قسمت، آنالیز کمانش گرمایی صفحه FGM ساخته شده از نیکل- سلیکون نیترید (SI3N4) برای بدست آمدن تاثیر توان کسر حجمی، n ، روی مشخصات پنل FGM انجام شده است. مشخصات ماده طبق رابطه (16) وابسته به دما فرض شده است:
(30)
ضرایب Po , P-1 , P1 , P2و P3برای مدول الاستیسیته E ، نسبت پوسان ν ، و ضریب انبساط گرمایی α نیکل- سلیکون نیترید از جدول زیر بدست می آید:

شکل هندسی پنل بصورت 0.305 x 0.305 x 0.002m انتخاب می شود. یک شبکه 6 x 6 دراین شبیه سازی، اتخاذ شده است، بطوریکه راه حلی برای همگرایی پیدا شود تا این شبکه شبیه سازی شود. شکل 1 اثرات کسر حجمی مشخصات یک پنل گیردار FGM را شرح می دهد. این نمودار پاسخی که مطابق با خواص میانه ای فلز و سرامیک باشد را نشان می دهد. هر چند پاسخ پنل سرامیک مقادیری بالاتر را از پنل FGM نشان میدهد ولی استفاده از پنل سرامیک در ساختارهای یکپارچه به تردی و شکننده بودن سرامیک اشاره دارد. بنابرین افزایش کسر حجمی سرامیک در ساختارهای یکپارچه و بی نقص محدود شده است.

4.2. پاسخهای تصادفی ترمو آکوستیک:
رفتار دینامیکی صفحه با دو پارامتر مورد بررسی قرار گرفته است. ΔT و SPL
تغییرات ΔT از 0 تا 30 درجه با SPL معادل 110db,130db بوده است. تبدیل لگاریتمی با 6 مد متقارن معمولی انجام شده است. میزان تناسب دمپینگ ζ r ωr=ζ s ωs با ضریب میرایی ζ1=0.02 استفاده شده است. روش انتگرال گیری ضمنی newmark بکارگرفته شده است تا معادلات دیفرانسیل دستگاه را با یک انتگرال گیری عددی با زمان 1/5000 حل کند، مادامیکه که طرح تکرار نیوتن رافسون دستگاه غیرخطی جبری معادله ها را درهر پله زمان حل می کند. برای ΔT=0 شکل 2,3 پاسخ زمانی صفحه FGM را با ترکیب شدت صوت وتوان کسر حجمی متفاوت نشان می دهد. شکل 2 پاسخ زمانی صفحه FGM را با SPL=110db وکسر حجمی 0(SI3N4),1,1.5,1000(Nickel) ارائه می کند.ملاحظه می شود در درمای اتاق اساسا رفتار صفحه بصورت تغییر شکل ارتعاش تصادفی کوچک است. همچنین ملاحظه می شود دامنه ارتعاش SI3N4 از
نیکل کمترست. دلیل این امر بیشتر بودن سختی و کمتر بودن وزن آن است. شکل 3 پاسخ زمانی صفحه FGM در SPL=130 و کسر حجمی متاوت را ارائه میدهد. دیده می شود در دمای اتاق ارتعاش تصادفی صفحه با انحراف ملایم صورت می گیرد. همچنین ملاحظه میشود در کسر حجمی 5، پاسخ صفحه متوسط SI3N4 و Nickle نیست.
شکل 4,5 پاسخ زمانی صفحه FGM را با افزایش دمای 15 درجه با ترکیب شدت صوت و کسر حجمی متفاوت نشان می دهد. شکل 4 پاسخ زمانی صفحه FGM را در SPL=110db ارائه می کند و می گوید برای سرامیک و صفحات n=1 ، صفحه دامنه ارتعاش تصادفی کوچک را نشان می دهد. برای n=5، به نظر می رسد که صفحه هر دو حالت ارتعاش متناوب و پایدار ناگهانی را بین دو وضعیت تعادل کمانش که برابر0.47511 ± است را نشان می دهد . بعلت افزایش غیر خطی سختی در صفحه نیکل بخاطر داشتن خیز پس کمانش گرمایی، به نظر می آید صفحه دامنه ارتعاش تصادفی کوچکی دارد که درحدود یکی از دو وضعیت کمانش تعادلی است و معادل 0.708± می باشد. کمانش گرمایی تقریبا بر فشار صوتی غلبه دارد. نمودار 5 پاسخ زمانی ورق FGM را در SPL=130db و کسر حجمی متفاوت بیان می کند. در این نمودار به نظر می آید،صفحه تقریبا رفتار گسیختگی میانی را در هردو وضعیت کمانش تعادلی نشان می دهد. همچنین خواص بینابین وضعیت نیکل و سرامیک تیز دیده می شود.

نمودار 6,7 پاسخ زمانی صفحه FGM را با افزایش دما 30 درجه و با ترکیب کسر حجمی و فشار صوتی متفاوت نشان می دهد. نمودار 6 پاسخ زمانی صفحه را در SPL=110db با کسر حجمی متفاوت بیان می کند. دیده می شود برای تمامی کسرهای حجمی صفحه اساسا با انحراف ارتعاش ناگهانی کوچک رفتار می کند که در حدود یکی از وضعیت های کمانش گرمایی تعادلی، تقریبا با دامنه ارتعاش ماکزیمم یکنواخت است. با افزایش دما کمانش گرمایی بر فشار صوتی غلبه دارد. نمودار 7 پاسخ زمانی صفحه را در SPL=130db با کسر حجمی متفاوت بیان می کند. دیده می شود برای صفحات سرامیکی، ارتعاش صوتی تصادفی بر کمانش گرمایی غلبه می کند که تقریبا در یک گسیختگی میانی پایا رفتاری بالای هر دو وضعیت کمانش تعادلی دارد. برای n=1 ,n=5 و صفحه نیکل، فشار صوتی تصادفی نمی تواند بر کمانش گرمایی غلبه کند. در نتیجه، ارتعاش کوچک در حدود یکی از موقعیت های کمانش تعادلی با یک اثر گستختگی میانی ضعیف است.

5. نتیجه گیری:
فرمول غیر خطی اجزای محدود برای آنالیز کمانش گرمایی و شدت بار صوتی صفحه FGM، ساخته شده از نیکل و سلیکون نیترید ارئه شده است. دمای غیر خطی، وابستگی خواص مواد و انحراف زیاد ون کارمن در فرمول های فوق بررسی شد. تغییر کردن خواص مواد در سرتاسر راستا ضخامت، بر مبنای توزیع قانون ساده نیرو فرض شد. فشار صوتی تصادفی از توزیع قانون گوس مدل سازی شد.
تاثیر توان کسر حجمی در خصوصیات کمانش گرمایی در پنل FGM مطالعه شد. نتایج نشان داد حضور سلیکون نیترید با افزایش نیکل خصوصیات کمانش پنل را به دلیل افزایش کمانش گرمایی و کاهش انحراف پس کمانش بالا می برد. برای یک دمای مشخص کاهش انحراف postbuckling بواسطه کاهش کسر حجمی توانی، غلبه فشار صوتی تصادفی را بر کمانش گرمایی افزایش می دهد. که ممکن است در خصوص خستگی و کارایی صفحه مناسب نباشد.

فصل چهارم
آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند (FGM)
با تکیه گاه های ساده

1. مقدمه
2. آنالیز
3.نتایج و مباحث
4. نتیجه نهایی
مراجع
آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده ازمواد هدفمند (FGM) با تکیه گاه های ساده

چکیده:
در این مبحث ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد FGM با تکیه گاه ساده مورد بررسی قرار گرفته است. مدول یانگ تیر در جهت ضخامت طبق قانون توانی و نمایی متغییر است. معادلات حاکم بر تیر بوسیله اصل همیلتون یافت شده است. روش و متد Navier برای بدست آوردن فرکانس ها استفاده شده است. تئوری های مختلف تغییر شکل برشی مرتبه بالا و تئوری های کلاسیک تیر در این آنالیز استفاده شده است. فرکانس ارتعاش آزاد و برخی از مدشیپ ها برای خواص مختلف مواد و نسبت باریکی (نسبت طول به ارتفاع) متفاوت نیز ارائه شده است.
1. مقدمه:
استفاده از ساختارهایی مانند تیرها، صفحه ها و محفظه ها که از مواد هدفمند یا FGM ساخته شده اند، درحال افزایش است. یکی از علل آن تغییرات یکنواخت خواص مواد در جهت مورد نظر است. این تغییرات توزیع تنش پیوسته ای را در ساختار ماده هدفمند ایجاد می کند، درحالی که توزیع تنش غیر پیوسته در نوع دیگری از مواد پیشرفته یعنی مواد کامپوزیتی لایه ای وجود دارد. از آنجایی که تیر های FGM در هوا فضا، صنایع خودروسازی، و اجزاء ماشین مورد استفاده اند، درک رفتار دینامیکی آن ها اهمیت دارد. مطالعات در زمینه تیرهای FG در مقایسه با صفحات و پوسته های FG کمتر است. تئوری های مختلفی برای آنالیز رفتار دینامیکی و استاتیکی اجزاء ساختاری استفاده شده است. تئوری کلاسیک تیر اویلر – برنولی به طور موفقیت آمیزی در تیرهای ایزوتروپیک بکار رفته است. از آنجایی که این تئوری، تاثیرات تغییر شکل برشی را مورد غفلت قرار داده است، نتایج حاصل از آن برای مواد پیشرفته مثل کامپوزیت ها و مواد هدفمند، قابل اعتماد نیست. در مورد صفحات کامپوزیتی چند لایه، تئوری های تغییر شکل برشی منظم تری (HSDT) توسط Reddy، Soldatos، و Karama، ارائه شده است. تعمیم این تئوری ها توسط Soldatos و Timarci انجام گرفته است. این تئوری جدید که تئوری تغییر شکل برشی یکپارچه (USDT) نامیده می شود، برای ارتعاش محفظه های سیلندری کامپوزیتی توسط Timarci و Soldatos، برای ارتعاش صفحات کامپوزیتی توسط Messina و Soldatos، Aydogdu و Timarci، و برای ارتعاش تیرهای کامپوزیتی توسط Aydogdu، بکار گرفته شده است. لیکن هیچ نتیجه ای برای مسئله ارتعاش آزاد در تیرهای FGM یافت نشد.
در مطالعه حاضر، ارتعاش آزاد تیرهای FG با تکیه گاه ساده با استفاه از تئوری کلاسیک تیر (CBT)، تئوری تغییر شکل برشی سهموی تیر (PSDBT) و تئوری تغییر شکل برشی نمایی تیر (ESDBT) مورد بررسی قرار گرفته است. درین بررسی، معادلات حاکم تیرهای FG برای مسئله ارتعاش آزاد با بکارگیری اصل همیلتون و روش حل مدل Navier، که برای حل مسائل ارتعاشی بکار می رود، یافت شده است. فرض کرده ایم که مدول الاستیسیته (ضریب کشسانی) در جهت ضخامت تغییر می کند و تمام خواص دیگر مواد ثابت درنظر گرفته می شود. تغییرات مدول الاستیک در جهت ضخامت به حالات و فرم های مختلفی مثل فرم محصول توانی و فرم نمایی بستگی دارد. همچنین تئوری های تغییر شکل برشی مختلفی در USDBT در هنگام یافتن فرکانس های ارتعاش آزاد استفاده شده است. نتایج فرکانس را برای تیرهای FG با خواص مختلف مواد و نسبت طول به ضخامت ( طول به ارتفاع) ارائه کرده ایم. درین بررسی برخی از مد شیپ ها به عنوان نمونه ارائه شدند تا رفتار جابجایی اجزاء را نشان دهند.
2. آنالیز:
یک تیر ساخته شده از مواد هدفمند (FGM) با ضخامت (یا بعبارتی ارتفاع) h، و ابعاد سطح مقطع L و b را درنظر بگیرید، که در شکل 1 نشان داده شده است.

فرض می شود که مدول یانگ تیر FG در راستای ضخامت طبق فرم قانون توانی و قانون نمایی تغییر می کند. قانون نمایی که بطور کلی در مطالعات شکست بکار می رود با فرمول زیر بیان می شود:

و قانون توانی که توسط Wakashima et al معرفی شده است با فرمول زیر بیان می شود:

که دراین روابط، Et و Eb به ترتیب مقدار مدول الاستیک در بالا و پایین تیر را مشخص می کند و k یک پارامتر متغییر است. طبق این توزیع، سطح پایین تیر FGM (z=-h/2) فلز خالص است در حالیکه سطح بالا (z=h/2) سرامیک خالص است، و برای مقادیر مختلف k می توان کسر حجمی مختلف فلز را بدست آورد. شکل 2 تغییرات نسبت حجمی فلز را در راستای ضخامت فلز نشان می دهد.
در اینجا کسر حجمی فلز از صفر در z=-0.5h تا 1 در z=0.5h افزایش می یابد. حالت تنش در تیر با قانون تعمیم یافته هوک به صورت زیر ارائه می شود:

که در آن Qij ثابت های سختی (صلبیت) تغییر یافته در سیستم مختصات تیر است و بصورت زیر تعریف می گردد:

با فرض اینکه تغییر شکل در تیر در صفحه x-z است و مولفه های جابجایی در راستای x,y,z را به ترتیب با U,V,W نشان دهیم، میدان جابجایی دنباله تیر، بر اساس تئوری کلی پوسته تغییر شکل یافته برشی که توسط Soldatos و Timarci، ارائه شده است، بصورت زیر می باشد:

که u و w مولفه های جابجایی سطح میانی، به ترتیب در راستای x و z هستند، در حالیکه u1 یک تابع نامعلوم است،که تاثیر کرنش برشی عرضی را در سطح میانی تیر نشان می دهد و φ تابع شکلی را مشخص می کند که تعیین کننده توزیع برش عرضی و تنش در طول ضخامت تیر است.
تئوری کلاسیک تیر یک مورد خاص است،که با گرفتن مقدار تابع شکل برابر صفر بدست می آید. هرچند تابع های شکل مختلفی وجود دارند، ولی تنها آنهایی که تئوری موجود را به تئوری متناظر تغییر شکل برشی سهموی (PSDBT)، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول (FSDBT) و تئوری تغییر شکل برشی نمایی تیر (ESDBT) تبدیل می کند، در مطالعه وبررسی حاضر بکار می روند. این کار به وسیله انتخاب توابع شکل ، بصورت زیر بدست آمده است:

این مدل جابجایی، روابط حرکتی زیر را حاصل می کند:

که علامت پریم،مشتق را نسبت به z و اندیس '',x'' مشتق جزئی نسبت به x را نشان می دهد. با جایگذاری روابط تنش- کرنش در تعاریف نیرو و برآیند گشتاور در تئوری ارائه شده توسط Soldatos و Timarci، و با استفاده از نماد گذاری ارائه شده توسط Soldatos و Sophocleous، معادلات تشکیل دهنده زیر بدست می آید:

انعطاف پذیری کششی، کوپلینگ و صلابت خمشی (سختی خمشی)، در معادله (8.a) به ترتیب آمده اند و بصورت زیر تعریف می شوند:
بعلاوه، استحکام برشی عرضی در معادله (8.b)، طبق رابطه زیر تعریف می گردد:

باید توجه کردکه انعطاف پذیری کششی Ac11، کوپلینگ Bc11 و صلابت خمشی Dc11، آن هایی هستند که در تئوری های کلاسیک تیر نیز ظاهر می شوند. از میان سختی های یا صلابت های اضافی در معادله 8.a، ترمی که با عنوان Ba11، ارائه شده به عنوان سختی کوپلینگ اضافه در نظر گرفته می شود، در حالیکه آنهایی که با Da11 و Daa11 بیان شده اند، به عنوان صلابت خمشی اضافه در نظر گرفته می شوند.
با کاربرد اصل همیلتون معادله سه متغییره موازنه ثابت تیر، بصورت زیر بدست می آید:

که در اینجا '',tt'' مشتقات زمانی و ρ ها بصورت زیر تعریف می شوند:
و همچنین مولفه های نیرو و ممان اینرسی بصورت زیر هستند:

دراین جا ظهور ممان اینرسی مرتبه بالا (13.c) و برآیند نیروی برشی عرضی (13.b)، به علت شکل خاص میدان جایجایی است. به خصوص بالانویس a در تعاریف (13.a , 13.b) تنها برای تمایز بین برآیند برش عرضی مرتبه بالا و نظیر مشابه آن که در تئوری کلاسیک تیر مرسومند، استفاده می شود.
همچنین با استفاده از اصل همیلتون و شرایط مرزی لبه های تیر در x=0 و x=L بدست می آوریم:

در رابطه فوق مقادیر مشمول در سمت راست در شرایط مرزی طبیعی نشان دهنده نیرو و برآیند ممان اینرسی تعیین شده است که در محدوده تیر عمل می کند. شرایط مرزی تکیه گاه ساده عبارت اند از:

راه حل های نوع ناویر (Navier) در معادله (11) که شرایط مرزی را جبران می کند (15)، به فرم های زیر بیان می شود:

که m عدد نصف موج در جهت x و Am، Bm، Cm ضرایب نامعین می باشند. با قرار دادن معادله (16) در معادله (11) مساله مقدار مشخصه (مقدار ویژه) زیر ایجاد می شود:

که در آن K ماتریس سختی، M ماتریس اینرسی، Δ بردار ستونی ضرایب نامعین و λ فرکانس ارتعاش آزاد است.
3.نتایج و مباحث:
خواص مواد اصلی تیر FGM بصورت زیر انتخاب شده است:

و چگالی برای تیر FG ثابت در نظر گرفته شده است.پارامتر فرکانس بی بعد است و بصورت زیر می باشد:

برای خواص مواد بیان شده =0.3673δ بدست آمد و مقادیر مختلف K انتخاب گردید.
پارامترهای فرکانس بی بعد، برای فرکانس های اصلی در جدول 1 و 2 به ازای مقادیر L/h=5 و L/h=20 برای تئوری ها و توزیع مواد مختلف ارائه شده است. باتوجه به جدول مشاهده می شود که فرکانس با افزایش K کاهش و با افزایش نسبت L/h افزایش می یابد.. تفاوت میان فرکانس های پیش بینی شده بین تئوری CBT و تئوری های تغییر شکل برشی ، با افزایش نسبت L/h کاهش می یابد.
جداول 3 و 4 با جداول 1 و 2 مشابه اند، فقط در آنها بجای فرکانس اصلی،پارامتر فرکانس پنجم ارائه شده است. اختلاف میان تئوری CBT و تئوری های تغییر شکل برشی نسبت به مد اول بزرگتر است. تغییرات سه فرکانس اول با نسبت L/h و برای توزیع مواد مختلف در شکل 3 نشان داده شده است. نتایج با استفاده از تئوری PSDBT حاصل شده است. با توجه به شکل مشاهده می شود، نسبت L/h برای مد های بالاتر، تاثیر بیشتری دارد. تاثیرات پارامتر K و تغییر شکل برشی برای سه فرکانس اول در شکل 4 نشان داده شده است. اختلاف میان تئوری های CBT و PSDBT، با افزایش عدد مد افزایش می یابد و با افزایش K تمام فرکانس ها کاهش می یابند.

شکل شماره 3: تغییرات سه فرکانس اصلی اول نسبت به L/h های مختلف با توزیع مواد متفاوت

شکل 4: تغییرات سه فرکانس اول نسبت به K برای تئوری های CBT و PSDBT

در شکل 5، پنج مد شیپ اول برای توزیع مواد مختلف نشان داده شده است. در این شکل تمام مولفه های جابجایی نشان داده شده است. به وضوح دیده می شود که در صفحه مد سوم ، مد غالب است و اثر کوپلینگ از تمام اشکال مد ها قابل مشاهده است.
4. نتیجه نهایی:
همانطور که مشاهده کردید، در این بخش به بررسی ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند یا FGM، با تکیه گاه ساده پرداختیم. مدول یانگ تیرها، فرض شده است در جهت ضخامت، طبق قانون توانی و نمایی تغییر می کند. همچنین معادلات حاکم با بکار گیری اصول همیلتون یافت شدند. روش حل نوع Navier، برای بدست آوردن فرکانس ها مورد استفاده قرار گرفت.
در این آنالیز تئوری های تغییر شکل برشی مرتبه بالا مختلف و تئوری های کلاسیک تیر استفاده شدند. همچنین مشخص شد، که تئوری CBT نتایج بالاتر و بزرگتری را ارائه میکند و تفاوت میان CBT و تئوری های مرتبه بالا، با افزایش عدد مد، افزایش می یابد.
نتیجه حاصل شده از این مطالعه را می توان برای بررسی دقت روش های تقریبی مانند روش المان محدود و روش ریتز (Ritz) بکار برد.

فصل پنجم
استفاده از روش تحلیلی برای آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند (FGM)

1.مقدمه
2.معادلات حرکت
2.1 خواص مواد
2.2 جابجایی و میدان کرنش
2.3 معادلات اویلر – لاگرانژ
2.4 روابط بنیادی
3.آنالیز تحلیلی برای مساله ارتعاش آزاد
4.نتایج عددی
5. نتیجه پایانی
مراجع
استفاده از روش تحلیلی برای آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند (FGM)
چکیده:
تئوری جدید تیر مورد استفاده قرار گرفته دراین بررسی با تئوری سنتی تغییر شکل برشی مرتبه اول تیر که برای آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای FGM مورد استفاده قرار می گیرد متفاوت است. از میان انواع ضخامت ها، خواص تیر مختلف فرض شده و بدنبال آن از یک قانون پخشی ساده ولی قوی در ترم نسبت حجمی اجزاء تشکیل دهنده ماده استفاده شد است. فرض شده است تنش نرمال عرضی صفر است و معادلات حاکم بر حرکت از اصل همیلتون ناشی شده است. نتایج حاصل از دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی برای آنالیز ارتعاش آزاد، با استفاده از یک روش تحلیلی حل شده است. شرایط مرزی مختلف بررسی شده و با تئوری های مختلف نیز مقایسه شده است. همچنین تاثیر شرایط مرزی ، نسبت (کسر) حجمی و تغییر شکل برشی روی فرکانس های طبیعی و مدشیپ ها بررسی شده است.
1.مقدمه:
همانطور که گفته شد مواد هدفمند یا FGM مواد ساخته شده جدیدی هستند تا کارایی و هدف های خاصی را با تغییر تدریجی خواص در یک یا چند جهت برآورده سازند. این پیوستگی از عیوب کامپوزیتی مواد جلوگیری می کند. بعنوان مثال می توان از لایه لایه شدن یا تورق به سبب وجود تنش های بزرگ بین لایه ای، شروع و انتشار ترک به علت تغیر شکل زیاد پلاستیکی در فصول مشترک و غیره نام برد. به طور کلی، مواد FGM از مخلوط سرامیک ها و ترکیب فلزات مختلف ساخته می شود.
معادلات حرکت حاکم بر تیر کامپوزیتی می توانند از معادلات صفحات کامپوزیتی با برخی فرضیات ناشی شوند. Abrahamovitch و Livshits فرض کردند که خمش های عرضی تیر، که در راستای y بیان می شود (شکل 1) در قبال تغییر شکل طولی قابل اغماض و ناچیزند. این فرض منجر به حذف و ازقلم افتادگی رابطه بین کشش و برش، و خمش و پیچش می شود. بنابرین این تئوری محدود و منحصر به تیرهای چند لایه ای عرضی ایزوتروپ می باشد. Bhimaraddi و Chandrashekhara نتیجه گرفتند که با فرض اینکه نتایج تنش و گشتاور در راستای عرضی نشان می دهد که حرکت در جهت y تقریبا برابر با صفر است، معادلات حرکت تیرهای چند لایه مرکب ، از تئوری مرتبه اول تغییر شکل برشی صفحات (FSDPT) تبعیت می کند. این معادلات در این بررسی FSDBT2 نامیده شده اند. Dadfarnia با استفاده از این فرض که تنش های عرضی و تمامی مشتقاتش نسبت به مختصات عرضی در معادلات حرکت صفحه قابل چشم پوشی هستند تئوری جدیدی را برای تیرهای چندلایه ای مرکب گسترش داد. او این تئوری را FSDBT1 نامید. برای آنالیز پوسته های کامپوزیتی لایه لایه Librescu et al معادلات دیفرانسیل حاکم بر حرکت را با استفاده از تکنیک حالت – مکان به معادلات دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل کرد. موارد اصلی استفاده از این روش، در معادلات دیفرانسیل حاکم مرتبه شش یا بالاتر است؛ ولی برای آنالیز تیر های بلندتر یا مرتفع تر از نسبت اندازه 20، در دستگاه معادلات مشخصه شرایط نامساعدی به وقوع می پیوندد. Nosier و Reddy تکنیک حل تحلیلی را برای رفع این اشکال بوجود آمده در صفحات چندلایه را ارئه دادند. Chakraborty et al عنصر تیر جدیدی را برای مطالعه رفتار ترموالاستیک ساختار تیر FGM تغییر شکل برشی گسترش داد. Ching و Yen راه حل عددی را با استفاده از متد موضعی غیر مش بندی Petrov-Galerkin برای جامدهای دوبعدی ساخته شده از مواد هدفمند ارائه داد. آنها قبل از این، از متد غیر مش بندی مشابهی برای محاسبه تغییر شکل ترموالاستیک ناپایدار تیر FGM زیر بار حرارتی غیر یکنواخت همرفتی استفاده کردند. Qian و Ching از روش غیر مش بندی برای بررسی ارتعاش آزاد و اجباری تیر یک سردرگیر FGM استفاده کردند. Xiang و Yang ارتعاشات آزاد و اجباری یک تیر FGM با تغییر ضخامت را که تحت تنش های اولیه حرارتی قرار داشت را مبتنی بر تئوری تیر تیموشنکو مورد مطالعه قرار دادند.
از لحاظ روش های تحلیلی Sankar و coworkers راه حل های الاستیسیته ای را برای تیرهای FGM قابل تغییر شکل برشی با بار حرارتی یا عرضی بدست آوردند. ارتعاش آزاد تیر های FGM اورتو تراپیک یا چند سان گرد (داراى محور اصلى عمودى) تحت شرایط تکیه گاهی مختلف توسط Lu و Chen تحقیق و بررسی شد. Zhong و Yu راه حل دوبعدی عمومی را برای تیر FGM یک سردرگیر بر حسب تابع تنش Airy ارائه دادند. Nirmala et al عباراتی را برای تنش های ترموالاستیک در تیر کامپوزیتی سه لایه با لایه FGM میانی بدست اورد. Oh et al و Libresue et al ارتعاش آزاد تیغه های دواری که تحت سرعت زاویه ای ثابت و در حضور میدان گرمایی ثابت با گرادیان مجاز بودند را بررسی کردند.

Aydogdu و Taskin ارتعاش تیرهای FGM با تکیه گاه ثابت را بررسی کردند. آنها از تئوری های برشی متفاوت مرتبه بالاتر و تئوری تیر کلاسیک (CBT) استفاده کردند و نشان دادند که تئوری CBT نتایج بالاتری می دهد و اختلاف بین تئوری های CBT و مرتبه بالاتر با افزایش عدد مد، زیادتر می شود.
در بررسی کنونی، ارتعاش آزاد تیرهای FGM با استفاده از روش تحلیلی بررسی شده است. معادلات حرکت تیرهای ساخته شده از مواد هدفمند از تئوری FSDBT1 و اصل همیلتون نتیجه می شود. از میان ضخامت های متغییر تیر FGM، خواص بر حسب توابع توانی ساده ای فرض شده اند تا نسبت حجمی ترکیبات تشکیل دهنده مواد آن را مشخص نمایند. بالاخره، تاثیرات شرایط مرزی مختلف، شاخص کسر حجمی و نسبت طول به ارتفاع تیر مورد بررسی و تحقیق قرار گرفته است.

2.معادلات حرکت:
2.1. خواص مواد:
تغییر خواص مواد از رابطه توزیع توانی ساده زیر نتیجه می شود:

که درین رابطه Pc و Pm به ترتیب خواص متناظر سرامیک و فلز می باشد، و n توان نسبت حجمی است که می تواند صفر یا بیشتر باشد.
البته دو رابطه مشابه روبرو نیز برای مواد FGM وجود دارد:

2.2. جابجایی و میدان کرنش:
یک تیر FGM با طول l، عرض b، و ارتفاع h، (شکل 1 را ببنید) را در نظر بگیرید. معادلات حاکم بر حرکت با استفاده از اصل همیلتون در غیاب نیرو های حجمی، نیروهای برش سطحی و بارهای گرمایی

که u،v،w تغییرات جایجایی سطح میانی به ترتیب در راستای x،y،z می باشد. همچنین φx و φy به ترتیب بردار چرخشی نرمال حول محور های x و y هستند. در تئوری FSDPT یکی از سه فرضیات اصلی تئوری کلاسیک صفحه لایه لایه (CLPT) نادید گرفته شده است. این بدین معنی است که درFSDPT، مقطع بردار نرمال مستقیم باقی می ماند ولی پس از تغییر شکل بردار نرمال روی مقطع الزامی ندارد. بنابرین φx و φy به ترتیب از әw/әy و әw/әx متمایز می شود. FSDPT منجر به مقدار ثابتی برای تغییر شکل برشی در سرتاسر ضخامت تیر می شود. با جانشین سازی معادله (2) در روابط جابجایی کرنش خطی و با درنظر گرفتن تئوری FSDBT1 داریم:

چرخش های بردار نرمال فقط تابعی از x فرض شده است. همچنین σxx نیز به اندازه کافی کوچک فرض شده است. بنابرین:

2.3.معادلات اویلر – لاگرانژ:
برطبق اصل همیلتون معادلات حاکم بصورت زیر بدست می آید:

که درین رابطه U،T و V به ترتیب انرژی پتانسیل، انرژی جنبشی، و انرژی پتانسیل خارجی سیستم می باشد. همچنین t1 و t2 زمان های دلخواه می باشند. تغییرات انرژی می تواند بصورت زیر نوشته شود:
که p(x,t) بار اعمال شده در سطح بالایی تیر در راستای z است و ρ نیز دانسیته تیر می باشد. با جایگذاری معادلات (2) تا (4) در معادلات (6) و (7) روابط زیر حاصل می شود:

معادلات اویلر- لاگرانژ می توانند با جایگذاری معادلات (8) الی (10) در معادله (5) بدست آیند و سپس با استفاده از اصول اصلی تغییرات معادلات دیفرانسیل داریم:
که Nxx و Nxy برآیندهای تنش، Mxx و Mxy برآیندهای گشتاور و Qx و Qy برآیندهای نیروی برش قائم بر میان صفحه است و می توانند بصورت زیر تعریف شوند:

همچنین I1، I2 و I3 به ترتیب ترم های اینرسی نرمال، لختی دورانی نرمال کوپل شده و لختی دورانی نرمال می باشد که به قرار زیرست:

شرایط مرزی دو لبه تیر می توانند از اصل همیلتون بدست آیند:

شرایط مرزی سمت چپ، شرایط مرزی اصلی و شرایط مرزی سمت راست، شرایط مرزی طبیعی نامیده می شود.
2.4.روابط بنیادی:
روابط اصلی و پایه ای مواد اورتو تراپیک عمومی، می توانن بصورت زیر نوشته شوند:

که Sij مشخص کننده ضریب تن دهی می باشد. با جایگذاری معادله (4) در معادله (21) بدست می آوریم:

در رابطه فوق C44، C45 و C55 ضرایب سختی و C11، C16 و C66 ضرایب سختی کاهیده می باشند. با جایگذاری معادلات (4) و (23) در معادلات (16) الی (18) داریم:

همچنین در معادله فوق K4 و K5 ضریب تصحیح برشی و Aij، Bij، و Cij به ترتیب ضرایب انبساطی، انبساطی -خمشی و سختی خمشی می باشد و به صورت زیر تعریف می شوند:

برای تیر FGM، ترم های جفت شده (کوپل شده) خمشی – پیچشی به صفر می رسند و بنابراین ترم های A16،A26،A45،B16،B26، D16 و D26 عینا صفر می شود. ازاین رو معادله (24) بصورت رابطه (26) کاهش می یابد.
با جایگذاری معادله (26) در معادلات (11) الی (15) معادلات حرکت Navier ناشی از FSDBT1 می توانند در ترم های مولفه های جابجایی بیان شوند.

معادلات حرکت تیر FGM مبتنی بر FSDBT2 می توانند با اعمال تغییرات زیر در FSDPT حاصل شوند.

بنابرین داریم:

با ساده سازی معادله (28)
نتیجه می شود:

با جایگذاری معادله (29) در معادلات (11) تا (15)، معادلات حرکت Navier مبتی بر FSDBT2 حاصل می شود.
3.آنالیز تحلیلی برای مساله ارتعاش آزاد:
معادلات Navier مبتنی بر FSDBT1 عبارتند از:

مشاهده می شود معادلات (32) و (33) از معادله (30) مستقل است. معادلات (30)، (31) و (34) معلول غایب بودن ترم های کوپل شده خمشی – پیچشی در تیر FGM می باشد. برای مطالعه حرکت طولی و عرضی تیر FGM کافیست فقط سه معادله مذکور بررسی شوند.
برای بررسی ارتعاش آزاد می توان فرض کرد که :

که A،B و C ثابت های مختلط مجهول هستند و T(t)=℮ iωt می باشد که ω فرکانس طبیعی است. با جایگذاری معادله (35) در معادلات (30)، (31) و (34) داریم:

برای یک راه حل کلی، دترمینان ماترسی [C] باید صفر شود. حل این معادله به عنوان تابعی از ω و برای هر مقدار λ که λi=(i=1,2,…,6) می باشد، مقادیر A، B و C بدست می اید. در نتیجه حل عمومی برای u،w و φx بصورت زیر خواهد بود:

ماتریس [Δ] می تواند بصورت زیر بیان شود:

با جانشین سازی معادله (38) در معادله (37) بدست می آوریم:

که

بنابرین [M]، در ترم های ω تعیین خواهد شد.
شرایط مرزی می تواند با جایگذاری معادلات (39) و (26) در معادله (20) بصورت زیر بدست آید:

که [B] می تواند برای شرایط مرزی مختلف از معادلات (20) اتخاذ شود.
بطورخلاصه راه حل شامل یافتن بعضی از فرکانس های طبیعی، ω ، که هردوی |[C]|=0 و |[B][M][Λ]|=0 را تامین کند می باشد. برای این مجموعه از معادلات روش سعی و خطا می تواند اعمال شود. پس از فرض کردن مقداری دلخواه برای فرکانس طبیعی، |[C]|=0 با λi=(i=1,2,…,6) حل می شود. این روش تا بدست آمدن |[B][M][Λ]|=0 ادامه خواهد داشت.

در بعضی موارد، به علت اجزاء تشکیل دهنده تیر FGM و مقادیر بزرگ نسبت طول به ارتفاع، مشخصه دترمینان با اعمال شرایط مرزی نادرست می شود. همچین وقتی تئوری تغییر شکل برشی استفاده می شود این حالت، موردی در فرکانس Levy و مشکلات پایداری صفحه هات لایه لایه و پنل های لایه ای است. ازین رو به طور کلی این دترمینان، شامل مقادیر کمیتی مختلطی است که بین مقادیر بزرگ مثبت و منفی نوسان دارد و دلیل آن تغییرات کوچک فرکانس طبیعی است.
بنابرین |[B][M][Λ]| باید به یک مقدار واقعی تبدیل شود. ازین رو در x=0 مقدار u و مشتقاتش تا حدود مرتبه 5 واقعی هستند، پس در نتیجه می توان نوشت:
در صورت جایگذاری [Λ]{A} در معادله (41) با داریم:

این رابطه نشان می دهد که
کمیتی با مقدار واقعیست. همچنین بایستی توجه نمود که، بازنویسی این معادله مشخصه بصورت زیر:

این رابطه، اصلاح روش حل در برابر هرگونه شرایط نامساعد که ممکن است در محاسبه اتفاق بافتد را بدنبال دارد. همچنین یادآوری می کند که [ˉΛ] ظاهر شده در معادله (44) تا وقتی که بردارهای ویژه [ˉΛ] از هم مستقل و جدا هستند، هیچ وقت صفر نیست.

4.نتایج عددی:
نتایج بدست آممده برای یک تیر FGM ساخته شده از آلومنیوم (Al) و آلومین ( اکسید آلومنیوم Alumina) می باشد. جدول 1 بسامد اصلی بی بعد تیر خالص Al با تکیه گاه ساده را نشان می دهد.

فرکانس طبیعی بی بعد فرض شده است و بصورت زیر بدست می آید:

که درین رابطه فرکانس طبیعی تیر FGM است. فرکانس طبیعی بی بعد تیر Al با تکیه گاه ساده از روابط FSDBT1، FSDBT2، و CBT (با قرار دادن n=0 در معادله (1)) بدست آمده و در جدول (1) مشخص شده اند. این جدول برای سه مقدار مختلف نسبت طول به ارتفاع تنظیم شده است. مشاهده می شود نتایج بسیار نزدیک به یکدیگرند برای تایید صحت فرمول کنونی تیر FGM، مقایسه ای بین نتایج FSDBT1، FSDBT2، و نتایج حاصل از رفرنس [21] با اعمال خواص مواد این رفرنس در فرمولاسیون کنونی، در جدول 2 انجام شده است. نتایج بسیار رضایت بخش بود. مخصوصا نتایج بین FSDBT1 و رفرنس [21].

جدول 3 فرکانس های طبعی بی بعد تیر FGM با n=0.3 و شرایط مرزی متفاوت نسبت طول به ارتفاع را نشان می دهد. مشاهده می شود برای تیر آلمنیومی خالص خطای نسبی بین تئوری های FSDBT1 و FSDBT2 کمتر از 2% است ولی برای تیر FGM خطای نسبی حدود 3% می باشد.

شکل 2 فرکانس های طبیعی اصلی بی بعد را در برابر نسبت طول به ارتفاع تیر FGM با تکیه گاه ثابت بر مبنای تئوری FSDBT1 نشان می دهد. مشاهده می شود نتایج بی بعد برای تیر آلومنیومی خالص و تیر آلومین مشابه است. وقتی کسر حجمی اندیس n از صفر به به سمت مقادیر بیشتر میل می کند، فرکانس طبیعی بی بعد از سمت نتایج ماده خالص منحرف می شود و برای n های بسیار بزرگ به سمت مقدار اولیه باز می گردد. این به این معناست که برای مقادیر خاصی از n فرکانس طبیعی بی بعد مینیمم است. برای نشان دادن دقیق این پدیده، فرکانس اصلی طبیعی بی بعد تیر FGM مشابهی، برای نسبت طول به ارتفاع 100 به ازای مقادیر مختلف n مبتنی بر هردو تئوری، در شکل 3 رسم شده است. این نمودار نشان می دهد، علاوه بر مقدار مینیمم، منحنی دارای مقدار ماکزیمم نیز هست. همچنین مشاهده می شود، FSDBT1 نسبت به FSDBT2 مقادیر فرکانس طبیعی اصلی بزرگتری دارد. در شکل 4 بسامد اصلی بی بعد تیر FGM با مقادیر کسر حجمی مختلف برای نسبت های متفاوت طول به ارتفاع، رسم شده است.
در شکل 5، مد شیپ اول تیر یک سر درگیر FG با n=3 برای نسبت های مختلف طول به ارتفاع، بر مبنای تئوری های FSDBT1 و FSDBT2 رسم شده است، که در این نمودار نتایج تئوری کلاسیک تیر (CBT) برای تیر ایزوتروپ با شرایط مرزی مشابه رفرنس [4] در انتهای پایان نامه، نشان داده شده است.

همانطور که مشاهده می شود می توان نتیجه گرفت که مد شیپ های FSDBT1 و FSDBT2 برای نسبت های بزرگ طول به ارتفاع، منطبق بر هم هستند. ولی برای نسبت های کوچک طول به ارتفاع نتایج FSDBT2 و CBT تصافی اند و با نتایج FSDBT1 متفاوتند.
در شکل 6، مد شیپ اول تیر FG مشابهی ( تیر یک سر درگیر) با نسبت طول به ارتفاع 10 و بر مبنای تئوری FSDBT1 برای مقادیر مختلف n نشان داده شده است. همانطور که دیده می شود، مد شیپ های تیرهای FG با مقادیر مختلف n و ترکیبات متفاوت یکسان اند ( همه روی یک خط واقع اند) و مد شیپ اندکی به اندازه تیر وابسته است.
5. نتیجه پایانی:
تئوری جدیدی برای تیر، که برای تیرهای کامپوزیتی چند لایه گسترش داده شده بود، مورد استفاده قرار گرفت تا آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای FGM با تغییر شکل برشی را انجام دهد. معادلات حرکت از اصل همیلتون مشتق شد و سپس فرکانس های طبیعی و مد شیپ ها با روش و متد دقیقی بدست آمد.
نتایج نشان داد که تئوری جدید اندکی با فرکانس طبیعی بدست آمده از تئوری سنتی مرتبه اول تغییر شکل برشی تیر متفاوت است و مد شیپ های هردو روش تصادفی هستند.
همچنین مد شیپ های بدست آمده در بررسی کنونی برای تیرهای FG، با مد شیپ های تیرهای ایزوتروپ CBT (تئوری کلاسیک تیر) متفاوت است. مد شیپ های تیر FG که با استفاده از FSDBT2 بدست آمده اند به هندسه جسم وابسته است در حالی که این وابستگی برای FSDBT1 بسیار ناچیز است. همچنین مد شیپ های تیر FG که از تئوری FSDBT1 بدست آمده است، از نسبت حجمی (اندیس n) مستقل است.

فصل ششم
ارتعاش آزاد و اجباری تیر FGM قرار گرفته در معرض بار هارمونیک متحرک متمرکز

1. مقدمه
2. تئوری ها و فرمول بندی ها
3. نتایج عددی
4. نتیجه گیری
5. پیوست ها
اصطلاحات
مراجع
ارتعاش آزاد و اجباری تیر FGM قرار گرفته در معرض بار هارمونیک متحرک متمرکز
چکیده:
در این فصل، خصوصیات ارتعاش آزاد و رفتار دینامیکی تیر هدفمند با تکیه گاه ساده، قرار گرفته تحت بار هارمونیک متحرک متمرکز، بررسی می شود. دستگاه معادلات حرکت، با استفاده از معادلات لاگرانژ تحت فرضیات تئوری تیر اویلر – برنولی مشتق شده است. توابع آزمایشی که مبتنی بر خیز عرضی و محوری تیر است، به صورت چند جمله ای بیان می شود. قیود و شرایط تکیه گاهی با استفاده از ضرایب لاگرانژ مطرح شده است. فرض کرده ایم که خواص تیر پیوسته در جهت ضخامت طبق قانون نمایی و قانون توانی تغییر کند. در این بررسی اثرات توزیع مواد متفاوت، سرعت بار هارمونیک متحرک، فرکانس تحریک و پاسخ های دینامیکی تیر مورد بحث قرار گرفته است. نتایج عددی نشان می دهد که اثرات ذکر شده فوق، نقش بسیار مهمی در خیز دینامیکی تیر دارد.
1. مقدمه:
یکی از اهداف ساخت مواد هدفمند تشکیل یافته از فلز – سرامیک، استفاده از آن ها در سیستم های عایق حرارتی بوده است، که به دلیل ترک خوردگی یا تورق سیستم های کامپوزیتی دولایه، این مواد که دارای انتقال هموار و یکنواخت خواص مواد تشکیل دهنده است، جایگزین آن ها شده است. همچنین گذار تدریجی، بین حرارت و مقاومت در برابر خوردگی، در لایه بیرونی ( که معمولا از مواد سرامیکی ساخته شده است) و ماده فلزی چقرمه، در اکثر موارد طول عمر مواد تشکیل دهنده را افزایش می دهد. در طبیعت ما می توانیم نمونه های از مواد FGM را مثلا در بامبو یا خیزران، استخوان ها و دندان ها مشاهده کنیم. در هر مورد یک لایه خارجی مقاوم وجود دارد که به آرامی به لایه نرم داخلی می رسد. از دیگر کاربردهای مواد هدفمند می توان از، پوشش های عایق حرارتی در پره های توربین (تولید برق)، زره و پوشش های محافظ در کاربرد های نظامی، تجهیزات جوش هسته ای، مواد بیو مدیکال مانند ایمپلنت های استخوان و دندان، صنایع هوایی و هوا فضا، صنایع خودرو سازی و … نام برد.
مطالعات اختصاص یافته برای درک رفتار استاتیکی و دینامیکی تیرها، صفحات و پوسته ها و پوشش های FGM در دهه های اخیر مورد توجه قرار گرفته است، که دلیل آن کاربرد گسترده این مواد است. هر چند مطالعه در مورد تیرهای کامپوزیتی همگن یا کلاسیک که در معرض بارهای متحرک قرار دارند، به طور گسترده ای انجام شده است، ولی تحقیقات اختصاص یافته به ارتعاش تیرهای FG قرار گرفته تحت بارهای متحرک بسیار محدود بوده است.
Sankar، یک راه حل الاستیسیته را بر اساس تئوری اویلر – برنولی برای تیرهای هدفمند قرار گرفته در معرض بارهای عرضی استاتیکی، با فرض اینکه مدول یانگ تیر در سرتاسر ضخامت به طور نمایی تغییر می کند، ارائه داده است. Chakraborty، تئوری جدیدی را برای مطالئه رفتار ترموالاتیک ساختارهای تیر FG ارائه کرده است. همچنین آن ها، آنالیز استاتیکی ، آزاد و انتشار موجی انجام را دادند، تا تفاوت رفتاری تیر هدفمند را با فلز و سرامیک خالص مشخص کند. Chakraborty و Gopalakrishnan، رفتار انتشار موج تیر FG را تحت فشار بار فرکانسی بالا که می تواند حرارتی یا مکانیکی باشد، با استفاده از روش المان محدود طیفی بررسی کرده اند. Aydogdu و Taskin، رفتار ارتعاش آزاد تیر هدفمند هدفمند با تکیه گاه ساده (که در فصل سوم همین پروژه بررسی شده است) را با استفاده از تئوری اویلر – برنولی، تئوری تغییر شکل برشی سهموی و تئوری تغییر شکل برشی نمایی، بررسی کردند. Zhong و Yu، راه حلی تحلیلی را برای تیر یک سردرگیر FG با تغییرات درجه بندی شده اختیاری توزیع مواد،براساس تئوری الاستیسیته دوبعدی ارائه کرده اند. Yingوهمکارانش، راه حل های دقیقی را برای ارتعاش آزاد و خمش تیرهای FG خوابیده روی پایه الاستیک Winkler- Pasternak بر اساس تئوری الاستیسیته، با فرض اینکه تیر در هر نقطه دارای محور اصلی عمودی است و خواص مواد در راستای ضخامت متغییر است، ارائه کردند. Kapuria و همکارانش ، یک مدل المان محدود برای پاسخ های ارتعاش آزاد و استاتیکی تیرهای FG لایه ای، با استفاده از تئوری کارآمد زیگزاگ مرتبه سوم، برای ارزیابی مدول های الاستیسیته موثر و تایید صحت آزمایش آن برای دو مجموعه از FGM های متفاوت تحت شایط مرزی مختلف ارائه کردند. Yang و Chen، ارتعاش آزاد و کمانش الاستیک تیرهای FG با ترک های لبه ای باز بوسیله روش تیر اویلر – برنولی مورد مطالعه قرار داند. Li ، دیدگاه و رویکرد جدیدی را برای بررسی رفتار استاتیک و ارتعاش آزاد تیر های اویلر – برنولی و تیموشینکو ارائه کرد. در مطالعه اخیری، Yang و همکارانش، ارتعاش آزاد و اجباری تیرهای FG ترک دار، قرار گرفته در معرض نیروی محوری و بار متحرک بوسیله تکنیک بسط مودال را مورد بررسی قرار دادند. در بررسی آن ها، فرض شد که خواص مواد تیر بطور به طور نمایی نمایی در جهت ضخامت تغییر می کند و بار متحرک، یک بار متحرک ثابت است.
هدف از این فصل، بررسی ارتعاش آزاد و اجباری تیر FGM با تکیه گاه ساده است که در معرض بارهای هارمونیک متحرک متمرکز قرار دارد. در پاسخ های دینامیکی تیر، توابع وابسته به مکان به عنوان توابع چند جمله ای انتخاب شده اند. دستگاه معادلات حرکت با استفاده از معادلات لاگرانژ و تحت فرضیات تئوری تیر اویلر – برنولی بدست آمده است. شرایط تکیه گاهی با استفاده از ضرایب لاگرانژ در محاسبات آورده شده است. همچنین فرض کرده ایم خواص تیر بطور پیوسته در راستای ضخامت و طبق قانون نمایی و توانی تغییر می کند. معادلات حرکت با استفاده از متد انتگرال گیری ضمنی زمانی نیومارک حل شده است و از این رو جابجایی ها، سرعت ها و شتاب های تیر در نقاط و زمان مورد نظر تعیین شده اند. در این بررسی، اثرات توزیع مواد مختلف، سرعت بارگذاری هارمونیک متحرک، فرکانس تحریک و پاسخ های دینامیکی تیر بحث می شود. نتایج عددی نشان می دهد که اثرات فوق الذکر نقش مهمی در خیز دینامیکی تیر دارد.
2. تئوری ها و فرمول بندی ها:
همانطور که در شکل 1 مشاهده می کنید، یک تیر هدفمند با تکیه گاه ساده به طول L، عرض b، ضخامت ( یا ارتفاع) h، با سیستم محور مختصات (O xyz) با مبدا مختصاتی O نشان داده شده است.تیر در معرض بار هارمونیک متمرکز متحرک Q(t) قرار دارد و در جهت محوری و با سرعت ثابت حرکت می کند.

در این بررسی فرض بر این است که خواص مواد تیر یعنی مدول یانگ E و دانسیته ρ، بطور پیوسته در در جهت ضخامت (محور z) طبق قوانین توانی و نمایی تغییر می کند. بنابراین خواص مواد توابعی از محور مختصات z یعنی E=E(z) و ρ=ρ(z) هستند. قانون نمایی بصورت زیر بیان می شود:

و (مثل فصول قبل) قانون توانی که بوسیله رفرنس [32] معرفی شده، به صورت زیر نوشته می شود:

همانطور که فصول قبل نیز بیان شده، PU و PL خواص مواد در سطوح بالا و پایین تیر هستند، K مولفه غیر منفی قانون توانی است، که تغییرات پروفیل ماده را در جهت ضخامت تیر بیان می کند. از دو معادله فوق نتیجه می شود که وقتی z=h/2 است، PU = P می باشد و وقتی z=-h/2 است، PL = P می باشد.
بر اساس تئوری تیر اویلر – برنولی جابجایی محوری u و جابجایی عرضی هر نقطه از تیر w، بصورت زیر است:

که در آن u0 و w0 به ترتیب تغییر مکان محوری و عرضی هر نقطه روی تار خنثی هستند و t نماینگر زمان است. با در نظر گرفتن تغییر شکل های کوچک و با فرض اینکه مواد تیر FGM از قانون هوک تبعیت می کند، کرنش ها و تنش های تیر بصورت زیر بدست می آیند:

که درآن σxx و εxx به ترتیب تنش نرمال و کرنش نرمال در راستای x می باشند. انرژی کرنشی تیر در هر لحظه در دستگاه مختصات کاترتزین به صورت زیر است:

که در رابطه فوق A مساحت سطح مقطع تیر است. با جایگذاری معادلات (5) و (6) در معادله (7) بدست می آوریم:

که Axx، Bxx، Dxx به ترتیب نمایان نگر میزان انبساط (کشیدگی)، کوپلینگ و صلابت خمشی می باشد، و به صورت زیر تعریف می شود:

با در نظر گرفتن اثرات اینرسی دورانی و اینرسی محوری، انرژی جنبشی تیر Ke در هر لحظه بصورت زیر به دست می آید:

ضرایب موجود در معادله (10) بصورت زیر تعریف می شوند:

که ρ دانسیته تیر است. پتانسیل بار هارمونیک متحرک متمرکز در هر لحظه برابرست با:

Q0 در رابطه فوق مقدار بار هارمونیک متحرک، Ω فرکانس تحریک بار هارمونیک متحرک، c(t) تابع پله واحد، t1 زمانی که بار Q(t) عینا به تیر اعمال می شود (t1 در این بررسی صفر است)، t2 زمانی که بار Q(t) عینا از روی تیر برداشته می شود و xQ(t) مکان بار هارمونیک محترک در هر لحظه است و بصورت زیر بیان می شود:

که در آن v سرعت بار هارمونیک متحرک در امتداد راستای x است. مسئله اساسی بصورت زیر بیان می شود:

برای اینکه معادلات لاگرانژ را بتوان بکار برد، توابع نامعین w0(x,t) و u0(x,t) با ترم های چند جمله ای x0,x1,x2,…,xn-1 و مختصات تعمیم یافته وابسته به زمان An(t) و Bn(t) تقریب زده شده اند. بنابراین:

شرایط تکیه گاهی با استفاده از ضرایب لاگرانژ برآورده شده است. شرایط مرزی تیر با تکیه گاه ساده به شکل زیر بدست می آید:

فرمولاسیون ضرایب لاگرانژ در مسئله مورد نظر نیاز به ساخت توابع لاگرانژ بصورت زیر دارد:

در معادله 17، مقادیر β1,β2,β3 ضرایب لاگرانژ هستند، که عکس العمل های تکیه گاهی در مسئله فوق هستند. با مطرح کردن تعاریف زیر داریم:

پس از جایگذاری معادلات 15(a) و 15(b) در معادله (17) و سپس استفاده از معادلات لاگرانژ داریم:

که حاصل آن دستگاه معادلات حرکت زیر است:

در رابطه (20)، [K] ماتریس سختی، [M] ماتریس جرم، {F(t)} بردار تعمیم یافته واسته به زمان که بوسیله بار هارمونیک کتحرک متمرکز ایجاد شده است، و {q(t)} = {A(t) , B(t) , β(t)}T مختصات تعمیم یافته است. اندازه ماتریس های [K] و [M] برابر (2N+3)x(2N+3) است و اندازه بردار {F(t)} برابر (2N+3) می باشد. معادلات حرکت با استفاده از روش انتگرال گیری ضمنی زمانی نیومارک -β ، حل می شود و در نتیجه حل شدن آن جایجایی ها، سرعت ها و شتاب های تیر در نقطه و زمان مورد نظر در محدوده زمانی 0≤ t ≤L/v بدست می آید.در ضمن برای محاسبه سختی و ماتریس جرم در معادله (20)، از مربعات گوسی استفاده می شود.
برای آنالیز ارتعاش آزاد، مختصات تعمیم یافته وابسته به زمان به صورت زیر بیان می شود:

که در آن ω فرکانس طبیعی تیر است. به طور کلی فرکانس های ارتعاش آزاد، در بیشتر مقالات و تحقیقات به فرم بی بعد به دست می آید. ما هم از فرم بی بعد آن استفاده می کنیم. حال فرم بی بعد مقادیر زیر را در نظر بگیرید:
در رابطه فوق I=bh3/12، ممان اینرسی سطح مقطع تیر می باشد. با جایگذاری معادله (21) در (20) و در نظر گرفتن معادله (22)، وقتی بردار بار خارجی {F(t)} در معادله (20) صفر لحاظ شود، این وضعیت منجر به مجموعه هایی از معادلات همگن خطی (معادله فرکانس) می شود که به فرم ماتریسی زیر بیان بیان می شود:

فرکانس های بی بعد (مقادیر ویژه) λ از شرایطی که در آن دترمینان دستگاه معادلات با صفر شدن معادله (23) بدست آمده، پیدا می شود.
3. نتایج عددی:
در نتایج عددی، ارتعاش آزاد و اجباری تیر FGM با تکیه گاه ساده، بررسی می شود. در آنالیز ارتعاش آزاد، سه فرکانس بی بعد اول تیر محاسبه شده و به صورت جدولی برای توزیع مواد مختلف، مدول های یانگ ماده بالایی الی ماده پایینی تیر و ضریب لاغری ارائه ی شود. در آنالیز ارتعاش اجباری تیر هدفمند از فولاد و آلومین (Al2O3) ساخته شده است و خواص در طول ضخامت تیر طبق قوانین توانی و نمایی تغییر می کند. بنابراین سطح پایین تیر، فولاد خالص است و سطح بالای آن اکسید آلومنیوم خالص است. خواص فولاد و آلومین در جدول 1 آمده است. شکل 2 تغییرات مدول یانگ و دانسیته را در راستای ضخامت تیر FG، برحسب قوانین نمایی و توانی نشان می دهد. همچنین پارامترهای تیر عبارتند از: L=20m , b=0.4m , h=0.9m
در آنالیز ارتعاش اجباری، خیزهای دینامیکی تیر با خیز استاتیکی تیر کاملا فولادی D= Q0L3/48E steel تحت یک بار نقطه ای Q0 در فاصله بین دو تکیه گاه تیر، نرمال می شود. در نتیجه خیزهای دینامیکی نرمال شده به مقدار بار متحرک Q(t) بستگی ندارد. توزیع تنش نرمال محوری در طول ضخامت تیر برای مقادیر مختلف سرعت بار متحرک، فرکانس تحریک و توزیع مواد ارائه شده است. به طور مشابه تنش های محوری در نقطه میانی تیر، وقتی بار متحرک در آنجا قرار دارد (یعنی در وسط تیر قرار دارد)، محاسبه می شود، و نیز آنها بوسیله ماکزیم تنش نرمال محوری و استاتیکی تیر کاملا فولادی، تحت یک بار نقطه ای نرمال می شوند که بزرگی این بار Q0=100 KN است و در بین دو تکیه گاه تیر قرار دارد. همچنین باید توجه کرد، که تمام این محاسبات به طور خودکار و با سازماندهی انجام شده است.
هرچند مطالعات همگرایی در اینجا نشان داده نشده است، ولی وقتی بیش از 12 ترم در توابع جابجایی بکار رود و تعداد گام های زمانی در روش نیومارک 250 گرفته شود، صحت و دقت نتایج عددی رضایت بخش خوهد بود. بنابراین در محاسبات بعدی تعداد ترم های توابع جابجایی گام های زمانی به ترتیب 14 و 500 در نظر گرفته می شود. در این مورد اندازه ماتریس های سختی و جرم 31×31 می باشد (2N+3 و N=14).
در جداول 2 الی 4 سه فرکانس اول بدون بعد تیر FG برای مقادیر مختلف نسبت مدول یانگ Eratio، و مولفه قانون توانی k، به ازاء L/h= 20 , 100 ارائه شده است. در این محاسبات نسبت جرمی ماده بالایی و پایینی ثابت فرض شده است ( ρratio=1). با توجه به جدول مشاهده می شود که با افزایش Eratio فرکانس های بدون بعد افزایش می یابد و Eratio تاثیر بیشتری روی فرکانس بی بعد، برای مقادیر کوچکتر k نسبت به مقادیر بزرگتر k دارد. با افزایش مقدار k، اثر افزایش Eratio بر فرکانس های طبیعی کاهش می یابد. به عنوان مثال وقتی k=0 است، 1λ به ازای 0.25=Eratio و 4=Eratio به ترتیب 2.2213 و 4.4427 می باشد. از طرف دیگر وقتی k=10 است، به ازای همین مقادیر Eratio، λ1 به ترتیب 3.0100 و 3.4565 است. به عنوان یک نتیجه گیری، می توان فهمید که تیر به ازای 1=Eratio تیر همگن و متجانس است و با توجه به تحقیقات گذشته مشخص است که سه فرکانس اول بدون بعد تیر همگن با تکیه گاه ساده به ترتیب برابر λ1=3.1415 , λ2=6.28318 , λ3=9.42477 می باشد. با توجه به جداول این وضعیت با نتایج بدست آمده تایید می شود. به علاوه فرکانس های بدست آمده با استفاده از قانون نمایی مابین فرکانس های بدست آمده از قانون توانی، به ازای k=1 و k=2 می باشد.
شکل های 3 و 4 نمایی تصویری از تغییرات جداول 2-4 را نشان می دهد. شکل 3 تغییرات فرکانس اول بی بعد را با مولفه قانون توانی به ازای مقادیر مختلف Eratio نشان می دهد. چون این استدلال ها برای فرکانس های دوم و سوم نیز معتبر است، لازم نیست که شکل های مشابهی را برای دو فرکانس دیگر رسم نمود. با توجه به شکل 3، فرکانس اول بی بعد، با افزایش مولفه k قانون توانی و وقتی Eratio کمتر از واحد است، افزایش می یابد، در حالیکه با افزایش مولفه k، وقتی Eratio بیشتر از واحد است، کاهش می یابد. در هردو حالت واضح است که فرکانس اول بی بعد تیر هدفمند، با افزایش مولفه k قانون توانی، به فرکانس اول بی بعد تیر همگن نزدیک می شود.
در شکل 4 تغییرات فرکانس اول با Eratio، به ازای مقار مختلف k قانون توانی، نشان داده شده است. شکل های مشابه را می توان برای دو فرکانس بعدی رسم کرد. به طور واضح در این شکل مشاهده می شود، که فرکانس های بی بعد با افزایش Eratio افزایش می یابد و همانطور که قبلا گفته شد، منحنی های مقادیر مختلف مولفه k یکدیگر را زمانی که 1=Eratio است، قطع می کنند.

شکل 5

ارتباط بین سرعت بار متحرک و حداکثر خیز دینامیکی بی یعد تیر را در مرکز آن،به ازای مقادیر مختلف مولفه k قانون توانی نشان می دهد. در شکل 5، سرعت بار متحرک از رنج v = 1m/s تا v =300m/s با فواصل 1m/s تغییر می کند و حداکثر خیز دینامیکی بی بعد در مرکز تیر در برابر سرعت های متقابل رسم شده است. در شکل 5 واضح است، که سرعت بارگذاری متحرک اثر چشمگیری بر پاسخ دینامیکی تیر دارد. همچنین باید توجه کرد، که مقادیر مکازیمم تغییر مکان، با افزایش سرعت بار متحرک تا مقدار مشخصی، افزایش می یابد و پس از این مقدار مقدار مشخص سرعت، کاهش می یابد. به عنوان یک نتیجه گیری مورد انتظار، می توان گفت که مقدار حداقل خیز دینامیکی نرمالایز برای تیر کاملا آلومینی توسط خطوط مشکی پررنگ، و مقدار حداکثر آن برای تیر کاملا فولادی توسط خط آبی آسمانی می باشد. می توان از شکل 5 دریافت که با افزایش مولفه k، خیز دینامیکی نرمالایز شده افزایش می یابد. با بررسی معادله (2) و شکل 2a، مشخص می شود که افزایش مولفه k قانون توانی، منجر به کاهش مدول یانگ و استحکام خمشی شده است. همچنین تیر به ازای k=0، غنی از آلومین است (E(z) = Ealumina , ρ(z) = ρalumina)، و به ازای مقادیر بسیار زیاد k (مثلا k=1000)، تیر غنی از فولاد است (E(z) ≈ Esteel , ρ(z) ≈ ρsteel). در جدول 5 مقادیر ماکزیمم خیز نرمالایز شده و سرعت های نظیر آن برای شکل 5 ارائه شده است. در جدول 5 مشاهده می شود که تغییر مکان برای قانون توانی و نمایی به ازای k=1، برای پارامترهای مطرح شده ، به یکدیگر نزدیک است.
شکل 6 تغییرات حداکثر خیز نرمالایز شده، در مرکز تیر را با مولفه k قانون توانی، به ازای Ω=0,20,40,80 rad/s را نشان می دهد. در شکل 6 واضح است که وقتی مولفه k افزایش می یابد، تغییر مکان (جابجایی) دینامیکی به ازای rad/s Ω=0,20 افزایش می یابد، ولی به ازای rad/s Ω=40,80، خیز در شکل 6c و 6d خصوصیات متفاوتی را نسبت به شکل های 6a و 6b نشان می دهد. با توجه به شکل 6c، وقتی Ω=40 rad/s باشد، خیز بسیار زیادی اتفاق می افتد و این وضعیت وقتی v =10m/s و v =20m/s باشد، بیشتر خود را نشان می دهد. در عین حال مشاهده می شود، ماکزیمم خیز دینامیکی با ازاء k=3 است. دلیل آنرا می توان به صورت زیر بیان کرد. فرکانس اصلی تیر ω=39.8213 rad/s به ازای k=3 است و این بسیار نزدیک به فرکانس اجباری یعنی ω=40 rad/s است. بنابر این پدیده رزونانس برای این پارامترها اتفاق می افتد. همچنین باید توجه داشت که کاهش سرعت بار هارمونیک، منجر به افزایش خیزهای تیر به ازای Ω=40 rad/s می شود. به نظر می رسد وقتی سرعت بار هارمونیک متحرک کاهش می یابد، زمان اعمال بار بر روی تیر طولانی تر می شود، بنابراین با متحرک هارمونیک، سیکل های بیشتری را در سرعت های کمتر ایجاد می کند. در مقابل همانگونه که در شکل های 6a,b,d ملاحظه می کنید، (برای Ω=0,20,80) خیز تیر معملا با افزایش سرعت بار هارمونیک متحرک، افزایش می یابد.
همانطور که از مکانیک ارتعاشات می دانیم، وقتی فرکانس های اجباری طبیعی یک سیستم به یکدیگر نزدیک شوند، دامنه نوسان بسیار بزرگ می شود. برای جلوگیری از چنین وضعیتی دو راه وجود دارد:

1. افزودن دمپر (میراکننده) به سیستم
2. جدا نگه داشتن فرکانس های اجباری و طبیعی، از هم
در شکل 6 این وضعیت به وضوح قابل مشاهده است. در شکل های 6a و 6b، فرکانس های اجباری از فرکانس های طبیعی کوچکتر هستند. در شکل 6c، فرکانس اجباری بسیار نزدیک به فرکانس طبیعی است. در شکل 6d فرکانس های اجباری بزرگتر از اولین فرکانس طبیعی است. تازمانی که فرکانس اجباری به اولین فرکانس طبیعی نزدیک می شود، با افزایش فرکانس اجباری، پاسخ ها افزایش می یابند. زمانی که فرکانس اجباری بزرگتر از اولین فرکانس طبیعی می شود، افزایش در آن باعث کاهش پاسخ ها می شود. همچنین در شکل 6 قابل مشاهده است، با انتخاب مولفه k مناسب، می توان از رزونانس جلوگیری کرد.
مولفهk قانون توانی، باعث تغییرات در سختی و به تبع آن فرکانس طبیعی تیر می شود. بنابراین می توان نتیجه گرفت که با قرار دادن فرکانس های اجباری و طبیعی بطور جدا ازهم، می توان مولفه قانون توانی مناسب را برای فرکانس های اجباری و پارامترهای تیر مشخص کرد.

در شکل 7، خیز تیر نرمالایز شده تحت بار متحرک (Ω=0) در بازه زمانی، برای مقادیر مختلف مولفه قانون توانی، به ازای v =20,40.80m/s نشان داده شده است. مشاهده می شود سرعت بار متحرک و مولفه k، نقش مهمی در رفتار دینامیکی تیر FG بازی می کند.
در شکل های 8 و 9، توزیع تنش نرمال محوری در سرتاسر ضخامت تیر، برای مقادیر مختلف سرعت بار متحرک و توزیع مواد، به ازای Ω=0 و Ω=20 نشان داده شده است. در این شکل ها، تنش های نرمال محوری در نقطه میانی تیر وقتی که بار متحرک درآن نقطه قرار دارد، محاسبه شده است. همچنین این تنش ها بوسیله ماکزیمم تنش محوری استاتیکی تیر کاملا فولادی، تحت یک بار نقطه ای با بزرگی Q0=100KN، در بین فاصله دو تیکه گاه تیر، قاعده شده است. همچنین باید توجه کرد، که تنش های محوری کششی – فشاری به ترتیب با علامت های مثبت و منفی نشان داده می شوند. از روی شکل کالا مشخص است که توزیع تنش نرمال، در تیرهای کاملا فولادی و کاملا آلومینی، خطی است و مقدار تنش کششی – فشاری باهم برابرست، که به معنی آن است که صفحه خنثی تیرها، منطبق با صفحه میانی آنهاست، اما همانطور که در شکل های 8 و 9 مشاهده می شود، توزیع تنش تیر FG خطی نیست و مقدار تنش های فشاری – کششی باهم فرق دارند.

همچنین محور تار خنثی، به ازای k=0.3,1,3 به سمت بالای تیر FG حرکت می کند. دلیل این امر، تغییرات خواص مواد تیر در راستای ضخامت آن است. در شکل 8 قابل مشاهده است که وقتی مقدار بار متحرک ثابت است، یعنی Ω=0، تنش ها در بافت بالای تیر فشاری است و مقدار تنش های محوری فشاری بیش از مقدار تنش های محوری کششی به ازاء k=0.3,1,3 می باشد. به عکس، همانطور که در شکل 9 نشان داده شده است، در مورد بار متحرک با فرکانس تحریک Ω=20 rad/s، تنش ها در بافت بالایی کششی است، در حالیکه تنش ها در بافت پایینی فشاری است. همچنین در شکل 8 و 9 می بینیم که سرعت، فرکانس تحریک تیر و مولفه های قانون توانی، تاثیر زیادی بر توزیع تنش نرمال محوری تیر FG دارند و با انتخاب مولفه قانون توانی مناسب، می توان خواص مواد تیر هدفمند را طوری ساخت، که اهداف مورد نظر برای به حداقل رساندن تنش ها در ساختار نوع تیر برآورده شود.
4. نتیجه گیری:
خصوصیات ارتعاش آزاد و رفتار دینامیکی تیر هدفمند، با تکیه گاه ساده، تحت بارهای هارمونیک متحرک متمرکز، تحلیل شد. دستگاه معادلات حرکت، با استفاده از معادلات لاگرانژ، تحت فرضیات تئوری اویلر – برنولی بدست آمد. توابع آزمایشی، که مبتنی بر خیزهای عرضی و محوری تیر بودند، به صورت چند جمله ای بیان شدند. شرایط تکیه گاهی، با استفاده از ضرایب لاگرانژ بررسی شد. فرض که که خواص تیر، بصورت پیوسته در جهت ضخامت، طبق قانون نمایی و توانی تغییر می کند. همچنین، اثرات توزیع ماده مختلف، سرعت بار هارمونیک متحرک و فرکانس تحریک بر پاسخ های دینامیکی تیر FG بحث شد. با توجه به بررسی ها، مشاهده شد که اثرات فوق الذکر، نقش بسیار مهمی در رفتار دینامیکی تیر FG دارد.
5. پیوست ها:
معادلات حرکت (20) را می توان به فرم صریح زیر نوشت:
که [k1] – [k4] ماتریس سختی است. ماتریس های [k5s] – [k8s] به سبب ضرایب لاگرانژ موجودند. همچنین [M1] – [M4] ماتریس های جرم اند. {f} نیز بردار بار کلی است. در معادله (A1)، اختصارات زیر مطرح شده اند:

که عبارات ()' و ()'' به ترتیب مشتقات اول و دوم نسبت به x هستند. همچنین xA و xB، به ترتیب مختصات تکیه گاه چپ و راست تیر هستند.
اصطلاحات:

فصل هفتم
تحلیل ارتعاش آزاد تیر ساندویچی با هسته FG به روش بدون المان گالرکین

1. مقدمه
2. روش بدون المان گالرکین
2.1 تقریب MLS
2.2 فرمولاسیون ضعیف گالرکین برای الاستودینامیک
3. روش پنالتی برای شرایط پیوستگی
4. تعین خواص مواد در FGM ها
4.1 تکنیک قاعده مخلوط
4.2 تکنیک میکرو مکانیک
5. آنالیز ارتعاش آزاد
6. مثال های عددی
6.2 آنالیز ارتعاش آزاد تیر یک سردرگیر الاستیک
6.2 آنالیز ارتعاش آزاد تیر یک سردرگیر ساندویچی با هسته الاستیک
6.3 آنالیز ارتعاش آزاد تیر یک سر درگیر با هسته FG
7. نتیجه گیری
اصطلاحات
مراجع
تحلیل ارتعاش آزاد تیر ساندویچی با هسته FG به روش
بدون المان گالرکین
چکیده:
در این فصل آنالیز ارتعاش آزاد تیرهای ساندویچی با هسته ساخته شده از مواد هدفمند، بررسی می شود. برای تحلیل، روش بدون المان گالرکین (Galerkin) و فرمولاسیون گالرکین، برای حل مسائل الاستیسیته دوبعدی مطرح می شود. روش پنالتی (Penalty)، برای مدل سازی اتصال و سطح مشترک بین هسته و ورقه های سطح، در تیر ساندویچی بکار رفته است. با استفاده از تشابه مواد در هسته و ورقه های سطح، کاربردی بودن مدل امتحان می شود. ده فرکانس طبیعی اول تیر ساندویچی با هسته الاستیک، بدست امده است. نتایج، تطابق خوبی را با نتایج بدست آمده از روش المان محدود، نشان می دهد. سرانجام فرکانس های طبیعی تیر ساندویچی با هسته FG مورد بحث قرار می گیرد.

1. مقدمه:
با مطرح شدن روش المان محدود (FEM) به عنوان ابزاری نیرومند برای آنالیز و تحلیل عددی مسائل مهندسی، بسیاری از دانشمندان این زمینه از آنالیز را مورد مطالعه و آزمایش قرار داده اند. توانایی روش المان محدود، بخصوص در مورد مسائلی که راه حل تحلیلی ندارد، این تکنیک را قویترین ابزار موجود، خصوصا در مکانیک جامدات ساخته است. ایده اصلی در روش المان محدود، بر مبنای تقسیم دامنه مسئله به قسمت های کوچکتر به نام المان ها می باشد. می توان گفت فرآیند ایجاد شبکه یا مش بندی، محدود کننده ترین قسمت در روش المان محدود است، زیرا فرآیندی پرهزینه و زمانبر است. به علاوه در مسائلی با تغییر شکل های بزرگتر، اعوجاج المان ها باعث خطاهای قابل توجهی در محاسبات می شود.
اخیرا روش های بدون مش بندی توجه محققان را به خود جلب کرده است. دلیل آن این است که برخلاف روش المان محدود، روش های بدون مش بندی نیازی به شبکه از پیش تعریف شده ندارند، خصوصا برخی از آن ها، واقعا روش هایی بدون مش بندی اند. در روش های بدون مش بندی، با تعدای از گره های پراکنده در دامنه و حیطه مسئله، معادلات حاکم با نتایج قابل قبولی حل می شوند. چندین روش بدون شبکه بر اساس فرمولاسیون های مختلف معرفی شده اند. بعنوان مثال روش های SPH، EFG، MLPG، PIM، RKPM و NBNM ، شناخته شده ترند. روش بدون المان گالرکین [EFG]، یکی از روش های بدون مش بندی است، که توانایی زیادی را در حل مسائل مکانیک جامدات از خود نشان داده است .در این روش تقریب کمترین مجذورات متحرک (یا تقریب حداقل مربعات متحرک) برای متغییر فیلد (میدان) استفاده می شود.
امروزه ساختارهای کامپوزیتی، به طور گسترده در صنایع گوناگون استفاده می شود. تیرهای ساندویچی و صفحاتی که به عنوان ساختارهای کامپوزیتی با مقادیر بالای نسبت استحکام به وزن دسته بندی می شوند، به عنوان ساختارهای پیشرفته جدیدی مطرح شده اند. با توجه به اینکه مواد هدفمند دارای پیوستگی تغییرات خواص در جهت های خاصی هستند، تیرهای ساندویچی با هسته انعطاف پذیر و هدفمند (FG)، به عنوان نسل جدید ساختارهای پیشرفته شناخته می شودند.
در این فصل، رفتار ارتعاش آزاد تیر ساندویچی با هسته FG، به روش بدون المان گیری گالرکین، به عنوان یک روش بدون مش بندی قدرتمند و شناخته شده بکار گرفته می شود. همچنین روش پنالتی برای برآورد شرایط مرزی ضروری و پیوستگی تیر مورد استفاده قرار گرفته است.

2. روش بدون المان گالرکین:
روش بدون المان گالرکین (EFG)، یکی از روش های بدون شبکه است که توسط Belytschko و همکارانش، ارائه شده است. این روش اساسا از دو جنبه تشکیل یافته است:
1. ساخت تقریب بدون شبکه با استفاده از تکنیک کمترین مجذورات متحرک (MLS)
2. فرمولاسیون فرم ضعیف گالرکین برای تسط بر تقریب عددی
2.1 تقریب MLS:
روش MLS در حال حاضر به طور گسترده در ساخت توابع شکل، برای متد بدون مش بندی بکار می رود. در این روش جابجایی کلی نقطه بهره x، یعنی u(x)، با تابع تقریب جابجایی uh(x)، بصورت زیر تقریب می شود:

که در آن p(x)، ریشه چند جمله ای و a(x) بردار ضرایب است. m نشان دهنده تعداد ترم ها در ریشه چند جمله ای است. در حالت تک بعدی، یک ریشه چند جمله ای مرتبه q بصورت زیر بدست می آید.

و در حالت دو بعدی:

برای مثال p1T=(1,x,y) یک ریشه خطی با q=1 و m=3 است.
در تقریب MLS، در هر نقطه x ، a(x) برای به حداقل رساندن باقی مانده سنگین انتخاب می شود:

که n تعداد گره های شامل حوزه پشتیبانی نقطه x، w(x-xI) تابع وزنی تعریف شده روی حوزه پشتیبانی نقطه x و u1 مقدار مقدار گره ای در، در گره I است. برای ایجاد شرایط کیمینه سازی باید:

در نتیجه دستگاه معادله خطی زیر حاصل می شود:

در رابطه 6، ماتریس متقارن A، ماتریس ممان وزنی خوانده می شود و B ماتریس نامتقارن است. این ماتریس ها به فرم زیر هستند:

با جایگذاری معادله (6) در معادله (1) داریم:

که در آن BI، عنصر I ام ماتریس B و φI تابع شکل MLS می باشد، که به صورت زیر بیان می شود:

توابع وزنی یعنی w(x-xI)، نقش مهمی در تقریب MLS ایفا میکند. چندین تابع وزنی توسط محققان مختلف، استفاده شده است. در اینجا، تابع وزنی مکعبی (فضایی) را استفاده می کنیم، که بصورت زیر تعریف می شود:

که در آن، di=|x-xi|، فاصله گره i تا نقطه نمونه x است و rw اندازه حوزه پشتیبانی برای تابع وزنی است. توجه کنید که تابع شکل بدست آمده دارای خواص دلتای کرونکر یعنی φi(xi)≠1 و φi(xj)≠0 نمی باشد.
2.2 فرمولاسیون ضعیف گالرکین برای الاستودینامیک :
معادله حاکم بر مسائل الاستودینامیک، شامل یک سیستم نامیرا با دامنه Ω، و محدود شده با Γ، عبارت است از:

که m دانسیته جرمی، شتاب، سرعت، σij تانسور تنش و ()j نشان دهنده می باشد. مورد ویژه در فرمولاسیون فوق، الاستواستاتیک است که در آن، عبارت شتاب در سمت راست برابر صفر است.
شرایط مرزی ابتدایی برای معادله (13) بصورت زیر بدست می آید:

که ūi تغییرمکان تعیین شده در مرز اصلی Γu، ̄ti کشش مجاز در مرز طبیعی Γt، n یکه نرمال خارجی، u0 جابجایی اولیه و v0 سرعت اولیه می باشد. قاعده فرم ضعیف گالرکین می تواند مستقیما با استفاده از اصل اهمیلتون برای مسائل مکانیک جامدات مشتق شود:

که L تابع لاگرانژی است و برای سیستم جامدات و ساختارها به صورت زیر تعریف می شود:

در معادله فوق، T انرژی جنبشی، Π انرژی کرنشی و Wf کار انجام شده توسط نیروهای خارجی است. این مقادیر به صورت زیر تعریف می شوند:

با اعمال مرز اصلی، با استفاده از روش پنالتی (17)، تابع لاگرانژی بصورت زیر بدست می آید:

که α پارامتر پنالتی است. با جایگذاری معادله (20) در معادله (15) داریم:
با جایگذاری معادله (9) در (21)، معادله زیر به صورت ماتریسی ایجاد می شود:

ماتریس ها و بردارها در معادله فوق، با عبارت های ذیل تعریف می شود:

3. روش پنالتی برای شرایط پیوستگی:
رفتار ناپیوستگی ماده در قاعده FEM ساده وصریح است، زیرا اثر آن در المان ها مطرح شده است و فقط لبه های المان باید با اتصال و سطح مشترک مواد مختلف تطابق داشته باشد. در روش های بدون مش بندی، شبکه ای از المان ها وجود ندارد، از این رو اتصال و سطح مشترک مواد را نمی توان بر اساس المان ها تعریف نمود. بنابراین یک روش ویژه برای درنظر گرفتن اثر ناپیوستگی مواد مورد نیاز است.
رفتار ناپیوستگی، با چندین روش مورد مطالعه قرار گرفته است. Cordes و Moran، مسائل ناپیوستگی مواد را با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ مورد بررسی قرار دادند. Krongauz و Belytschko، روش دیگری را برای مدل سازی ناپیوستگی مواد در متد EFG، با افزودن توابع شکل خاص که حاوی ناپیوستگی هایی در مشتقات بودند، ارائه دادند. Dang و Sankar، تکنیکی را برای رفتار ناپیوستگی در اتصال روش MLPG ارائه کردند. آن ها از روش مستقیم برای وضع پیوستگی جابجایی استفاده کردند و این روش را برای مسائل میکرومکانیزم های کامپوزیتی بکار بردند. تکنیک آن ها مشابه راهکار مورد استفاده در FEM است که در آن با استفاده از گره ها معمولی در اتصال، وضعیت پیوستگی جابجایی در اتصال (سطح مشترک دو ماده) اعمال می شود. Liu، این مسئله با روش پنالتی انجام داده است. در این فصل، ناپیوستگی ماده بین ورقه های سطحی و هست تیر ساندویچی با استفاده از راهکارهای Liu یعنی روش پنالتی مدل سازی شده است.
باید توجه کرد که یک کامپوزیت ناهمگن، از دو ماده همگن تشکیل شده است (شکل 1). اتصال دو ماده همگن بوسیله مجموعه ای از گره ها که به هردو ماده تعلق دارد، تعریف می شود. در واقع این گره های واسط، دو ماده را به هم متصل می کنند.
برای مدل سازی حالت ناپیوسته ناپیوستگی ماده، حوزه پشتیبانی نقطه مورد نظر x در Ω+، شامل گره هایی است که فقط در Ω+ قرار دارند. به طور مشابه نقاط مورد نظر x که در Ω- قرار دارند نیز به همین منوال است.
دز شکل 1.a که یک ماده همگن را نشان می دهد، گره های 3 – 9 در حوزه پشتیبانی نقطه a قرار گرفته اند، در حالیکه در شکل 1.b که یک ماده ناهمگن را نشان می دهد، گره های 3 – 8 در حوزه پشتیبانی نقطه a قرار گرفته اند ولی گره 9 در این حوزه قرار ندارد. بنابراین گره 9 در ساخت تابع شکل در نقطه a شرکت نمی کند، چون متعلق به Ω- است. در شکل 1.b گره های 1و 2 در حوزه پشتیبانی نقطه b قرار دارند و در سطح مشترک دو ماده قرار گرفته اند. اگر فرض شود که نقطه b متعلق به Ω+ است، گره های 1 و 2 که در حوزه پشتیبانی آن قرار گرفته اند نیز فرض می شود که به Ω+ تعلق دارند. از این رو این گره ها به صورت 1+ و 2+ نشان داده می شوند. بنابراین جابجایی آن ها نیز به صورت u1+ و u2+ در نظر گرفته می شود. از طرف دیگر اگر نقطه b متعلق به Ω- فرض شود، گره های 1 و 2 که در حوزه پشتیبانی آن قرار دارند نیز متعلق به Ω- اند، از این رو گره ها به صورت 1- و 2- و جابجایی آن ها به صورت u1- و u2- در نظر گرفته می شود. چون گره های 1+ و 1- (یا 2+ و 2-) در یک گره یعنی 1 (یا 2) واقع می شوند، بنابراین اختلاف مکان آن ها یکسان است، در نتیجه فرض می شود که سطح مشترک بین دو ماده پیوسته است.

در سطح مشترک این دو ماده اعمال شرایط پیوستگی جابجایی به صورت زیر بیان می شود:

که در آن ū+ و ū- مطابق با جابجایی های دوماده، به ترتیب در سطح مشترک Ω+ و Ω- است. این قید با استفاده از روش پنالتی در فرم ضعیف گالرکین اعمال می شود، که بصورت زیر است:

در رابطه فوق β فاکتور پنالتی است. مقادیر تقریبی ū+ و ū- با استفاده از تقریب MLS بصورت زیر بیان می شود:
که n+ و n- به ترتیب تعداد گره ها می باشد. φ+ و φ- ماتریس های توابع شکل ایجاد شده با استفاده از گره هایی که در حوزه پشتیبانی نقطه x به ترتیب در Ω+ و Ω- قرار دارند، می باشد. با جایگذاری معادلات (9) و (33) در معادله (32)، دستگاه معادلات گسسته زیر حاصل می شود:

که Kβ ماتریس سختی پنالتی است و بصورت زیر تعریف می شود:

4. تعین خواص مواد در FGM ها:
فرض می شود هسته FG از دو جزء تشکیل دهنده ایزوتروپ با توزیع تصادفی ساخته شده است و پاسخ های ماکروسکوپی آن ایزوتروپ است و تغییرات ساختار آن فقط در راستای y می باشد. کسر حجمی فلز به صورت زیر بدست می آید:

در این رابطه tc ضخامت هسته FG و -tc/2 ≤y≤ tc/2 می باشد. بنابراین در سطح پایین Vm=0 است وقتی y=tc/2. همچنین n=1 فرض می شود.
باتوجه به خواص توزیع شده E(x) و ν(x) در مواد هدفمند، ماتریس الاستیسیته D(x) وابسته به یک حالت فضایی است. دو دیدگاه برای شرکت دادن اثرات درجه بندی مواد در ماتریس الاستیسیته وجود دارد. در رویکرد اول، توابع شکل بدون مش بندی و مقادیر گره ای خواص مواد می تواند برای تخمین مقادیر خواص مواد در نقاط گوسی بکار رود. در روش دوم مقادیر خواص مواد در نقاط گوسی می تواند بطور مستقیم با استفاده از رویکردهای همگن سازی (هم جنس ویکجور سازى) ارزیابی شود. در اینجا، دیدگاه دوم برای ایجاد ماتریس های جرم و سختی استفاده ی شود.
دو تکنیک همگن سازی برای یافتن خواص موثر در یک نقطه استفاده می شود. قاعده مخلوط تکنیکی ساده و متداول است، که به طور گسترده در مواد کامپوزیتی بکار می رود. در این تکنیک خاصیت موثر FGM را می توان بر اساس این فرض که خاصیت کامپوزیتی، برابر میانگین وزن حجمی در خواص مواد تشکیل دهنده است، برآورد کرد. رویکرد دیگری که بطور گسترده برای تشخیص درجه بندی مواد استفاده می شود، تکنیک میکرومکانیک است. در این تکنیک مدول الاستیک موثر مواد هدفمند، از کسرهای حجمی و شکل مواد تشکیل دهنده، مشخص می شود. در این بررسی، امکان استفاده از هردو تکنیک وجود دارد. در آنالیز حاضر، روش موری – تانکا به عنوان تکنیک میکرو مکانیک برای تشخیص خواص موثر هسته FG استفاده می شود. در بخش های بعدی اصطلاحات مورد استفاده در هردو تکنیک شرح داده می شود.
4.1 تکنیک قاعده مخلوط:
با استفاده از این تکنیک خاصیت موثر مواد هدفمند در یک نقطه، بصورت زیر بدست می آید:

همانطور که می دانید، Vm و Vc=1-Vm به ترتیب کسرهای حجمی فلز و سرامیک اند. با جایگذاری معادله (36) در (37)، خواص موثر FGM به صورت زیر تعیین می شود:

4.2 تکنیک میکرو مکانیک:
طبق روش Tanaka – Mori مدول کشسانی حجمی موثر (مدول بالک) (Keff) و مدول برش موثر ( effμ) از مخلوطی با دو ماده تشکیل دهنده، بصورت زیر بدست می آید:

در اینجا Km، μm و Vm، به ترتیب مدول حجم، مدول برشی و کسر حجمی فلز است و Kc، μc، Vc=1-Vm مقادیر مشابهی برای سرامیک می باشد. مدول های حجمی و برشی فلز و سرامیک، با مدول یانگ و نسبت پوسان آن ها مرتبط است، که بصورت زیر می باشد:

برای محاسبه مدول یانگ و نسبت پوسان مواد هدفمند، مدول های حجمی و برشی آن ها در هر نقطه با استفاده از معادلات 41 – 44 محاسبه می شود. سپس مدول یانگ موثر و نسبت پوسان در هر نقطه بصورت زیر محاسبه می شود:

5. آنالیز ارتعاش آزاد:
معادلات حاکم بر سیستم ارتعاش آزاد نامیرا بدون نیروی حجمی به صورت زیر است:

در تحلیل ارتعاش آزاد، تغییر مکان یا جایجای های u(x,t) به صورت زیر نیز نوشته می شود:

که همانطور که می دانید، ω فرکانس است. با جایگذاری معادله (48) در معادله (47) بدست می آوریم:
معادله مقدار مشخصه (یا مقدار ویژه)، می تواند به راحتی با استفاده از روش های استاندارد معمولی حل کننده های مقدار ویژه، تحلیل شود.
6. مثال های عددی:
در اینجا در سه بخش، آنالیز ارتعاش آزاد تیر ساندویچی انجام می شود. دو بخش اول برای ارزیابی و تایید روش بدون مش بندی و کاربرد آن در آنالیز ارتعاش آزاد است. در بخش سوم ارتعاش آزاد تیر ساندویچی با هسته FG بررسی می شود. ارزیابی روش حاضر شامل در نظر گرفتن تیر با مواد همگن برای ورقه های سطحی و هسته، و نیز یک تیر ساندویچی با هسته الاستیک انعطاف پذیر می باشد. شکل 2 توزیع گره ها در تیر ساندویچی را نشان می دهد. همانطور که در این شکل نشان داده شده، توزیع گره ها منظم مطرح شده اند.
جهت انجام عملیات عددی برای معادلات (23) تا (27)، یک شبکه (مش بندی) پس زمینه مورد نیاز است، که می تواند مستقل از آرایش گره های بدون مش بندی باشد. اما در این بررسی، گره های شبکه پس زمینه منطبق با گره های بدون شبکه فرض شده است. تربیع گوسی استاندارد برای ارزیابی انتگرال های ماتریس ها و بردارها استفاده شده است.

6.2 آنالیز ارتعاش آزاد تیر یک سردرگیر الاستیک:
برای تایید روش ارائه شده، یک تیر الاستیک ساده بکار رفته در مقالات Nagashima و Gu YT,Liu Gr، بررسی شده است. در مقاله Nagashima ، آنالیز به روش گره به گره (NBNM) انجام شده است و در مقاله بررسی شده توسط Gu YT,Liu Gr، مطالعه ای قابل مقایسه بین روش المان محدود و روش MLPG ارائه شده است. (رجوع کنید به رفرنس [6] در انتهای پایان نامه). خواص این تیر عبارت اند از:
E = 2.05939 x 1011 N/m2 , v = 0.3 , ρ = 7845.32 kg/m3, L = 100 mm , D = 10 mm.
ده فرکانس طبیعی اول در جدول 1 نشان داده شده است.

با توجه به جدول 1 مشخص است که نتایج بدست آمده از روش حاضر، تطابق خوبی با نتایج بدست آمده در نوشته جات گذشته دارد. روش حاصر در مقایسه با روش NBNM ماکزیمم اختلاف آن 7% دارد، که برای فرکانس طبیعی دهم اتفاق افتاده است.
6.2 آنالیز ارتعاش آزاد تیر یک سردرگیر ساندویچی با هسته الاستیک:
شکل 3 یک نمودار شماتیک از مدلی است که در آن یک تیر ساندویچی یک سردرگیر با هسته الاستیک انعطاف پذیر در نظر گرفته شده است. تیر ساندویچی نشان داده شده در شکل 3.a یک تیر کاملا محکم شده است که در آن ورقه های سطحی و هسته در یک انتها کاملا محدود و محکم شده است. تیر ساندویچی نیمه محکم شده در شکل 3.b، فقط لبه های ورقه های سطحی در یک انتها محکم و محدود شده را دارد.
خواص هندسی تیر عبارت است از:
L = 1000 mm , D = 20 mm , t core = 14 mm.
خواص مواد مدل در جدول 2 ارائه شده است.

برای آنالیز ارتعاش آزاد، ده فرکانس طبیعی اول تیر ساندویچی، استخراج شده است. نتایج کار حاضر و روش المان محدود در جدول 3 نشان داده شده است. نتایج روش محدود با نرم افزار ANSYS بدست آمده است.

نتایج نشان داد که مقادیر فرکانس ها برای مورد نیمه محکم شده کمتر از مقادیر کاملا محکم شده است، و دلیل آشکار آن، به خاطر تاثیر قیود اضافی است.
برای مطالعه اثر انعطاف پذیری هسته در فرکانس طبیعی، ملاحظه شده است که مدول یانگ هسته تیر، فاکتوری از مدول یانگ ورقه های سطحی است. این فاکتور به وسیله λ در جدول 4 تعریف شده است. خواص هندسی تیر، مشابه به خواص ذکر شده در بالاست.
ده فرکانس طبیعی اول تیر ساندویچی کاملا محکم شده در جدول 5 آمده است. نتایج جدول 5 نشان می دهد که فرکانس های طبیعی تیر ساندویچی با افزایش مدول یانگ هسته، افزایش می یابد، که به نوبه خود به علت افزایش سختی تیر ساندویچی است.

6.3 آنالیز ارتعاش آزاد تیر یک سر درگیر با هسته FG:
می دانیم مواد هدفمند از دو فلز یا یک فلز و یک سرامیک تشکیل یافته است. بنابراین خواص مواد هدفمند تحت تاثیر خواص این مواد تشکیل دهنده است. در این فصل هسته FG را یک فلز و یک سرامیک در نظر می گیریم ولی در فصل بعدی (فصل هشتم یعنی فصل ''بهینه سازی فرکانس طبیعی تیرهای FGM دوسویه'') مواد هدفمند خود را از دو فلز انتخاب می کنیم. شکل 4 یک نمودار شماتیک از مدل ما را نشان می دهد. هسته FG ترکیبی از آلومنیوم و زیرکونیا (zirconia) است و خواص مکانیکی آن ها در جدول 6 آمده است.

خواص ورقه های سطحی مورد نظر بصورت زیر است:

E f = 210 GPa
ρ f = 7860 kg/m3
v f = 0.3
خواص هندسی نیز برابرست با:
L = 1000 mm , D = 20 mm , tcore = 14 mm.
ده فرکانس طبیعی تیر ساندویچی با هسته FG برای حالت کاملا محکم شده و نیمه محکم شده در جدول 7 نشان داده شده است. همچون نتایج حاصل برای تیر ساندویچی با هسته الاستیک ، فرکانس های طبیعی در تیر نیمه محکم شده چند هرتز کمتر از فرکانس های تیر کاملا محکم شده است. همچنین نتایج بدست آمده از تکنیک میکرو مکانیک و تکنیک قاعده مخلوط نشان می دهد که تفاوت ناچیزی بین نتایج حاصل از دو تکنیک وجود دارد. استفاده از تکنیک قاعده برای محاسبه خواص FGM در مسائل دو بعدی پیشنهاد می شود، زیرا کاربرد آن نسبت به تکنیک میکرومکانیک ساده تر است.

7. نتیجه گیری:
در این فصل فرکانس های طبیعی تیر ساندویچی با هسته FG، با استفاده از روش بدون المان گالرکین به عنوان یک روش معمول بدون مش بندی استخراج شد. روش پنالتی برای وضع شرایط مرزی ضروری و شرایط ناپیوستگی مواد استفاده شد. همچنین فرمولاسیون بدست آمده با استفاده از ماده مشابه برای هسته و ورقه های سطحی و نیز مقایسه با نتایج تیر همگن الاستیک تایید شد. سپس هسته تیر، یکبار همگن الاستیک و یکبار FGM فرض شد. نتایج بدست آمده برای هسته الاستیک با نتایج حاصل از روش المان محدود، مقایسه شده و تطابق خوبی را نشان داد. همچنین نتایج هسته FG با استفاده از تکنیک های قاعده مخلوط و میکرو مکانیک استخراج شد، و باهم مقایسه گردید.

اصطلاحات:

فصل هشتم
بهینه سازی فرکانس طبیعی تیر های FGM دوسویه

1. مقدمه
2. آنالیز بدون مش بندی ارتعاش حالت پایدار ساختارهای هدفمند
2.1 معادلات حاکم و فرمولاسیون ضعیف
2.2 فرمولاسیون بدون المان گالرکین
2.3 مروری مختصر بر توابع پایه کمترین مجذورات متحرک
2.4 ارزیابی انتگرال ها با استفاده از مربعات گوسی
3. بهینه سازی دوبعدی کسر حجمی مواد هدفمند
3.1 درونیابی کسر حجمی
3.2 تخمین مدول های موثر در کامپوزیت های دو فازی
3.3 فرمولاسیون مسئله بهینه شده
3.4 بهینه سازی با استفاده از قاعده الگوریتم تکوینی حقیقی
4. نتایج و مباحث
4.1 مقایسه EFG و راه حل های دقیق برای صفحه هدفمند
4.2 مسئله مدل I
4.3 مسئله مدل II
4.4 مسئله مدل III
5. نتیجه گیری نهایی
مراجع
بهینه سازی فرکانس طبیعی تیر های FGM دوسویه
چکیده:
در این بخش روشی را برای بهینه سازی فرکانس طبیعی ساختارهای هدفمند، با سازماندهی توزیع مواد آنها پیشنهاد می کنیم. روش المان گیری آزاد Galerkin برای آنالیز ارتعاش آزاد و اجباری حالت پایدار دو بعدی (steady-state) مواد هدفمند مورد استفاده قرار می گیرد. برای بهینه سازی ترکیب مواد، توزیع سه بعدی کسر حجمی مواد تشکیل دهنده با استفاده از انترپولاسیون و درون یابی دقیق فضایی، مقادیر کسر حجمی که در تعداد محدودی از نقاط شبکه مشخص شده اند تعریف می شود. سپس با استفاده از یک الگوریتم حقیقی کدبندی شده تکوینی برای بهینه سازی توزیع کسر حجمی سه مسئله نمونه استفاده می کنیم. در مسئله اول ما به دنبال توزیع مواد می گردیم، که سه فرکانس طبیعی اول تیر FGM را به حداکثر می رساند. در مسئله دوم هدف، به حداقل رساندن جرم تیر FGM است. درحالیکه فرکانس طبیعی را مجبور کرده تا خارج از رنج های فرکانسی مشخص شده قرار گیرند.
هدف مسئله آخر به حداقل رساندن جرم تیر هدفمند است، که این کار را با بهینه سازی ضخامت و توزیع مواد آن به طور همزمان انجام می دهیم، بطوریکه فرکانس اصلی از مقدار مشخص شده بیشتر باشد.
1. مقدمه:
همانطور که می دانید مواد FGM، مواد کامپوزیتی پیشرفته ای هستند که به طور مهندسی ساخته شده اند تا دارای توزیع هموار و روان خواص ماده باشند. این کار با ساخت مواد کامپوزیتی که دارای تغییرات فضایی تدریجی حجم کسری نسبی و ساختارهای میکروسکوپی مواد تشکیل دهنده می باشند، حاصل می شود.
مواد هدفمند امکان سازمان دهی ترکیبات ماده ای را میسر می سازند، بطوریکه حداکثر مزایای آن از غیر یکنواخت بودنش حاصل می شود. این مواد بهبود کارایی را در شرایط سخت میسر می سازند. بعنوان مثال پوشش های حرارتی فضاپیما ها، مواد ساختاری با عملکرد بالا، روکش های پلاسما در رآکتورهای هستی و همچنین در اجزاء اصلی موتور مثل دریچه های ورودی و خروجی نمونه ای از آنهاست.
چندین بررسی نشان داده است که می توان با اعمال تغییرات سه بعدی هموار در خواص مواد هدفمند، کاهش چشمگیر تنش ها را بدست آورد (Finot et al 1996). مثلا مواد FGM تنگستن/مس (W/Cu) از لحاظ مواد تشکیل دهنده روکش پلاسما در رآکتورهای آزمایشاتی حرارتی هسته ای بین المللی (ITER) مورد بررسی قرار گرفت (Ueda and Gasik 2000). مایع خنک کننده صفحه منحرف کننده، باید هدایت حرارتی بالایی داشته باشد و تنش های حرارتی زیادی را با توجه به جریان حرارتی زیاد تحمل کند.
از دیگر کاربردهای مواد هدفمند شامل اجزای بکار رفته در وسایل هواپیمایی و فضاپیماها می باشد. بعنوان مثال، می توان از قسمت های بحرانی و بسیار مهم جنگنده های جت و روتور پره های هلی کوپتر که باید بار دینامیکی زیادی را تحمل کنند، نام برد.

باید به این نکته توجه داشت که سطح کارایی اجزاء هدفمند، تابع خواص یک ماده نیست و مقدار مواد تشکیل دهنده نیز مستقیما با توانایی طراح برای استفاده از این مواد، در بهترین حالت ، ارتباط دارد. بر این اساس، تمرکز این بخش از پروژه، بر روی گسترش روشی برای سازمان دهی توزیع مواد هدفمند، برای بهینه کردن فرکانس طبیعی آن ها می باشد. هر چند تحقیقات بسیاری برای آنالیز ارتعاش آزد و اجباری ساختارهای FGM صورت گرفته است، اما تحقیقات کمی در مورد طراحی مواد هدفمند، برای بهینه سازی فرکانس طبیعی انجام گرفته است. (e.g. see Elishakoff and Guédé 2004, Cheng and Batra 2000, Loy et al. 1999, Vel and Batra 2004)
به همین دلیل بد ندیدیم تا فصلی را به این موضوع اختصاص دهیم.
اخیرا Qian(2004) و Ching، و Qian(2005) و Batra به دنبال به حداکثر رساندن فرکانس تیر هدفمند یک سر درگیر بودند. هرچند، توزیع کسر حجمی فرض شده توسط آنها تنها دو متغییر بهینه سازی شده داشت که مولفه های توزیع قانون توانی در راستاهای طول و ضخامت می باشد و در نتیجه پروفیل های کسر حجمی دوبعدی را به شدت محدود می کند. بعلاوه توزیع کسر حجمی فرض شده در جهت ضخامت، امکان توزیع متقارن و کلی را پیرامون سطح میانی ایجاد نمی کند.
به طور کلی، بدست آوردن راه حل تحلیلی برای معادلات دیفرانسیل جزئی که بر ارتعاش آزاد و اجباری دو بعدی اجسام ناهمگن و غیر متجانس با توزیع ماده دوسویه و پیچیده حاکم است. بسیار مشکل است.
در بررسی حاضر، مانند فصل قبل، ما از روش بدون المان Gaherkin (EFG)، برای شبیه سازی عددی ارتعاش مواد هدفمند استفاده می کنیم. روش EFG که دست کم بخشی از ساختار شبکه را با ایجاد راه حل عددی کلی برحسب گره ها حذف می کند، دارای مزایایی نسبت به روس المان محدود می باشد که شامل میزان بالای همگرایی، توزیع تنش یکنواخت و حذف داده های اتصال گره ای می باشد. روش بدون مش بندی برای آنالیز مواد FGM بسیار مناسب است زیرا معادلات کلی گسسته را می توان به دقت و با ارزیابی خواص مواد مختلف در نقاط پیوستگی محاسبه کرد. در اینجا دستور المل EFG خود را بوسیله مقایسه با نتایج عددی و راه حل دقیق برای ارتعاش آزاد یک صفحه با تکیه گاه ساده تایید می کنیم. (Vel and Batra 2002).
چون بهینه ساری نقطه ای مستقیم کسر حجمی در هر نقطه از دامنه از لحاظ محاسباتی دشوار است، توزیع سه بعدی کسر حجمی را با استفاده از درون یابی دقیق کسر حجمی که در تعداد محدود نقاط شبکه مشخص شده است را تعریف می کنیم. به دلیل محدودیت های فیزیکی که نیازمند آن است که در هرنقطه از دامنه که در بازه 0 و 1 قرار دارد، درونیابی کسر حجمی انجام گیرد، ما از یک درونیابی فضایی با بازه محدود استفاده می کنیم. طرح انترپولاسیون (درونیابی) فضایی به ما امکان می دهد تا پروفیل کسر حجمی پیچیده های را با استفاده از تعداد اندک، پارامترهای بهینه سازی کسر حجمی را طراحی کنیم. کسرهای حجمی در نقاط شبکه با استفاده از الگوریتم کدبندی شده حقیقی تکوینی بهینه می شود. تکنیک های پیشنهاد شده را بابهینه سازی ترکیب مواد درسه مسئله نمونه نشان می دهیم. در مسئله اول ما بیشینه سازی نامحدود سه فرکانس طبیعی اول تیر یک سر درگیر W/Cu را اجرا میکنیم. مسئله بهینه سازی نمونه دوم با کمینه سازی اجباری جرم تیر جرم تیر W/Cu مرتبط است، بطوریکه هیچکدام از فرکانس ها در بازه فرکانس تعیین شده قرار نمی گیرد. در مسئله نمونه سوم ما به دنبال کم کردن و به حداقل رساندن جرم تیر W/Cu با تکیه گاه ساده، توسط بهینه سازی ضخامت و پروفیل کسر حجمی به طور همزمان هستیم، به طوریکه فرکانس اصلی آن ها بیشتر از مقدار تعیین شده باشد. نتایج این مسئله نشان می دهد، که روش ارائه می تواند برای طراحی اجزاء هدفمند با پاسخ های دینامیکی عالی مورد استفاده قرار گیرد.
2. آنالیز بدون مش بندی ارتعاش حالت پایدار ساختارهای هدفمند:
در اینجا ارتعاش آزاد و اجباری حالت پایدار یک جسم ناهمگن ایزوتروپ را بررسی می کنیم. محور مختصلات قائم الزاویه کارتزین xi = (i=1,2,3) برای توضیح تغییر شکل الاستیک بی نهایت کوچک جسم استفاده شده است. این جسم دامنه Ω را در موقعیت مرجع بدون تنش، اشغال کرده است. در هر نقطه از محدوده Г، هر مولفه جابجایی سینوسی یا کششی وابسته به زمان در راستای مختصاتی xi تعیین شده است.
2.1 معادلات حاکم و فرمولاسیون ضعیف:
معادلات حرکت و معادلات بنیادی یرای یک ماده ناهمگن ایزوتروپ با الاستیسیته خطی بدون حضور نیروهای حجمی بصورت زیر است:

که در این معادلات σ تانسور تنشCauchy ، ρ دانسیته، u بردار جابجایی، λ(x) و μ(x) ثابت های الاستیسیته Lamé، ε تانسور کرنش بی نهایت کوچک و I تانسور همانی است. نشان دو نقطه به معنی مشتق دوم نسبت به زمان (t) می باشد. روابط جابجایی – کرنش بصورت روبروست:

در هر نقطه x در محدوده و مرز Г، شرایط مرزی بصورت زیر تعیین می شود:

در رابطه فوق n یکه نرمال در مرز x است، û جابجایی های تعیین شده، σ̂ کشش های تعیین شده و S=S(x) ماتریس قطری با قطر 0 یا 1 است که بستگی به شرایط مرزی بکار رفته در x بر روی Г دارد. برای مثال اگر تمام مولفه های بردار جابجایی در x مشخص شوند، آنگاه S = I است. برعکس اگر تمام مولفه های بردار کشش در x مشخص شوند، آنگاه S = 0 است. باید همچنین توجه نمود که شرایط مرزی مشخصی می توانند در طول نواحی مختلف مرزی تعیین شوند، چون ماتریس قطری S تابعی از مختصات مرزی است.
در حالت مثال ارتعاش حالت پایدار، جابجایی ها، کرنش ها، تنش ها و بارهای بکار رفته، ارتباط ساده و
هارمونیکی با زمان دارند. یعنی:
(4)
که درآن ω فرکان دورانی است. همچنین داریم:

با جایگذاری معادلات (4) و (5) در معادلات (1) و (2) معادله دیفرانسیل جزئی و شرایط مرزی بدست می آید:

اگر ξ: Ω ( R3 یک بردار هموار تابع آزمون باشد، آنگاه بر روی Г، Sξ = 0 است. با گرفتن ضرب نقطه ای در معادله (6) همرا با ξ و انتگرال گیری در دامنه بدست می آوریم:

با بکار گیری قاعده دیورژانس در انتگرال اول معادله (8) و (I – S)σ*n = (I- S)σ̂ در کرانه انتگرال، فرم ضعیف معادلات متحرک زیر برای مسئله ارتعاش آزاد و اجباری بدست می آید:
(9)

2.2 فرمولاسیون بدون المان گالرکین:
اکنون بطور مجزا بردار جابجایی u* و بردار تابع آزمون را در موقعیت x و درون دامنه بصورت زیر انتخاب می کنیم:
(10)
در رابطه فوق، N تعداد گره های دامنه و φk(x) توابع پایه کمترین مجذورات متحرک است که در بخش 2.3 توضیح داده شده و kiū مقادیر گره ای موهوم منطبق با مولفه جابجایی ui* در گره k می باشد، که وقتی به یک مسئله 2 بعدی اختصاص داده می شود، بردارهای جابجایی و تابع آزمون به صورت زیر بیان می شود:

که

فرم گسسته کرنش های بی نهایت کوچک ε* و کرنش های تابع آزمون ε(ξ) عبارت است از:

در مسائل 2 بعدی رابطه تنش – تنش بصورت زیر است:
اگر جسم در یک حالت تنش صفحه ای (σ33 = σ13 = σ23 = 0) باشد و یا در حالت کرنش صفحه ای (u1=u1(x1,x2) , u2=u2(x1,x2) , u3=0) باشد، ماتریس الاستیک C از معادلات
ترکیبی سه بعدی زیر بدست می آید:

تنش صفحه ای

کرنش صفحه ای

که در روابط فوق E(x) مدول یانگ و v (x) نسبت پواسان است.
با جایگذاری معادلات (10) الی (14) در معادله (9) و مستلزم بودن اینکه معادله حاصل، ξ̂ k دلخواهی را اختیار می کند، فرم گسسته مسئله ارتعاش اجباری حالت پایدار عبارت است از:

که:

به دلیل نبودن دلتای کرونکر در توابع پایه کمترین مجذورات متحرک (یعنی φi(xk) ≠ δik) معادله (15) باید اصلاح شود تا شرایط مرزی ضروری را اجرا کند.
روش های معمول برای اجرای شرایط مرزی لازم شامل روش پنالتی (Liu 2003)، روش ضرایب لاگرانژ (Belytschko et al 1994) و روش ترتیبی می باشد. در اینجا از روش ترتیبی اصلاح شده که توسط Wagner و Liu (2000) استفاده می کنیم، که در این صورت نیاز به پارامترهای پنالتی نخواهیم داشت. برخلاف روش ضرایب لاگرانژ، روش ترتیبی تعداد متغییرهای راه حل را افزایش نمی دهد. در مورد ارتعاش اجباری، فرکانس اجباری ω، بار های اعمال شده و شرایط مرزی تعیین می شوند. به طریق مشابه پارامتر های جابجایی گره ای ūki با حل دستگاه خطی معادلات بدست می آید. در مسئله ارتعاش آزاد، مقادیر مشخصه 2ω و بردار ویژه متناظر ū، از طریق حل مسئله مقدار مشخصه تعمیم یافته، تعیین می شوند. فرکانس طبیعی های به صورت صعودی زیر مرتب می شوند:
ω1 < ω2 < . . .
مد شیپ k که متناسب با فرکانس طبیعی ωk است، با جایگزاری ū در معادله (11) بدست می آید.
2.3 مروری مختصر بر توابع پایه کمترین مجذورات متحرک:
توابع شکل بکار رفته در روش بدون المان گالرکین (Belytschko et al 1994) ، براساس طرح تقریبی کمترین مجذورات می باشند. تقریب کمترین مجذورات متحرک، اساسا برای درونیابی سلیس مقادیر نامنظم تابع پخشی ایجاد شده است. تقریب کمترین مجذورات متحرک را با uh(x) نشان داده و بصورت زیر تعریف می شود:

که در آن n تعداد گره های دامنه، φI(x) تابع شکل کمترین مجذورات دامنه منطبق با گره I و uI مقدار موهوم تغییرات میدانی در گره I می باشد. باید توجه داشت که به دلیل نبود خاصیت دلتاى کرونکر، مقدار تابع درونیابی شده در گره با مقدار با مقدار فرضی گره برابر نیست یعنی به عبارتی uh(xI) ≠ uI. توابع شکل کمترین مجذورات متحرک که در اینجا استفاده شده است، بصورت زیر تعریف می شوند (Belytschko et al 1994):

که

برای تابع وزنی w(x – xI) که با گره I واقع در xI مرتبط است و در معادله (19) نشان داده شده است، از رابطه درجه چهارم زیر استفاده می کنیم.

که در آن dI = |x – xI| / rI فاصله نرمال بین x و xI است، و rI شعاع دامنه پایه به لحاظ تاثیر از گره I است.
2.4 ارزیابی انتگرال ها با استفاده از مربعات گوسی
ماتریس های سراسری M و K و بردار f در معادله (16) با استفاده از انتگرال گیری عددی محاسبه می شوند. رایج ترین راه انجام این کار با روش EFG، استفاده از پس زمینه ساده ساختار سلولی است. یعنی دامنه به شبکه های سلولی مربعی شکلی تقسیم می شود، که از گره ها مستقل است و انتگرال گیری روی هر سلول با استفاده از روش مربعات گوسی انجام می شود. دقت و صحت انتگرال گیری عددی برای تعیین دقت و صحت نتایج حاصل از روش، مهم است.
3. بهینه سازی دوبعدی کسر حجمی مواد هدفمند:
3.1 درونیابی کسر حجمی:
بهینه سازی توزیع مواد هدفمند دوفازی، در حکم تغییر شکل توزیع کسر حجمی V(x1 , x2) یک از اجزاء تشکیل دهنده آن است. اما بهینه سازی نقطه ای مستقیم کسر حجمی، برای هر نقطه از دامنه از لحاظ محاسباتی مشکل است. پس از تکنیک درونیابی بیکوبیک (فضایی) جزئی استفاده می کنیم (Brodlie et al 1995) تا تعداد متغییرهای بهینه سازی را کاهش داده و پروفیل کسر حجمی صاف را بدست آوریم. کسر حجمی در یک نقطه دلخواه در دامنه بوسیله درونیابی مقادیر آن تعریف می شود و در نقاط شبکه بدست می آید. درونیابی با کران محدود تضمین می کند که کسرهای حجمی دقیقا در تمام نقاط دامنه و در بازه صفر و یک قرار می گیرد. به عبارتی 0 ≤ V(x1 , x2) ≤ 1.
در اینجا نمایش بیکوبیک جزئی کسر حجمی در یک شبکه تعریف شده است:

پارامترهای کسر حجمی در نقاط شبکه (x1(i) , x2(j)) به صورت V(i,j) نشان داده می شوند. درون یابی بیکوبیک V(x1 , x2) در یک المان شبکه مستطیلی از دامنه De بصورت زیر است:

که بصورت زیر محاسبه می شود:

(22)

در این رابطه V1(i,j) مشتق جزئی پروفیل کسر حجمی را در نقاط (x1(i) , x2(j)) شبکه با توجه به مختصات x1 نشان می دهد. V2(i,j) مشتق جزئی نسبت به مختصات x2 و V12(i,j) مشتق جزئی مرکب را نشان می دهد.
توابع Hs(xk) که (s=1,…,4) می باشد در معادله (22) توابع پایه Hermite هستند. در تشخیص درونیابیV(x1, x2) روی یک المان شبکه در دامنه D از معادله (22) می توان دریافت که مقادیر V1,V2,V12 در گره های شبکه باید در بعضی حالات تامین شوند. می توان آن ها را به صورت متغییرهای اضافی برای تشخیص طرح بهینه شده استفاده نمود، اما این کار نامطلوب است زیرا متغییرهای بهینه سازی را به طور چشمگیری افزایش می دهد.
در عوض ما تخمین مشتقات جزئی V1(i,j)، V2(i,j) و V12(i,j) را با استفاده از فرمول های دیفرانسیل استاندارد درجه سه در پارامترهای کسر حجمی V(i,j) انتخاب می کنیم. برای اطمینان از اینکه دورنیابی V(x1, x2) در بازه 0 تا 1 باقی می ماند، مشتقات جزئی تخمین زده شده در کران بالا و پایین بررسی می شوند (Brodlie et al 1995). اگر مشتقات جزئی تخمین زده شده درون محدوده تعیین شده باشند، آن ها اصلاح شده نیستند، در غیر این صورت این مشتقات جزئی بازه صحیح قرار دارند.
3.2 تخمین مدول های موثر در کامپوزیت های دو فازی:
چندین روش همانند سازی برای تخمین خواص موثر مواد هدفمند دو فازی وجود دارد. یکی از این روش ها متد موری – تانکا Mori – Tanaka 1973)) و روش دیگر طرح های خود سازگار هستند (Hill 1965)، که از هر دوی آن ها در آنالیز مواد FGM استفاده می کنیم. همانطور که توسط Reiter و Dvorak نشان داده شده است، با استفاده از شبیه سازی المان محدود ساختارهای میکروسکوپی، متد Mori – Tanaka برای تخمین خواص مواد موثر در نمونه هایی که دارای ساختارهای میکروسکوپی با فازهای ذره ای و قالب ها و ماتریس های تعریف شده واضحی هستند، به خوبی کار می کند. این روش فرض را بر این می گذارد که فاز ماتریسی با گنجایش کروی تقویت می شود و میدان الاستیک بین ذرات مجاور را تشریح می کند. روش خود سازگار تخمین خود را از طریق حل مسئله الاستیک که در آن گنجایش بیضوی در ماتریس دارای خواص مواد موثر کامپوزیتی قرار می گیرند انجام می دهد. طرح خودسازگار در تعیین خواص موثر کامپوزیت های دو فازی، در مناطقی که فازهای ذره ای یا ماتریس بطور واضح مشخص نشده اند ، خوب عمل می کند (Reiter et al 1997).
فرمول های خود سازگار و Mori – Tanaka برای مدول یانگ E، نسبت پواسون ν، و دانسیته ρ مشابه اند.
3.3 فرمولاسیون مسئله بهینه شده:
در این فرمولاسیون بهینه سازی توزیع مواد بوسیله بهینه سازی کسر حجمی در نقاط شبکه حاصل می شود. مثلا یک مسئله بهینه سازی محدودیت بصورت زیر است:

(23)

که در آن f(V(i,j)) تابع هدف و gk(V(i,j)) نابرابری k ام است. در مسئله فوق j i x متغییر های بهینه سازی و k معادلات محدودیت هستند. باید توجه داشت که محدویت های مساوی به طور آشکار در فرمولاسیون مسئله بهینه سازی شده بیان نشده اند، چون می توان آن ها را به آسانی با تبدیل به محدودیت ها نا مساوی بکار برد.
3.4 بهینه سازی با استفاده از قاعده الگوریتم تکوینی حقیقی:
تحقیقات کلاسیک و اگوریتم های بهینه سازی معمولا وقتی با مسائل سخت یا پیچیده مواجه شوند، دچار اشکال می گردند. اگوریتم های تکوینی یا ژنتیکی (GAs) راه حل های بهتری را ارائه می دهند.
GA یا الگوریتم تکوینی، یک تحقیق و روش بهینه سازی است، که کاربردهایی بسیاری را در حوزه های مکانیکی و مهندسی هوافضا داشته، و با توجه به توانایی آن ، راه حل بهینه ای را برای مسائل بسیار سخت، پیدا می کند. یک الگوریتم تکوینی تحقیقات خود را با جمعیتی از افراد به صورت اتفاقی آغاز می کند. در این الگوریتم هر عضو جمعیت دارای کروموزومی است که از متغییرهای بهینه سازی ایجاد شده است. در اینجا برای بهینه سازی موضوع کسر حجمی خود، کروموزومی انتخاب شده،که حاوی کسرهای حجمی در گره شبکه می باشد.

با اعمال سه عملگر (اپراتور) مشابه با عملگرهای ژنیتیکی، یعنی تکثیر، تقاطع و جهش ، از جمیع راه حل ها، یک جمعیت جدید تعدیل و اصلاح شده بوجود می آید. الگوریتم به طور سیستماتیک هر یک از افرار جمعیت را طبق مجموعه خصوصیات (یعنی شرایط مرزی، بارهای مکانیکی و غیره) آنالیز می کند و آن را در مرتبه مناسبی قرار می دهد، بطوریکه اهداف طرح را منعکس بنماید. این رتبه بندی برای تشخیص طرح های ساختاری که بهتر از بقیه اجرا می شود بکار می رود. بعبارت ساده تر رتبه بندی از لحاظ میزان صلاحیت، الگوریتم تکوینی را قادر می سازد تا طرح های ساختاری را که ضعیف هستند و باید حذف شوند، را مشخص کند. سپس ماده ژنتیکی طرح های بهتر، مورد استفاده قرار می گیرند تا عضو میانی نسل را پر کند. به این عمل دوره جفتگیری یا mating pool می گویند. اپراتورهای تقاطع و جهش در افراد حاضر در دوره جفتگیری بکار می رود تا نسل و دوره بعدی طرح ها را ایجاد کند. این فرآیند بر روی چندین دوره یا نسل تکرار می شود تا طرح بهینه مشخص شود.
منظور از اپراتور تکثیر این است که، در بین عملگرهای انتخابی، رقابتی انجام می شود تا میزان کارایی هر یک را برای ما مشخص نماید و مهمترین و بهترین عوامل تاثیر گذار را تعیین نماید. یا به عبارت ژنتیکی، کپی هایی از بهترین افراد دوره حاضر را به دوره بعد منتقل نماید.
فرآیند تقاطع، با اپراتور تقاطع دوتایی شبیه سازی شده انجام می شود. منظور از اپراتور تقاطع این است که، کرانی برای حدود بالا و پایین در کروموزوم های تازه بوجود آمده به منظور بهینه سازی ایجاد شود، که در مسئله بهینه سازی کسر حجمی برابر [0,1] V(i,j) ∈ می باشد.
برای معرفی مواد ژنتیکی جدید به جمعیت، از اپراتور جهش چند مرحله ای استفاده می کنیم. اپراتور جهش، کران بالا و پایین ویژه را در هر متغییر طرح حفظ می کند و V(i,j) از طریق انتخاب اپراتور تقاطع و جهش به طور خودکار اجرا می شود. لازم است از روشی استفاده شود تا محدودیت های نامساوی در معادله (23)را اداره کند. در اینجا ما از روش اداره محدود (constraint handling method) استفاده می کنیم. باید در انتخاب راه حل هایی که بر سر یک موضع در mating pool رقابت می کنند، نکات زیر را رعایت کرد.
1. همیشه یک راه حل عملی به جای یک راه حل غیر عملی انتخاب شود.
2. بین دو راه حل عملی آنکه دارای مقدار تابع کوچکتری است انتخاب شود.
3. بین دو راه حل غیر عملی آنکه دارای کوچکترین تخطی و تجاوز از محدوده مورد قبول است اتخاذ شود.
برای اینکه مطمئن شویم این شرایط در زمان مقایسه دو راه حل انجام می شود، تناسب F(V(i,j)) به شرح زیر ساخته می شود:

(24)
که

fmaxمقدار تابع هدف از لحاظ بدترین راه حل ممکن در جمعیت است. اگر هیچ راه حل عملی در جمعیت وجود نداشته باشد fmax = 0 است. با F(V(i,j)) که به صورت فوق تعریف می شود، می توانیم به طور مستقیم تناسب های F(V(i,j)) را مقایسه کنیم و راه حل کوچکتر را از بین دو راه حل ممکن انتخاب کنیم.
4. نتایج و مباحث:
در قسمت اول این بخش ما قواعد EFG را با مقایسه نتایج عددی با راه حل دقیق برای صفحه FGM با تکیه گاه ساده مورد تایید قرار دادیم. متعاقبا یک آنالیز GA و EFG را برای بهینه سازی توزیع مواد در سه مسئله نمونه بکار می بریم. تیرهای FGM مورد نظر در مسائل نمونه از مس و تنگستن با خواصی که در جدول 1 آمده است، تشکیل شده اند. باید توجه کرد که تنگستن سختی و چگالی بیشتری نسبت به مس دارد. به دلیل اینکه فرکانس طبیعی یک تیر هم به سختی فضایی و هم به توزیع جرم بستگی دارد، افزودن تنگستن به تیر مسی می تواند فرکانس آنرا بسته به نوع و محل افزودگی، افزایش یا کاهش دهد. بنابراین توزیع تنگستن می تواند بهینه شود، تا پاسخ دینامیکی مورد نظر برای تیر ساخته شده از مواد هدفمند بدست آید.

4.1 مقایسه EFG و راه حل های دقیق برای صفحه هدفمند:
دقت و صحت روش EFG برای آنالیز ارتعاش حالت پایدار ساختارهای هدفمند، با مطالعه و بررسی صفحات ساخته شده از مواد هدفمند که راه حل دقیقی برای آن وجود دارد، تحلیل می شود. شکل 1 آرایش و ترکیب مرجع صفحه ضخیم W/Cu را که در راستای صخامت مدرج و هدفمند شده است را نشان می دهد. آنالیز دو بعدی با استفاده از فرض کرنش صفحه ای انجام شده است. شرایط مرزی در دامنه برابرست با:
u*2(0,x2) = u*2(L,x2) = 0 و σ*11(0,x2) = σ*11(L,x2) =0
طول صفحه برابر L=0.2m و ارتفاع آن برابر H=0.05m است. از این میان، پروفیل ضخامت کسر حجمی تنگستن برابر Vw = (x2/H)4 می باشد. طرح Mori – Tanaka همراه با مس به عنوان مرحله و فاز ماتریسی برای تخمین خواص مواد موثر در دامنه استفاده شده است.

راه حل EFG برای شش فرکانس طبیعی اول در جدول 2 به همراه راه حل دقیق آمده است. درتمام آنالیزهای نشان داده شده در جدول از شعاع پایه بی بعد α=4.0 استفاده شده است، که برای تعریف شعاع پایه گره rI به صورت زیر استفاده شده است:

در رابطه فوق r̄ میانگین فواصل گره ای، AΩ مساحت دامنه و N تعداد گره های آنالیز می باشد. یک ترتیب مربعی گوسی 7×7 در هر سلول مجتمع استفاده شده است تا انتگرال گیری های عددی را انجام دهد. همانطور که جدول 2 نشان می دهدفرکانس های طبیعی صفحه FGM به دقت توسط روش EFG محاسبه شده است. سه فرکانس طبیعی اول (ω1 تا ω3) هر یک در 0.18% راه حل دقیق با تنها 36 گره آنالیزی قطعی هستند (حداکثر 0.18% خطا دارند). همانطور که انتظار می رود، گره های بیشتری برای تعیین دقیق تر فرکانس های طبیعی لازم است. فرکانس های طبیعی ω4 تا ω6 با حداکثر 0.05% خطا، با استفاده از 12 گره محاسبه می شوند. باید توجه کرد که فرکانس های ω3 و ω6 که با مدهای ضخامت ارتعاش منطبق است، با استفاده از کمتر از 6 گره در راستای ضخامت صفحه به طور دقیق محاسبه می شوند. شکل 2(a) مد ضخامت ارتعاش منطبق با فرکانس طبیعی ω6 را نشان می دهد که از یک ناحیه 20×6 از گره ها و شبکه 9×3 سلول های یکپارچه بدست آمده است. به طور مشابه شکل های 2(b) و 2(c) به ترتیب تغییر مکان u2 و تنش طولی σ11 را در سرتاسر ضخامت را نشان می دهد. با توجه به روی هم پوشانی منحنی ها، مشاهده می شود توافق خوبی بین EFG و راه حل های دقیق وجود دارد.
4.2 مسئله مدل I:
در این مسئله ما بهینه سازی دوبعدی توزیع کسر حجمی را در نظر می گیریم تا سه فرکانس طبیعی اول تیر یک سردرگیر ساخته شده از مواد هدفمند W/Cu را که در شکل 3 نشان داده شده است، به حداکثر برسانیم. تیر به عنوان یک جسم دو بعدی در تنش صفحه ای مورد آنالیز قرار می گیرد. ابعاد تیر L=0.2m و H=0.5m بوده و شرایط مرزی در لبه گیردار برابر u*1(0,x2) = u*2(0,x2) = 0 است. همچنین تمام مرزهای دیگر بدون کشش هستند. خواص مواد با استفاده از مدل متجانس (هموژن شده) ترکیبی تخمین زده شده است، که در آن خواص خواص موثر با استفاده از روش Mori – Tanaka همراه با مس به عنوان ماتریسی برای 0 ≤ VW ≤ 0.275, محاسبه شده است. همچنین خواص در بازه 0.725 ≤ VW ≤ 1 با روش Mori – Tanaka همراه با تنگسن به صورت یک ماتریس مشخص شده و خواص موثر برای کسر حجمی در بازه 0.325 ≤ VW ≤ 0.675 با روش تخمین زنی خودسازگار بدست آمده است. با توجه به عدم پیوستگی خواص مواد محاسبه شده بوسیله طرح های متجانس مختلف، از توابع گذار مرتبه سه در منطقه گذار 0.275 < VW < 0.325 و 0.675 < VW < 0.725 استفاده کردیم تا گذار یکنواخت و همواری را در خواص مواد را بدست آوریم.
آنالیز EFG از یک شبکه 17×6 گره ای، یک شبکه سلولی 8×3 یکپارچه و نیز قاعده مرتبه 7ام مربعی گوسی استفاده می کند. توزیع کسر حجمی تنگستن (Vw) از نسبت های حجمی Vw(i,j) در گره های شبکه ای منظم با I=6 و J=5 برای مجموع 30 متغییر طرح، درونیابی شده و در شکل 3 نشان داده شده است. فرکانس طبیعی ωp تیر FGM با حل مسئله برنامه ریزی شده غیر خطی زیر به حداکثر می رسد.

(27)
که در آن ωp(cu) نشان دهنده فرکانس طبیعی pام تیر یکپارچه مسی می باشد.
الگوریتیم تکوینی برای این مسئله نمونه و مسائل نمونه بعدی از جمعیتی 10 برابر تعداد متغییرهای طرح استفاده می کند و GA وقتی خاتمه پیدا می کند که f(Vw(i,j)) نمی تواند بیش از 1×10-5 در یک گستره 20 نسلی بهبود یابد. شکل 4 پروسه اجرا شده یک الگوریتم تکوینی (GA) ساده را برای یافتن توزیع کسر حجمی ویژه که مقدار ω1 را ماکزیمم می کند نشان می دهد.

توزیع کسر حجمی تنگستن در تیر FGM بهینه شده W/Cu که منجر به بزرگترین فرکانس اصلی ω1 می شود، در شکل 5(a) نشان داده شده است. توزیع تنگستن حول سطح میانی متقارن است و ساخت آن به دلیل وجود مناطق بزرگی از مس یا تنگستن آسان است. تیر هدفمند بهینه شده، از تنگستن سخت تر و سنگین تری در نزدیکی بن و ریشه و نیز از مس سبکتر و مطلوبتری در قسمت سر و نوک تشکیل شده است. مزیت افزایش سختی به دلیل وجود تنگستن در اساس و تکیه گاه تیر یک سردرگیر، عیب افزایش جرم را می پوشاند. همچنین منطقه فی مابین باریکی وجود دارد که مواد ترکیبی بطور یکنواخت و آرام از تنگستن به مس انتقال می یابد. تیر بهینه شده W/Cu دارای فرکانس اصلی ω1 = 1174.3 Hz است که در مقایسه با آن، این میزان برای تیر یکپارچه مسی 676.1Hz و برای تیر یک دست تنگستن 878.7 Hz است. درنتیجه مشاهده می کنیم در تیر بهینه شده W/Cu، افزایش 73.7% در مقایسه با ω1 تیر مسی و افزایش 33.6% در مقایسه با ω1 تیر تنگستنی رخ داده است. شکل 5(a) همچنین حاوی توابع پاسخ فرکانسی تیر FGM بهینه شده W/Cu، تیر یک دست مسی و نیز تیر یک پارچه تنگستن است که در معرض تحریک u*1(0,x2) = u*2(0,x2) =ū قرار گرفته است. این شکل نشان می دهد که تیر FGM بهینه شده W/Cu، دارای فرکانس اصلی بالاتری نسبت به تیرهای مسی و تنگستنی است. شکل 5(b) توزیع کسرحجمی تنگستن بهینه شده را نشان می دهد، که منتج به بیشترین فرکانس اصلی ω2 شده است. مقدار فرکانس بهینه ω2=4819.0 Hz است که 40.6% از تیر یک پارچه مسی و 7.6% بیشتر از تیر یک دست تنگستنی می باشد. در خاتمه این بررسی برای بیشینه سازی فرکانس های طبیعی، ما به دنبال توزیع کسر حجمی هستیم که فرکانس طبیعی سوم تیر هدفمند W/Cu به حداکثر رساند، که این یک حالت و شیوه ارتعاش محوری می باشد. توزیع بهینه در شکل 5(c) نشان داده شده است. مشاهده می شود فرکانس طبیعی ω3=6681.9 Hz به ترتیب 52% و 17.1% بیشتر از تیرهای یک پارچه مسی و تنگستنی است. توزیع ماده ای که مقدار ω3 را به ماکزیمم می رساند، تنها اندکی با توزیع ماده ای که ω1 را بیشینه می کند، متفاوت است. در حالی که هردو، مناطق مشابه بزرگی از تنگستن و مس را به ترتیب در نزدیک ریشه و نوک نشان می دهند. توزیع نسبت حجمی در بخش گذار از منطقه تنگستن به مس در شکل 5(c) آماده است، که اندکی با شکل 5(a) متفاوت است و در مقایسه ω3 تقریبا 90Hz افزایش و ω1 تقریبا 20Hz کاهش دارد.
4.3 مسئله مدل II:
در مسئله نمونه دوم ما به دنبال به حداقل رساندن جرم تیر W/Cu هستیم، بطوریکه فرکانس های طبیعی در بازه های تعیین شده معین قرار نگیرند. چنین قیود و محدودیتی ممکن است زمانی اتفاق بافتد که تیر هدفمند بخشی از سیستم ساختاری باشد که همچنین شامل تجهیزات و وسایلی باشد که در داخل رنج های فرکانسی معینی کار می کنند. برای این نوع مدل از مسئله ما یک تیر را با ابعاد مشابه در مدل مسئله اول در نظر می گیریم، فقط لبه چپ صفحه با u*1(0,x2) =u*2(0,x2) =0 بست شده است و لبه راست با u*2(L,x2)=0 تکیه گاه ساده شده است. تمام پارامترهای آنالیز EFG و یکنواخت سازی خواص مواد مشابه مسئله I است.
فرض کنید در یک کاربرد خاص خواسته شده است تمام فرکانس های طبیعی تیر خارج از بازه 5000 -8000Hz و 13000 -16000Hz قرار بگیرد. ما به دنبال یک تیر W/Cu با حداقل جرم هستیم که این محدودیت فرکانس را بر آورده سازد. تیرهای یک پارچه مس یا تنگستن که فرکانس طبیعی آن ها در جدول 3 آمده است، دارای دو فرکانس طبیعی هستند که در این دو رنج فرکانسی قرار می گیرند، بنابراین توزیع مواد غیر عملی است.

در اینجا یک شبکه منظم با I=6 و J=5 شامل 30 پارامتر کسرحجمی برای بهینه سازی توزیع مواد بکار گرفته می شود. مسئله بهینه سازی به صورت زیر می باشد:

(28)
که در آن gm قیودهای نامساوی و ωkفرکانس طبیعی kام تیر (به هرتز) می باشد، که پروفیل کسرحجمی آن بوسیله پارامترهای Vw(i,j) تعریف می شود.
برای یک نمونه از الگوریتم تکوینی (GA)، نمودار مقدار تناسب F(Vw(i,j)) که در معادله (24) تعریف شده، در شکل 6(a) نشان داده شده است، که به عنوان تابعی از شماره نسل می باشد. پیش از ذوره 31 تمام راه حل ها در جمعیت غیر عملی است، و در نتیجه fmax در معادله (24) برابر صفر است. در نسل 31، یک راه حل عملی پیدا شد، که در نتیجه آن پرش ناگهانی در شکل 6(a) رخ داده است. پس از دوره 31، برای بهترین فرد در جمعیت F(Vw(i,j)) = f(Vw(i,j)) می باشد، زیرا این یک راه حل عملی است. تیر بهینه W/Cu که در شکل 6(b) نشان داده شده است، شامل نسبت جرمی 50.9% تنگستن می باشد. توزیع بهینه مواد در بخش های پر تنگستن در لبه محکم و بست شده تیر و در سطح بالا و پایین در نزدیکی تکیه گاه ساده تیر متقارن است. شکل 6(c) پاسخ های فرکانسی تیر W/Cu را نسبت به تحریک پایه نشان می دهد.

این شکل نشان می دهد، که فرکانس های طبیعی FGM بهینه W/Cu، خارج از بازه فرکانس 5000 – 8000Hz و 13000 – 16000Hz قرار می گیرد.شش فرکانس طبیعی اول FGM بهینه شده برابرست با:
ω1 = 2974.9 Hz , ω2 = 4580.9 Hz , ω3 = 8000.1 Hz
ω4 = 12942.4 Hz , ω5 = 16002.4 Hz , ω6 = 18198.2 Hz
دو تا از 5 فرکانس طبیعی اول یعنی ω3 و ω5 در مرز قید شده فوق (یعنی 8000 و 16000 هرتز) قرار دارند.
سپس ما بهینه سازی تیر هدفمند W/Cu را با ضخامت H=0.05m در نظر می گیریم، بطوریکه آنرا مجبور کرده ایم تا پایین آن و به میزان 0.005m از مس ساخته شده و بالای آن نیز به میزان 0.005m از تنگستن ساخته شود، تا نیاز های خاص برای واکنش های گرمایی را در کاربردهای با دمای بالا برآورده سازد. ما به دنبال سازماندهی ترکیب ماده هستیم، که در محدوده و ناحیه طراحی 0.005 ≤ x2 ≤0.0045m باشد، بطوریکه هیچ کدام از از فرکانس های طبیعی تیر در بازه فرکانسی 5000 – 8000Hz و 13000 – 16000Hz قرار نگیرد. به خاطر داشته باشید، که اگر ما از نوسان خطی ساده برای نسبت حجمی تنگستن در محدوده طراحی استفاده کنیم، شش فرکانس طبیعی اول بصورت زیر خواهد بود:
ω1 = 2804.9 Hz , ω2 = 5081.4 Hz , ω3 = 7456.4 Hz
ω4 = 12938.3 Hz , ω5 = 15120.9 Hz , ω6 = 18817.2 Hz
به خاطر اینکه سه تا از فرکانس های طبیعی یعنی ω2، ω3 و ω5 از محدوده تجاوز می کنند، پس این طرح خطی، یک طرح عملی نیست. در اینجا از یک شبکه کسر حجمی با فواصل گره ای منظم در راستای x1 با I=6 و گره هایی با فواصل نامشخص در راستای x2 با J=8 استفاده می کنیم. موقعیت های شبکه j=1، j=2، j=7 و j=8 در شکل 3 به ترتیب در x2=0.0m، x2=0.005m، x2=0.045m و x2=0.05m می باشد. ردیف های j=3 تا j=6 بطور یکنواخت فاصله گذاری شده اند. به علاوه در قیود های بیان شده در معادله (28)، ما محدودیت های اضافی را در کسر حجمی یعنی Vw(i,j)=0 برای j=0,1 و Vw(i,j)=1 برای j=J-1,J اعمال می کنیم.
در شکل 7(a) تناسب و سازگاری بهترین افراد و میانگین جمعیت برای یک نمونه انجام شده در الگوریتم تکوینی نشان داده شده است. پیش از دوره و نسل 70ام تمام راه حل ها در جمعیت غیر عملی است. توزیع کسر حجمی بهینه شده برای تنگستن در شکل 7(b) آماده است. با توجه به اینکه قسمت های بالا و پایین FGM لازم است به ترتیب از تنگستن و مس همگن تشکیل شود، ما یک توزیع ماده نامتقارن را در حدود سطح میانی فراهم می آوریم. توزیع بهینه بوسیله غلظت اندکی از تنگستن در لبه بست شده و نیز ناحیه L شکل پر تنگستن که توسط مس احاطه شده و از نقطه x1=L/2 شروع می شود و تا لبه تکیه گاه ساده ادامه می یابد، مشخص می شود. همانطور که انتظار می رفت، قیود اضافی در توزیع ماده، مقدار کاهش وزن را که با بهینه سازی بدست آمده است، محدود می کند. این مقدار بهینه شده به این صورت است که از لحاظ جرمی 60.9% تنگستن است، که ساختار را نسبت به طرح بدست آمده در قسمت اول، سنگین تر می کند. پاسخ فرکانسی تیر بهینه شده که در معرض تحریکات پایه در معدله (29) قرار دارد، در شکل 7(c) نشان داده شده است. شش فرکانس طبیعی اول FGM بهینه شده بصورت زیر است:
ω1 = 2920.8 Hz , ω2 = 4991.2 Hz , ω3 = 8000.3 Hz
ω4 = 12997.8 Hz , ω5 = 16084.9 Hz , ω6 = 18606.4 Hz
مشاهده می شود، سه فر کانس از پنج فرکانس طبیعی اول، در مرز نواحی محدود شده فرکانس قرار دارند.
4.4 مسئله مدل III:
ارتعاش آزاد تیر W/Cu را که در شکل 3 نشان داده شده است را در نظر بگیرید. لبه های آن دارای تکیه گاه ساده اند، یعنی u*2 (0, x2) =u*2 (L, x2) = 0. در این مدل مسئله، ما به دنبال به حداقل رساندن جرم تیر W/Cu با تکیه گاه ساده هستیم، بطوریکه فرکانس اصلی ω1 بیشتر از مقدار تعیین شده 3000Hz باشد. تمام پارامترهای آنالیز EFG و همگن سازی خواص مواد مشابه پارامترهای مسئله I است. علاوه بر توزیع مواد تعیین شده بوسیله کسر حجمی تنگستن Vw(i,j)، ضختمت تیر H نیز به عنوان یک پارامتر بهینه سازی افزوده می شود. این بدین موضوع دلالت دارد که توابع هدف و قیدهای نامساوی تابعی از مقادیر کسر حجمی Vw(i,j) و ضخامت H می باشد.

توزیع مواد با استفاده از شبکه ای با نسبت حجمی یکنواخت با I=6 و J=5 تعریف می شود. طرح بهینه شده با استفاده از الگوریتم تکوینی، با بهینه سازی همزمان توزیع مواد و ضخامت تعیین می شود. مسئله بهینه سازی بصورت زیر بیان می شود:

(30)

که در آن f (H,Vw(i,j)) جرم نرمال و g1 قید نامساویی است که نیاز دارد تا ω1 بیشتر از 3000Hz باشد. D دامنه و کران تعیین شده بوسیله پارمترهای بهینه سازی H و طول L=0.2m است و D0 اندازه دامنه L=0.2m و H=0.05m می باشد.
شکل 8(a) تناسب و صلاحیت F (H,Vw(i,j)) از بهترین فرد و میانگین جمعیت را به عنوان تابعی از تعداد دوره ها برای نمونه اجرا شده توسط الگوریتم تکوینی (GA) نشان می دهد. باید توجه داشت، که برای این نمونه اولین دوره یک راه حل عملی است و از اینرو روند تناسب بهترین فرد در شکل 8(a) نموداری از f (H,Vw(i,j)) می باشد که بعنوان تابعی از تعداد دوره هاست. توزیع بهینه مواد و ضخامت در شکل 8(b) نشان داده شده است. فرکانس اصلی برای توزیع بهینه 3000Hz است. مقداری که دقیقا برابر مرز و حد قید شده است. تیر بهینه W/Cu بیشتر از مس همراه با تنگستن در نواحی معین کلیدی تشکیل یافته است. ضخامت آن H=0.078m و جرم آن 169.8 Kg/m (بر واحد عمق) می باشد. به عنوان مقایسه، ضخامت و جرم تیر یک دست مسی با فرکانس اصلی ω1=3000Hz، به ترتیب برابر H=0.1004m و 179.92 Kg/m می باشد. همچنین ضخامت و جرم تیر یکپارچه تنگستن با فرکانس اصلی ω1=3000Hz به ترتیب برابر H=0.0676m و 260.94 Kg/m است. بنابر این تیر بهینه W/Cu، 5.6% از تیر یک پارچه مسی و 34.9% از تیر یک پارچه تنگستنی سبکتر است. این مدل مسئله نشان می دهد، که با بهینه سازی همزمان ابعاد و توزیع مواد، می توان ماده هدفمند سبکتری را که دارای فرکانس اصلی مشابه با ساختارهای مونولتیک (یک پارچه) دارند،بدست آورد.
5. نتیجه گیری نهایی:
در این فصل ما یک روش بررسی شبیه سازی و بهینه سازی پاسخ ارتعاشی ساختارهای هدفمند دوسویه را ایجاد کردیم. روش بدون المان گالرکین برای آنالیز ارتعاش آزاد و اجباری حالت پایدار دوبعدی مواد هدفمند استفاده شد. کسر حجمی در یک نقطه از دامنه از طریق درونیابی بیکوبیک نقطه ای با بازه محدود در یک شبکه دوبعدی تعیین گردید. یک الگوریتم حقیقی و تکوینی برای بهینه سازی کسرهای حجمی در نقاط شبکه بکار گفته شد . برای تایید ساختن قاعده EFG، نتایج حاصل با نتایج ناشی ار راه حل های دقیق صفحاتی با تکیه گاه ساده که در راستای ضخامت مدرج و هدفمند شده بودند، مقایسه شد.

نتایج عددی برای بهینه سازی سه مدل مسئله ارائه شد. در مسئله مدل I توزیع مواد در تیر FGM یک سر درگیر مس/تنگستن سازماندهی شد تا هر یک از سه فرکانس طبیعی اول به حداکثر برسد. همچنین دیدیم فرکانس طبیعی تیرهای هدفمند بهینه شده W/Cuبیشتر از تیرهای یکپارچه مس یا تنگستن بودند، فرکانس های طبیعی ω1، ω2 و ω3 تیر بهینه شده نسبت به تیر یکپارچه مسی با ابعاد مشابه به ترتیب 73.7%، 40.6% و 52% بیشتر بودند.
در مسئله نمونه دوم جرم تیرهای هدفمند محکم شده و دارای تکیه گاه ساده با ابعاد L=0.2m و H=0.05m به حداقل رسید بطوریکه هیچ یک از فرکانس های طبیعی در بازه فرکانسی 5000 – 8000Hz و 13000 -16000Hz قرار نگرفت. تیرهای یک پارچه مس و تنگستن هر یک دارای فرکانس هایی بودند که در این بازه قرار می گرفتند، از این رو آن ها طرح هایی غیر عملی بودند. در موردی که تمام نسبت های حجمی در نقاط شبکه به عنوان متغییرهای بهینه سازی انتخاب شدند، تیر هدفمند بهینه شده W/Cu محدودیت های فرکانسی را برآورده ساخت و در نسبت جرمی نیز حاوی 50.9% تنگستن بود.
در مسئله مدل آخر، ما جرم تیر هدفمند W/Cu را که دارای طول L=0.2m بود، به حداقل رساندیم، بطوریکه فرکانس اصلی ω1 بیشتر از 3000Hz شد. علاوه بر نسبت های حجمی مختلف در نقاط شبکه، ضخامت H تیر نیز به عنوان یک متغییر بهینه سازی انتخاب شد. تیر FGM بهینه شده W/Cu به مقدار 5.6% از تیر یک دست مسی ( با فرکانس 3000 هرتز) سبکتر بود. این مسئله نشان داد، که بهینه سازی همزمان ابعاد هندسی و توزیع مواد در FGM ها می تواند منجر به کاهش وزن در مقایسه با ساختارهای مونولیتیک شود.
به طور خلاصه نتایج نشان داد، که توزیع مواد تاثیر چشمگیری بر فرکانس طبیعی دارد و اینکه روش ارائه شده می تواند برای طراحی ساختارهای هدفمند با پاسخ های دینامیکی بالاتر مورد استفاده قرار بگیرد.

فصل نهم
مدل سازی المان محدود تیر ساخته شده از مواد FGM با استفاده از لایه های پیزوالکتریک مجتمع برای کنترل ارتعاش

1.مقدمه
2.شرح و توصیف مدل
3.فرمول بندی المان محدود
4.کنترل پسخوردی سرعت و جابجایی
5.نتایج عددی
5.1 بررسی و بازبینی مدل
5.2 بررسی تاثیر نسیت حجمی
5.3 کنترل ارتعاش
6.بررسی نهایی
لیست علامات و اختصارات
مراجع
مدل سازی المان محدود تیر ساخته شده از مواد FGM با استفاده از لایه های پیزوالکتریک مجتمع برای کنترل ارتعاش
چکیده:
درین مبحث از روش المان محدود برای تحلیل کنترلی فعال ارتعاش و پاسخ های دینامیکی تیر ساخته شده از مواد FGM که تحت سنسورهای لایه ای پیزوالکتریک قرار گرفته اند، استفاده شده است. درین جا مدل اویلر برای تیرهای بلند و نازک بکار گرفته شده است. الگوریتم کنترل فیدبک (پسخوردی) برای کنترل پاسخ های استاتیکی و دینامیکی تیر انجام و تکمیل شده است.با استفاده از روش المان محدود می توان نشان داد که چگونه جابجایی بهره کنترل فیدبک در ماتریس سختی و بهره کنترلی سرعت فیدبک در ماتریس دمپینگ شرکت می کند.نتایج عددی تاثیر نسبت حجمی روی تغییر شکل استایکی، فرکانس طبیعی، و ارتعاش تیر را نشان می دهد. علاوه براین مشاهده می شود که چگونه خیز استاتیکی، فرکانس طبیعی و پاسخ های حداکثر می توانند با جابجایی بهره کنترلی، کنترل شود. همچنین دمپینگ فعال نیز می تواند بوسیله تنظیم کردن بهره کنترلی سرعت تنظیم و کنترل شود.
1.مقدمه:
مدل سازی و کنترل تیرهای انعطاف پذیر که از لایه های پیزو الکتریک ساخته شده اند در چندین تحقیق بررسی شده اند. بعنوان مثال Aldraihem و Khdeir مدل های تحلیلی و راه حل های دقیقی را برای تیرهای با ضخامت، برش و کشش کارانداز پیزوالکتریک توسعه دادند. این مدل ها بر مبنای تئوری ترتیب اولیه تیر (FSDT) و تئوری ترتیب بالایی تیر (HSDT) بودند. Wu et al کوپل سه بعدی (3D) الکترومکانیکی را در زمینه روش محدود گسترش داد تا فرکانس تشدید (رزونانس) و پاسخ های هارمونیک تیر یکپارچه شده با لایه های پیزوالکتریک را پیش بینی کند. بعلاوه Bian et al شرایط اتصال را در یک تکیه گاه ساده، ناهمگن، و داراى محور اصلى عمودى الاستیک تیر متصل شده با لایه های پیزو الکتریک را مطرح کرد. OotaoوTanigawa موضوع پیزوترموالاستیک یک صفحه مستطیلی FGM را که تحت یک صفحه پیزوالکتریک و منبع حرارتی قرار داشت را بررسی کردند. تحقیق وبررسی جامعی برای شکل و کنترل ارتعاش صفحات FGM و پوسته های آن با حسگرهای پیزوالکتریک مجتمع و کارانداز های Liew با استفاده از روش المان محدودانجام شد. Yang et al رفتار خمش غیرخطی صفحات مواد هدفمند، متصل شده با لایه های محرک پیزوالکتریک و قرار گرفته تحت تاثیر بار عرضی و گرادیان دما، مبتنی بر تئوری تغیر شکل برشی صفحات را مطالعه و بررسی کرده است. مدل لایه فنری خطی در بررسی آنها اتخاذ شد تا ضعف پیوندی را شبیه سازی کند. در تحقیق قبلی نویسنده فرمولاسیون المان محدود برای بررسی تغییر شکل استاتیکی،کنترل ارتعاش و تغییر رفتار دینامیکی صفحه FGM مبتنی بر تئوری کلاسیک صفحات چند لایه (CLPT) و تئوری مرتبه بالاتر تغییر شکل برشی (HSDT) استفاده شد.
درین جا فرمولاسیون المان محدود با استفاده از روش تغییر یا Variational approach ، برای تغییر شکل استاتیکی و کنترل ارتعاشی تیر FGM مبتنی بر تئوری اویلر بسط داده شده است. الگوریتم کنترل پسخوردی (فیدبکی) برای کوپل کردن اثرات پیزوالکتریک مستقیم و معکوس استفاده شده است، تا ساختار قرارگرفته زیر بار مکانیکی را کنترل کند. همچنین نتایج عددی برای خیز استاتیکی، فرکانس طبیعی و کنترل دینامیکی تیر FGM با شرایط مرزی مرزی مختلفی در دوحالت جدولی و نموداری تهیه شده اند.
نتایج بدست آمده با استفاده از الگوریتم کنترل پسخوردی جدید نشان می دهد که خیز استاتیکی و پاسخ های نهایی می تواند با کنترل بهره مسافت تنظیم و کنترل شوند و دمپینگ فعال نیز می تواند بوسیله تنظیم بهره کنترلی سرعت بدست آید. مدل بدون کنترل پسخوردی با مقایسه نتایج موجود در نوشته و برنامه کامپیوتری ANSYS صدق می کند.
2.شرح و توصیف مدل:
برای یک تیر FGM با ضخامت یکسان و یکنواخت، خواص تیر فقط به تغییرات ضخامت میانی فرض شده است. خواص FGM بین سطح بالایی و پایینی ممکن است بصورت زیر بیان شود:

که در اینجا Cij و ρ به ترتیب ضریب کشسانی (ضریب الاستیک) و چگالی هستند، c و m خواص اختیاری و مختص سرامیک و فلز و h ضخامت تیر FGM می باشد. انرژی آزاد مجموع می تواند بصورت زیر نوشته شود:

که εij مولفه های تانسور کرنش، و Ei بردار میدان الکتریکی را مشخص می کند. کمیت های Cijkl و eijk به ترتیب ثابت های الاستیک و پیزوالکتریک را نمایان می سازند و Kij ضریب نفوذ پذیری الکتریکی می باشد. درنتیجه روابط اصلی و بنیادی بصورت زیر هستند:

که [σ] و [D] به ترتیب تانسور تنش و بردار جابجایی الکتریکی می باشند. برمبنای پیزوالکتریسیته خطی، Ei از تابع پتانسیل اسکالر φ نتیجه می شود. یعنی:
برای یک تیر می توان σy = τxy = τyz =0 را در نظر گرفت تا معادلات اصلی تیر FGM کاهش یافته و سادتر شود.
میدان جابجایی برطبق تئوری اویلر از روابط زیر تخمین زده می شود:

که u و w به ترتیب مولفه های جابجایی در امتداد راستای x و z هستند و u̥ و w̥ جابجایی های صفحه میانی اند.
3.فرمول بندی المان محدود:
با استفاده از اصول همیلتوتن، تغییر فرم معادلات حرکت، از روابط زیر تخمین زده می شود:

که fbi، fci ، fsiو qe به ترتیب مشخص کننده نیروی حجمی، بار متمرکز، بردارکشش و چگالی بار می باشد. عناصر پیوسته مورد استفاده در امتدادهای جابجایی و چرخشی دارای 6 درجه آزادی اند و پتانسیل الکتریکی دارای 2 درجه آزادی است. مولفه های جابجایی داخل المان می توانند بصورت ترم های متغیرهای گرهی u̥ ، w̥ و w̥ / Ә xӘ مشخص شوند. درنتیجه درین ترم ها متغیرهای گرهی ،مولفه های جابجایی بصورت زیر تعریف می شوند:

و پتانسیل الکتریکی در ترم های لایه های متغیر آن بصورت زیر مشخص می شود:

{ue} و [φe] به ترتیب جابجایی های گرهی تعمیم یافته و پتانسیل الکتریکی لایه ها اند. همچنین [Nφ] و [Nu] شکل تابعی ماتریس هاست.با استفاده از تئوری اویلر داریم:

و بر مبنای پیزوالکتریسیته خطی داریم:

که در رابطه فوق {Bu} مشتق {Nu} می باشد.
با استفاده از معادلات 8 الی 11 می توان معادلات حرکت را بدست آورد. با تفکیک سازی حسگر و مولفه های کارانداز و عناصر اسمبل شده معادلات نهایی بصورت زیر بیان می شود:

که اندیس های a و s به ترتیب کارانداز و حسگر را مشخص می کند. ماتریس ها و معادلات 13 الی 15 بصورت زیر معین شده است:

باجایگذاری معادلات (14) و (15) در معادله (13) بدست می آوریم:

4.کنترل پسخوردی سرعت و جابجایی :
با استفاده ازکنترل پسخوردی یا کنترل فیدبک پتانسیل الکتریکی اعمال شده روی کارانداز می تواند بصورت زیر بیان شود:

که درین معادله Gd و Gv به ترتیب بهره کنترل پسخوردی جابجایی و سرعت می باشد.
از معادله (15) پتانسیل الکتریکی القایی به حسگر می تواند از رابطه زیر بدست آید:

با جانشی معادلات (24) و (25) در معادله (23)، معادله اصلی برای کنترل فعال تیر FGM متصل شده به حسگر پیزوالکتریک و کارانداز (محرک) بصورت زیر نوشته می شود:

که ماتریس دمپینگ [Cp] بصورت زیر تعریف می شود:

5.نتایج عددی:
5.1 بررسی و بازبینی مدل:
در مدل المان محدود کنونی، یک تیر یک سردرگیر آلومنیومی مطرح و بررسی شده است. در شکل 1 لایه های پیزوالکتریک PZT5H که در سطوح بالا و پایین تیر قرار گرفته اند نشان داده شده است. طول تیر 0.1 متر است. ضخامت لایه آلمنیومی 16mm و ضخامت هرکدام ازلایه های پیزوالکتریک 1mm می باشد. خواص ماده از [1] (مدل Aldrahim) انتخاب شده است. مجموعا 40 عنصر و المان استفاده شده است تا تیر مدل سازی شود.
شکل 2 خیز و تغییر شکل خمشی تیر را زیر دامنه های یکسان بار ولتاژی فعال به میزان (V=10v) را نشان می دهد.

نمونه دیگری که صحت مدل کنونی را تایید می کند، بررسی تیر ایزوتروپی (داراى خواص فیزیکى مشابه) است که از سرامیک زیرکونیا ساخته شده است و دو لایه پیزوالکتریک G-1195N به آن متصل شده است. خواص مواد پیزوالکتریک و ترکیبات FGM در جدول 1 نشان داده شده است. ضخامت لایه زیرکونیا 4mm و ضخامت هر کدام از لایه ها پیزوالکتریک 1mm می باشد. طول تیر نیز 0.4 متر است. شرایط تکیه گاهی تیر بصورت یک تیر یک سردرگیر می باشد. جدول شماره 2، نتایج حاصله از چهار فرکانس طبیعی اول، در بررسی المان محدود کنونی و برنامه ANSYS را باهم مقایسه میکند.

اگرچه برای مدل سازی تیر با لایه های پیزوالکتریک در برنامه ANSYS، 5 عنصر و المان جامد و ثابت استفاده شده است، ولی مشاهده می شود ماکزیمم خطای رخ داده در این بررسی و بررسی برنامه ANSYS حداکثر 3% است و مقادیر آن بسیار بهم نزدیک است.
5.2 بررسی تاثیر نسیت حجمی:
درین جا تاثیر جزء نسبت حجمی بر خیز استاتیکی و فرکانس های طبیعی تیر FGM با تکیه گاه ساده (SS) با لایه های پیزوالکتریک زیر بارالکتریکی بررسی می شود.
تیر FGM تشکیل شده است از از زیرکونیا و آلومنیوم و لایه های پیزوالکتریکی G-1195N که خواص آن در جدول مشاهده می شود. طول تیر 400mm، ضخامت تیر FGM برابر 4mm و ضخامت لایه های پیزوالکتریک 1mm است. تغییر نسبت حجمی زیرکونیا توسط مقادیر مختلف توان n در معادله 1 مدل شده است. درخصوص معادله 1، وقتی توان n صفر است، تیر FGM فقط از ماده سرامیکی تشکیل شده است که دراین جا این ماده زیرکونیا است. وقتی n به سمت بی نهایت میل می کند، تیر FGM فقط از فلز تشکیل شده است، که درین جا این فلز آلومنیوم می باشد.
اکنون محور خمش تیر FGM که زیر بار الکتریکی قرار گرفته است بررسی می شود. دراین وضعیت، هر دو لایه بالایی بالا و پایینی پیزوالکتریک بعنوان کارانداز یا محرک استفاده شده است، بنابرین ولتاژ فعالی با بزرگی V=10v با علامات معکوس، درسرتاسر لایه های پیزوالکتریک اعمال می شود. محور مرکزی خمش تیر برای مقادیر مختلفی از n در شکل 3 نمایش داده شده است. این شکل نشان می دهد که میزان خمش با مقدار توان n رابطه مستقیم دارد و با افزایش n، خمش نیز افزایش می یابد. تغییرات محور مرکزی خمش برای مقادیر مختلف n تابع مدول الاستیک (ضریب کشسانی) بوده که با افزایش نسبت حجمی، افزایش می یابد.

در گام بعدی، چهار فرکانس طبعی اول برای مقادیر مختلف توانی در شکل 3 نمایش داده شده است. همانطور که ملاحظه می کنید، تمامی فرکانس های طبیعی تیر با افزایش مقدار n از 0 تا 1000 کاهش می یابد.

تغییرات فرکانس طبیعی برای مقادیر مختلفی از n تابع دو فاکتور اصلی است، که عبارتند از :
مدول الاستیسیته و تغییرات چگالی، برای مقادیر مختلفی از توان نسبت حجمی
5.3 کنترل ارتعاش:
تاثیرات بهره کنترل جابجایی (Gd) و بهره کنترل سرعت (Gv) روی فرکانس های طبیعی و پاسخ های دینامیکی نیز مورد بررسی و مطالعه قرار گرفته است.
اندازه ها و خواص مواد تیر FGM و هرکدام از لایه های پیزوالکتریک مشابه بخش قبلی است. جدول 4 تاثیر بهره کنترل جابجایی (Gd) روی چهار فرکانس طبیعی اول را نشان می دهد.از آنجایی که فرکانس های طبیعی به ماتریس سختی وابسته است و بهره کنترل پسخورد جابجایی (Gd) در ماتریس سختی شرکت دارد، فرکانس های طبیعی با بهره کنترل Gd تغییر می کنند. شکل 4 نشان می دهد که با کاهش بهره کنترل جابجایی (Gd)، فرکانس های طبیعی نیز کاهش می یابند.

در مرحله بعدی اثر بهره های کنترلی سرعت و جابجایی روی پاسخ های دینامیکی مطرح شده است. پاسخ گذرا تیر FGM با استفاده از متد Newmark آنالیز شده است، که پارامترهای g و b دقت و پایداری را تعیین می کنند، به ترتیب مقادیر 0.5 و 0.25 را اتخاذ می کنند. بار گسترده اعمال شده رو سطح بالایی منجر به این می شود که تیر FGM به سمت پایین منحرف شود.

شکل های 4.a تا 4.d تاثیرات بهره کنترل جابجایی (Gd) روی خیز تیر FGM نشان می دهد. مشاهده می شود بهره کنترل پسخورد جابجایی (Gd) در ماتریس سختی شرکت دارد. میزان خیز با کاهش بهره کنترل جابجایی (Gd) کاهش می یابد. می توان خیز دقیق و معینی را با تنظیم Gd بدست آورد.
مشاهده می شود پاسخ پیک با کاهش بهره کنترل جابجایی (Gd) کاهش یافته است. با مقایسه تغییرات فرکانس های طبیعی و پاسخ های پیک، می توان نتیجه گرفت که تغییرات پاسخ پیک قابل پیش بینی است و در شکل های 4.a تا 4.d این میزان کاهش نشان داده شده است.

شکل های 5.a تا 5.c تاثیر بهره کنترل سرعت (Gv) روی خیز تیر FGM را نشان می دهد. بهره کنترل سرعت در ماتریس دمپینگ شرکت دارد و می تواند دمپینگ و میرایی ساختار را تغییر دهد، هرچند به علت نداشتن ارتباط بین بهره کنترل سرعت (Gv) و ماتریس سختی نمی تواند پاسخ های پیک را تغییر دهد.درنتیجه مشاهده می شود پاسخ دینامیکی به ازای مقادیر بیشتر بهره سرعت (Gv) ، با سرعت بسیار زیادی میرا شده است.

6.بررسی نهایی:
دراین بررسی با استفاده از یک روش المان محدود کارآمد و موثر، فرم و کنترل ارتعاش تیر FGM با سنسورهای پیزوالکتریک و لایه های محرک با استفاده از الگوریتم کنترل پسخوردی نوینی مورد مطالعه قرار گرفت. فرمولاسیون مورد استفاده قرار گرفته بر مبنای تئوری اویلر برنولی بود. با انجام مقایسه متوجه شدیم که مدل بدون کنترل فیدبک با نتایج داخل نوشته معتبر بوده است.
ارتباط با برنامه ANSYS، برای فرکانس های طبیعی نیز ارائه شد. الگوریتم کنترل پسخوردی با جابجایی ثابت و کنترل پسخورد سرعت مورد استفاده قرار گرفت تا خیز استاتیکی، فرکانس های طبیعی و پاسخ های دینامیکی تیر FGM را نظارت کرده و کنترل کند. نتایج عددی تاثیر کسر حجمی روی شکل و ارتعاش تیر را نشان داد. بعلاوه، مشاهده شد که فرکانس های طبیعی و پاسخ های پیک با کنترل بهره جابجایی، کنترل می شوند و دمپینگ فعال می تواند با تنظیم بهره کنترل سرعت بوجود آید.

لیست علامات و اختصارات :

[Muu ] جرم ماتریس

[Kuu ] ساختار ماتریس سختی

[Kuϕ ] ماتریس کوپلینگ

[Kϕϕ ] ماتریس سختی الکتریکی

{Fm} بار مکانیکی

{Fq} بار الکتریکی

{u} جابجایی مکانیکی

{σ} تنش

{ε} کرنش

{D} جابجایی الکتریکی

{E} پتانسیل الکتریکی

ρ دانسیته (چگالی)

{ fbi} نیروی حجمی

{ fci} نیروی متمرکز

{ fsi} نیروی سطحی

qe چگالی بار

[c] ماتریس الاستیک

[e] ماتریس پیزو الکتریک

{k} گذردهی الکتریکی

فصل دهم
تحلیل ارتعاشی تیر یک سر درگیر کامپوزیتی چند لایه، با استفاده از قانون نمایی، بوسیله نرم افزار ABAQUS

1.مقدمه
2. آشنایی با نرم افزار ABAQUS
3. ایجاد مدل و تحلیل تیر ساده یک سر درگیر در نرم افزار ABAQUS
4. نتایج بدست آمده از تحلیل تیر ساده یک سر درگیر
5. ایجاد مدل و تحلیل تیر ساده چند لایه یک سر درگیر در نرم افزار ABAQUS
6. نتایج بدست آمده از تحلیل تیر ساده چند لایه یک سر درگیر
7. ایجاد مدل و تحلیل تیر کامپوزیتی یک سر درگیر در نرم افزار ABAQUS
8. نتایج بدست آمده از تحلیل تیر کامپوزیتی یک سر درگیر:
8. نتیجه نهایی
تحلیل ارتعاشی تیر کامپوزیتی چند لایه، با استفاده از قانون نمایی، بوسیله نرم افزار ABAQUS

1.مقدمه:
در این فصل ما قصد داریم، تا علاوه بر آشنایی مختصری با نرم افزار بسیار قدرتمند ABAQUS، با استفاده از رابطه نمایی تعریف شده در فصول قبل، تحلیل ارتعاشی سه نوع تیر را انجام دهیم تا فرکانس های طبیعی و مودهای آن را بیابیم.
در ابتدا امر شما با نرم افزار تحلیلگر ABAQUS آشنا خواهید شد. سپس طریقه رسم یک تیر را بیان خواهیم کرد. همچنین طریق دادن نوع خواص مواد، شرایط مرزی، انتخاب نوع عملیات تحلیل، طریقه اختصاص دادن مواد به لایه های مختلف تیر، و بدست آوردن نتایج تحلیل با استفاده از نرم افزار را بیان خواهیم کرد.
در مسئله اول ما تیر یک لایه ساده یک سردگیر را با مدول یانگ (مدول الاستیسیته) و چگالی ثابت حل خواهیم کرد. سپس در مسئله دوم این تیر را بصورت چند لایه در آورده ولی برای تمامی لایه ها مواد یکسانی را اعمال خواهیم نمود. سپس نتایج آن را با مدل مسئله اول مقایسه خواهیم کرد، و بررسی می کنیم آیا جواب های حاصله از دو مسئله با هم یکسانند یا خیر. در مدل مسئله سوم ما یک تیر کامپوزیتی 9 لایه را که لایه های بالا و پایین آن به ترتیب از سرامیک و فلز خالص اند و لایه های درونی آن کامپوزیتی شامل مخلوطی از فلز و سرامیک است را تحلیل خواهیم کرد. برای لایه های میانی نسبت کسر حجمی فلز به سرامیک و در نتیجه مدول یانگ و چگالی آن را از قانون نمایی بدست آورده ایم. پس در نتیجه مدل مسئله سوم ما دارای چگالی و مدول الاستیسیته مختلف خواهد بود.
2. آشنایی با نرم افزار ABAQUS:
2.1 تاریخچه نرم افزار:
پایه گذاری نرم افزار ABAQUS توسط دکتر Hibitt در سال 1977 انجام شد. در سال 1979، Hibitt به همراه دو شریک خود، شرکتی را به نام HKS تاسیس کردند که اولین ویرایش ABAQUS را منتشر کرد.
اولین مشتری HKS، شرکت Westinghouse Hanford، سازنده رآکتورهای هسته ای در ایالت Westinghouse بود. قدرت ABAQUS در تحلیل های همزمان خزش وابسته به دما، پلاستیسیته و تماس، باعث استفاده از این نرم افزار در صنعت هسته ای شده بود.
یکی دیگر از کاربردهای اولیه این نرم افزار در مدل سازی اسکله های نفتی تحت بار موج دریا بود. پس از طی سال ها، شزکت HKS، نرم افزار اصلی اجزاء محدود خود را تحت عنوان ABAQUS/Standard تکمیل کرد و در سال 1991، ABAQUS/Explicit بر مبنای حل دینامیکی Explicit منتشر شد. در سال 1999، ABAQUS/CAE برای انجام عملیات پیش پردازش و پس پردازش تکمیل شده و به بازار عرضه شد. در سال 2002 شرکت HKS، با این هدف که به یک شرکت تک محصولی تبدیل شود به ABAQUS, Inc تغییر نام داد.
در حال حاضر شرکت های بزرگ اتومبیل سازی نظیر BENZ، BMW، TOYOTA، HONDA، GENERAL MOTORS، FORD، CATERPILAR و … و نیز دیگر شرکت های بزرگ دنیا مانند HP، NOKIA، MOTOROLLA، INTEL و … برای تحلیل و بررسی مسائل خود از این نرم افزار قدرتمند استفاده می کنند.
2.2 محصولات نرم افزار:
سه محصول اصلی این نرم افزار عبارتند از:
ABAQUS/Standars: محصول اصلی شرکت ABAQUS است که با استفاده از آن می توان گستره وسیعی از مسائل خطی و غیر خطی شامل مسائل استاتیکی، دینامیکی، انتقال حرارت و الکترونیک را حل کرد.
ABAQUS/Explicit: محصولی با اهداف ویژه است که برای مدل سازی مسایل دینامیکی گذرا مانند برخورد، ضربه انفجار، آزمایش ضربه، مچالگی و همچنین مسائل شبه استاتیکی یا مسائل غیر خطی که در آن ها شرایط تماس تغییر می کند و …. مناسب است.
ABAQUS/CAE: به عنوان یک رابط گرافیکی کاربر در بسته نرم افزاری ABAQUS گنجانده شده است. این محصول به کاربر کمک می کند که یک مدل هندسی را سریعا و به سادگی بسازد و با اعمال شرایط مختلف، آن را برای تحلیل آماده کند.
3. ایجاد مدل و تحلیل تیر ساده یک سر درگیر در نرم افزار ABAQUS:
3.1 رسم مدل تیر :
در مسئله اول ما می خواهیم تحلیل ارتعاشی تیر ساده یک سر در گیر را انجام دهیم. در ابتدای امر، نرم افزار ABAQUS/CAE را اجرا کنید. می خواهیم یک تیر ساده یک سر در گیر با مشخصات هندسی زیر رسم کنیم. طول L=2m، عرض b=10cm، ضخامت h=10cm. برای رسم شکل مراحل زیر را طی می کنیم:

1. روی گزینه part واقع در نمودار درختی سمت چپ دابل کلیک کرده و مشخصات زیر را انتخاب و وارد می کنیم:
Modeling Space: 3D , Type: Deformable , Base Feature: Solid & Extrusion , Approximate size: 0.1
2. دقت کنید تمام واحد ها در ABAQUS به طور پیش فرض بر حسب سیستم SI است.
3. با استفاده از ابزار Rectangular در جعبه ابزار (Tool Box)، یک مربع به ابعاد صفحه شطرنجی بکشید. سپس با ابزار Add dimension دو ضلع آن را برابر 0.1 وارد کنید.
4. با کلیک بر روی دکمه Down، در پنجره Edit Base Extrusion، میزان Depth را برابر 2 وارد کنید تا تیر ما با ابعاد طول L=2m، عرض b=10cm، ضخامت h=10cm، ایجاد شود. همانطور که ملاحظه میکنید، نسبت طول به ضخامت تیر L/h برابر 20 می باشد.
3.2 تعیین ماده تیر :
ماده مورد نظر برای اعمال به تیر، آلومنیوم است که دارای ثابت های فیزیکی زیر می باشد.
مدول الاستیسیته : E=70 Gpa
ضریب پواسان : v =0.3
دانسیته : 2712.63 kg/m3
برای ساخت ماده فوق و اعمال آن به تیر مراحل زیر را انجام می دهیم:
1. روی گزینه Materials از نمودار درختی دابل کلیک می کنیم تا پنجره Edit Material باز شود. مشاهده می شود، در این پنجره نام ماده به طور پیش فرض توسط نرم افزار Material-1 انتخاب شده است.
2. برای تعیین چگالی ماده، در پنجره Edit Material، از منوی General گزینه Density را انتخاب کرده و در کادر Mass Density عدد 2712.63 را وارد می کنیم.
3. برای تعیین مدول یانگ و ضریب پواسان، از همین پنجره، از منوی Mechanical به ترتیب گزینه های Elasticity و Elastic را انتخاب کرده و در کادرهای Young's Modulus و Poisson's Ratio، به ترتیب اعداد 70e9 و 0.3 را وارد می کنیم. در انتها پنجره فوق را ok می کنیم. به این ترتیب ماده ای با خواص فوق (آلومنیوم) ایجاد کرده ایم.
3.3 اعمال ماده به Section ها:
4. برای تعیین خواص یک ناحیه از تیر، از Section استفاده می کنیم. یک Section، اطلاعاتی را در مورد یک قطعه یا یک ناحیه از قطعه در بر می گیرد. بعنوان مثال فرض کنید ما کامپوزیتی با چهار لایه داریم که هر لایه از مواد مختلفی تشکیل شده است. برای اعمال این مواد به لایه ها ما نیاز داریم که چهار ماده و چهار Section تعریف کنیم و هر Section و در نتیجه هر ماده را به یک لایه اختصاص دهیم. در واقع اغلب Section ها باید به خصوصیات یک ماده ارجاع داده شوند. برای تعریف یک Section به صورت زیر عمل می کنیم:
روی گزینه Section از نمودار درختی دابل کلیک می کنیم. در پنجره باز شده گزینه های زیر را انتخاب می کنیم:
Category: Solid , Type: Homogeneous, >> Continue , Material: Material-1
5. پس از انجام این مراحل نوبت به آن است که Section تعریف شده خود را به تیر اعمال کنیم. برای این کار از نمودار درختی و زیر مجموعه Parts (1) > Part -1 گزینه Section Assignments را دابل کلیک کرده، روی شکل تیر در مرکز صفحه کلیک نموده و سپس دکمه Done را کلیک می کنیم. سپس پنجره جدیدی ظاهر خواهد شد.
در پنجره باز شده یعنی Edit Section Assignment، از کادر Section گزینه Section-1 را انتخاب کرده و ok می کنیم. ملاحظه می شود شکل تیر به صورت سبز رنگ در آمده و نشان می دهد ماده ساخته شده ما به تیر اعمال شده است.
6. در نمودار درختی از زیر مجموعه Assembly گزینه Instances را دابل کلیک کرده و از کار باز شده گزینه Independent را انتخاب کنید. در انتها پنجره را ok کنید. ملاحظه می شود که رنگ قطعه آبی شده است.
3.4 تعیین نوع تحلیل :
با استفاده از مدول Step می توان نوع تحلیل را مشخص نمود. ما می خواهیم تحلیل فرکانس تیر را انجام دهیم. به همین منظور مراحل زیر را طی می کنیم.
1. روی گزینه Steps (1) در نمودار درختی دابل کلیک کرده و گزینه های زیر را به ترتیب انتخاب می کنیم:
Procedure type: Linear perturbation , Frequency , >> Continue
2. در پنجره جدید باز شده (Edit Step)، از سربرگ Basic گزینه های زیر را انتخاب و وارد کنید:
Number of eigenvalues requested: Value = 6
این گزینه به این معنی است که ما می خواهیم شش مد فرکانسی اول را بیابیم.
3.5 اعمال شرایط مرزی :
تیر مورد نظر ما یک تیر یک سر درگیر است. پس باید یک انتهای آنرا کاملا مقید کنیم. برای اعمال شرایط مرزی به صورت زیر عمل می کنیم:
1. در نمودار درختی روی BCs دابل کلیک کرده و گزینه های زیر را انتخاب می کنیم:
Step: Step -1 , Category: Mechanical , Types for selected step: Symmetry/Antisymmetry/Encastre
2. پس از زدن Continue، شما باید صفحه ای را که تیر می خواهد مقید شود (محل تکیه گاه تیر یک سر درگیر) را انتخاب نمایید. با ابزار Rotate از Tool Bar تیر را چرخانده و صفحه مربعی پشتی آنرا انتخاب کنید. سپس روی دکمه Down در زیر پنجره مرکزی کلید کنید.
3. ملاحظه ی شود که پنجره ای با نام Edit Boundary Condition ظاهر می شود. گزینه ENCASTRE را انتخاب کرده و ok نمایید. ملاحظه می شود انتهای تیر قیود قرمز رنگی اضافه شده است که نمایان کننده یک سر در گیر بودن تیر می باشد.
3.6 مش بندی :
قبل از تحلیل باید مش بندی تیر را انجام دهیم. برای انجام مش بندی مراحل زیر را طی کنید:
1. در کادر Module (قرار گرفته زیر Tool bar نرم افزار) گزینه Mesh را انتخاب کنید.
2. در Tool Box مدول Mesh، گزینه Seed Part Instance را انتخاب کرده و در کادر Approximate global Size عدد 0.02 را وارد کرده و ok کنید.
3. از همین Tool Box گزینه Assign Element Type را کلیک کرده و تغییرات زیر را به ترتیب وارد کنید.
Element Library: Standard , Geometric Order: Quadratic
4. از تب Hex در همین پنجره تیک کنار Reduced integration را برداشته و پنجره را ok نمایید.
5. از همین Tool Box گزینه Mesh part Instance را کلیک کرده و در پیغام ظاهر شده yes را انتخاب کنید. ملاحظه می شود یر به صورت مربع های بسیار کوچک تقسیم بندی شده است. هرکدام از این مربع ها یک المان نام دارد و به این عمل مش بندی می گویند.

شکل 1. نمایی از نرم افزار ABAQUS پس از آنالیز

3.7 انجام آنالیز :
حال نوبت به تحلیل فرکانسی تیر شده است. برای این کار به صورت زیر عمل می کنیم:
1. از نمودار درختی روی Jobs دابل کلیک کرده و سپس Continue و ok را می زنیم.
2. حال از زیر مجموعه Jobs (1)، Job -1 را انتخاب کرده و روی آن راست کلیک می کنیم. سپس گزینه Submit را انتخاب کرده و منتظر می مانیم تا نرم افزار تحلیل خود را انجام دهد.
3. با ظاهر شدن عبارت Jobs -1 (Completed)، تحلیل انجام شده است. روی این گزینه راست کلیک کرده و Results را انتخاب می کنیم.
4. نتایج بدست آمده از تحلیل تیر ساده یک سر درگیر:
با استفاده از گزینه Field Output واقع در منوی Result، می توان نتایج خروجی را بدست آورد. نتایج 6 مد شیپ اول، حاصله از تحلیل نرم افزار را در جدول زیر آورده ایم:

شکل حاصله از مد ارتعاشی اول، سوم، پنجم و ششم در مجموع سه راستا، در زیر آورده شده است.

مد شیپ اول

مد شیپ سوم

مد شیپ پنجم

مد شیپ ششم

5. ایجاد مدل و تحلیل تیر ساده چند لایه یک سر درگیر در نرم افزار ABAQUS:
در مسئله دوم می خواهیم یک تیر چهار لایه یک سر درگیر ایجاد نماییم. در عین حال مواد اختصاص یافته به هر لایه را مشابه مواد مسئله قبل در نظر می گیریم. به عبارت دیگر هر چهار لایه تیر ، دارای یک مواد مشابهند و این ماده همان آلومنیوم مسئله قبل است. می خواهیم ببینیم که آیا پاسخ های این مسئله، با مسئله قبل فرق خواهد کرد یا خیر. برای تولید تیر چند لایه لازم است چهار ماده و چهار Section به روشی که در مرحله قبل عنوان کردیم، بسازید. این مراحل را طی نمایید:
1. یک تیر با مشخصات ذکر شده در مسئله قبل رسم نمایید(بخش 3.1 مسئله قبل را عینا تکرار کنید).
2. چهار ماده با خواص مشابه با مسئله قبل، همانند دستور 3.2 بسازید. سپس چهار Section ساخته، و مواد ساخته شده را به ترتیب به هر Section اعمال کنید.
3. برای تقسیم تیر به چهار لایه، از منوی Tools، گزینه Partition را انتخاب کرده و از زیر مجموعه Cell، عبارت Define cutting plane را اتخاب نمایید.
4. در گزینه های ظاهر شده، زیر شکل، عبارت 3 Points را اتخاب کنید. سپس از نقاط ظاهر شده روی شکل، سه نقطه مرکزی غیر همراستا را طوری انتخاب کنید، که صفحه برش، دقیقا تیر را به دو ناحیه مساوی تقسیم کند.
5. گزینه Create Partition را زده تا تیر به دو لایه تقسیم شود.
6. روی عبارت Down را کلیک نموده و نقاط بین دولایه تقسیم شده را انتخاب کرده و آن ها نیز به روش قبل به دو لایه مجزا تقسیم نمایید. مشاهده می کنید تیر به 4 لایه مشابه و هم اندازه تقسیم شده است.
7. حال به روش Section Assignments که در بخش 3.3 گفته شده است، هر Section را به طور مجزاء به هر لایه اختصاص دهید، بطوریکه هر لایه یکی از چهار ماده ساخته شده را به خود بگیرد. دقت کنید برای اعمال هر Section به هر لایه کافیست، روی گزینه Section Assignments دابل کلیک کرده، لایه مورد نظر را با کلیک روی آن انتخاب نموده، و در کادر باز شده Edit Section Assignment، هر Section را به طور مجزاء به هر لایه اختصاص دهید.
8. باقی مراحل را عینا مثل مسئله قبل انجام دهید. دقت کنید، تمام سطح پشت تیر که تکیه گاه یک سر درگیر تیر است، کاملا مقید شود.
6. نتایج بدست آمده از تحلیل تیر ساده چند لایه یک سر درگیر:
نتایج زیر پس از تحلیل تیر ساده چند لایه یک سر درگیر بدست آمد:

همانطور که مشاهده می کنید، فرکانس حاصله از این نتایج با نتایج مسئله قبل اختلاف بسیار بسیار کمی دارد که حداکثر آن 0.00003% است. این امر مطمئنا به دلیل مش بندی کردن یکسان تیر چند لایه این مسئله و مسئله قبل است وگرنه هیچ خطایی نخواهیم داشت و مقادیر کاملا برابرند.
به عنوان مثال مقادیر جابجایی سه بعدی گره های مد شیپ ششم بصورت زیر است:

همانطور که ملاحظه می کنید شکل و نتایج آن بسیار شبیه به شکل و مقادیر مد ششم ارتعاشی مسئله قبل است. از مقادیر فرکانسی دو مسئله می توان نتیجه گرفت که تیر اگر از یک ماده تشکیل شده باشد، خواه تیر ساده تک لایه باشد، خواه تیر ساده چند لایه ای، مقادیر مد شیپ هایی که در آن فرکانس طبیعی جسم رخ می دهد، باهم برابرست. همچنین این مد شیپ ها در فرکانس های مشابهی اتفاق می افتد.
7. ایجاد مدل و تحلیل تیر کامپوزیتی یک سر درگیر در نرم افزار ABAQUS:
حال نوبت به حل مسئله اصلی (مسئله سوم) رسیده است. در این مسئله ما می خواهیم یک تیر کامپوزیتی نه لایه را ایجاد کنیم، بطوریکه لایه بالایی آن کاملا از سرامیک ساخته شده باشد و لایه پایینی آن کاملا از فلز شکیل شده باشد. لایه های میانی ترکیب مرکب و کامپوزیتی از مخلوط فلز و سرامیک را تشکیل دهند بطوریکه کسر حجمی سرامیک نسبت به فلز از سمت لایه های بالایی به سمت لایه های پایینی کاهش می یابد و به عکس کسر حجمی فلز نسبت به سرامیک از سمت لایه های پایینی به سمت لایه های بالایی کاهش می یابد. به عبارت دیگر لایه های کامپوزیتی بالایی مقدار بیشتری سرامیک دارند تا فلز و همچنین لایه های پایینی مقدار بیشتری فلز دارند تا سرامیک.
4.1 معادلات حاکم:
برای این مسئله چگالی و مدول های الاستیک مختلفی نیاز است تا خواص هر لایه را به طور صحیح نشان دهد. قصد داریم با استفاده از قانون نمایی گفته شده در فصول قبل این کار را انجام دهیم. به همین دلیل چگالی و مدول یانگ لایه ها را با استفاده از این رابطه بدست می آوریم. هر چند این رابطه برای مواد هدفمند است ولی ما با کوچک سازی لایه ها (ساختن 9 لایه ) از این رابطه برای تیر کامپوزیتی خود استفاده می کنیم.
همانطور که قبلا گفته شد، رابطه قانون نمایی برای مواد هدفمندبصورت زیر می باشد:
P(z) = PU exp [- δ(1- 2z/h)] , δ = 0.5 Ln (PU /PL) (1)
که در این رابطه، PU خواص در لایه بالایی تیر و PL خواص در لایه پایینی تیر است. در مسئله ما لایه بالایی سرامیک خالص و لایه پایینی فلز خالص است، پس در نتیجه، طبق این توضیح، سطح پایین تیر هدفمند (z=-h/2) فلز خالص است در حالیکه سطح بالا (z=h/2) سرامیک خالص است.
در این مسئله، فلز و سرامیک تشکیک دهنده تیر به ترتیب شامل آلومنیوم و کاربید سلیکون می باشد (Al/SiC).
آلومنیوم که جزء فلزی تیر کامپوزیتی را تشکیل می دهد، دارای وزن بسیار کم و سبک می باشد. انتقال حرارت خوبی دارد، و همچنین در برابر خوردگی نیز به خوبی مقاومت می کند.
در عین حال کاربید سلیکون که جزء سرامیکی تیر کامپوزیتی را تشکیل می دهد، مقاوت بسیار بسیار عالی در برابر تنش های حرارتی دارد. در مقابل سرامیک های دیگر دانسیته کمتری داشته و سبکتر است. از دیگر مزایای آن پایدار شیمیایی عالی، استحکام بالا و مقاوم در برابر سایش است. همچنین مدول الاستیک بالایی نیز دارد.
خواص مکانیکی این دو ماده به صورت زیر می باشد:
Al : E= 70 GPa v = 0.3 ρ= 2712.63 Kg/m3
SiC: E= 469 GPa v = 0.14 ρ=3220 Kg/m3
از 9 لایه تیر، یک لایه فلز آلومنیوم خالص است و یک لایه سرامیک SiC خالص است. 7 لایه کامپوزیتی دیگر ترکیبی از این دو ماده است. برای پیدا کردن خواص مواد این لایه ها از فرمول (1) استفاده می کنیم. همچنین سه لایه های که دارای کسر حجمی بیشتر فلز اند (آلومنیوم بیشتری دارند) را با نسبت پوسان 0.25 و سه لایه ای که دارای نسبت حجمی بیشتر، سرامیک اند را با نسبت پوسان 0.2 محاسبه خواهیم کرد.
اگر فرض کنیم، مواد کامپوزیتی به طور کاملا صحیح و با نسبت های کسر حجمی کاملا دقیق ساخته شده اند، با استفاده از فرمول (1)، خواص آنها با استفاده از جدول شماره (1) بدست می آید.
با استفاده از رابطه نمایی (1)، روابط ساده شده (3)، (4) برای یافتن مدول الاستیک و دانسیته تیر کامپوزیتی مسئله ما، بصورت زیر خواهد بود.
E(z) = 469 exp [- 0.951(1 – 2z/h)] δ1 = 0.5 Ln (469/70) = 6.7 (3)
ρ(z) = 3220 exp [- 0.08573(1 – 2z/h)] δ2 = 0.5 Ln (3220/2712.63) = 0.08573 (4)

نتایج حاصل از دو فرمول فوق در جدول زیر ثبت شده است.
شماره لایه
نسبت Z/h
ضریب پواسان
مدول یانگ
GPa
دانسیته
Kg/m3
1
0.5
0.14
469
3220
2
0.375
0.20
369.76
3151.72
3
0.25
0.20
291.52
3084.89
4
0.125
0.20
229.83
3019.48
5
0
0.22
181.2
2955.45
6
– 0.125
0.25
142.86
2892.78
7
– 0.25
0.25
112.63
2831.44
8
– 0.375
0.25
88.8
2892.78
9
– 0.5
0.30
70
2712.63

تذکر: در بدست آوردن نتایج فوق فرضیات ساده کننده زیر را اعمال نموده ایم:
1. فرض کردیم که خواص مکانیکی تیر کامپوزیتی 9 لایه ما، از قانون نمایی تیر FGM تبعیت می کند.
2. به دلیل اینکه می خواستیم لایه های بالایی و پایینی به ترتیب سرامیک و فلز خالص باشد، نسبت z/h از را از محل رویه بالای تیر حساب کردیم، در حالیکه صحیح آن است که نسبت z/h در وسط هر لایه محاسبه شود.
3. نسبت پوسان لایه های کامپوزیتی میانی را به طور تقریبی و بر حسب کسر حجمی فلز به سرامیک اعمال کرده ایم.
4.2 ساخت مدل تیر کامپوزیتی یک سر درگیر:
تمامی ابعاد هندسی تیر مشابه دو مساله قبل است پس عینا روند مسئله قبل را تکرار می کنیم، فقط باید به این نکات توجه کنیم:
1. تعداد لایه های کامپوزیتی تیر 9 لایه است، پس تیر را باید به 9 لایه مساوی تقسیم کنید.
2.برای ایجاد نقاط اضافی و دلخواه (برای ساختن لایه ها) برروی پروفیل خود، می توانید به صورت زیر عمل کنید:
Menu: Datum , Point , Offset from point Tools
حال پایین ترین نقطه، در گوشه لبه کناری تیر را انتخاب کرده و اندازه فاصله نقطه جدیدی که می خواهیم نسبت به نقطه انتخاب شده رسم شود را در کادر Offset وارد میکنیم. دقت کنید چون تیر قرار است در راستای Y تقسیم بندی شود،پس فاصله را در مختصه Y ام وارد کنید.با تقسیم 0.1m بر9 این مقدار برای مسئله ما برابر 0.01111111 می شود. با انجام این کار یک نقطه جدید با فاصله معین، نسبت به نقطه قبلی ایجاد می شود.
3. حال با همین مقدار، دو نقطه دیگر به همین روش و با استفاده از انتخاب نقاط دیگری از جسم (که در همان صفحه نقطه انتخابی اول و عمود بر محور Y است) ، طوری ایجاد کنید که بتوان از آن ها یک صفحه عمود بر محور Y رسم نمود.
4. حال 3 نقطه جدید و در یک صفحه عمودی بر محور Y ایجاد نموده اید. اکنون 3 نقطه جدید دیگر نسبتا به این نقاط تازه ایجاد شده رسم کنید ( با همان روش قبل). کافیست به جای نقاط انتخابی مرحله قبل، این نقاط را به عنوان مبدا خود برای رسم نقاط جدیدتر انتخاب کنید.
5. این عمل را تا آنجا انجام دهید تا تیر به وسیله این نقاط به 9 قسمت مساوی تقسیم شود.
6. حال با ابزار Partition از منوی Tools، مطابق مسئله قبل، تیر خود را به 9 لایه تقسیم کنید.
7. اکنون 9 ماده با خواص مشخص شده در جدول فوق ایجاد کرده و هرکدام از آن ها را به هر لایه از تیر اعمال کنید. دقت کنید بالاترین لایه سرامیک خالص است و پایین ترین لایه فلز خالص.
8. مابقی مراحل را عینا مطابق مسائل قبل انجام داده، فقط موقع مش بندی در کادر Approximate global size میزان فواصل المان بندی را 0.01 وارد کنید. در انتها نتایج حاصل از تحلیل را مشاهده نمایید.
8. نتایج بدست آمده از تحلیل تیر کامپوزیتی یک سر درگیر:
نتایج فرکانسی بدست آمده از تحلیل نرم افزار، برای تیر مرکب کامپوزیتی یک سر درگیر بصورت زیر می باشد.

با توجه به نتایج حاصل، مشاهده می کنید که مد های ارتعاشی 1 الی 6 در تیر مرکب کامپوزیتی دارای فرکانس های بالاتری نسبت به تیر ساده فلزی می باشد. در عین حال مقادیر مد شیپ ها نیز بزرگتر از تیر ساده می باشدنتایج سه مسئله فوق برای مقایسه در جدول زیر ذکر شده است.
Problem 3
Composite Cantilever Beam
Problem 2
Laminated Cantilever Beam
Problem 1
Simple Cantilever Beam

Mode Number
Frequence
Value
Frequence
Value
Frequence
Value

31.011
37966
20.527
16635
20.527
11635
1
34.489
46960
20.528
16635
20.527
16635
2
192.26
1.45922 e6
127.17
6.38470 e5
127.17
6.38452 e5
3
213.47
1.79896 e6
127.17
6.38470 e5
127.17
6.38452 e5
4
529.44
1.10663 e7
349.81
4.83087 e6
349.81
4.83074 e6
5
579.84
1.32732 e7
349.82
4.83115 e6
349.82
4.83074 e6
6

شکل حاصله از مد ارتعاشی اول و ششم در مجموع سه راستا، در زیر آورده شده است.
مد شیپ اول

مد شیپ ششم

با توج به شکل مشاهده می کنید که شکل ارتعاشی مد ششم تیر کامپوزیتی یک سر در گیر با شکل ارتعاشی مد ششم تیر ساده یک سر درگیر کاملا متفاوت است. در تحلیل ارتعاشی انجام شده مشاهده می شود مقادیر مدهای ارتعاشی برای تیر کامپوزیتی نزدیک به سه برابر تیر ساده فلزی است و فرکانس های تیر مرکب نیز بیش از 1.5 برابر فرکانس های تیر ساده است. پس در نتیجه با افزایش کسر حجمی سرامیک نسبت به فلز مدهای ارتعاشی در فرکانس های طبیعی بزرگتری اتفاق خواهند افتاد.
9. نتیجه نهایی:
در این فصل ما تحلیل ارتعاشی یک تیر یک سر درگیر را در سه وضعیت مختلف انجام دادیم.
در اولین وضعیت ما یک تیر ساده یک سر درگیر که از جنس فلز آلومنیوم تشکیل شده بود را تحت تحلیل ارتعاشی قرار دادیم و مقادیر فرکانس ها و مدهای ارتعاشی بدست آمده از آنالیز را یادداشت نمودیم.
در مسئله دوم قصد داشتیم تا ببنیم که آیا تیر یک سر درگیر چند لایه، با خواص هندسی و مکانیکی مشابه با مسئله اول دارای فرکانس های طبیعی و مدهای ارتعاشی یکسانی با آن مسئله است یا خیر. به همین دلیل تیر خورد را به چهار لایه مختلف تقسیم بندی نمودیم ولی برای هر چهار لایه ماده مشابه آلومنیوم را اعمال کردیم. پس از انجام تحلیل متوجه شدیم که مقادیر بدست آمده بسیار بسیار نزدیک به مقادیر حاصله از تحلیل ارتعاشی مرحله اول است و درصد خطا تقریبا برابر صفر است. فهمیدیم آن میزان خطای بسیار اندک به وقوع پیوسته (0.00003%) به دلیل انجام مش بندی یکسان در دو مسئله بوده است.
در مسئله سوم تحلیل ارتعاشی تیر کامپوزیت 9 لایه ای را با خواص هندسی مشترک ولی با خواص فیزیکی و مکانیکی متفاوت با مسائل دوم و سوم انجام دادیم. برای لایه های تیر بصورت زیر عمل نمودیم:
سطح بالایی تیر را از سرامیک خالص کاربید سلیکون (SiC) و سطح پایین تیر را از فلز خالص آلومنیوم (Al) در نظر گرفتیم. برای لایه های کامپوزتی میانی تشکیل یافته از سرامیک/فلز، از قانون نمایی مواد هدفمند استفاده کردیم و خواص آن ها را با کسر حجمی معین محاسبه نمودیم. همچنین فرضیات ساده کننده ای را برای آنالیز تیر خود در نظر گرفتیم.
پس آنالیز ارتعاشی متوجه شدیم که در تیر کامپوزیتی، فرکانس های طبیعی که در آن مدهای ارتعاشی رخ می دهد و همچنین مقادیر مدهای ارتعاشی بدست آمده از تحلیل، بزرگتر از تیر ساده فلزی است. همچنین فهمیدیم که شکل ارتعاش تیر کامپوزیتی یک سر درگیر نیز با تیر ساده آلومنیومی یک سر درگیر متفاوت است.

کتاب ها، مقالات و منابع مورد استفاده در پایان نامه:
1. Xin Jin, LinzhiWu, Yuguo Sun, Licheng Guo ٭ Microstructure and mechanical properties of ZrO2/NiCr functionally graded materials ٭ Center for Composite Materials, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, PR China

2. Hesham H. Ibrahim , Mohammad Tawfik , Mohammed Al-Ajmi ٭ RANDOM RESPONSE OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL PLATES SUBJECT TO WHITE-GAUSSIAN NOISE AND THERMAL ENVIRONMENT٭ Rethymno, Crete, Greece, 13-16 June 2007

3. Metin Aydogdu, Vedat Taskin ٭ Free vibration analysis of functionally graded beams with
simply supported edges ٭ Department of Mechanical Engineering, Trakya University, 22030 Edirne, Turkey

4. S.A. Sina, H.M. Navazi *, H. Haddadpour ٭ An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams ٭ Department of Aerospace Engineering, Sharif University of Technology, Azadi Avenue, P.O. Box 11365-8639, Tehran, Iran

5. M. Simsek , T. Kocatürk ٭ Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load ٭ Yildiz Technical University, Department of Civil Engineering, Davutpasa Campus, 34210 Esenler-Istanbul, Turkey

6. M. Chehel Amirani , S.M.R. Khalili , N. Nemati ٭ Free vibration analysis of sandwich beam with FG core using the element free Galerkin method ٭ Faculty of Mechanical Engineering, K.N. Toosi University of Technology, No. 19, Pardis St., Molasadra Ave., Vanak Sq., Tehran, Iran

7. Andrew J. Goupee and Senthil S. Vel ٭ Optimization of Natural Frequencies of Bidirectional Functionally Graded Beams

8. A. Yeilaghi Tamijani , M.R. Eslami , A.R. Ohadi ٭ Finite Element Modeling of Functionally Graded Beams With Integrated Piezoelectric Layers for Vibration Control ٭ 15th. Annual (International) Conference on Mechanical Engineering-ISME2007 May 15-17, 2007, Amirkabir University of Technology, Tehran, Iran ISME2007-2731

9. Abolfazl Khalkhali ٭ Finite Element Analysis by ABAQUS ٭ Publisher: Dibagaran Tehran ٭ Edition: First , 1386

10. www.Sciencedirect.com , www.Gogetpapers.com , www.Meaum.tk & other related websites.