دانشگاه صنعتی امیرکبیر
(پلی تکنیک تهران)
دانشکده مهندسی مکانیک
درس مکانیک سیالات پیشرفته
عنوان پروژه:
بررسی پمپ لزج فون کارمن
نام دانشجو:
شماره دانشجویی:
نام استاد:
تاریخ تحویل:
چکیده
تحلیل سیال حول دیسک چرخان همواره مورد توجه پژوهشگران بوده است. مسائلی همچون انتقال حرارت در هارد دیسک های چرخان یکی از کاربردهای مملموس بررسی سیال حول دیسک چرخان می باشد. نخستین بار فون کارمن میدان جریان حول یک دیسک چرخان را بررسی نمود. او با استفاده از حل تشابهی معادلات دیفرانسیل جزئی ناویر-استوکس را به معادلات دیفرانسیل معمولی برای میدان جریان حول یک دیسک چرخان تبدیل نمود. این دیسک چرخان عملکردی شبیه پمپ دارد، به همین دلیل، به پمپ لزج فون کارمن معروف است. در این پروژه معادلات میدان جریان پمپ لزج فون کارمن حل شده است و دما ، فشار، سرعت ، انتقال حرارت، مولفه های تنش بر روی دیسک، عدد ناسلت و توزیع ضریب انتقال حرارت جابجایی بر روی بدست آمده است. روش عددی مورد استفاده ترکیبی از روش رانگ- کوتای مرتبه 4، روش شوتینگ و روش سکانت می باشد. نتایج حاصل منطبق بر نتایج ارائه شده در کتاب مکانیک سیالات وایت می باشد.
کلمات کلیدی: دیسک چرخان، فون کارمن، پمپ لزج فون کارمن، حل تشابهی، روش رانگ-کوتا، روش شوتینگ
فهرست مطالب
فصل1-مقدمه 1
1 -1- معرفی پمپ لزج فون کارمن 2
1 -2- مروری بر مطالعات و کارهای انجام شده 3
فصل2-معادلات حاکم و روش حل عددی 5
2 -1- معادلات حاکم 6
2 -2- روش حل عددی 8
فصل3-نتایج حاصل از حل عددی 12
1-3- توزیع سرعت، فشار و دمای بی بعد 13
3 -2- نتایج با فرض هوا به عنوان سیال عامل 14
فصل4-نتیجه گیری و جمع بندی 19
مراجع 21
کد متلب 22
فصل1- مقدمه
1 -1- معرفی پمپ لزج فون کارمن
تجهیزات دوار به عنوان یکی از اجزای اصلی صنایع مختلف نقش ایفا می کنند. از جمله اجزا دواری که در صنعت کاربرد فراوانی دارند و نقش مهمی ایفا می کنند می توان به دیسک های دوار اشاره نمود. کاربرد روز افزون این جزء دوار در صنایع گوناگون ازجمله صنایع هوافضا، صنایع خودروسازی، صنایع دریایی ، روتور توربین بخار و گاز، فلایویل، کمپرسور های سانتریفوژ (گریز از مرکز)، موتورهای احتراق داخلی، پروانه های کشتی و چرخ دنده ها قابل مشاهده است.
شاید ملموس ترین کاربردی که بتوان نام برد استفاده از معادلات مربوط به دیسک دوار برای وسیله ویسکومتر است که متشکل ازیک سیلندر و یک دیسک در حال دوران می باشد، که با آن ویسکوزیته طیف وسیعی از سیالات را محاسبه می کنند. به عنوان یک مثال دیگر هارد دیسک های دوارکامپیوتر نیز نمونه ای دیگر از کاربرد دیسک های دوار در صنعت می باشد.
در مبحث دیسک های دوار با توجه به کاربرد شایان آنها در صنعت، عموما در چند مشخصه مورد مطالعه قرار می گیرند. که از آن مشخصه ها می توان به تنش ، خزش ، انتقال حرارت و حرکت سیال روی سطح دیسک اشاره نمود.
اولین کسی که به حل معادلات جریان روی دیسک دوار پرداخت و معادلات خاص آن را به دست آورد، فون کارمن بود. او معادلات ناویر- استوکس با به کارگیری حل های تشابهی به معادلات دیفرانسیل معمولی تبدیل کرد. از آنجایی که دیسک مورد مطالعه فون کارمن مشابه پمپ عمل می کند، این مساله به نام پمپ لزج فون کارمن معروف است.
پمپ لزج فون کارمن نقطه شروعی برای مطالعات همه سیستم های دیسک چرخان می باشد. نحوه عملکرد پمپ لزج فون کارمن مطابق شکل (1-1) به این شکل است، جریان در اطراف دیسک مسطح که حول محور عمود بر صفحه خود با سرعت زاویه ای ثابت می چرخد و در سیال ساکن و نامحدود قرار دارد. با توجه به چرخش دیسک، لایه نزدیک به دیسک با توجه به اصطکاک بین دیسک و سیال به طرف بیرون کشیده شده و جریان محوری به طرف دیسک می باشد.
در این پروژه معادلات حاصل از حل تشابهی پمپ لزج فون کارمن حل می گردد و توزیع سرعت، دما و فشار بر روی دیسک چرخان بدست می آید. برای حل معادلات از روش رانگ-کوتا و روش پرتابی استفاده شده است.
شکل(1-1):پمپ لزج فون کارمن [1]
1 -2- مروری بر مطالعات و کارهای انجام شده
کوچران[2] برای حل میدان جریان پمپ لزج فون کارمن یک راه حل ترکیبی نادر از روش های عددی و تحلیلی به دست آورد که شامل بسط دو سری می شدند. یک سری توانی شامل دو متغیر نزدیک به دیسک و دیگر یک سری نمایی با سه متغیر برای فواصل دورتر، کوچران هر دو سری را در یک فاصله محدود کراندار با هم برابر قرار داد و مقدار متغیرها را تا سه رقم اعشار محاسبه کرد.
استوارت[3] یک راه حل کامل عددی برای جریان مربوط به پمپ لزج فون کارمن ارائه داد که در آن تخلخل صفحه را نیز به حساب آورده بود. روش و راه حل او از انتگرال گیری از معادله دیفرانسیل با فاصله از دیسک و اعمال مقادیر شرایط مرزی جانبی در بینهایت به دست آمد.
آکروید[4] با بسط دادن روش کوچران احتمالا دقیق ترین روش را، برای حل میدان جریان پمپ لزج فون کارمن از فاصله طولانی تا سطح دیسک ارائه کرد. مطالعات تجربی تئودورسن و رجیر [5] عدد رینولدز انتقالی از جریان آرام به آشفته برای یک دیسک کاملا صاف حدود 310000 و برای دیسک ناصاف به 220000 کاهش می یابد.
بچلور[6] روش ون کارمن را توسعه داده و معادلات دیفرانسیلی بدست آوردکه می تواند جریان نزدیک یک دیسک چرخان و جریان بین دودیسک هم محور را تعیین نماید. او نتوانست حل صریح معادلات را بدست آورد اما با استفاده از استدلال فیزیکی و خواص عمومی معادلات دیفرانسیل معمولی طبیعت عمومی جریان های ذکر شده را پیش بینی کرد.
میل اسپاس و پل هازن [7] نخستین بار انتقال حرارت میدان جریان پمپ لزج فون کارمن را مطالعه کردند. اون و راجرز[8] برای محاسبه میزان انتقال حرارت در جریان آرام و آشفته در حالتهای خاص و در اعداد پرانتل مختلف از شباهت سازی رینولدز میان جز مماسی تنش برشی و شار حرارتی استفاده کردند.
فصل2- معادلات حاکم و روش حل عددی
2 -1- معادلات حاکم
برای تبدیل معادلات ناویر- استوکس به معادلات دیفرانسیل معمولی در مساله پمپ لزج فون کارمن متغیرهای بی بعد به شکل زیر تعریف می شوند:
(1-2)
(2-2)
(3-2)
(4-2)
(5-2)
متغیر بی بعد مکان، سرعت شعاعی بی بعد، سرعت مماسی بی بعد، سرعت محوری بی بعد، شعاع دیسک، سرعت زاویه ای دیسک و لزجت سینماتیکی سیال است.
اگر معادلات ناویر- استوکس در مختصات استوانه ای نوشته شود و با استفاده از روابط (2-1) تا (2-5) بی بعد شود روابط (2-6) تا (2-9) حاصل می گردد. روابط بدست آمده معادلات حاکم بر میدان جریان پمپ لزج فون کارمن می باشد.
(6-2)
(7-2)
(8-2)
(9-2)
شرایط مرزی به صورت زیر می باشد.
(10-2)
(11-2)
(12-2)
توزیع دما از رابطه (2-13)که معادله انرژی می باشد بدست می آید. این رابطه با فرض ثابت بودن خواص ترمودینامیکی است.
(13-2)
چگالی سیال، ظرفیت گرمایی ویژه در فشار ثابت، دما، ضریب هدایت حرارتی و تلفات لزجی می باشد. با فرض تقارن محوری و تراکم ناپذیری معادله انرژی به رابطه (2-14) ساده می شود.
(14-2)
با استفاده از رابطه (2-15) که دمای بی بعد است، معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (2-14) به معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود. رابطه (2-16) معادله دیفرانسیل حاصل را نشان می دهد
(15-2)
(16-2)
رابطه (2-17) شرایط مرزی رابطه (2-16) نشان می دهد.
(17-2)
همانطور که مشاهده می شود معادلات حاکم بر مساله، دستگاه معادلات دیفرانسیل کوپل می باشد در ادامه به بیان روش حل این معادلات پرداخته می شود. مولفه های تنش برشی روی دیسک از روابط(2-18) و (2-19) محاسبه می شوند. مقادیر انتقال حرارت و عدد ناسلت متوسط و ضریب انتقال حرارت جابحایی از روابط(2-20) تا (23-2) بدست می آید.
(18-2)
(19-2)
(20-2)
(21-2)
(22-2)
(23-2)
چگالی سیال، ضریب انتقال حرارت جابه جایی روی دیسک، ضریب هدایت حرارتی سیال، عدد ناسلت ، عدد رینولدز و مقدار انتقال حرارت می باشد.
2 -2- روش حل عددی
معادلات دیفرانسیل معمولی می توانند از نوع مسائل مقدار اولیه یا مسائل مقدار مرزی باشند. در مسائل مقدار اولیه همه شرایط مرزی در یک نقطه معلوم اند در حالی که در مسائل مقدار مرزی شرایط مرزی در حداقل دو نقطه مشخص می باشند. روش عددی که در ادامه تشریح خواهد شد برای مسائل شرایط اولیه قابل استفاده است.
به طورکلی یک مسئله شرط اولیه را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:
(24-2)
می تواند خطی یا غیر خطی بر حسب xوy باشد. شرایط اولیه می باشد. نکته قابل توجه این است که معادلات مرتبه بالاتر نیز قابل تبدیل به معادلات مرتبه یک هستند و تشکیل دستگاه معادلات را می دهند. بنابراین، روش های عددی حل معادله دیفرانسیل مرتبه اول برای معادلات دیفرانسیل مرتبه بالا نیز قابل استفاده است.
روش های مختلفی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی در صورتی که از نوع مقدار اولیه باشند، ارائه شده است. روش های مبتنی بر سری تیلور، روش های تک گام مانند روش اویلر، روش های تکراری تک گام مانند رانگ کوتا و روشهای چندگام خطی از جمله روش های عددی برای حل معادله دیفرانسیل معمولی است.
روش مورد استفاده در این پروژه برای حل معادلات روش رانگ-کوتا مرتبه 4 است. برای تبدیل شرط مرزی نهایی به شرط اولیه از ترکیب روش های پرتابی(شوتینگ) و سکانت استفاده شده است. قبل از استفاده از روش رانگ-کوتا باید دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه بالا به دستگاه معادلات مرتبه اول تبدیل شود. با استفاده از رابطه (2-25) دستگاه معادلات دیفرانسیل حاکم بر میدان جریان پمپ لزج فون کارمن به دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل می شود
(25-2)
معادلات حاکم بر مساله به دستگاه معادلات زیر تبدیل می شود.
(26-2)
(27-2)
(28-2)
(29-2)
(30-2)
(31-2)
(32-2)
(33-2)
شرایط مرزی به صورت زیر خواهد بود.
(34-2)
(35-2)
مقادیر رابطه (2-35) با استفاده از روش پرتابی(شوتنیگ) بدست می آید. روش پرتابی(شوتینگ) به این صورت است که ابتدا برای مقادیر مجهول یک حدس اولیه زده می شود سپس معادلات با روش رانگ-کوتا حل می شود. اگر مقدار شرایط مرزی انتهای دامنه حل با مقادیر بدست آمده برای انتهای دامنه حل برابر باشد حدس اولیه همان مقادیر مجهول هستند در غیر این صورت حدس اولیه باید تغییر کند و حل تکرار شود. در این پروژه برای پیدا کرئن مقادیر مجهول از روش سکانت استفاده شده است. این روش ابتدا به دو حدس اولیه نیاز دارد سپس با استفاده از رابطه (2-36) حدس اولیه را تصحیح می نماید.
(36-2)
حدس جدید، و حدس های مرحله پبشین، و مقدار تابع محاسبه شده در انتهای بازه با استفاده از حدس های پیشین و مقدار واقعی تابع در انتهای بازه است.
در روش رانگ-کوتای مرتبه 4 برای حل معادله دیفرانسیل و رابطه بازگشتی به صورت زیر می باشد.
(37-2)
(38-2)
(39-2)
(40-2)
(41-2)
با استفاده از روش رانگ-کوتای مرتبه 4 و روش پرتابی(شوتنیگ) و روش سکانت معادلات حاکم بر پمپ لزج فون کارمن حل می شود که در ادامه به بررسی نتایج پرداخته می شود.
فصل3- نتایج حاصل از حل عددی
3 -1- توزیع سرعت، فشار و دمای بی بعد
شکل(3-1) توزیع سرعت های بی بعد و فشار بی بعد را نشان می دهد. نتایج حاصل منطبق بر حل های ارائه شده می باشد. همانطور که مشاهده می شود سرعت های مماسی و شعاعی از فاصله معینی از دیسک صفر می شوند. صفر شدن سرعت ها نشان می دهد در فاصله معینی از دیسک سیال اثرات دیسک را حس نمی کند سرعت منفی در راستای محوری نشان دهنده مکش سیال به سمت دیسک است. این موضوع خاصیت پمپاژی مساله را نشان می دهد. فشار نیز در فاصله معینی به مقدار ثابت می رسد که نشان دهنده رسیدن به فشار محیط می باشد.
شکل(3-1):توزیع سرعت های بی بعد و فشار بی بعد
مقادیر اولیه مجهول در جدول( 3-1) آورده شده است.
جدول( 3-1):نتایج روش پرتابی برای مقادیر مجهول
شکل(3-2) توزیع دمای بی بعد را نشان می دهد. با فاصله گرفتن از سطح دیسک سرعت تغییرات دما کمتر می شود. این کاهش سرعت تغییرات دما متناسب با عدد پرانتل می باشد و این نمودار به ازای Pr=0.713 بدست آمده است. معادله دیفرانسیل مربوط به دما نشان می دهد گرادیان دما به صورت نمایی کاهش می یابد.
شکل(3-2):توزیع دمای بی بعد در پمپ لزج فون کارمن
3 -2- نتایج با فرض هوا به عنوان سیال عامل
در جدول (3-2) مشخصات هوا ، ابعاد، سرعت چرخش دیسک و شرایط مرزی آورده شده است.
جدول (3-2): مشخصات هوا ، ابعاد، سرعت چرخش دیسک و شرایط مرزی
0.1
1.205
0.713
20
0.0257
50
20
شکل (3-3) توزیع تنش برشی روی دیسک را نشان می دهد. هم تنش برشی در راستای شعاعی و هم تنش برشی در راستای مماسی تابع خطی از شعاع می باشند. قدر مطلق تنش برشی در راستای مماسی بزرگتر است که نشان می دهد پروفیل سرعت مماسی تخت تر است.
شکل (3-3): توزیع تنش برشی روی دیسک
در شکل(3-4) توزیع سرعت و فشار را برای سیال هوا در میدان جریان پمپ لزج فون کارمن آورده شده است. توزیع سرعت شعاعی و مماسی تابعی از شعاع و سرعت زاویه ای دیسک هستند. اما سرعت محوری و فشار تابعی لزجت سینماتیکی می باشند. لزجت سینماتیکی هوا در حدود میکرون می باشد به همین دلیل سرعت محوری و فشار در لبه دیسک درمقایسه با سرعت های شعاعی و مماسی ناچیز است. اما هنگامی که از سرعت های بی بعد استفاده میشود این اختلاف مرتبه بزرگی از بین می رود و تحلیل مساله راحت تر می گردد.
شکل(3-4) توزیع سرعت و فشار برای سیال هوا
توزیع دما همانند توزیع دمای بی بعد می باشد. دمای بی بعد در واقع حالت منقبض و انتقال یافته دما بوده و گرادیان دما در سطح بیشینه است و این موضوع بیانگر بیشینه انتقال حرارت در سطح می باشد. نمودار توزیع دما در شکل(3-5) آورده شده است.
شکل(3-6) توزیع ضریب انتقال حرارت جابجایی در سطح دیسک را نشان می دهد. ضریب انتقال حرارت جابجایی با شعاع رابطه معکوس دارد و با افزایش شعاع مقدار آن کاهش می یابد .
شکل(3-5):توزیع دما برای سیال هوا
شکل(3-6): توزیع ضریب انتقال حرارت جابجایی در سطح دیسک
مقدار ناسلت متوسط برابر 38.541408 و مقدار انتقال حرارت کل 9.335376 بدست آمده است.
فصل4- نتیجه گیری و جمع بندی
در این پروژه میدان سرعت و فشار و دما برای پمپ لزج فون کارمن با روش عددی رانگ-کوتا و بهره گیری از روش شوتینگ و سکانت حل شد نتایج حاصل منطبق بر حل های موجود در منابع مرتبط می باشد. در فصل اول به بیان اهمیت موضوع دیسک های چرخان پرداخته شد. به چند نمونه از کارهای محققان در گذشته اشاره شد.
در فصل دوم معادلات حاکم بر میدان جریان پمپ لزج فون کارمن با استفاده از حل تشابهی آورده شد و به طریق مشابه معادله انرژی برای پمپ لزج فون کارمن بدست آمد. در این فصل روابط مربوط به انتقال حرارت و مولفه های تنش ارائه شد. روش رانگ- کوتا، شوتینگ و سکانت به طور خلاصه بیان شد. در فصل سوم معادلات بدست آمده در فصل دوم حل شده و نتایج آن ارائه گردید و برای هوا به عنوان سیال عامل نتایج بررسی شد.
مراجع
[1] White,FM. (2006) Viscous Fluid Flow, 3rd Edition, McGraw-Hill, Boston.
[2] Cochran WG. The flow due to a rotating disk. Math Proc Cambridge Philos Soc 1934; 30: 365-375.
[3] ]Stuart JT. On the effects of uniform suction on the steady flow due to a rotating disk. Q. J. Mech. Appl. Math. 1954;7:446-457
[4] J. A. D. Ackroyd, "On the steady flow produced by a rotating disc with either surface suction of injection," J. Eng. Phys. 12, 207 (1978)
[5] theodorsen. T. and rieger Experiments on Drag of Revolving Disks, Cylinders, and Streamline Rods at High Speeds,NACA Report,No.793(1944)
[6] G.K. Batchelor, Note on a class of solutions of the Navier-Stokes equations representing steady rotationally-symmetric flow, Q. J. Mech. Appl. Maths 4 (1951) 29-41
[7] Millsaps, K., and K. Pohlhausen. "Heat transfer by laminar flow from a rotating plate." Journal of the Aeronautical Sciences 19 (1952): 120-126.
[8] J.M. Owen, Fluid flow and heat transfer in rotating disk systems. In Heat and Mass Transfer in Rotating Machinery, pages 81-104. Ed. DE. Metzger & NH. Afgan, Hemisphere
کد متلب
% solve a system of ODE by 4th order of Runge-Kutta andshooting method
% "m" is the number of equations
% N is the maximum number of itrations
% The functions are w1(t) to w8(t)
% The independed variable is 't'
% The boundary is [a,b], So "a" is the START point and …
% "b" is the END point
% The initial conditions are w1(a) to w8(a)
clc
clear
close all
%%
N=1000;
m=8;
a=0;
b=10;
h=(b-a)/N;
t=a:h:b;
w1=0;
w2=1;
w3=0;
w4=-1;
w5=1;
w6=0;
w7=-1;
w8=1;
%%
Pr=0.713;
R=0.1;
Rou=1.205;
Ome=20;
Nou=15.11e-6;
Kf=0.0257;
Tinf=20;
Tw=50;
Re=(Ome*R^2)/Nou;
%%
k=0;
error1=1;
error2=1;
error3=1;
%%
ind{1,1}='t';
fun_cell{1,1}='-2*w3' ;
fun_cell{2,1}= '-1*w5*w5+w3*w3+w1*w2';
fun_cell{3,1}= 'w2';
fun_cell{4,1}='w5*w3+w1*w4+w5*w3';
fun_cell{5,1}= 'w4';
fun_cell{6,1}= '2*w1*w3-2*w2';
fun_cell{7,1}= '0.715*w1*w7';
fun_cell{8,1}= 'w7';
%%
counter=1;
K1=zeros(1,8);
format long
while error1>=1e-3 || error1>=1e-2 || error3>=1e-3
k=k+1;
w4=-0.6159;
w0=[w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8];
for i=1:m
ind{1,i+1}=sprintf('w%.0f',i);
end
for i=1:m
w{1,i}=w0(1,i);
end
for i=1:N+1
for j=1:m
FUN=inline(fun_cell{j,1},ind{1,:});
K1(1,j)=h*FUN(t(i),w{i,:});
end
for o=1:m
wk{i,o}=(1/2)*K1(1,o)+w{i,o};
end
for j=1:m
FUN=inline(fun_cell{j,1},ind{1,:});
K2(1,j)=h*FUN(t(i)+(1/2)*h,wk{i,:});
end
for o=1:m
wk{i,o}=(1/2)*K2(1,o)+w{i,o};
end
for j=1:m
FUN=inline(fun_cell{j,1},ind{1,:});
K3(1,j)=h*FUN(t(i)+(1/2)*h,wk{i,:});
end
for j=1:m
FUN=inline(fun_cell{j,1},ind{1,:});
K4(1,j)=h*FUN(t(i)+h,w{i,:});
end
for j=1:m
w{i+1,j}=w{i,j}+…
(K1(1,j)+2*K2(1,j)+2*K3(1,j)+K4(1,j))/6;
end
end
for i=1:m+1
ww{1,i}=ind{1,i};
end
for i=2:N+1
ww{i,1}=t(i-1);
for j=1:m
ww{i,j+1}=w{i-1,j};
end
end
for i=1:m
for j=1:N+1
zz(j,i)=w{j,i};
end
end
s(k)=zz(end,3);
u(k)=zz(end,5);
ss(k)=zz(end,8);
counter=counter+1;
if counter==2
p=w2;
w2=0.50;
q=w2;
d=w4;
w4=-0.6;
v=w4;
p1=w7;
w7=-0.5;
q1=w7;
else
w2=w2-(q-p)*(s(k)/(s(k)-s(k-1)));
w4=w4-(v-d)*(u(k)/(u(k)-u(k-1)));
w7=w7-(q1-p1)*(ss(k)/(ss(k)-ss(k-1)));
p=q;
q=w2;
d=v;
v=w4;
p1=q1;
q1=w7;
error1=abs(s(k));
error2=abs(u(k));
error3=abs(ss(k));
end
end
final_results=ww;
%%
if Re<300000
Nu=0.335*(Re)^0.5;
else
Nu=0.0195*(Re)^0.8;
end
Q=Nu*Kf*(Tw-Tinf)*pi*R;
%%
r=0:0.001:R;
tou_zt=-0.6159*Rou*r*((Ome^3)*Nou)^0.5;
tou_zr=-0.5103*Rou*r*((Ome^3)*Nou)^0.5;
h_r=(Kf*0.3961)./r;
%%
vr=R*Ome*zz(:,3);
vtetha=R*Ome*zz(:,5);
vz=zz(:,1)*(Ome*Nou)^0.5;
Pre=Rou*Ome*Nou*(-zz(:,6));
Tem=(Tw-Tinf)*(zz(:,8))+Tinf;
%%
%%
figure(1)
plot(t,vz,'k','linewidth',5)
hold on
plot(t,vr,'b','linewidth',5)
hold on
plot(t,vtetha,'r','linewidth',5)
hold on
plot(t,Pre,'g','linewidth',5)
legend('v_z','v_r','v_t_h_e_t_a','-p')
xlabel('zeta');
title(sprintf('plot of velocity and pressure'))
grid on
figure(2)
plot(t,zz(:,8),'k','linewidth',5)
legend('theta=T*')
xlabel('zeta');
title(sprintf('plot of Temperature'))
grid on
figure(3)
plot(t,Tem,'k','linewidth',5)
legend('T')
xlabel('zeta');
ylabel('T')
title(sprintf('plot of Temperature'))
grid on
figure(4)
plot(r,tou_zt,'k','linewidth',5)
hold on
plot(r,tou_zr,'b','linewidth',5)
legend('tou_z_t','tou_z_r')
xlabel('r');
ylabel('tau')
title(sprintf('plot of shear stress'))
grid on
figure(5)
plot(t,zz(:,1),'k','linewidth',5)
hold on
plot(t,zz(:,3),'b','linewidth',5)
hold on
plot(t,zz(:,5),'r','linewidth',5)
hold on
plot(t,-zz(:,6),'g','linewidth',5)
legend('H=v_z*','F=v_r*','G=v_t_h_e_t_a*','-P=-p*')
xlabel('zeta');
title(sprintf('plot of velocity and pressure'))
grid on
%%
%%
figure(6)
plot(r,h_r,'k','linewidth',5)
legend('h_r')
xlabel('r');
title(sprintf('plot of heat trasfer coefficient'))
grid on
%%
%%
fprintf('Q Nu n' )
fprintf('———————————————–n' )
fprintf('%8.6f %8.6f n',Q,Nu)
fprintf('———————————————–n' )
1
فصل اول: مقدمه
فصل دوم: معادلات حاکم و روش حل عددی
فصل سوم: نتایج حاصل از حل عددی
فصل چهارم: نتیجه گیری و جمع بندی
پیوست ها