مقدمه ای بر روابط تنش
و
کرنش صفحه ای
تانسور تنش :
برای تعیین تنش در هر نقطه از یک ماتریس 3×3 استفاده می کنیم که به نام تانسور تنش معروف است، برای یک المان مکعبی از یک جسم. تانسور تنش به صورت زیر تعریف می شود:
شدت نیروی عمود بر مقطع، تنش قائم آن نقطه نامیده می شود. اگر تنش قائم باعث کشش در مقطع شود، به آن تنش کششی می گویند. در مقابل، تنش های قائمی که بر مقطع فشار می آورند، به تنش فشاری موسومند. مولفه های دیگر شدت نیرو که به موازات سطح عمل می کنند، تنش های برشی نامیده می شوند.
در تانسور تنش سه مولفه تنش تنش های قائم و شش مولفه تنش برشی می باشند. که در جمع 9 مولفه تنش داریم.
تبدیل تنش صفحه ای :
برای تعیین تنش قائم و برشی موثر بر یک صفحه دلخواه، می توان دو رابطه ی جبری بر حسب تنش های معلوم اولیه و زاویه تمایل صفحه مورد نظر نوشت. در اینجا
تبدیل تنش ها از سیستم مختصات xy به سیستم مختصات x'y' انجام می شود. با توجه به شکل اگر صفحه A در جهت پاد ساعتگر به اندازه بچرخد، تنش های وارده بر این صفحه در جهت های x' وy' طبق روابط زیر محاسبه می شود: ( اثبات این روابط در کتب مقاومت مصالح آمده است).
(1)
(2)
(3)
تنش های اصلی با تنش برشی ماکزیمم در حالت دو محوری :
معادله ی (1) و (3) معادله های پارامتری دایره هستند. یعنی اگر مجموعه ای از محورهای متعامد انتخاب کنیم و به ازای هر مقدار معین پارامتر ، نقطه M را طوری رسم کنیم که طول آن برابر و عرض آن برابر باشد، کلیه نقاطی که بدین ترتیب بدست می آیند، بر روی یک دایره واقع می شوند. با ساده سازی معادله های (1) و (3) خواهیم داشت:
همچنین داریم :
(4)
برای تنش برشی ماکزیمم نیز داریم:
(5)
توجه: اثبات این روابط در کتب مقاومت مصالح موجود می باشد.
با استفاده از دایره مور نیز می توان با داشتن تنشهای و همچنین زاویه چرخش صفحه یعنی تنشهای را بدست آورد.
با توجه به شکل اگر مختصات دو نقطه M و N را که در واقع تنش های وارده بر المان صفحه ای تنش های مربوط را در راستاهای x' و y' بدست آورده. توجه اینکه اگر المان صفحه ای به اندازه ی در جهت پادساعتگر بچرخد، خط MN در جهت پاد ساعتگر به اندازه ی می چرخد.
توجه : زاویه ای است که خط MN با محور طولی یعنی محور می سازد. و زاویه ای است که خط MN با محور عمودی یعنی محور می سازد.
حالت کرنش صفحه ای :
وقتی مولفه های کرنش در یک نقطه داده شده باشند، می توان کرنش ها روی هر صفحه ای را که از آن نقطه می گذرد بدست آورد. تبدیلات کرنش طبق معادلات زیر صورت می گیرد. اثبات این روابط در کتب مقاومت مصالح موجود می باشد.
همانند حالت تنش صفحه ای با داشتن کرنش ها بر روی محور x و y وقتی که صفحه به اندازه ی بچرخد مولفه های کرنش بر روی محورهای x' و y' که نسبت به محورهای x و y به اندازه ی چرخیده اند به صورت زیر خواهند بود:
(6)
(7)
(8)
کرنش های اصلی نیز برابر خواهند بود با :
(9)
برای به دست آوردن جهت کرنش های اصلی داریم:
دایره کرنش مور:
چون روابط تبدیل کرنش صفحه ای شکلی مشابه روابط تبدیل تنش صفحه ای دارند، از دایره مور می توان برای تحلیل کرنش های صفحه ای استفاده نمود. با معلوم بودن مولفه های کرنش خواهیم داشت:
شعاع دایره مور :
با مشخص کردن نقاط و بر روی دایره مور و رسم خط xy وقتی که صفحه مورد نظر به اندازه ی تغییر زاویه می دهد خط مذکور به اندازه ی تغییر زاویه داده و می توان مولفه ها کرنش را در جهت های دوران یافته بدست آورد. دایره مور کرنش به صورت زیر است : ( توضیحات بیشتر در کتب مقاومت مصالح ارائه شده).
4-2 روابط تنش – کرنش :
قانون کلی هوک :
در حالت تک محوره رابطه بین تنش و کرنش برقرار است، و در محدوده ی الاستیک خطی صادق است. اگر بارگذاری در جهت محور x باشد، این رابطه را می توان به صورت زیر نوشت :
که قانون هوک نامیده می شود.
برای یک المان از یک جسم همگن و ایزوتروپ به ضخامت واحد که تحت تنش دو محوری قرار گرفته است، کرنش ها برابر خواهند بود با :
در حالت برش خالص، در محدوده ی الاستیک خطی، رابطه ی تنش و کرنش به صورت زیر است:
که در آن G " مدول الاستیسیته برشی" نامیده می شود.
در حالت سه محوری ، با تحلیل مشابهی قانون کلی هوک برای اجسام همگن، ایزوتروپ، و الاستیک – خطی، به صورت زیر بدست می آید:
ثابت های به هم وابسته هستند. که برای آنها اثبات می شود:
که با استفاده از روابط بالا می توان قانون هوک را به صورت زیر نیز نوشت:
که در آن :
است. مدول برشی G و ثابت ، به نام ثابت های لیم نامیده می شوند.
: تغییر حجم واحد حجم است و انبساط نامیده می شود. انبساط را می توان بر حسب مولفه های تنش نوشت. در این صورت: