بررسی یادگیری مهارت های هندسی به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در دوره راهنمایی تحصیلی



فهرست مطالب
فصل اول: معرفی پژوهش 2
1.1 بیان مسئله 4
1.2 اهمیت و ضرورت پژوهش 5
1.3 اهداف و فرضیه های پژوهش 7
1.4 تعریف اصطلاحات پژوهش 8
فصل دوم: مرور بر مبانی نظری و پیشینه پژوهش 11
2.1 مبانی نظری یاددهی و یادگیری 12
2.1.1 نظریه ی ساختن گرایی در یادگیری 13
2.1.2 نظریه ی رشد شناختی برونر 15
2.1.3 یادگیری از راه بینش 16
2.1.4 اهداف یادگیری در ریاضی 19
2.1.5 هوش و خلاقیت 22
2.1.6 سبک های یادگیری 24
2.2 یاددهی و یادگیری هندسه 26
2.2.1 تحولات تاریخی در آموزش هندسه 27
2.2.2 شیوه های آموزش هندسه 28
2.2.3 فرآیندهای تفکر در هندسه 29
2.2.4 استدلال در هندسه 34
2.2.5 شهود در هندسه 37
2.2.6 نظریه راست مغزی و چپ مغزی 39
2.3 نرم افزارهای هندسه پویا 43
2.3.1 اشکال پویا 44
2.3.2 آموزش هندسه با رایانه 45
2.3.3 نرم افزارهای هندسه ی پویا 48
2.4 مهارت های هندسی 54
2.4.1 مهارت های منطقی 55
2.4.2 مهارت های دیداری 59
2.4.3 مهارت های کلامی 63
2.4.4 مهارت های ترسیمی 65
2.4.5 مهارت های کاربردی 69
2.5 شرایط یادگیری 70
2.5.1 محیط آموزشی 71
2.5.2 برنامه ی درسی 74
2.5.3 فعالیت های یادگیری 77
2.5.4 نقش معلم در یادگیری 79
2.5.5 شرایط سنی یادگیرندگان 87
2.6 پیشینه ی پژوهش 90
فصل سوم: روش شناسی پژوهش 93
3.1 روش تحقیق 94
3.1.1 جامعه ی آماری 95
3.1.2 گروه نمونه و شیوه ی گزینش آن 96
3.1.3 متغیرهای تحقیق 97
3.2 روش جمع آوری اطلاعات 98
3.2.1 روش جمع آوری داده های کمی 99
3.2.2 روش جمع آوری داده های کیفی 101
3.3 روش اجرای پژوهش 102
3.3.1 برنامه ی آموزشی کارگاه ها 105
3.3.2 تقویت مهارت های هندسی 108
3.4 کیفیت پژوهش 111
3.4.1 روایی 112
3.4.2 پایایی 113
3.5 روش تجزیه و تحلیل داده ها 115
فصل چهارم: تجزیه و تحلیل داده های پژوهش 117
4.1 تجزیه و تحلیل کمی داده ها 119
4.1.1 آمار توصیفی 120
4.1.2 آمار استنباطی 130
4.2 تجزیه و تحلیل کیفی داده ها 139
4.2.1 بررسی چگونگی رشد مهارت های منطقی 140
4.2.2 فرضیه دوم پژوهش: مهارت های دیداری 142
4.2.3 فرضیه سوم پژوهش: مهارت های کلامی 144
4.2.4 فرضیه چهارم پژوهش: مهارت های ترسیمی 146
4.2.5 فرضیه پنجم پژوهش: مهارت های کاربردی 148
4.3 یافته های فرعی 151
4.3.1 مسائل انگیزشی 152
4.3.2 مسائل اجتماعی 153
4.3.3 تعامل با نرم افزار 154
4.3.4 نظرسنجی 155
فصل پنجم: بحث و نتیجه گیری از یافته های پژوهش 157
5.1 بحث و بررسی یافته ها 161
5.1.1 فرضیه ی اول پژوهش: مهارت های منطقی 163
5.1.2 فرضیه ی دوم پژوهش: مهارت های دیداری 167
5.1.3 فرضیه ی سوم پژوهش: مهارت های کلامی 169
5.1.4 فرضیه ی چهارم پژوهش: مهارت های ترسیمی 171
5.1.5 فرضیه ی پنجم پژوهش: مهارت های کاربردی 173
5.2 نتیجه گیری 175
5.2.1 تاثیر متقابل مهارت های یادگیری 176
5.2.2 ارتباط متقابل اهداف یادگیری 177
5.2.3 تجرد و شهود در هندسه 181
5.3 توصیه ها و پیشنهادها 182
5.3.1 توصیه برای معلمین هندسه ی پویا 183
5.3.2 پیشنهاد برای پژوهش های بعدی 184
5.3.3 پیشنهادهای کاربردی 185
5.4 محدودیت های پژوهش 186
پیوست ها 192

فهرست نمودارها
نمودار ‏4- ا: رشد مهارت های منطقی در گروه های کنترل و آزمایش 120
نمودار ‏4- ب: هیستوگرام رشد مهارت های منطقی در گروه های آزمایش و کنترل 121
نمودار ‏4- ج: رشد مهارت های دیداری در گروه های کنترل و آزمایش 122
نمودار ‏4- د: هیستوگرام رشد مهارت های دیداری در گروه های آزمایش و کنترل 123
نمودار ‏4- ه: رشد مهارت های کاربردی در گروه های کنترل و آزمایش 124
نمودار ‏4- و: هیستوگرام رشد مهارت های کلامی در گروه های آزمایش و کنترل 125
نمودار ‏4- ز: رشد مهارت های ترسیمی در گروه های کنترل و آزمایش 126
نمودار ‏4- ح: هیستوگرام رشد مهارت های ترسیمی در گروه های آزمایش و کنترل 127
نمودار ‏4- ط: رشد مهارت های کاربردی در گروه های کنترل و آزمایش 128
نمودار ‏4- ی: هیستوگرام رشد مهارت های کاربردی در گروه های آزمایش و کنترل 129
نمودار ‏4- ک: مقایسه میانگین های تصحیح شده مهارت های هندسی در دو گروه کنترل و آزمایش 133
نمودار ‏4- ل: مقایسه رشد مهارت های منطقی بر اساس میانگین های تصحیح شده در ANCOVA 134
نمودار ‏4- م: مقایسه رشد مهارت های دیداری بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA 135
نمودار ‏4- ن: مقایسه رشد مهارت های کلامی بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA 136
نمودار ‏4- س: مقایسه رشد مهارت های ترسیمی بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA 137
نمودار ‏4- ع: مقایسه رشد مهارت های منطقی بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA 138

فهرست جداول
جدول ‏2- ا: مقاسیه ی کلاس های سنتی و کلاس های مبتنی بر روی کرد ساختن گرایی 13
جدول ‏2- ب: سبک های شناختی 25
جدول ‏2- ج: توزیع مراحل تفکر هندسی بر اساس مهارت های هندسی 33
جدول ‏2- د: تفکر در دو نیم کره ی مغز 39
جدول ‏2- ه: کارکرد نیم کره های مغز 40
جدول ‏2- و: استراتزی های مداخله معلم از نظر تاورز 83
جدول ‏2- ز: تلفیق طبقه بندی پگ و دیوی و مدل ون هیل 88
جدول ‏3- ا: جدول آموزش های تکمیلی به منظور تقویت مهارت های هندسی در مباحث درسی 105
جدول ‏3- ب: جدول فعالیت های انجام شده برای تقویت مهارت های هندسی 108
جدول ‏3- ج: شیوه تقویت متقابل مهارت های هندسی 109
جدول ‏3- د: غنی کردن اهداف آموزشی 110
جدول ‏3- ه: همبستگی ها و پایایی ها آزمون 114
جدول ‏4- ا: شاخص های توصیفی مهارت های منطقی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل 120
جدول ‏4- ب: شاخص های توصیفی مهارت های دیداری در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل 122
جدول ‏4- ج: شاخص های توصیفی مهارت های کلامی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل 124
جدول ‏4- د: شاخص های توصیفی مهارت های ترسیمی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل 126
جدول ‏4- ه: شاخص های توصیفی مهارت های کاربردی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل 128
جدول ‏4- و: آزمون باکس برای بررسی وجود همسانی ماتریس واریانس و کواریانس 130
جدول ‏4- ز: آزمون لوین برای بررسی تجانس واریانس ها 130
جدول ‏4- ح: نتایج آزمون MANCOVA به شیوه ی ویلک و هتلینگ 131
جدول ‏4- ط: نتایج آزمون MANCOVA 132
جدول ‏4- ی: میانگین های تصحیح شده 133
جدول ‏4- ک: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های منطقی 134
جدول ‏4- ل: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های دیداری 135
جدول ‏4- م: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های کلامی 136
جدول ‏4- ن: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های ترسیمی 137
جدول ‏4- س: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های کاربردی 138
جدول ‏4- ع: جدول تحلیل نظرات دانش آموزان در خصوص تاثیر نرم افزار در یادگیری مباحث مختلف درسی 155
جدول ‏4- ف: محاسبه ضریب همبستگی جلسات آموزش و تاثیرگذاری در یادگیری در نظر سنجی از دانش آموزان 156
جدول ‏5- ا: ارتباط مهارت های هندسی و اهداف آموزشی 177
جدول ‏5- ب نحوه ی تاثیرگذاری متقابل بین حوزه های مختلف در اهداف آموزشی (1<–1) 179
جدول ‏5- ج: نحوه ی تاثیرگذاری متقابل بین حوزه های مختلف در اهداف آموزشی (2<–1) 180
جدول ‏6- ا: مقایسه ی نرم افزارهای هندسه پویا 1

چکیده
هدف پژوهش حاضر بررسی چگونگی ارتقاء مهارت های هندسی با به کارگیری نرم افزارهای هندسه ی پویا به عنوان ابزار کمک آموزشی و مقایسه ی آن با کلاس های متداول است. هوفر (1981) یادگیری مهارت های هندسی را به پنج دسته شامل مهارت های منطقی، دیداری، کلامی، ترسیمی و کاربردی تقسیم می کند. پژوهش گر در این راستا، مطالعه ی خود را با انتخاب یک گروه آزمایش و یگ گروه کنترل هر کدام مشتمل بر 28 دانش آموز پسر به شیوه ی نمونه گیری دردسترس از جامعه آماری دانش آموزان مدارس راهنمایی تحصیلی پسرانه با امکانات رایانه ای مناسب، در طول یک سال تحصیلی انجام داده است. در گروه آزمایش 10 جلسه آموزشی به جای کلاس های درسی به شیوه سخنرانی در کارگاه رایانه با استفاده از نرم افزار جئوجبرا1 به اجرا درآمد. هم چنین دانش آموزان موظف به شبیه سازی مسائل و تمرین های کتاب درسی به عنوان تکلیف شب در نرم افزار بودند.
جهت کنترل پیشرفت یادگیری مهارت ها در دانش آموزان، در ابتدای سال تحصیلی، پیش آزمون و در انتها پس آزمون برگزار شد. داده ها با آزمون کواریانس چندگانه (MANCOVA) برای بررسی فرضیه اصلی پژوهش و آزمون آماری کواریانس تک متغیره ANCOVA)) برای تحلیل رشد هر یک از مهارت ها مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. نتایج به دست آمده از آزمون کواریانس چندگانه با اطمینان 99 درصد فرضیه اصلی پژوهش را مبنی بر موثرتر بودن یادگیری مهارت های هندسی با کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا را نسبت به کلاس های متداول به شیوه ی سخنرانی تایید کرد. از طرفی نتایج آزمون کواریانس تک متغیره برای بررسی فرضیه های جزئی پژوهش نشان داد به جز در مهارت های منطقی که تفاوت چندانی بین گروه آزمایش و کنترل مشاهده نشد، در چهار مهارت دیگر، با اطمینان %99 (0.01 = α) تفاوت قابل توجهی بین دانش آموزانی که از نرم افزار استفاده کرده اند و گروه کنترل مشاهده شد.
این پژوهش گر به منظور تبیین کامل تر پدیده ها در فرآیند آموزش و نتیجه گیری صحیح، از یافته های کیفی بهره جست. پژوهش گر با مستندسازی مشاهدات ، تحلیل فیلم های ضبط شده از کارگاه های رایانه، تحلیل نظرسنجی از دانش آموزان و مصاحبه نیمه ساختاری از برخی دانش آموزان به صورت مطالعه موردی ، داده های کیفی را تامین کرد. داده ها پس از مستندسازی، مقوله بندی، اهمیت بخشی و تفسیر، مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفت. نتایج حاصله فرضیه اصلی پژوهش را تایید کرد. همچنین رشد هر یک مهارت های هندسی را به طور نسبی نشان داد.
از نتایج فرعی پژوهش اهمیت توجه به حوزه های مختلف اهداف آموزشی و ارتباط متقابل مهارت های هندسی و اثر تقویتی آن ها بر روی هم بود. همچنین توجه به رشد همگون در تقویت ابعاد شناختی و عاطفی لازم دیده شد. و از طرفی تقویت دو بعد شهود و تجرد در دانش آموزان مورد تاکید قرار گرفت.
1 فصل اول: معرفی پژوهش
مقدمه
هم پای پیشرفتهای روز افزون فن آوری اطلاعات و ارتباطات، کاربرد آن نیز در آموزش توسعه یافته است. هم چنین با تاسیس رشته های آموزش ریاضی که تلفیقی از علوم ریاضی و علوم تربیتی است، پژوهش های برنامه ریزی درسی و آموزش ریاضی با دقت و جهت گیری مشخص پیشرفت کرده است. ترکیب این دو جهت گیریِ پژوهشی موجب رشد و توسعه زمینه های جدید آموزش شده است. در آموزش ریاضیات نیز پژوهش های زیاد در زمینه ی کاربرد فن آوری در آموزش انجام شده است و شاخه های جدیدی از آموزش را به وجود آورده است. در این راستا ابزارهای خاصی مبتنی بر فناوری اطلاعات و ارتباطات برای آموزش بهتر به وجود آمده است. نرم افزارهای هندسه ی پویا نیز یکی از این نمونه ها است. این نرم افزارها فرصتی را برای دانش آموزان فراهم می آورد تا آن ها مفاهیم هندسی را خود با شبیه سازی در رایانه تجربه کنند و درک عمیق تری از مسئله پیدا نمایند.
قابلیت های موثر آموزشی این محیط بر مباحث دیگر آموزش ریاضی مثل جبر، حساب و آمار نیز سایه افکنده است. به عنوان مثال دانش آموزان قادر خواهند بود به هنگام محاسبه ی انتگرال یک تابع، تعبیر هندسی آن را نیز مشاهده کرده و با تغییر متغیرهای سازنده مسئله، حالت های مختلف آماری را بررسی کنند. در هندسه ی پویا به دانش آموز فرصت داده می شود تا با کم کردن فرض های ناخواسته و محدودیت های ترسیمی در فضای کاغذ و قلم، با دقت بیشتر و در فضایی هوشمند و آزاد به شبیه سازی و بررسی مسائل بپردازد. در این محیط امکان دیدن خواص اشکال هندسی بیشتر شده و دانش آموز می تواند مسائل را واقعی تر از آنچه در گذشته دیده می شد، درک کند.
مطالعات انجام گرفته در استفاده از فن آوری در آموزش ریاضی با تحقیقاتی که در مورد آموزش انجام گرفته و یادگیری ریاضی مرتبط شده است. هم چنین دستاوردهای جالبی در ارتباط با کاربرد فن آوری بدست آمده است. این دستاوردها نشان از موفقیت تحصیلی دانش آموزان دارد. چازان (1990)، هانافین و اسکات (1998) در مطالعات خود اذعان داشتند استفاده از نرم افزارهای هندسهی پویا تاثیر بیشتری بر عملکرد دانش آموزان دارد.
از آن جا که محققان دریافتند برهان آوردن و استدلال برای بسیاری از دانش آموزان دشوار است، (هویلز 1997 و هانا 1998) موقعیت هایی را طراحی کردند که ضمن ایجاد انگیزه، به تقویت قدرت استدلال و مهارت بحث کردن کمک کند. یکی دیگر از عواملی که به امر اثبات کمک می کند، اقناع است. این که دانش آموز پیش از استفاده از برهان های هندسی خود نسبت به درستی مسئله مطمئن باشد. گیلیس (2005) نشان داد استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا می تواند در این امر مفید واقع شود.

1.1 بیان مسئله
نتایج حاصل از سومین مطالعه بین المللی ریاضیات و علوم (تیمز2)، نشان داد که عملکرد دانش آموزان ایرانی نسبت به دانش آموزان سایر کشورهای جهان، ضعیف است و با متوسط جهانی، فاصله زیادی دارد. این مطالعه، مهم ترین و بزرگ ترین مطالعه این انجمن در دهه 90 بود و نزدیک به 41 کشور عضو انجمن، در آن شرکت داشتند. همه کسانی که به نحوی با آموزش ریاضی در کشور ما در ارتباط هستند، در پی کسب این نتایج ضعیف، به جستجوی علل این نتیجه غیرمنتظره پرداختند. در این راستا نخست می توان به عدم انطباق برنامه درسی با شرایط، نیازها و علایق یادگیرندگان، محدودیت های استفاده از فن آوری و عدم تخصص معلم ها در استفاده از روش های نوین آموزشی اشاره کرد. (صیادی)
در بررسی علل پائین بودن سطح یادگیری هندسه توجه به این پنج مهارت لازم است. نتایج آزمون تیمز نشان می دهد دانش آموزان مهارت های دیداری مانند تصویرسازی و تجسم دچار ضعف هستند، هم چنین در ایجاد ارتباطات کلامی مانند توصیف، درک متن صورت مسئله، و استفاده صحیح از اصطلاحات مشکل دارند. در حوزه ترسیم نیز با توجه به محدود بودن موارد ترسیمی در کتاب های درسی این مهارت نیز مغفول مانده است. تجربه نشان می دهد با وجود تاکید کتاب های درسی و بیشتر از آن معلمین دوره راهنمایی بر اثبات و حل مسئله در سال های گذشته، به دلیل عدم ارتباط دانش آموزان با مسئله، اغلب پیش از آن که به اثبات آن بپردازند، نسبت به صحت مسئله قانع نمی شوند و روش های اثبات را به حافظه می سپارند بدون آن که درک درستی از آن داشته باشند.
استفاده صحیح از فن آوری در آموزش می تواند فرصتی برای رفع نواقص موجود در نظام آموزشی باشد. پیشرفت های اخیر به دست آمده در حوزه آموزش ریاضی مبتنی بر ICT نتایج مثبتی را در بر داشته است که مطالعه و تلاش برای بومی کردن آن ها می تواند مشکلات آموزشی را در کشورمان تا حد قابل توجهی بر طرف نماید. علاوه بر این، نتایج تحقیقات در کشورهای توسعه یافته حاکی از لزوم توجه به تجربه شخصی دانش آموز از مفهوم آموزشی است. این امر موجب تعمیق مفاهیم برای دانش آموز خواهد شد. یکی از بارزترین دستاوردهای فن آوری نوین که توجه بسیاری از مجامع علمی را به خود جلب کرده است، ارائه نرم افزارهای هندسه ی پویا به جامعه آموزش ریاضی می باشد. در پژوهش حاضر محقق، در پی یافتن راهی برای کاستن مشکلات موجود در استفاده از فن آوری در یادگیری اهداف آموزشی است.
1.2 اهمیت و ضرورت پژوهش
تحقیق پیرامون موضوع هندسه ی پویا از سال 1982 در کشورهای توسعه یافته شروع شد و با تولید نرم افزارهای تخصصی در این زمینه بر تعداد آن افزوده شد، به طوری که تا کنون ده ها پایان نامه دکترا در این خصوص انجام شده است. بیش از 40 کشور در این زمینه به طور جدی با هم در حال فعالیت و تبادل نظر هستند. همه ساله، فصل بهار، انجمن ملی معلمان ریاضی3 (NCTM) مجموعه ای از مقالات حاوی جدیدترین مطالب مربوط به آموزش ریاضی را در قالب سالنامه منتشر می کند. در سال 1987، موضوع این سالنامه هندسه بود (لیندکوست4 و شالته5). از 20 مقاله ی این سالنامه، تنها 2 مقاله ی آن به یادگیری هندسه از طریق رایانه پرداخته بود و هیچ یک از مقالات دیگر ایده ی نرم افزاری هندسی بر پایه ی حرکت تصاویر را مورد بحث قرار نداده بودند. اکنون پس از 30 سال شرایط کاملاً تغییر کرده است. چندین سال است که فعالیت های انجام شده مرتبط با هندسه ی پویا، هر ماه توسط یکی از مجلات NCTM تحت عنوان "معلمان ریاضی" ارائه می شود. موسسات تحقیقاتی و آموزشی معتبر مانند انجمن معلمین ریاضی آمریکا (NCTM) و موسسه ی رویال انگلیس بسیاری از طرح درس های آموزشی خود را معطوف به هندسه ی پویا کرده اند. در کنفرانس های سالانه NCTM مقالات بسیاری در این زمینه منتشر می شود. کنفرانس CADGME در جولای 2009 به طور تخصصی بر نرم افزارهای جبر رایانه ای و هندسه ی پویا تاکید داشت و در آن با بیش از 50 مقاله ارائه شد. که این در نوع خود بی نظیر بود.
به دنبال نتایج به دست آمده از تحقیقات و اثرات مفید آموزشی این گونه نرم افزارها بر فرآیند یاددهی – یادگیری، در بسیاری از کشورها از جمله امریکا و انگلیس هندسه ی پویا به برنامه ی درسی مدارس وارد شده است. رشد چشم گیر در میزان یادگیری دانش آموزان، محققان را بر آن داشته است تا در مورد نحوه عملکرد و تاثیرگذاری این موضوع دست به مطالعه و پژوهش بیشتر بزنند. در ایران نیز 7 سال است این موضوع مطرح شده و در سه سال اخیر در کنفرانس های آموزش ریاضی مقالاتی در این زمینه ارائه شده است. برخی مدارس نیز از این روش برای آموزش استفاده می کنند. در حالی که هنوز برای این منظور، به درستی سازمان دهی نشده اند. با توجه به آمار منتشر شده در میزان استفاده از این محیط آموزشی و حجم کار علمی صورت گرفته، ضروری است دانشجویان و اساتید مربوطه به شناخت و تحقیق در مورد اثرگذاری این ابزار آموزشی اقدام نمایند.
تحقیق در زمینه ی هندسه ی پویا، به نفع سه گروه است. گروه اول معلمانی هستند که درگیر استفاده از شیوه های نوین آموزشی می باشند. اینان می توانند اشکالات مربوط به موارد استفاده ی نادرست از نرم افزارهای هندسه ی پویا را اصلاح کنند. و منشاء ایده های مفید در عملکرد ترسیمی دانش آموزان شان باشند. دسته ی دوم طراحان آموزشی هستند که به نوشتن کتاب های درسی برای تدریس هندسه به روش متداول و سنتی عادت کرده اند. اینان می توانند با طرح تمرین های جدید و مناسب که مورد نیاز دانش آموزان می باشد، از هندسه ی کمک بگیرند. و دسته ی سوم طراحان نرم افزارهای آموزشی هستند که در پی تولید نرم افزارهای استاندارد می باشند. اینان نیز می توانند در تولیدات خود از تصویرهای هندسه ی پویا استفاده کنند.
هم چنین نتایج این پژوهش دانش و تجارب ما را در مورد استفاده صحیح از نرم افزارهای هندسه ی پویا در کلاس های درس هندسه افزایش می دهد، یعنی درک این که چه چیزی به دانش آموزان برای یادگیری مفاهیم هندسی با رویارویی با شکل های پویا در محیط نرم افزار کمک می کند. و با بهره گیری از تجربه های به دست آمده می توان برای افزایش مهارت استدلال دانش آموزان در رابطه با برهان های هندسی، یاری جست. در نهایت با رسیدن به پاسخ سوال های مطرح شده در این تحقیق روش های رسیدن به اهداف یادگیری ارتقاء می یابد.
با توجه به فعالیت هایی که محقق در سال هال اخیر در خصوص مطالعه مبانی نظری و استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا در کلاس های درس هندسه داشته است، اجرای این طرح می تواند به طور عملی پیشرفت تحصیلی دانش آموزان را در این درس محقق سازد.
1.3 اهداف و فرضیه های پژوهش
هدف پژوهش بررسی استفاده از نرم افزارهای نوین در آموزش هندسه به منظور غنی کردن شیوه های آموزشی است. برای این منظور اثر استفاده از این دسته از نرم افزارهای بر یادگیری مهارت های هندسی مورد بررسی قرار گرفته اند.
فرضیه ی اصلی پژوهش عبارت است از:
"یادگیری مهارت های هندسی دانش آموزان در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است."
فرضیه ی اصلی پژوهش به پنج فرضیه ی جزئی نیز تقسیم شده اند:
1) یادگیری مهارت های منطقی در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
2) یادگیری مهارت های دیداری در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
3) یادگیری مهارت های کلامی در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
4) یادگیری مهارت های ترسیمی در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
5) یادگیری مهارت های کاربردی در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
1.4 تعریف اصطلاحات پژوهش
هندسه پویا
هندسه ی پویا یا هندسه دینامیکی6 یک روی کرد نوین آموزشی است که قبلاً نیز جهت طراحی ابزار دینامیکی صنعتی مورد استفاده قرار می گرفته است. در سال های اخیر با توسعه امکانات نرم افزاری، محیط های دینامیکی کارآمدی برای شبیه سازی مسائل هندسه در رایانه فراهم شده است. در این محیط دانش آموزان قادرند شکل های هندسی را شبیه سازی و هنگام ترسیم یا پس از آن اجزاء شکل را جابجا کنند. در صورتی که دانش آموز در پیاده سازی شکل در محیط نرم افزار اصول هندسی را رعایت کرده باشد، با جابجایی شکل، ساختار اصلی و ذاتی شکل باقی می ماند. به عنوان مثال زمانی که دانش آموز یک مثلث متساوی الساقین را با استفاده از امکانات پرگار و خط کش تعبیه شده در نرم افزار ترسیم کند، پس از ترسیم، با تغییر نقاط اصلی، مثلث تغییر موقعیت می دهد، بدون آن که شاکله ی خود را از دست بدهد. در چنین حالتی اگر دانش آموز خطوط دیگری را نیز بر شکل اصلی سوار کند، قضایای هندسی نسبت به هر حالت قرارگیری شکل اولیه درستی خود را حفظ خواهند کرد. اما در صورت وجود نقص در هر یک از مراحل ترسیم، جابجایی شکل، موجب از بین رفتن سازه ی اصلی شده و لذا شکل جدید ویژگی های مثلث متساوی الساقین را نخواهند داشت. به این ترتیب دانش آموزان در این محیط آموزشی می توانند تصویری پویا از مسئله را مشاهده کنند و با آن دست به آزمایش های شخصی بزنند.
در هندسه ی پویا درک انتزاعی از درک شهودی حاصل می شود. در این هندسه، عناصر و شکل ها به عنوان نماینده ای از ریاضیات صوری به فراگیران کمک می کند تا به مفاهیم عینیت بخشند و به فراگیری هندسه صوری با یک درک شهودی بپردازند. روان شناسی یادگیری و پیاژه به عنوان پیشتاز آن، درک شهودی را به عنوان پله اول درک انتزاعی پیشنهاد می کند.
محیط های هندسه ی پویا
مقصود از محیط هندسه پویا7 محیط آموزشی است که در آن امکان ایجاد شکل های پویای هندسی وجود دارد. این محیط می تواند به صورت مجازی مانند نرم افزارهای هندسه پویا، یا به صورت واقعی مانند کارگاه های مجهز به ابزارآلات و اتصالات دینامیکی برای شبیه سازی مسائل باشد
نرم افزارهای هندسه ی پویا
نرم افزار هندسه پویا8 محیط مجازی مبتنی بر رایانه است که به کاربر این امکان را می دهد که یک شکل هندسی را دقیق رسم کند و با جابجا کردن آن حدس های خود را بررسی نماید. در نرم افزارهای هندسه پویا علاوه بر امکان ترسیم و جابجایی عناصر شکل، دانش آموز می تواند مکان هندسی نقاط خاص را مشاهده و مراحل ترسیم را مرور کند، محاسبات عددی را انجام دهد و به نقاط شکل مورد نظر امکان حرکت دهد. از طریق ماکرو انجام مراحل مشابه را به نرم افزار آموزش دهد. به علاوه در محیط های نرم افزاری به دلیل نبود محدودیت های فیزیکی امکان شبیه سازی اغلب مسائل هندسی وجود دارد. نرم افزارهای اسکچ پد9، کَبری10 و جئوجبرا11 نمونه هایی از نرم افزارهای هندسه ی پویا محسوب می شوند.

مهارت های هندسی12
مطابق نظر هوفر (1991) مهارت های هندسی به 5 دسته اصلی تقسیم می شوند. این 5 دسته شامل مهارت های دیداری، منطقی، ترسیمی، کلامی، کاربردی می شود. کلیه اعمال مورد نظر دانش آموزان در یادگیری هندسه در این مهارت ها گنجانده می شوند.
تعریف عملیاتی مفاهیم پژوهش
محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا
محیط مذکور، محیط آموزشی ویژه ای است که بنیان آن را کلاس های متداول و سنتی تشکیل داده است و نرم افزار هندسه ی پویا به تدریج در آن وارد می شود. تفاوت این محیط با محیط خالص آموزشی هندسه ی پویا در این است که در محیط آموزشی هندسه ی پویا تنها از ابزار هندسه ی پویا استفاده می شود اما در کلاس های غنی شده در کنار مفاهیم هندسه پویا، عناصر کلاس های سنتی وجود دارد و به شکل برنامه ریزی شده با حفظ نقاط قوت کلاس های سنتی، از برنامه های مبتنی بر محیط های آموزشی هندسه ی پویا به صورت تلفیقی13 استفاده می شود.
در پژوهش حاضر به منظور غنی کردن کلاس با نرم افزار، برنامه های زیر به اجرا درآمد:
1. ده جلسه کارگاه رایانه برگزار شد.
2. در مدت سال تحصیلی دانش آموزان تکالیف خود را در نرم افزار نیز شبیه سازی می کردند.
3. در کلاس های درسی نیز به مفاهیم پویای اشکال اشاره می شد.
نرم افزار هندسه پویا
نرم افزاری که در این پژوهش مورد استفاده قرار گرفته است، نسخه 3.0 نرم افزار جئوجبرا می باشد. این نرم افزار توسط تیم متخصص به سرپرستی مارکوس هوهن وارتر و حمایت دانشگاه سالزبورگ اتریش و دانشگاه فلوریدای امریکا طراحی و تولید شده است. طراحان این نرم افزار برای تولید آن از تجربیات تولید چندین نرم افزار دیگر بهره گرفته اند. تصویر زیر محیط آموزشی این نرم افزار را نشان می دهد.
فعالیت های مورد استفاده در این تحقیق توسط نرم افزار جئوجبرا طراحی شده است. محیط این نرم افزار بسیار ساده بوده، در عین حال به موضوعات کتاب درسی پوششی مناسب می دهد. در این نرم افزار کلیه امکانات برای بررسی های تحلیلی و ترسیمی در حد استفاده دانش آموزان فراهم شده است. نرم افزار جئوجبرا در مقایسه با دیگر نرم افزارها از لحاظ توانمندی های ترسیمی، ظاهر، وسعت عمل، محتوای آموزشی برای معلمین و دانش آموزان، ارتباط با کاربران، خروجی جاوا، هزینه و به روز بودن مناسب ترین نرم افزار محسوب می شود. این نرم افزار از بین بیش از 20 نرم افزار مشابه انتخاب شده است. نسخه 3.0 این نرم افزار تولید سال 2008 از زبان فارسی نیز پشتیبانی می کند. که این پژوهش گر به عنوان مترجم نرم افزار معرفی شده است.
2 فصل دوم: مرور بر مبانی نظری و پیشینه پژوهش
2.1 مبانی نظری یاددهی و یادگیری
مقدمه
استفاده از روش های خاص آموزشی به کمک نرم افزارهای هندسه پویا، مستلزم شناخت صحیح از مبانی نظری مرتبط با آن است. زمانی که این شناخت با تجربه های کنترل شده همراه شود، امکان حل مشکلات و اختلالات آموزشی در یادگیری دانش آموزان فراهم خواهد آمد.
در این رابطه استوارت (1997) معتقد است:
دانش آموزان به طور طبیعی به جالب و کاربردی بودن مفاهیم در هندسه پی می برند، ولی مطالعه هندسه به شکل رسمی، مشکل و ناقص است. اخیراً تحقیقاتی به شکافی که بین فلسفه و ریاضیات انجام گرفته معطوف شده است. کاربرد این گونه تحقیقات، نوآوری در یک جهش از روی کرد سخت گیرانه ی استدلال های استنتاجی به روش پویا که به ساختن گرایی تعلق دارد، منجر شده است.
در این فصل ابعاد مختلف نظری در حوزه یادگیری مورد بحث و بررسی قرار خواهند گرفت.
2.1.1 نظریه ی ساختن گرایی در یادگیری
در نظریهی ساختن گرایی یادگیری از طریق دریافت حقایقی که توسط مربی آموزش داده می شود و توسط محصّل به شکل منفعل دریافت می شود انجام نمی گیرد بلکه از طریق یک فرآیند فعال که خود در ساختن دانش و آگاهی علمی خویش در تعامل با محیط آموزشی مشارکت می کند، یادگیری اش ساخته می شود. (پاتریکا 2001) بنا بر این وقتی ما در کلاس به درس معلم گوش می کنیم یادگیری ما به وسیله و در جریان ساختن درک خودمان از شنیده ها می باشد که معلم به ما القاء می کند. یادگیری از طریق ساختن گرایی بیان می کند یادگیرنده در فرایند یادگیری نقش فعال دارد و آن ها را قادر می سازد دانش و فهم خود را به واسطه ی تجربه از جهان بسازند. دانش آموزان در روی کرد ساختن گرایی دارای نقش هایی زیر هستند:
1. یادگیرندگان خبره
2. دارای مهارت های حل مسئله
3. خلق کننده دانش جدید
4. عضو فعال در فرایند یادگیری
5. کنترل کننده
6. مشارکت کننده در گروهای همتا
یادگیری مبتنی بر روی کرد ساختن گرایی با یادگیری سنتی تفاوت های فراوانی دارد. در جدول زیر به مواردی از آن اشاره شده است:
جدول ‏2- ا: مقاسیه ی کلاس های سنتی و کلاس های مبتنی بر روی کرد ساختن گرایی
کلاس های سنتی
کلاس های مبتنی بر ساختن گرایی
تاکید روی مهارت های پایه
تاکید روی مفاهیم اساسی
تاکید به ارزش های ثابت و سطح بالا
توجه به سوالات، علایق و ارزش های دانش آموز
نقش معلم دستور دهنده و ریشه در قدرت
نقش معلم تعاملی و ریشه در مذاکره دارد
دانش ساکن
دانش دینامیک و پویا
یادگیری از طریق آزمون و پاسخ صحیح
ارزیابی شامل مشاهدات ،دیدگاه های دانش آموز
یادگیری بر اساس تقلید و تکرار
یادگیری تعاملی و ساخت دانش توسط دانش آموز
کار به صورت فردی
کار به صورت گروهی
مواد قابل دست کاری و مواد اولیه
مواد یادگیری:کتاب های درسی و کتاب های کار

از فواید یادگیری مبتنی بر ساختن گرایی می توان موارد زیر را نام برد:
1. یادگیری قابل انتقال
2. یادگیری همراه با فهم و تفکر
3. دانش آموزان مالک یادگیری خود
4. یادگیری در زمینه های معتبر (سوال کردن ، حس، کنجکاوی، تفسیر)
5. تاکید بر مهارت های اجتماعی و تبادل عقاید
با وجود ویژگی های فراوان در نظریه ی ساختن گرایی و تاثیر آن در یادگیری اشکالاتی در آن مطرح می گردد که از آن می توان به موارد زیر اشاره کرد.
1. نخبه گرایی
2. حمایت بیش از اندازه از فکر گروهی
3. غیر مسئول بودن در مقابل پیشرفت دانش آموزان
4. عدم اصالت به وجود ساختار دانش خارج از ذهن دانش آموز
بروسیو14 (1997) معتقد است، معلم باید شرایط کلاس را به گونه ای فراهم کند که دانش آموزان بتوانند، در فهم مطالب مورد نظر پیشرفت کنند. ممکن است سازههای فکری هر دانشآموزان با آن چه که مورد نظر معلم است اندکی متفاوت باشد. در نظریهی موقعیت استدلال15 بروسیو یک گام با نام " موقعیتی برای رسمی کردن16 " وجود دارد که در آن معلم با هدایت دانش آموزان سازه های مرتبط با ساختار دانش را شکل داده تا جنبه رسمی و بین المللی پیدا کنند.
ساختن گرایی قدمت دیرینه و ریشه در صحبت و گفتگوهای سقراط دارد که با استفاده از سئوالات هدایت شده به دانش آموزان کمک می کرد ضعف فکری و فهم خود را پیدا کنند و به تئوری رشد پیاژه که عقیده داشت انسان توسط ساخت ساختارهای منطقی یکی پس از دیگری می آموزد بر می گردد. هم چنین به نظریه یادگیری از طریق تجربه ی دیوی، تغییر ساختار برنامه درسی برونر، یادگیری معنی دار آزوبل و منطقه تقریبی رشد و یادگیری اجتماعی ویگوتسکی مرتبط است.
در پژوهش حاضر فعالیت های آموزشی طوری طراحی شده اند که دانش آموزان بتوانند در محیط پویا و در تعامل با نرم افزار خود دانش را فرابگیرند. همچنین محیط اجتماعی ایجاد شده بر توسعه یادگیری بر اساس نظریه ی ساختن گرایی کمک خواهد کرد.
2.1.2 نظریه ی رشد شناختی برونر
برونر معتقد بود کودکان در سه مرحله ی نسبتاً متمایز رشد، جهان هستی را در ذهن خود بازنمایی می کنند. مراحل رشد ذهنی برونر به قرار زیرند: (روانشناسی پرورشی، سیف، صفحه 222)
1) مرحله ی بازنمایی تصویری یا تجسمی17
در این مرحله کودک رویدادهای زندگی خود را غالباً به صورت تصاویر ذهنی حفظ می نماید. مانند کودکی که یک حادثه را با کشیدن صحنه می کشد و یا به یاد می آورد. بسیاری از مردم مانند جراحان، ورزش کاران، نوازندگان موسیقی، و بازی گران تاتر و سینما از شیوه ی بازنمایی تصویری بسیار بهره می برند. این نوع از بازنمایی بعداً در خصوص تقویت مهارت های دیداری مورد استفاده قرار می گیرد.
2) مرحله ی بازنمایی حرکتی یا عملی18
در این مرحله، کودک رویدادهایی را که تجربه کرده است را به صورت پاسخ های حرکتی بازنمایی می کند. به عنوان مثال کودک خردسال نمی تواند محل خانه ی خود را برای شما بگوید، اما قادر است شما را از راهی که خود همیشه می رود به آن جا ببرد. این نوع از بازنمایی به کودکان منحصر نمی شود و برای بزرگ سالان نیز موضوعیت دارد. بدیهی است رشد توانایی های کودک برای تفکر و یادگیری در الگوهای منطقی، از طریق تجربه کودک با اشیا واقعی و دست ورزی حاصل می شود، زیرا کودکان از طریق فعالیت هایشان با اشیای مختلف، می فهمند و درک می کنند، نه از طریق مشاهده اشیا و یا چیزهایی که راجع به اشیاء به آن ها گفته می شود. یادگیری از طریق فعالیت دانش آموزان در تقویت مهارت های ترسیمی و کاربردی هندسی در فصول بعدی مورد توجه قرار خواهند گرفت.
3) مرحله ی بازنمایی نمادی19
این مرحله با کسب یک نظام نمادی فرا می رسد. زبان عمده ترین نظام نمادی مورد استفاده ی انسان است. آدمیان به کمک زبان تجارب زندگی خود را به رمز در می آورند و آن را ذخیره می کنند. دانش آموزی که می تواند یک نقاشی را به طور کامل توضیح دهد بدون این که بتواند آن را بکشد یا تمام جزئیات آن را تجسم کند، در این مرحله قرار دارد. علاوه بر زبان، می توان از نمادهای دیگری نیز سود جست. از نظر برونر با افزایش سن و تجربه بر مقدار تفکر نمادی افزوده می شود. مهارت های کلامی و منطقی هندسه از این طریق بر یادگیری اثر خواهد گذاشت. بازنمایی نمادی در رشد مهارت های کلامی در هندسه مورد بررسی قرار خواهند گرفت.
2.1.3 یادگیری از راه بینش
روان شناسان مکتب رفتارگرایی معتقدند برای مطالعه ی پدیده های پیچیده ی یادگیری باید آن ها را به اجزای ساده تجزیه کنند و از طریق مطالعه ی این اجزاء به شناسایی پدیده های پیچیده دست یابند. روان شناسان مکتب گشتالت مخالف روش این نوع تجزیه و تحلیل پدیده های روان شناختی هستند. به اعتقاد آن ها اندیشه های انسان از ادراکات کلی معنی دار تشکیل می شود نه از مجموعه هایی از تصاویر ذهنی جزئی که از راه تداعی به هم مرتبط می شوند.
ماکس ورتمایر20 و کوهلر21 (1986) اولین کسانی بودند که ارتباط بین استدلال های هندسی و ادراک دانش آموزان را مورد توجه قرار دادند. دیدگاه اصلی آن ها در این است که راه حل مسئله، بدون درک حقایقی مطلق برآمده از شکل هرگز یافته نمی شود. زمانی که ما توجه خود را به درستی، نسبت به ظاهر مسئله، جهت گیری می کنیم، زمانی ناگهان ذهن ما تغییر می کند و وسعت می یابد و مواد ابتدایی داده شده بازسازی می شوند.
کثرت مشاهده ی دانش آموزان در محیط های نرم افزاری هندسه موجب فراهم شدن چنین تجربه ای خواهد بود. در چنین شرایطی دانش آموزان بر اساس فرآیندهای طبیعی تفکر، مسائل را حل می کنند. موضوع درسی برای آن ها قابل درک می گردد.
به نظر مایکل ورتمایر22 روش منطقی به بینش نمی انجامد و توانایی حل مسئله را افزایش نمی دهد. برای کسب بینش که مستلزم درک و فهم مطالب است یادگیرنده نیاز ندارد و نباید منطقی عمل کند، بلکه باید به طور شناختی اجزای مسئله را بازسازی و مرتب کند تا این که راه حل مبتنی بر فهم مسئله را به دست آورد. این که این عمل چگونگی وقوع این عمل از دانش آموزی به دانش آموز دیگر فرق می کند. (هرگنهان و السون،1997)
ورتمایر هم چنین یادگیری به روش تداعی گری را نیز مورد انتقاد قرار می دهد. این روش عموماً بر یادگیری پیوندهای بین محرک و پاسخ از راه تمرین، حفظ کردن و تقویت بیرونی تاکید می ورزد. ورتمایر این نوع یادگیری را در قیاس با یادگیری از راه بینش، کم اهمیت می دانست. او بر این باور بود که روش های آموزشی وابسته به تداعی گری و مبتنی بر منطق نه تنها در افزایش درک و فهم دانش آموزان کمک چندانی نمی کنند، بلکه به مقدار زیاد مانع از آن می شوند. (روان شناسی پرورشی، سیف، ص 269)
ورتمایر قوانینی را که در آن ذهن انسان به طور طبیعی طی می کند را از قوانین گشتالت مورد توجه قرار می دهد. این سه قانون، در استدلال های هندسی مهم هستند و می توانند برای طراحی اجزای محیط های هندسه ی پویا مفید و کمک کننده باشند:
1. مجاورت23: پدیده ها و اموری که نزدیک به هم قرار دارند، بهتر و سهل تر آموخته می شوند.
2. شباهت24: مطالب مشابه و همگون بهتر از مطالب نامشابه آموخته می شوند.
3. تکمیل25: انسان به احساس کردن اشکال پیچیده به صورت یک شکل کامل تمایل دارد.
تاکید محیط های هندسه ی پویا بر حفظ کل در ذهن دانش آموز است. چرا که در این محیط همواره دانش آموز تصویری از شکل را در ذهن خود مجسم می کند. و برای بررسی هر یک از اجزای خواسته شده با درک صحیح از ارتباط آن با شکل اصلی به بررسی آن می پردازد.
به نظر روان شناسان گشتالت، هدف اصلی آموزش باید ایجاد توانایی درک مطلب در یادگیرندگان باشد نه فشار وارد ساختن بر آن ها برای حفظ کردن طوطی وار مطالب. (سیف ص 271). به اعتقاد هیل (1980) تاکید روان شناسان گشتالت بر فهمیدن امور و درک روابط به صورت یک پارچه، از خدمت های بزرگ روان شناسی گشتالت به آموزش و پرورش بوده است.
فیشبین26 (1993) نیز تحت تاثیر نظریه یادگیری گشتالت موضوعات مطرح در استدلال های هندسی را منوط به توجه به دو عنصر زیر می داند:
1. ویژگی های فضایی: مانند شکل، موقعیت و اندازه،
2. کیفیت های مفهومی: مانند تجرد،
در بررسی های هندسی کافی است به دو وجه شکلی و مفهومی توجه شود. وجوه دوگانه ی فوق به کررات در یادگیری درمحیط های هندسه ی پویا درک می شود. و دانش آموزان دائماً از حالت 1 به 2 و بالکعس در حرکتند. در ادامه ی این فصل به ابعاد متضاد یادگیری در ذهن انسان اشاره خواهد شد.

لحظه ی یادگیری
ویگوتسکی27 عنوان می کند، یادگیری به معنای آمادگی برای در چالش قرار گرفتن است. یادگیرنده هنگامی رشد می کند که از توانایی های کنونی خود پا فراتر نهد. روان شناس معروف سیکزنت میهالی28 (1990) نیز معتقد است یادگیری مطلوب در موقعیت فلو29 ( تمرکز کامل در یادگیری) اتفاق می افتد. قرار گرفتن در موقعیت فلو یعنی هنگامی که انجام کاری برای ما آن قدر جذاب است که وقت و زمان را گم می کنیم موجب می شود که فرد احساس آرامش و آسایش را توام با به چالش گرفتن ذهن تجربه کند. فلو یک حالت روحی است و زمانی رخ می دهد که دانش آموز چنان غرق در انجام فعالیت مورد علاقه خود باشد که متوجه گذشت زمان یا اتفاقاتی که در محیط اطراف خود رخ می دهد نشود. این فعالیت ها می تواند نوشتن یک نامه، نقاشی کردن و نواختن موسیقی باشد
این حالت هنگامی به انسان دست می دهد که یکی از هوش هایی که در آن قوی است، را برای حل مسئله یا انجام کاری فعال کرده باشد. این حالت در مدارس به علت تاکید بر فعال نمودن هوش های کلامی – زبانی و منطقی- ریاضی برای دانش آموزانی که در دیگر هوش ها قوی هستند رخ نمی دهد و ممکن است آن را خارج از مدرسه هنگامی که مشغول انجام فعالیت مورد علاقه ی خود هستند تجربه کنند و بسیاری از آن ها ممکن است به سن بزرگ سالی برسند امّا هیچ گاه این حالت را تجربه نکنند.
محیط های غنی هندسه ی پویا شرایط تحقق حالت فلو را بسیار خوب فراهم می آورند. چرا که در چنین محیط هایی امکان تطابق شیوه ی آموزشی با سبک یادگیری دانش آموز و علایق او وجود خواهد داشت. پژوهش گر با عنایت به این وضعیت در اجرای پژوهش حاضر، سعی در طراحی موقعیت های مناسب برای شکل گیری این حالت کرده است.
2.1.4 اهداف یادگیری در ریاضی
تعلیم ریاضی مساله ای فراتر از آموزش کاربرد انواع الگوریتم ها به دانش آموزان است. این مساله باید به رشد قابلیت درک و توصیف روابط میان نظریات و اشکال نیز بپردازد (اسکمپ، 1987). آماده سازی ذهنی دانش آموزان برای درک برخی از مفاهیم ساده و اساسی ریاضی مقدماتی، ایجاد و پرورش نظم فکری و درست اندیشیدن از طریق آشنایی با مفاهیم منطقی ریاضی، زمینه سازی برای استفاده از مفاهیم ریاضی در زندگی روزانه، منظم کردن دانسته های مختلف و متفرّق و بازسازی آن ها، بالا بردن توان دانش آموزان در انجام فعالیت ها و محاسبات ساده و شفاهی ریاضی، پرورش قوای ذهنی و هماهنگی بین این قوا از طریق بالا بردن توانایی ها و دانسته های قبلی، گسترش مفاهیم زبانی و خزانه لغات و فرهنگ لغات ریاضی کودکان و کاربرد این فرهنگ در زندگی روزانه، فراهم آوردن پیش نیازهای لازم و مفید به منظور سرعت بخشیدن به آموزش ریاضی در آینده ی تحصیلی کودکان از اصلی ترین اهداف آموزش ریاضی محسوب می شود. (صیادی و معصومی)
در صورت آموزش صحیح ریاضی، فراگیران با آموختن این علم، هم قدرت تفکر منطقی خود را تقویت می کنند و هم نسبت به رفع نیازهای زندگی روزمره خود تواناتر می شوند و مقدمه ای برای موفقیت در دوره های بعدی محسوب می شود. هدف از آموزش ریاضی، علاوه بر آموزش مفاهیم ریاضی و محاسبات مورد نیاز روزمره، پرورش توانایی های ذهنی دانش آموز و ایجاد نظم فکری در دانش آموزان است. هدف از تدریس ریاضی پرورش قوای فکری، توانایی درست اندیشیدن، به کار بستن صحیح دانش و معلومات در حل مسایل روزمره و پرورش ذهن های خلاق و مبتکر است، نه محدود کردن آن ها به حفظ تعریف ها و قضیه های خشک ریاضی. بنابراین به هیچ وجه، نباید دانش آموز را به حفظ کردن قواعد ریاضی بدون درک آن ها، وا داشت.
اهداف آموزشی مطابق طیقه بندی بلوم 30در سه دسته شناختی31، عاطفی32 و روانی- حرکتی33، تقسیم می شوند. (سیف 1382). در ریاضیات نیز هدف های آموزش، مشابه طبقه بندی بلوم به سه دسته ی عمده ی محدود می شود: (زمانی- صیادی)
1. هدف های شناختی
2. هدف های عاطفی
3. مهارت های ریاضی
هدف های شناختی
اهداف شناختی یا دانش نظری شامل اصطلاحات ریاضی؛ دانش مفاهیم؛ روندها و توالی ها؛ دانش معیارها؛ دانش حقایق و خاص؛ دانش قراردادها؛ دانش روش ها می شود. امروزه دیگر دانش به معنی واقعیت هایی که در قالب کلمات، جملات و پاراگراف نیست. اطلاعات روز افزونی به صورت شهودی و در قالب نمودارها، جداول و سایر روش ها نمایش داده می شود. اطلاعات از طریق این تصاویر به ذهن ما منتقل می شود. برخی از افرادی که به صورت خطی به مسائل می اندیشند ممکن است در فرآیندسازی اطلاعات گسسته در نمودارها ضعیف عمل کنند.
هدف های عاطفی
کلیه رفتارهایی که به علاقه، احساس، نگرش ها، باورها و ارزش ها مربوط می شوند، در این دسته قرار می گیرند. داشتن اعتماد به نفس، نداشتن اضطراب، قدرت تصمیم گیری هنگام حل مسایل ریاضی، نمونه هایی از توانایی عاطفی در ریاضیات است. به عنوان مثال اظهار ناامیدی نسبت به یادگیری ریاضیات، یک احساس عاطفی گرم، ولی منفی است. در مقابل داشتن این عقیده که فرمول های ریاضی را می توان حفظ کرد، یک عاطفه سرد محسوب می شود، زیرا فاقد احساس است. حیطه اهداف عاطفی در ریاضیات به باورهای فردی، نگرش های فرد نسبت به ریاضیات و احساساتی شامل احساس شادی از حل مسایل غیرعادی یا حظ هنری از استدلال و منطق ریاضی مربوط می شود.
مهارت های ریاضی
مهارت هایی که حاصل آموزش ریاضی است، شامل انواع مهارت های ذهنی، عملکردی، فرآیندی، موقعیتی و ارتباطی است که مهم ترین آن ها در چهار دسته زیر طبقه بندی می شوند:
1. مهارت های ذهنی: به توانایی تفکر و تجسم اطلاق می شود و در آن دسته فعالیت های ریاضی که
جنبه خلاقیت، ابداع، نوآوری، تجسم و غیره دارند، به کار می رود.
(به کارگیری ذهن برای حل مسئله(
2. مهارت های عملکردی: به توانایی تبدیل مهارت ذهنی به عمل یا رفتار گفته می شود.
(انجام محاسبات چهار عمل اصلی(
3. مهارت های فرآیندی: بر دانستن چگونگی انجام دادن فعالیت های شناختی دلالت دارد.
(توانایی رسم جدول و نمودار(
4. مهارت های موقعیتی: این مهارت به دانستن این که چه هنگام، دانش های مختلف اجرا می شوند،
ارتباط می یابد و به تشخیص اهمیت انجام کار دلالت دارد.
اهداف آموزشی در هندسه
هندسه نیز به عنوان بخشی از ریاضی می تواند سهم بسزایی در نیل به این اهداف داشته باشد، به خصوص این که درس هندسه به عنوان درسی بنیادی علاوه بر این که می تواند موجبات علاقه و رشد افراد در زمینه مشاغل سازنده ای چون معماری، تراش کاری، ریخته گری و سایر مشاغل تولیدی ایجاد کند، می تواند زمینه ی علاقه و رشد جوانان مستعد به ادامه تحصیل در رشته های فنی و مهندسی را نیز فراهم سازد. هندسه به عنوان بخشی از ریاضی، یکی از درس های مهم، مشکل و در عین حال پر جاذبه و شیرین دوران تحصیلی است و لازم است مورد توجه خاص قرار گیرد.
تاکنون انگیزه فراگیران در مطالعه ی هندسه، ترس از امتحان و به دست آوردن نمره قبولی بوده است، نه علاقه به درس و مطالعه و پیشرفت در این زمینه. هر گاه مفاهیم هندسه به شیوه عملی و کاربردی تدریس شود، ضمن این که برخی از مسایل درسی و یادگیری از پیش پا برداشته خواهد شد، در فراگیران شوق و علاقه به مطالعه و یادگیری این درس ایجاد و رشد خواهد یافت. اصولاً وقتی مفاهیمی که تدریس می شوند، در زندگی فراگیران معنی دار باشند و موافق درک و توانایی های آن ها ارائه شوند، فراگیران ضمن علاقه مند شدن به آن، عملاً مسئولیت بیشتری را در امر یادگیری بر عهده خواهند گرفت.
اهداف آموزشی در هندسه نیز همانند اهداف آموزش ریاضی تنها شامل اعمالی که توسط دانش آموز انجام می شود، نیست، بلکه تلفیقی است از اهداف شناختی، عاطفی و حس- حرکتی. هر کدام از مهارت های یادگیری در هندسه، با جنبه خاصی از مهارت های یادگیری در ارتباط هستند. این ارتباط ها در تحلیل داده های پژوهش مورد توجه قرار گرفته اند.
2.1.5 هوش و خلاقیت
هوش مجموعه ی مهارت ها و توانایی هایی است که به افراد امکان می دهد تا در هنگام مواجهه با مسائل، آن ها را درک و حل کنند. با این تعریف، هر یک از زمینه های هوش، به طور مستقل عمل می کنند. مسلماً رابطه ای میان هوش و سایرعملکردهای ذهنی، مثل یادگیری و موفقیت در تحصیل، وجود دارد. یادگیری را می توان از دو نظر بررسی کرد و با هوش ارتباط داد. یکی رابطه هوش با سرعت یادگیری است، یعنی آیا کسی که باهوش است مطالب را سریع تر و بهتر می آموزد، به خاطر می سپارد و در صورت لزوم به یاد می آورد؟ دیگر ارتباط هوش با سطح پیچیدگی یادگیری است، یعنی آیا شخص باهوش برای یاد گرفتن مطالب پیچیده تر آمادگی بیشتری دارد؟
هوش یعنی توانائی های فرد برای تفکر منطقی، اقدام هدف مندانه و برخورد موثر با محیط. برآورد هوش چیزی جز برآورد استعداد یادگیری نیست. فعالیت های اساسی هوش عبارتند از عقل سلیم، شعور عملی، ابتکار، استعداد، انطباق خود با موقعیت های مختلف، درک، استدلال و خوب قضاوت کردن. از طرفی هوش یک مفهوم بی ثبات و وابسته به زمان است. به طور کلی می توان گفت هوش یعنی:
1. تفکر انتزاعی
2. یادگیری از تجربه
3. حل مسائل از راه بینش
4. سازگار شدن با موقعیت های جدید
5. تمرکز و تداوم در به کار انداختن توانائی ها برای رسیدن به یک هدف مطلوب
بین روان شناسان، جدال های جدی بر سر این مسئله که چه چیزی به عنوان افزایش میزان IQ34 در نظر گرفته شود، وجود دارد برخی از محققان بر این باورند که ما اصلاً باهوش تر نمی شویم، بلکه فقط در حل برخی از مسائل خاص، مهارت می یابیم. با این وجود، برخی دیگر می گویند که، بازتاب افزایش IQ در دنیای واقعی را سنجش هوش دیده اند. از طرفی در سال های اخیر نوع دیگری از هوش به نام هوش هیجانی یا هوش احساسی مطرح شده است که بنیان گذار آن دانیل گلمن است.
هوش شناختی (IQ) شامل توانایی ما برای یادگیری، تفکر منطقی و انتزاعی است. در حالی که هوش هیجانی (EQ) به ما می گوید که چگونه از IQ در جهت موفقیت در زندگی استفاده کنیم. هوش هیجانی شامل توانایی فرد در جهت خودآگاهی هیجانی و اجتماعی است و مهارت های لازم در این حوزه ها را می سنجد، هم چنین شامل مهارت های فرد در شناخت احساسات خود و دیگران، داشتن مهارت در ایجاد روابط سالم با دیگران و حس مسئولیت پذیری در برابر وظایف می باشد (بلاک، 1995به نقل از دهکردی، 1386). هوش هیجانی (یا EQ) شامل شناخت و کنترل هیجان های خود است. به عبارت دیگر، شخصی که EQ بالایی دارد سه مولفه هیجان ها را یعنی مولفه شناختی، فیزیولوژیکی و رفتاری را به طور موفقیت آمیزی با یک دیگر تلفیق می کند. به نقل از هیس (2001) هوش هیجانی یا احساسی شامل چهار توانایی است، که عبارتند از:
1. تشخیص، درک و ابراز هیجانی (توانایی تشخیص هیجانات در نقاشی، موزیک یا داستان)
2. توانایی تفکر هیجانی ( استفاده از عواطف و احساسات در تعقل و حل مساله)
3. فهم هیجانی (حل مسایل مربوط به عواطف و ارتباط بین عواطف)
4. مدیریت هیجانی ( درک و فهم اصول مربوط به اقدامات اجتماعی بر روی عواطف و
هیجانات و قانون حاکم بر نحوه ی کنترل آن در خود و دیگران)
هوش هیجانی (EQ ) با هوش شناختی (IQ ) از بعضی منظرها متفاوت از یکدیگر هستند. بر خلاف هوش شناختی که میزان سطح آن نسبتاً ثابت و ایستا می باشد و از سویی همبستگی کمی با موفقیت در زندگی دارد. سطح هوش هیجانی (EQ )را از طریق تعلیم و تربیت، مربی گری هدف مند، ابتکار عمل، توسعه و رشد یافتگی، می توان ارتقاء داد. اهمیت مهارت های هیجانی در مقایسه با مهارت های شناختی یک سان است. سمبل عقل بهره هوشی (IQ) و سمبل دل، هوش هیجانی (EQ) است. تلفیق این دو هوش در واقع تلفیق فکر و احساسات با یکدیگر است.
طراحی فعالیت در محیط های نرم افزاری هندسه ی پویا مستلزم توجه به قابلیت های ذاتی و اکتسابی دانش آموزان و فراهم کردن آگاهانه ی شرایط یادگیری برای آنان است. لذا پژوهش گر در اجرای طرح در طول سال تحصیلی به وضعیت هوش دانش آموزان در طراحی فعالیت ها و ایجاد موقعیت انتخاب برای دانش آموزان توجه داشته است.
خلاقیت یا آفرینندگی از جمله ویژگی های آدمی است که نه تنها به هوش بالاتر از متوسط، بلکه به داشتن انگیزه قوی نیاز دارد .برخورداری از هوش بالاتر از متوسط برای کارهای خلاقانه لازم است، اما کافی نیست. به نظر روان شناسان، هوش مهارتی همگراست35 که به رسیدن راه حل یا پاسخ منحصر به فرد معطوف است. در صورتی که آفرینندگی مهارتی واگراست36 که مستلزم ارائه پاسخ های گوناگون، نا متداول و بدیع است. آفرینندگی مستلزم آن است که شخص به تفکر واگرا بپردازد و برای حل یک مسئله ذهن خود را از راه حل های معمولی رها کند و به انواع راه حل ها و پاسخ های نوین دست یابد. از ویژگی های کارگاه های آموزشی مبتنی بر نرم افزارهای هندسه ی پویا ایجاد شرایط مساعد برای پرورش قوه ی خلاقیت دانش آموزان است. این ویژگی بعد از چند ماه آموزش در دانش آموزان به ایجاد موقعیت های خلاق و بازی گونه در تکالیف آن ها بروز کرد. که در فصل چهارم بیشتر به آن اشاره خواهد شد.
2.1.6 سبک های یادگیری
سبک های یادگیری نیز به زبان ساده، روی کردها یا شیوه های متفاوت یادگیری هستند. کسب اطلاعات درباره سبک های یادگیری و هوش ها، برای هر کس، به ویژه افرادی که در یادگیری ناتوانند و دچار کم توجهی هستند، مفید است. آگاهی از سبک یادگیری دانش آموزان، به معلم کمک خواهد کرد تا استراتژی هایی که با آن ها سر و کار دارد را توسعه دهد، نقاط ضعف دانش آموزان را شناسایی کند و از توانایی های آنان بهره برداری نماید. دانش آموزانی که مجبورند هر روز با روشی ثابت مطالب را بیآزموند، انگیزه خود را برای یادگیری به مرور از دست می دهند. به کارگیری سبک های یادگیری و نوع هوش به طرق متفاوت موجب می شود که معلمان محیطی ایجاد کنند که در آن فراگیرندگان بتوانند استعدادها و علائق خود را شناسایی کنند و با این شناخت، فعالیت ها را انتخاب کنند که این امر موجب شرکت فعال، اعتماد به نفس و رشد انگیزش در آن ها می شود.
اگر تدریس مدت ها به طول انجامد ولی شامل فعالیت هایی از سبک های یادگیری و توجه به نوع هوش باشد در این صورت دانش آموزان نه تنها احساس کسالت نمی کنند، بلکه این امر موجب قوی تر، انعطاف پذیرتر و صبورتر شدن آن ها نیز می شود. اجرای فعالیت ها و راه بردهایی که در بر گیرنده ی همه سبک ها و هوش ها باشد، دانش آموزان را هدایت می کند تا به یادگیری عمیق تر دست یابند و مباحث پیچیده را با آرامش بیشتری دریابند زیرا بدین ترتیب دانش آموزان محتوا را از ابعاد گوناگون و با علاقه پردازش نموده و درباره ی آن ها فکر می کنند.
آشنایی با سبک ها و هوش های یادگیری، تا حد زیادی به ایجاد آرامش در فراگیران کمک می کند، زیرا به تفاوت های فردی آنان در آموزش توجه می نماید. در روش های آموزشی بر اساس هوش دانش آموزان و سبک های یادگیری به خصوصیات شخصیتی و استعدادهای همه ی فراگیران توجه می کند تا همگی از جریان یادگیری احساس آرامش و لذت کنند. در محیط های آموزشی هندسه پویا موقعیت هایی برای انتخاب مسیر برای دانش آموزان وجود دارد. اینکه ابتدا شکل را ترسیم کنند سپس اثبات کنند یا بالعکس. داتش آموزان در انتخاب راه تفاوت هایی با یک دیگر دارند. شناخت صحیح از گرایش و ایجاد موقعیت های انتخاب بر اساس استعداد و سبک های یادگیری دانش آموزان بر کیفیت آموزش تاثیر می گذارد.
سریواستاوا37 در پژوهش خود به 19 سبک شناختی اشاره می کند. در این سبک ها عموماً دو گرایش دیده می شود که با انطباق آن با نظریه ی راست مغزی و چپ مغزی می توان ،گرایش دانش آموزان به نوع و سبک یادگیری را مورد توجه قرار داد. پژوهش گر با عنایت به جایگاه دانش آموز در هر یک از سبک ها و هوش فعالیت مورد نیاز دانش آموز را انتخاب کرده است. این موضوع با مطالعه ی فرآیندهای تفکر در هندسه و نیاز دانش آموز برای توسعه ی یادگیری در بخش های بعد بیشتر توضیح داده خواهد شد. در جدول صفحه ی بعد سبک های شناختی لیست شده است.
جدول ‏2- ب: سبک های شناختی
ردیف
سبک شناختی
گرایش 1
گرایش 2
توضیحات
1
تجزیه زمینه
تجزیه فرم
تجزیه عنصر

2
مفهوم سازی
رابطه ای
تحلیلی- توصیفی و مقوله ای استنتاجی
به کار بردن نوع خاصی از صفات محرک ها و ارتباطات
3
وسعت طبقه بندی
جسورانه
محافظه کارانه
میزان وسعت دادن به جامعیت مفاهیم
4
بخش بخش سازی
عدم تمایل
متمایل
تمایل به جدا کردن ایده ها
5
مجزا سازی مفهومی
عدم تمایل
متمایل
تمیز دادن بین مقوله ها
6
یکپارچگی مفهومی
متمایل
عدم تمایل
ایجاد ارتباط درونی بین مقوله ها
7
تمایز مفهومی
عدم تمایل
متمایل
مقوله بندی شباهت ها و تفاوت ها
8
پیچیدگی شناختی در برابر سادگی شناختی
سادگی شناختی
پیچیدگی شناختی
تمایل به تفسیر یا تغییر جهان
9
سطحی نگری در برابر تعمق
سطحی نگری
تعمق
ترکیب پدیده ها
10
پیگردی
وسیع
محدود
جامعیت و شدت توسعه توجه و گستره ی آگاهی
11
تاملی در برابر تکانشی
تکانشی
تاملی
سرعت و بسندگی در فرضیات مختلف فرمول بندی شده
12
خطر پذیری در برابر محافظه کاری
خطر پذیر
محافظه کار
استفاده از فرصت ها جهت نیل به اهداف مورد نظر
13
تحمل در برابر عدم تحمل تجربیات غیر معمول
پذیرش ایده های نامعمول
ترجیح ایده های معمول
پذیرش تجربیات معمول و غیر معمول
14
کنترل سخت در برابر کنترل آسان
سخت
آسان
کنترل
15
دشواری در برابر خودکاری
سخت
آُسان
انجام وظایف تکراری
16
تسلط مفهومی در برابر تسلط حرکتی – ادراکی
حرکتی – ادراکی
تسلط مفهومی
انجام وظایف
17
رجهان های بعد حسیی
بینایی و شنوایی
حرکتی
حرکتی، بینایی و شنوایی
18
واگرایی در برابر همگرایی
واگرایی
هم گرایی
علوم در مقابل گرایش های هنری
19
متکی به زمینه در برابر مستقل از زمینه
وابسته به زمینه
مستقل از زمینه
تفسیر رویدادها نسبت به زمینه
موس38 (2000) در بررسی نرم افزارهای هندسه پویا به این نتیجه رسید که سبک های یادگیری باید بیشتر مورد توجه قرار گیرند.

2.2 یاددهی و یادگیری هندسه
والتر واتیلی در سخنرانی خود در اجلاس سالانه گروه آموزش ریاضی کانادایی ها در سال 1999 چنین اعلام کرد:
در دهه های 20 تا40، هندسه گسسته به واقع از میان رفت. این شاخه از هندسه زمینه تحقیقی مهمی در ریاضیات بوده است. این مسئله باعث شد اهمیت هندسه در دبیرستان رو به کاهش رود. اکنون هندسه اغلب به عنوان موضوعی انتخابی مطرح میشود. مجموعه ای از برهان های نامربوط و درهم.
واتیلی معتقد است جوامع پژوهشی به علت اهمیت و نقش هندسه فضایی دوباره به هندسه توجه ویژه ای نشان می دهند. صنایع کاربردهای جدیدی را برای مدل های هندسی در نظر دارند. در حال حاضر هیاهوی زیادی در زمینه ارتباطات تصویری رخ داده است. بنابراین دانشمندان در حال بررسی بحث های تصویری و فضایی و اطلاعات مرتبط با آن هستند. همزمان نرم افزارها این امکان را فراهم می کنند که دانش آموزان، معلمان و پژوهش گران مدل های هندسی را مشاهده کنند و از منظر جدیدی به برهان ها بیاندیشند.
در این بخش به بررسی تحولات تاریخی و شیوه های نوین در آموزش هندسه به خصوص در شیوه هایی که از رایانه در آموزش استفاده می شود اشاره خواهیم کرد. فرآیندهای تفکر در هندسه شامل فرآیند عینی به انتزاعی و انتزاعی به عینی را مورد بررسی قرار داده و با سطوح تفکر مدل ون هیل مقایسه خواهیم کرد. به نقش استدلال و شهود در هندسه خواهیم پرداخت و نسبت آن ها را در یک مدل واحد نشان خواهیم داد. در ادامه نیز تفاوت های جنسیتی در یادگیری ریاضی بررسی می شود.

2.2.1 تحولات تاریخی در آموزش هندسه
از روزگاران قدیم هندسه نقش پررنگی در ریاضیات داشته است. در یونان باستان آن قدر هندسه اهمیت داشت که اگر کسی هندسه نمی دانست او را در جمع ریاضی دانان راه نمی دادند. به همان اندازه که آموزش هندسه اهمیت داشت، آموزش آن نیز مهم و تاثیرگذار بود. نقشی که هندسه در قدرت استدلال به خصوص استدلال استنتاجی داشت، بر هیچ کس پوشیده نیست. از زمانی که اقلیدس اصول هندسه را بنا کرد، هندسه ی اصل موضوعی استحکام یافت و رفته رفته اقتدار کامل پیدا کرد و چنان مستحکم شد که کمتر کسی فکر می کرد بتوان این بنای محکم و استوار را تغییر داد. امّا در طول تاریخ نقش هندسه هم در محتوای آموزشی ریاضیات شدّت و ضعف داشته و بالتبع روش های آموزش آن نیز تغییرات زیادی کرده است
سالیان سال ارتباط میان شیوه های آموزشی و یادگیری هندسه، موضوع تحقیقات متعددی بوده است. (بیشاپ، 1983) ، بیش ترین تاکید در سالیان گذشته در آموزش هندسه بر اثبات قضایا و انتقال ساختارهای منظم ریاضی به دانش آموزان بوده است. اما مشاهدات صورت گرفته نشان داده است که بسیاری از دانش آموزان به مراحل بالای تفکر هندسی نمی رسند. با توجه به اهمیت اثبات کردن و وضعیت عمومی که در دانش آموزان مشاهده می شد، تحقیقاتی گسترده ای شکل گرفت. در دهه ی 70 میلادی با انتقاداتی که به این روش وارد شد، اثبات کردن به سطوح بالاتر و بعضاً به دانشگاه ها منتقل شد. آرزارلو (1997) به تغییرات روی کرد معرفت شناسی هندسه در قرن های گذشته به حداقل سه تحول عمده اشاره می کند.
1. دستگاه استنتاجی و مبتنی بر فرض های اساسی هندسه ی یونانی بعد از روی کرد تجربی مصریان و بابلیان
2. روش های نوین که از قرن 17 آغاز شد، به ویژه توسط دکارت به عنوان یک روی کرد قدرتمند برای ساخت بنای ریاضیات
3. روش مبتنی بر اصول مانند آنچه در برنامه درسی قرن اخیر توسعه پیدا کرد.
موارد فوق مثال هایی از تغییراتی است که در روند محتوایی هندسه و تاثیر آن در ریاضی و هم چنین تغییر روی کرد در آموزش هندسه در سالیان گذشته مطرح شده است.
2.2.2 شیوه های آموزش هندسه
در آموزش هندسه دو روی کرد آموزشی مهم وجود دارد. که در ادامه به تشریح آن می پردازیم:
الف) آموزشی مبتنی بر استدلال استنتاجی
در این روی کرد فرض بر آن است که هندسه را باید همان طور که صورت بندی شده و انسجام می یابد، به دانش آموزان آموزش داد. بنابر این آموزش با تبیین اصول و تعاریف آغاز می شود. ابتدا اصول اقلیدس مطرح شده سپس ، تعریف شده و تعریف نشده ها در هندسه معرفی و تبیین می شوند. در ادامه تفاوت اصل و تعریف به دانش آموزان بیان می شود. بر اساس این اصول و تعاریف قضایای هندسه به ترتیب مطرح می شوند. برای اثبات قضیه 1، فقط از تعاریف و اصول و بدیهیات می توان استفاده کرد. برای اثبات قضیهی 2 علاوه بر آن ها از قضیه ی 1 نیز می توان بهره جست و به همین شکل قضایا به ترتیب اثبات شده و ساختار علم هندسه شکل می گیرد. در این نوع آموزش تاکید بر اثبات کردن و استدلال استنتاجی است به طوری که در روند اثبات نمی توان هیچ گونه خللی وارد کرد.
ب) آموزشی مبتنی بر استدلال استقرایی
در این روی کرد دانش آموزان قبل از این که به اثبات قضایای مجرد هندسی بپردازند، ابتدا تجربه های مفیدی از آن کسب کنند و با استفاده از استدلال استقرایی نتیجه گیری کرده و صورت قضیه ها را درک کنند. در این نوع آموزشی دانش آموزان مسائل عددی زیادی را بررسی می کنند و با اشکال هندسی عجین می شوند.
استفاده از هر کدام از این شیوه ها در برهه های تاریخی مورد افراط و تفریط قرار گرفته اند. هر کجا تجربه گرایی زیاد می شد، نیاز به استدلال در هندسه مطرح می شد. و بعد از آن که با مشکلات زیادی در یادگیری هندسه ی اصل موضوعی و استنتاجی مواجه می شدند به شیوه ی آموزشی مبتنی بر استدلال استقرایی روی می آورند.
تلفیق مناسب دو شیوه ی آموزشی با غنی کردن کلاس های درسی متداول با محیط های هندسه ی پویا، ممکن خواهد بود. به این ترتیب دانش آموزان هم تجربه ی شخصی از عناصر و مفاهیم هندسی خواهند داشت و هم با ساختار هندسه اقلیدسی و دیگر ساختارهای منطقی آشنا می شوند. به این ترتیب تعامل تجربه و اثبات به وجود آید. این روی کرد آموزشی دو فایده خواهد داشت. اول آن که دانش آموزان را جذب می کرد و آن ها در یادگیری هندسه احساس موفقّیت می کنند. دوم آن که زمینه را برای درک بهتر اثبات استنتاجی فراهم می کند.

2.2.3 فرآیندهای تفکر در هندسه
تفکر در هندسه نیازمند دو فرآیند ارتباطی بین انتزاع و شهود است. این فرآیندها تناظر نسبی با دو شیوه استدلال استنتاجی و استقرایی دارند. در بسیاری از منابع نظری رشد شناختی، تفکر شهودی و انتزاعی دو حالت مجزا از تفکر محسوب میشوند. (سوان 1993)39. لیو40 و کامینگز41 (1997) دو فرآیند فرآیند تفکری از عینی به انتزاعی42 (CA) و فرآیند تفکری از انتزاعی به عینی43 (AC) را توضیح دادند.
دانش آموزان فرآیند CA را با لمس کردن اشیاء و دیدن آن ها آغاز می کنند. این تحریک های فیزیکی از طریق حواس دریافت می شوند؛ و کیفیت خاص آن از طریق نظام احساسی درک می شود. تجربه های عینی آن ها از جهان فیزیکی به تدریج به صورت یک فرمول بندی شخصی، ایده ها و یا قوانینی درباره ی چگونگی حس کردن شکل می گیرد و نهایتاً به ایجاد مفاهیم انتزاعی از تجارب مشاهده شده ختم خواهد شد. فرآیند CA به تعبیر دیگر بیان گر فرآیند تفکر استدلال استقرایی44 است. که از یک حقیقت معیّن و اختصاصی (جزء) به یک نتیجه گیری عمومی و تعمیم یافته (کل) درباره ی مفاهیم، ایده ها و قوانین می رسد. در این فرآیند به عنوان مثال دانش آموز با اندازه گیری قطرها در چند مستطیل به برابر بودن آن ها در همه مستطیل ها پی می برد.
فرآیند AC حرکت ساده ی معکوس CA نیست. بلکه حالت بالاتری از تفکر است که بستگی به توانایی استدلال منطقی و انتزاعی دارد. البته فرآیند AC هم چنین زمینه ساز یادگیری مفاهیم و قواعدی است که از یادگیری CA نشات می گیرد است. به عبارت دیگر تفکر انتزاعی برای اصول هندسی کافی نیست. با تقویت هر یک از فرآیندهای تفکر، فرآیند متضاد آغاز به کار کرده و در اثر این جریانات، دائماً چرخه ی CA <=>AC در بازخورد مثبت45 تقویت می شوند. لذا با رشد آگاهانه مهارت های منطقی، مهارت های شهودی نیز تقویت می شوند و بالعکس. با ادامه هر دو مهارت های منطقی و شهودی کامل تر و هوش مندانه تر خواهند شد. فرآیند AC از طرفی تفکر استدلالی استنتاجی46 محسوب میشود. تفکر استنتاجی یک تفکر از کل به جزء است و در فرآیند حل مسئله عمل میکند. نرم افزارهای هندسه ی پویا، امکان توسعه فرآیندهای CA را به خوبی فراهم می کنند. با تقویت این فرآیند به طور خودکار فرآیند AC نیز تقویت خواهد شد. نمودار زیر نحوه ارتباط فرآیندهای تفکر را با مفاهیم عینی و انتزاعی نشان می دهند.
سطوح تفکر در هندسه
در قرن گذشته برخی از معلمین ریاضی با آگاهی از تقسیمات پیاژه در یادگیری کودکان به بررسی صحت روش وی مشغول شدند. پیر و دینا ونهیل در دهه 50 مطالعات عمیقی در مورد یادگیری هندسه انجام دادند. این مدل تفکر هندسی را در پنج مرحله ترتیبی سطح بندی می کند. ساختار ون هیل اساس تحقیق در هندسه است. در این مدل دانش آموزان مراحل را یکی پس از دیگری طی خواهند کرد. مراحل مدل ون هیل به صورت زیر استنداند:
1. مشاهده ای / دیداری دانش آموزان اشکال هندسی را از روی ظاهر آن ها تشخیص می دهند، نه از
ویژگی های آن، مثلاً مستطیل را از روی شباهت آن با در تشخیص می دهند.
2. تحلیلی / توصیفی دانش آموزان اشکال هندسی را بیشتر از روی خصوصیات آن ها توصیف می کنند تا از روی ظاهرشان. مثلاً یک شکل هندسی مربع است زیرا 4 زاویه و 4 ضلع
مساوی دارد.
3. رابطه ای / انتزاعی در این مرحله دانش آموزان با استفاده از خصوصیات هندسی اشکال را
دسته بندی و طبقه بندی می کنند. به عنوان نمونه یک مربع نمونه ای خاص از
درک مستطیل است.
4. تعریف رسمی در این مرحله دانش آموزان در سیستمی متعارف برهان هایی را ارائه می دهند.
5. تجرد / دقت زیاد دانش آموزان می توانند سیستم های استنتاجی متفاوت را بررسی کنند و انواع
هندسه را براساس سیستم های قیاسی متفاوتی مشخص کنند.
بنا بر مدل ون هیل، دانش آموزان به ترتیب مراحل را پشت سر می گذارند. (کلمنتس و باتیستا، 1992). بر طبق این مدل رسیدن به مراحل بالاتر، به روش آموزش بستگی دارد نه به سن دانش آموزان. مدل ون هیل همانند مدل های ترتیبی مراحل مختلف رشد پیاژه47 (1960) و مراحل تفکر بلوم48 (1974)، با در نظر گرفتن گامهای رشد مفاهیم هندسه در فراگیران امکان یادگیری را افزایش داد. چرا که ون هیل در تحقیقات خود متوجه شد که استدلالهای رسمی در هندسه به صورت طبیعی در کودکان اتفاق نمیافتد و یک نظام تربیتی مورد نیاز است.
بنا به نظر ون هیل در مرحله مشاهده ای/ دیداری هنگامی که دانش آموزان یک شکل را مشخص و آن را توضیح می دهند، استدلال شان با مراحل بعدی و تحلیلی/ توصیفی متفاوت است. دانش آموز در این مرحله "براساس مشاهدات اولیه" قضاوت می کند. هیچ دلیلی برای این استدلال وجود ندارد، و دانش آموزان فقط آن را مشاهده کرده اند. در مرحله بعدی، قضاوت بر اساس "شبکه ای از ارتباطات" صورت می گیرد. تفکر دانش آموزان در مرحله تحلیلی/ توصیفی ممکن است شامل مشاهدات نیز باشد. ممکن است آن ها هر زمانی که تصویر ارائه شده ای را در نظر آورند، آن تصویر را ببینند. تصویر اساس قضاوت نیست؛ بلکه شبکه ای از ارتباطات اساس این کار است. حتی اگر شکلی ناقص طراحی شود (یا بر روی صفحه رایانه به هم بخورد)، چنین دانش آموزی اگر بداند که طراح خواسته تمام اضلاع برابر باشند، در نظر خود تغییری نمی دهد. ون هیل در ادامه می گوید که این شبکه ارتباطات وجه تمایز دو مرحله است. در ابتدا دانش آموز این شبکه ی ارتباطی را در ذهن ندارد. (ون هیل، 1986)
به محض آن که در مرحله دوم، گروهی از اشکال به عنوان مجموعه ای از صفات فرض شوند، ارتباط میان یک شکل و دیگر اشکال تبیین می شود. گونه ای ابتدایی از مفهوم مبتنی بر مشارکت شکل می گیرد. با این وجود نمی توان توضیح داد "این مسئله که این ویژگی از ویژگی دیگر نشات می گیرد چه مفهومی دارد". در مرحله 3، ساختار سلسه مراتبی دو ویژگی مهم نیست. "تنها چیزی که اهمیت دارد، ارتباط میان دو ویژگی است. این ارتباطات شبکه جدیدی از روابط را شکل می دهند. زمانی که شبکه ارتباطی دوم در قالبی کامل و با ساختاری مشخص ارائه می شود و زمانی که دانش آموز می تواند این ساختار را برای دیگران شرح دهد، این مرحله کامل شده است." (ون هیل، 1986)
زبان تخصصی و فنی این امکان را فراهم می کند که افراد در مورد ایده های ضروری در شبکه روابط با یک دیگر در تعامل باشند. "بدون وجود این شبکه، استدلال ممکن نیست". قدرت تعامل میان افراد که به واسطه زبان فنی شکل می گیرد قانونی را ترتیب می دهد: " بر طبق شبکه روابط عمل کنید" یعنی استدلال رسمی محدودیت هایی پیدا می کند. خیلی از دانش آموزان در این حوزه با مشکل مواجه می شوند. آن ها نمی دانند این محدودیت ها چیست و نمی دانند چرا این محدودیت ها را اعمال می کنند. بنا به نظر ون هیل، دانش آموز صحت یک گفته را می پذیرد، این پذیرش با قبول صحت یک گفته دیگر در ارتباط است. بدین ترتیب اصول اثبات شکل می گیرد. قوانین این ارتباط تنها از طریق تجزیه و تحلیل صورت می گیرد. عمل در شبکه ارتباطات میان گفته ها و بررسی و تحلیل این قوانین منطق را به وجود می آورد.
از نظر دیویلیر در مراحل اول دانش آموزان مطالب را در ذهن خود تجسم می کنند و از طریق تجسم استدلال می کنند. اگر آن ها بخواهند مطلبی را ثابت کنند یا آن را توضیح دهند سعی می کنند بر اساس شواهد دیداری صحبت کنند. در مرحله 2 دانش آموزان با استفاده از ویژگی های هندسی اشکال استدلال کنند. به هر حال توضیحات آن ها منطقی نیست زیرا اطلاعات اضافی نیز در این میان وجود دارد. در مرحله 3، دانش آموزان ارتباط منطقی میان ویژگی ها را درک می کنند. آن ها متوجه می شوند که یک ویژگی تلویحاً نشان گر ویژگی دیگری است. بنابر این آن ها می توانند تعاریف عقلانی و شواهد ساده ای را فراهم کنند. (دی ویلیر، 2001) پس از آن که دانش آموزان به نقش قیاس منطقی و برهان در اثبات مسائل پی ببرند در واقع به مرحله 4 رسیده اند. دی ویلیر (1987) معتقد است که استدلال استنتاجی اولین بار در مرحله سوم صورت می گیرد، در این زمان میان ویژگی های مفاهیم نوعی شبکه ارتباطات منطقی شکل می گیرد. وی می افزاید از آن جایی که دانش آموزان در مراحل اول و دوم به صحت مشاهدات خود شک ندارند، اثبات مطالب در نظر آن ها مفهومی ندارد؛ از دیدگاه آن ها اثبات تنها توضیح مطالب واضح و آشکار است.
ارتباط فرآیندهای تفکر و سطوح تفکر ون هیل
فرآیند CA تفکر دانش آموزان را با ایجاد تحریک انتقالی به گذراندن سه مراحل اول مدل ون هیل هدایت می کند. وقتی دانش آموز از طریق فرآیند شهودی به انتزاعی می اندیشد، تفکر وی در مورد هندسه پیشرفت می کند و در نهایت به مرحله ی سوم ون هیل که مرحله ی رابطه ای/ انتزاعی است می رسد. در این رابطه لیو و کامینگز (1997) بیان می کنند:
هنگامی که دانش آموز در این مفاهیم رشد می کند، طرح هندسی خود را که کلیه ی قواعد و روابطی که در این فرآیند یاد گرفته است را گسترش می دهد. و با این پیشرفت وی خواهد توانست به راه های پیچیده تری از هندسه نسبت به حالتی که قضایای هندسی را تنها حفظ کرده است، دست پیدا کند.
در طرح ون هیل، مرحله ی رابطه ای/ انتزاعی بالاترین سطحی که دانش آموز می تواند در هندسه تفکر طی کند نیست. وقتی که آن ها به این مرحله می رسند، آماده می شوند به مراحل بالاتر یادگیری از طریق AC نیز دست پیدا کند. به طوری که به او اجازه داده می شود که مفاهیم آموخته شده ی جدید را قبول کند. به این ترتیب که اگر بعد از حل مسائل فرصتی به وی داده شود که بتواند مثال هایی را ارائه دهد، و مدام مراحل 1 تا 3 مدل ون هیل را مرور کند، لزوم و میل رفتن به مراحل بالایی برای او ایجاد می شود.
فرآیند CA در واقع همان تفکر هندسی دانش آموزان از مرحله مشاهده ای/ دیداری تا مرحله ی رابطه ای/ انتزاعی مدل ون هیل است. هنگامی که آن ها به این تفکر انتزاعی دست پیدا کردند با ادامه مسیر در فرآیند تفکری AC به حل مسائل شهودی می پردازند.
به نقل از هوفر49 (1981) در متون استانداردهای آموزشی هندسه از دانشآموزان انتظار میرفت از ابتدا از استدلالهای استنتاجی رسمی استفاده کنند. که خوش بختانه در دههی اخیر برنامههای درسی در متون هندسه تغییر کرده و آن را بهبود بخشیدهاند. به طوری که با مدل ون هیل سازگار بوده و شامل سه مرحله نخست و فرآیند اکتشافی شده است. چیزی که وعدهی بزرگتری است این است که به موازات آن توسعهی نرمافزاری هندسه که شامل مدل ون هیل می شوند امکان ارائهی نرمافزارهای هندسه ی پویا را فراهم آورده است.

ارتباط سطوح تفکر و مهارت های هندسی
هوفر (1981) جدولی را برای توضیح نحوه ارتباط بین مراحل تفکر هندسی (تشخیص، مشاهده، مرتب سازی، اثبات و تجرد) و مهارت های هندسی. (منطقی، دیداری، کلامی، ترسیمی، و کاربردی) پیشنهاد داده است. در جدول زیر ارتباط سه تفکر هندسی و سه دسته از مهارت ها را نشان می دهد.50
جدول ‏2- ج: توزیع مراحل تفکر هندسی بر اساس مهارت های هندسی
مهارت ها
تشخیص
مرحله 1
تحلیل
مرحله3
اثبات
مرحله 4
مشاهده
تشخیص اشکال هندسی از روی تصاویر بدون دانستن ویژگی های آن ها
تشخیص ارتباط بین انواع اشکال هندسی
استفاده از اطلاعات مربوط به اشکال هندسی برای استنباط اطلاعات بیشتر
کلامی
نام گذاری اشکال هندسی
توضیح دادن جملاتی که اشکال هندسی را توصیف می کنند.
توصیف ارتباط بین اشکال هندسی. تعریف مفاهیم هندسی به صورت شفاف.
فهمیدن تفاوت بین تعاریف، اصول و قضیه ها
منطقی

فهمیدن معنای بقاء ساختار شکل در موقعیت های مختلف
استفاده از ویژگی های اشکال هندسی برای تعیین ارتباطات با زیر مجموعه های آن
استفاده از منطق برای اثبات و توانایی استنباط دانش جدید از حقایق
در نمودار فوق جایگاه سه دسته مهارت های دیداری، کلامی و منطقی را در روند CA و نسبت به مدل ون هیل مشاهده می کنید.
2.2.4 استدلال در هندسه
طبق تعریف سنتی اثبات، تایید (اقناع یا توجیه) صحت یک عبارت ریاضی است. اثبات برای از میان بردن تردید نسبت به یک گزاره در بین فرد و یا جمع مورد نیاز قرار می گیرد. ریاضی دانان از طریق ساختار استنتاجی مطالب جدید ریاضی را اثبات می کنند. (لاکاتس، 1976). در پایه گذاری مطالب ریاضی سئوالاتی مطرح می شود، حدس هایی ارائه می شود، مثال های نقضی گفته می شود و حدسیات اصلاح می شود؛ هنگامی که این فرایند به سئوال مهمی پاسخ دهد یک برهان به وجود می آید. اما در خصوص منشاء اثبات این چنین نقل می کند:
مسلماً ارتباط میان اندیشه ما با اندیشه دیگران شوکی به همراه دارد که باعث ایجاد تردید می شود و حس اثبات در انسان زنده می شود. اثبات نتیجه بحث و بررسی است (پیاژه، 1928)
ون هیل در بررسی مراحل رشد پیاژه51 (1960) و مراحل تفکر بلوم52 (1970) متوجه شد که استدلالهای رسمی در هندسه به صورت طبیعی در کودکان اتفاق نمیافتد. و برای این مقصود یک نظام تربیتی مورد نیاز است. پنج مرحلهی تفکر در هندسه به ترتیب شامل تشخیص، مشاهده، تجزیه و تحلیل، استدلال رسمی و بیان ریاضی میباشد. در متون استانداردهای آموزشی هندسه از دانشآموزان انتظار میرفت از ابتدا از استدلالهای استنتاجی رسمی استفاده کنند. (هوفر 1981).
دی ویلیر (1998) نشان داد، تنها هدف از اثبات، گرفتن مهر مجوز نهایی است. اثبات ضمانت کاملی از درستی یک گزاره است. وی کارکردهای اثبات شامل موارد زیر می باشد:
1. اعتبارسنجی53 (پذیرفتن صحت مسئله)
2. توضیح دادن54 (ایجاد درک از اینکه چرا این رابطه درست است)
3. کشف 55 (کشف و نوآوری یک نتیجهی جدید)
4. تنظیم روابط56 (سازمان دهی نتایج به یک ساختار استنتاجی)
5. چالش هوشمندانه57 ( بررسی موقعیت های خاص نشات گرفته از ترسیم یک اثبات)
6. ارتباطات58 (انتقال دانش ریاضیات)
از دیدگاه ساختن گرایی در یادگیری ریاضیات هم زمان با ایجاد شبکه اطلاعات و معانی ریاضی، فرایند اثبات مطالب برای آن ها مهم جلوه می کند. در بازسازی مطالب و دانسته های ریاضی، دانش آموز باید تصمیم بگیرد که صحت ریاضی از نظر وی چیست. هر ایده جدید بر اساس ساختار استدلالی و دانسته های موجود تایید و رد می شود. هر کدام از این تصمیمات از ساختارهای موجود حمایت می کند یا منجر به ساماندهی دوباره آن ها می شود.
هلند (1996) بین مراحل اثبات و درک آن به شکل زیر تمایز قائل شده است.
الف) بحث59: ارتباط قوی برای فعالیت. مبتنی بر دیدن. جملات با قصد رسیدن به
یک اعتبار جهانی شکل می گیرند. مشخصه این مرحله بیان "آهان" است. یعنی ایده ی جدیدی به ذهنم رسید.
ب) نتیجه گیری معطوف به محتوا60: فرم گفتگو فعالیت های فراگیران را توضیح می دهد. هدف حفاظت از
اعتبار جهانی است که باید اثبات شود. نه حقیقتی که هندسه
می تواند به طور کامل فرض بگیرد. استدلال داده شده با مشخصات یک مرحله ای که ممکن است با شکل مطابقت یا فاصله داشته باشد.
ج) نتیجه گیری رسمی61: استدلال هندسی بر اساس استدلال استنتاجی. هدف اصلاح متون
ارائه شده در سطرهای اثبات هاست. به شکلی که هر سطری مشروط
و یا در پی سطر قبلی آورده شده باشد. تنها در نظریه ی استنتاجی
به شکل محسوس یک نظریه به اثبات می رسد.
به نظر مارتیل و هارل، مردم در زندگی روزمره معتقدند اثبات یک قضیه، لزوماً باید آن ها را قانع کند. بل (1976) اظهار داشت که به دنبال بررسی ذهنی یک سری موارد که از سئوالی نشات می گیرند دانش آموزان در مورد یک قضیه قانع می شوند. این مسئله باعث می شود یک ایده به قضاوت منجر شود. به نظر بل، بررسی درونی و حصول تایید یا رد یک قانون کلی قضیه ای را اثبات می کند. یک فرد قانون کلی ای را با دیگران نقد و بررسی می کند. در این روش ابتدا مطالب به طور شفاهی عرضه می شود. سپس موارد در قالب کتبی باعث می شود این اصل به اثبات برسد. بنابر این تا زمانی که دانش آموزان دانشی را در صورت و وجه عمومی درک نکنند و به لزوم اثبات آن پی نبرند هدف اثبات رسمی مطالب را درنمی یابند.
پژوهش ها نشان می دهد که دانش آموزان در استفاده از برهان استنتاجی با مشکل مواجه می شوند (هویلز، 1997؛ هانا، 1998؛ لهرر و چازان، 1998). شاید این مسئله را بتوان اینجور توجیه کرد که اغلب نوجوانان 13 تا 15 ساله "تعمیم دهندگان عینی" هستند نه "متفکران رسمی"؛ با توجه به اینکه مطالب درسی مورد نظر برای هندسه دوران دبیرستانی اغلب مهارت های مرحله 4 مدل ون هیل را در بردارد، این اشتباه باید در طراحی محیط های یادگیری هندسه لحاظ شود. این مسئله تلویحاً نشان می دهد که ما باید مسیری واقع گرایانه برای معلمین فراهم کنیم تا از آن طریق بتوانند دانش آموزان شان را در رسیدن به موفقیت یاری کنند.
اثبات کردن یک قسمت اساسی از ریاضیات به عنوان یک علم می باشد. اما در برخی کشورها مانند سوئد، بسیاری از دانش آموزان اثبات را برای اولین بار در دانشگاه ملاقات می کنند. در مدارس سوئد بعد از تغییرات برنامه درسی سال 1969 اثبات کردن تقریباً از بین رفته است. علت این تغییر واکنش به عدم وجود شرایط مباحثه بود. در بسیاری از کشورهای دیگر نیز برنامه ریزی های درسی در دهه 80 و 90 اثبات کردن موقعیت رو به کاهشی در دارد. (هانا62 1995 و نیس63 2001) در همان زمان تمایل به تحقیق درباره اثبات کردن و استخراج فرمول در بسیاری از کشورها افزایش یافته است. به نظر می رسد بسیاری از محققین می خواهند در مورد روش ارتباط اثبات ها و اثبات کردن در آموزش ریاضیات بازاندیشی کنند. در دهه 70 اساتید دانشگاه متوجه شدند که دانش آموزان در درس های نخستین نمی توانند به سوالاتی که با اثبات کردن و تئوری ها سر و کار دارند، پاسخ دهند. معلمین مسئله را با انتقال آن به درس های بالاتر حل کردند. بومان (1979).
هنگامی که در فضای هندسه ی پویا کار می کنید، دانش آموزان ممکن است با حرکت دادن اجزای شکل هندسی و درست کردن حالت های مختلف از شکل مقید نسبت به اعتبار آن قانع شوند. از این رو در استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا با دانش آموزان دغدغه مربی ریاضی یافتن راهی است که با گفتگو، اکتشاف، توضیح فریب انگیز همراه توجیه کردن و دلیل آوردن و تصدیق کردن می باشد. (هویلز و جونز 1998) کار و وظیفه ی اصلی یافتن مجموعه مسائلی است که در آن نسبت به درستی مسائل نوعی بصیرت شکل پیدا شود. به این ترتیب نرم افزارهای هندسه ی پویا در قانع شدن دانش آموزان و رسیدن به مرحله ی نیاز به اثبات کمک شایانی خواهند کرد.

2.2.5 شهود در هندسه
افزایش اهمیت درک بصری و فضایی در دنیای امروز چالشی را پیش دانشمندان قرار می دهد. این اعتقاد وجود دارد که یادگیری هندسه نباید به اثبات رسمی اقلیدسی محدود شود. بنا به این باور لهرر و چازان (1998) اعلام کردند که استدلال فضایی و تفکر شهودی باید به برنامه ریاضی اصلی افزوده شود گلدنبرگ، کوکو و مارک (1998) می گویند پیش از آن که دانش آموزان بتوانند موارد ثابت را در روابط ریاضی بیابند باید قادر باشند این روابط را در ذهن خود تجزیه تحلیل کنند و در مورد آن ها حساسیتی ارائه دهند. این مسئله باعث می شود بعد بتوانند از ابزار تحلیلی استفاده کنند.
دی ویلیر (1999) معتقد است که دانش آموزان فرآیندهای ریاضی را با شمه ای از مرحله ای که در آن به سر می برند طی میکنند. به عنوان مثال، در مرحله مشاهده (مرحله 1) تمام فرآیندها با کاربرد شواهد بصری مرتبط است. هم چنین استفاده از نرم افزار پویا به پیشرفت مراحل 1 و 2 کمک می کند. این مسئله باعث می شود دانش آموزان مهارت های فرآیند ریاضی را آسان تر انجام دهند. با وجود آن که واژه شهود اغلب در مرحله 1 مدل ون هیل به کار می رود (ون هیل، 1986؛ دی ویلیر، 1999)، حالت شهود در تمام مراحل تفکر هندسی کاربرد دارد. به نظر وی شهود فاکتور مهمی در پیشرفت دانش آموز است. برداشت دی ویلیر از مهارت هایی که در هر مرحله ون هیل به کار می رود. دانش آموز از شواهد بصری در مرحله یک ون هیل استفاده می کند. وی در بررسی مدل ون هیل اظهار می دارد که پیشرفت در مدل ون هیل نیازمند طی شدن مراحل قبلی نمی باشد:
اغلب افراد مناسب ترین مرحله را در انجام فعالیت خود به کار می برند. ما به عنوان معلم ممکن است فکر کنیم یک فعالیت در مرحله سه یا چهار قرار دارد، اما من اغلب شاهد بوده ام که دانش آموزان المپیادی چنین مسائلی را با استفاده از شهود (مرحله 1 مدل ون هیل) حل می کنند. این مسئله بدان معناست که در صورت نیاز آن ها قادرند در مراحل فکری بالاتری مسائل را بررسی کنند (دی ویلیر، 2001).
در ابتدای دهه ی هفتاد میلادی، بیشاپ (1983)، ارتباط کاربرد ابزار و ارزیابی آزمون مهارت های ویژه را بررسی کرد. او نشان داد که تجربه ی قبلی دانش آموز در ارتباط با مطالب آموزشی می تواند باعث سطوح متفاوت عملکردی در ارتباط با قابلیت تجسم فضایی شود. در تحقیقی در مورد یادگیری هندسه، کلمنتس و باتیستا (1990) ادعا کردند، مطالب عینی می توانند فرآیند یادگیری هندسه را حتی در دانش آموزان بزرگ سال بهبود ببخشد. شونفیلد (1986) در همین راستا معتقد است که ارتباط میان فعالیت های عملی و استنتاجی می تواند باعث تقویت دو جانبه ی یادگیری شود. او بیان می کند که دوگانگی میان عملیات تجربی و استنتاجی در هندسه اشتباه است و می گوید اغلب دانش آموزان روش های تجربی و استنتاجی را در حوزه های مجزا در نظر می گیرند و بر این باورند که هر کدام از آن ها اعتبار خاصی را به نتایج فعالیت ها می دهند. به عبارتی خیلی از دانش آموزان در انتهای دوره راهنمایی "عمل گرایان بی تجربه" اند. در نظر آن ها بررسی مسائل هندسه ی سنتی در واقع آزمون و خطاست.
ارتباط میان فعالیت ها و مطالب آموزشی و ترسیم دانسته های هندسی مبتنی بر آگاهی دانش آموزان از حوزه های مرجع و ارتباط میان این مرجع و مطالب و اشکال ریاضی است. دانشآموزان در تفکر شهودی میتوانند به حل مسائل هندسه و منطقی بپردازند، اگر چه تفکر شهودی تنها مسائلی که در لحظهی حال وجود داشته باشد و این که بتوان از طریق انجام عملیات فیزیکی دست کاریهایی را در مسئله صورت دارد، را حل میکند. به عنوان مثال تفکر شهودی نمیتواند مسائل انتزاعی کلامی را حل کند. در مقایسه میتوان گفت تفکر انتزاعی رسمی از حالتهای ذهنی سرچشمه میگیرد تا از کارکردنهای فیزیکی. در واقع مهارت های حل مسئله که به تجارب شهودی بستگی ندارند.
ایزنبرگ و دری فاس (1991) در تحقیق خود متوجه شدند علی رغم آن که بسیاری از معلمین و ریاضی دان ها به مزایای تصاویر شهودی تاکید می کنند، خیلی از دانش آموزان تفکر الگوریتمی را به نگرش شهودی ترجیح می دهند. آن ها معتقدند علت این مسئله تلاش های شناختی است که باید در تفکر شهودی نیز صورت بگیرد. با این وجود آن ها به روش بصری تاکید دارند. از این طریق می خواهند دانش آموزان را یاری کنند تا میان جنبه های بصری و تحلیلی یک مفهوم ریاضی ارتباط برقرار کنند. وینر و کپلمن معتقدند علی رغم آن که بسیاری از ریاضی دانان و معلمان ریاضی ترجیح می دهند بینش شهودی را به کار ببرند، این مهارت تنها پس از سال ها آموزش استدلال رسمی کسب می شود. بنابراین، دانش آموزان نمی توانند به بینش شهودی خود متکی باشند زیرا این شهود هنوز در آن ها وجود ندارد. این دو محقق، برخلاف ایزنبرگ و دری فاس بر این باورند تا زمانی که دانش آموزان نتوانند بر اساس شهود استدلال کنند، معلمین نباید آن ها را به این کار مجبور کنند. با همه این اوصاف هر دو گروه از محققین معتقدند، استدلال شهودی مهارت مهمی برای ریاضی دانان محسوب می شود. بنابراین لازم است به دانش آموزان یاد دهیم که از بینش شهودی در مراحلی مناسب استفاده کنند. از این طریق می توانیم استدلال شهودی ریاضی دانان را شبیه سازی کنیم.

2.2.6 نظریه راست مغزی و چپ مغزی
تحقیقات روان شناسی نشان می دهد که مهارت های فضایی، مانند تجسمی ذهنی از یک تصویر در نیم کره ی راست مغز فرآیند سازی می شوند. در عین حال افکار تحلیلی و منطقی در نیم کره چپ مغز رخ می دهند (باتیستا، 1990) از آن جایی که برنامه درسی هندسه به برهان استنتاجی تاکید می کند، دانش آموزان قادر نیستند به خوبی مهارت های بصری و فضایی را در خود بهبود بخشند (گلدنبرگ، کوکو و مارک 1998).
نظریه راست مغزی و چپ مغزی به ساختار و وظایف مغز انسان می پردازد و معتقد است که دو بخش راست و چپ مغز، دو حالت از تفکّر را کنترل می کنند و به طور زیستی و معمول، یکی از دو نیم کره ی مغز بر دیگری غلبه دارد و موجب راست دستی یا چپ دستی می شود که آن را غلبه ی طرفی64 گویند. این تحقیقات بر روی ساختار و عملکرد مغز نشان داده که توانایی های تفکّر دو نیمکره ی مغز بدین شرح است:
جدول ‏2- د: تفکر در دو نیم کره ی مغز
توانایی های نیم کره چپ مغز
توانایی های نیم کره راست مغز
تفکّر منطقی65
تفکّر تصادفی66
تفکّر ترتیبی67
تفکّر شهودی68
تفکّر عقلانی69
تفکّر کل نگری70 ( گشتالتی)
تفکّر تحلیلی71
تفکّر ترکیبی72
تفکّر عینی73
تفکّر تجریدی ( انتزاعی74)
تفکّر استقرایی ( جزء نگری)
تفکّر قیاسی ( کل نگری)
به طور کلی، برنامه های آموزشی مدارس، بیشتر توانایی های تفکّر چپ – مغزی را تقویت و کمتر از توانایی های راست – مغزی استفاده می کنند. موضوعات درسی چپ – مغزی به تفکّر منطقی، تجزیه و تحلیل و دقت تاکید می ورزند و موضوعات درسی راست – مغزی به انواع هنرها و زیبایی شناسی، احساسات و فعالیت های خلاق و تخیلی اهمیت می دهند.

در مدل ون هیل، مهارت های دیداری به عنوان مرحله پایه محسوب شده و رسیدن به مرحله استدلال های غیر شهودی مستلزم عبور از این مرحله انگاشته می شود. دی ویلیر و همکارانش در مباحثات خود جایگاه شهود را بر خلاف ون هیل به صورت خطی نمی دانند. شکل زیر ارتباط بین قابلیت های نیم کره های مغز را با سازه های یادگیری ارائه شده توسط اورنستاین75 مطابقت می دهند.
جدول ‏2- ه: کارکرد نیم کره های مغز
نیم کره چپ (دست راست)
نیم کره راست (دست چپ)
مقایسه کل ها
تصویر کلی
منطق رسمی، توالی و استنتاج
ایجاد ارتباط
شمارش و اندازه گیری
کارگروهی
قسمتی از کل
تجسم و ارائه مثال
محتوا
دربرگیرنده (محتوی)
آن ها نحوه تعامل محتوا و محتوی، جزئیات با کلیات، تجسم و بیان کردن، را در نرم افزارهای دانش آموزی را مورد بررسی قرار دادند.
هانافین و اسکات (1998) تحقیقی درمورد تاثیر ظرفیت حافظه ی فعال دانش آموزان با موضوع بررسی میزان آموزش، قابلیت حل مسائل فضایی و تاثیر نمره ی ریاضی دانش آموزان بر موفقیت در درس هندسه ی فضایی انجام دادند. آن ها دریافتند که نمرات بالا در درس ریاضی تنها عامل موفقیت دانش آموزان در بررسی، حدس و توضیح مسائل هندسی نیست. دانش آموزانی که نمره ی ریاضی بالاتری داشتند در به یاد آوردن مطالب بنیادی امتحان موفق تر بودند امّا آن ها موارد شهودی را به همان خوبی درک نمیکردند. هناقین و اسکات معتقدند افرادی که در درس ریاضیات ضعیف تر هستند در فعالیت های ریاضی غیر سنتی موفقیت بیشتری دارند که این واقعیت جالب توجّه است. برای سطوح مختلف آموزشی به ویژه سطح دبستان و راهنمایی که دانش آموزان هنوز توانایی ادراک مفاهیم مجرد پیدا نکرده اند، لازم است مفاهیم آموزشی به ویژه مفاهیم ریاضی برای تدریس در قالب الگوهای تدریس خاصی قرار گیرند.
نتیجه مطالعات انجام شده گویای این مطلب است که انسان به عنوان عامل اصلی در فرآیند یادگیری دارای دو بعد اساسی است. که یک بعد آن شامل توانایی های ذهنی، منطقی، محاسباتی می باشد که در مجموع بستر درک مفاهیم مجرد می باشد. و بعد دیگر شامل ابعاد عاطفی، احساسی، هیجانی است که منشاء ادراکات تجسمی می باشد. لذا در فرآیند آموزشی لازم است این دو بعد از تفکر دانش آموز، یعنی تفکر منطقی و شهودی را در زمینه های مختلف مورد توجه و تربیت قرار دهند. ایجاد موقعیت های برای ارتباط این دو بعد در محیط های نرم افزاری فراهم شده است. در بررسی نرم افزارهای آموزشی ریاضی به نحوه ی تقویت دو بعد بیشتر اشاره خواهد شد.
تفاوت های جنسیتی در یادگیری
مطالعه در روش های یادگیری بین دختران و پسران به خصوص در درس ریاضی در قرن گذشته بسیار مورد مطالعه قرار گرفته است. در تست تفاوت های روان شناختی دانش آموزان که توسط آناستازی (1985) ارائه شد مشخص شد تفاوت گرایش های استعدادی پسران تا قبل از دوره ابتدایی مشخص نمی شود. هال پرن76 (1974) و همکاران معتقدند تفاوت ها در دختران و پسران در سنین 13 تا 16 سالگی بروز پیدا می کند. (فنما77 و کارپنتر78) معتقدند این تفاوت ها تا سن بلوغ دیده نمی شوند. مکوبی79 و جاکلین80 (1974) با این موضوع موافق بوده و اذعان داشتند در سن 12 سالگی در پسران مهارت های ریاضی سریع تر از دختران رشد می یابد. در دوره دبیرستان نیز، زمانی که بر اهداف شناختی سطوح بالا تاکید می شود پسران نسبت به دختران دارای کارایی بالاتری هستند. از طرفی در فعالیت هایی که به پیچیدگی کمتری نیاز دارد، دختران نسبت به پسران کارآمدترند.
از دیگر نتایج مطالعات فوق مشخص شد پسران در استراتژی حل مسئله موفق ترند. در حالی که پسران بیشتر به استراتژی های انتزاعی تمایل دارند، دختران در استفاده از استراتژی های عینی مانند مدل سازی، محاسبه و شمارش بهتر عمل می کنند. دختران برای جل مسائل ریاضی از استراتژی های عینی کمک می گیرند. سودر81 معتقد است به همین دلیل درک آن ها از ریاضیات کمتر است. این موضوع باعث می شود دختران کمتر از پسران به ریاضیات علاقه مند باشند. و علاقه کمتر موجب یادگیری کمتر می شود. هودانبُسی82 (2001) در مطالعه خود در بررسی تفاوت های یادگیری بین دختران و پسران. علت موفقیت بیشتر دختران در آزمون های گرایشی ریاضی را به خاطر حل سریع مسائل کلامی توسط دختران دانست.
تفاوت های یادگیری در پسران و دختران از دبیرستان و در ادامه در دانشگاه بیشتر خود را نشان می دهند. هم چنین مطالعات تایید می کنند که بیشتر پسران در دوره های پیشرفته ریاضی که فعالیت های پیچیده ای را در دبیرستان و دانشگاه را در بر می گیرد شرکت می کنند. (لین)

عناصر متضاد و مکمل
در شرایط سنی دانش آموزان دوره راهنمایی، اولین تلاش ها برای ورود به حوزه عملیات صوری انجام می پذیرد. در واقع دانش آموزان در مرز ورود به این حوزه هستند. نه آن قدر توان مند شده اند که بتوانند به طور کامل به امور انتزاعی بپردازند و نه این که نسبت به شکل ها و مسائل ظاهری و توجیهات ارائه شده قانع می شوند. لذا در این دوره استفاده حساب شده از ترسیم های شهودی و سوق دادن آن ها به مفاهیم مجرد از اهمیت زیادی برخوردار است. تعجیل در این امر موجب بی زاری و ترس دانش آموزان از مسائل اثباتی شده و تعلل نیز ذهن آن ها را نسبت به دنیای وسیع مجردات کند می کند. یافتن شیوه ی متعادل در تقویت این ابعاد امری ضروری از طرف معلم محسوب می شود.
چینی های تائوئیسم در بیان ساختارهای روانی انسان، از تعابیر"ین" و "یانگ" یعنی جنبه های زنانه و مردانه شخصیت انسان صحبت می کنند. آن ها معتقدند بشر یک موجود دو جنسی است و یک مرد دارای عناصر مکمل زنانه و یک زن دارای عناصر مکمل مردانه است. یونگ (1875)، با مطالعات گسترده ای که در روانشناسی شرق داشت، در روان شناسی تحلیلی خود دو مفهوم آنیما و آنیموس را معرفی کرد.

در نمودار فوق، در بطن فرآیندهای شهودی، به وجود نوعی منطق اشاره می شود و در فرآیندهای منطقی نوعی از شهود قرار دارد. در واقع این دو عنصر متضاد که در خلقت نیز در قالب جنس مونث و مذکر بروز کرده است، به نوعی با هم در ارتباط بوده و در وجود هر کدام بخشی از دیگری نهفته است.
نرم افزارهای هندسه ی پویا شرایط مناسبی را برای اشباع بصری و لزوم پرداختن به فرآیندهای منطقی فراهم می کند. بنا بر این هم موجب تقویت مهارت های دیداری شده به امور منطقی و اثبات می پردازد.
2.3 نرم افزارهای هندسه پویا
هندسه ی سنتی بخشی از ریاضیات است که در آن به بررسی مسائل هندسه بر روی کاغذ و قلم و با تاکید بر مهارت های استدلالی می پردازد. تثبیت اشکال در کاغذ موجب شده است این نوع از هندسه هندسه ی استاتیک یا ایستا نامیده شود. در این هندسه به دلیل محدودیت های ابزاری ناچار به اضافه کردن فرض های ناخواسته در مسئله هستیم به این ترتیب از آزادی های شکل صرف نظر می شود. در مقابل در روی کردی دیگر، هندسه ای به نام هندسه ی دینامیک یا هندسه ی پویا به دانش آموز فرصت داده می شود، محدودیت های ترسیمی در فضای کاغذ و قلم را کنار گذاشته، با دقت بیشتر و در فضایی هوشمندتر به بررسی مسائل بپردازد. در این محیط با کم کردن فرض های ناخواسته امکان دیدن خواص اشکال هندسی بیشتر می شود.
همان گونه که از نام دینامیک مشخص می شود، هندسه دینامیکی فعالیت های یادگیری ویژه ای را برای کاوش گری اصول و مسائل هندسی در محیطی با امکان دست کاری و ایجاد تغییرات در شکل فراهم می آورد. هندسه دینامیکی یک تجربه یادگیری جدید نیست، بلکه پیش از این نیز جنبه کاربردی آن در مصر مورد توجه بوده است. (مازان 1995) به علاوه به نظر می رسد کاربرد فن آوری رایانه ای در مراجعه دوباره به نگاه دینامیک به هندسه موثر بوده است. در حالی که فن آوری های دیگر مانند ماشین حساب های گرافیکی، فیلم های ویدئویی، اینترنت آن قدر نمی توانستند در آموزش موثر باشند، این شیوه یک راه تعاملی را برای یادگیری هندسه مطرح می کند.
محیط های هندسه ی پویا نوعی آزمایشگاه برای یادگیری ریاضی محسوب می شوند. برای حصول نتایج موثر در روش آزمایشگاهی ابزار یا وسایل باید ساده، متحرک و حتی المقدور انعطاف پذیر باشند. این موارد مطابق با محیط های هندسه پویا و درست بر خلاف محیط های یادگیری هندسه ی ایستا است. لذا برای یادگیری فعال لازم است محیط های هندسه ی پویا را به فرآیند یادگیری بیفزاییم. نرم افزارهای هندسه اعم از لوگو و نرم افزارهای پویا، محیطی منعطف، چند منظوره و غنی را به عنوان یک آزمایشگاه ریاضی برای اکتشاف مفاهیم و درک و بازنمایی آن ها ایجاد کرده و مهمتر از این بین مفاهیم عینی و مجرد ارتباط برقرار می کند. (کاپوت و تامپسون 1994)83
2.3.1 اشکال پویا
اشکال هندسی پویا اشکالی هستند که در آن ها امکان تغییر و حرکت وجود دارد، بدون آن که شاکله ی خود را از دست بدهند. در تعریف متوازی الاضلاع شرطی برای محدود کردن طول اضلاع، تناسب ظاهری آن ها، زاویه ی بین دو ضلع و نحوه ی قرارگیری در صفحه وجود ندارد. این محدودیت های محیط هندسی است که همواره یک شکل با چهار زاویه قائمه به حالت افقی و نسبت اضلاع خاص را به دانش آموزان متوازی الاضلاع معرفی می کند. متوازی الاضلاع دینامیک یک متوازی الاضلاع است که زاویه ی داخلی آن قابل تغییر و طول اضلاع آن می تواند کوتاه یا بلند شود. بدون آن که با این تغییرات از وضعیت متوازی الاضلاع بودن خارج شود. یک متوازی الاضلاع جدا از محدودیت های محیط های ایستا دارای آزادی عمل زیادی است. با دیدگاه دینامیک امکان مشاهده ی واقعیت متوازی الاضلاع بیشتر می شود.یک متوازی الاضلاع پویا ویژگی های اصلی متوازی الاضلاع را دارد. یعنی اضلاع مقابلش برابرند و اقطارش منصف یک دیگرند.

شکل ‏2- ج: تصاویری از یک متوازی الاضلاع پویا
برای پویا کردن یک شکل لازم است نکاتی را در نظر گرفت. یک لوزی پویا ممکن است هیچ قیدی برای زاویه و طول اضلاع نیاز نداشته باشد. اما به جهت محدودیت هایی که انسان دارد ناچار است قیدهایی را خود بر آن وارد کند و روندی تدریجی در جهت پویا کردن آن را سپری کند. ابتدا زاویه ی بین اضلاع آن را در محدوده ای خاص تغییر و نتیجه را مورد ارزشیابی قرار دهد. در شکل زیر این عمل در چند فریم به نمایش درآمده است. هم چنین با ثابت نگه داشتن زاویه می توان طول اضلاع را تغییر داد. و سپس تغییرات را در هر دو مورد ارزیابی کرد. گلدنبرگ84 و کوکو85 (1998) این یک حالت را نمونه ای از کلیه لوزی های ممکن می دانند.
2.3.2 آموزش هندسه با رایانه
هندسه به خاطر فراهم آوردن محیطی شامل مفاهیم متنوع و غنی، جایگاه مهمی را در برنامه ی درسی ریاضیات دوره دبیرستان دارد. از جهت روان شناسی، هندسه مفاهیم انتزاعی و تجسمی را در بر می گیرد. هندسه نقش مهمی در رشد مهارت های حل مسئله را ارائه می دهد. هم چنین این گونه مهارت ها و مفاهیم پس از پایان تحصیلات در زندگی روزمره مورد استفاده قرار می گیرد. با معرفی و کاربرد فن آوری در برنامه درسی دبیرستان، به ویژه در قالب نرم افزاهای رایانه ای، روش های جدید آموزشی پدیدار شدند.
در خصوص تاثیر رایانه در آموزش پژوهش هایی گسترده و وسیع صورت گرفته است که پیامد آن موثر دانستن استفاده مناسب از فن آوری رایانه ای در بهبود آموزش است. ماتراس (1991) معتقد است به همان دلیل که ما از فن آوری در منزل استفاده می کنیم لازم است رایانه را در کلاس به خدمت بگیریم.
یکی از ملزومات استفاده از روی کرد ساختن گرایی در یادگیری استفاده از فن آوری است که موارد آن شامل موارد زیر می باشد:
1. استفاده از پایگاه های اطلاعاتی در اینترنت جهت گسترش ارتباطات با دیگران
2. استفاده از نرم افزارهای قدرتمند به عنوان ابزاری برای تفسیر و خلق دانش توسط دانش آموز
3. ارائه از محتوای تعاملی و چندرسانه ای- صفحات گسترده- عکس های دیجیتالی با استفاده از فن آوری رایانه
مورگان (1996) چهار سوال کنترل را برای مشخص کردن و ارزیابی برنامه درسی در ارتباط با فن آوری پیشنهاد می دهد:
1. چگونه فن آوری دانش آموزان را برای مواجه شدن با تغییر مفاهیم آماده می کند؟
2. چگونه فن آوری بهره ی یادگیری را ارتقاء می بخشد؟
3. چگونه فن آوری فعالانه دانش آموزان را درگیر فعالیت یادگیری می کند؟
4. چگونه فن آوری دانش آموزان را برای رسیدن به مراحل بالای مدل ون هیل تهییج می کند؟
این سوالات برای ایجاد ارتباط بین پیاده سازی فن آوری و نظریه های شناختی طراحی شده است. عمده تحقیقات در زمینه استفاده از رایانه در محیط های آموزشی به دانش آموزان و پیشرفت نرم افزارهای مورد استفاده آن ها متمرکز است. هویلز و ناس (1994) معتقد بودند که استفاده از نرم افزار هندسی باعث می شود درک هندسی افزایش یابد. سالاوی و نوریس در سال 1998 اظهار داشتند که استفاده از نرم افزار باعث می شود دانش آموزان بتوانند کار خود را ارائه دهند. این مسئله محرک موثری در امر آموزش است. ساترلند و بالاچف (1999) اعلام کردند که تصاویر رایانه ای باعث می شوند که دانش آموزان دانش ریاضی کسب کنند. به تعبیر آن ها:
ما معتقدیم که محیط های آموزشی مبتنی بر رایانه از طریق طبیعت واسطه گری اشیاء روی صفحه ی نمایش گر و تعاملات دانش آموز، دسترسی به دانش ریاضیات رسمی را فراهم می کند. از نظر معلم رایانه امکان اجرای نمایشی اشکال را فراهم می کند و این مسئله باعث جذب دانش آموزان می شود.
نحوه ی استفاده از رایانه در آموزش هندسه را به طور کلّی می توان در 4 سطح در نظر گرفت:
1. هندسه ی ترسیمی
در مرحله ی اول از رایانه ها برای آموزش هندسه، استفاده هایی عمومی و معمول صورت می پذیرد. برای مثال شکل های هندسی دقیق تر ترسیم شوند. نرم افزارهای ویژه ای برای این منظور طراحی شده اند. هم چنین از نرم افزارهای مهندسی مانند اتوکد می توان در این زمینه یاری جست.
2. آموزشی چندرسانه ای هندسه
مطالب آموزشی به کمک ابزارهای رایانه ای دسته بندی شده و با شیوه ی آموزش برنامه ای به صورت مرحله به مرحله به فراگیران منتقل شوند. در این مرحله تفاوت عمده ای بین استفاده از رایانه در هندسه و سایر دروس مشاهده نمی شد. ارائه محتوای آموزشی توسط نرم افزار پاورپوینت و فلش از این قبیل محسوب می شوند.
3. هندسه ی لوگویی
لوگو، زبان برنامه نویسی رایانه ای برای خلق تصاویر گرافیکی جذاب. انجام محاسبات، نگه داری و به روزرسانی اطلاعات و قابلیت های ایجاد صدا و اجرای موزیک است. در محیط لوگو هر دانش آموز می تواند فعالیت های خود را در محیطی فرح بخش انجام دهد. این نرم افزار توسط سیمور پاپرت، از دانشمندان دانشگاه ام آی تی86 که با پیاژه به مطالعات در زمینه ی آموزش می پرداخته است. این نرم افزار برای استفاده های آموزشی طراحی و تولید شده است. و به عنوان چهارچوبی برای فهم و حل مسئله در ریاضیات، به کار گرفته می شود.
تعدادی از تحقیقاتی صورت گرفته بر اثر لوگو به عنوان یک محتوای شهودی برای تسهیل استدلال های انتزاعی درباره ی مسائل هندسه اذعان دارند. نتایج مطالعات گِدس (1992) و ویور (1991) نشان می دهد که لوگو می تواند در ایجاد انگیزه در یادگیری از طریق کاوش87 در مسائل و کشف88، موثر واقع شود. کلمنتس و باتیستا و سارامان (1998) معتقدند که لوگو ویژگی های هندسی را در مرحله ی توضیحی- تحلیلی مدل ونهیل تقویت می کند. امّا کتاب های درسی اغلب به مراحل بالاتر تفکر هندسی می پردازند. دانش آموزان خواهند فهمید که برای هر مسئله ممکن است تعداد زیادی راه حل وجود داشته باشد. با مشاهده ی دانش آموزان هنگام کار با دستورات لوگو و طراحی روال های برنامه نویسی برای حل مسائل هندسه، این امکان وجود دارد که یک بهره ی بینشی به یادگیری شان اضافه کنند.
هیلل، کیاران و گرتز (1989) در زمینه ی لوگو89 تحقیق انجام دادند. آن ها اعلام کردند بازخورد لوگو، دانش آموزان را ترغیب می کنند که در حل مسائل بیش از آن که مراحل بالای تفکر را به کار برند از سر نخ های شهودی استفاده کنند. نکته ی مهم دیگر این است که ریاضیات مدرسه برای فراگیری تفکر شهودی سرآغاز خوبی نیست، در حالی که هندسه ی لوگویی آغاز بسیار مناسب تری است. و دیگر اینکه در هندسه ی لوگویی تاکید بر خصوصیت ذاتی اشکال است تا خصوصیات عارضی آن ها.
4. هندسه ی پویا
هندسه ی پویا معادل فارسی عبارت Dynamic Geometry در مقابل هندسه ی ایستا (Static Geometry) است. . در زبان فارسی واژه پویا معادل دینامیک در مقابل ایستا به جای استاتیک در نظر گرفته شده است. این عبارت قبلاً نیز مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته بود. برنس (1945) هنگام توضیح مزایای ابزار شکل پذیر ریاضی دقیقاً به واژه ی دینامیک اشاره می کند. آن موقع هندسه دینامیکی نوعی از هندسه بود که در آن به ابزار هندسی با قابلیت تغییر اشاره می شد. ظهور نرم افزارهای هندسه پویا90 آغاز مرحله ی تازه ای برای استفاده از رایانه در آموزش هندسه بود. این نرم افزارها فضای جدیدی را در آموزش ایجاد کردند تا به معلمان کمک کنند تا با بهره گیری از آن بستری فراهم سازند تا مفاهیم به صورت پویا (قابل حرکت) مطرح شده و درک عمیق تری را برای دانش آموزان ممکن سازند.
2.3.3 نرم افزارهای هندسه ی پویا
با استفاده از ابزار و فن آوری می توان زمینه را برای درک بهتر و تجربه های عمیق فراهم آورد. به این ترتیب شرایط تقویت ابعاد عینی و انتزاعی در آموزش بیشتر خواهد شد. به این ترتیب کارهایی که ممکن است انجام آن ها با استفاده از کاغذ و قلم و یا گچ و تخته امکان پذیر نباشد، سهل شده طوری که دانش آموز خواهد توانست در محیطی تعاملی همه حالت های مسئله را به سادگی مشاهده و محاسبه کند. دوال (1998) اظهار میکند که سیستمهای هندسهی پویا نسبت به هندسهی کاغذ و قلم بهتر است. او این نظریهی خود را این گونه بیان میکند: این نوع سیستمها، طرح هندسی را از نقاشی مجزا میکنند. دانیل شِر (2002) اشکال هندسی در محیط های نرم افزاری هندسه ی پویا دارای چنین توصیف می کند:
الف) اشکال هندسی قابل حرکت و تغییر شکل دادن هستند. با استفاده از ماوس رایانه می توان روی آن ها کلیک کرد. کاربر نرم افزار می تواند تصاویری دینامیک ترسیم کند، و به آن ها قابلیت حرکت بدهد. بخش ها و قسمت های تصویر هندسی این قابلیت را دارند که کوچک و بزرگ شوند، زوایا قابل تغییرند، و اشکال می توانند روی صفحه ی نمایش گر بچرخند و جابه جا شوند.
ب) یک تصویر روی صفحه ی نمایش گر، نشان گر دسته ای کلی از تصاویر هندسی است. کاربر نرم افزار با ایجاد محدودیت های درون ساخته، می تواند مربعی بسازد که اندازه و جهت آن قابل تغییر باشد. البته هنوز هم شاخصه های تغییر ناپذیر یک مربع مانند چهار زاویه و چهار ضلع برابر، باید رعایت شود.
آرنولد91 (1996) نرمافزارهای هندسه ی پویا را که نمونهای از جنبههای مثبت فناوری رایانهای هستند، به عنوان یک رسانه آموزشی مفید نیازمند شرایط زیر میداند.92
1. به جستجو و کاوشگری بها داده و مورد تشویق قرار دهند.
2. کاربر را به عنوان عامل کنترلگر بر فن آوری معرفی کنند.
3. قابلیتهایی را که به غیر از فنآوری نمیتوان به آن ها دست یافت را ارائه دهند.
4. به گسترش قابلیتهای ریاضی کاربران کمک کند.
5. فراگیران را غرق در مفاهیم ریاضی و فعالیت کند.
نرم افزارهای هندسه ی پویا ابزاری مفید برای تفکر پیشرفته از طریق مدل ترتیبی ون هیل در یادگیری هندسه است، چرا که به دانش آموزان اجازه می دهد به جستجوی مفاهیم هندسی بپردازند و روابط بین آن ها را کشف کنند. تحقیقات نشان می دهد استفاده از نرم افزار هندسهی پویا در دوران راهنمایی بازخورد مثبتی دارد (کیتون، 1997؛ بوئم، 1997؛ چازان و بروشالمی، 1998؛ هاداس و هرشکوتیز، 1999). این نرم افزارها امکانی برای کاربران فراهم می آورند تا توانایی ترسیم، اندازه گیری، محاسبات و بررسی اشکال خاص هندسی را داشته باشند، بنابراین ابزار قدرت مندی برای نمایش شهودی مفاهیم هندسی به دانش آموزان باشد.
برای مثال، یک کاربر می تواند یک نقطه را در میان یک پاره خط مقید کند، خطی را موازی با خط دیگری رسم کند، شعاع یک دایره را معادل مقدار داده شده قرار دهد و یک نمودار از روابط هندسی ایجاد نماید. دیگر این که اگر هر بخشی از شکل هندسی جابجا شد، کلیه ی اجزای مرتبط، متناظراً جابجا شوند و اجازه ی مشاهده ی بی درنگ ارتباطات هندسی را می دهد. هانا (1998) در این خصوص چنین بیان می کند:
زمانی که دانش آموز یک مفهوم را مکرراً حس می کند، آن را به یک قانون انتزاعی و مجرد هندسی تعمیم می دهد. نرم افزارهای پویا به دانش آموزان نمونه مطالب را نشان می دهند. آن ها با درک صحیح متوجه می شوند که چرا مطلبی چنین است و به علاوه چرا همواره این مطلب بدین گونه خواهد ماند.
در مجموع نرم افزارهای هندسه پویا، نمونه ی کارآمدی از ابزارهای هندسه ی پویا محسوب می شوند. تجربه کار با این برنامه برای معلمین ابعاد مغفول مانده ای از یادگیری را نمایان می کند. این ابعاد در حوزه آموزش های سنتی یا مورد کم توجهی قرار می گرفته و یا محدودیت ابزار اجازه استفاده موثر از آن ها را فراهم نمی آورده است. بسیاری از معلمین به دلیل مدت زمان زیاد ترسیم اشکال و نمودارها، نمی توانند مثال های متعددی برای دانش آموزان ارائه دهند. این مشکل تا حد زیادی در محیط های پویا فراهم شده است. به ویژه این که در برخی از نرم اقرارها امکان ایجاد محیط های تعاملی از پیش آمده شده (اپلت) وجود دارد.
پس از اثبات کارآمدی نرم افزارهای هندسه ی پویا (DGS) شرکت ها، انجمن ها و افراد زیادی اقدام به طراحی و تولید این گونه از نرم افزارها کردند. در حال حاضر در حدود 50 نرم افزار هندسه ی پویا وجود دارد. طراحان آموزشی، معلمین و دانش آموزان می توانند با توجه به سطح توانایی و نیاز خود اقدام به انتخاب یکی از این نرم افزارها بکنند. بسته های نرم افزاری هندسه ی پویا به نقل از بیکر دانش آموز را قادر می سازند تا:
1. ویژگی های هندسی را درک و ارتباط بین آن ها را بررسی کنند.
2. از اصطلاحات مرتبط با ریاضیات استفاده ی صحیح کرده و تمرین کنند.
3. تفاوت بین نقاشی و ترسیم هندسی را درک کنند.
4. یک رابطه را حدس زده و صحت آن را بررسی کنند.
نرم افزار اسکچ پد93 توسط جکیو94 در سال 1995 و نرم افزار کَبری95 توسط موسسه ی تگزاز اینسترومنت96 در سال 1994 دو نمونه ی ابتدایی و مشهور نرم افزار هندسه ی پویا هستند، که در بخش های ریاضیات در ابتدای دهه ی نود میلادی روی کار آمدند. از نظر کولتز97 (1991) هدف اصلی نرم افزار هندسه پویای اسکچ پد98 بر اساس گفتهی طراحان آن، رشد دانشآموزان از طریق گذراندن مراحل مدل ون هیل بوده است. کیسین99 (1995) و مککوی100 (1992) این نسل از نرمافزارها را تسهیل کننده رسیدن به مراحل سطح بالای تفکر حل مسئله دانستهاند. کلاتز (1991). کیسین101(1995) و مککوی102 (1992) این نسل از نرمافزارها را تسهیل کننده رسیدن به مراحل سطح بالای تفکر حل مسئله دانستهاند.
هدف اصلی نرم افزارهای هندسه ی پویا (103DGS) شبیه سازی دینامیک اشکال هندسی است. در برخی موارد در این نرم افزارها امکاناتی قرار داده می شود تا دانش آموزان بتوانند پس از ترسیم هندسی خود معادله شکل هندسی را نیز ببینند. نرم افزار های کَبری، اسکچ پد و جی آپ امکانات خوبی برای این منظور ایجاد کرده اند. بنابر این دانش آموزان می توانند از شکل به معادله جبری برسند. این در حالی است که دسته ای دیگر از نرم افزارها به نام سیستم های جبر رایانه ای (CAS104) وجود دارد که در آن ها تمرکز بر شبیه سازی مسائل جبری است. برخی از این نرم افزارها امکان ترسیم معادلات جبری را به صورت گرافیکی فراهم آورده اند. در این نرم افزارها، دانش آموزان از رابطه به شکل می رسند. نرم افزارهایی مانند درایو105 و نسخه ساده شده آن تی آی اینتراکتیو106 ار این دست هستند. این نرم افزار جهت کار با نمادهای ریاضی و سپس ترسیم نمودارهای متناظر با روابط جبری تولید شده است. الکلی (1993) توضیح داد که دانش آموزان در استفاده از رایانه برای محاسبات جبری عکس العمل مثبتی از خود نشان دادند. دوگدال (1994) گزارش داد که دانش آموزان کند می توانند مسائل ساده جبری را با استفاده از نرم افزارهای محاسباتی، حل کند.
دی (1993) اشاره کرد که تلفیقی از نرم افزارهای هندسی، عددی و نمادین می تواند تاثیر جالب توجهی در یادگیری جبر و هندسه داشته باشد. در صورتی که یک نرم افزار شرایط هر دو دسته ی نرم افزارهای DGS و CAS را داشته باشد به آن نرم افزار ریاضیات پویا107 گفته می شود. ابتکار تلفیق این دو فضای آموزشی و فراهم کردن محیط گرافیکی و نمادین به طور هم زمان و دو سویه، محیطی خلاق و تعاملی در یادگیری ایجاد می کند. بی گمان این تلفیق چیزی بیشتر از جمع قابلیت های دو گونه نرم افزار های DGS و CAS است. چرا که دانش آموزان در این محیط دائماً می توانند فرآیند های AC و CA را تجربه کنند. در این شرایط مطابق نظریه راست مغزی و چپ مغزی دانش آموزان با هر دو نوع جهت گیری در یادگیری مطابق هوش و سبک یادگیری خود، بهره مند می شوند. جئوجبرا نمونه ی کارآمدی از این نوع از نرم افزارها محسوب می شود. بسته های آموزشی جئوجبرا بسیار کارآمد و کاربر پسند است و دارای کاربردهای متنوعی می باشد، به طوری که به سختی می توان موضوع درسی را پیدا کرد که نتوان در این محیط ها شبیه سازی نمود.
محیط های نرم افزاری متفاوت از محیط های سنتی هندسی، این اجازه را به دانش آموز می دهد اجزای شکل را گرفته و جابجا کنند. به این عمل درگینگ108 گفته می شود. این ویژگی به طرز شگفت آوری یادگیری را برای دانش آموزان فراهم می آورد. چرا که دانش آموز وابستگی ذهنی خود را به لحاظ تصویری ثابت از شکل رها کرده و با واقعیت شکل ارتباط برقرار می کند. دانش آموز درک خواهد کرد قیود چه هستند و چه آزادی هایی ذاتی در شکل وجود دارد. آن ها به جابجا کردن اشکال اصلی، می توانند نحوه تعامل خطوط فرعی که بر شکل سوار شده اند را ببینند. در مسائل هندسی که فرض و حکم برای دانش آموزان مشخصاً تبیین می شود، دانش آموز دیگر با یک شکل ایستا و خشک روبرو نیست. با جابجایی عناصری که به اصل فرض مسئله لطمه نمی زند، دائماً وقوع حکم را خواهند دید. در این هنگام دانش آموز دیگر از روی اجبار و اکراه به اثبات مسئله نمی پردازد. بلکه با شوقی وصف ناپذیر به دنبال علت این اتفاق می گردد.
از ویژگی ها و قابلیت های نرم افزارهای هندسه پویا توانایی اجرای ترسیمات دقیق هندسی با ابزارهای زیر است:
1. نقطه: ایجاد نقطه ی آزاد یا مقید به یک شیء دیگر هندسی، تقاطع دو شیء هندسی، نقطه میان دو نقطه
2. خط و زاویه: رسم خط گذرنده از دو نقطه، پاره خط بین دو نقطه، پاره خط آغاز شده از یک
نقطه به طول مشخص، نیم خط با تعیین دو نقطه، بردار با داشتن دو نقطه،
بردار با تعیین نقطه آغاز و یک بردار دیگر، چندضلعی، زاویه با مشخص کردن
سه نقطه، زاویه با اندازه ی مشخص و …
3. خطوط فرعی هندسی: خط عمود با تعیین یک نقطه و یک خط، خط موازی با تعیین یک نقطه و یک
خط، عمودمنصف با تعیین دو نقطه یا یک پاره خط، نیم ساز با تعیین سه نقطه،
خط مماس و …
4. دایره: دایره با معین کردن مرکز و یک نقطه روی محیط، دایره با معین کردن مرکز و
شعاع، دایره با تعیین سه نقطه، نیم دایره، کمان با تعیین مرکز و دو نقطه،
کمان با تعیین سه نقطه، قطاع با تعیین مرکز و دو نقطه، قطاع محیطی با تعیین مرکز و دو نقطه، مقطع مخروطی با تعیین پنج نقطه
5. تبدیلات هندسه: تقارن مرکزی، تقارن محوری، دوران با تعیین مرکز و زاویه دوران، انتقال،
تقسیم پاره خط به نسبت داده شده.
برای تکمیل ظاهر شکل های رسم شده، امکانات ویژه ای در این نرم افزار وجود دارد. از آن جمله می توان به اضافه کردن متن، استفاده از تصویر، اضافه کردن روابط ریاضی در صفحه، تنظیم رنگ و ضخامت و سبک خطی اشکال، جابجایی صفحه، نزدیک نمایی، دور نمایی، پنهان کردن شیء هندسی، پنهان کردن نام شیء هندسی، برداشت مشخصات ظاهری یک شیء، حذف کردن یک شیء و ترسیم های چند لایه اشاره کرد. نرم افزارهای هندسه ی پویا امکان بررسی دقیق تر مسائل در حالت های مختلف را فراهم می کند. این کنکاش توسط ابزارها و قابلیت های خاص در این نرم افزارها فراهم شده است. این موارد شامل اندازه گیری، تغییر موقعیت ، متحرک سازی و ایجاد لرزش، پی گیری گام به گام روش رسم ، تشخیص اجزای مستقل (مادر) و وابسته (فرزند)، تعقیب مسیر، مکان هندسی، بررسی صحت یک رابطه: مثل تعامد، توازی، تساوی طول، تساوی زاویه، انجام محاسبات ریاضی، رسم نمودار است.
در برخی از نرم افزارهای هندسه پویا، امکان یادگیری یا ضبط ماکرو وجود دارد. به طوری که با ضبط عملیات برای یک بار می توان آن عمل را به رایانه آموزش داد و بعدها، به شکل راحت تری از آن استفاده کرد. هم چنین در تعدادی از آن ها امکان مقید کردن یک نقطه به یک شیء هندسی مثل خط و دایره بعد از اتمام ترسیم و یا آزاد کردن آن وجود دارد. نرم افزارهای، اقلیدس، کَبری، جئوجبرا، اسکچ پد و برخی دیگر از این امکان برخوردار هستند.
هر یک از نرم افزارها قابلیت های متفاوتی برای ارائه ی نتایج فعالیت ها دارند. تنوع در خروجی ها از ویژگی ها و مزایای یک نرم افزار محسوب می شود. در اغلب نرم افزارهای هندسه ی پویا امکان مشاهده پیش نمای چاپ ترسیم و نهایتاً چاپ آن وجود دارد. در این اغلب نرم افزارها امکان انتقال تصویر با اجزای آن به نرم افزارهای آفیس به قابلیت ویرایش جزئیات آن وجود دارد. نرم افزار کبری قابلیت ویژه ای را برای اتصال به ماشین حساب را ایجاد کرده است.
برخی از نرم افزارهای هندسه ی پویا مانند کَبری، جئوجبرا و اسکچ پد دارای امکانات ویژه ای برای ارائه خروجی در محیط وب هستند. با استفاده از این امکان، کاربر بعد از تولید نمونه می تواند آن را در یک صفحه HTML به صورت تعاملی ارائه دهد. جاوا اپلت یک نوع خروجی از نرم افزارهای هندسه ی پویا محسوب می شود که اجازه تغییرات محدودی را به کاربر می دهد. به این ترتیب می توان پیش طرح هایی را برای کاربران با در نظر گرفتن محدودیت های مورد نظر فراهم کرد. در این حالت دانش آموزان می توانند فقط اشکال هندسی ترسیم شده را دست کاری و بررسی کنند که برای منظور معین گردیده است.
برای تحقیق در مورد استفاده از جاوا اپلت، لازم است ببینیم دانش آموزان در محیط آموزشی ریاضی چگونه آن را به کار می گیرند. مانند هر ابزار آموزشی که در کلاس ریاضی به کار می رود، قابلیت های این برنامه برای کمک به دانش آموزان در افزایش درک مفاهیم، تنها زمانی می تواند ارزش گذاری شود که در ارتباط با فعالیت های ویژه ای بررسی شود (میرا،1998). بر خلاف تصاویر ثابت در صفحه نمایش گر رایانه، محیط های تعاملی جاوا می توانند شکل های متحرک را هم شبیه سازی کنند. اگر چه عملکرد آن نسبت به نرم افزارهای هندسه ی پویا کمتر است. گزینه های موجود می تواند بررسی طرح را آسان یا دشوار کنند.
ویژگی های نرم افزار مناسب برای به کارگیری در کلاس شامل موارد زیر می باشد:
1. سادگی محیط نرم افزار: محیط نرم افزار باید تا حد ممکن ساده و ابزارهای نرم افزار از قبیل دکمه ها، ارتباط ساده با کاربر (کاربر پسند) و راهنمای مناسب را داشته باشد تا کار با
آن برای معلم و دانش آموزی که به تازگی کار با رایانه را آغاز کرده است،
آسان باشد.
2. بسته نبودن و بستر بودن: در روش فعال، معلم گاهی نیازمند جایگزین کردن یا توسعه دادن و یا تکمیل
کتاب است. به یقین همین ویژگی باید در نرم افزار مورد نظر گنجانده شود.
بدین معنا که برنامه مزبور محدود به محتوا و مثال های ارائه شده در آن نباشد
و قابلیت ساخت مثال های بیشتر را برای معلم فراهم آورد.
3. جامعیت: هر چه نرم افزار موضوعات بیشتری از کتاب درسی را پوشانده و از جامعیت لازم
برخوردار باشد، بیشتر مورد استفاده قرار خواهد گرفت. بدین سبب لازم است
طراحی آن طوری صورت گیرد که معلم در طی حد اقل یک سال تحصیلی
مجبور به یادگیری و یاد دهی نرم افزارهای متعدد نباشد. (افشین منش 1386)
با توجه به معیارهای مطرح شده، نرم افزار جئوجبرا برای انجام پژوهش حاضر انتخاب شده است.
2.4 مهارت های هندسی
بلوغ هر یک از قوای وجودی انسان، مستلزم به کارگیری آن ها در عرصه های واقعی و عملی است. زمانی که یک ایده ی ذهنی توسط واسط های مختلف مانند زبان و دست بروز و ظهور کنند، زمینه رشد و تقویت ذهن فراهم می آید. تلاش فرد در به کارگیری قوای ذهنی و تعدد انجام فرد را ماهر می سازد. ماهر فردی است که مهارت را با اطمینان نسبی و با صرف حداقل انرژی اجرا نماید و مهارت، قابلیتی است که با اطمینان معین و صرف حداقل انرژی یا زمان کاری به نتیجه برسد. (گاتری) مهم ترین اصل در یادگیری مهارت، اصلاح یک عمل بر اثر اجرای عمل قبلی است. مهارت و یا تکلیف را باید به واحدی معنی دار تقسیم کرد و سپس این واحدها را با هم ترکیب کرده تا مهارت کلی کسب گردد. گاهی نیاز می باشد واحدهای معنی دار را هم به اجزاء کوچک تری تقسیم نمود.
هوفر (1981) مهارت های هندسی را به پنج دسته ی کلی شامل مهارت های منطقی، دیداری، کلامی، ترسیمی و کاربردی تقسیم کرده است. این مهارت ها، هر یک اجزای بدن انسان را مانند مغز، چشم، زبان و دست را به کار می گیرند. امکان دست کاری و جابجایی اشکال در محیط های نرم افزاری، به شکل گیری فعالیتی هماهنگ از اعمال دست و چشم و مغز کمک می کند. دقت بالا در محاسبه و ترسیم در ذهن دانش آموز نظم فکری ایجاد کرده و تامل در الگوریتم پیاده سازی ترسیم درک عملی از آزادی ها و قیود، تشخیص عناصر ضروری و غیر ضروری در ترسیم اشکال همگی موجب تقویت مهارت های ترسیمی و منطقی در دانش آموزان می شود. موقعیت های متعدد برای مشاهده و امکان متحرک سازی یا انیمیشن شکل ها در نرم افزار موجب تقویت مهارت دیدن فزافزار در خواهد شد. ابزارهای ترسیمی نوعی واسط و زبان پیاده سازی اشکال در محیط نرم افزار محسوب می شوند. و تکرر در استفاده از نمادها موجب رشد مهارت های کلامی می گردد.
امکان کنترل درست بودن سازه ترسیم شده و اندازه گیری های بعد از ترسیم اطمینان فرد را فراهم می آورد. بر پایه ی این اطمینان آن ها یافته های خود را تعمیم داده و علاقه مند به بیان آن می شوند. آن ها برای رسیدن به خواسته ی خود، از واسط های یادگیری استفاده می کنند و این امر موجب تقویت مهارت ها می شود. در چنین شرایطی دانش آموز مطابق میل و خواسته ی خود به تجربه ی شخصی دست می زند.
محیط های ساده ی نرم افزاری هندسه ی پویا با قابیلت های فراوان، محیطی مناسب برای تعامل دانش آموزان را فراهم می آورند. تعامل دوسویه، موقعیت ارتباط را افزایش داده، و فرد دائماً مفاهیم ذهنی خود را با نظم علمی مندرج در نرم افزار تطبیق می دهد. دانش آموز در این محیط احساس تاثیرگذار بودن می کند. وی در این محیط هم یاد می گیرد و هم می تواند روال هایی را به نرم افزار از طریق ماکرو نویسی یاد دهد.
2.4.1 مهارت های منطقی
امروزه همه انسان ها باید بتوانند از دانش ریاضیات به گونه ای استفاده کنند و عادی ترین و معمول ترین شیوه ی استفاده از ریاضیات، به کارگیری روش های استدلالی و منطق عقلانی در حل مسایل روزمره است. ریاضیات به عنوان یک تلاش انسانی، علاوه بر کاربردهای متعدد، باعث تقویت قوه ی استدلال و ایجاد نظم فکری در ذهن دانش آموز می شود. منطق موجود در درس های ریاضی باعث می شود که فرد از مهارت تفکر برتری برخوردار گردد. منطق در نظر دانشمندان ریاضی پایه و اساس ریاضی است. چنان چه کارشناسان آموزشی می گویند ریاضیات درسی است برای نمایش قدرت ذهن. آموزش صحیح ریاضیات یعنی پرورش افرادی منطقی. افرادی که موضوعی را بدون استدلال صحیح و منطقی نپذیرند. ریاضیات، هم چنین نحوه ی استدلال ذهن را فراگیر و قوی می کند. کودکان قبل از ورود به مدرسه، اطلاعات و دانسته های مقدماتی خود را از محیط زندگی دریافت و کسب می کنند. این اطلاعات اغلب متفرق، سطحی و پراکنده است و از گستردگی و عمق کافی برخوردار نیست. لازم است به ترتیبی این دانش سازماندهی شده و اصول منطقی پیدا کند.
بسیاری دیگر از مفاهیم ریاضی ماهیت خارجی و عینی در محیط خارج به خودی خود ندارند، بلکه ساخته و پرداخته و ابداع ذهن انسان هستند که به محیط خارج و اشیای درون آن نسبت داده شده اند و این انتساب مانند مفاهیم علوم تجربی در ذات اجسام و اشیای جهان مادی به عنوان خاصیت ثابت و پایدار آن ها در بیش تر موارد مصداق ندارد. مرحله ی آخر در مدل یادگیری ون هیل دقت زیاد109 نام دارد. این مرحله حاکی از فضای تجرد خالص و محض است. ریاضی در لغت نیز به معنای ریاضت و سخت کشیدن معنی شده است. ریاضیات کاملاً انتزاعی همیشه برای بشر جذاب بوده است. درست مثل بازی شطرنج. عملیات ذهنی محض، نوعی مبارزه طلبی قابل حصول بوده است.
مفاهیم علوم تجربی و خواص نسبت داده شده به اجسام، اشیا و پدیده ها، تغییر پذیرند یا در شرایطی صحت و شمول خود را از دست می دهند، در مقابل مفاهیم ریاضی دارای منطق مطلق هستند، یعنی در همه جا و همه وقت و در هر شرایطی ثابتند. این پایداری منطق ریاضی به عنوان " قوانین " نظم دهنده، هماهنگ کننده و گسترش دهنده فرآیندهای تفکر به صورت منطقی هستند. در حقیقت در فراگیری ریاضیات به خاطر ماهیت ذاتی این علم، ضمن دست یابی به کانال های جدید ارتباطی بین انگاره های موجود، امکان پرورش و گسترش فرآیندهای ذهنی در یک سیستم کاملاً منطقی، به خاطر منطق قوی، موثر و خلل ناپذیر حاکم بر اصول و مفاهیم ریاضی، میسر است.
از میان علوم مختلف، علم ریاضی به خاطر ماهیت انتزاعی و ذهنی که دارد، موثرترین ابزار در گسترش و پرورش ساختارهای منطقی و فرآیندهای ذهنی است. لذا مهم ترین کارکرد ریاضیات پرورش تفکر منطقی است. و هدف از آموزش ریاضیات توسعه این تفکر است. جرج پولیا این گونه اظهار نظر می کند:
نقشی که ریاضی در پرورش دانش آموزان بازی می کند، بیش تر در حوزه ی تفکر است. ریاضی یک مکتب تفکر است. اما تفکر چیست؟ تفکری که می توانید در ریاضی یاد بگیرید این است که از پس تجرید برآیید. ریاضی درباره اعداد است. اعداد یک تجرید هستند. ریاضی مستقیماً در تجرید کاربرد دارد. قسمتی از این ریاضیات، باید دانش آموز را قادر سازد که حداقل، با تجرید رودررو شود و از عهده ساختارهای انتزاعی بر آید.
مهارت های منطقی110 از نظر هوفر شامل دسته بندی، تشخیص ویژگی های ضروری شکل، دیدن الگوها، فرمول بندی، آزمایش فرضیه ها، استنتاج و استفاده از شمارنده ها می شوند. (مفید ابوموسی) از دیگر مهارت های منطقی می توان به طبقه بندی به عنوان عاملی برای فراگیری مجموعه ها و مجموعه سازی اشاره کرد. هم چنین به مهارت هایی چون ترتیب و ردیف سازی، ارتباط و همبستگی، ابقاء کمیت (تعداد، سطح، حجم)، شمارش با معنا و بی معنا، تناظر یک به یک، اندازه ها و مقایسه های آن ها و به مفاهیم زمانی اشاره کرد. (زمانی) فرضیه سازی، اثبات، حل مسئله نیز از ابعاد مهارت های منطقی محسوب می شوند. در مجموع اهداف مهارت های منطقی را می توان به شرح زیر در نظر گرفت:
1. تشخیص ویژگی های ضروری شکل
2. تشخیص ارتباط بین ویژگی های اشکال هندسی
3. استنتاج منطقی در روابط هندسی
4. استدلال غیر نمادین
5. استدلال نمادین (اثبات کردن)
6. فرمول بندی
7. آزمایش فرضیه ها
8. دسته بندی، مرتب سازی
9. ابقاء کمیت ها و تناظر یک به یک
10. مقایسه
11. درک مفهوم زمان
12. حل مسئله
دانش آموزان در استفاده از اثبات رسمی هندسی بسیار ناموفق عمل می کنند. اختصاص زمانی برای این امر در برنامه آموزشی نا امید کننده بوده است. به هر صورت، تحلیل قابلیت اثبات دانش آموزان نشان می دهد که دانش آموزان در اثبات مطالب هندسی و تمام حوزه های ریاضی ضعیف هستند و آن دسته از عقاید و طرح هایی که به آن ها کمک می کند اثبات های ریاضی را انجام دهند، پیشرفتی نداشته است.
به علت این که دانش آموزان در محیط های سنتی یادگیری در اثبات مسائل موفق نبودند، باید این مهارت مهم و پیشرفت آن مورد بررسی قرار گیرد. ادواردز (1997) به بررسی پیشرفت مهارت های اثباتی پرداخته است و بر اهمیت آموزش مهارت های تفکر به دانش آموزان تاکید کرده است. این مهارت های تفکر برای اثبات صحت ریاضی یک نتیجه لازم و ضروری هستند. وی روند اثبات را چنین توصیف می کند:
اثبات شامل مجموعهی منظمی از فرآیندهایی که دربرگیرندهی انتقال شهود یا تعمیم مطالب تا رسیدن به مرحله اطمینان است. مطالب باید با زبانی غیر مبهم و دقیق اثبات شوند. عبارات به کار برده شده باید در جوامع ریاضی مورد پذیرش باشند (ادواردز، 1997، ص 190).
این تعریف نشان گر اهمیت توافقات انجمنها در استانداردهای توافق شده میان ریاضی دانان را نیز در نظر دارد. شونفیلد (1989) و لمپرت (1990) این مفهوم را تایید کردند.
گوتیرز و جامی (1998) پیشنهاد می دهند که به منظور هدایت دانش آموزان برای رسیدن به مرحله 4 مدل ون هیل، این گام ها برداشته شوند:
1. تشخیص انواع اشکال هندسی و شکل های هم خانواده،
2. مشخص کردن اجزا و ویژگی های اشکال،
3. کاربرد و فرمول سازی تعاریف،
4. دسته بندی اشکال هندسی
5. اثبات ویژگی ها و گفته ها.
در هندسه، همچون سایر شاخه های ریاضی روش های تجربی و استنتاجی با یک دیگر در تعامل بوده و هم دیگر را تقویت می کنند. به عنوان مثال در اغلب موارد اگر شخصی در به کار بردن روش استنتاجی با مشکل برخورد کند، بررسی های تجربه می تواند شرایط قابل بررسی ای را فراهم کند. با این وجود بسیاری از دانش آموزان هندسه روش استنتاجی و تجربی را دو حوزه متفاوت اثبات قضایا در نظر می گیرند (شونفیلد، 1986). در واقع، دانش آموزان دوره راهنمایی از استنتاج رسمی استفاده نمی کنند (برگر و شاقنسی، 1986؛ یوسیکین، 1982).
فرصت هایی که توسط محیطهای نرمافزاری هندسه ی پویا فراهم می شود امکان دیدن ویژگیهای ریاضی اشکال را به سادگی فراهم می آرود ولی نمی تواند به طور کلی جایگزین هر نوع نیازی به اثبات کردن شود. در عوض اینگونه تسهیلات راههای پر معنای جدیدی برای ارتقاء سطح درک از نیاز به اثبات قواعد را باز می کند. (پاتریکا) تعدادی از تحقیقات انجام گرفته از تقویت توان اثبات کردن حکایت میکنند. (مانند تحقیقات موریتی111 و جونز112 )
کدینگر (1998) معتقد است که دانش آموزان با جستجو و بررسی در نرم افزارها می توانند مهارت های حدسیه سازی و بحث کردن در حوزه ی ریاضی را تمرین کنند. نرم افزارهای هندسه ی پویا این امکان را فراهم می آروند که دانش آموزان نمونه هایی از حدسیات خود را جستجو کنند. اگر نتوانند موردی برخلاف حدس خود بیابند در واقع فرض و گمان خود را می توانند اثبات کنند. بنابر این، بررسی در محیط های پویا باعث می شود عقاید محکمی به وجود آید و نتایج جستجو به اثبات مسئله ای منجر شود. ریاضی دانان نیز معمولاً پیش از اثبات یک برهان خود را قانع می کنند که آن برهان صحیح است. این فرآیند برخلاف برنامه هندسه سنتی است. دانش آموزان استدلال های و اثبات های متعددی را یاد می گیرند، در حالی که هنوز نسبت به صحت آن مسئله اقناع نشده و اشراف پیدا نکرده اند. برای اثبات لازم است دانشآموز نسبت به درستی قضیه قانع شود. در رسیدن به پاسخ خود نیز مشارکت داشته باشد و قضایای قبل را نیز به همین شکل پذیرفته و یا در درک آن ها به یک بینش جدید باشد. لذا بیش ترین تاثیر محیط های پویا در تقویت مهارت های اثبات اقناع است.
دانش آموزان هنگام کار در محیط هندسی پویا، نمی توانند مراحل حفظ شده را پیگیری کنند. چازان (1990) پیشنهاد می دهد که دانش آموزان برای بررسی مسائل هندسی در رایانه لازم است 6 مهارت جستجو را به کار برند: درستی حدس، تعمیم نتایج، ایجاد ارتباطات، اثبات و ربط دادن مطالب. لازم است برای کمک به دانش آموزان در استفاده از این مهارت ها، روش آموزشی ای را پایه ریزی کنیم. این مسئله تنها به نقش معلمین مرتبط نیست بلکه به طراحی فعالیت ها در یک نرم افزار نیز بستگی دارد.
2.4.2 مهارت های دیداری
انسان اطلاعات اولیه مورد نیاز برای حفظ و ادامه حیات را از طریق حواس پنج گانه خود از محیط اطراف کسب می کند. هر یک از این حس ها، اطلاعات مربوط به جنبه هایی از طبیعت را در اختیار فرد قرار می دهد. برخی از پدیده ها فقط به کمک یک یا دو حس شناسایی می شوند، امّا در مواردی نیز لازم می آید که از حس های بیشتر و یا تمام حواس استفاده شود. تجربه نشان می دهد که حس های مختلف در یادگیری انسان نقش مساوی و یک سان ندارند. میزان یادگیری انسان توسط حس های مختلف برای بینایی 75 درصد، شنوایی 13 درصد، لامسه 6 درصد، بویایی و چشایی هر یک 3 درصد ذکر شده است .(رشید پور، 1348، ص 6) با توجه به این ارقام، به دو نکته مهم می توان اشاره کرد:
به دلیل نقش مهم حس بینایی در یادگیری انسان، لازم است در موقعیت های ارتباطی و آموزشی به جای تکیه صرف بر حس شنوایی مخاطبان و ارائه مثال های ذهنی و مجرد، از پیام های تصویری و رسانه های دیداری – شنیداری نیز به میزان کافی استفاده کنیم. بیش ترین یادگیری در شرایطی است که یادگیرنده از حس های بیشتر خود استفاده کند و این ممکن نیست مگر از طریق کسب تجارب مستقیم یا تجارب دست اول، تجربه هایی که یاد گیرنده از طریق دست ورزی و برخورد رو در رو با شیء یا پدیده به بررسی و شناخت آن می پردازد. (امیر تیموری، 1383، ص 26)
در واقع مهارت های بصری طیف گسترده ای از مهارت ها است که از مشاهده عینی آغاز شده و تا رسیدن به یک بینش و بصیرت هندسی ادامه پیدا خواهد کرد. به نقل از پاتریکا (2001) اغلب محققین معتقدند استدلال شهودی مهارت مهمی برای ریاضی دانان محسوب می شود. بنابر این لازم است به دانش آموزان یاد دهیم که از بینش شهودی در مراحلی مناسب استفاده کنند. از این طریق می توانیم استدلال شهودی ریاضی دانان را شبیه سازی کنیم.
با توجه به این که در این گونه از مهارت ها تمرکز بر مشاهده و بصیرت هندسی است، روی کرد کل گرایانه نقش بارزتری را ایفا می کند. در این روی کرد دانش آموز لازم است دید کلی از اشکال و مفاهیم هندسی پیدا کند. لذا بسیاری از روابط نظریه های گشتالتی در این مهارت مشاهده می شود.
در مقابل مهارت های منطقی، در این مهارت توان حدس زدن و تخمین از اهمیت زیادی برخوردار است. و دانش آموزان در ارائه تخمین های درست، و پیش بینی ها آموزش می بینند. مطابق نظریه راست مغزی و چپ مغزی، مهارت دیداری در بخش راست مغز فعال است. و همراه با عناصر عاطفی و انگیزشی است. مهارت های عاطفی و هوش عاطفی (EQ) نیز در این مهارت بسیار تاثیر گذار هستند. دانش آموزانی که در دروس ادبیات بیشتر موفق هستند و یا به هنر علاقه مند بودند گرایش بیشتری به این مهارت های آموزشی دارند.
پدیده ی پروتوتایپ
در مطالعات صورت گرفته در زمینه ی هندسه ی ثابت، محققان با در نظر گرفتن خصوصیات اجسام هندسی گرایشی را مدنظر قرار می دهند. اگر تعدادی مثلث بر روی صفحه کاغذ به دانش آموزان نشان داده شوند، این احتمال وجود دارد که آنها مثلث متساوی الساقین را هنگامی که قاعده اش افقی قرار گیرد، بهتر تشخیص دهند. هم چنین تشخیص مثلث قائم الزاویه هنگامی که راس قائمه آن موازی با لبه ی کاغذ قرار گیرند برای آنها آسان تر خواهد بود. (کلمنتس و بانیستا، 1992 ؛ یروشالمی و چازن، 1993). هاسگاوا113 (1997) این یافته ها را تحت این عنوان "پدیده ی نحوهی قرارگیری" بیان کرد. پدیده ی پروتوتایپ114 وابستگی ذهنی دانش آموزان نسبت به نحوه قرارگیری اشکال است. همزمان با فعالیت دانش آموزان در مدارس در درس هندسه، آنها از اشکال هندسی تصاویری ذهنی را به عنوان مدل پایه تجسم می کند. این تصاویر غالباً قاطع نیستند. (مکوتیا، 1998 ؛ شیفتر ، 1999 نیز مراجعه فرمایید). به عنوان مثال ممکن است تصویری تک از مثلث متساوی الساقین در یک کتاب درسی موجب می شود دانش آموزان یک قانون کلی ترتیب دهند و تنها مثلثی را متساوی الساقین بدانند که قاعده اش افقی قرار گیرد.

شکل ‏2- و: وضعیت های مختلف قرار گیری مثلث متساوی الساقین
در محیط های هندسه ی پویا دانش آموزان می توانند شکل پویا را در دست بگیرد، بچرخاند، و حرکت دهد. این اعمال باعث می شود ذهن نسبت به قیود اضافه مانند جهت قرارگیری مستقل شود. هر میزان این اتفاق بیافتد، دانش آموز به مفهوم انتزاعی مثلث متساوی الساقین بیشتر نزدیک می شود. معلم تعلیم دیده در محیط های پویای آموزشی، می تواند در کلاس عادی نیز این موقعیت را شبیه سازی کند.
هدف نرم افزارهای هندسه ی پویا ایجاد تصاویر هندسی متحرک با اندازه ها و جهت های متفاوت است. بدین جهت دانش آموزان مانند نمونه ی بالا تنها یک تصویر را متعلق به شکل هندسی خاصی نمی دانند. (به مثلث های متساوی الساقین متمایل در شکل ها توجه کنید). در این نرم افزارها دانش آموزان می توانند با حرکت اشکال هندسی به هر مکانی که می خواهند، اشکال را در حالت های بی ثبات لرزشی و حرکت های مداوم در نظر بگیرند. در برداشت اولیه، درمی یابیم که قابلیت حرکت در نرم افزار از تعمیم ویژگی های اشکال ثابت توسط دانش آموزان به تمام اشکال هندسی مشابه آن ها جلوگیری می کند. از طرفی مشاهده ی کوچک و بزرگ شدن یک مثلث متساوی الساقین به دانش آموزان کمک می کند تا شاخصه های کلی چنین مثلثی را درک کنند. لذا در محیط های نرم افزار دانش آموزان می توانند از محدودیت های عرضی115 اشکال عبور و خصوصیات ذاتی116 اشکال را درک کنند.
شاخصه های یک شکل هندسی هنگامی که بزرگ یا کوچک می شود یا می چرخد می تواند مفاهیمی را که در هندسه ی ثابت به چشم نمی آمد، ترسیم کند. تصاویر با جابجایی های مداوم و هم پای جابه جایی های فیزیکی تغییر می کنند. کازلین (1983) چهار گروه فرآیند تصویری را شرح می دهد:
1. تولید یک تصویر
2. بررسی آن و پاسخ به سوالات مربوطه
3. جابه جایی و عملیات بر روی تصویر
4. حفظ یک تصویر به منظور عملیات ذهنی دیگر.
مرحله ی بازنمایی تصویری یا تجسمی117 در نظریه برونر توضیح دهنده ی چگونگی یادآوری ذهنی از تجسم در دانش آموزان است. در این مرحله کودک رویدادهای زندگی خود را غالباً به صورت تصاویر ذهنی حفظ می نماید. مانند کودکی که یک حادثه را با کشیدن صحنه می کشد و یا به یاد می آورد. بسیاری از مردم مانند جراحان، ورزشکاران، نوازندگان موسیقی، و بازیگران تاتر و سینما از شیوه ی بازنمایی تصویری بسیار بهره می برند.
هوفر مهارت های دیداری در هندسه را شامل تشخیص، مشاهده ی ویژگی ها، ترجمه نقشه ها، تصور، تشخیص بین زوایای مختلف بر می شمرد. از نظر هوفر یکی از مهارت های دیداری، از مهارت تصور است. لذا مهارت بصری چیزی بیش از دیدن تنها با حس بینایی است. مهارت تجسم و تصویرسازی نیز از اهداف این مهارت ها محسوب می شود. مهارت هایی که در این حوزه مورد توجه قرار می گیرند به شرح زیر است:
1. تشخیص ظاهر اشکال (مرحله اول VHGT)
2. دیدن ویژگی های اشکال هندسی (مرحله دوم VHGT) بدون نیاز خاص به استدلال تنها به صورت شکلی
3. جابجایی و عدم وابستگی به حالت قرارگیری (پدیده ی پروتوتایپ)
4. شناخت صحیح از دینامیک اشکال
5. بازخوانی اشکال و نقشه ها
6. تجسم ذهنی، تصویر سازی، تخیل، پیش بینی حرکت قبل از حرکت
7. تخمین و حدس در هندسه
8. تشخیص خط اضافه در حل مسائل هندسه
از نظر ون هیل (1986)، علی رغم این که دانش آموزان کمی می توانند از مرحله 3 پیش تر روند هندسه اقلیدسی سنتی کار خود را از مراحل بالا شروع می کند و مراحل 1 و 2 را پوشش نمی دهند. رایانه می تواند به شهودی کردن مفاهیم انتزاعی کمک کند. چرا که محیط جدیدی بر مبنای قابلیت های عینی را فراهم آورده است.
با مشاهده مداوم اشکال در محیط های غنی شبیه سازی شده، بازنمایی تصویری رشد کاملی پیدا می کند. محیط گرافیکی، ساده و جذاب این گونه از نرم افزارها، دانش آموزان را محو موضوع آموزشی می کند. طوری که دقایق بسیار با شکل هندسی و دینامیک آن ارتباط برقرار می کنند و با کنجکاوی بسیاری از ابعاد شکل را مورد توجه قرار می دهند. دانش آموز اختیار تغییر در آن را داشته و می تواند حدس های خود را مورد آزمایش قرار دهد. در واقع یادگیری در اثر ارتباط دائم و مکرر از تجربه118 پا فراتر می نهد. در واقع نرم افزار محیطی غنی برای اشباع درک شهودی برای دانش آموزان محسوب می شود. معلم با دیدن این تجارب در محیط نرم افزاری قادر خواهد بود تا حد ممکن کلاس درسی خود را مملو از موقعیت های شهودی کند. به این ترتیب یادداری شهودی آن ها طی فرآیندهای غنی تقویت شده و حافظه شهودی آن ها به بلوغ می رسد. این خود منجر به رشد مهارت های دیداری می شود.
در محیط های آموزشی سنتی، معلمین با تجربه برای تبیین یک موضوع آموزشی از مثال استفاده می کنند. بی گمان فهم یک مفهوم مجرد صرف، برای دانش آموزان به ویژه در دوره راهنمایی تحصیلی کم اثر و موقتی است. ارائه مثال های بیشتر ذهن دانش آموزان را باز کرده و یقین آن ها را به درستی آن بیشتر می کند. اما شرایط و محدودیت های زمانی، اجازه ارائه مثال های بیشتر را فراهم نمی آورد. این محدودیت ها تا حدودی در محیط های نرم افزاری محو شده است. طوری که برای بیان یک مفهوم آموزشی می توان با ارائه چندین مثال در زمانی کوتاه، با امکان جابجایی و تغییر وضعیت دسته بی شماری از مثال ها و مصداق های مسئله را ارائه نمود. از طرفی حافظه دیداری دانش آموزان در زمان های دیگری، وقتی مدت ها از یادگیری گذشته است، مفاهیم مجرد آموخته شده را با مثال هایی که دیده است را بازنمایی کرده و به سرعت با آن ارتباط بر قرار می کنند. از این روست که یادگیری پایدار و ماندگار خواهد شد. معلم تعلیم دیده که تجاربی از این دست دارد، اعتقاد بیشتری به ارائه مثال پیدا کرده و با داشتن کم ترین ابزار آموزشی سعی در مثال سازی برای دانش آموزان خواهد داشت.
2.4.3 مهارت های کلامی
نخستین شکل تعامل که با آن بزرگ سالان گنجینه و دانش موجود در فرهنگ را به کودکان انتقال می دهند تکلّم است. ویگوتسکی با بیان این موضوع، رشد کودک را در دو سطح قرار داده است: نخستین سطح، رشد واقعی کودک است که جنبه ی اکتسابی دارد و او خود به تنهایی انجام می دهد و دومین سطح، توانایی بالقوه ی کودک است که با کمک دیگران به فعل در می آید. ویگوتسکی، وضعیت بین سطح اول و سطح دوم را منطقه ی رشد بالقوه نامیده است. فرآیند تبدیل روابط اجتماعی به کارکردهای عالی ذهنی نه به طور مستقیم بلکه از طریق یک واسطه یا، بنا به گفته ی ویگوتسکی، یک علامت امکان پذیر می شود. یک ابزار می تواند نقش چنین واسطه ای را ایفا کند. از دیدگاه ویگوتسکی زبان تعیین کننده حوزه و دامنه تفکر است،
مهم ترین بخش از مساله هایی که در آموزش دبیرستانی وجود دارد، عبارت است از تشکیل معادله برای حل مساله های کلامی. مساله های کلامی مساله هایی هستند که با کلام بیان شده اند نه با رابطه و فرمول. دانش آموز، برای حل چنین مساله هایی، باید موقعیت های واقعی دنیای خارج را به زبان ریاضی برگرداند و با تجربه ی شخصی خود قانع شوند که مفهوم ریاضی با واقعیت های دنیای خارج بستگی دارد. برای دانش آموزانی که نمی خواهند ریاضیات را برای حرفه ی آینده ی خود بیآزمودند، این موقعیت تنها و آخرین تجربه ی آن هاست. ولی مهندسان و دانشمندانی که حرفه ی آن ها نیاز به استفاده از ریاضیات دارد، از این تجربه همیشه برای ترجمه ی مساله های دنیای واقع به زبان مفهوم های ریاضی استفاده خواهند کرد. یک مهندس باید تا آن جا ریاضیات بداند که بتواند مساله مورد نظر را به صورت ریاضی درآورد. بنابراین وقتی مهندس آینده راه تشکیل معادله برای حل مساله های کلامی را در مدرسه می آموزد، برای نخستین بار در موقعیتی قرار می گیرد که بتواند در این راه بسیار مهم استعداد خود را بیازماید.
برای آموزش هر موضوعی در هر سنی به دانش آموز، باید آن را به همان گونه ای که وی محیط خود را درک می کند و با همان شکلی که جهان برای او معنا دارد، بیاموزد. در حقیقت وظیفه ما ترجمه موضوع به زبان فکری خاص دانش آموز در مرحله رشد اوست. به بیان دیگر، هر موضوعی را می توان به زبان فکری خاص دانش آموز تبدیل کرد و در قالب معنایی او ریخت و پس از ادامه یافتن رشد، می توان معناها را با عمق و دقت بیشتری بیان کرد. برای یادگیری بهتر، در درجه اول دانش آموزان باید از حل مساله هایی که به خوبی و آن طور که شاید و باید از آن سر در نمی آورند صرف نظر کنند. دانش آموزان در مرحله ی اول باید درباره ی مساله حدس بزنند، مجهول ها و معلوم ها را تشخیص دهند و با بیان خود شرط را روشن کنند. اگر بتوانند دانسته و فهمیده این کار را انجام دهند آن وقت می توانند به اصل کار بپردازند. (پولیا) هر مرحله از مدل ون هیل نیز دارای زبان، علائم و روشهای خاص خودش میباشد. و دانش آموز می بایست در هر مرحله ای از یادگیری که هست، با ادبیات و زبان آن آشنا شده باشد.
ریاضی یک زبان است، زبانی که علایم، نشانه ها و نمادهای خاصی را به کار می گیرد و مثل هر زبانی محملی است برای انتقال مجموعه ای از مفاهیم و اندیشه ها با اصول و قواعدی که صرف و نحو معمول زبان ها را به ذهن متبادر می سازد. اما حقیقت تلخ آن است که مدرسه ها، دبیران، خانواده ها تاکیدی افراطی بر فراگیری زبان از خود نشان می دهند، به گونه ای که منجر به غفلت از آموزش صحیح مفاهیم، گسترش توان مندی ها و دانش ریاضیات شده است.
لوگو به عنوان یک ماشین آموزشی در قالب زبان، بیشتر بر قدرت گسترده و عمومی فراگیران در یادگیری زبان تکیه دارد تا قابلیت ادراک انتزاعی آن ها. این الگوی یادگیری یک الگوی پیوسته است و نقطه مقابل الگوی گسسته یادگیری است که ما در ریاضی به کار می بریم. به این ترتیب، مسئله معنی دار کردن ریاضیات برای فراگیران به مسئله عمومی تر معنی دار کردن یک زبان تشریح صوری بر می گردد که لوگو یکی از راه حل های آن است. لوگو می تواند زبان درک شهودی هندسه باشد. در پی آن نرم افزارهای هندسه ی پویا نیز همین کارکرد را پیدا می کنند.
دانش آموزان در محیط های نرم افزاری هندسه ی پویا در ضمن تعامل با نرم افزار در معرض یادگیری اصطلاحات و تطبیق آن ها با مفاهیم درسی قرار می گیرند. از این در به کارگیری اصطلاحات نرم افزار توان مند می شوند. از طرفی این اصطلاحات و تناظر آن ها با مفاهیم کتاب درسی موجب تقویت مهارت های کلامی در هر دو محیط می گردد. این موقعیت با انجام فعالیت ها در کارگاه رایانه به صورت موجب تشدید یادگیری مهارت های کلامی خواهد شد.
هوفر استفاده صحیح در کلمه شناسی و ارتباط دقیق در توضیح مفاهیم تجسمی و روابط را از اجزای اساسی مهارت های کلامی بر می شمرد. از دیگر اهدافی که در این مهارت می تواند مورد توجه قرار گیرد موارد زیر می باشد:
1. دانستن معنی و ریشه کلمات و اصطلاحات
2. به کار بردن درست اصطلاحات
3. شناخت نام ابزار ارتباطی و اجزای آن
4. بیان تعاریف استاندارد و درک درست از آن ها
5. توان بیان مقصود و فهم مقصود سوال
6. ساختار نوشتاری صحیح
2.4.4 مهارت های ترسیمی
آموزش ریاضی شامل فعالیت هایی در جهت تقویت و هماهنگی حواس به منظور تقویت و استفاده از عضلات کوچک دست و آماده کردن برای رشد و پرورش جسمی و ذهنی است. تجارب ذهنی، با بازسازی یک سلسله از اتفاقات همان گونه که رخ داده اند، پایه گذاری می شود. مکانیسم واقعی ترسیم نیز در قالب تجارب منطقی عمل کرده و درونی می شوند. (صیادی- معصومی)
در بازنمایی عملی مطابق نظریه برونر، کودک دادهایی را که تجربه کرده است را به صورت پاسخ های حرکتی بازنمایی می کند. بدیهی است رشد توانایی های کودک برای تفکر و یادگیری در الگوهای منطقی، از طریق تجربه کودک با اشیا واقعی و دست ورزی حاصل می شود، زیرا کودکان از طریق فعالیت هایشان با اشیای مختلف، می فهمند و درک می کنند، نه لزوماً تنها از طریق مشاهده اشیاء و یا چیزهایی که راجع به اشیاء به آن ها گفته می شود.
از نظر پولیا چیزهایی که فقط شنیده می شوند، سریع فراموش می کنید. نصیحت خوب، به سرعت فراموش می شود. چیزهایی که با چشمان دیده می شود، بهتر به خاطر آورده می شود، اما وقتی که آن را با دست ها انجام داده شود، واقعاً درک می شوند. پولیا به عمل و آگاهی به صورت توامان تاکید فراوان دارد. در روش اکتشافی، دانش آموز به وسیله عمل، خودش یاد می گیرد. مهم ترین عمل، نوعی از یادگیری است که خود، آن را کشف می کند. و اگر دانش آموز چیزی را کشف کند، یادگیری آن ماندگارتر و درکش، عمیق تر خواهد بود. محیط ترسیم، محیط مناسبی است برای انجام دادن و تجربه کردن است.
دانش آموزان موفق فکر می کنند اگر معلّم مطالب را به سادگی به آن ها بگوید، بهتر و سریع تر پیش می روند. آن ها می خواهند وقت خود را صرف تفکر عمیق در مورد مطالب بکنند. امّا متوجّه نیستند که اگر خود عملاً فعالیت کنند مسائل را بهتر متوجه می شوند. اسکپ (1987) می گوید درک مفاهیم به واسطه ی ابزار با توانایی قبول قوانین استفاده از آن برای دانش آموزان آسان است و از این طریق آن ها زودتر نتیجه می گیرند. در مقابل، درک مفاهیم بدون واسطه گری ابزار نیازمند تلاش بیشتری از سوی دانش آموز است.
واتیلی معتقد است برای ترسیم، به خصوص ترسیم نمودارها در مسائل پیچیده، دانش آموزان باید مراحل بالای مدل ون هیل را سپری کنند. شومن و گرین (1994) در حمایت از این موضع پیشنهاد می دهند که دانش آموزان با برخی مدل های از پیش آماده (مانند اپلت ها) کار کنند. طبق نظر آن ها اگر دانش آموز بخواهد خود شکلی را رسم کند با مانع های زیر برخورد می کند:
1. امکان آزمون و خطا وجود ندارد.
2. توجه دانش آموز را از هدف کلی ترسیم منحرف شود.
3. ممکن است از صحت کل ترسیم کاسته شود.
4. بدون این که دیدگاه یا درک جدیدی فراهم کند تنها زمان سپری می کند.
5. خطوط ابتدایی که برای ترسیم ضروری هستند تصویر را پیچیده و مبهم کنند.
از نظر هوفر مهارت های ترسیمی شامل ایجاد ارتباط با کشیدن، توانایی بازنمایی اشکال هندسی دو بعدی و سه بعدی، ایجاد نمودارهای مقیاس پذیر و کشیدن اشکال هندسی می شود. به این ترتیب می توان اهداف یادگیری در ترسیم را چنین مطرح نمود:
1. درک تفاوت ترسیم و کشیدن
2. رعایت ترتیب در ترسیم
3. شناخت اصول ترسیم هندسی (مانند عدم محاسبه در ترسیم و … )
4. شناخت ارتباط بین قضیه های هندسی و نیازمندی های ترسیم (مانند انواع روش های رسم مثلث)
5. شناخت نحوه صحیح استفاده از ابزارهای ترسیمی و کاربرد صحیح آن ها
6. توان توصیف و توضیح انجام مراحل ترسیم
7. ترسیم ذهنی اشکال هندسی
8. طراحی و اجرای الگوریتم پیاده سازی و تفکر منطقی در ترسیم
9. توجه به مسائل زیبا شناختی و اصول و ترتیب در نامگذاری
10. مهارت در به کارگیری ابزار و داشتن دقت و سرعت مناسب
ترسیم و ابزار آن در محیط های هندسه ی پویا با کلاس های سنتی تفاوت دارد. دانیل شر (2002) مطرح می کند که ابزار هندسه ی اقلیدسی شامل کاغذ، قلم، خط کش، پرگار، تخته سیاه و گچ است. در حالی که اکنون در آغاز قرن 21، ابزار جدیدی برای ترسیم تصاویر هندسی در کنار ابزار پیشین این رشته مورد استفاده قرار می گیرند. ویژگی های نرم افزار هندسه ی پویا درست درنقطه ی مقابل قابلیت های ابزار هندسی گذشته هستند. اشکال هندسی قابل حرکت و تغییر شکل دادن هستند. با استفاده از ماوس می توان روی آن ها کلیک کرد. کاربر می تواند تصاویری پویا ترسیم کند، و به آن ها قابلیت حرکت بدهد. بخشها و قسمتهای تصویر هندسی این قابلیت را دارند که کوچک و بزرگ شوند، زوایا قابل تغییرند، و اشکال می توانند روی صفحه ی نمایش گر رایانه بچرخند و جابه جا شوند. یک تصویر روی صفحه ی نمایش گر، نشانگر دسته ای کلی از تصاویر هندسی است. کاربر نرم افزار با ایجاد محدودیتهای درون ساخته می تواند مربعی بسازد که اندازه و جهت آن قابل تغییر باشد. البته هنوز هم شاخصه های تغییر ناپذیر یک مربع مانند چهار زاویهی90 درجه و چهار ضلع برابر باید رعایت شود.
ترسیم هایی که در رایانه صورت می گیرد می تواند به دو دلیل برای دانش آموزان مفیدتر باشد. اولاً، ترسیم های رایانه ای جزئیات دقیق تری را نسبت به ترسیم های روی کاغذ ارائه می دهد. دوم، از آن جایی که رایانه عمل رسم را اجرا می کند معلم می تواند بیشتر به مفهوم بپردازد. با این توصیف در تعریف مهارت ترسیم لازم است مهارت های هیادگیری در هندسه سنتی که هوفر آن را طرح کرده بود مورد بازنگری قرار گیرد. فاینزر119 و بنت120 (1995) این دوگانگی را تصحیح می کنند. آن ها فرایند ترسیم اشکال توسط دانش آموزان را در چهار مرحله توضیح می دهند. دسته بندی فاینزر و بنت از نظر تئوری دسته بندی جامعی را در ترسیم هندسی ارائه می دهد:
الف- نقاشی:121 دانش آموزان پیش طرحی از یک چهارضلعی اختیاری را بر روی
صفحه ترسیم می کنند و سپس آن قدر بر روی صفحه و با استفاده از
ماوس با آن ور می روند تا شکلی منطبق با تعریف یک مربع به دست آورند. اگر هر قسمت مربع نام برده را با ماوس بکشند شکل آن تغییر می کند و دوباره یک چهارضلعی تصادفی بدست می آید.
ب- در حال تولید:122 در این مرحله آن ها ممکن است تضمین کنند که زوایای مربع حتی
در صورت کشیده شدن نیز 90 درجه باقی می ماند اما ممکن است،
اضلاع آن مساوی با یکدیگر باقی نمانند.
ج- تولید کامل:123 اکنون شکل ساخته شده یک مربع کامل است، البته تنها یک مربع
خاص. زیرا کشیدن هر یک از رئوس آن منجر به بزرگ یا کوچک
شدن مربع نمی شود.
د- تولید مناسب:124 نهایتاً در این مرحله، با وجود کشیدن مربع شکل آن حفظ می شود و
اندازه ی اضلاع آن قابل تغییر خواهد بود.
طبق برنامه آموزشی دوره راهنمایی دانش آموزان باید ترسیم هایی انجام دهند (به عنوان مثال با استفاده از پرگار و گونیا، نیم ساز زاویه ای را رسم کنند). ترسیم ها معمولاً در ابتدای سال و پیش از مشاهدهی مطالب درسی به دانش آموزان به آن ها تعلیم داده می شود. در آن هنگام آن ها حتی ویژگی های هندسی را تشخیص نمی دهند. دانش آموزان از کاربرد تکنیک های ترسیم در حل مسائل هندسی بهره ای نمی برند (کدینگر 1998).
اگر چه تا کنون مرسوم نبوده است، هندسه اقلیدسی به جای آن که به عنوان ساختار منظمی از اصول منطقی مورد مطالعه قرار گیرد، می تواند دستورالعمل ترسیم های هندسی باشد. به این ترتیب آمادگی لازم برای اثبات برای فراگیران فراهم می آید. نرم افزار هندسه ی پویا هم قانع کننده است هم ابزار کافی برای ترسیم های هندسی محسوب می شود. لذا در برنامه درسی در دوره پژوهشی اغلب تمرین های کتاب درسی به منزله ی موقعیتی برای تمرین در کارگاه رایانه یا در منزل به عنوان تکلیف ترسیمی برای دانش آموزان در نظر گرفته شد.
در محیط های آموزشی سنتی، همه چیز بر پایه فرض ذهنی و تقریب است. به عنوان مثال دانش آموزان باید فرض کنند این شکل متوازی الاضلاع است و اگر نیم سازهای آن را رسم کنند، آن ها بر هم عمود می شوند. این در حالی است که اگر معلم، تبحر کافی در ترسیم شکل داشته باشد، دانش آموزان قانع می شوند. اما در محیط های نرم افزاری علاوه بر این که کلیه اشکال با دقت بسیار بالایی ترسیم می شوند و به لحاظ شکلی می تواند به رابطه دو جزء مانند تعامد یا توازی پی برد، امکان بررسی مطلق این ارتباط نیز وجود دارد. به طوری که پس از ترسیم، با ابزار تعبیه شده دانش آموز می تواند از نرم افزار بخواهد رابطه دقیق دو شیء مشخص را به لحاظ هم اندازه بودن، تعامد، توازی و … ارائه دهد. این امر در شرایطی که دانش آموز شکلی نزدیک به واقعیت کشیده شده و یا به لحاظ اصولی اشتباه رسم کرده است، وی را در پی بردن به اشتباه خود یاری می رساند. از طرفی امکان ارزیابی سریع را به معلم می دهد. از طرفی در برخی نرم افزارها امکان رصد کلیه فعالیت های دانش آموزان از طریق نرم افزاری وجود دارد. این که مثلاً وی الان چه شکلی کشید و آیا این درست بوده یا نه؟ با توسعه الگوریتم های برنامه نویسی امکان ارزیابی های خودکار نیز فراهم خواهد آمد.
2.4.5 مهارت های کاربردی
هوفر منظور از مهارت های کاربرد را کاربردهای هندسه در زندگی واقعی و استفاده از مثال های هندسی در طراحی جعبه ها و غیره می داند. با ملاحظه ی دیگر ابعاد مهارت های کاربردی اهداف آموزشی در این حوزه را می توان به شرح زیر مطرح نمود:
1. دیدن نمونه های شبیه سازی شده از کاربرد مسائل در زندگی
2. شبیه سازی مدل های ذهنی
3. شبیه سازی مدل های واقعی و مجازی
4. درک کاربرد هندسه در دنیای بیرونی
5. سعی در یافتن مثال های واقعی
6. ایجاد مدل های ابتکاری در محیط های شبیه سازی شده
محدودیت های کلاس درس و نبود آزمایشگاه ها و کارگاه های آموزش ریاضی، موجب عدم توجه به کاربرد مسائل ریاضی در زندگی روزمره و صنعت شده است. نرم افزارهای هندسه ی پویا با فراهم کردن شرایط شبیه سازی ابزارهایی که در آن از مسائل و روابط ریاضی و هندسی استفاده شده است، این مانع را تا حد زیادی بر طرف می کند. به ویژه که در برخی از این نرم افزارها می توان تصاویر واقعی ماشین های صنعتی را وارد کرد و اتصالات دینامیکی آن را شبیه سازی نمود. با ایجاد حرکت در این اتصالات و مشاهده مثال های کاربردی، مطابق نظریه برونر یادآوری مفاهیم با بازنمایی حرکتی و عملی فراهم می شود. و دانش آموزان موضوع درسی را بهتر به خاطر سپرده و به باد می آورند. (2009) معتقد است برای تدریس موثر به دانش آموزان می بایست معلم چگونگی اتصال شرایط واقعی زندگی را با ریاضیات به آن ها نشان دهد.
اهداف مهارتی
1. دانش آموز بتواند سه مورد از کاربرد هندسه در زندگی را نام ببرد.
2. دانش آموز بتواند یکی از کاربردهای هندسه در صنعت را از لحاظ هندسی تحلیل کند.
3. دانش آموز بتواند اقدام به پیاده سازی مدل یک وسیله واقعی کند.
4. دانش آموز بتواند طراحی مدل ابتکاری خود را که مبتنی بر مفاهیم هندسی است، پیاده سازی کند.
5. دانش آموز با دیدن یک وسیله واقعی بتواند نحوه عملکرد آن را به لحاظ هندسی توضیح دهد.
2.5 شرایط یادگیری
نرم افزارهای هندسه پویا، در حالی که دانش آموزان با ترسیم ها و ایده های ریاضی به صورت فعال در آن درگیر می شوند به عنوان یک محیط یادگیری حاصل خیز به کار گرفته می شوند، (کوکو و گلدنبرگ 1996 و گری 1997). در چنین شرایطی بسیاری از پدیده های روان شناختی یادگیری مورد استفاده قرار گرفته و اثر آن به وضوح رویت می شود. دانش آموزان بر حسب هوش و سبک یادگیری خود، روش های مختلفی از یادگیری را متفاوت از دیگران تجربه کرده و معلم متبحر و آموزش دیده نقش بسزایی ایفاء می کند. دانستن چگونگی رشد درک ریاضیات در دانش آموزان اساس بحث در مورد کارایی و یا عدم کارایی هر آنچه در کلاس ریاضی مجهز به فن آوری است.
هید، شیدز و ماتراس (1990)، برای استفاده از فن آوری در آموزش، برنامه درسی جدیدی را پیشنهاد می دهند. گالوزو، موریس و واتسون، 1998 تاکید بر آموزش معلمین برای استفاده از این برنامه درسی دارند. در برنامه درسی جدید نقش و روش معلمان و دانش آموزان دست خوش تغییراتی می شود. کلمنتس، باتیستا و ساراما (1998) متوجه شدهاند دانش آموزان در فعالیت هایی که در آن ها از لوگو استفاده می شود بهره آموزشی بهتری به دست می آید.
ونهیل معتقد است، محیط یادگیری و عکس العمل وی به راهنمایی های معلم بر سپری کردن مراحل، بر فرآیند یادگیری دانش آموز تاثیر می گذارد. دانش آموزان، محیط آموزشی، معلمان و مطالب درسی فاکتورهای اصلی در فرآیند آموزش ریاضیات هستند. به این ترتیب در بازنگری تحقیقات حاضر لازم است به دانش آموزان کمک شود تا مهارت های هندسه را در محیطی یادگیری غنی گسترش دهند. این محیط باید شامل تاکیدات زیر باشد:
1. تمرکز بر درک شهودی
2. ایجاد شرایطی برای همکاری و ارتباط
3. تاکید بر جستجو و پژوهش
4. پیشرفت در مهارت حدس زدن
5. توضیح این مطلب که چرا یک نتیجه ی خاص صحیح است و همواره باید صحیح بماند.
2.5.1 محیط آموزشی
محیط آموزشی به هر نحو که باشد بر یادگیری دانش آموزان تاثیر می گذارد. محیط های یادگیری ریاضیات شامل انواع سنتی و جدید هستند. در محیط سنتی معلم اطلاعاتی را فراهم می کند و آن را در قالب سخنرانی ارائه می دهد و دانش آموزان مهارت های ارائه شده را تمرین می کنند. در محیط سنتی دانش آموزان به بررسی نظریات ریاضی می پردازند. محیط و فضای یادگیری باید مجال انتخاب آزادانه و فعالیت فردی در روش اجرایی را به فراگیر بدهد. می بایست به گونه ای برنامه ریزی کرد که مجموعه تلاش ها، عملکردها و روش های معلم در این فضای آزاد و مناسب، امکان انتخاب درست فرآیندهای تفکر را برای انتزاع مفهوم مورد نظر و تجلی آن به صورت رفتار ریاضی را به فراگیر بدهد.
در محیط های هندسه ی پویا معلم بهتر و مفیدتر با تمام دانش آموزان در ارتباط است. وی هنگام قدم زدن در کلاس می تواند ببیند دانش آموزان به چه پاسخ می دهند و در کار گروهی به صحبت های آن ها گوش دهند. بنابر این معلّمان می توانند حوزههای نیاز را تشخیص دهند، برداشتهای اشتباه را تصحیح کنند و مفاهیم را قوت بخشند. نرم افزار هندسه تاثیر خلاقانهای بر عملکرد دانشآموز دارد. سندروف (1992) و شوارتز (1994) معتقدند دانش آموزان اغلب خود یاد می گیرند که از نرم افزار استفاده کنند. بدین ترتیب می توانند اشکال هندسی را ترسیم کنند و دانش هندسی خود را افزایش دهند.
انگیزه ی یادگیری
از نظر ونتزل125 (1998) بسیاری از عوامل داخلی و خارجی، مانند احساس ارزش مندی، درک از توانایی های شناختی، منافع و تهدیدات همسالان و معلمان، درک از حمایت پدر و مادر، محیط، سادگی یا دشواری وظایف، فعالیت های واقعی زندگی، جنسیت، آموزش، درک موفقیت، ترس از مجازات، و غیره، نقش برجسته ای در انگیزه دانش آموزان در کلاس درس ریاضیات دارند. اسپانیاس126 (1999) اظهار می دارد پس از بررسی ابعاد مختلف انگیزه در دانش آموزان به این نتیجه رسید، موفقیت دانش آموزان در ریاضیات بسیار متاثر از شکل دادن معلم به گرایش های انگیزه ای داشن آموزان است.
ویلیام گلاسر127 ( متولد 1925)، واضع دیدگاهی نو در این نظریه، عامل انگیزه128 را در یادگیری مهم می داند و معتقد است که رفتار انسان هرگز ناشی از محرک بیرونی نیست، بلکه رفتار او ناشی از نیازهایی است که شخص در زمانی معین، به شدت خواهان آن است؛ خواسته هایی مانند نیاز به بقا129، عشق، قدرت، آزادی یا هر نوع نیاز اساسی دیگر بشر که موجب بروز رفتار می شود. گلاسر در واکنش به شکوه هایی که از دانش آموزان بی انگیزه می شود، معتقد است که همه ی مخلوقات رفتار خود را در حد اعلای ارضای نیازهای خود، کنترل می کنند.
دِو130 (1998) نیز به این نکته اشاره کرد که انگیزه ذاتی نسبت به انگیزه بیرونی اهمیت بیشتری در یادگیری دانش آموزان دارد. برای مثال، اگر دانش آموزی دارای انگیزه ای ذاتی شد، می تواند بیش از آن چیزی که انتظار می رود می تواند یاد بگیرد. او همچنین رابطه معنی داری بین موفقیت دانش آموزان با انگیزه ذاتی آن ها پیدا کرد.
میدلتون131 (1995) نظر بر این دارد که دانش آموزان با انگیزه ی بالا تمایل به برانگیختگی و نیاز به کنترل کمتر دارند. او به طور کلی به این نتیجه رسید، معلمان بهتر است در ساختارهای انگیزه ای پیش بینی های لازم را انجام دهند. برای این منظور، بهتر است آن ها در فراهم کردن محیطی که تسهیل کننده توسعه انگیزه ی ذاتی باشد را فراهم آورند. این موضوع نشان می دهد که محیط آموزشی در ایجاد انگیزه برای دانش آموزان بسیار حائز اهمیت است. وی با توجه به مطالعه خود (1999)، نشان داد دانش آموزان در چنین شرایطی در حالی که آن ها با وظایف دشواری درگیر بودند تفکری عمیق تر پیدا کرده و عملکرد بیشتری از خود نشان دادند. پس از مبارزه با برنامه های سخت، دانش آموزان اعتماد به نفس بیشتری به دست آوردند، و بیشتر آن ها به موفقیت رسیدند.
ریلیچ132 (1984) اظهار داشت که اگر دانش آموزان بتوانند درک کنند که موفقیت های آن ها با ارزش است و نتیجه به دست آمده از دو عامل توانایی و تلاش زیاد آن ها ناشی می شود، آن‎ها بیشتر به این باور خواهد بود که اگر تلاش کنند می توانند با ریاضیات بهتر کار کنند. مهم ترین جهت گیری در برانگیختن انگیزه توجه دادن دانش آموزان به خواسته هایشان برای رسیدن به فرایند واقعی از یادگیری، مانند احساس رضایت شایستگی است. به گفته رایان133 و پینتریچ134 )1997)، ادراک دانش آموزان از احساس شایستگی شناختی خود در ریاضیات تاثیر مثبتی بر دستاورد یادگیری در ریاضیات داشته است.
کیتون (1997) می گوید نرم افزار هندسه ی پویا برای دانش آموزان جالب است و این مساله به مسائل فیزیولوژیکی مربوط است. مارین دیاموند (عصب شناس) می گوید: محیط محرک باعث می شود رگ های گذرگاهی نورونی فکر یا همان درخت جادویی ذهن شکل بگیرد. (نقل قول از فگارتی 1999) مک دونالد135 (2006) نیز مداخله ی عاطفی معلم را در حفظ انگیزه ی دانش آموزان مهم می داند.
تعامل اجتماعی
بسیاری از محققین معتقدند ارتباط و همکاری بر یادگیری تاثیر مثبت دارد (کالینز136، براون137 و داگاید138، 1989؛ کانفری139، 1990؛ دی کرخوف140، 1996). کار گروهی باعث می شود از آن چه افراد نمی دانند انرژی تولید کند. دیکر خوف ( 1996) معتقد است این ندانستن برای سایر اعضا مهم است، زیرا به آن ها کمک می کند برای حل مسئله اقدام کند شونفیلد141 (1994) در کلاس خود مهارت های اجتماعی ارتباط و مذاکره را با دقت توضیح می دهد زیرا وی معتقد است انسان ها ارزش ها و عقاید شان را از طریق تعامل با دیگران به دست می آورند. دانش آموزان قسمتی از اجتماع ریاضیات کلاس هستند که ایده هایشان را با یکدیگر بررسی می کنند.
کالینز براون و دوگاید (1984) کار گروهی در ریاضیات را پیشنهاد می دهند زیرا معلمان به ندرت می توانند به تفکرات دانش آموزان گوش دهند، آن ها ممکن است متوجه نشوند اطلاعاتی که یک دانش آموز ارائه می دهد بازگویی مطالب ارائه شده پیشین است که تنها برای اهداف مدرسه ای بیان می شود و برداشت های غلط در مورد استراتژی های حل مسائل را پنهان کند. ویگوتسکی معتقد است تغییرات تحولی برای ایجاد کارکردهای عالی ذهنی یعنی حل مسئله و تفکر عمدتاً از راه تاثیر فرهنگ و ارتباطات اجتماعی میسر می شود. تاکید ویگوتسکی بیشتر بر تعامل بین فرد و زمینه ی اجتماعی است. بنا به گفته ی ویگوتسکی "همین تبدیل روابط اجتماعی به کارکردهای ذهنی موجب رشد و تحول شناختی می شود."
2.5.2 برنامه ی درسی
کمترین استفاده از فن آوری رایانه ای در آموزش هندسه در برنامهی درسی تغییراتی به وجود می آرود. حتی فقط با داشتن یک رایانه در کلاس، امکانی برای تغییر کل فرآیند آموزشی، قواعد معلم و روش های مورد استفاده به وجود می آید. بایلور142 (1993) و روبلیر143 (1996) بیان می کنند که اولین، بهترین و موفق ترین کاربری از فن آوری در کلاس ریاضی به طور نامحدودی بستگی به معلم دارد. در برنامه درسی دو روی کرد اساسی وجود دارد الف- برنامه درسی از پیش طراحی شده144 و ب- برنامه درسی برآمده145
برنامه درسی از پیش طراحی شده مبتنی بر نظریه کنترل است. اساس این نظریه بر پایه ی نظریه ی دیوان سالاری یا همان بوروکراسی ماکس وبر146 ( 1881-1961)، جامعه شناس آلمانی تشکیل یافته و پایه گذاران آن عبارتند از: فرانکلین بابیت147 و فردریک تیلور148 که به سنت گرایان شهرت دارند. آنان معتقدند که امور آموزشی باید همانند مدیریت علمی ماکس وبر اداره شود و همه مراحل کار از ابتدا تا انتها مشخص باشد و برنامه های درسی به طور علمی کنترل شوند، تا کارایی فرآیندهای آموزشی افزایش یابد. بنابر این، ابتدا، باید هدف ها مشخص و سپس محتوا تهیه شود، آن گاه فعالیت های یاد دهی و یادگیری سازمان یابند و سرانجام از امور آموزشی و پرورشی ارزشیابی به عمل آید.
در این نظریه، معلمان به فنون یادگیری مشارکتی و فعال می پردازند که موجب افزایش توانایی یادگیری دانش آموزان می شود. معلمان هدایت گر، اطمینان می یابند که همه تکالیف درسی تا سرحدّ امکان به ارضای نیاز دانش آموزان می انجامد؛ این امر به پایبندی دانش آموزان در یادگیری کمک می کند.
به نقل از جونز و نیمو(1994)، اولین بار واژه برنامه درسی برآمده توسط الیزابت جونز در سال 1970 مورد استفاده قرار گرفت. این واژه به برنامه درسی اشاره می کند که بر مبنای علایق و فعالیت های دانش آموزان استوار است. اگر در بحث کلاسی، دانش آموزی ایده جالبی داشت، در آن صورت، معلم برنامه خود را عوض می کند و وارد آن ایده خوب می شود و پس از آن، کلاس را بر مبنای آن ایده ادامه می دهد. این که برنامه درسی به چه شکل باشد، از کجا شروع شود و به کجا ختم شود، هر لحظه چگونه جهت گیری شود، ارتباط آن با ویژگی های فراگیر در هر لحظه چگونه است؟ دانش آموزچه نقشی در برنامه درسی دارد؟ مواردی است که در این روی کرد مورد توجه قرار می گیرد. (زهرا گویا)
برنامه درسی برآمده بیش از آن که از طریق برنامه از پیش تعیین شده معلم به پیش رود توسط علایق به روز دانش آموزان هدایت می شود. به تعبیر فورمن و فیف (1998) برنامه درسی توسط کودکان به وجود می آید و توسط معلم شکل می گیرد و فرم و قالب می یابد جونز و نیمو (1995) معتقدند برنامه درسی آن چیزی است که در فضای آموزشی رخ می دهد نه آن چه به طور منطقی برنامه ریزی شده است.
نظریه ی ساختن گرایی به حذف برنامه های درسی یک دست و استاندارد نظر دارد. به جای آن، برنامه هایی را توصیه می کند که ویژگی و اصول ساختن گرایی را داشته و با پیش دانسته های دانش آموزان سازگار و منطبق باشد. هم چنین این نظریه در سراسر فرایند یادگیری، بر مهارت های حل مسئله، تفکّر انتقادی، تجزیه و تحلیل موضوع، ترکیب و ارزشیابی نیز تاًکید می کند.
در سنجش و ارزشیابی، ارزشیابی دقیق تر آموخته های دانش آموزان، معلمان و مربیان باید با همکاری و هماهنگی با یک دیگر و بهره گیری از روش های مناسب، رشد توانایی های هر دو نیمکره ی مغز را مورد سنجش و ارزشیابی قرار دهند. ساختن گرایان معتقدند که در سنجش، رتبه بندی دانش آموزان و آزمون های چندگزینه ای و معیاری نمی تواند روش مناسبی باشد و باید از آزمون های باز – پاسخ و برنامه های مبتنی بر عملکرد149 استفاده کرد و هم چنین، آنان سنجش و ارزشیابی را بخشی از فرایند یادگیری می دانند که باعث می شود دانش آموزان بیشتر بتوانند درباره ی میزان پیشرفت تحصیلی خود قضاوت کنند.
انتخاب روی کرد برنامه درسی در محیط های نرم افزاری در شیوه آموزش تعیین کننده است. به هر صورت برنامه ریزان، موًلفان کتاب های درسی، مدارس و معلمان برای این که توانایی های کل مغز را پرورش دهند، باید مطالبی را آموزش دهند که توانایی های هر دو نیم کره را، به طور مساوی، تقویت می کنند. از نظر آموزش نیز هر چند یافته های مبتنی بر این نظریه در برنامه ریزی آموزشی کاربرد بیشتری دارد، معلمان برای این که بتوانند توانایی های کل مغز را تقویت کنند باید به آموزش موضوعاتی که سبب تقویت هر دو نیم کره ی مغز می شوند، توجه کنند و روش ها و فنونی را در تدریس به کار گیرند که به تفکّرات هر دو نیم کره مغزی مربوط باشد.
در برنامه ریزی درسی باید به نیازهای اساسی دانش آموزان توجه شود و نیز روی کرد مطالب برای یادگیری، به گونه ای باشد که در دانش آموزان انگیزه درونی ایجاد کند؛ معلمان هم باید در مورد ارزش محتوا و روش های آموزش و یادگیری آن ها با دانش آموزان گفتگو کنند. معلم در محیط های آموزشی هندسه لازم است این نوع از ابزارهای نرم افزاری باز- پاسخ150 را مبنایی برای برنامه درسی قرار دهد.
تدریس
تدریس صحیح برای اجرای برنامه درسی باید دارای ویژگی هایی زیر باشد:
1. آمادگی کودک برای آموختن
2. شناخت مناسب ترین گام هایی که باید در آینده بردارد
3. اتخاذ روشی منظم برای رشد توانایی بالقوه ی او
انواع روش ها در تدریس شامل موارد زیر می شود:
1. استفاده از داده های خام منابع اولیه مواد قابل دست کاری
2. استفاده از اصطلاحات شناختی (طبقه بندی، تجزیه، پیش بینی، خلق کردن)
3. جایز شمردن پاسخ های دانش آموز و تغییر دادن استراتژیهای آموزشی
4. جویا شدن فهم دانش آموز
5. تشویق دانش آموزان برای درگیر کردن آن ها در گفتگوهای خود و دیگران
6. تحریک حس کنجکاوی با استفاده از سوالات باز پاسخ و فکورانه
7. درگیر کردن آن ها در تجربیاتی که باعث نقض فرضیه می شود.
8. تشویق خودگردانی و استقلال دانش آموز
9. فرصت دادن به دانش آموز بعد از مطرح کردن سوالات
10. در نظر گرفتن پاسخ های اولیه دانش آموز
11. فرصت دادن به دانش آموز جهت ساختن روابط و استعاره ها
12. پرورش حس کنجکاوی از طریق الگوی سه مرحله ای سیکل یادگیری (کشف، معرفی و کاربرد مفهوم)
2.5.3 فعالیت های یادگیری
برای حصول نتیجه مطلوب، کتاب و شیوه آموزش آن و هر وسیله آموزشی باید بر مبنای فعالیت دانش آموز تنظیم شده باشد تا دانش آموز بتواند در جریان فعالیت خود مفاهیم را فراگرفته و قواعد را کشف کند و در حد مناسبی به فکر کردن هدایت شود و بتواند آن چه را فراگرفته است، در حل مسایل پیرامونش به کار گیرد.
نظریه ی فعالیت را گروهی از روان شناسان انقلابی روسی در دهه های 1920 و 1930 ارائه کرده اند. روی کردها و راه کارهای این نظریه، بوسیله ویگوتسکی و همکاران او لوریا 151 و لئون تی یف152 تدوین شده است. فعالیت، در ساده ترین معنی، اشتغال فرد برای رسیدن به هدف معینی است. به بیان دیگر، یک فعالیت با واسطه ی یک عامل انسانی (فاعل) که برای حل مسئله ای انگیزه یا هدف دارد، از ابزار (مصنوعات) استفاده می کند و از تجارب و تشریک مساعی دیگران (جامعه) بهره می گیرد. بطور خلاصه هر فعالیتی، ویژگی هایی دارد که عبارتند از:
1. انگیزه دار و هدفمند است و دلیل فعالیت را برای فرد (فاعل) روشن می سازد.
2. یک پدیده ی جمعی است.
3. دارای فاعل است که انگیزه و هدف فعالیت را درک می کند؛ فاعل می تواند فرد یا گروه باشد.
4. در محیط مادی به وقوع می پیوندد و آن را تغییر شکل می دهد.
5. با واسطه ی ابزار و مصنوعات، تجربه افراد جامعه، قوانین و روش های شناخته شده انجام می شود.
مطالب و برنامه های درسی باید به گونه ای طراحی و تهیه شوند که انگیزه ی لازم را برای یادگیری دانش آموزان فراهم و واسطه های فعالیت یادگیری (جامعه، ابزار، قوانین و روش ها) را مشخص کنند. معلمان باید با ایجاد انگیزه در دانش آموزان، مشخص کردن هدف از آموزش و مجهز کردن دانش آموزان به ابزاری که برای اجرای فعالیت های یادگیری لازم است، زمینه را برای بهره گیری از اصول این نظریه فراهم کنند.
توسعهی فعالیت ها به گونه ای که دانش آموزان بتوانند فعالانه مشارکت داشته باشند، فرآیندی پیچیده و مهم است. فلولینگ (2000) بر اساس پژوهش خود در مورد ساختار مهارت های یادگیری، چنین جمع بندی می کند که فعالیت های زیادی شکل گرفته است به گونه ای که دانش آموزان به سادگی می توانند آن ها را انجام دهند. او پیشنهاد می دهد. در عوض، تاکید باید بیشتر بر طراحی فعالیت هایی باشد که چالشی را پیش رو قرار می دهند و از نظر اجرایی ارزش داشته باشند. (فلولیگ، 2000). تاکنون نیز این نتایج را در پیش برد راه بردهایی برای معلمین به کار می برند. آن ها از این راهبرد ها در ایجاد فعالیت های یادگیری پر بار استفاده می کنند.
بدیهی است رشد توانایی های کودک برای تفکر و یادگیری در الگوهای منطقی، از طریق تجربه کودک با اشیاء واقعی حاصل می شود، زیرا کودکان از طریق فعالیت های شان، با اشیای مختلف می فهمند و درک می کنند، نه از طریق مشاهده اشیا و یا چیزهایی که راجع به اشیاء به آن ها گفته می شود.
هاداس و هرشکودیتس (1999) در مورد فعالیت هایی که دانش آموزان باید با استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا انجام دهند، تحقیقات زیادی را صورت دادهاند. آن ها این فعالیت ها را به دو قسمت تقسیم می کنند. ترسیمی و حدس زدنی. آن ها معتقدند حدس زدن با ترسیم ارزش برابری ندارد. در نرم افزار امکان خلق تصاویر به طور نامحدود وجود دارد. لابورد می گوید:
طراحی پویا پدیده ی تصویری قوی تری است. محیط نرم افزار صحت توضیح و اثبات را برای دانش آموز تسهیل می کند، یا بنا به گفته ی بروسیو این نرم افزار فرایند انتقال مساله را تسهیل می کند. در این حالت دانش آموزان با فعالیت روبرو می شوند. در حالی که در هندسه ی سنتی فعالیت اثبات، کاری مدرسه ای بود که با پدیده ی شهود ارتباطی نداشت (لبورد 1998 ص117)
نوع محدودتری از نرم افزارهای هندسه ی پویا اپلت های آموزشی است. اپلت های آموزشی نمونه ای خاص از نرم افزار هندسه هستند که گزینه ای جالبی برای یادگیری هندسه را در اختیار دانش آموزان قرار می دهد. جکیو طراح نرم افزار اسکچ پد معتقد است این فرمت مزایایی برای دانش آموزان به همراه دارد. زیرا باعث می شود آن ها با همه شاخصه های نرم افزار مواجه نشوند. البته این مساله معایبی نیز دارد. به عنوان مثال در برخی موارد نمی توان تغییری در طرحها ایجاد کرد و در آن دست برد، در حالی که ناس و هویلس (1994) بر این باورند که مهم ترین ویژگی طرح های پویا قابلیت دست بردن و ایجاد تغییر در آن هاست. آن ها می گویند هنگامی که دانش آموزان با استفاده از ماوس شکل ها را می کشند و آن ها را جابجا می کنند، قادرند روابط میان اشکال را درک کنند. اگر پس از دست کاری یک طرح با استفاده از ماوس، آن طرح حالت اولیه ی خود را از دست بدهد، روابط هندسی آن شکل به خوبی مشخّص نشده است. دانش آموزان مجبورند تکنیک ها را بازنگری کنند و در مورد علّت این مساله به بررسی بپردازند. البته با توسعه نرم افزارهای هندسه ی پویا امکان گرفتن خروجی اپلت با انواع امکانات مورد نظر از نرم افزارها مانند اسکچ پد، کبری و جئوجبرا به وجود آمده و محدودیت های ذکر شده در اپلت ها را عملاً از بین برده است.
در برنامه ی درسی هندسه ی پویا دانش آموزان یاد می گیرند تصاویر را ترسیم و بررسی کنند. هم چنین می توانند طرح های آماده را بررسی کنند و در مورد آن ها حدس و نظر خود را ارائه دهند. در چنین شرایط یادگیری دانش آموزان ترغیب می شوند تا مطالب را بررسی کرده و نقش معلمان در این بین تسهیل کننده فرآیند یادگیری است. هر فعالیت مساله خوبی را ارائه می دهد و دانش آموز آن را فرا می گیرد.
2.5.4 نقش معلم در یادگیری
مهم ترین معضل در استفاده از فن آوری دسترسی به رایانه نیست، بلکه فقدان معلمین تعلیم دیده و توسعه یافته است. (بوربا، دِ سوزا، فِی، هادسون 1997)153 . طبیعت باز-پاسخی هندسه ی پویا نیازمند معلمینی است که در سطوح بالای دانش و اطمینان در توانمندی های ریاضی باشند.
لابرد (1993) نیز چالشهایی را که در معرفی یک نرم افزار جدید در کلاس های هندسه ایجاد می شود به ما خاطر نشان می سازد:
فرایند درک فوراً و با مشاهده ی طرحهای متحرک بر روی صفحه ی کامپیوتر بوجود نمی آید. این فرایند در محیطی منظم و مدون از طریق یادگیری شکل می گیرد. این مطلب بدان معناست که نقش معلمین همچون گذشته پررنگ و تاثیرگذار است، تنها تفاوتی که در امر آموزش وجود دارد ابزاری است که معلم برای محیط آموزش در اختیار دارد. از یک جهت وظیفه ی وی پیچیده تر است.
پژوهش گران نقش معلم را در گونه های متفاوت توصیف کرده اند. همان طور که گراومیجر 154(1989) توضیح می دهد، فرودنتال155 نقش معلم را نوعی راهنما می داند که مسیر یادگیری را به دانش آموزان نشان می دهد. در این نقش معلم این امکان را فراهم می کند که دانش آموزان در مسیر مشخص تری حرکت کنند و مفاهیم ریاضی را در ذهن خود بپرورانند. شونفیلد (1989) نقش معلم را به عنوان یک قدرت فرض می کند و پیشنهاد می دهد که فرآیند تشخیص و تایید مطالب باید در کلاس و مشارکت دانش آموزان صورت بگیرد. بال (1993)، چازان و بال (1999)، کلارک (1993) و کالینز، براون و نیومن (1989) نقش معلم را به عنوان تسهیل کننده فرآیند پرسش عنوان می کنند و معتقدند که دانش آموزان باید مشارکتی فعال داشته باشند. در میان همه این عقاید همگی بر این باورند که معلم صرفاً انتقال دهنده علم نیست.
طبق نظر برونر (1960) هر موضوعی را می توان به نحوی سودمندانه و در شکلی صادقانه به هر کودکی در هر مرحله ی از رشد آموزش داد. بنابر این وظیفه ی معلم آن است که آموزش را به گونه ای پیاده کند که هم با تفکر کودکان سازگار باشد و هم آنان را به تفکر بیشتر وا دارد. (روان شناسی پرورشی، دکتر علی اکبر سیف، صفحه 222) تدریس، یک علم نیست، بلکه یک هنر است. اگر تدریس یک علم بود، بهترین روش تدریس وجود داشت و همه باید مانند آن، تدریس می کردند. از نظر پولیا دانش آموز نمی تواند تنها به وسیله خواندن، تنها با گوش کردن به سخنرانی ها و یا نگاه کردن به فیلم ها، چیزی یاد بگیرید. معلم لازم است از عمل و ذهن خود چیزی به آن ها اضافه کند تا یاد بگیرند. سقراط در دو هزار سال پیش، می گفت که فکر و ایده، باید در ذهن دانش آموز زاده شود و معلم باید به عنوان یک ماما عمل کند .اندیشه باید در ذهن دانش آموز به صورت طبیعی زاده شود و ماما نباید زیادی و پیش از موعد مقرر دخالت کند.
در نظریه ساختن گرایی، معلمان راهبردهای آموزشی را متناسب با نیاز و پیش دانسته های دانش آموزان انتخاب می کنند. آنان دانش آموزان را ترغیب و راهنمایی می کنند که خودشان اصول و قواعد را کشف و به طور فعال درباره ی موضوعات بحث کنند و سرانجام به معنی و درک شخصی دست یابند. از دیگر راهبردهای آموزشی که ساختن گرایان ارائه می دهند عبارت است از تمرین، پرداختن به فعالیت های مناسب، به کارگیری آموخته ها در عرصه ی عمل، همکاری و مشارکت دانش آموزان در امور آموزشی و سرانجام، دسترسی به منابع و بهره گیری از آن ها. موس156 (2000) در این ارتباط دریافت، آموزگارانی که به استفاده از شیوه ساختن گرایی آشنا باشند نسبت به بقیه افرادی که با این شیوه آشنا نیستند در استفاده از نرم افزار های هندسه ی پویا خود را بهتر تطبیق می دهند. در این روی کرد نقش معلمین به صورت زیر تعریف می شود:
1. تسهیل کننده
2. آموزگار خصوصی
3. واسطه دار
4. تحریک کننده
5. کمک کننده به دانش آموزان جهت ارزیابی خود
6. پرسش گر سوالات
7. خلق کننده موقعیت جهت تسهیل سازی فرایند انعکاس
استفاده از فن آوری محیط آموزشی ریاضی را تحت تاثیر قرار می دهد. یروشالمی و هود در سال 1986 توضیح می دهند که:
آموزشی که ما استفاده می کنیم بیشتر شبیه روش کلاس های علوم است. در این کلاس ها به فرآیند علمی جمع آوری اطلاعات، حدس زدن ها و جمع آوری مثال ها یا تعمیم قانون اهمیت داده می شود… دانش آموزان عمده وقت کلاس در حال بحث و انجام مسائل هندسی هستند و معلم کمتر در مورد مطالب درسی صحبت می کند (فی، 1989)
دری فاس در سال 1991 پیش بینی کرد که استفاده از رایانه بر موضوعات برنامه درسی تاثیر نمی گذارد بلکه ایده های جدیدی در رابطه با تدریس ریاضیات ارائه می دهد. در واقع تغییرات در باب تدریس ریاضی بسیار کند صورت گرفته است.
نقش معلم در مدل بروسیو
بروسیو (1997) در نظریه آموزشی خود دو نقش عمده برای معلمین ریاضی ارائه می دهد:
1. واگذاری
2. رسمی کردن
وی در توصیف فعالیت یادگیری اظهار می کند:
در خلال زمانی که مسئله را بررسی می کند و جواب آن را می دهد معلم از مداخله می پرهیزد و مطالب مورد نظرش را به دانش آمو انتقال نمی دهد… این شرایط پیش نیازی برای شرایط گسترده تر است. در واقع معلم قصد دارد شرایط آموزشی را به دانش آموز القاء کند. دانش آموز نیز مستقل می شود و تعامل مفیدی پیدا می کند.
در مدل بروسیو مرحله پس از انتقال، رسمی کردن نام دارد. در این مرحله معلم مفهوم ها را از منظر خود با دانش آموزان سهیم می شود. فرضیه بروسیو به تمایل طبیعی معلمین برای پیشرفت مهارت هایی که به دانش آموزان کمک می کند پر و بال می دهد. معلم در مورد آن چه که به دانش آموزان می آموزد هدفمند است به نظر ساترلند و بالاچف (1999) در نظریهی موقعیت استدلال ساختار پذیرفته شدهی جهانی دانش در آموزش حق تقدم داشته و به صراحت بیان میشود و مورد توجه قرار میگیرد.
در کلاس های آموزشی که در آن از مصادیق فن آوری استفاده می شود باید. ارتباط میان دانش آموز و رایانه نیز لحاظ شود. شاترلند و بالکف (1999) پیشنهاد دارند که ارتباط میان معلم، دانش آموز و رایانه باید بر اساس نظریه شرایط آموزشی بروسیو بررسی شود. می توان دسته بندی تاورز (مداخله ی معلّم) را برای توضیح این ارتباط به کار برد.

شیوه های مداخله معلم
مک دونالد (2006) کیفیت مداخله به منظور حمایت از یادگیری دانش آموزان را چنین مطرح می کند.
1) عاطفی157: اعتمادسازی
2) مکالمه ای158 انطباق با نیازهای فردی
3) تمرکزگرایانه159 تمرکز بر بخش مشخصی از واحد درسی
4) تاملی160 فرصت دادن برای تفکر
5) به موقع161 مرتبط، مفید و به موقع بودن
6) رجوع پذیر162 حمایت انفرادی به همراه حمایت گروهی
7) قابل دسترسی163 قابل دسترسی برای بیشترین تعداد یادگیرندگان
وی انتخاب رسانه را منوط به مشخص کردن نوع مداخله می داند.
تاورز164 (1999) نقش معلمان در مقابل هر دانش آموزان را مورد تحقیق قرار داد. او ماهیت مداخله معلمان را بررسی کرد و مواردی را که باعث پیشرفت درک دانش آموزان بود مشخص نمود. پژوهش وی مطابق با کلاس های ریاضی ای بود که در آن از فن آوری رایانه ای استفاده می شد وی سه روش آموزشی را مشخص کرد:
الف) نشان دادن و گفتن165: قسمت عمده مداخله ارائه اطلاعات جدید است در این مرحله معلم پی گیری توضیحات توسط دانش آموز را بررسی نمی کند.
ب) هدایت166: هدف ایجاد مسیری برای هدایت دانش آموز به جوابی خاص است. این مرحله
اغلب شامل توضیحات گام به گام می باشد متفاوت این روش با روش قبل
در این است که معلم با استفاده از سوالات، دانش آموزان را وارد بحث می کند.
ج) به مقصود رساندن167: در این روش معلم ار طریق ترغیب های ماهرانه دانش آموزان را در درک مطالب
یاری می کند.
تاورز متوجه شد که روش ج و استراتژی های دعوت، باعث پیشرفت درک دانش آموزان می شود. وی دسته بندی ها را بدین نحو توضیح می دهد:
جدول ‏2- و: استراتزی های مداخله معلم از نظر تاورز
استراتژی ها
توضیح
چک کردن168
معلم بررسی می کند که آیا دانش آموز مطالب را متوجه شده است؟
تقویت کردن169
در مرحله بعدی به مسائل مهم تاکید بیشتری می کند. (مطالبی که خود دانش آموز به آن اشاره دارد).
دعوت کردن170
پیشنهاد مطالبی جدید برای بررسی و تحقیق. این مرحله از سرنخ دادن بازتر است
سرنخ دادن171
هدایت دانش آموزان به جواب صحیح.
مدیریت کردن172
این مرحله شامل نظم دهی، ارائه دستورالعمل ها و حفظ دانش آموزان در یک فرآیند است
فرهنگ سازی173
دانش آموزان را با نمادها، زبان و تمرین هایی آشنا می کنند که مختص کلاس های ریاضی گسترده تر است.
مانع شدن174
از رفتن دانش آموزان به مسیرهای خاصی جلوگیری می کند (گاهی اوقات دانش آموزان به مرحله گذشته برمی گردند و در این روش از این کار جلوگیری می شود).
مدل سازی175
معلم فرآیند فکری خود را مدلسازی می کند.
تمجید176
تمجید از دانش آموزان و گروه و تمام اعضای کلاس
خالی کردن177
در این مرحله معلم تعمداً دانش آموز را مجبور می کند، توجه خود را به قسمتی که در آن با مشکل رو به رو شده بود معطوف سازد.
عقب نشینی178
در این مرحله معلم دانش آموزان را رها می کند تا در مورد مسئله ای بیاندیشند.
پیش دستی179
از اشتباه دانش آموزان جلوگیری می شود و نمی گذارد آن ها به خطا بیافتند و جنبه های چالشی فعالیت از میان برداشته می شود.
در انتها تاورز معتقد است پیشرفت در یادگیری و درک دانش آموزان به مداخله معلم بستگی دارد و در عوض عملکرد دانش آموز، قابلیت ها و دانش پیشین وی عمق و جهت پیشرفت در تعمیم مطالب را معین میکند.
نظریه ی ظهور و محو
کمک به دانش آموز به منظور کنترل سرخوردگی وی، به ما این اطمینان را می دهد که نه او را در تلاش خود تنها بگذاریم و نه آن قدر دخالت کنیم که در حل مسائل، کمتر درگیر شود و ابتکار عمل کمتری داشته باشد. در حل مسائل مشکل نباید دانش آموزان را تنها رها کرد و از طرفی نباید آن قدر هم به او کمک برسانیم که امکان شرکت او در حل مسئله و نوآروی و خلاقیت وی به حداقل برسد.
وود180 (1996) در خصوص میزان حضور معلم دو تعبیر چوب زیر بغل181 و محو شدن182 را مطرح می کند. چوب زیر بغل به معنی سازه ای برای شکل گیری مفاهیم یادگیری است. زمانی که دانش آموز در یادگیری مفاهیم و مهارت ها دچار مشکل می شود، مربی باید پیشنهادهای آموزشی بیشتری را به دانش آموز بدهد، به او کمک کرده و نقش خود را در یادگیری ظاهر کند. جرج پولیا متذکر می شود معلم، فقط اندکی به آن ها کمک می کند یا سرنخ می دهد. اگر بچه ها هیچ ایده ای نداشته باشند، در این صورت یک معلم خوب آموزش دیده که به تدریس دانش آموز محور، خو گرفته است، می تواند چند سرنخ به آن ها بدهد.اگر به نظر رسید دانش آموز با این شرایط باز هم از مشکل خلاصی پیدا نکرد، مربی صراحت راهنمایی های خود را بیشتر می کند.
صراحت در راهنمایی می بایست به شکل تدریجی زیاد شود تا حدی که حتی اگر لازم شد جواب مسئله نیز داده شود. در مقابل مربی همواره باید تلاش کند با دانش آموز با حداقل کمک مورد نیاز موفقیت را کسب نماید. این با کاهش میزان ظاهر شدن نقش معلم (محو) میسر خواهد شد. نوع کمک از نشان دادن بیان آغاز و به سپس تایید پاسخ های درست و یا حتی سکوت مطلق و در نهایت رها هر نوع کمک به دانش آموز صورت می گیرد. برای معلمی که می خواهد با توجه این فرآیندها تدریس کند، دو موضوع اصلی که باید در نظر بگیرد، در نظر گفتن زمان و میزان کم به دانش آموز است. (ماوریکیس 2001)

مراحل یادگیری
در کلاس های درس مبتنی بر روی کرد ساختن گرایی دانش آموزان برای تنظیم کردن سوالاتشان تشویق می شوند. به آن ها اجازه داده کی شود برای درک خود آزمایش کنند و از پدیده ها تفسیرهای چندگانه ارائه دهند. از طرفی برای استفاده از همتایان به عنوان منابع فرصت هایی فراهم می آید.
رابرت .او و مک کلتناک و جان . بی بلک بر اساس روی کرد ساختن گرایی مدلی را برای توضیح مراحل یادگیری به دانش آموزان معرفی کردند:
1. مشاهده: دانش آموزان مشاهدات خود را از مواد اولیه، یا شبیه سازی های مربوط به آن را
می سازند.
2. ساخت تفسیر: دانش آموزان مشاهداتشان را تفسیر و دلایلشان را توضیح می دهند.
3. زمینه یابی: دانش آموزان زمینه ای را برای توضیح هایشان می سازند.
4. شناخت نوآموزان: معلمان به دانش آموزان نوآموز کمک می کنند که در مشاهده و تفسیر مسلط
شوند.
5. مشارکت: دانش آموزان در مشاهدات تفسیر و زمینهیابی با هم مشارکت می کنند.
6. تفسیرهای چندگانه: دانش آموزان می توانند به سهولت دانش خود را از طریق تفسیر های چندگانه از دانش آموزان دیگر و یا مثال هایی از متخصصین به دست بیاورند.
7. اظهارات چندگانه: دانش آموزان دانش قابل انتقالی را از طریق اظهارات چند گانه ای از همان
تفسیرها بدست می آورند.
حمایت و مداخله ی مناسب معلم برای شکل گیری این مراحل در محیط های نرم افزاری توسط معلم آموزش دیده اهمیت ویژه ای دارد. پژوهش گر برای تقویت مهارت ]ای هندسی در دانش آموزان به ویژه مهارت های کلامی از این مراحل بهره گرفته است.

کارآموزی شناختی
کالینز، براون و نیومن183 (1989) پیشنهاد دادند که یادگیری ریاضیات را می توان با یادگیری یک حرفه مقایسه کرد. که این فرآیند به تعبیری کار آموزی شناختی نام گرفته است. یک کار آموز به استاد خود توجه می کند و سپس با نظارت کامل عمل می کند و در نهایت خود می تواند به تنهایی کار کند.
استراتژی های نمونه معلم ریاضی همانند نقش استاد عمل می کند. در مرحله بعدی معلم ریاضی همانند یک مربی به کار دانش آموز نظارت دارد و در پایان هنگامی که دانش آموز مستقل شد نقش وی محو می شود. شاخصه اصلی کار آموزی شناختی توجه به این ایده است که دانش محصول فعالیت، محیط و فرهنگی است که در آن رشد می کند. (کالینز، براون و نیومن، 1989) چنین نگرشی به یادگیری ریاضی اهمیت یادگیری عملی را نمایان می سازد. اگر دانش آموز بخواهد در این زمینه مجرب شود گوش دادن به توضیحات کافی نیست. (بلایس184، 1988)
کلمه کار آموزی ممکن است مفهوم تمرین را در برداشته باشد. اما یادگیری ریاضیات مفهومی فراتر از تمرین تحت نظارت را در بردارد آلن شونفیلد185 (1989) کار در حوزه ریاضیات را عمل " مفهوم سازی" یا " ایجاد حس186" می نامد.
گلدنبرگ، کوکو و مارک (1998) معتقدند که ما باید به دانش آموزان کمک کنیم تا " عادت ذهنی " ریاضیاتی را در خود رشد دهند. این نظریات نشان می دهد که یادگیری ریاضیات در واقع یادگیری تفکر ریاضی است. یعنی یاد بگیریم مسائل را با الگوها حل کنیم، حدسهای مناسب بزنیم و رابطه ها را توضیح بدهیم. ما نمی توانیم تنها با گفتن آن چه دانش آموزان نیاز به دانستن چه چیزهایی دارند امیدوار به رسیدن به نتیجه داشته باشیم. (چازان و بال، 1999).
در کارگاه های هندسه ی پویا در پژوهش حاضر دانش آموزان با حضور معلم اقدام به این نوع از کارآموزی می کردند و عملاً به طور جدی با موضوع مورد بررسی درگیر می شدند. مثال ها و فعالیت های تعریف شده برای آن ها بسیار واقعی می نمود. نهایتاً موقعیت هایی برای توسعه ی مهارت های یادگیری برای آن ها فراهم می شد.
2.5.5 شرایط سنی یادگیرندگان
پگ و دیوی با ترکیب مدل ونهیل و طبقه بندی سولو به شکل هوش مندانه ای، تعبیر جدیدی از مدل ون هیل را ارائه دادهاند. این مدل نشان می دهد که یادگیری در یکی از پنج مرحله تفکر صورت می گیرد:
1. حسی حرکتی (بلافاصله پس از تولد). هر فردی به محیط فیزیکی خود عکس العمل نشان می دهد در یک نوزاد این مرحله با شروع مهارت های حرکتی آغاز می شود.
2. تصویری (از دو سالگی). هر فردی فعالیت ها را در غالب تصویر تجسم می کند. در این مرحله کودک می تواند کلمات و تصاویر را برای اتلاق به اشیاء به کار برد. این مرحله بعدها در هنر و موسیقی کاربرد دارد و پایه گذار علم شهودی است.
3. نمادین (از شش تا هفت سالگی). هر فردی می تواند از زبان نوشتار یا سیستم های عددی استفاده کند. این مرحله متداول ترین روش در یادگیری ابتدایی و راهنمایی است.
4. رسمی (از پانزده یا شانزده سالگی). هر فرد می تواند در حوزه تئوری ها و اصول فعالیت کند و مفاهیم انتزاعی را در نظر بیاورد. در این مرحله فرد به مطالب عینی محدود نمی شود.
5. فرا رسمی (در حدود بیست و دو سالگی). هر فرد می تواند ساختارهای اساسی تئوری ها را بررسی کند.
بسته به شرایط یک فرد ممکن است در مراحل متفاوتی به سر ببرد. به عنوان مثال در یک محیط در مرحله رسمی و در محیطی دیگر در مرحله تصویری به سر برد.
از طرفی مفاهیم ذهنی در دانش آموزان به تدریج از ساده آغاز شده و به تدریج به حالت ترکیبی می رسد. پگ و دیوی این روند را به صورت زیر توضیح می دهند:
1. پیش ساختاری: دانش آموز متناوباً از مسیر خود منحرف می شود و جنبه های نا مرتبط او را گیج می کند.
2. تک ساختاری: دانش آموز روی مسئله متمرکز می شود اما تنها یک قسمت از اطلاعات مرتبط را به کار می برد.
3. چند ساختاری: دانش آموز بدون آن که به ارتباط میان اطلاعات پی برد از آن ها استفاده می کند. در این مرحله هیچ انسجامی وجود ندارد.
4. رابطه ای: دانش آموز از همه اطلاعات بهره می برد. کلیه اطلاعات ساختاری منسجم را تشکیل می دهد که در سیستم خود هماهنگ هستند.
5. انتزاعی: دانش آموز از ورای اطلاعات به یک برداشت جدید در استدلال می رسد و می تواند ویژگی های جدید را در قالب کلی تعمیم دهد.
پگ و دیوی معتقدند این طبقه بندی می تواند با مدل ون هیل در ارتباط باشد. از این جهت می توانیم درک هندسی دانش آموزان را توضیح دهیم. آن ها در استنتاج خود تنها سه مرحله تک ساختاری، چند ساختاری و رابطه ای را در نظر می گیرند. از نظر آن ها مرحله بنیادی با مرحله بعد یکی است و مرحله چهار نیز در ادامه به تجزیه مبسوط منجر می شود.
جدول ‏2- ز: تلفیق طبقه بندی پگ و دیوی و مدل ون هیل
طبقه بندی پگ و دیوی
ون هیل
مرحله
حالت
سن (سال)
مرحله
رابطه ای
تصویری
از 2
1
چند ساختاری/ تک ساختاری
عینی
7-6
2
رابطه ای
عینی
7-6
3
چندساختاری/ تک ساختاری
رسمی
16-15
4
چندساختاری/ تک ساختاری
فرا رسمی
از 22
5
رشد منطق در کودکان
ون هیل، پیاژه و سایر نظریه پردازان جنبه های فکری متفاوتی در زمینه پیشرفت مهارت اثبات ارائه داده اند. به عنوان مثال، پیاژه (پیاژه، 1928؛ پیاژه، 1987؛ پیاژه، اینهلدر و زیمانسکی، 1960) مراحلی را برای مفهوم توضیح و اثبات بیان کرده است. روند رشد منطق در کودکان از نظر پیاژه به این صورت است که تفکر کودک تا سن 7 سالگی، بی نظم و بدون اساس بوده و منطقی نیست. در سنین 7 تا 11 سالگی، تفکر منطقی می شود اما محدود به موارد تجربی است. تنها در سنین 11-12 سالگی به بالا افراد می توانند استنتاج منطقی ارائه دهد و در سیستم ریاضیات آگاهانه عمل کند. کودک به علت ارتباط با دیگران بیشتر نسبت به افکار خود آگاه می شود، از تعاریف مفاهیمی که به کار می برد آگاهی کسب می کند و می تواند برای درون نگری تجارب فکری خود استعدادی جزئی به دست آورد. وی قادر است به طور فزاینده ای طرز فکر دیگران را دریافت کند و به کار بندد. نهایتاً با شروع تفکر رسمی، تجارب منطقی جای تجارب ذهنی را می گیرد.

رشد مهارت های دیداری در کودکان
پیاژه معتقد است کودکان تصاویر مسطح هندسی را بدون مشاهده آن ها بررسی می کنند و سپس آن را رسم می کنند و نام می برند. پیاژه و اینهلدر بر اساس این فعالیت می گویند: "عکس العمل اساساً شامل تعبیر اصطلاحات حرکتی- لامسه ای است. این شیوه در مورد اشیای نامرئی و تبدیل آن ها به تصاویر بصری فضایی نیز صورت می گیرد" (پیاژه و اینهلدر، 1967).
کودک سنین 2 تا 4 سالگی نمی تواند تصویر کاملی از اشکال هندسی ارائه دهد. او با توجه به احساس خود در مورد خطوط منحنی یا نقاط، شکل لمس شده را به شکلی با ویژگی های مشابه تشبیه می کند. وی به باقی ویژگی های شکل توجهی نمی کند. کودک باید برای شناخت تصاویر هندسی تمام آن را بررسی کند. بنابر این اگر کودک نتواند با یک بار لمس تمام شکل، تجسم کاملی از آن را در نظر آورد، می تواند با حرکت دست بر روی شکل مجوعه ای از تجسمات را کسب کند. شناخت ادراکی شکل متعاقباً نتیجه ی هماهنگی این تجسمات است. در این مرحله فقدان بررسی از سوی کودکان می تواند نتیجه نقص ادراکی باشد از آنجایی که فعالیت های ادراکی منبعی برای تقلید اشکال هستند، کودکان نمی توانند حتی کپی ساده ترین شکلها را نیز رسم کنند. یعنی، به علت اینکه کودکان نمی توانند لبه های سطوح را لمس و بررسی کنند، قادر نیستند سطوح را ترسیم کنند.
در سنین 4 تا 7 سالگی، فعالیت های ادراکی پدیدار می شوند. تمایز عمده ای میان 2 دسته اصلی شکل ترسیم می شود، آیا شکل دارای خطوط منحنی است و زاویه ندارد، یا اینکه شکل راست خطوط و زاویه دار است. در واقع کودک خطوط راست را در مقابل اشکال مدور قرار نمی دهد، بلکه تقاطع خطوط راست را که زاویه نام دارند و اشکال مدور مقایسه می کند. به هر صورت، علیرغم آنکه این امکان وجود دارد که فعالیت های ادراکی در مرحله 2 تکمیل شوند، تحلیل موارد به صورت تجربی صورت می گیرد، بنابر این تلفیق اطلاعات ادراکی بر اساس استدلال صورت می گیرد.
و در سن 8 سالگی، بررسی اشکال دوباره از طریق فعالیت های ادراکی صورت می گیرد. این فعالیت در این مرحله چنین اجرا می شود: رو های اجرایی شامل گروه بندی اجرای یک طرح کلی است و از نقطه ای ثابت آغاز می شود تا در صورت لزوم کودک به آن نقطه بازگردد. در این مرحله ترسیم یک شی اطلاعات را در قالب یک طرح گردآوری می کند. این اطلاعات شامل خطوط راست و یا منحنی، زوایا، اصل تساوی، ترتیب و اضلاع مساوی یا نامساوی است. به عبارت دیگر، هر شکل مشاهده شده طرحی از فعالیت ها را ارائه می دهد که برای رسم آن لازم هستند.
2.6 پیشینه ی پژوهش
در سی سال گذشته افراد خلاق و نوآور استفاده از فن آوری در آموزش را مورد تجربه قرار دادند. (راجرز، 1995) برخی از این پیشگامان در این راه موفق شده اند (کلمنتس و باتیستا، 1989؛ چازان، 1990؛ دی، 1993؛ الکلی، 1993؛ لابورد، 1993؛ سولووی و نوریس، 1998). برخی دیگر نیز به ارائهی مشکلاتی که در این بین بوده پرداختهاند. (بکر، 1990؛ بلامی، 1997). بیش از دو دهه است که نرم افزارهای هندسه ی پویا از جمله پرمصرف ترین نرم افزارهای آموزشی در مدارس و دانشگاه های سراسر جهان محسوب می شوند. عمده تحقیقاتی که انجام گرفته پیرامون سه محور اصلی زیر است:
الف: تعامل با نرم افزار توسط دانش آموزان
بسیاری از مطالعات انجام شده بر نحوه ی تعامل دانش آموزان با نرم افزارها بوده است. به عنوان مثال آرزارلو و همکارانش متوجه شدند که دانش آموزان در برخوردهای اول با گرفتن و جابجا کردن نقاط و اشکال دچار سردرگمی می شوند، چرا که آن ها عادت به حرکت اشکال بر روی صفحه ی کاغذ ندارند. بعد از مدتی که این محیط را تجربه کردند، به قدرت حالت ترسیمی پی می برند. فهمیدن این که چه چیزی با جابجایی اجزا، ثابت می ماند همیشه مشخص و واضح نیست.
ب: یادگیری اثبات کردن در این محیط چگونه است؟
این حیطه از تحقیقات بر این سوال حیاتی متمرکز است که آیا فرصت هایی که توسط محیط های نرم افزاری هندسه ی پویا پیشنهاد می شود برای دیدن ویژگی های ریاضی که به شکل بسیار ساده ای ممکن است کاهش یابد و یا به طور کلی جایگزین هر نوع نیازی به اثبات کردن شود. یا این که این گونه تسهیلات ممکن است راه های پر معنای جدیدی برای ارتقاء سطح درک از نیاز به اثبات قواعد آن باز کند. تعدادی از تحقیقات انجام گرفته مانند تحقیقات موریتی و جونز از تقویت توان اثبات کردن حکایت می کنند.
ج: طراحی فعالیت های برای معلم
تحقیقات نشان داده است فعالیت های معلم باید به دقت طراحی شود. در غیر این صورت همان طور که هولز (1994) اشاره می کند دانش آموزان از تجزیه و تحلیل ریاضی با جستجو در پیاده سازی راه حل، به شکل تجربی اجتناب می کنند و به سمت وجوه تئوری و مفهومی آن نمی روند. هیلی و هویلز با داشتن برنامه ای منظم با این موضوعات درگیر شدند. هاداس (1999) و همکارانش نحوه طراحی فعالیت های مناسب را برای موقعیت های متناقض برای دانش آموزان نشان دادند که با شگفت زدگی و یا موقعیت های شک برانگیز دانش آموزان را به جستجوی توجیه ریاضی هدایت می کردند. تجربه ی لابرد در طراحی مبتنی بر سناریو در نرم افزارهای هندسه ی پویا و تلفیق آن ها با محتوای عادی تدریس کلاسی نشان داد مدت زمان زیادی برای رسیدن به نقطه ای که فعالیت ها به شکل صحیحی فایده بخش باشند، در محیط رایانه ای مورد نیاز است.
در ادامه به نتایج تحقیقات انجام شده در این خصوص اشاره ای می شود.
قیصری و بخش علی زاده (1387)، پژوهشی را پیرامون تاثیر نرم افزارهای CAS بر یادگیری انتگرال بر دانشجویان آموزش ریاضی، اجرا کرد. هدف اصلی پژوهش بررسی اثر نرم افزار میپل187 در طراحی و توسعه توانایی های تجسم و یادگیری مفهومی دانشجویان مهندسی بود. به منظور اجرای طرح دو گروه آزمایش و کنترل انتخاب شدند. نمونه ها نیز با استفاده از روش نمونه گیری تصادفی ساده انجام شد. در هر دو گروه، قبل از آزمون در مورد موضوع از انتگرال، تفاوت معنی داری بین گروه ها دیده نشد. گروه آزمایش با استفاده از نرم افزار میپل آموزش داده شدند. در حالی که گروه کنترل با استفاده از آموخته های سنتی مانند گچ و تخته و روش سخنرانی آموزش دیدند. پس از تدریس مبحث، آزمون اندازه گیری نگرش نسبت به ریاضیات هر دو گروه برگزار شد. در پایان به منظور پیدا کردن چگونگی تفکر دانش آموزان با استفاده از مصاحبه به طور تصادفی داده های کیفی نیز جمع آوری شد. نتایج به وضوح نشان داد که با استفاده از نرم افزار CAS افزایش موفقیت دانش آموزان داشته است.
افشین منش (1386) در مقاله ای در خصوص دستاوردهای فن آوری در آموزش ریاضی و مشکلات آن پژوهشی را انجام داده و ویژگی های یک نرم افزار مفید در آموزش را بیان کرده است. در این خصوص نیز نرم افزار جئوجبرا را به عنوان نرم افزار مناسب آموزشی توصیه کرد.
مایر188 (2003) پژوهشی تحت عنوان بررسی نرم افزارها اسکچ پد بر مدل ون هیل به انجام رساند. هدف از این مطالعه ، بررسی اثر استفاده از یک بسته نرم افزار هندسه پویا ، در آموزش هندسه به منظور بالا بردن سطح تفکر هندسی مبتنی بر مدل ون هیل بود. در این پژوهش چهار کلاس و دو معلم در یک دبیرستان واقع در جنوب مرکزی ایالت پنسیلوانیا انتخاب شدند. هر معلم دو کلاس داشت. یکی با استفاده از نرم افزار و دیگری بدون استفاده از آن. آموز بر اساس کتاب درسی کشف هندسه189 که مبتنی بر نرم افزارهای هندسه پویا است در نظر گرفته شد. پیش آزمون و پس آزمون بر اساس آزمون ون هیل طراحی شده توسط یوسیکین و آزمون تجسم فضایی پوردو (PSVT190) به اجرا درآمد. پژوهش گر طراحی محتوای پیش آزمون و دو آزمون از مطالب تنها ، یکی برای هر فصل از اطلاعات تدریس کرده است. نگرش و باور این مطالعه در قسمت نتیجه گیری مطرح شد. در ابتدا ، آمار توصیفی در کلاس های برای تعیین هر گونه تفاوت قابل توجهی بین خصوصیات آنها محاسبه شد. با استفاده از اندازی گیری مکرر آزمون ANCOVA و ANOVA و آزمون ANOVA یک طرفه، آزمون T برای بررسی نتایج آزمون ها مورد استفاده قرار گرفت.
استفاده از نرم افزار اسکچ پد اثر قابل توجهی را در توسعه سطوح تفکر هندسی نشان نداد. اما نشان از توسعه نمرات در آزمون PSVT برای سنجش مهارت هاس تجسمی بود. پژوهش های بعدی که ممکن است در حوزه آموزش ریاضیات مفید باشد در سه بحث پیشنهاد می گردد. (1) توجه به مهارت های مورد نیاز معلم برای استفاده موثر از نرم افزارهای هندسه پویا به عنوان یک ابزار آموزشی، (2) مطالعه اثر استفاده از نرم افزارهای هندسه پویا در کلاس درس بدون کتاب درسی مبتنی بر ساختن گرایی و رویکرد مبتنی یادگیری اکتشافی و (3) تحقیق در مورد استفاده از نرم افزارهای هندسه پویا در کل سال تحصیلی به جای چند فصل خاص.
دانیل شِر (2002) نیز با بررسی حوزه های دیداری، ترسیمی و کلامی پژوهشی را با روش مطالعات موردی ترتیب داد. وی در بررسی خود این طور نتیجه می گیرد که از منظر ریاضی هندسه ی پویا با هندسه ی ایستا دو مبحث متفاوت هستند و روش یادگیری دانش آموزان با استفاده از قلم و کاغذ با عملکرد آنها در محیطی نرم افزاری متفاوت است. پیچیدگی هایی که پشت تفاوت هندسه ی ایستا و پویا وجود دارد غیر قابل انکار است، با این وجود تحقیقات در زمینه ی هندسه ی پویا این پیچیدگی ها و ابهامات را برطرف می کند.و رشته ی نسبتاً جدید هندسه ی پویا به فرضیه هایی برای بررسی و بحث نیاز دارد.
هالات191 (2003) در پژوهشی کمی، عملکرد و انگیزه ی دانش آموزان کلاس اول راهنمایی است را که با استفاده از مدل ون هیل آموزش می دیدند و دانش آموزان که با این مدل درگیر نبودند را مورد مقایسه قرار داد. 123 نفر در گروه کنترل و150 نفر در گروه آزمایش قرار داشتند. وی از تست هندسه ون هیل (VHGT) برای سنجش سطوح یادگیری استفاده کرد. همچنین برای اندازه گیری عملکرد دانش آموزان در هندسه از پرسش نامه مروبط به انگیزش به نام CIS192 استفاده کرد. پیش از اجرای طرح از هر دو گروه آزمایش و کنترل پیش آزمونی و بعد از یک دوره ی پنج هفته ای پس آزمون به عمل آمد. داده های به دست آمده با استفاده از آزمون t گروه های مستقل و آزمون ANCOVA (0.05=α) نشان داد تفاوت آماری معنی داری بین عملکرد دانش آموزان در دو گروه کنترل و آزمایش وجود نداشت. همچنین از نظر آماری تفاوت جنسیتی در عملکرد و انگیزه دانش آموزان نشان داده نشد. این مطالعه نشان داد که تفاوت آماری معنی داری در خصوص انگیزه دانش آموزان بین دو گروه وجود داشت. در خصوص انگیزه دانش آموزان بین دو گروه آزمایش که تحت آموزش با روش مبتنی بر مدل ون هیل بودند و کنترل با روش متداول آموزش دیده بودند، تفاوت معنی داری به دست آمد.
3 فصل سوم: روش شناسی پژوهش
3.1 روش تحقیق
شناخت واقعیت های موجود و پی بردن به روابط میان آن ها، مستلزم انتخاب روش پژوهش است. ( دلاور، 1372). در این فصل به بیان روش تحقیق، متغیرهای تحقیق، نمونه و روش نمونه گیری، تاریخ و مدت اجرای آزمایش، روش و ابزار جمع آوری اطلاعات، بررسی روایی و پایایی ابزارهای پژوهش و روش تجزیه و تحلیل داده ها می پردازیم.
انتخاب یک روش تحقیق علمی و قابل اطمینان از مهم ترین اصول و معیارها در یک پژوهش می باشد و رسیدن به اهداف علمی مورد نظر بدون انتخاب روش صحیح و منطقی امکان پذیر نیست. بنابر این لازم است که در امر تحقیق با در نظر گرفتن موضوع مورد مطالعه، امکانات، شرایط موجود و اهداف مورد نظر، مناسب ترین شیوه ها را برگزید تا بتوان داده های مورد نیاز را جمع آوری و تجزیه و تحلیل نمود و در نهایت به نتایج قابل قبولی دست یافت. (دلاور، 1375)
این پژوهش با توجه به استفاده از شیوه های نوین آموزشی در آموزش ریاضیات، می تواند در بهبود وضع آموزشی تاثیر داشته باشد و مورد استفاده مراکز آموزشی قرار خواهد گیرد. لذا این پژوهش، از نوع کاربردی است و از جمله طرح های پژوهشی شبه آزمایشی193 به شمار می رود. شرکت کنندگان در دو کلاس، به صورت تصادفی تقسیم شدند و یک کلاس به عنوان گروه آزمایش و دیگری گروه کنترل در نظر گرفته شدند. یک گروه به سبک سنتی آموزش داده شد و در آموزش گروه دیگر نرم افزار هندسه ی پویا به صورت تلفیقی مورد استفاده قرار گرفت. از هر دو گروه پیش آزمون و پس َآزمون گرفته شد و نتایج با هم مقایسه شد.از طرفی در این پژوهش ویژگی های سنی، جنسی و تحصیلی دانش آموزان در گروه های انتخابی، یک سان در نظر گرفته شدند.
پژوهش مورد نظر یک تحقیق شبه آزمایشی است و طرحی که از آن استفاده شده است، طرح پیش آزمون و پس آزمون با گروه کنترل می باشد. نمودار طرح پژوهش به صورت زیر می باشد.
پس آزمون
اجرای آزمایشی
پیش آزمون
گروه
جایگزینی تصادفی
T2
X
T1
E
گروه آزمایش
T2
–
T1
C
گروه کنترل
3.1.1 جامعه ی آماری
جامعه آماری عبارت است از همه اعضای فرضی یا واقعی که علاقه مند هستیم یافته های پژوهش را به آن ها تعمیم دهیم. (دلاور 1375). در این پژوهش جامعه آماری شامل کلیه دانش آموزان مدارس دوره راهنمایی تحصیلی دارای امکانات مناسب نرم افزاری است.
هدف رساله بررسی میزان اثر بخشی شیوه ی آموزشی غنی شده بر یادگیری مهارت های هندسی است و اجرای کلاس با ساختار مورد نظر در هر مدرسه ای امکان پذیر نبود. از طرفی به دلیل این که آمادگی دانش آموزان، تجربه و انگیزه ی معلم و فراهم بودن تجهیزات زیر ساختی رایانه ای، عواملی هستند که امکان تحقق هدف پژوهش را بهتر فراهم می آورند، محدودیت هایی برای نمونه گیری به شرح زیر در نظر گرفته شد.
1. مدرسه دارای کارگاه رایانه باشد، طوری که حداقل هر دو نفر یک رایانه در اختیار داشته باشند.
2. مدرسه کلاس هایی با امکان نمایش ویدئو پروژکتور داشته باشد.
3. مدیر مدرسه به دانش آموزان اجازه دهد حافظه های رایانه ای را برای ارائه تکالیف دیجیتالی به مدرسه بیاورند.
4. مدیر مدرسه به محقق مجوز انجام کار پژوهشی به صورت بلند مدت را بدهد.
5. دانش آموزان حاضر در طرح از امکانات رایانه ای مورد نیاز در منزل برخوردار باشند.
3.1.2 گروه نمونه و شیوه ی گزینش آن
نمونه ی انتخاب شده از مدارس غیرانتفاعی با امکانات مناسب و موقعیت اجتماعی نسبتاً خوبی بود. طوری که همه دانش آموزان در منزل رایانه در اختیار داشتند. این انتخاب به دلیل کنترل متغیرهای تاثیرگذار و امکان اجرای مناسب طرح بوده است. نمونه گیری در جامعه ی آماری تعریف شده از نوع نمونه ی دردسترس بود تا خللی برای اجرای کامل طرح به وجود نیاید.
با در نظر گرفتن محدودیت های اجرایی پژوهش، امکان اجرای طرح در مدرسه ی غیر انتفاعی پسرانه راهنمایی در منطقه 4 تهران فراهم شد. از سه پایه تحصیلی، بنا بر شرایط اجرایی پایه دوم انتخاب شد. دو کلاس به صورت تصادفی در دو گروه آزمایش و کنترل قرار گرفتند. طوری که افراد برای شرکت در گروه های آزمایش و کنترل انتخابی نداشتند. جمعیت هر دو کلاس 28 نفر بود.
3.1.3 متغیرهای تحقیق
متغیر، مفهومی است که مقادیر یا ارزش های مختلفی را می تواند به خود اختصاص دهد و شامل پدیده ها و وقایعی است که می توان آن ها را در پژوهش مورد سنجش یا دست کاری قرار داد. در پژوهش های علمی معمولاً از متغیرهای مورد مطالعه طبقه بندی های متفاوتی ارائه می شود که مفیدترین و مهم ترین طبقه بندی از متغیرها، تقسیم آن ها به متغیرهای مستقل و وابسته است. در این پژوهش متغیرها به صورت زیر تعریف می شوند:
متغیر مستقل
شیوه متداول آموزشی در مدارس و شیوه یادگیری غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه پویا
متغیرهای وابسته
مهارت های هندسی که شامل 5 مورد زیر:
1. یادگیری مهارت های منطقی
2. یادگیری مهارت های دیداری
3. یادگیری مهارت های کلامی
4. یادگیری مهارت های ترسیمی
5. یادگیری مهارت های کاربردی
متغیرهای کنترل
در این پژوهش ویژگی های سنی، جنسی و تحصیلی دانش آموزان در گروه های انتخابی، یک سان در نظر گرفته شدند. به دلیل محدودیت در انجام پژوهش و تعمد در انتخاب جامعه و نمونه، متغیرهای کنترل به شرح زیر در نظر گرفته شده اند:
1. جنسیت (این پژوهش تنها از برای دانش آموزان پسر به اجرا در آمده است.)
2. پایه و دوره ی تحصیلی (پایه دوم دوره راهنمایی تحصیلی)
3. مجهز بودن مدرسه (شرایط مناسب برای استفاده از نرم افزار)
4. معلم (در دو کلاس یک معلم حضور داشت.)
3.2 روش جمع آوری اطلاعات
پژوهش به طور کلی نیاز به هدفی روشن و ثابت دارد که این دو، ابزار جمع آوری اطلاعات را تعیین می کنند. این وسیله باید پایا و دقیق باشد. و هیچ نوع تغییر و تجدید نظری نباید تا اتمام تحقیق در آن صورت گیرد. (دلاور) در پژوهش حاضر برای به دست آوردن نتایج دقیق و قابل اتکا هم از داده های کمی استفاده شده است و هم از مشاهدات و یافته های کیفی. برای ارتقاء روایی و پایایی آزمون ها با توجه به ابعاد مختلف موجود در محیط آموزشی، محقق با استفاده از مشاهدات خود و مستند کردن آن ها سعی در پوشش نقاط ضعف ارزیابی کمی کرده است.
3.2.1 روش جمع آوری داده های کمی
ابتدا به منظور تعیین میزان تاثیر استفاده از نرم افزارها بر یادگیری مهارت های هندسی، هر دو گروه آزمایش و کنترل در آزمون های طراحی شده به صورت پیش آزمون و پس آزمون شرکت کردند. نمرات به دست آمده در هر یک از آزمون ها از صفر تا ده در نظر گرفته شد. آزمون های توسط پژوهش گر با استفاده از آزمون های استاندارد و محتوای آموزشی طراحی شدند. مهم ترین آزمون استاندارد در سنجش عوامل یادگیری در هندسه آزمون ون هیل یا VHGT194 است که برای سنجش سطوح تفکر هندسی تعریف شده و می توان از آن برای سنجش مهارت های هندسی نیز به شیوه ای استفاده کرد. در مجموع از آزمون VHGT، برای سنجش مهارت های منطقی، دیداری و کلامی و دو آزمون محقق ساخته برای سنجش مهارت های ترسیمی و کاربردی به صورت پیش آزمون و پس آزمون برگزار شد.
آزمون ون هیل
آزمون ون هیل بر اساس مطالعات یوسیکین (1982) برای سنجش سطوح تفکر هندسی مطابق مدل ون هیل تهیه و شد که از آن زمان مصارف بسیاری پیدا کرده است. مخاطب آن نیز منحصر به سن خاصی از دانش آموزان نمی شود. آزمون مشتمل بر 25 سوال 5 گزینه ای است. هر 5 سوال این آزمون یکی از سطوح 5 گانه ی تفکر مدل ون هیل را می سنجد. در طراحی اصلی آزمون هر فرد بتواند از 5 سوال هر سطح به سه سوال پاسخ دهد، به معنای بودن در آن مرحله در نظر گرفته می شود.
همان طور که در ادبیات تحقیق ذکر شد سوالات این آزمون می تواند برای سنجش سه دسته از مهارت های دیداری، منطقی و کلامی مورد استفاده قرار گیرد. 10 سوال اول آزمون بخشی از مهارت های دیداری را می سنجد، سوال 11 الی 25 مهارت های منطقی را اندازه می گیرد و برای سنجش مهارت های کلامی می توان از 15 سوال اول بهره برد (پاتریکا 2002). سنجش مهارت های هندسی تنها با استفاده از آزمون VHGT، روایی بالایی نداشت. لذا پژوهش گر سوالاتی را به آن افزود تا بتواند این نقیصه را جبران کند.
این آزمون در ابتدا و انتهای سال تحصیلی در مدت 40 دقیقه از هر دو گروه آزمایش و کنترل گرفته شد. آزمون نمره منفی نداشته است. البته برای جلوگیری از دادن پاسخ شانسی به دانش آموزان توصیه شده است تا نسبت به پاسخ خود اطمینان ندارند به سوالی جواب ندهند. از 5 سوال آخر آزمون به برای سنجش سطح پنجم مدل ون هیل است در تحلیل های آماری صرفه نظر شد. علت آن هم مشکل بودن سوالات و تمایل دانش آموزان به دادن پاسخ تصادفی بود.
شیوه ی ارزیابی مهارت ها
الف) شیوه ی ارزیابی مهارت های منطقی
برای سنجش مهارت های منطقی سوالات 10 الی 20 آزمون VHGT مورد استفاده قرار گرفته شد. سطح 5 آزمون یعنی سوالات 21 – 25 شامل سوالات کاملاً انتزاعی و دشواری است و مورد استفاده دانش آموزان نیست. در واقع به طور عادی کمتر احتمال دارد دانش آموزانی در این سن به این سطح نمی رسند، لذا اطلاعات به دست آمده از آن حذف گردید. آزمون ون هیل با 20 سوال 5 گزینه ای به صورت پیش آزمون و پس آزمون برگزار شد.
ب) شیوه ی ارزیابی مهارت های دیداری
به منظور سنجش مهارت های دیداری از 10 سوال اول آزمون VHGT بهره گرفته شد. همچنین 2 سوال دیگر که توسط آزمون VHGT سنجیده نمی شد، مورد استفاده قرار گرفت. مطابق مدل ون هیل دو سطح اول بر سنجش مهارت های دیداری تمرکز دارند.
ج) شیوه ی ارزیابی مهارت های کلامی
برای سنجش مهارت های دیداری نیز از 15 سوال اول آزمون VHGT استفاده شد. پاتریکا (2002) معتقد است مرحله ی 1 تا 3 مدل ون هیل استفاده ی دانش آموزان از زبان را هنگام مشاهده ی اشکال هندسی توصیف می کند.
د) شیوه ی ارزیابی مهارت های ترسیمی
مهارت های ترسیمی به صورت مستقل سنجیده شد. 4 سوال ترسیمی در آزمون محقق ساخته به صورت تئوری و عملی طی آزمونی به اجرا در آمد. از اطلاعات به دست آمده در این آزمون، برخی معیارهای مهارت های کلامی به خصوص توضیح روش رسم نیز مورد ارزیابی قرار گرفت.
ه) شیوه ی ارزیابی مهارت های کاربردی
برای سنجش مهارت های کاربردی نیز از 8 سوال تشریحی استفاده گردید. این سوالات با اهداف مهارت های کاربردی در بخش 2.4 تطبیق داده شدند.
3.2.2 روش جمع آوری داده های کیفی
یادگیری مهارت های هندسی فرآیندهای پیچیده ای محسوب می شوند. و سنجش آن ها تنها با آمار کمی به دست آمده از آزمون ها از اعتبار بالایی برخوردار نخواهد بود. در تحقیق حاضر به منظور بالا بردن درک در بررسی تاثیرهای یادگیری، و غنا بخشیدن به داده های کمی، از داده های کیفی نیز بهره گرفته شده است. این داده ها در واقع مشاهداتی هستند که به توسط ابزارهای جمع آوری اطلاعات شامل ضبط صوتی و ویدئویی و همچنین یاداشت های میدانی جمع آوری شدند. نظرات بر فعالیت دانش آموزان حین فعالیت، نظرخواهی، پرسش نامه و مصاحبه های نیمه ساختاری عمیق از آن جمله محسوب می شوند.
هر یک از روش های جمع آوری اطلاعات فوق به طور کل نگرانه با یک دیگر در ارتباطند. جمع آوری داده ها با استفاده از روش های متعدد فهم کامل تری را از موضوع ایجاد خواهد کرد. عموماً یافته ها از این طریق بیان کننده ی تمایلات، انگیزه و توصیف گر احساسات دانش آموزان خواهد بود. (لینکون و گوبا 1985؛ مارشال و روسمن، 1995)
از برخی جلسات کارگاه به صورت عمومی و خاص از دو جفت دانش آموز فیلم برداری شد. هنگامی که دانش آموزان روی مسایل کابرگ های فعالیت کار می کردند. در برخی جلسات کار دانش آموزان، طرحها، رفتار و توضیحات آن ها را در طول فرایند و هر مداخله پژوهش گر توسط دوربین به ضبط می شد. برخی از جلسات کارگاه توضیحات دانش آموزان در طول فرایند و توضیحات معلم، مکالمه و مداخله معلم ضبط شد. برای جلوگیری از حساسیت دانش آموزان امکان ضبط ویدئویی همه کارگاه ها وجود نداشت. لذا حین پیش ‎برد کارگاه و یا بعد از آن محقق با همکار تحقیقاتی خود، اقدام به مستند کردن مشاهدات خود می کردند. محقق و همکار وی در کلاس های عادی و جلسات کارگاه، جهت بررسی و تحلیل مسائل، حین کلاس مشاهدات خود را ثبت و بعد از کلاس مسائل را مورد بررسی قرار داده و تفسیر می کردند.
محقق در دو جلسهی کارگاه و بعد از فعالیت های آموزشی پژوهش و مصاحبه نیمه ساختاری با سه نفر از دانش آموزان ترتیب داد که با دوربین ضبط شدند. در مصاحبه که به صورت صمیمی با دانش آموزان برگزار شد، سوالات هدفمند از دانش آموزان پرسیده شد. مصاحبه به مدت 30 دقیقه به طول انجامید. دانش آموزان در شرایط راحتی به سوالات پاسخ می دادند. سوالات از قبل آماده شده بود. سوالات مطرح شده در این بخش صرفاً به منظور بررسی اثر بخشی استفاده از نرم افزارهای هندسه پویا در ارتقاء یادگیری مهارت های هندسی بود. از کل مراحل مصاحبه فیلم گرفته شد.
در انتهای دوره آموزشی، یک پرسش نامه به عنوان نظرسنجی، در کلاس توزیع شد. این برگه در مورد تجربیات قبلی دانش آموزان در کار با رایانه و نرم افزار ریاضی، به علاوه در مورد واکنش آن ها به هندسه ی پویا و ویژگی اپلت ها، سوالاتی پرسیده شد.
3.3 روش اجرای پژوهش
پیش از شروع سال تحصیلی جلسه ای با حضور کارشناسان آموزش ریاضی و مولفین کتاب های درسی، محقق و مدیر مجتمع برگزار شد. در جلسه محقق نیاز خود را برای اجرای شیوه آموزشی و طرح پژوهشی مطرح کرد. مدیریت مجموعه نیز موانع و محدودیت های مدرسه را مطرح نمود. در نهایت با حمایت کارشناسان محترم از محقق، مقرر شد طرح پژوهشی با رعایت محدودیت های مدرسه به اجرا درآید.
پژوهش گر همکاران پژوهشی خود را قبل از اولین جلسه ملاقات کرد و طرح کلی مطالعه را به آن ها اعلام نمود برای مشاهدهی کلاس و اطمینان از تنظیم بودن رایانهها، برنامه ی زمانی تنظیم شد. سر فصل هر جلسه بر اساس برنامهی درسی کتاب درسی ریاضی کلاس دوم راهنمایی انتخاب شدند.
سپس هماهنگی های لازم با مسئول کارگاه رایانه مدرسه انجام گرفت. نرم افزار جئوجبرا در رایانه های کاربران نصب گردید. امکانات مناسب موجود در کارگاه رایانه شامل نصب نرم افزار نت اسکول195 برای مشاهده فعالیت دانش آموزان در رایانه ای مرکزی و اختصاص فضای حافظه برای هر یک از کاربران، جزء خدمات موجود سایت بود. کلیه رایانه ها به تازگی خریده شده بود و مشکلات رایج در استفاده از نرم افزار به خصوص سرعت پائین رایانه ها وجود نداشت. محل کارگاه آماده و در مجموع شرایط مناسبی برای اجرای طرح فراهم بود.
طرح پژوهشی از مهر 1387 لغایت اردیبهشت 1388 در دو کلاس به اجرا در آمد. یکی به شیوه سنتی و در دیگری تدریس با توجه به مفاهیم هندسه ی پویا انجام شد. طرح یک سال کامل تحصیلی معادل 8 ماه آموزشی به اجرا در آمد و در اغلب موضوع ها، شیوه ی آموزشی مبتنی بر نرم افزارهای هندسه پویا، به نحوی مورد استفاده قرار می گرفت.
با توجه به اینکه لازم بود، در این طرح پژوهشی ابزارهای جدیدی به گروه آزمایش معرفی شود، ابتدا آموزش های ابتدایی جهت معرفی محیط نرم افزار به دانش آموزان داده شد. سپس در جلسات مختلف کارگاه رایانه قسمت های مورد نیاز به صورت صریح یا ضمنی آموزش داده شد. علاوه بر این در اغلب کلاس های درسی، ابتدای کلاس دانش آموزان سوالات نرم افزاری خود را پرسیده و پاسخ آن را دریافت می کردند.

شرایط آموزش
در مدت اجرای طرح پژوهشی 10 جلسه کارگاه رایانه جهت آموزش و رفع اشکال، در برنامه درسی گنجانده شد. بقیه جلسه ها (حدود 45 جلسه) نیز مانند دیگر کلاس های مدرسه به شکل منظم و عادی برگزار شد. با این تفاوت که:
الف) دانش آموزان گروه آزمایش موظف بودند تکالیف درسی خود را علاوه بر اینکه در دفتر انجام می دهند، در نرم افزار نیز انجام دهند. هدف از این تکلیف، ایجاد پیوند بین دو محیط آموزشی سنتی و نرم افزاری بود و این که دست دانش آموزان برای کار با نرم افزار راه بیافتد. تکالیف نرم افزاری در 4 مقطع زمانی به دبیر به صورت سی دی یا حافظه ی فلش تحویل می شد. در مجموع حدود 70 فایل نرم افزاری از هر دانش آموز گرفته شد. شبیه سازی مسائل در نرم افزار جزء تکالیف اصلی محسوب می شد و نمره ای برای آن منظور می گردید.
ب) در چند دقیقه ی ابتدایی اغلب کلاس های عادی، دانش آموزان سوالاتی که در ارتباط با نرم افزار داشتند از معلم می پرسیدند. هم چنین یافته های خود را توضیح می دادند.
ج) هر هنگام که فرصتی برای مقایسه دو محیط یادگیری استاتیک و دینامیک فراهم می آمد، بحثی در کلاس مطرح می شد.
د) دانش آموزان برخی رسم های هندسی را به دلخواه در نرم افزار انجام می دادند.

در مجوع فعالیت های اجرایی پژوهش را می توان به شرح زیر فهرست کرد:
1. هماهنگی های لازم با مدیریت مدرسه و کارشناسان آموزشی انجام پذیرفت و عوامل مزاحم شناسایی شد و پیش بینی های لازم بعمل آمد.
2. برنامه ریزی از لحاظ بررسی سئوالات محقق ساخته و محاسبه پایایی و روایی آن
3. پیش از آموزش آزمون VHGT و آزمون های مکمل به عنوان پیش آزمون از دانش آموزان گرفته شد.
4. سی دی نرم افزار به همراه راهنمای جامع ابتدای سال به دانش آموزان گروه آزمایش داده شد.
5. طی یک جلسه محیط نرم افزار به دانش آموزان معرفی و آموزش های اولیه داده شود.
6. ده جلسه آموزشی در کارگاه رایانه مدرسه در خلال کلاس های عادی به اجرا درآمد.
7. مطابق برنامه کارگاه ها اهداف و طرح درس، تحت نظر کارشناس آموزش ریاضی تهیه شد.
8. بر اساس طرح درس ها فعالیت های متناسب تحت نظر کارشناس آموزش ریاضی تهیه گردید.
9. دانش آموزان ملزم به شبیه سازی اغلب تمرین ها و فعالیت های کتاب درسی و تحویل آن به معلم شدند.
10. در ابتدای کلاس های عادی درسی سوالات نرم افزاری دانش آموزان پاسخ داده می شد.
11. مهارت های یادگیری دانش آموزان در پایان سال در محیط کارگاه رایانه ارزیابی شد.
12. در حین سال تحصیلی داده های کیفی بر اساس مشاهده ها، نظرسنجی ها و مصاحبه ها تهیه و مستند شد.
13. در انتهای سال تحصیص آزمون VHGT و آزمون های مکمل به عنوان پس آزمون تکرار شد.
14. نتایج آزمون ها بر اساس آزمون T گروه های وابسته از نظر کمی تحلیل شد.
15. با تجزیه و تحلیل داده های کیفی نتایج پژوهش بررسی شد.

3.3.1 برنامه ی آموزشی کارگاه ها
طرح درس کارگاه ها در 10 جلسه، هر کدام 45 دقیقه با احتساب زمان مورد نیاز برای استقرار و آماده شدن، تعریف شدند. در جدول زیر میزان آموزش در کارگاه های رایانه مشخص شده است.
جدول ‏3- ا: جدول آموزش های تکمیلی به منظور تقویت مهارت های هندسی در مباحث درسی
مبحث
آموزش تکمیلی
تعداد جلسه
تقویت قابل توجه مهارت های هندسی

مهارت های منطقی
مهارت های دیداری
مهارت های کلامی
مهارت های ترسیمی
مهارت های کاربردی
مثلث قائم الزاویه
رسم مثلث های مختلف الاضلاع و قائم الزاویه
توضیح روش ترسیم، مراحل آن و نحوه ی به کارگیری ابزار ترسیم
مقایسه ابزار ترسیم در محیط نرم افزار و کاغذ
3
(
(
(
(

توازی
ترسیم خطوط موازی، متعامد و متقاطع و بررسی زاویه ها
پیدا کردن مقدار زاویه مجهول در مسئله های داده شده
شبیه سازی اثبات شهودی قضیه تساوی زوایای متبادل داخلی
2
(
(
(
(

زاویه و مثلث
ترسیم مثلث های متساوی الساقین، متساوی الاضلاع
شبیه سازی اثبات شهودی مجموع زوایای مثلث
پیدا کردن مقدار زاویه مجهول در مسئله های داده شده
1
(
(
(
(

چهارضلعی ها
ترسیم متوازی الاضلاع، مستطیل، لوزی و مربع
تبدیل متوازی الاضلاع به مستطیل، لوزی و مربع به شکل پویا
دیدن نحوه ارتباط بین چهارضلعی ها و ویژگی های آن ها
تعریف چهارضلعی های هندسی و توصیف ویژگی های آن در نرم افزار
5/2
(
(
(
(
(
مساحت
شبیه سازی نحوه ی دستور مساحت شکل های هندسی
محاسبه مساحت شکل های هندسی به صورت دستی و با نرم افزار
5/.
(
(

تقارن
مشاهده انواع شیوه های قرینه سازی شکل ها به صورت اپلت

قرینه یابی شکل ها با استفاده از ابزارهای ویژه در نرم افزار
5/.

(
(

(
حجم
مشاهده گسترده احجام هندسی در نرم افزار و محاسبه های لازم برای به دست آوردن حجم و مساحت جانبی
5/.
(
(

(
علت نحوه توزیع جلسات شروع سال برای آموزش استفاده از نرم افزار و این که در مثلث های قائم الزاویه موضوع رسم مورد تاکید قرار داده شده بود، زمان مبسوطی اختصاص داده شد. در چهارضلعی ها به دلیل تنوع موضوعات و آمادگی دانش آموزان کار به اوج خود رسیده بود. در نیم سال دوم فرصت برای آموزش کم بود و دلیل تعطیلی های پیش بینی نشده کارگاه کمتری برگزار شد.

فعالیت ها در کارگاه
انواع فعالیت هایی که در کارگاه های آموزشی انجام می شد شامل موارد زیر بود:
1. معرفی نرم افزار آموزشی جئوجبرا
2. آموزش اولیه بخش هایی از نرم افزار و نکات خاص که مورد استفاده قرار می گرفت
3. نمایش نحوه کار توسط معلم با استفاده از نرم افزار نت اسکول
4. نمایش اپلت های آماده شده
5. انجام فعالیت های آموزشی با دستورالعمل از پیش تعریف شده
6. انجام تمرین های منزل و رفع اشکال آن ها در کارگاه با حضور معلم
7. فعالیت آزاد بر اساس علاقه دانش آموزان
8. رکوردگیری از ترسیم و انجام فعالیت های مشخص

دانش آموزان در کارگاه رایانه گروههای دو نفره، تقسیم شده و فعالیت می کردند. انتخاب گروه ها بر اساس شماره لیست انجام گرفت و تا پایان دوره تغییری در آن اتفاق نیفتاد. لذا دانش آموزان هر گروه لزوماً در یک سطح استعدادی نبودند. فعالیت قابل توجه چند گروه از دانش آموزان از طریق ضبط صوتی و فیلم برداری، جهت بررسی ذخیره شد. در اغلب جلسات کارگاه، یکی از همکاران برای کمک و مستندسازی همراه من به کارگاه می آمد.

در برخی کلاس ها، ابتدا تعدادی اپلت برای دانش آموزان آماده می شد تا به بررسی آن بپردازند. اپلت ها با نظارت کارشناسان آموزشی طراحی می شدند تا مفاهیم دقیق یا مسایل خاصی را در برداشته باشند. آن ها امکان پنهان کردن یا نمایش دادن، جابجا کردن، متحرک سازی را در مواقع مختلف داشتند. برگه های فعالیت، برای هماهنگی با طرحها، با جئوجبرا آماده شده بودند؛ آن ها شامل روش باز کردن و دست کاری طرحها، یک توضیح در مورد مساله ای که باید حل شود، دستور العمل بررسی و سوالهایی برای بر انگیختن توجه دانش آموز بود. روی برگه ها فضایی برای رسم کردن و مشخص کردن اشکال هندسی و مقایسه حدسها و برهان در نظر گرفته شده بود. مهارت هایی که لازم است بچه ها به آن ها دست یابند بر اساس اهداف کتاب راهنمای معلم ریاضی دوم راهنمایی تنظیم شد. آموزش های ارائه شده در دوره تحقیق کاملاً با مبانی کتاب درسی مطابقت داشتند.

در مباحث پایانی از نمونه های اپلت آماده استفاده شده بود. لذا زمان کمتری وقت می گرفت. در مواردی نیز در پایان کلاس درس عادی بر روی رایانه لپ تاپ نمایش داده می شد.
3.3.2 تقویت مهارت های هندسی
محقق به منظور تقویت هر یک از مهارت های یادگیری از سه شیوه مکمل بهره جسته است:
1. تقویت ویژه هر یک از مهارت ها
2. تقویت متقابل مهارت هاها
3. تقویت با تلفیق محیط های یادگیری
1. تقویت ویژه هر یک از مهارت ها
به منظور تقویت مهارت های هندسی فعالیت های زیر به اجرا درآمد:
جدول ‏3- ب: جدول فعالیت های انجام شده برای تقویت مهارت های هندسی
مهارت های هندسی
فعالیت انجام شده
مهارت های منطقی
شبیه سازی مسائل بعد از حل آن در کلاس درس عادی و مشاهده درستی حکم
شبیه سازی مسائل پیش از حل آن در کلاس درس عادی
شبیه سازی اثبات های شهودی در محیط نرم افزار
شبیه سازی مسائل به منظور انجام محاسبه های مورد نیاز
ایجاد متن های پویا در محیط نرم افزار برای محاسبه مقادیر در محیط نرم افزار
مهارت های دیداری
مشاهده نمونه های آماده و متنوع تعاملی به شکل اپلت
تمرین حدس زدن در کارگاه رایانه
شبیه سازی مدل های متحرک از اشکال هندسی
تشخیص اشکل هندسی با تغییر ویژگی های یک شکل پویا و تمرین عدم وابستگی به نحوه قرارگیری
تمرین تجسم و تصویر سازی ذهنی در کلاس عادی و کارگاه رایانه به صورت چشم بسته و چشم باز
مهارت های کلامی
ارجاع به شیوه ترسیم و وقایع در کلاس سنتی در مورد کارگاه رایانه و برعکس
ایجاد موقعیت های متعدد برای توصیف، گفتگو و بحث با دانش آموزان در کلاس و کارگاه رایانه و اصلاح آن ها
گفتگو در قالب گروه های کاری در محیط نرم افزاری درباره تعاریف، ویژگی ها، یافته ها و …
تمرین مکرر استفاده از ابزارهای موجود در نرم افزار متناظر با اصطلاحات درسی در کلاس های سنتی
مهارت های ترسیمی
شبیه سازی حد اقل 70 نمونه از تمرین های کتاب درسی و آزمون های کلاسی در منزل و ارائه به معلم
رفع اشکل دانش آموزان در استفاده از نرم افزار ابتدای کلاس های درسی سنتی
برگزاری کارگاه های تمرینی برای آموزش و رفع اشکال ترسیم در محیط نرم افزار
مقایسه نحوه ی نرسیم در محیط های سنتی و نرم افزاری
ایجاد موقعیت های محدود و سفارشی برای ترسیم در محیط نرم افزار
مهارت های کاربردی
نمایش مثال های متعدد از کاربرد هندسه در محیط های نرم افزاری
نمایش نحوه عملکرد دستگاه ها به شکل پویا و شبیه سازی دستگاه های مختلف دیگر
شبیه سازی کاربردهای واقعی در زندگی روزمره دانش آموزان (مانند دستگاه های ورزشی در پارک ها)
تولید بازی های ابتکاری در محیط نرم افزاری
2. تقویت متقابل مهارت های هندسی
پژوهش گر بر اساس مطالعات انجام گرفته و مطرح شده در ادبیات پژوهش در بخش 2.4 ، برای افزایش میزان یادگیری مهارت های هندسی، مهارت های دیگر را نیز مورد توجه قرار می داد. در جدول زیر شرح آن ارائه شده است.
جدول ‏3- ج: شیوه تقویت متقابل مهارت های هندسی
تقویت متقابل
مهارت های منطقی
مهارت های دیداری
مهارت های کلامی
مهارت های ترسیمی
مهارت های کاربردی
مهارت های منطقی

استفاده از اثبات های شهودی
بیان روند ترسیم و استخراج گام های ترسیم
توجه به مراحل رسم
برنامه ریزی قبل از شروع ترسیم
تاثیر ویژگی های اشکال در کاربردهای هندسه
مهارت های دیداری
اثبات منطقی مسائل به طور کامل و ایجاد میل شبیه سازی و بررسی در مثال های متعدد

تمرین در بیان صریح مسئله و رسیدن دانش آموز به مرحله تجسم، پیش از ترسیم
انجام ترسیم های متعدد و اشباع بصری از شکل های هندسی
دیدن نمونه های کاربردی ار وسائل هندسی در زندگی و توجه به آن
مهارت های کلامی
توصیف مراحل اثبات و تبدیل عبارت های رسمی به جملات قابل فهم و به کارگیری آن
تجسم یک شکل، یا مسئله و توصیف شرایط آن

به کارگیری ابزار ترسیم در محیط نرم افزار و تعدد استفاده از آن ها
توصیف تفصیلی شیوه کارکرد وسائل و مدل های هندسی کاربردی و ارتباط آن با مبانی هندسه
مهارت های ترسیمی
انجام ترسیم بر اساس الگوریتم و گام های تعریف شده
تجسم ترسیم یک شکل و سپس پیاده سازی در محیط نرم افزار
همراه کردن توصیف مراحل رسم با عمل ترسیم

مدل سازی نمونه های کاربردی از هندسه در محیط های نرم افزاری
مهارت های کاربردی
استفاده از اصول هندسی برای توجیه عملکرد وسائل کاربردی
مشاهده نمونه های آماده برای افزایش بینش و سواد دانش آموزان نسبت به موارد کاربردی
توصیف عملکرد دستگاه ها
شبیه سازی بر مینای الگو و مدل سازی های خلاقانه در محیط نرم افزار

(هر یک از عناصر در ستون ها بیانگر استفاده از مهارت در مورد بالا در تقویت مورد راست می باشد.)

3. تلفیق حوزه های اهداف یادگیری
محقق برای اجرای طرح پژوهشی در کلاس، اهداف آموزشی را حتی المقدور به صورت هم زمان مورد توجه قرار داده است. جدول زیر بیان گر این مطلب است.
جدول ‏3- د: غنی کردن اهداف آموزشی
اهداف آموزشی
هدف مورد نظر

شناختی
دانش آموزان اصول علمی مفاهیم هندسی را بدانند.
فرمول های مورد نیاز برای حل مسائل را حفظ باشند.
با شیوه های محاسبه آشنا باشند و مهارت لازم را برای ساده کردن و بسط دادن داشته باشند.
نام اشکال هندسی و اصطلاح های علمی را بدانند و آن ها را به درستی به کار برد.
ساختارهای منطقی را بشناسند و قادر به اثبات مسائل باشند.
با مراحل حل مسئله آشنا بوده و قادر به حل مسائل باشند.
مراحل پیاده سازی ترسیم را درک کرده و در ترسیم آن ها را رعایت کنند.
جزئیات هر مبحث آموزشی مسلط باشند.
عاطفی
با انتخاب خود اقدام به ترسیم اشکال و حل مسائل کنند.
پیش از انجام فعالیت های آموزشی به نسبت به نتیجه شوق داشته باشند.
نسبت به موضوع های مرتبط درسی به صورت مستقیم و غیر مستقیم سوال و دغدغه داشته باشند.
در پایان ترسیم اجزای فرعی و غیر ضروری را در محیط نرم افزار پنهان کنند.
در محیط نرم افزار، نام ها و علامت های لازم را در شکل ایجاد کنند.
در خارج از زمان کلاس برای انجام فعالیت های نرم افزاری ابراز علاقه کند.
نسبت به تعمیم نتایج مسائل و ایجاد موقعیت های جدید کنجکاو باشد.
نسبت به تولید مثال های جدید از یک مفهوم کلی تمایل داشته و خلاقیت نشان دهند.
تمایل داشته باشد یافته خود را ذخیره کنند.
تمایل داشته باشد ترسیم خود را به دیگران نشان دهند.
نسبت به یاددادن آموخته های خود به دیگران مشتاق و فعال باشند.
دانش آموز قبل و بعد از فرآیند یادگیری قادر به تجسم مراحل آموزش بوده و بتوانند آن ها را توصیف کنند.
مایل باشند رکورد زمانی ترسیم های خود را کاهش دهند.
نسبت به درس هندسه نگرش کلی مثبتی داشته باشند.
روانی- حرکتی
جای ابزارها را یاد بگیرند.
ابزار را درست به کارگیرند.
دانش آموزان در استفاده از ابزار دقت عمل داشته باشند.
در حداقل زمان شکل خود را ترسیم کنند.
توانایی ترکیب ابزارها را داشته باشند.
در رمان انجام فعالیت ها در وضعیت فلو قرار گیرند و زمان را احساس نکنند.
در انجام فعالیت ها با مهارت های کسب شده بتوانند چند کار را با هم انجام دهند.
با این نگاه، حوزه های اهداف از هم متمایز نبوده و هر کدام در هم مولفه هایی دارند. این سه حیطه از اهداف با هم تلفیق می شوند و در یک ارتباط بازی گونه موجب کسب مهارت های یادگیری و حصول اهداف آموزشی می شوند.
3.4 کیفیت پژوهش
کیفیت پژوهش های کمی و کیفی به عوامل مختلفی چون طول مدت اجرای پژوهش، استفاده از نگاه صاحب نظران، تفسیر علمی و مستند پدیده های مشاهده شده، اجماع داده ها و دیگر عوامل وابسته است. در این جا عوامل کلی موثر در ارتقاء کیفیت این پژوهش اشاره می شود:
1. مدت زمان اجرای پژوهش یک سال تحصیلی بود. درگیری طولانی دانش آموزان، موجب کاهش خطاهای مختلف از جمله اندازه گیری، حساسیت دانش آموزان، تغییر رفتارهای کوتاه مدت شده و تاثیرات جانبی شامل واکنش دانش آموزان به تفاوت آموزش بین گروه های کنترل و آزمایش را محدود می کند.
2. میزان و نحوه ی یادگیری مهارت ها در این پژوهش هم به لحاظ کمی و هم به لحاظ کیفی اندازه گیری شده اند که این شیوه موجب افزایش کیفیت پژوهش می شود.
3. در پژوهش حاضر از آزمون استاندارد VHGT بهره گرفته شد. این آزمون، مراحل مختلفی را برای ارتقاء کیفیت گذرانده و مطالعات متعددی بر آن انجام شده است. بالا بودن کیفیت ابزارهای اندازه گیری کمی مانند آزمون مذکور موجب بالا رفتن کیفیت پژوهش می شود.
4. به منظور ثبت وقایع در طول مدت اجرای طرح پژوهشی، در اغلب فرآیندهای اجرایی به ویژه در کارگاه های رایانه پژوهش گر از همکار پژوهشی خود کمک گرفت. که این موضوع موجب ثبت و ضبط دقیق مشاهدات به وسیله ابزارهای جمع آوری داده های کیفی شد.
5. این پژوهش تحت نظر کارشناسان خبره و مولفین کتاب های درسی دوره راهنمایی تحصیلی در آموزش ریاضی انجام گرفته است.
در ادامه به بررسی روایی و پایایی ابزارهای جمع آوری داده های پژوهش در دو بخش کمی و کیفی خواهیم پرداخت.
3.4.1 روایی
مقصود از روایی آن است که وسیله ی اندازه گیری بتواند خصیصه مورد نظر را اندازه بگیرد و نه خصیصه ی دیگر را (هومن1380). در واقع روایی عبارت است از توافق بین نمره ی آزمون با صفت و خصیصه ی مورد نظر که آزمون برای اندازه گیری آن ساخته شده است. مقصود از روایی آزمون مناسب بودن، با معنا بودن و مفید بودن استنباط های خاصی است که از روی نمره های آزمون به عمل می آید. (کرمی 1382). روایی اصطلاحی است که به هدفی که آزمون برای تحقق بخشیدن به آن درست شده است اشاره می کند؛ به سخن دیگر آزمونی دارای روایی است که برای اندازه گیری آن چه مورد نظر است مناسب باشد. (سیف 1376) روایی دارای دو نوع می باشد.
روایی درونی196: تعیین می کند که آیا یافته ها دقیقاً منعکس کنندهی واقعیت مورد مطالعه هست یا نه. محقق برای افزایش اعتبار درونی از چندین روش جمع آوری داده ها بهره برد.
روایی بیرونی197: روایی بیرونی یعنی یافته های یک تحقیق را بتوان برای موقعیتهای دیگر هم به کار برد.
عوامل زیر موجب می شود بتوان از نتایج این پژوهش در موقعیت های دیگر استفاده کرد.
روایی آزمون ها
منابع مورد استفاده قرار گرفته برای طراحی آزمون های تعریف شده در این پژوهش به ویژه سوالات آزمون VHGT، استاندارد و مورد اطمینان بوده است. از طرفی محتوای آزمون ها با اهداف مهارتی مطرح شده در ادبیات پژوهش تطبیق داده شدند. با این وجود، سوالات به نظر 2 نفر کارشناس آموزش ریاضی هم به لحاظ ظاهر و هم به لحاظ محتوایی بررسی شد. نتایج نشان داد که این آزمون ها از روایی محتوایی و صوری کافی برخورد هستند.
3.4.2 پایایی
مقصود از پایایی یک وسیله اندازه گیری آن است که اگر خصیصه مورد نظر سنجش را با همان وسیله (یا وسیله مشابه و قابل مقایسه آن) تحت شرایط مشابه دوباره اندازه گیری کنیم، نتایج حاصله تا چه حد مشابه، دقیق و قابل اعتماد است (هومن 1380). در واقع پایایی یک وسیله ی اندازه گیری به دقت آن اشاره دارد. یک آزمون در صورتی دارای پایایی است که اگر آن را در یک فاصله زمانی کوتاه چندین بار به گروه واحدی از افراد بدهیم نتایج حاصل نزدیک به هم باشند. شرط روا بودن یک آزمون پایا بودن آن است. به عبارت دیگر پایایی میزان اعتمادی است که می توان به نتایج یک آزمون داشت.
برای محاسبه ی پایایی شیوه های مختلفی به کار گرفته می شود. برای محاسبه ی سوالات تشریحی مکمل سه آزمون سنجش مهارت های دیداری، منطقی و کلامی و همچنین دو آزمون مستقل سنجش مهارت های ترسیمی و کاربردی از روش پایایی مصححان198 استفاده شد. در این روش دو یا چند مصحح مستقلاً پاسخ های آزمون شوندگان را تصحیح می کنند. همبستگی بین نمرات مصححان مختلف شاخص پایایی مصححان به حساب می آید. در این قسمت پژوهشگر و همکار تحقیقاتی خود به صورت جداگانه نمرات به دست آمده را تصحیح کردند. ضریب همبستگی به دست آمده 78 درصد محاسبه شد. با توجه به معیارهای متعدد برای سنجش آزمون این درصد پایایی قابل قبول می باشد.
جهت بررسی همسانی درونی199 آزمون های تستی (سه آزمون) نیز از روش دو نیمه کردن آزمون به صورت سوالات زوج و فرد استفاده شد. ، قبل از اجرای اصلی آزمون، برای تعیین پایایی سوالات در میان گروه های نمونه ی دیگر، که هر یک شامل 29 و 30 دانش آموز بودند، آزمون آزمایشی به اجرا در آمد. در دو گروه، همان محتوا با روش متداول و سنتی تدریس شده بود. آزمون در یک گروه به صورت پیش آزمون و در دیگری به صورت پس آزمون اجرا شد. این دو گروه از نظر معدل در سطح دو گروه نمونه ی پژوهش بودند. پس از اجرای این آزمون ها، سوالات هر کدام به دو نیمه تقسیم شد (سوالات فرد و سوالات زوج) و سپس با استفاده از فرمول ضریب همبستگی گشتاوری پیرسون بین نمرات دو نیمه به دست آمد. سپس برای محاسبه ضریب پایایی آزمون نیز از فرمول اسپیرمن – براون200 استفاده شد که روابط آن به صورت زیر است.
rxy = Σ xy / √ Σx² Σy² r1/2 1/2 = ضریب همبستگی بین نیمه های آزمون
r tt=( 2 r1/2 1/2)/(1+r 1/2 1/2) r tt ضریب پایایی کل آزمون =
در بررسی همسانی درونی آزمون سنجش مهارت های کلامی شامل 15 سوال است که برای تقسیم آن به سوالات زوج و فرد از سوال آخر آن صرف نظر شد. نتایج محاسبه این آزمون ها برای دو گروه و در 3 آزمون به صورت زیر مشخص شده است.
جدول ‏3- ه: همبستگی ها و پایایی ها آزمون
مهارت های هئدسی
گروه و نوع
آزمون
میانگین نمرات
در آزمون (از 10)
تعداد دانش آموزان
ضریب همبستگی
ضریب پایایی
مهارت های منطقی
گروه یک (پیش آزمون)
4.07
30
% 81
% 90

گروه دو (پس آزمون)
3.97
29
% 88
% 93
مهارت های دیداری
گروه یک (پیش آزمون)
8.47
30
% 97
% 99

گروه دو (پس آزمون)
8.21
29
% 95
% 98
مهارت های کلامی
گروه یک (پیش آزمون)
6.87
30
% 98
% 99

گروه دو (پس آزمون)
6.64
29
% 96
% 98
در هر دو حالت ضریب پایایی بالایی به دست آمد که بیان گر استاندارد بودن نسبی آزمون و نحوه صحیح اجرای آن است. نتایج به دست آمده نشان می دهد بین پیش آزمون در گروه اول و پس آزمون در گروه دوم تفاوت معنی داری وجود ندارد. هم چنین ضریب همبستگی گشتاوری پیرسون برای آزمون سنجش مهارت های منطقی نسبت به مهارت های دیداری و مهارت های کلامی پائین تر است.
3.5 روش تجزیه و تحلیل داده ها
تجزیه و تحلیل داده های کمی
داده های کمی در این پژوهش نخست با محاسبات آمار توصیفی ارائه می گردد، سپس برای بررسی فرضیه ی اصلی پژوهش با توجه به چند متغیره بودن متغیرهای وابسته، از آزمون MANCOVA201 استفاده می شود. تحلیل کوواریانس چندگانه ترکیبی از تحلیل واریانس و رگرسیون است. این آزمون تاثیرگذاری آموزش های غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا بر مهارت های هندسی را به صورت کلی مشخص می کند. از نتایج فرعی این آزمون بررسی نحوه ی رشد مهارت ها نسبت به هم و تعیین وجود یا عدم وجود تقاوت در روند رشد مهارت ها می باشد.
برای بررسی فرضیه های جزئی پژوهش از تحلیل کوواریانس ANCOVA202 بهره گرفته می شود. تحلیل کوواریانس ترکیبی از تحلیل واریانس (ANOVA) و رگرسیون است. از طریق تحلیل کواریانس اثرات ناشی تفاوت در پیش آزمون ها کاهش تعدیل می شود. از طرفی واریانس خطی کاهش یافته و در نتیجه توان آزمون افزایش می یابد. (سرمد ص 420).
برای انجام محاسبات آماری از نرم افزارSPSS 17.0 و MS Excel 2007 استفاده شد. سطح معنا داری این آزمون ها به میزان 0.01=α اختیار شده است.

تجزیه و تحلیل داده های کیفی
در طراحی، اجرا و برگزاری آزمون های برگزار شده در ابتدا و انتهای دوره آموزشی، خطاهای مختلف پنهان و آشکار وجود دارد. و داده های کمی و گزارشات آماری ناشی از آن نمی تواند بیان گر حقایق باشد. در در کلاس تعریف شده توسط پژوهش گر عوامل بی شماری از جمله تحولات پنهان ذهنی و عاطفی دانش آموزان دخیل هستند. و این موضوع ارزیابی تاثیر استفاده از نرم افزار در یادگیری و قضاوت نهایی را در این خصوص را مشکل می سازد.
در این رابطه مریام (1998) این گونه مطرح می کند:
تحقیق های کمی اجزای پدیده ها را از هم جدا کرده و آن ها را به طور مجزا مورد بررسی قرار می دهند. در مقابل آن تحقیقات کیفی معلوم می کنند به طور کلی همه اجزا چگونه با هم در ارتباطند. به این ترتیب مفهومی که در تجارب مخاطب وجود دارد از طریق پژوهش گر توصیف می شود.
به منظور توضیح جامع از نحوه ی تاثیرگذاری استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا بر یادگیری، پژوهش گر علاوه بر انجام تحلیل های کمی علاقه مند به تحلیل یافته های کیفی نیز هست.
مشکل ترین تحقیقات کیفی تجزیه و تحلیل اطلاعات است. از آن جایی در جمع آوری داده ها در این روش که جزئیات زیاد حاصل می شود. استخراج مفاهیم و مختصر کردن موضوعات برای ارائه کاری سخت و طاقت فرسا است. (لینکون و گویا 1985) در این تحقیق داده ها و اطلاعات استخراج شده توسط روش های مختلف جمع آوری اطلاعات به شیوه های زیر مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار می گیرند.
1. مقوله بندی مشاهدات
2. برجسته کردن موارد عمده
3. نظم دهی به مستندات
4. تفسیر اطلاعات
4 فصل چهارم: تجزیه و تحلیل داده های پژوهش
مقدمه
تجزیه و تحلیل به عنوان فرآیندی از روش علمی، یکی از پایه های اساسی هر روش تحقیقی می باشد. به طور کلی تجزیه و تحلیل عبارتست از روشی که از طریق آن کل فرآیند پژوهش از انتخاب تا دسترسی به یک نتیجه هدایت می شود. چون غالب مسائلی که در تعلیم و تربیت مورد پژوهش قرار می گیرد خیلی گسترده و وسیع هستند، پژوهش گر به مسئله تدوین شده و یا تصمیم گیری در مورد رد یا تایید فرضیه ای که صورت بندی کرده است، از روش های مختلف تجزیه و تحلیل استفاده می کند. (دلاور 1380)
به منظور سنجش تاثیرات در این پژوهش تجزیه و تحلیل اطلاعات در دو بخش کمی وکیفی صورت می گیرد. در بخش کمی ابتدا اطلاعات با کمک شاخص های آماری و نمودارها مورد توصیف قرار می گیرند. سپس با استفاده از آزمون های آماری مناسب به بررسی معنی دار بودن تفاوت های مشاهده شده اقدام می شود. با توجه به این که صحت نتایج زوش های آماری به کارگرفته شده در این تحقیق مستلزم برقراری مفروضات آماری است خاصی است، قبل از به کارگیری از این روش ها به بررسی وجود مفروضه های پرداخته شده است.
4.1 تجزیه و تحلیل کمی داده ها
در این بخش، فرضیه های پژوهش در خصوص تاثیر استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر یادگیری بر مهارت های پنج گانه هندسه، در دو بخش توصیفی و استنباطی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرند.
در بخش توصیفی به جدول فراوانی، میانگین، اتحراف معیار و واریانس اشاره می شود. از طرفی با استفاده از نمودارهای آماری میزان رشد مهارت های یادگیری نشان داده خواهند شد.
در بخش استنباطی، ابتدا آزمون MANCOVA برای بررسی پنج متغیر وابسته با پیش آزمون و پس آزمون دو گروه آزمایش و کنترل مقایسه شدند. سپس توسط آزمون ANCOVA، هر یک از متغیرها به صورت مستقل در دو گروه کنترل و آزمایش با حذف اثرات اختلافی در پیش آزمون مورد بررسی قرار می گیرند.
با توجه به ماهیت موضوع و روش آزمایشی پژوهش و به منظور افزایش قدرت و توان آزمون های آماری در شناسایی تاثیر آموزش در یادگیری مهارت های هندسی متغیرهای جنسیت، پایه ی تحصیلی، نوع مدرسه، و معلم به عنوان متغیرهای کنترل وارد شده اند.
4.1.1 آمار توصیفی
فرضیه اول پژوهش: مهارت های منطقی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های منطقی بیش تر و موثرتر است.
در جدول زیر شاخص های توصیفی نمرات به دست آمده در پیش آزمون و پس آزمون گروه های کنترل و آزمایش شامل میانگین، حداقل و حداکثر، انحراف استاندارد و واریانس در سنجش مهارت های منطقی نشان داده شده است.
جدول ‏4- ا: شاخص های توصیفی مهارت های منطقی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل
شاخص های توصیفی
آزمون
تعداد
میانگین
حداقل
حداکثر
انحراف استاندارد
واریانس
گروه کنترل
پیش آزمون
28
2.39
1
5
1.17
16

پس آزمون
28
2.96
1
6
1.26
30
گروه آزمایش
پیش آزمون
28
2.14
1
6
1.30
38

پس آزمون
28
3.50
2
8
1.84
160
آمار فوق نشان می دهد میانگین نمرات در گروه آزمایش در پیش آزمون از میانگین نمرات در گروه کنترل پائین تر است. این در حالی است که در پس آزمون میانگین نمرات در گروه آزمایش بیش تر از گروه کنترل شده است. در نمودار زیر نحوه رشد مهارت های منطقی در دو گروه در پیش آزمون و پس آزمون نمایش داده شده است.
نمودار ‏4- ا: رشد مهارت های منطقی در گروه های کنترل و آزمایش

جهت بررسی دقیق تر نحوه ی تغییرات، نمودار هیستوگرام در دو گروه در پیش آزمون و پس آزمون به صورت زیر نمایش داده شده است.

نمودار ‏4- ب: هیستوگرام رشد مهارت های منطقی در گروه های آزمایش و کنترل
در دو نمودار سمت چپ نحوه تغییرات قابل توجهی در تغییر نمرات مشاهده نمی شود. تنها تغییر مهم کاهش تعداد افراد با مهارت های منطقی با نمره ی پائین (1-2)و افزایش جزئی افراد با نمره ی متوسط (5-6) است.
این در حالی است که میانگین نمرات در دو نمودار سمت راست که بیان گر نمرات در پیش آزمون و پس آزمون گروه آزمایش است، به طور محسوسی (1.4 نمره) افزایش داشته و دانش آموزانی موفق شده اند به سطوح بالای مهارت های منطقی دست پیدا کنند. توزیع نسبتاً نرمال تر شده و دانش آموزان متسوط توانسته اند رشد چشم گیری داشته باشند.
با این برای بررسی معنی دار بودن تفاوت می بایست از طریق آزمون های آماری در آمار استنباطی بهره جست. در بخش بعد به تفصیل و از طریق روش آماری آنکووا این موضوع بررسی می شود. در این روش اثر پیش آزمون و اثر دیگر مهارت ها در استنباط کلی موثر خواهد بود.
فرضیه دوم پژوهش: مهارت های دیداری
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های دیداری بیش تر و موثرتر است.
در جدول زیر شاخص های توصیفی نمرات به دست آمده در پیش آزمون و پس آزمون گروه های کنترل و آزمایش شامل میانگین، حداقل و حداکثر، انحراف استاندارد و واریانس در سنجش مهارت های دیداری نشان داده شده است.
جدول ‏4- ب: شاخص های توصیفی مهارت های دیداری در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل
شاخص های توصیفی
آزمون
تعداد
میانگین
حداقل
حداکثر
انحراف استاندارد
واریانس
گروه کنترل
پیش آزمون
28
6.71
2
8
1.58
3

پس آزمون
28
6.82
3
8
1.06
37
گروه آزمایش

پیش آزمون
28
8.07
5
10
1.18
22

پس آزمون
28
8.86
7
10
0.97
72
در جدول فوق تفاوت قابل توجهی در نمرات پیش آزمون در سنجش مهارت های دیداری مشاهده می شود. این تفاوت می توان ناشی از خطای اندازه گیری باشد. در عین حال در گروه کنترل میانگین نمرات تغییر محسوسی نداشته ولی در گروه آزمایش حداقل 0.8 نمره در میانگین تفاوت دیده می شود. در نمودار زیر شرایط دو گروه با در نظر گرفتن نمرات در پیش آزمون و پس آزمون نشان داده می شود.

نمودار ‏4- ج: رشد مهارت های دیداری در گروه های کنترل و آزمایش
شواهد به دست آمده از آمار توصیفی نشان از رشد این دسته از مهارت ها در گروه آزمایش دارد.

برای تحلیل دقیق تر به بررسی تفاوت دو گروه در نمودار هیستوگرام به شرح زیر پردخته می شود.

نمودار ‏4- د: هیستوگرام رشد مهارت های دیداری در گروه های آزمایش و کنترل
وضعیت نمرات در پیش آزمون گروه کنترل نشان می دهد شرایط شرکت کنندگان در آزمون غیر همگن بوده و دارای توزیع یکسانی نمی باشد. در پس آزمون نیز نمرات نشان می دهند، نمرات جابجایی خاصی نداشته اند.
در گروه کنترل وضعیت شرکت کنندگان نسبتاً هنجار است. و نمرات در پس آزمون دارای انتقال حدود یک نمره و حفظ الگوی توزیع صورت گرفته است. این موضوع نشان می دهد استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا در رشد مهار ]ای دیداری به صورت همگن موثر بوده و اثر آن از اثر کلاس های عادی به روش سخنرانی بیشتر است.

فرضیه سوم پژوهش: مهارت های کلامی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های کلامی بیش تر و موثرتر است.
در جدول زیر شاخص های توصیفی نمرات به دست آمده در پیش آزمون و پس آزمون گروه های کنترل و آزمایش شامل میانگین، حداقل و حداکثر، انحراف استاندارد و واریانس در سنجش مهارت های کلامی نشان داده شده است.
جدول ‏4- ج: شاخص های توصیفی مهارت های کلامی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل
شاخص های توصیفی
آزمون
تعداد
میانگین
حداقل
حداکثر
انحراف استاندارد
واریانس
گروه کنترل
پیش آزمون
28
5.75
1
8
1.76
2

پس آزمون
28
5.82
2
8
1.44
54
گروه آزمایش
پیش آزمون
28
6.14
4
8
1.11
39

پس آزمون
28
7.54
6
9
1.04
125

نتایج به دست آمده در آمار توصیفی نشان می دهد میانگین نمرات در گروه کنترل در مهارت های کلامی تغییر چندانی نداشته است. در حالی که در گروه آزمایش با وجود نزدیک بودن نمره ی پیش آزمون بیش از 1.4 نمره رشد وجود داشته است. در نمودار زیر شرایط رشد نمرات مربوط به مهارت های کلامی در دو گروه مشاهده می شود:

نمودار ‏4- ه: رشد مهارت های کاربردی در گروه های کنترل و آزمایش
مطابق نمودار فوق می توان مشاهده کرد نمرات در گروه آزمایش نسبت به گروه کنترل رشد قابل توجهی داشته است.
برای بررسی دقیق تر چگونگی رشد مهارت های کلامی در دو گروه، نمودار هیستوگرام در دو گروه و برای دو وضعیت پیش آزمون و پس آزمون در زیر نشان داده شده است:

نمودار ‏4- و: هیستوگرام رشد مهارت های کلامی در گروه های آزمایش و کنترل
تغییرات قایل توجه در نمرات در پیش آزمون گروه کنترل بیشتر مربوط کاهش نمرات کم و زیاد و نرمال شدن نمرات می باشد و تغییر خاصی به لحاظ میانگین مشاهده نمی شود.
اما در گروه آزمایش به وضوح نمرات افزایش داشته و میانگین نسبت به پیش آزمون جابجایی دارد. این جابجایی بیشتر مربوط به افزیش نمرات متوسط می باشد.
با مقایسه ی نمودارهای فوق می توان نحوه ی رشد مهارت های کلامی را در دو گروه مشاهده کرد. برای استنباط کلی از میزان رشد لازم است از اصول آمار استنباطی استفاده شود.

فرضیه چهارم پژوهش: مهارت های ترسیمی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های ترسیمی بیش تر و موثرتر است.
در جدول زیر شاخص های توصیفی نمرات به دست آمده در پیش آزمون و پس آزمون گروه های کنترل و آزمایش شامل میانگین، حداقل و حداکثر، انحراف استاندارد و واریانس در سنجش مهارت های ترسیمی نشان داده شده است.
جدول ‏4- د: شاخص های توصیفی مهارت های ترسیمی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل
شاخص های توصیفی
آزمون
تعداد
میانگین
حداقل
حداکثر
انحراف استاندارد
واریانس
گروه کنترل

پیش آزمون
28
3.18
2
6
1.09
8

پس آزمون
28
3.46
2
6
0.96
14
گروه آزمایش

پیش آزمون
28
3.14
1
5
1.08
48

پس آزمون
28
4.86
2
8
1.41
118
در سنجش مهارت های ترسیمی به وضوح مشاهده می شود نمرات در پیش آزمون دو گروه مشابه هم هست. اما در پس آزمون نمرات در گروه آزمایش بیش از 1.6 نمره پیشرفت داشته است. در نمودار زیر به صورت گرافیکی نحوه تغییرات قابل مشاهده است.

نمودار ‏4- ز: رشد مهارت های ترسیمی در گروه های کنترل و آزمایش
نمودار فوق نشان می دهد استقاده از نرم افزارهای هندسه پویا در رشد مهارت های ترسیمی تاثیر قابل توجهی داشته است.

در نمودارهای هیستوگرام زیر به شکل دقیق تر می توان نحوه ی تغییرات را ملاحظه کرد

نمودار ‏4- ح: هیستوگرام رشد مهارت های ترسیمی در گروه های آزمایش و کنترل
در نمودارهای سمت چپ واضح است که نمرات در پیش آزمون و پس آزمون دارای تغییرات جدی نیستند. اما در گروه آزمایش بدون تغییر در توزیع، میانگین دارای انتقال حدود 1.6 نمره افزایش است. این موضوع تاثیر مثبت استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا را در رشد مهارت های ترسیمی نشان می دهد.

فرضیه پنجم پژوهش: مهارت های کاربردی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های کاربردی بیش تر و موثرتر است.
در جدول زیر شاخص های توصیفی نمرات به دست آمده در پیش آزمون و پس آزمون گروه های کنترل و آزمایش شامل میانگین، حداقل و حداکثر، انحراف استاندارد و واریانس در سنجش مهارت های ترسیمی نشان داده شده است.
جدول ‏4- ه: شاخص های توصیفی مهارت های کاربردی در پیش آزمون و پس آزمون گروه های آزمایش و کنترل
شاخص های توصیفی
آزمون
تعداد
میانگین
حداقل
حداکثر
انحراف استاندارد
واریانس
گروه کنترل
پیش آزمون
28
3.18
2
6
1.09
1.19

پس آزمون
28
3.46
2
6
0.96
0.92
گروه آزمایش
پیش آزمون
28
3.14
1
5
1.08
1.16

پس آزمون
28
4.86
2
8
1.41
1.98
در پیش آزمون سنجش مهارت های کاربردی نیز تفاوت چندانی بین دانش آموزان در دو گروه مشاهده نمی شود. اما مطابق آمار فوق میانگین نمرات در گروه آزمایش حداقل 1.5 نمره پیشرفت داشته. این درحالی است که نمرات در گروه کنترل تناه 0.28 نمره پیشرفت داشته است.
نمودار زیر شمایل کلی این تغییرات را نشان می دهد.

نمودار ‏4- ط: رشد مهارت های کاربردی در گروه های کنترل و آزمایش

برای بررسی دقیق چگونگی رشد مهارت های کاربردی در دو گروه از نمودارهای هیستوگرام زیر استفاده می کنیم.

نمودار ‏4- ی: هیستوگرام رشد مهارت های کاربردی در گروه های آزمایش و کنترل
در نمودار سمت چپ مربوط به گروه کنترل رشد کمی در مهارت های کاربردی ملاحظه می شود. با این توضیح که دانش آموزان با نمرات خیلی پائین توانسته اند قدری نمره خود را افزایش دهند. اما در نمرات بالا تغییر عمده ای مشاهده نمی شود.
در نمودارهای سمت راست که مربوط به گروه کنترل می شود، ضمن افزایش قابل توجه میانگین در نمرات از پیش آزمون به پس آزمون، توزیع نسبتاً نرمال شده است.
لذا می توان مشاهده کرد، استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا در رشد مهارت های کاربردی تاثیر بسزایی دارند.
4.1.2 آمار استنباطی
آمار استنباطی به منظور رسیدن به نتیجه گیری نهایی بر اساس دقت مورد نظر صورت می گیرد. با توجه به طرح تحقیق که شامل 5 خرده مقیاس با برگزاری پیش آزمون و پس آزمون بود، مناسب ترین آزمون، آزمون MANCOVA می باشد. برتری این آزمون نسبت به آزمون های دیگر مانند MANOVA در این است که در آزمون منکووا، تاثیر نمرات در پیش آزمون در نظر گرفته می شود.
به منظور استفاده از آزمون مانکوا، لازم است 2 فروض اصلی مبنی بر همسانی ماتریس واریانس و کواریانس، و تجانس واریانس ها وجود داشته باشد. در ادامه به بررسی وجود این مفروضه ها خواهیم پرداخت.
الف) بررسی نرمال بودن چندمتغیری داده ها به وسیله ی آزمون باکس203 صورت گرفت. اگر چه آزمون باکس عملاً برای ماتریس واریانس و کواریانس صورت می گیرد. برقراری این ماتریس به طور غیر مستقیم نشان از نرمال بودن چند متغیری می باشد. بررسی این آزمون نشان داد که این مفروضه برقرار نیست. با این همه از آن جایی که مهم ترین مشکل عدم برقراری این مفروضه افزایش امکان خطای نوع اول است، پائین در نظر گرفتن آلفا این نقیصه را جبران می کند. از طرفی آزمون MANCOVA نسبت به این مفروضه به مقدار زیادی مقاوم است.
جدول ‏4- و: آزمون باکس برای بررسی وجود همسانی ماتریس واریانس و کواریانس
Box's M
F
df1
df2
Sig.
35.696
2.142
15
11740.74
0.006
ب) برای تعیین همگونی و تجانس واریانس ها نیز از آزمون لوین204 استفاده شده است. نتایج به کارگیری این آزمون در جدول زیر آمده است. و نتایج نشان می دهد با در نظر گرفتن مناسب مقدار آلفا محدودیتی برای آزمون منکووا وجود ندارد.
جدول ‏4- ز: آزمون لوین برای بررسی تجانس واریانس ها
منبع
F
df1
df2
Sig.
پس آزمون مهارت های منطقی
5.944
1
54
0.018
پس آزمون مهارت های دیداری
2.857
1
54
0.097
پس آزمون مهارت های کلامی
0.196
1
54
0.66
پس آزمون مهارت های ترسیمی
0.54
1
54
0.465
پس آزمون مهارت های کاربری
5.822
1
54
0.019

با اطمینان از تایید مفروضه ها، آزمون MANCOVA اجرا شد. از میان چهار روش مشابه، دو روش ویلک205 و هتلینگ206 مورد استفاده قرار گرفت. که نتایج آن در جدول زیر ارائه شده است.
جدول ‏4- ح: نتایج آزمون MANCOVA به شیوه ی ویلک و هتلینگ
اثر
مقدار
فرضیه df
خطای df
F
Sig.
خرده مقیاس ها
ویلک
0.342
5
45
17.309
0.00

هتلینگ
1.923
5
45
17.309
0.00
پیش آزمون مهارت های منطقی
ویلک
0.787
5
45
2.439
0.049

هتلینگ
0.271
5
45
2.439
0.049
پیش آزمون مهارت های دیداری
ویلک
0.746
5
45
3.062
0.018

هتلینگ
0.34
5
45
3.062
0.018
پیش آزمون مهارت های کلامی
ویلک
0.83
5
45
1.85
0.122

هتلینگ
0.206
5
45
1.85
0.122
پیش آزمون مهارت های ترسیمی
ویلک
0.326
5
45
18.571
0.00

هتلینگ
2.063
5
45
18.571
0.00
پیش آزمون مهارت های کاربردی
ویلک
0.547
5
45
7.462
0.00

هتلینگ
0.829
5
45
7.462
0.00
گروه
ویلک
0.27
5
45
24.395
0.00

هتلینگ
2.711
5
45
24.395
0.00

مقدار F کل در مقایسه ی یادگیری مهارت های هندسی در گروه های کنترل و آزمایش، برابر با 24.395 به دست آمده است. بنابر این می توان استنباط کرد با اطمینان 99 درصد بین گروه کنترل و آزمایش در یادگیری مهارت های هندسی تفاوت معنی داری وجود دارد.
همچنین مقدار F به دست آمده در خرده مهارت ها برابر با 17.309 با اطمینان 99 (0.01= α) بیان گر این موضوع است که روند رشد مهارت ها در دو گروه آزمایش و کنترل تفاوت معنی داری وجود ندارد.
برای بررسی اثر آموزش بر هر یک از مهارت ها از نتایج دیگر آزمون در جدول صفحه ی بعد استفاده می شود.

جدول ‏4- ط: نتایج آزمون MANCOVA
منبع
متغیرهای وابسته
مجموع مربعات
درجات آزادی
میانگین مربعات
F
Sig.
پیش_منطقی
پس_منطقی
9.781
1
9.781
4.486
0.039

پس_دیداری
1.529
1
1.529
1.802
0.186

پس_کلامی
0.756
1
0.756
0.534
0.468

پس_ترسیمی
0.013
1
0.013
0.03
0.862

پس_کاربری
1.413
1
1.413
1.709
0.197
پیش_دیداری
پس_منطقی
0.02
1
0.02
0.009
0.924

پس_دیداری
1.803
1
1.803
2.124
0.151

پس_کلامی
0.421
1
0.421
0.297
0.588

پس_ترسیمی
0.166
1
0.166
0.395
0.533

پس_کاربری
1.372
1
1.372
1.659
0.204
پیش_کلامی
پس_منطقی
0
1
0.00
0.00
0.992

پس_دیداری
0.663
1
0.663
0.781
0.381

پس_کلامی
4.207
1
4.207
2.971
0.091

پس_ترسیمی
0.021
1
0.021
0.049
0.826

پس_کاربری
1.997
1
1.997
2.414
0.127
پیش_ترسیمی
پس_منطقی
2.181
1
2.181
1
0.322

پس_دیداری
0.009
1
0.009
0.011
0.917

پس_کلامی
0.766
1
0.766
0.541
0.466

پس_ترسیمی
39.053
1
39.053
92.771
0.00

پس_کاربری
0.12
1
0.12
0.145
0.705
پیش_کاربردی
پس_منطقی
0.608
1
0.608
0.279
0.6

پس_دیداری
0.65
1
0.65
0.765
0.386

پس_کلامی
0.514
1
0.514
0.363
0.55

پس_ترسیمی
0.059
1
0.059
0.139
0.711

پس_کاربری
29.028
1
29.028
35.102
0.00
گروه
پس_منطقی
4.905
1
4.905
2.25
0.14

پس_دیداری
24.745
1
24.745
29.15
0.00

پس_کلامی
27.49
1
27.49
19.411
0.00

پس_ترسیمی
17.78
1
17.78
42.237
0.00

پس_کاربری
23.119
1
23.119
27.957
0.00
خطا
پس_منطقی
106.829
49
2.18

پس_دیداری
41.597
49
0.849

پس_کلامی
69.395
49
1.416

پس_ترسیمی
20.627
49
0.421

پس_کاربری
40.521
49
0.827

مجموع
پس_منطقی
723
56

پس_دیداری
3555
56

پس_کلامی
2624
56

پس_ترسیمی
1845
56

پس_کاربری
1075
56

مجموع تصحیح شده
پس_منطقی
137.982
55

پس_دیداری
113.554
55

پس_کلامی
126.214
55

پس_ترسیمی
95.554
55

پس_کاربری
105.554
55

میانگین های اصلاح شده
در جدول زیر میانگین های اصلاح شده در دو گروه در هر یک از مهارت ها محاسبه شده است.
جدول ‏4- ی: میانگین های تصحیح شده
متغیرهای وابسته
گروه

حدود اطمینان 95 درصد

میانگین
خطای استاندارد
کرانه پائین
کرانه بالا
پس_منطقی
گروه کنترل
2.876
0.309
2.256
3.496

گروه آزمایش
3.588
0.309
2.968
4.208
پس_دیداری
گروه کنترل
7.040
0.193
6.653
7.427

گروه آزمایش
8.639
0.193
8.252
9.026
پس_کلامی
گروه کنترل
5.836
0.249
5.336
6.336

گروه آزمایش
7.521
0.249
7.021
8.021
پس_ترسیمی
گروه کنترل
4.912
0.136
4.639
5.184

گروه آزمایش
6.267
0.136
5.994
6.539
پس_کاربری
گروه کنترل
3.388
0.19
3.006
3.77

گروه آزمایش
4.933
0.19
4.551
5.315
نمودار زیر بر اساس میانگین های اصلاح شده و میزان تفاوت در گروه های کنترل و آزمایش نسبت به هر یک از مهارت ها را نشان می دهد:

نمودار ‏4- ک: مقایسه میانگین های تصحیح شده مهارت های هندسی در دو گروه کنترل و آزمایش

آزمون های تعقیبی
برای بررسی آزمون های تعقیبی و معنی دار بودن تفاوت در هر یک از خرده متغیرها از ANCOVA استفاده شد.
فرضیه اول پژوهش: مهارت های منطقی
جدول زیر نتایج آزمون آنکوا را برای بررسی اثر بخشی آموزش بر تقویت مهارت های منطقی را نشان می دهد:
جدول ‏4- ک: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های منطقی
منبع
مجموع مربعات
(SS)
df
میانیگن مربعات
(MS)
F
P
پیش آزمون مهارت های منطقی
22.933
1
22.933
10.947
0.002
گروه
6.178
1
6.178
2.949
0.092
خطا
111.032
53
2.095

مجموع
723
56

مجموع تصحیح شده
137.982
55

با مقدار F برابر با 2.949 با اطمینان 99% (0.01 = α) می توان استنباط کرد بین یادگیری مهارت های منطقی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معاداری وجود ندارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی فرضیه ی اول پژوهش رد می شود.

نمودار ‏4- ل: مقایسه رشد مهارت های منطقی بر اساس میانگین های تصحیح شده در ANCOVA
بنابر این استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر رشد مهارت های منطقی تاثیر معنی داری ندارد.

فرضیه دوم پژوهش: مهارت های دیداری
جدول زیر نتایج آزمون آنکوا را برای بررسی اثر بخشی آموزش بر تقویت مهارت های دیداری را نشان می دهد:
جدول ‏4- ل: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های دیداری
منبع
مجموع مربعات
(SS)
df
میانیگن مربعات
(MS)
F
P
پیش آزمون مهارت های دیداری
11.509
1
11.509
13.855
0.00
گروه
28.36
1
28.36
34.141
0.00
خطا
44.027
53
0.831

مجموع
3555
56

مجموع تصحیح شده
113.554
55

با مقدار F برابر با 34.141 با اطمینان 99% (0.01 = α) می توان استنباط کرد بین یادگیری مهارت های دیداری گروه آزمایش و کنترل تفاوت معاداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 2 پژوهش تایید می شود.

نمودار ‏4- م: مقایسه رشد مهارت های دیداری بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA
لذا بر اساس آمار کمی به دست آمده، می توان نتیجه گرفت آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های دیداری بیش تر و موثرتر است.

فرضیه سوم پژوهش: مهارت های کلامی
جدول زیر نتایج آزمون آنکوا را برای بررسی اثر بخشی آموزش بر تقویت مهارت های کلامی را نشان می دهد:
جدول ‏4- م: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های کلامی
منبع
مجموع مربعات
(SS)
درجات آزادی
(df)
میانیگن مربعات
(MS)
F
P
پیش آزمون مهارت های کلامی
12.775
1
12.775
9.365
0.003
گروه
34.501
1
34.501
25.292
0.00
خطا
72.297
53
1.364

مجموع
2624
56

مجموع تصحیح شده
126.214
55

با مقدار F برابر با 25.292 با اطمینان 99% (0.01 = α) می توان استنباط کرد بین یادگیری مهارت های کلامی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معاداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 3 پژوهش تایید می شود.

نمودار ‏4- ن: مقایسه رشد مهارت های کلامی بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA
لذا بر اساس آمار کمی به دست آمده، می توان نتیجه گرفت آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های کلامی بیش تر و موثرتر است.

فرضیه چهارم پژوهش: مهارت های ترسیمی
جدول زیر نتایج آزمون آنکوا را برای بررسی اثر بخشی آموزش بر تقویت مهارت های ترسیمی را نشان می دهد:
جدول ‏4- ن: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های ترسیمی
منبع
مجموع مربعات
(SS)
درجات آزادی
(df)
میانیگن مربعات
(MS)
F
P
پیش آزمون مهارت های ترسیمی
55.159
1
55.159
139.559
0.00
گروه
22.577
1
22.577
57.121
0.00
خطا
20.948
53
0.395

مجموع
1845
56

مجموع تصحیح شده
95.554
55

با مقدار F برابر با 57.121 با اطمینان 99% (0.01 = α) می توان استنباط کرد بین یادگیری مهارت های ترسیمی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معاداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 4 پژوهش تایید می شود.

نمودار ‏4- س: مقایسه رشد مهارت های ترسیمی بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA
لذا بر اساس آمار کمی به دست آمده، می توان نتیجه گرفت آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های ترسیمی بیش تر و موثرتر است.

فرضیه پنجم پژوهش: مهارت های کاربردی
جدول زیر نتایج آزمون آنکوا را برای بررسی اثر بخشی آموزش بر تقویت مهارت های کاربردی را نشان می دهد:
جدول ‏4- س: تحلیل آماری آزمون ANOCVA در مهارت های کاربردی
منبع
مجموع مربعات
(SS)
df
میانیگن مربعات
(MS)
F
P
پیش آزمون مهارت های کاربردی
35.139
1
35.139
43.056
0.00
گروه
28.198
1
28.198
34.552
0.00
خطا
43.254
53
0.816

مجموع
1075
56

مجموع تصحیح شده
105.554
55

با مقدار F برابر با 34.552 با اطمینان 99% (0.01 = α) می توان استنباط کرد بین یادگیری مهارت های کاربردی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معاداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 4 پژوهش تایید می شود.

نمودار ‏4- ع: مقایسه رشد مهارت های منطقی بر اساس میانگین های تصحیح شده در آزمون ANCOVA
لذا بر اساس آمار کمی به دست آمده، می توان نتیجه گرفت آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های کاربردی بیش تر و موثرتر است.
4.2 تجزیه و تحلیل کیفی داده ها
در این بخش به بررسی مشاهدات و مستندات به دست آمده حین اجرای پژوهش پرداخته می شود. هدف اصلی این بخش تکمیل نتایج به دست آمده کمی در بخش قبل می باشد. در تجزیه و تحلیل کیفی هر یک روش های جمع آوری داده ها مطرح و اطلاعات آن ها ارائه می گردد. ابزارهای اندازه گیری و جمع آوری داده ها شامل صداها و فیلم های ضبط شده، مصاحبه ها و یادداشت های پژوهش گر و همکار وی است.
اطلاعات به دست آمده در قالب مشاهده ها، یادداشت ها، نظرسنجی و مصاحبه مطرح و مورد تحلیل قرار می گیرند. و در نهایت با تلفیق یافته های کمی در فصل پنجم نتیجه گیری به تفکیک هر یک از سوالات پژوهش مورد بررسی قرار خواهند گرفت.
این بخش از بررسی ها صرفاً در گروه آزمایش انجام بر اساس شیوه ی مطالعه ی موردی207، مصاحبه های عمیق و مشاهدات گسترده از روش های تحقیق کیفی، انجام پذیرفت. در جمع آوری داده های کیفی به منظور برآورد جامع از تاثیرات استفاده از نرم افزار واکنش های عاطفی و انگیزشی دانش آموزان نیز مورد توجه قرار گرفت. این داده ها به کمک روش واقعه نگاری مستندسازی شد.
4.2.1 بررسی چگونگی رشد مهارت های منطقی
دانش آموزان در دوره ی آموزشی به شکل های گوناگون فعالیت هایی را برای رشد مهارت های منطقی خود انجام می داند. پژوهش گر مشاهدات خود به صورت یادداشت با نظرات دانش آموزان تلفیق کرده است. سپس اقدام به تحلیل و تفسیر یک از وقایع پرداخته است، که شرح آن به صورت زیر است:
نظرسنجی
در نظرسنجی انجام شده مواردی به چشم می خورد که دانش آموزان در شرایط کاملاً عادی نظر صریح خود را از تجربه ای که داشته اند بیان می کردند. دو مورد زیر از این جمله اند:
نظری کمک کرد که ذهنم منطقی شود.
بیان صریح دانش آموز نشان می دهد وی تجاربی واقعی از منطقی شدن ذهن خود را به دست آورده است.
عبداللهی علت این که چرا این دو مثلث با هم مساوی است، در نرم افزار کشف شد.
مقصود دانش آموز این است که او در محیط نرم افزار تساوی مثلث ها را تجربه کرد.
مصاحبه
در مصاحبه ی صورت گرفته با دانش آموزان، آن ها به طور شفاف و راحت نظر خود را ابراز می کردند. در زیر به یک مورد اشاره شده است:
محقق آیا استفاده از نرم افزار در تقویت منطق، استدلال و اثبات کردن تاثیر داشته؟
قاسمی چون ما در نرم افزار می توانیم شکل ها رو تغییر دهیم خواسته هایمان در مسائل را می دیدیم. مثلاً در مثلث متساوی الساقین که باید دو ضلع مجاور برابر باشند، چون در نرم افزار می تونستیم تغییر دهیم اثبات آن برامون راحت تر بود نسبت به کاغذ.
درک شهودی دانش آموزان از مسائل و قانع شدن آن ها از درستی مسئله، موضوع اثبات را برای دانش آموزان را قابل فهم می کند. امکان تعامل با نرم افزار ارتباط دانش آموزان با مسائل را نیز بهبود می بخشید.
تاثیر متقابل مهارت ها
در جریان یادگیری با نرم افزار پژوهش گر متوجه شد، یادگیری هر یک مهارت های هندسی دانش آموزان به دیگر مهارت ها مرتبط است. و هم بر دیگر مهارت ها تاثیر می گذارد و هم متاثر از آن هاست. برای نمونه مورد زیر از دانش آموز سوال شد.
10/11/87 پیاده سازی شکل های هندسی ترکیبی، ذهن دانش آموزان را بسیار به خود مشغول می کرد. و در موارد بسیار آن ها برای کشیدن شکل لازم بود الگوریتمی را در نظر داشته باشند و از ابتدا فکر کرده عمل کنند.
این اتفاق حاکی از آن است که دانش آموزان برای انجام امور ترکیبی در ترسیم نیاز به رفتن به سطوح تفکر بالاتر در مدل ون هیل دارند.
محقق تا حالا شده شکلی رو ترسیم کنی و در حین آن از آن الهام بگیری برای این که آن را اثبات کنی؟
مشایخی راد بله من در ترسیم از نیم ساز استفاده کرده بودم و برای اثبات نیز از آن استفاده کنم.
تفسیر می توان نتیجه گرفته مراحل صحیح ترسیم یک شکل با اثبات آن می تواند در ارتباط باشد. لذا دانش آموزی که مهارت های ترسمی خود را افزایش داده می تواند از آن برای رشد مهارت های منطقی نیز کمک بگیرد.
همچنین این تاثیر را می توان در ارتباط با مهارت های دیداری مشاهده کرد:
15/12/87 در کلاس درس عادی دانش آموزی در حل مسائل پارامتری دچار مشکل شدند. معلم آن ها را به ارائه مثال هدایت کرد. و دانش آموزان با ارائه چند مثال دیداری به رابطه دست پیدا می کردند.
تخصیص یک رابطه عمومی و حل شدن حالت خاص مسئله، ارائه چند مثال دیگر و تعمیم کلی رابطه مراحل درک صحیح یک مسئله ریاضی است. استفاده از تخصیص و تقویت CA موجب فهم دانش آموز شد. این فرآیند در نرم افزاهای هندسه ی پویا تسهیل می شود. ارتباط مهارت های هندسی در جهت تقویت متقابل در فصل پنجم مورد بررسی بیشتر قرار می گیرد.
موارد فوق نمونه هایی از تاثیر گذاری استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر مهارت های منطقی است.
4.2.2 فرضیه دوم پژوهش: مهارت های دیداری
بازنمایی تصویری
مطابق مشاهدات ثبت شده، در بسیاری موارد که تمرین انجام شده در کلاس درس عادی در کارگاه مجدد انجام می شد و یا برعکس. دانش آموزان حضور ذهن نسبتاً خوبی از مسئله داشتند. طوری که مثلاً در کلاس درس عادی مراحل رسم در محیط نرم افزار را با دقت و با بیان کردن ابزارهای مورد استفاده قرار گرفته بر اساس تجسمی قوی مطرح می کردند. این موضوع آن قدر واضح و موثر بود که جزء یکی از برنامه های عادی کلاس مرور کارهای انجام شده در کلاس دیگر بود.
12/10/87 بیشتر دانش آموزان در تطبیق فعالیت خود در کلاس درس و کارگاه رایانه و تجسم کارهایی که انجام داده بودند بدون آن که بخواهند چیزی را تعمداً حفظ کنند، تسلط کافی داشتند.
که این امر به صورت تعمدی توسط معلم انجام می گرفت و تاثیرات آموزشی فوق العاده خوبی در پی داشت. دانش آموزان در کلاس سنتی برای یادآوری فعالیت های خود در کارگاه از بازنمایی تصویری یا تجسمی برونر استفاده می کردند. به علت درگیری با شکل در محیط نرم افزار این بازنمایی از کیفیت فوق العاده خوبی برخوردار شده است.
حالت فلو
درگیر شدن دانش آموزان در کار با مسئله ارائه شده، به کررات در فرآیند آموزش مشاهده شد. نمونه ی زیر یکی از آن هاست:
26/10/87 گاهی مشاهده می شود دانش آموزان زمان بسیاری تنها بر یک مسئله غور می کنند و به راستی مدت زمان گذشتن زمان را از دست می دهند.
تفسیر از دست رفتن زمان همان وضعیت فلو محسوب می شود. این امر موجب عمیق تر شدن تجارب یادگیری است.
مصاحبه
در گفتگویی با دانش آموزان میزان تاثیرگذاری بر تجسم که چه زمانی از مهارت های دیداری است پرسیده شد:
محقق آیا استفاده از نرم افزار در تجسم تاثیری داشته؟ آیا باعث شده تجسمت قوی بشه؟
نظری ذهنم این جوری شده که وقتی یک چیزی رو در ذهنم تکان می دهم احساس می کنم یک جزء دیگه قفله و نمی شه تکان داد یا یک چیز دیگر را تکان می دهم اون یکی هم تکون می خوره. ذهنم این جوری شده.
تفسیر فرآیندهای طبیعی تفکر در اثر تکرار فعالیت در محیط های دینامیکی از لحاظ منطقی رشد پیدا کرده است. جالب است که دانش آموز هم به لحاظ تجسمی رشد چشم گیری کرده و هم به لحاظ منطقی. مطابق نظریات یونگ تقویت هر یک از مهارتهای منطقی بر مهارت های شهودی موثر است.
همچنین مورد زیر جزء سوالات پژوهش گر در مصاحبه بود:
محقق می تونی دینامیک شکلی رو که در کاغذ می بینی رو تجسم کنی؟
نظری بله. در شکل داده شده اول شکل رو در ذهنم ثابت نگه داشتم بعد راسش رو کم کردم. بعد دیدم قاعده بزرگ میشه. بعد اون رو هم کم کردم. طوری که ارتفاع عمود بر ساق رو بتونم ثابت نگه دارم.
تفسیر تمرین تجسم فعالیت انجام شده در تقویت قوای بازنمایی تصویری تاثیر مثبت دارد.
پژوهش گر در حین یادگیری دانش آموزان متوجه شد گاهی ذهن تجسمی دانش آموزان از نرم افزار پیشی می گیرد. در سوالی این موضوع روشن گردید:
محقق آیا نمی شد این رو در نرم افزار انجام بدی؟
نظری نتونستم. چون قاعده را نمی تونستم تنظیم کنم. اما در ذهنم تونستم.
تفسیر گاهی فضاهای فیزیکی و حتی مجازی مانند نرم افزار دارای محدودیت هایی هستند که نمی توانند مانند ذهن موضوعات را تجسم کنند.
در سوالی دیگر محقق به بررسی تفاوت های ایجاد شده در ساختار ذهنی دانش آموزان می پردازد.
محقق تو چه تجربه ای در تجسم و مشاهده داشتی؟
مشایخی راد وقتی یک شکل رو در ذهن چند بار تکان می دادم باعث می شد در ذهنم تداعی بشه و بعد که می خواستم شکل رو تغییر بدم می فهمیدم که باید چه کاری انجام بدم.
تفسیر تمرین تجسم موجب شده است دانش آموز قبل از انجام عمل مراحل را تجسم کند.
موارد فوق همگی ناشی از موثربودن فوق العاده استفاده از نرم افزار در تقویت مهارت های دیداری است.
4.2.3 فرضیه سوم پژوهش: مهارت های کلامی
لزوم توصیف
پیش از شروع آموزش دانش آموزان توجه خواصی به نوشتن نداشتند و لزومی هم به توضیح و توصیف در موضوع ترسیم نمیدیدند. در یادداشت زیر به این مورد اشاره شده است:
18/7/87 دانش آموزان در کلاس عادی در رسم مثلث بدون استثناء هیچ توضیحی ننوشته بودند.
در ابتدای سال دانش آموزان ضرورتی به بیان مراحل ترسیم احساس نمی کنند. چرا که هنوز با ساختار علم و ارتباط آن با نوشتار، کلام و منطق آشنا نشده اند.
پژوهش گر برای بررسی اثر به کارگیری نرم افزارهای هندسه ی پویا بر رشد مهارت های کلامی، صراحتاً از دانش آموزان سوال کرد:
محقق آیا استفاده از نرم افزار در مهارت حرف زدن، توضیح دادن، به کارگیری درست ابزار و اصطلاحات و تلفظ درست اصطلاحات تاثیر دارد؟
مشایخی راد دانش آموزان در این محیط با اشکال به طور دقیق آشنا می شوند. و فهم درستی از اشکال پیدا می کنند.
تفسیر یادگیری اصطلاحات به صورت ناخودآگاه با تعدد استفاده از اشکال هندسی و ضرورت پیدا کردن ابزارها متناظر با نام مورد نظر موجب یادگیری اصلاحات و به کارگیری کلامی آن ها می شود.
همچنین در سوالات دیگر به موضوع پرداخته شد:
محقق آیا کسی که با نرم افزار کار کرده است می تواند در کلاس بهتر توضیح دهد؟
مشایخی راد نرم افزار باعث می شود ما منطقی باشیم و نمی توانیم هر کاری را انجام دهیم. می فهمیم که مثلاً متوازی الاضلاع دقیقاً چی هست؟ در گفتمان نیز تاثیر دارد. چون مراحل در ذهن آدم حک می شه.
تفسیر ذهن منطقی شده، بازنمایی تصویری با کیفیت خوب زمینه را برای به کارگیری کلامی مفاهیم در محیط نرم افزاری به ویژه در فعالیت های گروهی را فراهم می آورد.
محقق امسال که با نرم افزار کار کردید راجع به مفاهیم بیشتر حرف زدید یا کمتر؟
مشایخی راد بیشتر حرف زدیم. موقعیت های حرف زدن بیشتر می شد.
تفسیر در کارگاه رایانه دانش آموزان در همه لحظات مشغول انجام ترسیم و گفتگو پیرامون آن هستند و این موجب تقویت مهارت های کلامی می شود.

تاثیر متقابل
همانند موارد قبل پژوهش گر در این مهارت نیز متوجه نوعی ارتباط متقابل بین مهارت های یادگیری شد. در زیر به چند نمون اشاره می شود:
محقق این که بیشتر حرف زدید در اثبات بهتر تاثیر داشت؟
مشایخی راد وقتی بیشتر حرف می زدم درکم از مسئله بیشتر می شد. برای این که مثلاً در کارگروهی با بیشتر حرف زدن بهتر می فهمیم.
تفسیر توسعه مهارت های کلامی موجب درک بهتر از مسئله می شود. و بالا رفتن درک، اثبات را راحت تر می کند.
همچنین هنگامی که یکی از دانش آموز متوجه روال اثبات برای مسئله ای نشده بود، معلم از او می خواهد آنچه را که از مسئله می داند بی تکلف بیان کند. دانش آموز کل مسئله را بیان می کند و بعد با تطبیق راه حل می بیند هر آن چه گفته با نوشته جبری مطابقت دارد.
تفسیر گویی بیان، به او کمک می کند با مفهوم عجین شود، عبارات جبری زبانی جدید برای دانش آموز محسوب می شود. او هنگامی که بیان خود را که بارها و بارها توانسته تکرار کند در مجاورت زبان جدید قرار می دهد با تکرار با زبان جدید ارتباط بر قرار می کند.
البته این تمرین می بایست در نهایت ظرافت صورت گیرد. طوری که برای دانش آموز خیلی سخت نباشد که نتواند به پایان خوش این تطبیق برسد.
موارد فوق حاکی از تاثیرگذاری حضور دانش آموزان در محیط های نرم افزاری بر رشد مهارت های کلامی است.
4.2.4 فرضیه چهارم پژوهش: مهارت های ترسیمی
پژوهش گر در مراحل نخست کار دانش آموزان با نرم افزار متوجه شد دانش آموزان در تغییر محیط ترسیمی بازخوردهایی از خود نشان می دهند. از آن جمله موارد زیر ثبت گردیده است.
25/7/87 دانش آموزان برای رسم مثلث از کمان استفاده می کردند، اما بعد متوجه شدند که دایره ی کامل راحت تر این کار را انجام می دهد.
تفسیر: در محیط های سنتی، ابزار ترسیم پرگار بوده و به طور عادتی به دلیل عدم ضرورت دانش آموزان از کشیدن کل دایره پرهیز می کردند. اما در محیط های نرم افزاری دیگر این محدودیت ها وجو د ندارد.
25/7/87 دانش آموزان در ابتدای کار با نرم افزار، قیدهای اضافی به مسئله وارد می کردند.
تفسیر: ورود دانش آموزان به حوزه ی پویا شرایط جدیدی را برای عدم وابستگی به قیود اضافه فراهم کرده است که این امر به تدریج اتفاق می افتد.
ارزشیابی:
پژوهش گر حین فرآِیندهای یادگیری متوجه شد، شیوه های ارزشیابی تفاوت هایی با شیوه های سنتی دارد. یادداشت های زیر گویای این مطلب هستند.
9/8/87 دانش آموزان مدت قابل توجهی را برای ترسیم شکل ها صرف می کردند اما معلم به راحتی می توانست با تکان دادن نقاط از درستی ترسیم مطلع شود.
9/8/87 دانش آموزان در ابتدای کار با نرم افزار به جای ترسیم، اشکال را با استفاده از خطوط ساده می کشیدند. بعد از این که توسط معلم یا خودشان نقاطی از شکل جابجا می شد و ترکیب شکل از بین می رفت، متوجه اشتباه خود می شدند.
تقویت متقابل
پژوهش گر برای بررسی بیشتر نحوه ی تاثیر گذاری سوالاتی را از دانش آموزان در غالب مصاحبه پرسید:
محقق استفاده از نرم افزار چه تاثیری در بهتر شدن ترسیم در کاغذ تاثیری دارد؟
نظری چون در نرم افزار محدودیت هایی وجود دارد و رسم در این محیط باید منطقی باشد. بنابر این در کاغذ هم باید ترسیم را منطقی انجام داد.
تفسیر این موضوع نمونه ای دیگر از تقویت متقابل مهارت های ترسیمی و منطقی است.

همچنین مهارتهای ترسیمی دانش آموزان با یادگیری نمادها تقویت شد که نمونه ی زیر حاکی از این مطلب است.
12/10/87 اغلب دانش آموزان برای انتخاب ابزارها با نمادهایی که در این خصوص وجود دارد، بدون وقفه ارتباط برقرار کرده و ابزار مورد نظر را انتخاب می کنند
تفسیر این موضوع نمونه ای از تقویت متقابل مهارت های ترسیمی و کلامی است.
انگیزش
محقق برای بررسی انگیزه ی دانش آموزان در این حوزه نیز سوالی را مطرح نمود:
محقق آیا شده خودت خارج از برنامه تکالیف، خودت با برنامه کار کرده باشی؟
نظری بله، برای کشیدن رسم ها با برنامه کار می کردم.
نظری این موضوع نشان از علاقه و تمایل دانش آموزان در استفاده از نرم افزار به صورت غیر اجباری است.
موارد فوق همگی حاکی از موثر بودن استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر یادگیری مهارت های ترسیمی است.

4.2.5 فرضیه پنجم پژوهش: مهارت های کاربردی
در ابتدای سال تحصیلی با بررسی نتایج پیش آزمون مشاهده شد، هنگامی که از دانش آموزان در مورد کاربرد هندسه سوال می شود، آن ها اغلب فکر می کردند کاربردهای هندسه شامل موارد زیر می شود:
* بعداً کاربرد دارد.
* در دانشگاه کاربرد دارد.
* می توانیم در چیدن اتاقمان از هندسه کمک بگیریم.
* کاربرد چندانی در زندگی الان ما ندارد.
فهم دانش آموزان از هندسه کلی و مبهم بود و دقیقاً نمی دانستند هندسه در زندگی امروز و آینده آن ها چه کاربردی دارد. آن ها حتی به وسایل ساخته شده در زندگی روزمره که با اصول هندسی ساخته شده و آن ها درس آن را خوانده بودند تا کنون توجه نکرده بودند.
مصاحبه
در پایان دوره ی آموزشی پژوهش گر برای بررسی کیفی تاثیرات استفاده از نرم افزار سوالات زیر را در قالب مصاحبه مطرح نمود:
محقق آیا جایی را دیدی که در آن از مفهوم دینامیک استفاده شود؟
قاسمی در بعضی وسایل ورزشی در پارک ها و یا ماشین هایی که در زندگی روزمره از آن ها استفاده می کنیم مثل ترازو.
تفسیر دانش آموز مواردی جالب از کاربرد هندسه را می شناسد. و دو حوزه ی اهداف شناختی رشد کرده است.
محقق استفاده از نرم افزار بر دیدن کاربردهای بیشتری از هندسه تاثیر دارد؟
قاسمی می توانم. قدرت کارکرد باید بالاتر باشد. مثلاً کاری که ما انجام می دهیم در حد اشکال است.
تفسیر دانش آموز به لزوم کاربرد در هندسه بر اساس درس هایی که خوانده پی برده است.

همچنین پژوهش گر به منظور ارزشمند دانستن موضوع برای دانش آموزان سوالاتی را مطرح می کند.
محقق اگر ما بتوانیم تصویر یک قطعه فلزی را در نرم افزار وارد کنیم، ارزش داره مدل را در یک نرم افزار شبیه سازی کنیم؟
قاسمی چون در نرم افزار تجربه می کنیم. تجربه ای هم که در نرم افزار دارد بیشتر از تجربه اش در کاغذ است. پس تاثیرش هم بیشتر است.
تفسیر دانش آموز درک مناسبی از قابلیت نرم افزارهای هندسه ی پویا به دست آورده است.
یکی از دانش آموزان در فرآیند آموزش حس خود را راجع به استفاده از نرم افزار ابراز نمود.
قاسمی بعضی وقت ها یک چیزی هست برام جالبه، می رم در نرم افزار شبیه سازی می کنم و می بینم وقتی یک جزئی از شکل تکان می خورد یک جزء دیگر هم تکان می خورد.
تفسیر این موضوع نشان می دهد موضوع شبیه سازی از برنامه درسی اجباری پا فراتر نهاده و جزء ابزارهای تفکر دانش آموز قرار گرفته است.
پژوهش گر برای بررسی انگیزه ی دانش آموزان هنگام نمایش اپلت های آموزشی از کاربرد هندسه به دانش آموزان متوجه تمایل دانش آموزان به داشتن فایل های آماده شد.
27/1/88 دانش آموزان از مشاهده تصاویر پویا به شکل اپلت بر روی صفحه ی رایانه لذت می بردند و بعضاً متعجب می شدند. و برخی از آن ها درخواست کردند فایل آن را بگیرند.
تفسیر این موضوع نشان می دهد دانش آموزان در حوزه ی اهداف عاطفی نیز رشدهای چشم گیری را داشته اند.
موارد فوق نشاند می دهد استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر رشد مهارت های کاربردی تاثیر مثبتی دارد.
مصاحبه با دانش آموزان در مورد برنامه آموزشی
در ادامه مصاحبه به مدت 15 دقیقه نظر عمومی دانش آموزان در رابطه با برنامه ی اجرا شده پرسیده شد. که شرح آن به صورت زیر است:
کلیات برنامه
* پژوهش گر: برخورد بچه ها چگونه بوده است؟
o بعضی از بچه ها خوششان نمی آمد. علتش هم نمی دونم. بعضی از بچه ها هم علاقه مند شدند و خوششان می آمده. در نتیجه ذهنشان منطقی شده.
* پژوهش گر: کسی رو سراغ داری بدون اینکه من بدونم خودش در منزل له خاطر سرگرمی برای خودش کار کرده باشه.
o نظری: GeoGebra نه ولی 3D MAX و Maya کار می کنند.
* پژوهش گر: نظرتون راجع به نرم افزار جئوجبرا چیه؟
o مشایخی راد: این نرم افزار برای من جنبه تفریحی دارد. برای به دست آوردن فرمول ها خوب است. برای طراحی وسیله هایی که در آن ها اهرم به کار می رود نیز به درد می خورد.
o نظری: برای اثبات خوبه، برای رسم کردن
پیشنهاد برای سال آینده
o نظری: خوبه فقط اختیاری باشه. کمک به بالاتر رفتن درک بچه می کند. بهتر می توانند اثبات کنند.
o مشایخی راد: کشیدن رسم های کتاب در نرم افزار. دقیق تر هم هست.
o قاسمی: اول برنامه یک آموزش گذاشته شود. من خودم در کلاس یاد گرفتم بعضی قسمت ها را هم خودم یاد گرفتم.
o نظری: در درس های دیگر هم کمک بگیریم. مثلاً فیزیک.
o نظری: محیط برنامه سرد و مانند کاغذ بود. اگر حالت برنامه زیباتر و سه بعدی باشه بهتر است.
* پژوهش گر: نظر پدر و مادرهاتون چیه؟
o نظری: اول درس هامون رو انجام بدیم.
o مشایخی: خوشحال هم می شوند.
o قاسمی: خبر ندارند.
پیشنهاد دانش آموزان برای سال آینده
* پژوهش گر: نظر اولیاء شما در مورد استفاده از ترم افزار در خانه چیه؟
o نظری: اول درس هامون رو انجام بدیم.
o مشایخی: خوشحال هم می شوند.
o قاسمی: خبر ندارند.
4.3 یافته های فرعی
با توجه به این که هنگام انجام پژوهش، همکار پژوهش گر در اغلب برنامه همراه بود، یادداشت ها و مشاهدات در جلسات بعد از کارگاه به دقت و منظم تدوین و تنظیم می شد. تدوین یادداشت ها به صورت دقیق و عمیق مستندسازی می شدند. این مشاهدات در سه بخش مسائل انگیزشی، مسائل اجتماعی و نحوه ی تعامل با نرم افزار دسته بندی شد که حاصل آن به شرح زیر است:
4.3.1 مسائل انگیزشی
در محیط کارگاه رایانه بیشترین فعالیت توسط دانشآموزان صورت می گرفت. در چنین شرایطی دانش آموزان از سطح برانگیختگی یکسانی برخوردار نبودند.

مشاهدات صورت گرفته در این خصوص به شرح زیر آمده است:
کارگاه
تاریخ
مشاهده
5
7/9/87
دانش آموزان اغلب علاقه مند بودند شکل های خود را ذخیره کنند. و در مواردی که به آن ها گفته می شد لازم به ذخیره سازی نیست، ناراحت می شدند و خود اقدام به ذخیره کردن فایل ها می کردند
5
7/9/87
بارها توسط دانش آموزان از معلم درخواست شد برای درک درست مسئله برویم کارگاه رایانه و مسائل را آن جا شبیه سازی کنیم.
6
21/9/87
دانش آموزان توانا و سطح بالای کلاس بدون این که از کلاس عادی مشکلی داشته باشند، نسبت به کارگاه های رایانه ابراز علاقه می کردند.
6
21/9/87
در روزی که از دانش آموزان در ترسیم رکوردگیری می شد، آن ها هنگام خروج از کارگاه، با شوق وصف ناپذیری خارج می شدند.
7
5/10/87
دانش آموزان خوش استعداد در کلاس های عادی، در کار با نرم افزار بسیار خوب عمل می کردند و سریع یادگرفته و فعالیت ها را زودتر از بقیه انجام می دادند.
7
5/10/87
برخی دانش آموزان بعد از سه ماه کار آموزشی برای زیاد شدن کارگاه ها ابراز تمایل می کردند. افرادی که به طور عمومی از وضعیت یادگیری پائین تری در ریاضی برخوردار بودند بیشتر بود.
8
12/12/87
دانش آموزانی که در کلاس نسبت به بقیه عقب می افتادند، تا هر حد که پیش می رفتند کفایت می کرد و دچار اضطراب نمی شدند. و اغلب تمایل داشتند به فعالیت خود ادامه دهند.
4.3.2 مسائل اجتماعی
دانش آموزان در کارگاه رایانه در گروه های دو نفره فعالیت می کردند. لذا دانش آموزان مجبور بودند برای انجام فعالیت های تعریف شده به نوعی تعامل و تقسیم کار داشته باشند. این موضوع خود به فرآیند یادگیری کمک می کرد.

برخی مشاهدات در این خصوص در جدول زیر ارائه شده است:
کارگاه
تاریخ
مشاهده
4
23/8/87
دانش آموزان با قرارگیری در گروه ها در انجام فعالیت ها نسبتاً همکاری خوبی داشتند و به موقع جای خود را برای ترسیم عوض می کردند. در موارد بسیار برای انجام و حل مسائل به بحث و مشورت می پرداختند.
6
21/9/87
دانش آموزان تمایل داشتند خود ماوس را در دست بگیرند. و این موضوع برخی موارد موجب اختلاف بین آن ها می شد.
7
5/10/87
هنگام انجام فعالیت های گروهی، میزان گفتگوی دانش آموزان پیرامون مسائل بسیار زیاد می شد.
8
12/12/87
برخی دانش آموزان با هوش بالا زودتر از بقیه کار را تمام می کردند. و فرد دیگر گروه از انجام فعالیت ها باز می ماند. که با هدایت معلم، شرایط یادگیری فرد دیگر فراهم شد.
4.3.3 تعامل با نرم افزار
دانش آموزان هنگام فعالیت در محیط های نرم افزاری شرایط متفاوتی از یادگیری هندسه را تجربه می کردند. و مقایسه ی آن ها با شیوه های سنتی یادگیری هندسه (هندسه ی ایستا) شرایط جدیدی را به وجود می آورد که همگی آن ها به گونه ای در شناخت واقعیت موجود در اشکال کمک می کرد.

شرح مستندات در این خصوص در ادامه آمده است:
کارگاه
تاریخ
مشاهده
3
9/8/87
دانش آموزان در برخی موارد قادر نبودند، میان ویژگی های انحصاری جئوجبرا و ویژگی های ریاضی اشکال هندسی تمایز قائل شوند.
4
23/8/87
نرم افزار تقریباً همه نیازهای دانش آموزان برای ترسیم را پیش بینی کرده بود. مانند انواع روش رسم و علائت گذاری های متداول روی اشیاء و غیره.
5
7/9/87
دانش آموزان ابتدای کلاس های عادی اغلب نسبت به استفاده از نرم افزار سوال داشتند. و با پرسیدن سوال خود، و شنیدن جواب به صورت شفاهی، بلافاصله متوجه روش کار می شدند.
6
21/9/87
برخی اوقات دانش آموزان هنگام بررسی اشکال از پیش رسم شده متوجه می شدند که اگر حرکت اشکال را محدود کنند، بهتر می توانند ویژگی های آن را دریابند.
7
5/10/87
نرم افزار جئوجبرا این امکان را فراهم می کند تا دانش آموزان همزمان طول، عرض و جهت یک مستطیل را تغییر دهند. دانش آموزان دریافتند اگر تنوع حرکات را محدود کنند راحت تر می توانند به کار خود ادامه دهند. آن ها جهت مستطیل و یک جفت از اضلاع را ثابت نگه داشتند. با این روش توانستند ویژگی های هندسی این شکل را تشخیص دهند.
8
12/12/87
یکی از موضوعاتی که برای دانش آموزان از جذابیت خاصی برخوردار بود، ماکرو نویسی و تولید ابزار سفارشی بود.
4.3.4 نظرسنجی
در انتهای سال تحصیلی یک نظر سنجی ساده در میان دانش آموزان صورت گرفت. هدف اصلی این نظرسنجی بررسی اثر بخشی نرم افزار نسبت به مباحث آموزشی بود. در این نظرسنجی، سوال مورد نظر در بین سه سوال دیگر آورده شده بود. طوری که دانش آموزان نسبت به پاسخ خود در نحوه تاثیر نرم افزار در یادگیری، به طور عادی پاسخ دهند. از طرفی دانش آموزان با این که در فرم نظردهی نام خود را می نوشتند، اما در ارائه نظر تحت فشار نبودند و نظر واقعی خود را بروز می دادند. در جدول زیر نظرات دانش آموزان به سوال مذکور ثبت گردیده است.
جدول ‏4- ع: جدول تحلیل نظرات دانش آموزان در خصوص تاثیر نرم افزار در یادگیری مباحث مختلف درسی
نام خانوادگی
مثلث قائم الزاویه
توازی
زاویه و مثلث
چهارضلعی ها
مساحت
تقارن
حجم
آقا خانی




آقا سید عبد الله


پرهیزکار

پنجه شاهی


پور طاهر

جوادیان



حبیبی

حجتی



حسینی نسب

حیدری

شیرازیان


ضابطی



عارفی پور





عبداللهی نسب

عبداللهی نسب




قاسمی




لعل فام




محرری



محسنی



محمدیان




مرصوصی


مشایخی راد


منتظمی




میر شفیعی




نادری فر



نراقیان





نظری

وحید

مجموع
13
4
8
10
0
0
0
در نظرسنجی 10 درصد دانش آموزان اعلام کردند نرم افزار برای آن ها جنبه سرگرمی داشته است. و 5 مورد اشاره کرده اند تاثیر نداشت. دانش آموزان در نظرسنجی در پاسخ به سوالی که تاثیر استفاده از نرم افزار را نسبت به موضوع درسی سوال می کرد به مباحث مختلفی اشاره کردند. تاکید دانش آموزان بر مباحث مطرح شده با برنامه ی آموزشی مطابق جدول ‏3- ا، در جدول زیر مورد مقایسه قرار گرفته است:
جدول ‏4- ف: محاسبه ضریب همبستگی جلسات آموزش و تاثیرگذاری در یادگیری در نظر سنجی از دانش آموزان
ردیف
تعداد جلسات
تاثیر قابل توجه
مجذور تعداد جلسات
مجذور تاثیر قابل توجه
AB
مثلث قائم الزاویه
3
13
9
169
39
توازی
2
4
4
16
8
زاویه و مثلث
1
8
1
64
8
چهارضلعی ها
2.5
10
6.25
100
25
مساحت
0.5
0
0.25
0
0
تقارن
0.5
0
0.25
0
0
حجم
0.5
0
0.25
0
0
جمع
10
35
21
349
80

ضریب همبستگی 88 درصد نشان می دهد، یادگیری موضوعات آموزشی در بخش هایی که از نرم افزار بیشتر استفاده شده، در ذهن دانش آموزان ماندگارتر بوده است.

5 فصل پنجم: بحث و نتیجه گیری از یافته های پژوهش
مقدمه:
این فصل مشتمل بر بحث و بررسی یافته ها و نتیجه گیری، محدودیت های پژوهش و ارائه پیشنهادهایی برای معلمین و محققین در خصوص هندسه ی پویا می باشد. در این فصل فرضیات تبیین و تفسیر شده در این قسمت، مورد بحث و بررسی قرار می گیرند و با ادبیات تحقیق پیوند داده می شوند. سپس نتایج حاصله از پژوهش با توجه به پیشینه ی نظری تبیین می گردد. هدف پژوهش بررسی یادگیری مهارت های هندسی در محیط آموزشی غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا و مقایسه آن با کلاس های سنتی در دوره راهنمایی تحصیلی پایه دوم بوده است.
دانش آموزان در یادگیری ریاضی در مدارس دچار مشکلات عدیده ای هستند. نتایج به دست آمده در آزمون تیمز حاکی از این ضعف در یک مقایسه ی جهانی بود. به ویژه در ایران ایم مشکل تشدید شده است. دانش آموزانی که در یادگیری ریاضی دچار مشکل می شوند با انتخاب رشته ای علوم انسانی، صورت مسئله ی خود را پاک می کنند. لذا در آن رشته های نیز نمی توانند توفیقات چندانی به دست آورند. علت عمده مشکل در آموزش ریاضی بیش از حد انتزاعی شدن مفاهیم ریاضی است. به طوری که همواره در آموزش ریاضی دانش آموزان بدون مشاهده و درک تجربی از مفاهیم ریاضی همواره با چالش های فروانی روبرو بودند.
متاسفانه برنامه ریزان درسی در درس ریاضی که مهد تفکر منطقی است عموماً از تفکر شهودی غافل شده اند و غایت یادگیری را تقویت بعد تجریدی دانش آموزان قرار داده اند. به عنوان مثال در مدل یادگیری ون هیل 5 گام یادگیری از مفاهیم عینی208 و مفاهیم انتزاعی209 در نظر گرفته شده است. ساختار منطقی هندسه اقلیدسی بسیاری از یادگیرندگان را به وحشت می اندازد. اما معلمین و دانش آموزان مجبورند از این ساختار پیروی کنند.
برای بررسی این مشکل، پژوهش گر مطالعاتی را در خصوص نظریه های یادگیری به خصوص در حوزه ریاضی انجام داد و به این نتیجه رسید می توان این مشکل را با استفاده از محیط هایی که در آن دانش آموزان فرصت بیشتری برای تجربه کردن ریاضی را دارند بر طرف نمود. بهترین گزینه برای این موضوع، استفاده از نرم افزارهای هندسه پویا است. این نوع از نرم افزارها، در سال های اخیر دستاوردهای چشم گیری به ارمغان آروده است.
این نرم افزارهای می توانند در توسعه مهارت های یادگیری در درس ریاضی به خصوص هندسه تاثیر ویژه ای داشته باشند. از آن جمله می توان به مهارت های منطقی اشاره کرد. ذهن دانش آموز در برقراری ارتباط با این نرم افزار، به گونه ای نظم پیدا می کند و مطابق دیگر الگوهای رایانه ای اصطلاحاً ساختار الگوریتمی پیدا می کند.
از دیگر فواید این نرم افزارها تاثیرگذاری آن بر قوای مشاهده ای دانش آموزان است. دانش آموزان در این محیط دائماً با جلوه های متعددی از اشکال در ارتباطند و تعابیر بصری فراوانی را مشاهده و ادراک می کنند. قوه ی تجسم آن ها قوی شده و نسبت به صحت ظاهری قضایای هندسی بهتر قانع می شوند.
از ویژگی های این دسته از نرم افزارها، امکانات ساده و متعدد آن ها برای شبیه سازی مفاهیم هندسی و ایجاد موقعیت های تعامل کاربر با نرم آفزار است. در این شرایط دانش آموز مخاطب مطمئنی برای گفتگو حول موضوع ریاضی می یابد و با نرم افزار طرح تعامل و گفتگوی علمی می ریزد. هر آم چه سوال دارد در آن شبیه سازی می کند و به آثار مشاهده شده در آن دقت می کند. لذا در این محیط قوای کلامی دانش آموزان تقویت می شود.
امکانات متنوع تعبیه شده در نرم افزار این امکان را برای دانش آموزان فراهم می آورد تا اغلب شکل های هندسی را با رعایت اصول هندسی در ترسیم در محیط نرم افزار به صورت دینامیک و پویا پیاده سازی کنند. در این محیط دانش آموزان بسیاری از فعالیت های کلاس درس خود را در کلاس های سنتی به شیوه ای متکامل تر در این محیط تجربه می کنند. لذا امکان رشد مهارت های ترسیمی با کمک نرم افزارهای هندسه پویا فراهم می شود.
دانش آموزان اغلب تصور می کنند هندسه در آینده ای دور برای آن ها کاربرد دارد. و توجه خاصی به موارد کاربردی از اصول هندسی در محیط اطراف خود ندارند. در چنین شرایطی، محیط های نرم افزاری امکاناتی را فراهم می کنند که دانش آموزان بتوانند خود به اجرای مدل های کاربردی از هندسه دست بزنند. یا مدل های از پیش طراحی شده را در محیط های پویا مشاهده و نحوه استفاده از قوانین هندسی را در وسائل زندگی مشاهده کنند.
در مجموع می توان گفت نرم افزارهای هندسه ی پویا می توانند در یادگیری مهارت اهی هندسی شامل مهارت های منطقی، دیداری، کلامی، ترسیمی و کاربردی تاثیر مثبتی داشته باشند.
این پژوهش گر برای بررسی این موضوع طرحی را در دو کلاس درس در قالب گروه آزمایش و کنترل با جمعیت 28 نفر در هر کلاس در نظر گرفت و در گروه آزمایش در طول یک سال تحصیلی برنامه آموزشی خود را با استفاده از نرم افزارهای هندسه پویا به اجرا درآورد. در دوره آموزشی 10 کارگاه آموزشی در سایت رایانه ای مدرسه به جای کلاس های عادی به اجرا درآمد. همچنین دانش آموزان موظف بودند تکالیف عادی خود را در محیط نرم افزار نیز شبیه سازی کنند. طوری که در انتهای سال هر دانش آموز حداقل 70 فایل شبیه سازی شده از مسائل هندسه به معلم خود تحویل داد.
پیش از شروع آموزش از هر دو گروه پیش آزمون به عمل آمد و پس از آن نیز پس آزمون برگزار شد. نتایج کمی نشان داد استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا به جز در مهارت های منطقی، در مهارت های دیگر تاثیر معنی داری گذاشته است. از طرفی یافته های کیفی تاثیر مثبت استفاده از نرم افزار را بر کلیه مهارت ها مورد تایید قرار داد. این نتایج با تحقیقات انجام شده سازگار بود.
از نتایج این پژوهش وجود تاثیرات متقابل بین مهارت های یادگیری بود. پژوهش گر متوجه شد، تقویت هر یک از مهارت های هندسی بر تقویت مهارت دیگر موثر است. پژوهش گر همچنین به اثر انگیزه ی دانش آموزان در یادگیری پی برد. از دیگر نتایج این پژوهش توجه به تلفیق حوزه های مختلف در اهداف یادگیری شامل اهداف شناختی،عاطفی و مهارتی است. طوری که توجه معلم به این سه حوزه بهره یادگیری را افزایش خواهد داد.
فزار
5.1 بحث و بررسی یافته ها
شیوه قدیمی تدریس، آمرانه و معلم محور است، شیوه جدید تدریس، منعطف و دانش آموز محور است. در زمان های قدیم، معلم در مرکز یا جلوی کلاس بود. همه به او و چیزی که می گفت، نگاه می کردند. امروزه، تک تک دانش آموزان باید در مرکز کلاس باشند، و باید اجازه داشته باشند که هر ایده خوبی را که به ذهن شان می رسد، انجام دهند. باید به آن ها اجازه داد تا این ها را به روش خودشان و به تنهایی یا در گروه های کوچک، دنبال کنند. از طرفی در این محیط های آموزشی، به دلیل اشباع راه های آغاز و انتخاب، دانش آموزان با سبک های متفاوت یادگیری، خود راه را برای یادگیری انتخاب می کنند. و پس از طی مراتبی حتی قادر به توان مندسازی خود در حیطه های دیگر یادگیری که تا کنون در آن مستعد نبودند، از روی انتخاب و میل به رشد شخصی همت می گمارند. در یک چنین کلاس منعطف و دانش آموز محوری، هر گروه از بچه ها کار متفاوتی انجام می دهد.
هنگامی که دانش آموزان در محیط غنی یادگیری قرار می گیرند و معلم متبحر به هدایت آن ها در یادگیری می پردازد، بسیاری از سنت های یادگیری دیگر مورد اقبال نیست، دانش آموز اختیار نرم افزار را بر عهده دارد و بر اساس استعدادها و تمایلات خود عمل می کند. عمل دانش آموزان متفاوت بوده و ضرورتی به اجباری بودن همه فرآیند آموزشی نیست. در این محیط برخی زودتر به نتیجه می رسند و برخی دیرتر. برخی اعتقاد به استفاده از نرم افزار ندارند و برخی مشتاق هستند. برخی ترجیح می دهند ابتدا مسائل را اثبات کنند، سپس شبیه سازی کنند و برخی بر عکس. تفاوت های فردی، سبک های یادگیری مختلف و هوش های گوناگون دال بر ضرورت وجود نوعی هدایت هوشمند در کلاس می باشد. به دلیل غنی بودن کلاس هایی از این دست، دانش آموزان فرآیندهای آموزشی را به نهایت خود می رسانند و گرایش های آن ها در فرآیندهای AC و CA دائماً جا عوض می کنند. مسائل اغلب باز پاسخ هستند. یادگیری دانش آموزان در این محیط ها بیشتر شبیه انجام یک بازی است. آن ها بازی می کنند و ایده های خود را در حین بازی، رشد و توسعه می دهند. حتی اغلب مشاهده می شود که دانش آموزان این نوع یادگیری ها را به دلیل سادگی و جذابیت جزء درس محسوب نمی کنند. در حالی که کلیه مفاهیم درسی را آموخته اند. برای کنترل این موضوع تنظیم برنامه درسی تلفیقی پیشنهاد می شود.
با استفاده از برنامه ی درسی مبتنی بر هندسه ی پویا در دوره راهنمایی، دانش آموزان به مفاهیم هندسی نزدیک شده و تجارب شخصی فراوانی از آن به دست می آورند. در این صورت، سوالات فراوان برای آن ها پیش خواهد آمد. چرا که در چنین شرایطی، هر هنگام که مفهوم انتزاعی مورد بحث قرار گیرد، دانش آموز مثال های متعددی از مصداق های آن مفهوم را در ذهن دارد و به یقین یادگیری او معنادار و عمیق خواهد شد. استفاده از برنامه های هندسه ی پویا در دوره ی راهنمایی به تعدیل هندسه مبتنی بر فرضیه های استنتاجی کمک خواهد کرد. ولی آن را از میان نمی برد.
مطالعات مربوط به نقش کنترل معلم و حق انتخاب دانش آموز در روش یادگیری، نشان می دهد که خود انگیختگی در دانش آموزان زمانی بروز می کند که آنان در انتخاب فعالیت ها و مباحث مورد علاقه خود، آزادی عمل داشته باشند.
در شیوه ی آموزشی مطرح شده در پژوهش حاضر، شبیه سازی مسائل ریاضی در یادگیری تاثیر بسزایی دارد. شبیه سازی بیشترین تاثیر را در تقویت مهارت های دیداری دارد. مهارت های دیداری مربوط به نیم کره راست مغز می شود. تقویت آن خود موجب رشد نیم کره دیگر شده و لذا مهارت های منطقی نیز تقویت می شوند. استفاده از شبیه ساز رایانه ای برای توسعه این مهارت ها به شکل مستقیم و یا با استفاده از تجارب و مفاهیمی که از به کارگیری این نرم افزار به دست می آوریم می تواند کارساز باشد.
معلمی با استفاده از نرم افزار متوجه این نکته شود که دانش آموز با دیدن مثال و دست کاری آن یک مفهوم انتزاعی را بهتر متوجه می شود. لذا در این تحقیق معلم مذکور فرصت پیدا خواهد کرد در کلاس سنتی خود حتی بدون استفاده از نرم افزار با زدن مثال سنتی، و یا ایجاد تجسمی از کار با نرم افزار مفهوم را بهتر آموزش دهد. بنابر این در تحقیق حاضر ابزار کمک آموزشی دو کاربرد دارد یکی کاربرد ابزاری مستقیم که منجر به کسب مهارت های خاص توسط دانش آموز می شود و دیگری توجه دادن به معلم نسبت به شیوه های آموزش که مفاهیم آن را در کلاس عادی نیز می توان مورد استفاده قرار داد.
معلمی که در این محیط آموزش داده باشد و با هیجانات واقعی دانش آموزان مواجه شده باشد، در کلاس درس عادی خود نیز سعی در انتقال مفهوم آموزشی به روش رفتارگرایی نخواهد کرد. معلمی که این فزایندگی را تجربه کرده است، در کلاس درس خود دائماً سعی می کند هر آن چه از تصاویر گرافیکی بهره می برد، معادل جبری آن را معرفی کرده و بالعکس هر کجا ممکن است تعبیر هندسی مفهوم جبری را ارائه دهد. لذا پژوهش گر معتقد است محیط های نرم افزاری شرایطی را برای یادگیری فراهم می آورد که نظریه های یادگیری نمود کامل تری پیدا می کنند.
5.1.1 فرضیه ی اول پژوهش: مهارت های منطقی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های منطقی مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
به لحاظ کیفی دانش آموزان گروه آزمایش در انتهای دوره در انجام فعالیت های منطقی نسبت به دانش آموزان گروه کنترل تفاوت داشتند. داده های کیفی با میانگین مشاهده شرکت کنندگان، مطالعه ابزار، مصاحبه با برخی شرکت کنندگان و تحلیل کیفی از قضایا ساخته شده توسط دانش آموزان جمع آوری شدند.در هر یک از محیط های آموزشی. تحلیل کیفی بر موارد زیر تمرکز کرده بود:
1) فهم دانش آموزان از قضایا و و اثبات کردن،
2) کارایی دانش آموزان در هر یک از محیط ها،
3) نوع زبان مورد استفاده قرار گرفته در فرضیه سازی،
4) توانایی یافتن مثال در نرم افزارهای هندسه پویا،
5) تکنیک درگینگ مورد استفاده قرار گرفته توسط شرکت کنندگان از نرم افزارهای هندسه پویا،
6) اقناع دانش آموزان در خروجی گرفته شده از نرم افزارهای هندسه پویا
تفاوت یادگیری در دانش آموزان بر اساس طبقه بندی بلوم به شکل زیر است: دانش آموزان در یادگیری حوزه ی شناختی اشراف بهتری داشتند و در نوشتار آن ها این موضوع دیده می شد. به لحاظ عاطفی نیز دانش آموزان نسبت به اثبات مسائل علاقه مندی بیشتری از خود نشان می دادند. دانش آموزان نسبت به درستی مسئله قانع شده اند و به لزوم اثبات پی می برند. موس210 (2000) در تایید این مطلب می گوید:
دانش آموزانی که دوره آموزشی خود را با استفاده از نرم افزاهای هندسه ی پویا سپری کرده اند علاقه مندی بیشتری نسبت به استفاده از نرم افزار به عنوان یک ابزار شناختی برای فرمول بندی قضایای استدلالی دارند.
مهارت های حسی- حرکتی دانش آموزان نیز در حوزه ی مهارت های منطقی به دلیل کثرت استفاده رشد کرده بود.
دیگر تحقیقات انجام گرفته در این زمینه بر این سوال حیاتی متمرکز است که آیا فرصت هایی که توسط محیط های نرم افزاری هندسه ی پویا پیشنهاد می شود برای دیدن ویژگی های ریاضی که به شکل بسیار ساده ای ممکن است کاهش یابد و یا به طور کلی جایگزین هر نوع نیازی به اثبات کردن شود. یا این که این گونه تسهیلات ممکن است راه های پر معنای جدیدی برای ارتقاء سطح درک از نیاز به اثبات قواعد آن باز کند. تعدادی از تحقیقات انجام گرفته مانند تحقیقات موریتی و جونز از تقویت توان اثبات کردن حکایت می کنند. دانش آموزان از این طریق استفاده از رایانه در اثبات ها پیش قدم می شود. ولی بیشتر به شکل دلایل توجیهی خواهد بود تا استدلال های رسمی. بسیاری از استدلال های کلاسیک در حالت ترسیمی می تواند به تصویر کشیده شود.
گیلیس211 (2005) در پژوهش خود به مقایسه محیط های یادگیری ایستا212 و پویا213 پرداخت و نتایج خود را هم به صورت کمی و هم به صورت کیفی مورد سنجش قرار داد. نتایج به دست آمده در بررسی وی حاکی از وجود تفاوت معنادار در دو محیط آموزشی ایستا و پویا به شرح زیر است.
1) دانش آموزانی که در محیط مبتنی بر نرم افزارهای هندسه ی پویا آموزش دیده بودند ارتباط بیشتری بین قضایا پیدا می کردند، اشتباه های کمتری در استفاده از قضایا داشتند
2) آن ها نسبت به درستی قضایا بیشتر قانع می شدند.
تقویت مهارت های منطقی بر اثر تقویت دیگر مهارت های هندسی
بر اساس مشاهدات صورت گرفته تقویت هر یک از مهارت های هندسه بر تقویت مهارت های منطقی به گونه ای تاثیر می گذارد.مطابق با فرآیندهای هندسه پس از طی شدن آگاهانه فرآیند CA، فرآیند مقابل آن یعنی فرآیند AC، فعال می گردد. در این حالت دانش آموز با مشاهده ی مثال های متنوع دیده شده، تمایل پیدا می کند رابطه ای منطقی پیدا کند و اصطلاحاً قانونی کشف کند. از طرفی دانش آموز در این حالت نسبت به درستی مسائل آگاهی پیدا کرده و به اندازه ی کافی قانع می شود. بنابر این زمینه ی مساعدی را برای رشد مهارت های منطقی فراهم می آورد. یادگیری مهارت های منطقی به خصوص مهارت اثبات کردن نیز، مستلزم داشتن ادبیات تخصصی و تسلط بر نوشتار نمادین است. از طرفی در بیان افرادی که از مهارت های کلامی زیادی برخوردار هستند، می توان متوجه ریتم، نظم، ساختارهای کلامی و ادبی شد. لذا در آن ها زمینه رشد منطقی فراهم شده است. و زبان به کارگرفته شده در فرضیه سازی، در محیط های پویا به تفاوت قابل توجهی و بازتابی از خود محیط است. از طرفی برای رسیدن به مهارت های منطقی سطح بالا استفاده از ادبیات امری ضروری و اجتناب ناپذیر است. از طرفی با انجام ترسیم های متعدد به ویژه در محیط های هندسه پویا، به دلیل وجود محدودیت هایی که از اصول نرم افزاری ناشی می شود، ذهن دانش آموز منطقی می شود. و ذهنی که با کاربردهای متعدد آشنایی داشته و به طراحی و ساخت تجهیزات صنعتی مبتنی بر اصول هندسی تسلط پیدا کرده است، برای توسعه کار خود به یادگیری اصول طراحی و رشد ذهن منطقی خود علاقه مند خواهد شد. در مجموع می توان نتیجه گرفت رشد دیگر مهارت های هندسه بر مهارت های منطقی تاثیر مثبتی می گذارد.
پژوهش گر برای اطمینان از نتایج به دست آمده نظر کارشناس آموزش ریاضی را جویا شد. بخش علی زاده در این خصوص توضیح می دهد:
محقق به نظر شما استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا چگونه بر ارتقاء مهارت های منطقی دانش آموزان تاثیر می گذارد؟
کارشناس دانش آموزان با درک بهتر مسئله و مشاهده صورت هندسی و دیداری مسئله باور بیشتری پیدا می کنند. در مراحل اثبات سه مرحله اصلی وجود دارد. توجیه، استدلال و اثبات نمادین . نرم افزار دانش آموزان را در مرحله نخست یاری می رساند که این خود پایه صعود به مراحل بالایی می باشد.
محقق به نظر شما دانش آموزان چگونه اثبات مسائل را انجام می دهند بدون آن که به فهم درستی از مسئله دست پیدا کرده باشند؟ و آیا نرم افزار می تواند در این خصوص نقشی ایفاء کند؟
کارشناس دانش آموزان اغلب اثبات ها را به شکل طوطی وار حفظ می کنند و بسیاری از آن ها به معنای واقعی به سطح اثبات نمی رسند.
محقق در کتاب های درسی بیشتر به اثبات پرداخته می شود و به دانش آموزان کمتر فرصت داده می شود تا خود تجربه هایی از ریاضی به دست آورند. در این خصوص چه باید کرد؟
کارشناس اهداف این گونه در کتاب های درسی وجود ندارد و تنها در کتاب جدید التالیف ریاضی 1 دبیرستان فعالیت های موردی با این نوع روی کرد آورده شده است. به عنوان مثال از دانش آموز خواسته می شود قبل از حل جبری تحلیل هندسی خود را از نمودار ارائه دهند. یا در دستگاه معادلات نمونه هایی از این دست وجود دارد که دانش آموزان را به داشتن یک بینش و بصیرت علمی سوق می دهد.
از نتایج کمی تفاوت معنی داری در این خصوص به دست نیامد. از دلیل تفاوت به دست آمده از نتایج آمار کمی و کیفی می تواند موارد زیر را بر شمرد:
1) عدم روایی کافی در آزمون های کمی در سنجش مهارت های منطقی
باید به این نکته توجه داشت که اثبات به صورت رسمی تنها بخشی از مهارت های منطقی محسوب می شود. از دیگر عوامل موثر در مهارت های منطقی، نظم فکری، درک مفهوم زمان، الگوریتم و … نیز هست. آزمون برگزار شده برخی از این مهارت ها را نتوانسته اندازه بگیرد.
2) عدم تاکید کافی در فرآیند پژوهش در خصوص تقویت مهارت های منطقی
شیوه محقق برای تقویت مهارت های منطقی، حفظ برنامه های سنتی در این خصوص و تقویت از طریق فرآیندهای تفکر بود که نتایج به دست آمده چشم گیری به دست نیامد.
3) تفاوت در پیش آزمون دو گروه کنترل و آزمایش
طبق جدول ‏4- ا، پیش آزمون در گروه کنترل و آزمایش بر خلاف دیگر مهارت ها دارای تفاوت معناداری است.
در نتیجه با وجود وجود مبنای نظری در خصوص تقویت مهارت های منطقی و شواهد به دست آمده در این خصوص به دلیل معنی دار نبودن نتایج تحلیل از آزمون های آماری، پژوهش گر نمی تواند فرضیه اول را تایید شده در نظر بگیرد و پیشنهاد می شود در پژوهش های بعدی، با رفع نقائص، تلاشی جدی برای به دست آوردن معناداری در تقویت یادگیری مهارت های منطقی در آموزش غنی شده به کمک نرم افزار صورت گیرد.
سابرامانیان214 (2005) با پژوهش بر 1325 دانش آموز دبیرستان در چهار مدرسه، دانش آموزان در 2 پیش آزمون و 2 پس آزمون یکی مربوط به تفکر منطقی و یکی اثبات. وی تفاوت عمده ای در اثر استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر اثبات پیدا نکرد. اما تفاوت جزئی در تفکر منطقی یافت. هم چنین وی دریافت استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا بر دانش آموزان سطح بالا در یادگیری اثبات در پس آزمون تاثیراتی داشته است. مویر215 در بررسی خود با نرم افزار اسکچ پد تفاوت چندانی در افزایش سطح تفکر در مراحل ون هیل نیافت.
در مجموع همان طور که از نتایج جدول جدول ‏4- ک مشاهده می شود، آزمون آنکوا نشان می دهد، بین یادگیری مهارت های منطقی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معناداری وجود ندارد. بنابراین با وجود رشد مختصر در یادگیری مهات های منطقی بر اساس اطلاعات آماری کمی و وجود شواهدی کیفی متعددی در خصوص تاثیرگذاری بر مهارت های منطقی دانش آموزان وجود دارد. فرضیه ی اول پژوهش تایید نمی شود.
5.1.2 فرضیه ی دوم پژوهش: مهارت های دیداری
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های دیداری مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
دانش آموزان در پیش آزمون نشان دادند محدودیت های زیادی در خصوص تجسم دارند. همچنین آن ها اغلب در مورد پدیده ی پروتوتایپ دجار مشکلاتی هستند و اصطلاحاً به نحوه ی قرار گیری شکل وابسته هستند. پس از طی دوره ی آموزشی دانش آموزان گروه آزمایش رشد قابل توجهی داشتند که بر اساس طبقه بندی بلوم می توان یادگیری آن ها را به صورت زیر تبیین کرد.
دانش آموزان در حوزه ی اهداف شناختی قادر به تشخیص درستی از اشکال هندسی بودند و توانایی تجسم بسیار خوبی پیدا کرده بودند. به طوری که در کلاس درس عادی مراحل رسم در محیط نرم افزار را با دقت و با بیان کردن ابزارهای مورد استفاده قرار گرفته بر اساس تجسمی قوی مطرح می کردند. بر اساس نظریه ی برونر آن ها در بازنمایی تصویری به حد بالایی از توانمندی رسیده بودند. دانش آموزان بدون زحمت مطالب را یاد می گرفتند و حفظ می شدند. به لحاظ عاطفی نیز نسبت به موضوعات و به خصوص وضعیت های انیمیشن ابراز علاقه ی فراوام می کردند. در حوزه ی حسی حرکتی نیز دارای مهارت های کافی شده بودند. به تعبیر خود آن ها ذهنشان جئوجبرایی شده بود!
تقویت مهارت های دیداری متاثر از تقویت دیگر مهارت های هندسی
بر اساس مشاهدات صورت گرفته تقویت هر یک از مهارت های هندسه بر تقویت مهارت های دیداری به گونه ای تاثیر می گذارد. به این ترتیب که با مهارت های منطقی که دانش آموز پیدا کرده، دست به تشکیل روابط پیچیده در حوزه اشکال فضایی می زند. از نمونه ی این اثرات می توان طراحی و تولید انیمشین و بازی های ساده هندسی نام برد. از طرفی ایجاد نظم فکری در قضایای حساب و هندسه، می تواند موجب بر انگیختن حس زیبایی شناختی انسان شود.216 (صیادی) این حس که از ابعاد هوش هیجانی است تاثیرات بسزایی در تقویت مهارت های دیداری دارد. از طرفی افرادی که از مهارت های کلامی بالایی برخوردار هستند، عموماً، به حیطه ادبیات و هنر علاقه مندی نیز دارند. لذا به طور طبیعی دارای مهارت های دیداری بهتری نیز هستند. با این توصیف هر فردی که به شکل مناسبی مهارت های کلامی خود را ارتقاء دهد، خود به خود به لحاظ دیداری نیز رشد خواهد کرد. و فردی که مهارت ترسیم را به دست آورده یا در جهت کسب آن در تلاش است، با دیدن هر شکل هندسی کلیه فرآیندهای ترسیمی آن را تشخیص داده و تجسم خواهد کرد. افرادی هم که تجربه های ترسیمی فراوانی دارند، با هدایت آگاهانه می توان آن ها را ترغیب به توصیف تصویری عملیات ترسیمی کرد که این موجب رشد مهارت های دیداری می شود. و نهایتاً دانش آموزی که با تعداد زیادی از کاربردهای هندسی آشنا شده است، نحوه عملکرد آن ها را تشخیص می دهد دائماً در پی طراحی های جدید به صورت ذهنی خواهد بود. از طرفی با دیدن کاربردهای مختلف هندسه در زندگی واقعی و در صنعت دائماً شیوه عمل و دستگاه ها را در ذهن تجسم خواهد کرد.
هودانبسی217 (2001) در پژوهش خود بین 273 نفر از دانش آموزان پیایه ی اول دوره ی دبیرستان و مقایسه یادگیری آن ها با محیط های آموزشی مبتنی بر نرم افزار هندسه ی پویا دریافت که بهره یادگیری در محیط های نرم افزار از محیط های بدون نرم افزار بیشتر است. وی عوامل اصلی آن را در بازخورد سریع هنگام ترسیم در نرم افزار و توجه به فرآیندهای دیداری دانست.
برای بررسی نحوه ی تاثیر استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا نیز کارشناس آموزش ریاضی این گونه توضیح می دهد:
استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا قدرت تجسم رو بالا می برد. یکی از دانشجویانی که در تحقیق مشابه از نرم افزار میپل218 برای یادگیری انتگرال دوگانه استفاده کرده بود، ذهنم میپلی شده. در واقع عملیات نرم افزاری در ذهن شکل می گیرد. موجب تقویت پیش بینی و حدس می شود، پیدا کردن الگوها برای روابط و موجب پیدا کردن برآورد از روابط جبری می شود.
وی در خصوص نقش تجسم در یادگیری نیز چنین می گوید:
دو نوع فرآیند تجسمی وجود دارد. تصور و تصویر گرفتن. هر دوی این موارد می تواند در یادگیری مورد استفاده قرار گیرد. دانش آموز با حواس پنج گانه خود یک نوع دید نسبت به مسئله پیدا می کند. بنابر این بصیرت تنها با چشم اتفاق نمی افتد. دانش آموز پس از طی مراتبی می تواند تصویر ذهنی خود را از حس های فیزیکی خود تا حدی مستقل کند. و تصویری در ذهن خود تجسم کند که مستقل از حواس باشد. در واقع ما در موسیقی نیز نوعی تجسم داریم.
در مجموع مطابق جدول ‏4- ل بین یادگیری مهارت های دیداری گروه آزمایش و کنترل تفاوت معناداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 2 پژوهش تایید می شود. شواهد به دست آمده در حین پژوهش نیز فرضیه ی 2 را تایید می کنند.
5.1.3 فرضیه ی سوم پژوهش: مهارت های کلامی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های کلامی مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
نتایج کمی به دست آمده در پیش آزمون در دو گروه ضعف قابل توجه توجه دانش آموزان در حوزه ی مهارت های کلامی را نشان می دهد. دانش آموزان در آن مرحله حتی لزومی به ارائه توضیح در مورد کارهایی که انجام می دهند نمی دیدند. گروه آزمایش پس از طی دوره ی آموزشی موفقیت های چشم گیری در این خصوص به دست آورده است. که در قالب حوزه های تفکیک شده اهداف یادگیری بلوم ارائه می گردد.
زبان دانش آموزان در پایان دوره کاملاً باز شده بود و نسبت به بیان اصطلاحات تسلط خوبی داشتند. از طرفی در توضیح فعالیت هایی که انجام می دادند مشکل خاصی نداشتند. آن ها از دلایل این رشد را استفاده ی مکرر از اصطلاحات و وجود موقعیت های فراوان گفتگو می دانستند. در حوزه ی اهداف عاطفی نیز دانش آموزان به بیان توضیحات راغب بودند و به موضوع توصیف توجه کردند. بر اساس شواهد صورت گرفته آن ها به تاثیر همراه شدن توصیف در کنار اثبات صراحتاً اذعان داشتند. به لحاظ حسی- حرکتی نیز به دلیل تکرر استفاده دانش آموزان از مهارت های خوبی برخوردار بودند.
تقویت مهارت های کلامی متاثر از تقویت دیگر مهارت های هندسی
بر اساس مشاهدات صورت گرفته تقویت هر یک از مهارت های هندسه بر تقویت مهارت های کلامی به گونه ای تاثیر می گذارد. به این ترتیب که با توسعه مهارت های منطقی و نظم ذهنی، امکان رشد مهارت های کلامی نیز به وجود می آید. این موضوع توسط صیادی به این شکل تایید می شود:
از عوامل مهم در تقویت ادبیات وجود ریتم و ادراک صحیح از زمان است. (صیادی)
هاداس و هرشکودیتس (1999) معتقدند تنها چیزی که باعث ترغیب دانش آموزان در اثبات می شود، توضیح مساله است. آن ها اعتقاد دارند فعالیت تفسیر مطالب باعث می شود دانش آموزان در یادگیری خود فعّال تر شوند. آن ها در تحقیق خود اعلام می دارند:
عدم اطمینان شاخصه ای مهم است که از عدم توانایی دانش آموزان در تکمیل تفسیر ناشی می شود. ممکن است پایان بردن یک ترسیم به نظر ممکن بیاید امّا در واقع این طور نیست.

بسیاری از دانش آموزان هنگام بیان یک اثبات یا فرآیند یا تصویر ذهنی خود از یک مسئله هندسی تصویر ذهنی را در ذهن مجسم کرده و با دیدن دائم این تصویر توصیف خود را تدریجاً تکمیل خواهند کرد. که این موضوع نشان از تاثیر گذاری مهارت های دیداری بر مهارت های کلامی است. از طرفی دانش آموزان هنگام کار با وسایل رسم چه به صورت مجازی چه واقعی، از اصطلاحات مختلف هندسی بهره می گیرند. و این موجب می شود به سطوح مورد انتظار در مهارت های کلامی برسند. همچنین در صورتی که از دانش آموزانی که تجارب زیادی در انجام ترسیم دارند، بخواهیم که مراحل ترسیم را بازگو کنند، رشد مهارت های کلامی امکان پذیر خواهد شد. استفاده از اصطلاحات فنی دستگاه ها موجب تقویت مهارت های کلامی می شود.
بخش علی زاده نظر خود را در خصوص نقش زبان و تقویت مهارت های کلامی چنین مطرح می کند.
ویگوستکی و پیاژه در مورد نقش زبان اختلاف نظر دارند. ویگوتسکی معتقد است زبان ابزار تفکر است و پیاژه معتقد است زبان به تفکر کمک می کند. در اینجا نرم افزار به مثابه یک زبان تلقی می گردد. در خصوص باید مطالعات گسترده تری صورت گیرد.
در مجموع مطابق جدول ‏4- م بین یادگیری مهارت های کلامی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معناداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 3 پژوهش تایید می شود. شواهد به دست آمده در حین پژوهش نیز فرضیه ی 3 را تایید می کنند.
5.1.4 فرضیه ی چهارم پژوهش: مهارت های ترسیمی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های ترسیمی مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
مطابق نتایج به دست آمده از تجزیه و تحلیل کیفی داده ها دانش آموزان در ابتدای سال تحصیلی، در در انجام ترسیم شکل های هندسی وابستگی های اضافه ای را به ترسیم وارد می کردند و با اصول ترسیم آشنایی کافی نداشتند. نتایج کمی در پیش آزمون نیز این موضوع را تایید می کند.
پس از دوره ی آموزشی، دانش آموزان گروه آزمایش تجارب مختلفی از ترسیم را کسب کردند و در مقایسه با گروه کنترل، پیش رفت های چشم گیری داشتند. این رشد را بر اساس حوزه های اهداف بلوم مورد بحث قرار می دهیم. دانش آموزان با استفاده ی وافر از وسائل رسم در دو محیط واقعی و مجازی، نسبت به اصول هندسی در ترسیم کاملاً آشنا شدند و بعضاً می توانستند مراحل رسم را به طور ذهنی انجام دهند. از لحاظ عاطفی نیز با انگیزه های شخصی در منزل رسم های کتاب را انجام می دادند و نسبت به انجام آن هیجان زده می شدند. از طرفی آن ها پس از مدتی کار با نرم افزار در پیاده سازی ترسیم های هندسی سرعت عمل بالایی پیدا کرده بودند. وجود ابزارهای ترسیم فراواننیز به آزادی عملی آن ها کمک کرده و نحوه برخورد و عملکرد دانش آموزان بر ادراکات ریاضی دست آوردهای غیر منتظره ی ریاضی ای را ایجاد کرده است.
تقویت مهارت های ترسیمی متاثر از تقویت دیگر مهارت های هندسی
بر اساس مشاهدات صورت گرفته تقویت هر یک از مهارت های هندسه بر تقویت مهارت های ترسیمی به گونه ای تاثیر می گذارد. چرا که انجام یک ترسیم صحیح مستلزم داشتن نظم و دقت و الگوریتم پیاده سازی است. فردی که منطقی می اندیشد قادر خواهد بود در ترسیم های خود اصول منطقی را به درستی انجام داده و امکان انجام ترسیم های ترکیبی را نیز پیدا می کند. افراد با داشتن مهارت های دیداری در حد بالا پیش از اجرای طرح ترسیم خود قادر خواهند بود سناریوی اجرایی ترسیم را تجسم کنند. از طرفی شناخت اصطلاحات فنی، و تسلط بر توصیف های هندسی امکان توسعه این مهارت را افزایش می دهد. و شخصی که به حد مناسبی از مهارت های کاربردی رسیده باشد، می تواند در یادگیری کاربردهای هندسی دست به پیاده سازی مدل دستگاه مورد نظر زده و پیش از ساخت دستگاه آن را بیازماید. یکی از مهم ترین فعالیت های جذاب آموزشی، ساخت دستگاه های ترسیمی است. مانند بیضی کش و پانتوگراف. علاقه مندان به مهارت های کاربردی به اصول ترسیمی مراجعه کرده و مهارت هایی در این خصوص کسب می کنند.

در ارزشیابی فعالیت ها یکی از معیارها در سنجش این مهارت سرعت عمل دانش آموزان بود. که نتایج شگفت آوری در این حوزه در پس آزمون به دست آمد. از دلایل موفقیت دانش آموزان امکان خودارزیابی فعالیت ها بود. هودانبسی219 (2001) در پژوهش خود بین 273 نفر از دانش آموزان پیایه ی اول دوره ی دبیرستان و مقایسه یادگیری آن ها با محیط های آموزشی مبتنی بر نرم افزار هندسه ی پویا دریافت علت اصلی تاثیر گذاری نرم افزارهای هندسه ی پویا بر یادگیری در بازخورد سریع هنگام ترسیم در نرم افزار و توجه به فرآیندهای دیداری است. وی نشان داد دانش آموزانی که در معرض نرم افزارهای هندسه ی پویا بودند در یادگیری ایده های اولیه هندسه و ترسیم به طور ویژه ای نسبت به کسانی که با ابزار سنتی مانند خط کش و پرگار و نقاله کار می کردند موفق تر بودند.
بررسی مهارت یک دانش آموز در رسم اشکال هندسی عملی مو شکافانه و ظریف است. ممکن است در برخی موارد نتیجه ی کار آن ها دقیقاً با استانداردهای ترسیم مطابق نداشته باشد. دانیل شر (2002) معتقد است در چنین شرایطی باز هم کار حاصل شامل ویژگی های ریاضی بوده و ارزش خود را از دست نمی دهد. هنگامی که دانش آموزی مربعی را رسم کند که ویژگی های خود را حفظ کند، باید کار وی مورد تحسین و پذیرش قرار بگیرد. در شیوه ی آموزشی مبتنی بر ساختن گرایی، ارزیابی از طریق بررسی فرآیند تفکر دانش آموز و با توجه به مستندات، یادداشت های روزانه و انعکاس یادگیری صورت می گیرد. در این روی کرد دانش آموزان جهت خلق محیط های حل مسئله تشویق می شوند.
لابرد و ورگاند، (1994) معتقدند نرم افزارهای هندسه ی پویا طرز فکر خاصی را ارائه می دهد. این ویژگی و طرز فکر ها با فعالیت دانش آموزان در تعامل است و قابلیت یادگیری آن ها را افزایش می دهد. آن ها در این رابطه این گونه بیان می کنند:
نرم افزارهای هندسه ی پویا تفاوتی را که معمولاً در آموزش هندسه فراموش می شود، نشان می دهد. این تفاوت میان "کشیدن" یک شکل و "طراحی" آن است. دوال، (1990) می گوید: "یک طرح هندسی متعلق به یک فرضیه است در حالی که کشیدن یک شکل مدلی از آن روی کاغذ یا رایانه است." در این نرم افزارها دانش آموزان مقید به ترسیم صحیح اشکال مطابق ابزارهای ارائه شده در آن هستند. به این ترتیب کار آن ها در این محیط موجب رشد مهارت های مختلف خواهد شد.
در مجموع طبق جدول جدول ‏4- ن بین یادگیری مهارت های ترسیمی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معناداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 4 پژوهش تایید می شود. شواهد به دست آمده در حین پژوهش نیز فرضیه ی 4 را تایید می کنند.

5.1.5 فرضیه ی پنجم پژوهش: مهارت های کاربردی
آموزش غنی شده به کمک نرم افزارهای هندسه ی پویا در یادگیری مهارت های کاربردی مقایسه با محیط آموزشی سنتی بیش تر و موثرتر است.
در ارتباط با درک دانش آموزان در مورد کاربرد هندسه، می توان گفت پیش از آموزش در محیط های نرم افزاری هندسه ی پویا فهم دانش آموزان از هندسه کلی و مبهم بود و دقیقاً نمی دانستند هندسه در زندگی امروز و آینده آن ها چه کاربردی دارد. آن ها حتی به وسایل ساخته شده در زندگی روزمره که با اصول هندسی ساخته شده و در حالی که درس آن را خوانده بودند تا کنون توجه نکرده بودند. اما پس از آموزش یادگیری دانش آموزان در حوزه ی مهارت های منطقی رشد داشت. این رشد را می توان بر اساس حوزه ی اهداف یادگیری بلوم مورد ارزیابی قرار داد.
دانش آموزان پس از آموزش در هر از مباحث آموزشی حداقل سه کاربرد از هندسه را می دانستند و از موارد خاص کاربرد به موضوعات زیر اشاره کردند.
* در بعضی وسایل ورزشی در پارک ها کاربرد دارد.
* یا ماشین هایی که در زندگی روزمره از آن ها استفاده می کنیم مثل ترازو.
* در ساخت میز نقشه کشی کاربرد دارد.
* در ساخت بالابر کاربرد دارد.
* در ماشین های راه سازی هندسه کاربرد دارد.
* هندسه در طراحی ماشین مثلاً فرمان ماشین کاربرد دارد.
در حوزه ی اهداف عاطفی نیز در مواردی که در محیط نرم افزاری نمونه های کاربردی به دانش آموزان نشان داده می شد، دیدن کاربردها برایشان بسیار جالب و هیجان انگیز بود. آن ها از مشاهده تصاویر پویا به شکل اپلت بر روی صفحه ی رایانه لذت می بردند و بعضاً متعجب می شدند. و برخی از آن ها درخواست کردند فایل آن را بگیرند. دانش آموزان در این محیط به لزوم یادگیری کاربردهای هندسه نیز اشاره می کردند. و خود در منزل برای بررسی ایده های کاربردی خود از هندسه از نرم فزار برای شبیه سازی استفاده می بردند. توجه آن ها به کاربرد هندسه در دنیای واقعی کاملاً جلب شده بود. به لحاظ حوزه ی اهداف حسی- حرکتی نیز آن ها در پایان سال با تسلط بر نرم افزار اقدام به مدل سازی وسائل واقعی مثل ترازو اقدام می کردند. و با توجه به وجود قابلیت های زیاد نرم افزار به انجام فعالیت هایی برای تجربه ای و اکتشاف رو آورده و آن را به سرعت پیاده سازی می کردند.

تقویت مهارت های کاربردی متاثر از تقویت دیگر مهارت های هندسی
شواهد کیفی نشان داد هر از مهارت های هندسه به گونه ای بر تقویت مهارت های کاربردی تاثیر می گذارد. پولیا این تاثیر را در حوزه مهارت های منطقی می تواند این گونه توضیح می دهد:
از نتایج ذهن منطقی نگاه عمل گرایانه به مفاهیم و مهارت های آموخته شده است. و دانش آموزی با سطح تفکر منطقی بالا به طور طبیعی به این سمت سوق داده می شود. از طرفی اصول منطقی در طراحی وسائل، مورد استفاده قرار می گیرند. عادی ترین و معمولی ترین شیوه استفاده از ریاضیات به کارگیری روش های استدلالی و منطقی عقلانی در حل مسایل روزمره است. وقتی یک مساله عملی را حل می کنیم، از آن مساله عملی، ابتدا باید یک مساله انتزاعی درست کنیم. (پولیا)
از طرفی تقویت بخش عمده ای از مهارت های کاربردی به مهارت های دیداری بر می گردد. تشخیص عناصر اصلی هندسی در وسیله از آن جمله است. دانش آموزی که به سطوح بالای مهارت دیداری رسیده باشد می تواند اجزاء و ویژگی های هندسی به کار رفته در وسیله را تشخیص داده و یا حتی پیش از عملکرد دستگاه حرکت آن را پیش بینی کند. از طرفی دانش آموزان با طی مراتب مختلف مهارت های دیداری و اشباع این مهارت ها میل به استفاده کاربردی از این یافته های خود خواهند کرد. در این خصوص خانم مهندس بخش علی زاده کارشناس آموزش ریاضی طی مصاحبه ای نظر خود را بیان می کند.
نمونه های مختلف از مدل وسیله ها در نرم افزارها به صورت آماده در اینترنت وجود دارد. به دانش آموزان با دیدن این نمونه ها نسبت به کاربرد هندسه دید پیدا می کنند. به ویژه این که این مدل ها در نرم افزار دارای حرکت هستند و تا حدی کار می کنند.
برای توسعه مهارت های کاربردی نیز نیاز به ترسیم مدل واقعی از دستگاه بوده که این نیاز به یادگیری مهارت های ترسیمی دارد. شناخت درست از تعاریف و اصطلاحات به یادگیری مهارت های کاربردی کمک خواهد کرد. و مهارت های کلامی نیز به این ترتیب بر این رشد تاثیر می گذارد.
طبق جدول جدول ‏4- س بین یادگیری مهارت های کاربردی گروه آزمایش و کنترل تفاوت معناداری وجود دارد. بنابر این بر اساس اطلاعات آماری کمی به دست آمده فرضیه 5 پژوهش تایید می شود. شواهد به دست آمده در حین پژوهش در بخش کیفی نیز نتایج به دست آمده در بخش کمی را تایید می کند. لذا فرضیه اول پژوهش مورد تایید قرار می گیرد.

5.2 نتیجه گیری
مطابق جدول ‏4- ج می توان استنباط کرد با اطمینان 99 درصد بین گروه کنترل و آزمایش در یادگیری مهارت های هندسی تفاوت معنی داری وجود دارد. در مجموه پژوهش گر به نتایج زیر رسید:
استفاده از نرم افزارهای آموزشی به تنهایی نمی تواند اهداف یادگیری در کلاس درس را تامین کند. و قرار نیست جایگزین معلم و فعالیت های سنتی کلاس گردد. چرا که بسیاری از فعالیت های انجام شده در کلاس درس سنتی دارای تاثیرات آشکار و پنهان مفیدی است که لزومی به حذف آن نیست. و فعالیت های دیگری برای دانش آموزان مورد نیاز است تا در ریاضیات پیشرفت کنند. نتایج اصلی آن به این ترتیب است:
1. استفاده ی نامناسب از نرم افزار هندسه ی پویا ممکن است تغییر معینی در یادگیری فراگیران نداشته باشد. و حتی ممکن است وضع را بدتر هم بکند.
2. تلفیق هوشمندانه ی نرم افزار هندسه ی پویا با برنامه ی درسی، بهره یادگیری قابل اندازه گیری را ایجاد می کند. (اگر چه اندازه گیری این که بهره به دست آمده ناشی از فن آوری است یا مربوط به اصلاح برنامه درسی است، مشکل است. گاولیک)
3. استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا برای درک مفهومی می تواند به یادگیری ]ای عمیق منجر شود.
4. استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا می تواند برخی از فعالیت های یادگیری را تسهیل کند. به عنوان مثال در شبیه سازی و یا به تصویر کشیدن و شاید برخی از اثبات ها.
تعریف یک کلاس خالص هندسه ی پویا هر چند برخی مهارت های آموزشی را تقویت می کند، اما در برخی موارد دیگر مشکلاتی را هم فراهم می آورد. و ایجاد تغییر ناگهانی با این شدت، موجب ایجاد اختلالات فراوان در یادگیری دانش آموزان می شود. پس مناسب تر دیده شد، یک چهارم کلاس های سنتی در کارگاه رایانه و کارگاه ابزار هندسه پویا، اجرا شود. و در سه چهارم دیگر معلم با حفظ اصول کلی آموزش های متداول، سعی در تزریق مفاهیم هندسه ی پویا در کلاس عادی کند. به این ترتیب هم دانش آموزان به دلیل تغییر جزئی در شیوه اجرای آموزش دچار سردرگمی نمی شوند، هم معلم به میزان درک خود از مفاهیم مطرح در هندسه پویا، خواهد توانست کلاس درسی خود را به تدریج متحول کند. از طرفی دیگر اجرای برنامه آموزشی حساب شده شرایط تعمیم این نحوه تلفیق را برای مدارس با شرایط مشابه فراهم خواهد آورد. تجربه نیز نشان داده است استفاده از شیوه های آموزشی تلفیقی220 بهره آموزشی مناسبی را فراهم می آورد.
این پژوهش دستاوردهای فرعی دیگری نیز در پی داشت در این بخش مطرح می گردد:
5.2.1 تاثیر متقابل مهارت های یادگیری
با توجه به شواهد به دست آمده در فصل چهارم و بحث صورت گرفته پژوهش گر متوجه شد یادگیری هر یک از مهارت های هندسه با یادگیری مهارت های دیگر در ارتباط بوده و موثر و تاثیرگذار است. این ارتباط را می توان در نمودار زیر نشان داد.
بخش علی زاده نظر خود را در پاسخ به سوال پژوهش گر چنین مطرح می کند:
پژوهش گر تقویت یک مهارت یادگیری با مهارت های دیگر در ارتباط بودند و به تعبیری این ها لازم و ملزوم هم بودند. در این رابطه چه چیزی به نظر شما می رسد؟
کارشناس در یادگیری معنی دار شبکه های مفهومی با لحاظ کردن حوزه وسیع تری از مهارت های یادگیری پوشش بهتری از یادگیری را فرآهم می کنند.
نتیجه گیری قطعی در این خصوص مستلزم انجام پژوهش های دیگری است. در این جا تنها این عامل را می توان در تایید فرضیه ی اصلی پژوهش موثر دانست.
5.2.2 ارتباط متقابل اهداف یادگیری
در هدف نویسی با روی کرد رفتاری و شناختی، عموماً یکی از حوزه های اهداف یادگیری انتخاب و بر اساس آن اهداف تعریف می شوند. این در حالی است که این حوزه ها با یکدیگر در ارتباط تنگاتنگ هستند. بدیهی است دانش آموزی که به مرحله توجه کردن در حوزه اهداف عاطفی نرسیده باشد، نمی تواند رشد چشم گیری در اهداف شناختی داشته باشد. و فردی که در حوزه اهداف شناختی نتواند درک درستی از آموخته ها پیدا کند، به یقین نمی تواند احساس موفقیت آمیزی از یادگیری پیدا کند و در نتیجه نگرش مثبتی در درس مورد نظر نخواهد داشت. و نوع مهارت های لازم در حوزه ی اهداف روانی- حرکتی رابطه مستقیم با دانش و احساس یادگیرنده دارد.
اهداف یادگیری، شامل مجموعه معلومات و آموخته ها نیستند بلکه مجموعه شبکه ها، سبک ها و یا سیستم های ارتباطی بین آموخته ها می باشند. ساختار و سازمان تفکر و ذهن هر فرد، حاصل طرح، برنامه، نقشه، تکنیک، تاکتیک، خط مشی و استراتژی است که برای برخورد با یک موضوع با هدایت و حضور معلم در محیط یادگیری مناسب انتخاب می کند. محقق در پژوهش حاضر به نحوه تاثیر متقابل حصول این اهداف توجه کرده است. به این معنا که تامین شدن نیازهای عاطفی دانش آموز و ایجاد میل به حل مسئله را در کسب اهداف شناختی موثر می داند.
بنابر این در آموزش ریاضی لازم است طراح آموزشی و دبیر مربوطه به نیاز های عاطفی و روانی دانش آموزان آگاه بوده و در همه لحظات آموزشی حضور داشته باشد. این نیاز ها به دو صورت فردی و جمعی در دانش آموزان ظهور و بروز می کند.
جدول زیر این ارتباط را نشان می دهد.
جدول ‏5- ا: ارتباط مهارت های هندسی و اهداف آموزشی
مهارت های هندسی
هدف آموزشی
منطقی
شناختی (فکر)
دیداری
عاطفی (احساس)
ترسیمی
روانی- حرکتی (عمل)
کلامی
شناختی و عاطفی (فکر و احساس)
کاربردی
شناختی و روانی حرکتی (فکر و عمل)

در محیط های آموزشی غنی شده به کمک مفاهیم هندسه پویا، دانش آموز در محیطی واقع می شود که به طور دائم با حوزه های مختلفی از اهداف شناختی، عاطفی و روانی- حرکتی مواجه می شود. وجود این محیط اشباع، راه دانش آموز را برای رسیدن صحیح و مطمئن به همه اهداف هموار می کند. در نمودار زیر نحوه هم پوشانی اهداف آموزشی نمایش داده شده است. در چنین شرایطی این احتمال وجود دارد دانش آموزی در حوزه اهداف آموزشی به موفقیت هایی دست پیدا کرده و در پی کسب موفقیت در حوزه ی هدفی دیگر نیز واقع شود. در نمودار زیر (آقایار، ص 18) روابط سه حیطه از اهداف آموزشی و نحوه ارتباط متقابل آن ها مورد بحث قرار گرفته اند.

بنا بر این توجه طراحان آموزشی به همه جنبه های یادگیری اهمیت ویژه ای پیدا خواهد کرد. در صورتی که تسهیلاتی در اختیار معلم قرار گیرد و امکانی برای او فراهم شود که بسیاری از موانع موجود در آموزشی برداشته شود، تجربه یادگیری همه جانبه دور از ذهن نخواهد بود. با ترکیب متعادل سه حوزه، فرصت های زیادی برای انتخاب دانش آموز فراهم خواهد آمد و رشد موثرتری را برای وی در پی خواهد داشت.
در بررسی نتایج به دست آمده پژوهش گر متوجه شد حوزه های اهداف یادگیری مطابق نظریه ی بلوم با هم تداخل دارند. و رشد هر کدام بر رشد دیگری موثر است. روشن شدن این موضوع بیشتر به دلیل محیط غنی آموزشی مطرح در این پژوهش بود. پژوهش گر توجیهات خود را در این خصوص به شرح زیر ارائه می دهد. بدیهی است ارائه نظریه در این خصوص منوط به انجام پژوهش های مفصلی است.
جدول ‏5- ب نحوه ی تاثیرگذاری متقابل بین حوزه های مختلف در اهداف آموزشی (1<–1)
تاثیر ترتیبی
نحوه تاثیرگذاری
شناختی <– عاطفی
دانش آموزی که به حد بالایی از اهداف شناختی دست پیدا کرده است، از خود احساس رضایت داشته و اعتماد به نفس خوبی پیدا می کند.
شناختی <– روانی حرکتی
تسلط ذهنی و علمی از مسائل دانش آموزان را به طور طبیعی به سوی کاربردی کردن و به کاربستن آموخته ها فرا می خواند و دانش آموز برای به عمل در آوردن یافته های دانشی خود میل پیدا می کند.
عاطفی<– شناختی
فرد با انگیزه و تعهد، با پذیرش ساختارهای آموزشی، با انجام برنامه ریزی های حساب شده، با کنجکاوی تمام بهترین شیوه را برای یادگیری اهداف شناختی را انتخاب می کند.
عاطفی<– روانی حرکتی
فردی که به لحاظ عاطفی دارای انگیزه، امید و ذوق درونی باشد، برای رسیدن به اهداف خود، مراحل دشوار یادگیری را با شوق طی می کند. و برای رسیدن به هدف امید وافر دارد.
روانی حرکتی<– شناختی
فردی که بارها و بارها ابزار آموزشی خاصی را مورد استفاده قرار گرفته است، حال به یادگیری اصول علمی و ذهنی موضوع علاقه مند شده و برای فهمیدن آن تلاش خواهد کرد.
روانی حرکتی <– عاطفی
فردی که توانمندی بالایی در حوزه روانی حرکتی پیدا کرده، دارای احساس خوبی از خود بوده و میل به سپری کردن خرده اهداف عاطفی را با هدایت معلم پیدا خواهد کرد.
هر کدام از مراحل فوق یک مرحله تحولی محسوب می شود. یعنی دانش آموز در هر هدفی که توفیقاتی پیدا کرده تنها ممکن است به مرحله بعدی سوق پیدا کند. با فراهم شدن شرایط مساعد و اختیار خود فرد و در کنار هدایت صحیح معلم، این امکان تقویت پیدا خواهد کرد. از طرفی لازم نیست یک دانش آموز به اوج یک حوزه از اهداف برسد تا بخواهد از تاثیر آن بر هدف دیگر بهره مند شود. بلکه هر توفیقی به هر میزان به همان نسبت امکان حصول اهداف دیگر را به نسبت بیشتر می کند.

جدول زیر این نحوه رشد تحولی را توضیح می دهد.
جدول ‏5- ج: نحوه ی تاثیرگذاری متقابل بین حوزه های مختلف در اهداف آموزشی (2<–1)
تاثیر ترتیبی
نحوه تاثیرگذاری
شناختی و عاطفی <– روانی – حرکتی
فرد دانا و با انگیزه، میل زیادی در به کاربستن آموخته ها داشته و با کنجکاوی مراحل اهداف روانی – حرکتی را طی خواهد کرد.
روانی – حرکتی و عاطفی <– شناختی
فردی که در کار با حواس خود توانی های لازم را اخذ کرده و دارای نگرش مثبتی به کار خود است، با کنجکاوی وصف ناپذیر به دنبال شناخت ابعاد علمی موضوع گام خواهد برداشت.
شناختی و روانی – حرکتی <– عاطفی
دانش آموزی که از دارای سواد خوبی بوده و توانسته آموخته های خود را در عمل به کارگیرد، نسبت به خود احساس رضایت کامل پیدا کرده و نگرش مثبتی به موضوع درسی خواهد داشت.
و نهایتاً این امکان وجود دارد دانش آموز با انگیزه در محیطی مناسب تحت هدایت معلمی که تمام مراحل یادگیری را به درستی پیش می برد، تمامی اهداف یادگیری در عالی ترین حد متصور خود حاصل شود. دانش آموز با سواد و با انگیزه ای که در عمل نیز توانسته توفیقات مهارتی خوبی به دست آورد، از آموخته های خود لذت برده و با انرژی فزاینده علاقه مند به توسعه دامنه یادگیری خود می شود. با این توصیف بیشترین انگیزه برای یادگیری زمانی است که دانش آموز، در مرحله پیشین یادگیری توانسته باشد تجربه ای موفق از یادگیری را در سه حوزه اهداف آموزشی کسب کرده باشد. و این جایگاه سکویی برای رسیدن به موفقیت های بعدی خواهد بود.
بهین آئین (1383) در خصوص توجه به اهداف عاطفی چنین می گوید:
علی رغم تمامی تلاش ها در ارتقای سطح آموزش و فرآیند یادگیری، اگر فضای عاطفی و روانی کلاس مناسب نباشد، معمولاً نتیجه، چندان مفید به فایده نخواهد بود. اگر معلم حضور و وجود خود را در فضایی دوستانه و محبت آمیز به عنوان فردی برای کمک و مساعدت و تسهیل یادگیری دانش آموزان به اثبات نرساند، یادگیری شکل اجبار و تحمیلی به خود می گیرد. روش های فعال، امکان فراهم کردن چنین فضای مناسبی را فراهم می سازد.
پژوهش گر نظر کارشناس آموزش ریاضی را در این خصوص جویا شد.
پژوهشگر در هدف نویسی به شکل سنتی اهداف شناختی بیشتر مورد توجه قرار می گیرند و هیجانات دانش آموزان کمتر اشاره می شود. نظر شما راجع به هدف های حاصل شده در محیط های هندسه پویا چیست؟
کارشناس هدف های آموزشی در نظریات رفتار گرایی بیشتر حول رفتارهای عینی دانش آموزان بوده است. در شناخت گرایی نیر هدف ها بیشتر هدف های دانشی محسوب شده اند. در واقع در این نوع رویکرد فرآیندها مغفول مانده اند.
5.2.3 تجرد و شهود در هندسه
این ارتباط در سطوح بالای تفکر منطقی مشهود می شود. در تجسم های ترکیبی و پیچیده وجود الگوریتم های منطقی و ترتیب و دسته بندی و ریتم از اهمیت فراوانی تبعیت می کند. مشاهده و فعالیت مداوم بر تصاویر هندسی موجب نظم بخشی ذهن می شود. از طرفی دانش آموزانی که قصد اثبات مسائل را پیش از درک مفهوم آن را پیدا کنند، شرایط دیدن واقعیت مسئله را فراهم می آورد. در محیط های غنی شهودی مانند نرم افزارهای هندسه پویا، دانش آموزان قادر خواهند بود مثال های متعددی از مسئله را تجربه کنند و نسبت به درستی مسئله اطمینان نسبی پیدا کنند.
از طرفی دانش آموزان پس از دیدن مثال های متعدد، راغب می شود به یک قاعده کلی برسد. لذا فرآیند AC به تدریج شکل گرفته و آن ها مایل به کشف ساختارهای منطقی و انتزاعی از قاعده کلی به دست آمده می کنند. در صورتی که این امر با هدایت آگاهانه و دقیق معلم همراه شود، دانش آموزان با توجه به شرایط سنی و انگیزشی خود به نهایت حد ممکن در کسب مهارت منطقی خواهد رسید.
پژوهش گر در کلیه ی فرآیندهای آموزشی خود متوجه لزوم نوعی تعادل بین دو جنبه ی تجرد و تجسم شد.

5.3 توصیه ها و پیشنهادها
محقق از دید یک معلم با سابقه هندسه راهنمایی که از نرم افزارهای هندسه ی پویا در برنامه درسی هندسه راهنمایی استفاده کردم و مطالعاتی که روی تاثیر متقابل یادگیری دانش آموز و سایر عوامل در وضعیت های مختلف آموزشی دارد. بر این اساس توصیه ها و پیشنهادهای خود را برای معلمینی که علاقه مند به استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا در کلاس درس هستند، برای برنامه ریزان درسی و برای پژوهش گران ارائه می دهم.
عوامل موجود برای استفاده از شیوه ی آموزش در دیگر موقعیت های آموزشی:
1. انطباق برنامه اجرایی با برنامه درسی مصوب آموزش و پرورش
2. توزیع متعادل کارگاه های جایگزین و حفظ شرایط عمومی آموزش در مدارس
3. توجه به سبک ها و شرایط مختلف یادگیرندگان در پژوهش
4. استاندارد بودن نرم افزار آموزشی به کارگرفته شده
5. پوشش نسبی مطالب درسی در پژوهش
6. استاندارد بودن آزمون های برگزار شده.
از طرفی باید توجه داشت یکی از عوامل مهم در موفقیت این پژوهش امکانات دانش آموزان در منزل برای انجام تکالیف خود بوده است. و لذا تعمیم یافته ها منوط به ایجاد شرایط اولیه و پیش نیازهای آموزشی است.
5.3.1 توصیه برای معلمین هندسه ی پویا
استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا عادت های تدریس و مهارت های حرفه ای و تخصصی معلمین را به چالش می کشد. معلمی که قصد ورود به این شیوه ی آموزشی را دارد، لازم است مدتی شخصاً به کار با نرم افزار پرداخته و نگرش خود را نسبت به یادگیری هندسه متحول کند. براساس یافته های پژوهش و تجارب خود، پیشنهادهایی برای معلیمنی که قصد استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا در کلاس را دارند به شرح زیر جمع آوری شده است:
1. یادگیری استفاده از نرم افزار هندسه ی پویا و آمادگی پاسخ به سوالات نرم افزاری دانش آموزان
2. تقویت بنیه علمی و تخصصی معلم و توسعه کنجکاوی های شخصی در کار با نرم افزار
3. استفاده از نتایج پژوهش حاضر و دیگر پژوهش های مشابه
4. اختصاص وقت برای تولید و تهیه محتواهای از پیش آماده
5. اطمینان از وجود شرایط اجرایی مانند کارگاه رایانه در مدرسه و منزل برای دانش آموزان
6. تنظیم برنامه درسی تلفیقی و همگن از شیوه های متداول آموزشی و شیوه هندسه پویا
7. استفاده از نگرش پویا در کلاس های عادی
هر چند در محیط های کلاسی عادی با داشتن تنها گچ و تخته، انجام این امر محدود است، اما معلم با خلاقیت خود می تواند از این حدود گذشته و این نیاز دانش آموزان را تا حدودی در کلاس های عادی نیز برآورده کند. یکی از مصداق ها برای موثر کردن شهود استفاده از تکنیک ها و برنامه های مبتنی بر تجسم است. معلم می تواند برای دانش آموزانی موقعیت های بیشماری از تجسم را طراحی کرده و از دانش آموزان بخواهد اشکال هندسی را در ذهن تصویر سازی کرده، آن را حرکت دهند، تغییر شکل داده و یا بچرخانند.
هاداس و هرشکودیتس (1999) نیز توصیه کردند البته معلمین باید دقت کنند که دانش آموزان شواهدی را که در هندسه ی پویا درک می کنند به عنوان اثبات رسمی در نظر نگیرند.
کلمنتس- باتیستا (1992)، یروشالمی-کازان (1993) و دی ویلی یر (1998) نشان دادند که استفاده از نرم افزارهای پویا در جهت درک مفاهیم هندسی برای دانش آموزان مفید هستند. آن ها معتقدند استفاده از نرم افزار، کافی نیست. بلکه دانش آموزان باید یاد بگیرند علت درست بودن یک مسئله را توضیح دهند.
کاربر ماهر نرم افزار هندسه ی پویا می تواند خطوط ابتدایی ترسیم را محو کند، با دنبال کردن مراحل اشتباهات را تصحیح کند و ترسیم های مشکل را به سرعت انجام دهد؛ به هر حال ممکن است فرآیند ترسیم خاص توجه به کل تصویر را منحرف کند و با مراحل چندگانه در فرآیند ذهنی تصویرسازی و ترسیم تداخل کنند.
5.3.2 پیشنهاد برای پژوهش های بعدی
1. جدای از خلاقیت و جذابیت نرم افزارهای هندسه ی پویا، باید تحقیقاتی مربوط به نوآوری در متحرک سازی و تاثیر آموزشی نرم افزارهای آموزشی هندسه ی پویا مانند جئوجبرا صورت پذیرد.
2. دانش آموزان حاضر در این پژوهش؛ دانش آموزان دوره راهنمایی بودند و اطلاعات هندسی آن ها محدود بود. در صورتی که این تحقیق بر روی دانش آموزان دبیرستان صورت گیرد مشخص می شود که آیا دانش بیشتر ریاضیات نتایج متفاوتی خواهد داشت یا خیر. مثلاً، آیا دانش آموزان بزرگ تر به ثبات و حرکت نقاط هندسی توجه می کنند یا خیر؟
3. دانش آموزان ما تا به حال نرم افزار جئوجبرا را ندیده بودند و با آن آشنا نبودند. ممکن است فردی بخواهد کاربران نرم افزار را مورد تحقیق قرار دهد. آیا دانش آموزانی که با این نرم افزار آشنا هستند در استفاده از ابزار ترسیم مهارت بیشتری دارند یا خیر؟
4. این پایان نامه بر نرم افزار جئوجبرا متمرکز بود. عملکرد برنامه های دیگر متفاوت است. این مطالعه می تواند دوباره و با استفاده از نرم افزار کَبری و دیگر نرم افزارها اجرا شود. از این طریق می توان به ثبات نتایج پی برد.
5. در این تحقیق نسخه ی 3.0 نرم افزار جئوجبرا (2008) استفاده شده است. نسخه ی شماره ی 3.2 این نرم افزار (2009) انعطاف پذیری بیشتری را برای ترسیمها در اختیار قرار میدهد.
6. در صورتی که همین پژوهش یک بار دیگر اجرا شود با تجارب به دست آمده، قطعاً به لحاظ کمی و کیفی نتایج بهتری را به دست خواهد داد. لذا تکرار پژوهش با رفع نقاط ضعف آن جداً توصیه می شود.
7. معلمین چگونه می توانند به دانش آموزان کمک کنند که دانش به دست آمده را از طریق اکتشاف با نرم افزارهای پویا یکی کرده و ارتباط برقرار کنند؟
8. ما چگونه می توانیم به دانش آموزان استفاده کنند از مفاهیم متقارن در استدلال و نوشتن اثبات را به دانش آموزان درس دهیم؟
9. دانش آموزان برای استفاده از نرم افزارهای هندسه ی پویا مبتنی بر وب در خانه در نبود مداخله معلم چه حمایت مکملی نیاز دارند؟
10. مراحل کار با اشکال پویا چیست و چگونه می توان آن به مراحل تفکر را ارتباط داد ؟
11. مراحل استدلال شهودی در کار دانش آموزان چگونه است و چگونه قابل ارزیابی است؟ چه مهارت های دیداری لازم است برای استدلال در اشکال پویا و چکونه ما می توانیم در رشد این مهارت ها حمایت کنیم
12. چه فعالیت ها و تمرین هایی می تواند به رشد سطوح تفکر هندسی کمک کند؟
5.3.3 پیشنهادهای کاربردی
1. اولین بهانه ورود دانش آموزان به حوزه IT اغلب بازی ها و سرگرمی هاست. و نگرش آن ها نسبت به رایانه نیز بر همین اساس شکل می گیرد. یعنی رایانه و حتی اینترنتی را وسیله بازی و سرگرمی می دانند. و این نگرش در اولیاء نیز وجود دارد. در صورتی که امکانی ایجاد شود که دانش آموزان با آگاهی از این مطلب بهانه های ورود مناسب تری که هم جنبه علمی داشته باشد و هم از اثرات مخرب اخلاقی به دور باشد را انتخاب کنند، قطعاً تاثیر تربیتی فوق العاده ای ایجاد می شود.
2. طراحان برنامه ی درسی و ناشران آموزشی که قصد دارند در مسیر هندسه ی پویا قدم بگذارند بهتر است از تجارب گذشته در استفاده از فن آوری در کلاس استفاده کنند. آن ها باید به این نکته توجه داشته باشند که ارائه یک فن آوری جدید در کتب درسی امری نیست که دفعتاً صورت پذیرد. آن ها با وجود این که موقعیت های مختلفی برای معرفی این فن آوری در اختیار دارند، لازم است مراحل تدریجی توسعه این روش را به دقت برنامه ریزی کنند.
3. در به کارگیری رایانه در تدریس ابتدا هندسه ی پویا مطرح شد. سپس به ریاضیات پویا توسعه پیدا کرد. انتظار می رود در آینده به موضوعاتی مانند آموزش فیزیک پویا، شیمی پویا، و حتی یادگیری پویا نیز برسیم. لذا به برنامه نویسان رایانه ای و کارشناسان آموزشی توصیه می شود برای طراحی نرم افزارهایی از این دست اقدام یا حداقل آمادگی ورود آن ها را به عرصه آموزش را پیدا کنند.
4. این پژوهش می تواند برای مدارسی که قصد استفاده از فن آوری در کلاس های درس و فرآیندهای آموزشی را دارند مفید واقع شود.
5. پیشنهاد می شود مبانی نظری یادگیری ریاضی مبتنی بر ریاضیات پویا در دانشگاه های تربیت معلم به صورت واحدهای درسی آموزش داده شود.
5.4 محدودیت های پژوهش
هم اکنون در ایران، تعداد انگشت شماری از دانشجویان به انجام تحقیقات دانشگاهی زمینه نرم افزارهای هندسه ی پویا مشغول هستند. محدودیت منابع و مشکلات برای دسترسی به آن ها و مشکلات اجرایی بر تحقق اهداف پژوهشی تاثیر گذار بود. محدودیت های پژوهش را می توان به صورت زیر فهرست کرد:
1. در ایران فعالیت پژوهشی خاصی در خصوص نرم افزارهای هندسه ی پویا صورت نگرفته بود و منابع مناسب انگلیسی نیز به دلیل محدودیت های دسترسی به بانک های اطلاعاتی در دانشگاه ها مقدور نبود. که نهایتاً با تلاش فراوان و صرف زمان، پژوهش گر موفق شد از طریق دانشگاه های دیگر به این منابع دسترسی پیدا کند.
2. مبانی نظری و منابع پژوهش در مورد مهارت های پنج گانه ی هندسه به زبان فارسی نایاب و به زبان انگلیسی کم یاب بود.
3. قرار بود طرح در دو مدرسه پسرانه و دو مدرسه دخترانه به اجرا در آید که به دلیل برخی مشکلات اجرایی و نبود معلم متخصص، نهایتاً کار پژوهشی منحصر به یک مدرسه پسرانه شد.
4. پژوهش گر به منظور تهیه ی منابع پژوهش و تبادل نظر با کارشناسان در دو کنفرانس آموزشی هندسه ی پویا و سیستم های جبر رایانه ای در کشور اتریش در تیر 1388 ثبت نام کرده بود که به دلیل مشکلات اخذ ویزا لغو گردید. شرکت در این دو کنفرانس می توانست بر کیفیت پژوهش اثر مثبت بگذارد.
5. برای اجرای طرح به علت حساسیت های موجود پژوهش گر خود ملزم به اجرای طرح بود. و این موضوع کار پژوهشی را زیاد می کرد.
6. قانع کردن مدرسه برای اجرای طرح با مشکلاتی رو به رو بود که البته با حمایت کارشناسان مرتفع شد.
7. بلند مدت بودن دوره ی اجرایی پژوهش، جمع آوری و سازمان دهی داده ها کاری دشوار بود.
8. ایجاد شرایط مناسب برای دانش آموزان طوری که متوجه انجام کار پژوهشی نشوند، دشوار بود و محدودیت های در ثبت وقایع به صورت فیلم و تصویر ایجاد می کرد.
9. تهیه آزمون مناسب برای سنجش مهارت ها با توجه به جدید بودن موضوع و محدودیت منابع دشوار بود.
10. سطح 5 سوالات VHGT دشوار بود و دانش آموزان در برگزاری آزمون خسته شدند.
11. محقق در برخی جلسات به دلیل محدودیت های زمانی مجبور بود به تنهایی و بدون حضور همکار پژوهشی کارگاه رایانه را اداره کند که این بر کیفیت یادگیری تاثیر می گذاشت.
12. قرار بود در طول سال تحصیلی 12 کارگاه رایانه برگزار شود، اما به دلیل تعطیلی های پیش بینی نشده 10 جلسه برگزار شد. این موضوع بر کیفیت آموزش مباحث درسی پایانی تاثیر منفی گذاشت.

منابع
منابع فارسی
آقایار، سیروس، (1385) هوش هیجانی، انتشارات سپاهان
آناستازی, آ.(1908). روان آزمایی. ترجمهً: براهنی ,محمد تقی (1371). تهران: انتشارات دانشگاه تهران.
ادرین الدنو، ران تیلور، (1386) ترجمه: شهرناز بخش علی زاده، آموزش ریاضی به کمک ICT . تهران: انتشارات مدرسه
افشین منش، میلاد (1386) مشکلات، ضرورت ها و دست آوردهای ICT،
بهین آئین، نور الدین (1385) مجله رشد
ترقی جاه، علی (1387)، مطالعه روی کرد شکل گیری برنامه درسی برآمده با الهام از روی کرد رجیو امیلیا، پایان نامه کارشناسی ارشد، دانشگاه شهید بهشتی
دشت بزرگی، زهرا. (1381) . مقایسه ی روش های آموزش خلاقیت مبتنی بر کارکردهای نیم کره ی راست و هر دو نیم کره ی مغز. پایان نامه کارشناسی ارشد. دانشگاه الزهرا.
دلاور, علی. (1378). احتمالات و آمار کاربردی در روانشناسی و علوم تربیتی. تهران: رشد.
دلاور, علی.(1372). روش های آماری در روان شناسی و علوم تربیتی. تهران: انتشارات دانشگاه پیام نور.
دولیتل، ریچارد، ترجمه ی: شیخ الاسلامی، محمدحسن، فصلنامه پژوهش و سنجش ، سال 10 ، شماره 33 ، نویسنده :
سریواستاوا، پریاموادا، (1382)، ترجمه نوروزی، داریوش، صالجی، اکبر سبک های شناختی از دیدگاه تعلیم و تربیت
سیف، علی اکبر .(1384). روش تهیه پژوهش نامه در روانشناسی و علوم تربیتی. تهران: دوران.
سیف، علی اکبر، فصلنامه تعلیم و تربیت ،شماره 65
شریفی، پاشا (1384) روان شناسی هوش و سنجش آن، تهران، پیام نور، چاپ ششم
شعبانی، (1381) حسن، فنون تدریس پیشرفته
صیادی فریده (1383) تاملاتی درباره آموزش ریاضیات به کودکان دبستانی
صیادی فریده (1383) نگاهی به شیوه های فراگیری بهینه ریاضیات و کاربرد آن در زندگی
فدایی فربد (1381)، یونگ و روان شناسی تحلیلی او، نشر دانژه
فردانش، هاشم، فصلنامه علمی پژوهشی علوم انسانی ، دانشگاه الزهرا ، سال هفتم و هشتم ، شماره 24 و 25
فناخسرو، محبوبه (1385). مقایسه ی تاًثیر آموزش مبتنی بر هوش های چندگانه و آموزش به روش سخنرانی بر میزان یادگیری، یادداری و انگیزش پیشرفت تحصیلی در درس ریاضی، دانشگاه علامه طباطبایی
قیصری، سارا (1387)، تاثیر استفاده از سیستم های جبر رایانه ای (CAS) در یاددهی و یادگیری انتگرال، دانشگاه شهید رجایی
گلمن، دانیل (1380) هوش هیجانی. ترجمه ی: پارسا، نسرین، تهران: انتشارات رشد
مک دونالد، ژانت. (2006) راهنمای عملی یادگیری و تدریس تلفیقی. ترجمه ی اسماعیل زارعی زوارکی و وحید صالحی (1388). تهران انتشارات دانشگاه علامه طباطبایی
هومن، حیدرعلی (1376) . شناخت روش علمی در علوم رفتاری (پایه های پژوهش). تهران: پارسا.

منابع لاتین
Aikalay, M. (1993). The use of computers for independent exploration in precalculus: Effect on attitudes. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching
Arzarello, F. (1998), Micheletti, C., Olivero, F., Robutti, O. Paola D. & Gallino, G.. Dragging in Cabri and modalities of transition from conjectures to proofs in geometry
Balacheff, N. & Kaput, J. (1996). Computer-based lerning environments in mathematics. Interriatiaiiai handbook of mathmatics edircatiatr (pp. 469-50 1 ). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Balacheff, N. (1998). Some questions on mathematical learning environrnents., Proceedings of lhe 21st Cotferetrce of the Iwrtwriotml Group for the Psychology of Mathematics Education
Battista, M. T. (1990). Spatial visualization and gender differences in high school geometry.Journal for Research in Mathematics Educator.
Baylor, Terry William (2002), Analysis of the interplay of factors that influenced how students used a dynamic geometry computer program to solve certain mensuration problems
Bennett, D. (1998). Exploring geometry with The Geometer's SketchPad. Key Curriculum Press.
Brousseau. G. ( 1997). theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathematiqes, 1970-1990 (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland. & V. Warfield. Eds. & Trans). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Clements, D. H, & Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and leaming: A project of the National Council of Teachers of Mathematics (pp. 420-464). New York: MacMillan Publishing Co.
Cohen, R, & Geva, E. (1987). The effects on young chiidren of learning turtle geornetry programming through the use of Logo Microworlds. Toronto: Ontario Institute for Studies in Education.
Cuoco, A. (1996), Goldenberg, E. P., & Mark, J.. Habits of mind: Anorganizing principle for mathematics curricula. Journal of Mathematical Behavior, 15, 375-402.
De Villiers M. (1997). The Role of Proof in Investigative, Computer-based Geometry: Some personal reflections..
Dev, P. C. (1998). Intrinsic motivation and the student with learning disability. Journal of Research and Development in Education, 31(2), 98-108.
Dreyfus, T. (1991). Didactic design of computer-based learning environments.
Dreyfus, T. (1994). Imagery and reasoning in mathematics and mathematics education. In D. F. Robitaille, D. H. Wheeler, & C. Kieran (Eds.), Selected lectures from the 7th International Conference on Mathematics Education (pp. 107-122). Sainte-Foy, Quebec: Les Presses de l'Université Laval.
Finzer, W. F., & Bennett, D. (1995). From drawing to construction with The Geometer's SketchPad. Mathematics Teacher, 88, 428-431. quoted from Scher, D. (2002) Students' Conceptions of Geometry in a Dynamic Geometry Software Environment, New York University
Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Journal for Research in Mathematics Education, Monograph Number 3. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Gay, D. (1998). Geometry by discovery. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.
Gillis. John. M (2005)، An investigation of student conjections in static and dynamic geometry environments، Auburn university
Goldenberg, E. P. (1991). The difference between graphing software and educational graphing software. In W. Zimmerman & S. Cunningham (Eds.), Visualization in teaching and learning mathematics (pp. 77-86). Washington, DC: Mathematical Association of America.
Goldenberg, E. P. (1998).Designing learning environments for developing understanding of geometry and space (pp. 351-367). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Gomes, Alex Sandro, Vergnaud, Gerard (2004), On the Learning of geometric concepts using Dynamic Geometry Software
Hadas, N., & Hershkowitz, R (1999). The roIe of uncertainty in constnicting and proving in computerized environments. In O. Zasiavsky (Ed-), Proceedings of the 23rdPME Conference (Vol, 3. pp. 57-64).
Halat, Erdogan, (2003) Performance, motivation and gender with two different instructional approaches in geometry, the florida state university college of education
Hanna. G. (1998). Proof as explanation in geometry. In M. Sharma. J. Schmittau. & L. ScheI1 (Eds.). Focus on Learning Problems in Mathematics. 20). 4-13
Hodanbosi, Carol Lea, (2001) A comparison of the effects of using a dynamic geometry software program and construction tools on learner achievement
Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics Teacher, 74, 11-18.qouted in Jaguthsing Dindyal (2007), The Need for an Inclusive Framework for Students' Thinking in School Geometry
Hoffer, A. (1983). Van Hiele-based research. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathemarics concepts and processes (pp. 205-2 19). New York: Academic Press.
Hoyles, C., & Noss. R (1994). Dynamic geometry environments: What's the point? Mathematics Teacher, 8 7(9), 7 1 6-7 17.
Jackiw, N. (1994). Dynamics of a point on a line and interesting triangle behavior. [On-line]. Available: http://forum.swarthmore.edu/ epigone/geometrysoftware-dynamic.
Jones, E & Nimoo. (1995). Emergent curriculum. Washington, D.C. : NAEYC
Katherine L. Dix (1999) ,The Application of Computer Technology in the Teaching of Junior High School Geometry Elschenbroich, H. J. (1997) Dynamic Geometry Programs: Death of Proving
Laborde, C. (1993). The computer as part of the learning environment: The case of geometry. In C. Keitel & K. Ruthen (Eds.), Learning from computers: Mathematics education and technology (pp. 48-67). Germany: Springer-Verlag.
Laborde, C. & Laborde, J. M. (1995). What about a learning environment where Euclidean concepts are manipulated with a mouse? In A. A. diSessa, C. Hoyles, & R. Noss (Eds.), Computers and exploratory learning (pp. 241-262). Germany: Springer-Verlag.
Laborde, C. (1998). Visual phenomena in the teaching/learning of geometry in a computer-based environment. In C. Mammana & V. Villani (Eds.), Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century (pp. 113-121). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Liu L, Cummings R.,(2001) A learning model that simulates geometric thinking through use of PCLogo and Geometer's SketchPad, Towson university
Mavrikis، M. P. (2001)، Towards More Intelligent and Educational Dynamic Geometry Environments، School of Artificial Intelligence، Division of Informatics، University of Edinburgh
Melczarek, Robert Jan, (1996), The effects of problem-solving activities using dynamic geometry computer software on readiness for self-directed learning
Memam S. B. (1998). Qualitative research and case study application in education. San Francisco, CA: Jossey-Bass Publishers.
Middleton, J. A. (1995). A study of intrinsic motivation in the mathematics classroom: A personal constructs approach. Journal for Research in Mathematics Education, 26(3), 254-279.
Mofeed Abu-Mosa (2007), Using GSP in Discovering a New Theory
Moss, Laura Jean (2000). The use of dynamic geometry software as a cognitive tool
Moyer, Todd O (2003), An investigation of The Geometer's Sketchpad and van Hiele levels
Nordstrom, Kirsti, Ph. D. Student teachers and proof student, University of Stockholm, Sweden
Olive, J. (2000). Implications of using dynamic geometry technology for teaching and learning. Paper presented at the Conference on Teaching and Learning Problems in Geometry, May 6-9, 2000, Fundao, Portugal. [On-line]. Available: http://jwilson.coe.uga.edu/olive/Portugal/ Portugal_paper.html.
Papert, S. (1980). Mindstorms: Children. computers, power ideas. New York: Basic Books. Inc.
Patricia، M. (2001)، Supporting Student Efforts to Learn with Understanding: An Investigation of the Use of JavaSketchpad Sketches in the Secondary Geometry Classroom، Department of Curriculum،Teaching and Lcaming، Ontario Institutc for Studies in Education of the University of Toronto
Pegg, J., & Davey, G. (1998). Interpreting student understanding in geometry: A synthesis of two models. In R. Lehrer & D. Chazan (Eds.), Desigiing leartiing awironments for developing understanding of geometry and space (pp. 109-136). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Pirie, S., & Kieren, T. (1994). Growth in mathernatical understanding: How can we characterize it and how can we represent it? Education study in Mathematics, 26, 1 65- 1 90.
Quaresma, Pedro (2006), Integrating Dynamic Geometry Software, Deduction Systems, and Theorem Repositories
Rita Nagy-Kondor، R.N. (2004) Dynamic geometry systems in teaching geometry ، University of Debrecen
Scher، D. (2002) Students' Conceptions of Geometry in a Dynamic Geometry Software Environment، New York University
Schoenfeld. A. H. (1989). Problem solvin in context(s). In R. 1. Charles & E. A. Silver (Eds.), The teaching and assessing of mathematical problem solving, volume 3 (pp. 83-9 1). Reston VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Stevens. James p. (2007), Intermediate statistics, Lawrence Erlbaum Associates
Subramanian, Lalitha (2005), An investigation of high school geometry students' proving and logical thinking abilities and the impact of dynamic geometry software on student performance
Towers, J. (1999). In what way do teachers'interventions interact with and occasion the grawth of students' mathematical understanding. University of British Columbia.
Usiskin, Z. (1982). Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry. (Final report of the Cognitive Development and Achievement in Secondary, School Geometry Project.) Chicago: University of Chicago. (ERIC Document ED220288).
Van Hiele, p (1986). Structure and insight: A theory of mathematics education. FL academic Press.
Wentzel, K. R. (1997). Students motivation in middle school: The role of perceived pedagogical caring. Journal of Educational Psychology, 89(3), 411-419.
Whiteley, Walter, (2002) Teaching To See Like a Mathematician, Department of Mathematics and Statistics, York University, Toronto, Canada.
Yerushalmy, M., & Chazan, D. (1993). Overcoming visual obstacles with the aid of the Supposer. In J.L. Schwartz, M. Yerushalmy, & B. Wilson (Eds.), The Geometric Supposer: What is it a case of? (pp. 25-56). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
6 پیوست ها

متن مصاحبه با دانش آموزان
مهارت های منطقی
* پژوهش گر: آیا استفاده از نرم افزار در تقویت منطق، استدلال و اثبات کردن تاثیر داشته.
o قاسمی: چون ما در نرم افزار می توانیم شکل ها رو تغییر دهیم خواسته هایمان در مسائل را می دیدیم. مثلاً در مثلث متساوی الساقین که باید دو ضلع مجاور برابر باشند، چون در نرم افزار می تونستیم تغییر دهیم اثبات آن برامون راحت تر بود نسبت به کاغذ.
* پژوهش گر: تا حالا شده شکلی رو ترسیم کنی و در حین آن از آن الهام بگیری برای این که آن را اثبات کنی؟
o مشایخی راد: بله من در ترسیم از نیم ساز استفاده کرده بودم و برای اثبات از آن استفاده کنم.
مهارت های دیداری
* پژوهش گر: استفاده از نرم افزار چه تاثیری بر تجسم داشته است؟
o نظری: ذهنم اینجوری شده که وقتی یک چیزی رو در ذهنم تکان می دم احساس می کنم یک جزء دیگه قفله و نمی شه تکان داد یا یک چیز دیگر را تکان می دهم اون یکی هم تکون می خوره. ذهنم اینجوری شده.
* پژوهش گر: می تونی دینامیک شکلی رو که در کاغذ می بینی رو تجسم کنی؟
o نظری: بله. در شکل داده شده اول شکل رو در ذهنم ثابت نگه داشتم بعد راسش رو کم کردم. بعد دیدم قاعده بزرگ میشه. بعد اون رو هم کم کردم. طوری که ارتفاع عمود بر ساق رو بتونم ثابت نگه دارم.
* پژوهش گر: آیا نمی شد این رو در نرم افزار انجام بدی؟
o نظری: نتونستم. چون قاعده را نمی تونستم تنظیم کنم. اما در ذهنم تونستم.
* پژوهش گر: در تجسم و مشاهده تو چه تجربه ای داشتی؟
o مشایخی راد: وقتی یک شکل رو در ذهن چند بار تکان می دادم باعث می شد در ذهنم تداعی بشه و بعد که می خواستم شکل رو تغییر بدم می فهمیدم که باید چه کاری انجام بدم.
مهارت های کلامی
* پژوهش گر: آیا استفاده از نرم افزار در مهارت حرف زدن، توضیح دادن، به کار گیری درست ابزار و اصطلاحات. تلفظ درست اصطلاحات تاثیر دارد؟
o مشایخی راد: دانش آموزان در این محیط با اشکال به طور دقیق آشنا می شوند. و فهم درستی از اشکال پیدا می کنند.
* پژوهش گر: آیا کسی که با نرم افزار کار کرده است می تواند در کلاس بهتر توضیح دهد؟
o مشایخی راد: نرم افزار باعث می شود ما منطقی باشیم و نمی توانیم هر کاری را انجام دهیم. می فهمیم که مثلاً متوازی الاضلاع دقیقاً چی هست؟در گفتمان نیز تاثیر دارد. چون مراحل در ذهن آدم حک می شه.
* پژوهش گر: امسال که با نرم افزار کار کردید راجع به مفاهیم بیشتر حرف زدید یا کمتر؟
o مشایخی راد: بیشتر حرف زدیم. موقعیت های حرف زدن بیشتر می شد.
* پژوهش گر: اینکه بیشتر حرف زدید در اثبات بهتر تاثیر داشت؟
o مشایخی راد: وقتی بیشتر حرف می زدم درکم از مسئله بیشتر می شد. برای این که مثلاً در کارگروهی با بیشتر حرف زدن بهتر می فهمیم.
مهارت های ترسیمی
* پژوهش گر: سوال: آیا استفاده از نرم افزار تاثیری در بهتر شدن ترسیم در کاغذ تاثیری دارد؟
o نظری: بله. چون در نرم افزار محدودیت هایی وجود دارد و رسم در این محیط باید منطقی باشد. بنابر این در کاغذ هم باید ترسیم را منطقی انجام داد.
مهارت های کاربردی
* پژوهش گر: به نظر تو مفهوم دینامیک چیه؟ و آیا جایی را دیدی که در آن از مفهوم دینامیک استفاده شود.
o در بعضی وسایل ورزشی در پارک ها و یا ماشین هایی که در زندگی روزمره از آن ها استفاده می کنیم مثل ترازو.
* پژوهش گر: استفاده از نرم افزار می تواند کمک کند تو کاربردهای بیشتری از هندسه را ببینی؟
o قاسمی: می توانم. قدرت کارکرد باید بالاتر باشد. مثلاً کاری که ما انجام می دهیم در حد اشکال است.
* پژوهش گر: سوال: اگر ما بتوانیم تصویر یک قطعه فلزی را در نرم افزار وارد کنیم، ارزش داره مدل را در یک نرم افزار شبیه سازی کنیم؟
o قاسمی: چون در نرم افزار تجربه می کند. تجربه ای هم که در نرم افزار دارد بیشتر از تجربه اش در کاغذ است. پس تاثیرش هم بیشتر است.
o بعضی وقت ها یک چیزی هست برام جالبه می رم در نرم افزار شبیه سازی می کنم و می بینم وقتی یک جزئی از شکل تکان می خورد یک جزء دیگر هم تکان می خورد.

نظرسنجی از دانش آموزان
نام
نظر دانش آموزان

آقا خانی
توازی و مثلث ها، به خاطر این که بیش ترین تمرین را در مورد این دو مبحث بوده
آقاسیدعبدالله
به نظر من در مبحث تساوی مثلث ها به هر شکل (ض زض)، (ز ض ز)، (وض) و (وز) بسیار در نرم افزار به دردمان خورد و می توانستیم آن ها را و این گونه تساوی مثلث های بالا را به بهترین حالت و شکل یاد بگیریم و متوجه شویم.
پرهیزکار
واقعاً هیچ چون من هندسه ام ضعیف نیست. به لطف خدا اما رایانه ام خیلی ضعیف است و چون کلاً رایانه ام ضعیف است، رایانه وقت مرا می گرفت.
پنجه شاهی
در هیچ کدام از مباحث نرم افزار جئوجبرا به من کمک نکرد. فقط کمی برای اثبات مثلث ها خوب بود.
پور طاهر
هیچکدام
جوادیان
بیشتر از همه متوازی الاضلاع ها چون خیلی از حرکاتی که بلد نبودم را در نرم افزار یاد می گرفتم و این نرم افزار باعث شد مثلاً رسم های کتاب، عید نوروز را بکشم و یا مثلاً چاپ کنم. آن ها را با این که با آن ها شکل های جدیدتر و بهتر درست کنم.
حبیبی
هیچ کدام، چون من زیاد با نرم افزار کار نمی کردم.
حجتی
جئوجبرا در یادگیری چهارضلعی ها تاثیر بیشتری داشت. چون با ابزار آن وقتی کار می کردیم مسئله را بازسازی می کردیم. و آن مسائل را می توانستیم راحت حل کنیم.
حسینی نسب
هیچ تاثیری نداشت.
حیدری
اصلاً به دردم نخورد. اصلاً کمکم نکرد بلکه بیشتر اذیتم کرد.
شیرازیان
مطمئناً مثلث ها زیرا می توان فهمید مثلث ها برابر هستن و هم چنین برای رسم مثلث بسیار خوب بود. زیرا دقیق بود و درست در می آمد و برای من یک سرگرمی به حساب می آمد.
ضابطی
به نظر من بسیار کم در 4 ضلعی ها. اگر نظر من را بخواهید نرم افزار این جوری خوب نیست. اول باید به بچه ها طرز استفاده از آن را یاد می دادید. بعد آن را جزء تکالیف می کردید. چون بیشتر بچه ها آن را بلد نیودند. در ضمن سرگرمی هم بود.
عارفی پور
در مباحث تساوی مثلث و اصول توازی و چهارضلعی ها
س عبداللهی
متوازی الاضلاع: در حرکات دینامیکی و حرکت آن
ص عبداللهی
بیش ترین تاثیر را در مبحث مثلث ها داشت زیرا تنوع مثلث ها زیاد است. شکل های ترکیبی که با آن می توان ساخت زیاد است و علت اینکه چرا این دو مثلث با هم مساوی است، در نرم افزار کشف شد.
قاسمی
زوایا و مثلث چون گاهی اوقات بعضی مسائل جدید بود را بلد نبودیم. توازی زیرا مسائل و بحث جدید بود و نیاز به تمرین داشت و همین طور سرگرمی
لعل فام
در یادگیری رسم بسیار موثر بود و به من در یادگیری رسم بسیار کمک کرد. به مبحث خطوط موازی و مورب هم کمک کرد.
محرری
بیشتر در چهارضلعی ها تاثیر داشت.
محسنی
در مبحث مجموع زاویه های خارجی مثلث و داخلی آن
محمدیان
به اثبات مثلث ها و متوازی الاضلاع
مرصوصی
تساوی مثلث ها، چون من بیش ترین ترسیم ها و شکل هایم را در نرم افزار جئوجبرا برای تساوی مثلث ها گذاشتم.
مشایخی راد
اثبات مثل ها و در هیچ مبحثی به کار من نیامد اما استفاده از نرم افزار روش خوبی می باشد و در مثال سخت که بعداً مورد توجه ما قرار می گیرد به درد می خورد.
منتظمی
در ترسیم لشکال مثل مثلث – چهارضلعی و …
میر شفیعی
در مبحث چندضلعی ها زیرا که بیش ترین کاری که با نرم افزار انجام می دادیم، در مبحث چندضلعی ها بود.
نادری فر
بیشتر از مبحث چهارضلعی ها نرم افزار در یادگیری به من کمک کرده است زیرا فعالیت های جالبی داشت. مثلاً این بود که خودمان یک ابزار لوزی یا مربع یا ذوزنقه یا … را ساختیم و از آن استفاده کردیم.
نراقیان
در مثلث ها و چهارضلعی ها
نظری
مبحث خاصی کمک نکرد اما کمک کرد که ذهنم منطقی شود.
وحید
کمی سرگرمی برایم بود.

آزمون ون هیل برای سنجش مهارت های دیداری، منطقی و کلامی
1- کدام یک از اشکال زیر مربع است؟
الف) فقط شکل k
ب) فقط شکل L
ج) فقط شکل m
د) اشکال m و L
ه) همه ی اشکال مربع هستند.

2- کدام یک از اشکال زیر مثلث است؟
الف) هیچکدام
ب) فقط شکل V
ج) فقط شکل W
د) فقط اشکال W و X
ه) فقط اشکال V وW

3-کدام یک از اشکال زیر مستطیل است؟
الف) فقط شکل S
ب) فقط شکل T
ج) فقط اشکال S و T
د) فقط اشکال S و U
ه) همه ی اشکال مستطیل است.

4- کدام یک از اشکال زیر مربع است؟
الف) هیچکدام
ب) فقط شکل G
ج) فقط اشکال F و G
د) فقط اشکال G و I
ه) همه ی اشکال مربع است.

5- کدام از اشکال زیر متوازی الاضلاع است؟
الف) فقط شکل L
ب) فقط شکل J
ج) فقط اشکال J و M
د) هیچکدام
ه) همه ی موارد
6- چهار ضلعی PQRS مربع است.
کدام رابطه در مورد همه ی مربع ها صدق می کند؟
الف) پاره خط های و طول یکسان دارند.
ب) پاره خط های و بر هم عمود هستند.
ج) پاره خط های و بر هم عمود هستند.
د) پاره خط های و طول یکسان دارند.
ه) زاویه ی Q بزرگتر از زاویه ی R است.

7- در مستطیل GHJK پاره خط های و قطر هستند.
کدام یک از گزینه ها در مورد همه ی مستطیل ها صدق نمی کند؟
الف) چهار زاویه ی قائمه وجود دارد.
ب) چهار ضلع دارند.
ج) قطر ها طول یکسان دارند.
د) ضلع های مقابل طول یکسانی دارند.
ه) همه ی موارد فوق صحیح است.

8- یک لوزی شکلی است با چهار ضلع که طولی یکسان دارند.
در اینجا سه نمونه لوزی را مشاهده می کند.
کدام یک از موارد زیر در مورد همه ی لوزی ها صادق نیست؟
الف) دو قطر طولی یکسان دارند.
ب) هر قطر دو زاویه ی لوزی را نصف می کند.
ج) دو قطر بر هم عمود هستند.
د) زاویه های مقابل اندازه ای یکسان دارند.
ه) همه ی موارد صحیح است.

9-مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع با هم طولی یکسان دارند.
کدام یک از گزینه ها در مورد مثلث متساوی الساقین صحیح است؟
الف) سه ضلع باید طولی یکسان داشته باشند.
ب) یک ضلع باید طولی دو برابر ضلع دیگر داشته باشد.
ج) باید حداقل دو زاویه با اندازه های یکسان داشته باشند.
د) هر سه زاویه باید اندازه یکسان داشته باشند.
ه) هیچکدام

10) دو دایره با مرکز های P و Q در نقاط R و S یکدیگر را قطع کرده اند تا چهار ضلعی PRQS را بسازند. به دو مثال زیر توجه کنید. کدام گزینه همیشه صحیح نیست؟
الف) شکل PRQS دو جفت ضلع با طول های یکسان دارد.
ب) شکل PRQS حد اقل 2 زاویه ی برابر دارد.
ج) خطوط و بر هم عمود هستند.
د) زوایای P و Q با هم برابرند.
ه) همه ی موارد صحیح است.

11) با توجه به دو تعریف زیر کدام گزینه صحیح است؟
جمله ی 1: شکل F یک چهارضلعی است.
جمله ی 2: شکل F یک مثلث است.
الف) اگر جمله 1 صحیح باشد در نتیجه جمله ی 2 نیز صحیح است.
ب) اگر جمله ی 1 نادرست باشد در نتیجه جمله ی 2 نیز نادرست است.
ج) جمله ی 1 و 2 هیچکدام نمی تواند صحیح باشد.
د) جمله ی 1 و 2 نمی تواند نادرست باشد.
ه) هیچکدام از موارد الف تا د درست نیست.

12- با توجه به دو جمله ی زیر کدام گزینه صحیح است؟
جمله ی 1: مثلث ABC سه ضلع برابر دارد.
جمله ی 2: در مثلث ABC زاویه ی B و C با هم برابرند.
الف) هیچکدام از دو جمله ی 1 و 2 نمی توانند درست باشند.
ب) اگر جمله ی اول صحیح باشد جمله ی دوم نیز درست است.
ج) اگر جمله ی دوم صحیح باشد جمله ی اول نیز صحیح است.
د) اگر جمله ی اول نادرست باشد، جمله ی دوم نیز نادرست است.
ه) هیچکدام از گزینه های فوق صحیح نمی باشند.

13- کدام شکل را می توان یک مستطیل نامید.
الف) همه ی اشکال
ب) فقط شکل Q
ج) فقط شکل R
د) فقط اشکال P و Q
ه) فقط اشکال Q و R

14- کدام گزینه صحیح است؟
الف) تمام ویژگی های مستطیل، ویژگیهای مربع نیز هست.
ب) تمام ویژگی های مربع، ویژگیهای مستطیل نیز هست.
ج) تمام ویژگی های مستطیل، ویژگیهای متوازیالاضلاع نیز هست.
د) تمام ویژگی های مربع، ویژگیهای متوازیالاضلاع نیز هست.
ه) هیچکدام

15- کدام ویژگی را مستطیل دارد ولی متوازی الاضلاع ندارد؟
الف) اضلاع مقابل برابرند.
ب) قطر ها برابرند.
ج) اضلاع مقابل موازی اند.
د) زوایای مقابل برابرند.
ه) هیچکدام
16- در شکل مثلث قائم الزاویه ی ABC را می بینید که هر ضلع آن یک مثلث متساوی الاضلاع به نام های ACE و ABF و BCD رسم شده است.
اطلاعات داده شده ثابت می کند که پاره خط های AD و BE و CF در یک نقطه تلاقی دارند. با توجه به اثبات بالا کدام گزینه صحیح است؟
الف) تنها در این مثلث رسم شده می توان مطمئن بود که سه پاره خط AD و BE و CF در یک نقطه تلاقی دارند.
ب) در بعضی مثلث های قائم الزاویه سه پاره خط AD و BE و CF در یک نقطه تلاقی دارند.
ج) در همه ی مثلث های قائم الزاویه سه پاره خط AD و BE و CF در یک نقطه تلاقی دارند.
د) در همه ی مثلث ها سه پاره خط AD و BE و CF در یک نقطه تلاقی دارند.
ه) در همه ی مثلث های متساوی الاضلاع سه پاره خط AC و BE و CF در یک نقطه اتلاقی دارند.

17- با توجه به سه ویژگی داده شده از یک شکل کدام گزینه صحیح است؟
ویژگی D: دو قطر برابر داشتن. ویژگی S: مربع بودن. ویژگی R: مستطیل بودن.
الف) ویژگی D باعث می شود که ویژگی S وجود داشته باشد که به این ترتیب ویژگی R فراهم خواهد شد.
ب) ویژگی D باعث می شود که ویژگی R وجود داشته باشد که به این ترتیب ویژگی S فراهم خواهد شد.
ج) ویژگی S باعث می شود که ویژگی R وجود داشته باشد که به این ترتیب ویژگی D فراهم خواهد شد.
د) ویژگی R باعث می شود که ویژگی D وجود داشته باشد که به این ترتیب ویژگی S فراهم خواهد شد.
ی (ویژگی R باعث می شود که ویژگی S وجود داشته باشد که به این ترتیب ویژگی D فراهم خواهد شد.

18- با توجه به دو جمله ی زیر کدام گزینه صحیح است؟
جمله ی 1: اگر یک شکل مستطیل باشد قطرهایش یکدیگر را نصف می کند.
جمله ی 2: اگر قطرهای یک شکل یکدیگر را نصف کند آن شکل مستطیل است.
الف) برای اثبات آنکه جمله 1 صحیح است کافی است ثابت کنیم جمله 2 صحیح است.
ب) برای اثبات آنکه جمله 2 صحیح است کافی است ثابت کنیم جمله 1 صحیح است.
ج) برای اثبات آنکه جمله 2 صحیح است کافی است مستطیلی پیدا کنیم که قطرهایش یک دیگر را نصف کند.
د) برای اثبات آنکه جمله 2 نادرست است کافی است شکلی را پیدا کنیم که مسنطیل نباشد و قطرهایش یک دیگر را نصف نکند.
ه) هیچکدام

19- در هندسه:
الف) برای همه ی شرایط و موارد تعریفی وجود دارد و احکام صحیح کاملا قابل اثبات هستند.
ب) برای همه ی شرایط و موارد تعریفی وجود دارد اما باید پذیرفت تنها بعضی از احکام را می توان اثبات کرد.
ج) بعضی از موارد باید بدون تعریف باقی بماند اما همه ی احکام قابل اثبات است.
د) بعضی از شرایط و موارد باید بدون تعریف باقی بماند و لازم است احکامی داشته باشیم که صحت آنها پذیرفته شده باشد.
ه) هیچکدام صحیح نیست.

20- این سه جمله را مورد تحلیل قرار دهید؟
جمله ی 1: دو خط عمود بر یک خط موازیند.
جمله ی 2: خط عمود بر یکی از دو خطی که موازیند بر دیگری نیز عمود است.
جمله ی 3: اگر دو خط دارای فاصله ی برابر از هم باشند آن دو خط موازیند.
در شکل زیر خطوط M و P بر هم عمودند و همین طور خطوط N و P .
کدام یک از جملات بالا می تواند علت موازی بودن دو خط M و N باشد؟
الف) تنها جمله ی 1
ب) تنها جمله ی 2
ج) تنها جمله ی 3
د) یا جمله ی 1 یا جمله ی 2
ه) یا جمله ی 2 یا جمله ی 3

آزمون سنجش مهارت های ترسیمی
الف) با داشتن چند داده (اندازه زاویه یا ضلع ) می توان یک مثلث را رسم کرد؟

ب) به چند حالت می توان مثلث را رسم کرد؟ آن ها را بنویسید.

ج) به نظر شما چرا حالت های ترسیم و حالت های تساوی مثلث ها مانند هم هستند؟

مثلث ABC را در حالت مقابل رسم کنید. A=90, BC= 4cm, AB= 3cm
مراحل رسم و نحوه استفاده از ابزار مورد استفاده قرار گرفته را دقیقاً توضیح دهید.

آزمون سنجش مهارت های کاربردی
1. یک خاطره واقعی از خودتان تعریف کنید که در زندگی خود از مفاهیم و روش های هندسه که در درس خود خوانده اید استفاده کرده باشید. آن را به طور کامل شرح دهید.

2. یک مثال کاربردی از محاسبه مساحت بزنید.

3. چه رشته های مهندسی سراغ دارید که در آن از مفاهیم هندسه به طور مستقیم استفاده می شود؟

4. کدام یک از موضوعات هندسه را سراغ دارید که در هنر کاربرد فراوانی دارد. (چند مورد را نام ببرید.)

5. ترازوی دو کفه ای مقابل را در نظر بگیرید. آیا در ساخت آن از مفاهیم هندسی استفاده شده است؟ چگونه؟

6. به نظر شما هندسه را بیشتر برای کاربرد می خوانیم یا اینکه صرفاً یک مجموعه قوانین ذهنی و علمی است که مورد مطالعه قرار می گیرد.

7. یک وسیله را که در آن از اصول هندسی استفاده شده است را نام ببرید. شکل آن را بکشید و بگوئید چه اصولی از هندسه در آن به کار رفته است و آن را توضیح دهید.

8. به نظر شما در طراحی یک اتوموبیل از چه موضوعاتی از هندسه استفاده می شود.

مقایسه نرم افزارهای هندسه پویا
تا کنون بیش از 50 نرم افزار هندسه ی پویا طراحی شده است که در جدول زیر بر اساس اطلاعات سایت ویکی پدیا مقایسه ای بین نرم افزارهای معروف هندسه پویا صورت گرفته است:
جدول ‏6- ا: مقایسه ی نرم افزارهای هندسه پویا
نرم افزار
محاسبه
ماکرو
مکان هندسی
متحرک سازی
کد نویسی
ارتباط از خارج نرم افزار
خروجی لاتکس
خروچی وب
چند
زبان
اثبات
بقیه امکانات
Cabri II +
بله
بله
بله
بله
بله
بله -با plugin
خیر
بله
بله
بله (رابطه ای)
قابلیت ارتباط با ماشین حساب TI
CaR
بله
بله
بله
بله
بله
بله
بله
بله
بله
خیر
–
Cinderella
بله
بله
بله
بله
بله
بله
بله (PDF)
بله
بله
احتمالاً
دارای تعداد زیادی شبیه سازی فیزیک
GCLC
بله
بله
بله
بله
بله
بله
بله
خیر
خیر
بله
امکان اثبات مسائل و شبیه سازی سه بعدی
GeoGebra
بله
بله
بله
بله
بله
(JavaScript)
بله
(JavaScrip)
بله p stricks
بله
بله
49
زبان
بله (رابطه ای)
قابیلت جبر رایانه ای CAS وصفحه گسترده
Geometrix
بله
خیر
بله
بله
خیر
بله
خیر
خیر
خیر
بله
اثبات های تعاملی و نمودار
GeoNet
بله
خیر
خیر
بله
?
?
خیر
?
بله
خیر
قابل استفاده تحت وب
GeoProof
بله
خیر
خیر
خیر
خیر
خیر
بله
خیر
خیر
بله
اثبات های اتوماتیک رسمی
GEUP
بله
بله
بله
بله
؟
خیر
؟
خیر
بله
خیر

iGeom
بله
بله
بله
خیر
بله
بله
خیر
بله
بله
?
قابلیت
بازیابیscripts
Kig
بله
بله
بله
خیر
بله Python
خیر
بله P
stricks
خیر
بله
خیر

Sketchpad
بله
بله
بله
بله
بله
خیر

بله محدود
بله
خیر

Cabri 3D
بله
خیر
خیر
بله
خیر
خیر
خیر
بله
بله
خیر
شبیه سازی سه بعدی
Archimedes Geo3D
بله
بله
بله
بله
خیر
خیر
خیر
خیر
2 زبان
خیر
امکان تقاطع مکان هندسی

1 GeoGebra
2 TIMSS (Third International Mathematics and Science Study)
3 National Council of Teachers of Mathematics
4 Lind quest
5 Shalte
6 Dynamic Geometry
7 Dynamic Goemetry Environment
8 Dynamic Geometry Software
9 Geometer's Sketchpad
10 Cabri Geometry
11 GeoGebra
12 Geometry Skills
13 Blending
14 Brousseau
15 Didactical situations
16 Situation For Institutionalizatian
17 Iconic
18 Enactive
19 Symbolic
20 Max Wertheimer
21 Wolfgang Kohler
22 Michael Wertheimer
23 Proxomity
24 Similarity
25 Closure
26 Fishbein
27 Vygotsky
28 Mihaly, Csikszent
29 Flow
30 Bloom
31 Cognitive
32 Afective
33 Psycomotor
34 Intelligent Question
35 Convergent
36 Divergent
37 Srivastava
38 Moss
39 Swan
40 Liu
41 Cummings
42 Abstract to Concrete
43 Concrete to Abstract
44 Inductive
45 Positive FeedBack
46 Deductive
47 Piaget
48 Bloom
49 Hoffer
50 Dr. Mofeed Abu-Mosa, Using GSP in Discovering a New Theory (2007)
51 Piaget
52 Bloom
53 Verification
54 Explanation
55 Discovery
56 Systematisation
57 Intellectual challenge
58 Communication
59 Discussing
60 Conclusion Regarding to the Context
61 Formal Conclusion
62 Hanna
63 Niss
64 Bilateral dominance
65 Logic
66 Random
67 Sequential
68 Intuitive
69 Rational
70 Holistic
71 Analytical
72 Synthesizing
73 Objective
74 Subjective
75 Ornstein
76 HalPern
77 Fennema
78 Carpenter
79 Maccoby
80 Jacklin
81 Sowder
82 Hodanbosi
83 Kaput & Thampson, 1994
84 Goldenberg
85 Cuoco
86 MIT
87 Exploration
88 Discovery
89 Logo
90 Dynamic Geometry Software
91 Arnold
92 Katherine L. Dix 1999 ,The Application of Computer Technology in the Teaching of Junior High School Geometry
93 Geometer's SketchPad
94 Jackiw
95 Cabri
96 Texas Instruments
97 Klotz
98 Sketchpad
99 Kissane
100 McCoy
101 Kissane
102 McCoy
103 Dynamic Geometry Software
104 Computer algebra system
105 Drive
106 TI intractive
107 Dynamic Mathematics Software
108 Dragging
109 Rigor
110 Logic Sklills
111 Mariotti
112 Jones
113 Hasegawa
114 Prototype Phenomenon
115 extrinsic
116 intrinsic
117 Iconic
118 Experience
119 Finzer
120 Bennett
121 Drawing
122 Underconstraint
123 Overconstraint
124 Appropriate Constraints
125 Wentzel
126 Spanias
127 William Glasser
128 Motivation
129 Survival
130 Dev
131 Middleton
132 Relich
133 Ryan
134 Pintrich
135 MC donald
136 ColIins
137 Brown
138 Duguid
139 Confiey
140 De Kerckhove
141 Schoenfeld
142 Baylor
143 Roblyer
144 Preplanned Curriculum
145 Emergent Curriculum
146 Max Weber
147 Franklin Bobbit
148 Friedrich Tylor
149 Performance – based
150 Open-ended
151 Luriya
152 Leon Tiev
153 Borba, De Souza, Fey and Hudson 1997
154 Gravemijer
155 Freudenthal
156 Moss
157 Affective
158 Dialigic
159 Focusing
160 Reflective
161 Timely
162 Reversionable
163 Accessible
164 Towers
165 Showing and Telling
166 Leading
167 Shepherding
168 Checking
169 Reinforcing
170 Inviting
171 Clue- giving
172 Managing
173 Enculturating
174 Blocking
175 Modelling
176 Praising
177 Rug Pulling
178 Retreating
179 Anticipating
180 Wood
181 Scaffolding
182 Fade
183 Collins, Brown and Newman
184 Blais
185 Schoenfeld
186 Sence Makings
187 MAPLE
188 Moyer
189 Discovering Geometry
190 Purdue Spatial Visualization Test
191 Halat
192 Course Interest Survey
193 Quasi-Experimental
194 Van Hiele Geometry Test
195 NetSchool
196 Internal validity
197 External validity
198 Examiners reliability
199 Internal Consistency
200 Spearman- Brown Formula
201 Multivariate ANalisys of COVAriances
202 ANalisys of COVAriances
203 Box
204 Levene
205 Wilks' Lambda
206 Hotelling's Trace
207 Case Study
208 Concreate
209 Abstract
210 Moss
211 Gillis
212 Static
213 Dynamic
214 Subramanian
215 Moyer
216
217 Hodanbosi
218 Maple
219 Hodanbosi
220 Blended learning
—————

————————————————————

—————

————————————————————

ب

193