گزارش کاراموزی هارمونیک های بانکهای خازنی



عنوان:
هارمونیک بانکهای خازنی

تابستان 1387
فهرست:

منبع:
www.mohandesblogfa.com

مقدمه :
از دیر باز، بکارگیری بانک های خازنی بعنوان یک ضرورت در طراحی فیدرهای توزیع پذیرفته شده است . ملاحظاتی که در طراحی منظور می‎شوند معمولاً فاکتورهای سنتی نظیر حفظ ولتاژ ، ضریب قدرت و آزادسازی ظرفیت می‎باشد . اما از آنجا ییکه در سیستم های مشترکین امروزی از ادوات الکترونیک قدرت استفاده می‎شود بنابراین طراحی شبکه توزیع در آینده شامل ملاحظات مربوط به کیفیت توان نیز خواهد بود .
کلمه "کیفیت توان " معانی مختلفی دارد ، شاید به تعداد توصیفاتی که برای بیان اثرات آن بر عملکرد شبکه بکار می روند .
شرکت برق ممکن است کیفیت توان را به عنوان قابلیت اطمینان توصیف کند وبا استناد به آمار ادعا کند که سیستم به میزان 95% .99 قابل اطمینان می‎باشد . اغلب کارخانجات سازنده ، کیفیت توان را به عنوان مشخصات مورد انتظار منبع تغذیه تعریف می کنند . بنابراین چنین تعریفی از دیدگاه سازندگان مختلف کاملاً متفاوت است که از مشکلات کیفیت توان تاثیر می پذیرد و بهترین تعریف ، تعریفی است که در آن دیدگاه مصرف کننده نیز لحاظ شده باشد . با توجه به این موضوع ، تعریف زیر اغلب بکاربرده می‎شود :
" هر مشکل بوجود آمده بر روی توان که ناشی از ولتاژ ، جریان و تغییرات فرکانس بوده و منجر به خروج یا عملکرد نامطلوب تجهیزات مشترکین گردد ، یک مشکل کیفیت توان محسوب می‎شود " .
وقایع زیادی در سیستم موجب ایجاد مساله کیفیت توان می گردند . اغلب تجزیه و تحلیل این وقایع مشکل می‎باشد بدلیل این حقیقت که اختلال حاصل ممکن است مربوط به عملیات کلید زنی یا خطای تجهیزات شبکه قدرت در محلی که صدها مایل با نقطه تحت بررسی فاصله دارد ، ایجاد شده باشد .
در این فصل اثر بانک های خازنی در ایجاد اغتشاشات کیفیت توان در شبکه توزیع ، بررسی می‎گردند.
کلید زنی مکرر بانک های خازنی در سیستم توزیع همراه با افزایش بکارگیری تجهیزات حساس توسط مصرف کنندگان توان ، توجه ویژه به رخداد وقایع زیر را لازم می دارد :
1. افزایش گذراهای کلید زنی خازنی ؛
2. قطع ناخواسته راه اندازی تنظیم کننده سرعت ؛
این امر بخصوص در شرایطی که شرکت ها جرایم سنگینی برای ضریب قدرت قرار داده و به موجب آن ، مشترکین را به نصب خازنهای تصحیح ضریب قدرت ترغیب می نمایند ، بسیار مهم است .
امروزه ، بارهای غیرسنتی از قبیل راه اندازهای تنظیم کننده سرعت بخاطر ویژگی هایی نظیر بهبود بازه و انعطاف پذیریشان ، به تعداد زیاد بکاربرده می‎شوند . این نوع بار به اضافه ولتاژهای ناشی از کلید زنی خازنی بسیار حساس است .
عمده ترین روشهایی که برای کنترل این گذراها بکار می روند عبارتند از: استفاده از روشهای کنترل کلید زنی ( وصل سنکرون ، وصل با مقاومت /سلف ) و یا بکارگیری اندوکتانسهای سری که اغلب همانند یک Chock رفتار می کنند .
بعلاوه ، این بارها اغلب جریان هارمونیکی زیادی را تولید نموده و می‎توانند سطوح اعوجاج ولتاژ غیر قابل قبولی را در شبکه توزیع صنعتی و سیستم برقرسانی ایجاد نماید . ترکیب خازنها و امپدانس سطح اتصال کوتاه سیستم با هم رزونانس ایجاد کرده و می‎تواند سطوح هارمونیکی را به بالاتر از حد قابل قبول افزایش دهد . معمول ترین راه حل برای مسائل هارمونیکی ، بکارگیری فیلترهای هارمونیکی می باشند .

2-5) کلید زنی خازن توزیع :
الف – مرور کلی:
کلیدزنی خازنی واقعه ای معمول در سیستم های توزیع بوده و گذراهای ناشی از آن ، عموماً برای تجهیزات شبکه مشکل ساز نمی باشند . اما اگر مشترک خازنهای تصحیح ضریب قدرت فشار ضعیف داشته باشد ، این گذراها می‎توانند در تاسیسات وی افزایش یابند ، بعلاوه حتی اگر مشترکین از این خازنها استفاده نکنند ممکن است در اثر این گذراها ، قطع ناخواسته راه اندازهای تنظیم کننده سرعت ، اتفاق افتد . از آنجائیکه ولتاژ خازن نمی تواند بصورت آنی تغییر کند ، انرژی دار کردن یک بانک خازنی ، افت سریع ( به سمت صفر ) در ولتاژ سیستم ایجاد می‎کند که بلافاصله بدنبال آن ، یک ولتاژ بازیابی سریع ( Overshoot ) و نهایتاً گذرای نوسانی بر روی شکل موج اصلی ایجاد می گردد .
پیک دامنه ولتاژ ، به ولتاژ سیستم در لحظه انرژی دار شدن بستگی دارد . در بدترین شرایط ، پیک ولتاژ می‎تواند به دو برابر پیک ولتاژ سیستم برسد . اما معمولاً دامنه به علت وجود بارهای متصل به سیستم و میراسازی در سیستم ( وجود المانهای مقاومتی ) کمتر از این مقدار خواهد بود . در شبکه‎های توزیع معمول ، سطوح اضافه ولتاژ در محدوده 1/1تا 6/1 پریونیت می باشند. معمولاً فرکانسهای گذاری ناشی از کلید زنی خازنی در شبکه توزیع در حدود (hz ) 10000-300 است .
اضافه ولتاژهای گذرا شبکه توزیع را تهدید نمی کنند ، زیرا دامنه های پیک شان پایین تر از سطحی است که تجهیزات حفاظتی ضربه ای از قبیل برقگیر را وادار به عمل نماید . اما این گذراها به دلیل فرکانس نسبتاً پایینی که دارند از ترانسفورماتور کاهنده عبور کرده و بار مشترکین را تحت تاثیر قرار می دهند . اضافه ولتاژهای ثانویه ایجاد شده ، موجب افزایش قابل توجه ولتاژ یا قطع ناخواسته در راه اندازهای تنظیم کننده سرعت می‎شوند .
مشکلات کیفیت توان ناشی از کلیدزنی خازن توزیع شامل خروج و یا خرابی تجهیزات مشترکین ( بخاطر اضافه ولتاژ زیاد ) ، قطع ناخواسته راه اندازهای تنظیم کننده سرعت و یا خاموشی تجهیزات در سایر فرایندها ( ناشی از اضافه ولتاژ ایجاد شده روی باس dc ) ، خروج TVSS و بروز مشکلات در شبکه کامپیوتری می‎باشد .
ب – تقویت اضافه ولتاژهای گذرا :
پدیده تقویت اضافه ولتاژهای گذرا وقتی اتفاق می افتد که نوسانات گذرای حاصل از انرژی دار کردن بانک خازنی توزیع ، یک رزونانس سری را در سیستم فشار ضعیف ایجاد نماید . نتیجه این پدیده ایجاد یک اضافه ولتاژ گذرای بیشتر در باس فشار ضعیف است . مطالعات نشان داده است که بدترین اضافه ولتاژ گذرا تحت شرایط زیر اتفاق می افتد:
1. اندازه بانک خازنی سوئیچ شده بصورت قابل ملاحظه ای ( بیش از ده برابر ) بزرگتر از بانک خازنی تصحیح کننده ضریب قدرت فشار ضعیف باشد ( برای مثال3Mvar در برابر 200Kvar که 15 برابر بزرگتر از آن است ) ؛
2. فرکانس انرژی دار کردن، نزدیک به فرکانس رزونانس سری تشکیل یافته توسط ترانسفورمر کاهنده و بانک خازنی تصحیح ضریب قدرت فشار ضعیف باشد . ( برای مثال Hz 490= و Hz670 = )
3. بار فشار ضعیف ، بخش میرا کننده ( مقاومتی ) بسیار کوچکی داشته باشد
( ساختار سایتهای صنعتی معمول ، بار موتوری ) ؛
شبیه سازی کامپیوتری و اندازه گیری در کارخانه ( سایت ) ، گذراهایی بین 2 الی 4 پریونیت را نشان داده است که احتمالاً بیشتر از حد قابل تحمل توسط خازن های فشار ضعیف می‎باشد . بطور کلی ، اضافه ولتاژهای گذرا ، به ادوات حفاظتی کم انرژی (MOV ها) آسیب رسانده و یا موجب قطع ناخواسته ادوات الکترونیک قدرت می‎شوند . اما در این فصل ، مواردی که منجر به خسارت جدی به تجهیزات مشترکین می گردد ، مورد بررسی قرار خواهد گرفت .

ج – خروج ناخواسته راه اندازهای تنظیم کننده سرعت
خروج ناخواسته به قطعی نامطلوب دستگاه راه انداز تنظیم کننده سرعت ( یا دیگر ادوات الکترونیک قدرت ) در اثر اضافه ولتاژ گذرا در باس dc ، گفته می‎شود . اغلب این اضافه ولتاژ بخاطر انرژی دار کردن بانک خازنی شبکه توزیع اتفاق می افتد . با در نظر گرفتن اینکه ، اکثر بانک های خازنی توزیع با زمان کنترل می شوند ، درک این موضوع که چگونه این اختلال می‎تواند بطور باقاعده و قابل تکراری اتفاق افتاده و موجب قطعی تعداد زیادی از فرآیندها در کارخانه گردد، ساده است .
حادثه قطع ناخواسته یک تریپ اضافه ولتاژ است که در اثر اضافه ولتاژ ایجاد شده روی باس dc مبدل منبع ولتاژ راه انداز بوجود می‎آید . بطور کلی ، برای حفاظت خازن باس dc واجزاء اینورتر ، ولتاژ باس dc پایش می‎شود و اگر مقدار آن از حد معینی بیشتر شود ، راه انداز قطع می گردد . این حد معین در حدود 760 ولت است
( برای کاربرد در ولتاژ 480 ولت ) ، که فقط 117% ولتاژ باس dc در حالت نرمال می‎باشد .
پتانسیل وقوع خروج ناخواسته ، به اندازه بانک خازنی سوئیچ شونده ، نحوه کنترل اضافه ولتاژها روی این بانک خازنی ، اندازه خازن باس dc راه اندازهای تنظیم کننده سرعت و اندوکتانس بین دو خازن بستگی دارد . قابل توجه است که این نوع ناخواسته می‎تواند حتی در مواقعی که مصرف کنندگان خازنهای تصحیح ضریب قدرت نداشته باشند ، نیز اتفاق افتد .
مشکلات کیفیت توان مشترکین ، ناشی از کلید زنی بانک های خازنی را می‎توان با استفاده از روشهای مختلفی کنترل نمود . گام اول ، تشخیص مشکل می‎باشد . سپس ، لازم است که شرکت برق و مشترکین برای یافتن بهترین و مقرون به صرفه ترین راه حل مهندسی با یکدیگر همکاری نمایند . راه حل های مناسب به شرح زیرند :
1. گذرای ناشی از انرژی دار کردن بانک خازن را می‎توان با استفاده از وصل اولیه مقاومت / سلف یا کنترل وصل سنکرون ( تکنولوژی هایی که معمولاً برای سیستم توزیع مورد استفاده قرارمی گیرند ) کنترل کرد .
2. می‎توان برقگیرهای MOVانرژی بالا را در سیستم فشار ضعیف بکار برد .این برقگیرها بایستی اضافه ولتاژ را بطور تقریبی در8/1 پریونیت محدود کنند . میزان جذب انرژی این برقگیرها بایستی دقیقاً مورد بررسی قرار گیرند ( بایستی چندین هزار ژول باشد ) .
3. می‎توان از فیلترهای هارمونیکی برای تصحیح ضریب قدرت استفاده نمود . فیلتر تنظیم شونده ، پاسخ مداررا تغییر داده و معمولاً سطح اضافه ولتاژ دیده شده از باس 480 ولت را کاهش می‎دهد. برای حفاظت بیشتر ، می‎توان در نقطه اتصال خازنها از MOV استفاده نمود .
4. می‎توان جهت کاهش احتمال خروج ناخواسته ، سلف های سری ( chok ) در این راه اندازها نصب نمود. سلف هایی که برای این منظور بکار می روند ، براحتی در بازار یافت می‎شوند و اگر اندازه آنها 3% مقدار نامی راه انداز انتخاب گردد ، معمولاً کافی می‎باشد. همچنین ترانسفورمرهای ایزوله کننده با مقدار نامی مشابه می‎توانند حفاظت لازم را فراهم آورند .
سلف های سری یک راه حل کم هزینه برای مسائل کیفیت توان در راه اندازهای تنظیم کننده سرعت بوده و دارای مزایای زیر می باشند :
1. حذف واقعی خروج ناخواسته راه اندازها ، ناشی از کلیدزنی تصحیح ضریب قدرت شبکه ؛
2. کاهش هارمونیک های خط ؛
3. افزایش عمر اجزاء کلید زنی ( ترانسفورمرها , SCR ها ) ؛
4. افزایش عمر موتور ؛
5. کاهش درجه حرارت کارکرد موتور ؛
6. کاهش نویز قابل شنیدنی موتور ؛
7. مینیمم کردن اغتشاشات های قدرت ؛
8. فیلتر کردن نویزهای الکتریکی ( اعوجاج پالس ها و شکاف ها ) ؛
9. بهبود شکل موج ؛

3-5) عوامل موثر در هارمونیک ها
الف – مرور کلی :
هدف اصلی در بهره برداری سیستم قدرت ، تغذیه هریک از مصرف کنندگان با یک ولتاژ سینوسی با دامنه ثابت است .با وجودی که همه بارهای متصل به شبکه قدرت طوری طراحی شده‎اند که با شکل موج سینوسی منبع ولتاژ کار کنند , اما بسیاری از تجهیزات ,جریان غیر سینوسی از منبع ولتاژ سینوسی می کشند ، به این قبیل بارها ، بار غیرخطی گفته می‎شود. در بارهای غیرخطی یعنی ارتباط بین ولتاژ و جریان در هر لحظه از زمان ثابت نیست . از آنجاییکه در سیستم های قدرت تنظیم ولتاژ صورت می‎گیرد ، جریان کشیده شده توسط بار تاثیری بر ادوات مجاور ندارد ، زیرا این ولتاژ است که در ادوات متصل به یک باس بار مشترک است نه جریان . جریان های غیر سینوسی توسط خود بار از شبکه کشیده می‎شود و بارهای متصل شده موازی از آن تاثیر نمی گیرند .
ب – منابع هارمونیکی :
منابع هارمونیکی به سه دسته تقسیم می‎شوند :
1. ادوات قابل اشباع ؛
2. ادوات جرقه زنی ؛
3. ادوات الکترونیک قدرت ؛
همه این نوع بارها در سیستم مشخصه جریان / ولتاژ غیرخطی دارند . ادوات قابل اشباع و جرقه زنی پسیو بوده و عملکرد غیر خطی آنها ناشی از مشخصه فیزیکی قوس الکتریکی و هسته آهنی می‎باشد. در تجهیزات الکترونیک قدرت ، کلیدزنی قطعه نیمه هادی که در یک سیکل از فرکانس اصلی سیستم قدرت اتفاق می افتد ، مشخصه غیرخطی را ایجاد می‎کند . اکثر قسمت های این ادوات مولفه های جریان هارمونیکی به سیستم قدرت تزریق می کنند . سطح اعوجاج هارمونیکی ولتاژ بوجود آمده تابعی از امپدانس سیستم و مقدار جریان تزریق شده می‎باشد .
ج – روشهای آنالیز هارمونیکی :
به منظور حل موثر مشکلات ناشی از اعوجاج هارمونیکی ، یک روش جبران سازی که شامل نظارت در سایت ، اندازه گیری هارمونیکی و شبیه سازی کامپیوتری است ، مورد نیاز می‎باشد . ذیلاً ، یک رویه کلی برای آنالیز هارمونیکی بیان می گردد :
1. ارزیابی مقدماتی : برای تعیین فرکانسهای رزونانسی سیستم می‎توان از محاسبات ساده استفاده کرد . وجود رزونانسهای امپدانس بالا یا امپدانس پایین در نزدیکی فرکانسهای هارمونیکی مشخصه بارهایی که به عنوان منابع هارمونیکی شناخته می‎شوند ، اولین نشانه بالقوه وقوع مشکل است .
(1-5)
که در آن :
اندوکتانس سطح اتصال کوتاه ( راکتانس اتصال کوتاه )
خازن بانک (راکتانس بانک خازنی )
ظرفیت سطح اتصال کوتاه
مقدار نامی بانک خازنی
مقدار نامی ترانسفورمر کاهنده
امپدانس ترانسفورمر کاهنده
این رابطه ساده ، یک تست اولیه عالی را برای سنجش اینکه آیا احتمال ایجاد مشکل بوسیله هارمونیک ها وجود دارد یا خیر ، ارائه می‎کند . تقریباً ، تمامی مشکلات اعوجاج هارمونیکی وقتی اتفاق می افتد که این رزونانس موازی به هارمونیک های مرتبه 5 ام و 7 ام نزدیک می‎شود . زیرا این دو هارمونیک ، نوعاً بزرگترین مولفه های هارمونیکی جریان در بارهای مصرف کننده غیر خطی ( نظیر راه اندازهای تنظیم کننده سرعت ) می باشند .
2. اندازه گیری هارمونیکی : هدف از اندازه گیری ، مشخص کردن رفتار منابع هارمونیکی و فراهم نمودن داده های مقدماتی درباره شدت مساله اعوجاج است . این داده های اندازه گیری شده ، برای تائید جزئیات مدلهای کامپیوتری و محاسبات دستی ارزش زیادی دارند .
آشکار سازی اولیه مسائل هارمونیکی می‎تواند با استفاده از دستگاههای اندازه گیری جدید که نقطه پیک شکل موجها را نشان می‎دهد یا با استفاده از ابزارهایی که اطلاعاتی در رابطه با نسبت مقدار موثر کل به مقدار موثر مولفه اصلی ارائه می دهند ، انجام می‎شود .
اغلب ، اندازه گیری ها در شبکه های توزیع بدلیل نیاز به مبدل ، بسیار مشکل تر از اندازه گیری در سمت مصرف کننده ( کارگاه صنعتی ) است . احتمالاً کلاس های موجود CT ها و PT های اندازه گیر ، برای بدست آوردن داده های هارمونیکی استفاده می‎شوند .
3. محاسبات و شبیه سازی : از آنجائیکه روشهای نمایش مولفه های مهم در سیستم قدرت توسعه یافته و دقتشان از طریق مقایسه با داده های اندازه گیری شده مورد تائید قرار گرفته است ، به کمک آنها ، محدوده وسیعی از شرایط ایجاد شده قابل تشخیص گردیده است . از جمله می‎توان ساختار سیستم هایی را که ایجاد رزونانس می کنند ، شناسائی نموده و همچنین ساختارهای مختلف می‎توانند از این نظر مورد آزمون قرار گیرند .
شبیه سازی در حوزه فرکانس ( مشخصه امپدانس بر حسب فرکانس ) قادر است مشخص کند که آیا ساختار سیستم می‎تواند باعث ایجاد مسائل هارمونیکی به دلیل شرایط رزونانسی بشود یا خیر ( شکل (3-4) ) و شبیه سازی اعوجاج هارمونیکی برای ارزیابی تاثیر فیلترهای هارمونیکی یا تکنیک های دیگر در کاهش هارمونیک بکار برده می‎شوند .
4. توسعه راه حل : سطوح ولتاژ هارمونیکی تعیین شده از طریق شبیه سازی و اندازه گیری با حدود توصیه شده مقایسه می‎شوند . اگر سطوح اعوجاج ولتاژ هارمونیکی در محدوده قابل قبول نباشد ، مشخصه پاسخ فرکانس دستگاهها یا سیستم می‎تواند با عوض کردن مقدار خازن یا مکان آن و یا با نصب فیلترهای هارمونیکی تغییر داده شود .
د ـ اثر هارمونیک ها بر ضریب قدرت :
روش سنتی تصحیح ضریب قدرت در سیستم قدرت و در تاسیسات مصرف کنندگان,
استفاده از بانک های خازنی موازی بوده است . این مساله از آن حقیقت ناشی می‎شود که اغلب بارهای سیستم در فرکانس اصلی ، جریان پس فاز از شبکه می کشند . خازنها ، در فرکانس اصلی ، جریان پیش فاز می کشند و لذا می‎توانند برای جبران سازی جریانهای کشیده شده توسط بارهای القائی بکار روند .
این مشخصات پیش فازی و پس فازی جریان براین فرض استوار است که بارهای روی سیستم ، مشخصه ولتاژ – جریان خطی دارند و اعوجاج هارمونیکی ولتاژ و جریان اهمیت چندانی ندارد . با این فرضیات ، ضریب قدرت با ضریب قدرت جابجایی(DPF) برابر است . محاسبه ضریب قدرت جابجایی با استفاده از مثلث ضریب قدرت انجام می‎شود و با رابطه زیر بصورت خلاصه بیان می‎گردد :
(2-5)
اعوجاج هارمونیکی در جریان و یا ولتاژ که بوسیله بارهای غیر خطی در سیستم ایجاد می‎شود ، روش محاسبه ضریب قدرت را تغییر می‎دهد .
ضریب قدرت صحیح بصورت نسبت توان حقیقی به ولت آمپر کل در مدار ، تعریف می‎شود .
(3-5)
مقدارTPF ، سنجشی است از اینکه توان حقیقی با چه بهره وری واقعی بکار برده
است . از آنجاییکه خازنها تنها در فرکانس نامی تولید توان راکتیو می کنند ، لذا
نمی توانند در حضور هارمونیک TPF را اصلاح کنند . در واقع ، خازنها با ایجاد شرایط رزونانس اعوجاج هارمونیکی ولتاژ و جریان را تقویت کرده و TPF بدتری را بوجود می آورند . به دلیل اینکه جرایم مربوط به ضریب قدرت سالیانه تقریباً بطور کلی برDPF پایه است ،DPF هنوز برای بسیاری از مشترکین صنعتی اهمیت زیادی دارد .
هـ – روشهای حل مسائل هارمونیکی :
اغلب مشکلات مربوط به هارمونیک ها ، ابتدا در بانک های خازنی خودشان را نشان می دهند . مهمترین دلیل این موضوع آن است که خازنها مدارهای تشدید تشکیل
میدهند که سطوح جریان هارمونیکی را تقویت کرده و موجب افزایش سطوح اعوجاج ولتاژ می‎شوند .
در این مدار تشدید ، بیشترین سطح اعوجاج ولتاژ در بانک خازنی ایجاد می‎شود . در نتیجه چنین پدیده ای ، جریانهای خازنی بالایی در فرکانسهای هارمونیکی ایجاد می گردد و اضافه دمای ناشی از مقدار موثر زیاد جریان یکی از موردهای معمول خطای ایجاد شده در چنین شرایطی است .
همچنین سوختن فیوز محافظ بانک خازنی می‎تواند به موجب جریان هارمونیکی بالا اتفاق بیافتد . اساساً جریان موثر عبوری از خازن می‎تواند بخاطر وجود هارمونیک ها به میزان زیادی افزایش یابد، به دلیل امپدانس پایین بانک خازنی ، حتی وقتی که اعوجاج ولتاژ کمی در فرکانس های هارمونیکی وجود دارد ، این مسئله اتفاق می افتد .
در صورتیکه اعوجاج هارمونیکی قابل ملاحظه باشد ، خطای شکست عایقی نیز می‎تواند به موجب بالا بودن پیک ولتاژ اتفاق بیافتد ، زیرا مقدار پیک ولتاژ می‎تواند برابر با جمع جبری همه ولتاژهای هارمونیکی باشد .
در وقایعی که حدود اغتشاش ایجاد شده در حدود قابل قبول نباشد ، مشخصه پاسخ فرکانسی سیستم می‎تواند با تغییر اندازه خازن و یا محل نصب آن ، تغییر مشخصه منبع ، یا با طراحی فیلترهای هارمونیکی تغییر داده شود .
فیلترها معمول ترین راه حل چنین مشکلی هستند ، زیرا یک فیلتر می‎تواند جابجایی توان راکتیو در فرکانس اصلی و یک مسیر امپدانسی کم برای عبور مولفه های جریان هارمونیکی بوجود آورد .
اجزا فیلتر بایستی بطور ویژه برای تحمل مولفه های هارمونیکی همراه با جریانها و ولتاژهای فرکانس اصلی طراحی شوند .
روش معمول برای طراحی فیلتر به قرار زیر است :
1. در گام اول ، بکارگیری یک فیلتر موازی تک تنظیمه طراحی شده برای کمترین هارمونیک تولید شده ( معمولاً مرتبه 5 ام ) . عموماً ، استفاده از خازنها با ولتاژ سیستم توصیه می‎شود .
2. تعیین سطح اعوجاج ولتاژ در باس ، حد 5% ( THD )که در استاندارد IEEE std 19-1992 توصیه گردیده معمولاً به عنوان حد قابل قبول هارمونیک های ولتاژ استفاده می‎شود .
3. در صورت نیاز ، تعیین شود که آیا سطوح جریان هارمونیکی با مقادیر داده شده در استاندارد مطابقت دارد یا خیر ؟ اگر مطابقت نداشته باشد ممکن است به فیلترهای چند طبقه نیاز باشد .
4. تغییر اجزاء فیلتر مطابق با تلرانس های مشخص شده و تست کردن بازده آن ؛
5. آزمایش مشخصه پاسخ فرکانس فیلتر که اثبات شود رزونانس موازی جدیداً ایجاد شده ( پس از نصب فیلتر ) ، در نزدیکی هیچیک از فرکانسهای هارمونیکی نمی باشد ( برای مثال فیلتر هارمونیک 7 ام ممکن است یک رزونانس هارمونیک 5 ام جدید ایجاد کند ) .
IEEE std. 519-1992 استانداری است که به لزوم محدود سازی جریان هارمونیکی تزریقی مصرف کننده به شبکه قدرت، اشاره می‎کند . همچنین ، این استاندارد با تعیین ماکزیمم سطوح اعوجاج هارمونیکی ولتاژ ، مصرف کننده را در برابر این قبیل اعوجاجها محافظت می نماید . این استاندارد بایستی به عنوان راهنما در طراحی سیستم قدرت با بارهای غیر خطی مورد استفاده قرار گیرد .
4-5) نتیجه گیری :
1. مشکلات ناشی از کیفیت توان مشترکین را می‎توان با استفاده از روشهای مختلفی کنترل کرد. گام اول ، شناخت مشکل است ، سپس ، مشترکین و شرکت برق مهندسی برای مشکل مذکور با یکدیگر همکاری کنند .
2. تجهیزات و دستگاههایی که امروزه در سیستم قدرت بکار برده می‎شوند نسبت به تجهیزاتی که قبلاً استفاده می شدند ، به تغییرات کیفیت توان حساسترند .
3. تاکید بیشتر بر بازده سیستم قدرت ، موجب رشد مداوم استفاده از بانک های خازنی موازی گردیده است . این روند در تاسیسات مصرف کنندگان نیز به همان شدت مشاهده می‎شود .
4. تقویت گذراهای کلیدزنی خازنی بدلیل اینکه تولید اضافه ولتاژهای گذرای خیلی شدیدی نموده و سطوح انرژی مربوطه به این گذراها می‎تواند باعث صدمه دیدن و خرابی تجهیزات شود ، احتمالاً مهمترین پدیده است که استفاده از خازنهای موازی در شبکه موجب آنست .
5. امکان خروج ناخواسته راه اندازهای تنظیم کننده سرعت ، به موجب کلیدزنی خازنی شبکه ، می‎تواند در صورت بکارگیری یک چوک در ورودی به میزان قابل توجهی کاهش یابد . معمولاً استفاده از چوک با اندازه ای برابر 3% مقدار نامی راه انداز کافی بنظر می رسد .
6. سطوح اعوجاج هارمونیکی می‎تواند با بکار گیری فیلترهای هارمونیکی کاهش یابد . استانداردهای هارموینکی از قبیل IEEE std. 519-1992 بایستی بعنوان Benchmark برای ارزیابی عملکرد فیلتر مورد استفاده قرار گیرند .
اثر هارمونیک ها بر خازن ها
نقش خازنها به عنوان المان های الکتریکی و الکترونیکی کارآمد در صنایع مربوط به تولید و انتقال و توضیع امروزی غیر قابل انکار است بگونه ای که دیگر هرگز نمی توان چنین صنایعی را بدون وجود خازنهای نیرو متصور شد.از این رو شناخت کامل خازنها و عوامل تاثیر گذار برآنها و حفظ و نگهداری و نظارت دقیق بر آنها ، برای افزایش طول عمر خازن ها و کار کرد بهینه آنها امری است الزامی و اجتناب ناپذیر.
کاربرد هارمونیک
درسالهای اولیه هارمونیکها در صنایع چندان رایج نبودند.به خاطر مصرف کننده های خطی متعادل. مانند : موتورهای القایی سه فاز،گرم کنندها وروشن کننده های ملتهب شونده تا درجه سفیدی و ….. این بارهای خطی جریان سینوسی ای در فرکانسی برابر با فرکانس ولتاژ می کشند. بنابراین با این تجهیزات اداره کل سیستم نسبتا با سلامتی بیشتری همراه بود. ولی پیشرفت سریع در الکترونیک صنعتی در کاربری صنعتی سبب بوجود آمدن بارهای غیر خطی صنعتی شد. در ساده ترین حالت ، بارهای غیرخطی شکل موج بار غیر سینوسی از شکل موج ولتاژ سینوسی رسم می کنند (شکل موج جریان غیر سینوسی).
پدیدآورنده های اصلی بارهای غیر خطی درایوهای AC / DC ، نرم راه اندازها ، یکسوسازهای 6 / 12 فاز و … می باشند. بارهای غیرخطی شکل موج جریان را تخریب می کنند. در عوض این شکل موج جریان شکل موج ولتاژ را تخریب می نماید. بنابراین سامانه به سمت تخریب شکل موج در هر دوی ولتاژ و جریان می شود. در این مقاله سعی شده است تا بزبانی هرچه ساده تر توضیحی در مورد نحوه عملکرد هارمونیک ها و راه کاری برای دوری از تاثیر گذاری آنها بر خازنها ی نیرو ارائه شود.
اساس هارمونیک ها :
اصولا هارمونیک ها آلوده سازی شکل موج را در اشکال سینوسی آنها نشان می دهند. ولی فقط در مضارب فرکانس اصلی . تخریب شکل موج را می توان در فرکانس های مختلف (مضارب فرکانس اصلی) بعنوان یک نوسان دوره ای بوسیله آنالیز فوریه تجزیه و تحلیل کرد. در حال حاضر هارمونیکهای فرد و زوج و مرتبه 3 در اندازه های مختلف ضرایب فرکانس های مختلف در سامانه های الکتریکی موجودند که مستقیما تجهیزات سامانه الکتریکی را متاثر می سازند. در معنایی وسیعتر هارمونیکهای زوج و مرتبه 3 هریک تلاش می کنند که دیگری را خنثی نمایند. ولی در مدت زمانی که بار نا متعادل است این هارمونیک های زوج و مرتبه 3 منجر به اضافه بار در نول و اتلاف انرژی شدید می شوند. با تمام احوال هارمونیک های فرد اول مانند هارمونیک پنجم ، هفتم ، یازدهم ، سیزدهم و …. عملکرد این تجهیزات الکتریکی را تحت تاثیر قرار می دهند. برای فهم بهتر تاثیر هارمونیک ها ، شکل زیر تاثیر تخریب هارمونیک پنجم بر شکل موج سینوسی را نشان می دهد :

هارمونیک های ولتاژ و جریان تاثیرات متفاوتی بر تجهیزات الکتریکی دارند. ولی عموما بیشتر تجهیزات الکتریکی به هارمونیکهای ولتاژ بسیار حساس اند. تجهیزات اصلی نیرو مانند موتورها، خازن ها و غیره بوسیله هارمونیکهای ولتاژ متاثر می شوند. به طور عمده هارمونیکهای جریان موجب تداخل مغناطیسی (Magnetic Interfrence) و همچنین موجب افزایش اتلاف در شبکه های توزیع می شوند. هارمونیکهای جریان وابسته به بار اند ، در حالی که سطح هارمونیکهای ولتاژ به پایداری سامانه تغذیه و هارمونیکهای بار (هارمونیکهای جریان) بستگی دارد. عموما هارمونیک های ولتاژ از هارمونیک های جریان کمتر خواهند بود.
تشدید:
اساسا تشدید سلفی – خازنی در همه انواع بارها مشاهده می شود. ولی اگر هارمونیک ها در شبکه توضیع شایع نباشند تاثیر تشدید فرونشانده می شود.
در هر ترکیب سلفی – خازنی چه در حالت سری و چه در حالت موازی ، در فرکانسی خاص تشدید رخ می دهد که این فرکانس خاص فرکانس تشدید نامیده می شود. فرکانس تشدید فرکانسی است که در آن رآکتنس خازنی (Xc) و رآکتنس القایی (XL) برابر هستند.
برای ترکیبی مثالی برای بار صنعتی که شامل اندوکتانس بار و یا رآکتنس ترانسفورماتور که بعنوان XL عمل می کند و رآکتنس خازن تصحیح ضریب توان که بصورت Xc خودنمایی می کند فرکانس تشدیدی برابر با LC خواهیم داشت . رآکتنس خازنی متناسب با فرکانس کاهش می یابد (توجه : Xc با فرکانس نسبت عکس دارد). در حای که رآکتنس القایی متناسب با آن افزایش می یابد (توجه
: XL با فرکانس نسبت مستقیم دارد).این فرکانس تشدید به سبب متغیر بودن الگوی بار متغیر خواهد بود. این مساله برای ظرفیت خازنی ثابت کل برای اصلاح ضریب توان پیچیده تر است. برای درک صحیح این پدیده لازم است دو نوع وضعیت تشدید شامل حالت تشدید سری و حالت تشدید موازی مورد توجه قرار گیرند. این دو امکان در زیر توضیح داده می شوند.
تشدید سری:
یک ترکیب سری رآکتنس سلفی – خازنی ، مدار تشدید سری شکل می دهد که در شکل زیر نشان داده شده است.

به خاطر ترکیب سری سلف و خازن ، در فرکانس تشدید امپدانس کل به پایین ترین سطح کاهش می یابد و این امپدانس در فرکانس تشدید طبیعتی مقاومتی دارد. بنا براین در فرکانس تشدید رآکتنس خازنی و رآکتنس سلفی (القایی) برابر هستند.این امپدانس پایین برای توان ورودی در فرکانس تشدید ، افزایش توانی جریان را نتیجه می دهد.شکل داده شده زیر رفتار امپدانس خالص در وضعیت تشدید سری را نشان می دهد.

در کاربری صنعتی رآکتنس ترانسفورماتور قدرت به علاوه خازنهای اصلاح ضریب توان در سمت ولتاژ پایین به عنوان یک مدار تشدید موازی برای سمت ولتاژ بالای ترانسفورماتور عمل می کند. اگر این فرکانس تشدید ترکیب سلف و خازن بر فرکانس هارمونیک شایع در صنعت منطبق شود ، بخاطر بستری با امپدانس پایین ارائه شده توسط خازن ها برای هارمونیک ها ، منجر به افزایش توانی جریان خازن ها خواهد شد. از این رو خازن های ولتاژ پایین در سطحی بسیار بالا اضافه بار پیدا خواهند کرد که همچنین این عمل موجب تحمیل بار اضافی بر ترانسفورماتور می شود. این پدیده منجر به تخریب ولتاژ در شبکه ولتاژ پایین می شود.
تشدید موازی:
یک تشدید موازی ترکیبی از رآکتنس خازنی و القایی است که در شکل زیر نمایش داده شده است.

در اینجا رفتار امپدانس برعکس حالت تشدید موازی خواهد بود که در شکل داده شده در زیر ، نشان داده شده است.در فرکانس تشدید امپدانس منتجه مدار به مقداری بالا افزایش می یابد. این ، منجر به بوجود آمدن مدار تشدید موازی میان خازن های اصلاح ضریب توان و اندوکتانس بار می شود که نتیجه آن عبور ولتاژ بسیار بالا هم اندازه امپدانس ها و جریان های گردابی بسیار بالا درون حلقه خواهد بود.

در کاربری صنعتی خازن اصلاح ضریب توان مدار تشدید موازی با اندوکتانس بار تشکیل می دهد.هارمونیک های تولید شده از سمت بار رآکتنس شبکه را افزایش می دهند. که موجب بلوکه شدن هارمونیک های سمت تغذیه می شود.این منجر به تشدید موازی اندوکتانس بار و اندوکتانس خازنی می شود. مدار LC (سلفی – خازنی) مواز ی ، شروع به تشدید میان آنها می کند که منجر به ولتاژ بسیار بالا و جریان گردابی بسیار بالا در درون حلقه مدار سلف – خازن (LC) می شود. نتیجه این امر آسیب به تمام سمت ولتاژ پایین سامانه الکتریکی است.
ایزوله کردن تشدید موازی از ایزولاسیون تشدید سری نسبتا پیچیده تر است.اساسا این امر بخاطر تنوع بار صنعتی از زمانی به زمان دیگر است که موجب تغییر فرکانس تشدید می شود. شکل زیر تاثیر ظرفیت خازنی ثابت و اندوکتانس متغیر را نشان می دهد.

این تغییر مداوم فرکانس تشدید ممکن است موجب تطبیق فرکانس تشدید بر فرکانس هارمونیک شود که ممکن است منتج به ولتاژ بالا و جریان بالا که سبب نقص و خرابی تجهیزات الکتریکی می شوند ، گردد.بنا بر این در هر دو تشدید موازی و سری خازنهای قدرت متاثر هستند که بکار گیری دستگاه های حفاظتی و ایمنی را برای خازنها ایجاب می نماید. این امر درک صحیح بر خازنهای قدرت را قبل از از اعمال تصحیح بخاطر تاثیر هارمونیک ها و تشدید ایجاب می نماید.
خازنهای قدرت:
خازنهای اصلاح ضریب توان نسبت به هارمونیک ها حساس اند و بیشتر عیوب خازنهای قدرت ، عیوبی با طبیعت زیر را نشان می دهند :
هارمونیک ها – هارمونیک های پنجم ، هفتم ، یازدهم ، سیزدهم و …
تشدید
اضافه ولتاژ
امواج کلید زنی
جریان هجومی
ولتاژ آنی بازگیری جرقه
تخلیه / بازبست ولتاژ

بسته به طراحی ساختاری اساسی ، حدود پایداری در مقابل اضافه ولتاژ ، اضافه جریان و هارمونیکها برای دور کردن خازن از خرابی بسیار مهم است.
اساسا خازن ها امواج کلید زنی تولید می کنند که عموما به عنوان جریان هجومی و اضافه ولتاژ آنی دسته بندی می شوند.
جریان هجومی پدیده ای است که هنگام به مدار وصل کردن خازن ها رخ می دهد. امپدانس ارائه شده توسط خازن طبیعتا بسیار کم و مقاومتی است. این امر منجر به جریان هجومی به بزرگی 50 تا 100 برابر جریان اسمی می شود که از خازن عبور می کند ، اما چرا از خازن؟ زیرا امپدانس ترانسفورماتور در زمان روشن کردن خازن ها فقط در مقابل شار جریان مقاومت می کند.
این امر هنگامی پیچیده تر می گردد که در ترکیب موازی بانک خازنی ممکن است جریان هجومی کلید زنی به سطحی بالاتر از 200 تا 300 برابر جریان اسمی برسد. این جریان هجومی نتیجه تخلیه خازن های از پیش شارژ شده موازی با آن می باشد. در زیر این مطلب نشان داده شده است.نوعا جریان هجومی علاوه بر تخریب در شکل موج جریان سبب تخریب در شکل موج ولتاژ می شود.

در هنگام خاموش کردن (از مدار خارج کردن) خازن ها ، بسته به شارژ ذخیره شده در آن ، اضافه ولتاژ ناگهانی بالاتری در زمان خاموش کردن خازن ها بوجود خواهد آمد که ممکن است موجب پدید آمدن جرقه در پایه ها شود.
هنگامی که خازن خاموش می شود شار الکتریکی در خود نگه می دارد و بوسیله مقاومتهای تخلیه ، تخلیه (Discharge) می شود. مدت زمان تخلیه عموما بین 30 تا 60 ثانیه می باشد. تا زمانی که تخلیه بشکل موثری صورت نگرفته نمی توان خازنها را به مدار باز گرداند. هرگونه بازبست خازن قبل از تخلیه کامل دوباره موجب افزایش جریان هجومی می شود.
علاوه بر دستگاه های مسدود کننده هارمونیک ها که با صحت خازن ها نسبت مستقیم دارند ، و در سر خط بعدی تشریح می شوند ، دستگاه های تحلیل برنده امواج کلید زنی مثل جریان هجومی ، اضافه ولتاژ آنی و غیره نیاز دارند که بطور دقیق تعریف و بررسی شوند.
دستگاه های مسدود کننده هارمونیک ها:
برای کاربری سالم خازن ها لازم است که فرکانس تشدید مدار LC (سلف – خازن) که شامل ادوکتانس بار و خازنهای اصلاح ضریب توان می شود ، به فرکانسی دور از کمترین فرکانس هارمونیک تغییر داده شود. برای مثال هارمونیک هایی که در سامانه تولید می شوند و خازن های قدرت را متاثر می سازند ، هارمونیک های پنجم ، هفتم ، یازدهم ، سیزدهم و غیره هستند. پایین ترین هارمونیکی که بر خازن ها تاثیر می گذارد هارمونیک پنجم است که در فرکانس 250 هرتز دیده می شود. اساسا اگر خازن ها با سلف ها موازی شده باشند ، انتخاب مقدار اندوکتانس به شکل زیر است :
ترکیب سری LC (سلف – خازن) در فرکانسی زیر 250هرتز تشدید می کند . بنابراین در همه فرکانس های هارمونیک ها ترکیب سری سلف و خازن مانند یک ترکیب سلفی عمل خواهد کرد و امکان تشدید برای هارمونیک پنجم یا هر هارمونیک بالاتری از بین می رود. شکل زیر نامیزان سازی (De – Tuning) خازن ها را نشان می دهد.

این ترکیب سلف و خازن که در آن فرکانس تشدید در فرکانسی دور از فرکانس هارمونیک تنظیم شده است ، مدار LC (سلف – خازن) نامیزان شده
(De-Tuned) نام دارد. ضریب نا میزان سازی نسبت رآکتنس به طرفیت خازنی است. در مدار خازنی نامیزان شده ، اساسا سلف مانند دستگاه مسدود کننده هارمونیک ها عمل می کند. برای خازن ها ضریب مناسب نامیزان سازی حدود % 7 است که فرکانس تشدید را در 189 هرتز تنظیم می کند.
اما ، نامیزان سازی % 5.67 همچنین در جایی استفاده می شود که فرکانس تشدیدی معادل 210 هرتز دارد . هر دو درجه نامیزان سازی ، مسدود کردن (بلوکه کردن) هارمونیک ها از خازن ها را تضمین می کنند. شکل زیر درجه نامیزان سازی را نمایش می دهد.

بانک های نامیزان سازی خازن:
بانک های نامیزان سازی خازن نیازمند آن هستندکه با نکات اساسی زیر مشخص شوند :
انتخاب درجه نامیزان سازی
محاسبه خازن کل خروجی مورد نیاز
محاسبه افزایش ولتاژ بوسیله سلف های سری
درجه نامیزان سازی مطلوب بر پایه هارمونیک موجود است. لازم است که هارمونیک های سمت بار اندازه گیری شوند تا در درجه نامیزان تصمیم گیری شود.
*
خروجی خازن و سطح ولتاژ نیاز به انتخاب صحیح بر اساس درجه نامیزان سازی دارند. برای مثال برای %7 نامیزان سازی برای رسیدن به 200 کیلو ولت آمپر رآکتیو خروجی (KVAR) در 400 ولت ، نیاز به آن داریم که خازن 240 KVAR خروجی با ولتاژ 400 ولت انتخاب نماییم. این بدلیل افزایش ولتاژ بوسیله اندوکتانس سری است. مشابها برای رسیدن به 200 KVAR خروجی در ولتاژ 440 ولت به خازن های 240 KVAR خروجی 480 ولتی نیاز است.
محاسبه افزایش ولتاژ به سبب رآکتنس سری ، بر اساس نامیزان سازی است و به روش زیر انجام می گیرد :
( درجه نامیزان سازی – 1) / (ولتاژ نرمال مجاز) = ولتاژ خازن

سامانه خازنی ایده آل:
برای تصحیح ضریب توان در بار صنعتی کنونی که شامل هارمونیک ها و تشدید می شود ، یک سامانه اتصال خازنی اساسا باید خصوصیات زیر را دارا باشد :
ظرفیت خازنی متغیر بر اساس توان رآکتیو برای دوری از تغییر فرکانس تشدید. این امر انتخاب صحیح پنل های APFC را ممکن می سازد. پنل APFC باید خصوصیات زیر را داشته باشد.
حسگرها باید به طور مداوم سطح هارمونیک های ولتاژ را نمایش دهد و خازن ها را تحت زیر سطوح بالاتر هارمونیک ها محافظت نماید.
انتخاب محدوده هارمونیک های پنجم ، هفتم ، یازدهم ، سیزدهم و همچنین شناخت تخریب همه هارمونیک ها برای تنظیم حدود ایمن و همچنین پیش بینی تغییرات بعدی هارمونیک ها.
مونیتورینگ جریان RMS برای محافظت خازن ها تحت هر حالت تشدید.
کنترل مشخصات ، برای دوری از بکارگیری ظرفیت مازاد خازنی تحت حالت کم بار.
انتخاب خازن با عمر بالا و با تضمین مشخصات زیر :
ظرفیت اضافه بار : حداقل دو برابر جریان اسمی به طور مداوم و 350 برابر آن هنگام جریان هجومی.
قابلیت پایداری در مقابل اضافه ولتاژ :بیشتر از %10 و بالاتر از ولتاژ مجاز بصورت پیوسته.
قابلیت پایداری در مقابل هارمونیک ها : تضمین محدوده های هارمونیک های پنجم ، هفتم ، یازدهم ، سیزدهم و همچنین برای محدوده های THD.
مدار سلفی De – Tuned برای مسدود کردن هارمونیک ها (الگوی هارمونیک بار باید قبل از تعیین درجه نامیزان سازی (De – Tuning) اندازه گیری شود).
انتخاب سطح خازن و سطح ولتاژ براساس درجه نامیزان سازی.
دستگاه های کلیدزنی با تقلیل دهنده های داخلی برای تقلیل امواج کلید زنی برای خازن های قدرت.
اساسا این خصوصیات با مطالعه متناسب هارمونیک های ولتاژ بار همراه است که تضمین می کند که تاثیر مخرب هارمونیک ها و تشدید از خازن ها دور شود که بدین وسیله عمر خازن ها و کارایی کل سامانه الکتریکی را افزایش می دهد.
نتیجه گیری
علم به شرایط و خصوصیات خازن ها و عوامل موثر بر آنها از جمله هارمونیک ها نه تنها موجب افزایش امنیت و سلامتی و طول عمر آنها خواهد شد بلکه سبب کاهش هزینه های پیش بینی شده و نشده در بکار گیری انرژی الکتریکی می شود.
سری هارمونیک

سری نامتناهی را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.
* اثبات واگرایی سری هارمونیک:
برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:

مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.
* این اثبات به نیکُل اورسم(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب پیترو منگُلی(Pietro Mengoli) در سال 1647، یوهان برنولی(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها یاکوب برنولی(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از آزمونهای همگرایی سریها از جمله آزمون انتگرال هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.
همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.

* لازم به توضیح است سری تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن تابع زتای ریمان(Riemann zeta Function) می گویند.
سری هارمونیک متناوب

سری را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از سری تیلر لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با . همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص از تابع اتای دیریکله(dirichlet eta function ) دانست.
* برهان: می دانیم با استفاده از بسط تیلر لگاریتم طبیعی داریم:

حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:

پس تساوی فوق برقرار است.
در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:

عدد هارمونیک

عدد هارمونیک عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:

* سرعت رشد عدد هارمونیک با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار در هر مرحله تقریبی از است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.
برهان: با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم:

حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:

از طرفی با استفاده از تعریف مجموع ریمان و انتگرال معین داریم:

پس خواهیم داشت:

که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم:

پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک به نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است. در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:

سری هارمونیک عمومی

سری را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند. برهان: برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از آزمون مقایسه حد استفاده می کنیم. به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:

پس سری از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.
بررسی سری هارمونیک
اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است. واگرایی سری فوق نخستین بار توسط اویلر(Euler) به اثبات رسید.
* اثبات واگرایی سری فوق:
در رابطه با اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است)
او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت:

همچنین او میان تابع زتای ریمان و اعداد اول p رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام فرمول ضرب اویلر شناخته می شود:

که مقصود از ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر:

پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:

او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است. اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت.
او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر استفاده نمود:

برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:

پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است.
به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری برابر با (ln(n است.
مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک

با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:

به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود است! حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟
شاید باورتان نشود که اگر جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک سایت برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار داریم:

محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟
جالب است بدانید برای تحقق این امر باید یا بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله این سری را با هم جمع کرد!!!
مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است:

برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:

بنابراین:

مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد.
به عنوان مثال سری را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری برابر با است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری یک p-سری است با توان p>1 پس همگرا است!
مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:

حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟
جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است. همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است:

دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد.

4