مدار الکتریکی
مدار الکتریکی : یک حلقه از عناصر الکتریکی را مدار الکتریکی گویند.
حلقه : حلقه یا باز است یا بسته ، ولی منظور از حلقه به هم پیوستن عناصر الکتریکی است (متصل شدن )
عناصر الکتریکی : اجزاءمدار الکتریکی را عناصر الکتریکی یا شاخه گویند و شامل عناصر زیر است ؛
– مقاومت
منابع ولتاژ جریان
– خازن
– – سلف
– هر عنصر الکتریکی شاخه دارای دو سر است عنصر های بیشتر از دوسر الکتریکی نیستند بلکه الکترونیکی هستند گره : هر شاخه دو گره دارد ( هر سر را یک گره گویند حل مدار الکتریکی : بدست آوردن ولتاژها و جریان های هر شاخه از مدار
روش حل مدار : فقط با استفاده از دو قانون KCL و KVL انجام می شود که به قوانین کیرشهف مشهورند .
KCL قانون جریان کیرشهف
KVL قانون ولتاژ کیرشهف
قانون KCL:
در هر گره از مدار مجموع جریان های وارد شده برابر است با مجموع جریان های خارج شده از گره ،
i1= i2 = i3 = i4
همانطور که ملاحظه می کنید ، شکل مقابل دارای 5 گره و 4 شاخه است .
توجه :
در مدار الکتریکی برای برقراری جریان نیاز هست که حلقه بسته باشد و اختلاف پتانسیل وجود داشته باشد. برای درک بهتر موضوع به مثال زیر توجه فرمایید : اگر حرکت آب در داخل شیلنگ را نیز نوعی جریان بدانیم تفاوت آن با جریان الکتریکی در این است که در آنجا نیازی به بسته بودن حلقه نیست ، حرکت جریان آب فقط به اختلاف پتانسیل نیاز دارد .
در شکل شماره 2 به علت بسته بودن حلقه جریان وجود خواهد داشت . همانطور که ملاحظه می فرمایید در شکل مقابل 8 شاخه و 5 گره وجود دارد ، جهت جریان را نیز می توانیم به دلخواه خود انتخاب کنیم .
به گره شماره 1 توجه کنید ، 3 شا خه دارد پس 3 جریان نیز خواهد داشت ، در گره شماره 2 یکی از جریان ها از قبل مشخص بوده و دو تای دیگر را خود انتخاب می کنیم و الی آخر .
و اما روش محاسبه به این صورت است :
KCL(1) : i5 + i1 = i6
KCL(2) : i6 + i2 + i7 =0
KCL(3) : i3 + i8 = i7
KCL(4) : i4 = i8 + i5
KCL(5) : i1 + i2 + i3 + i4 = 0
این سوال ممکن است مطرح شود که در گره 5 ( شکل 2) همه جریان ها خارج می شود و این چطور ممکن است ؟
برای ما درستی تساوی مهم است ، بنابراین چنانچه یکی از اعداد پارامتر را منفی در نظر بگیریم تساوی درست می شود .
یک مثال برای درک بهتر مفهوم جهت جریان :
داخل یک سیم را تصور کنید ، درآنجا تعداد زیادی الکترون در جهات مختلف در حال حرکت هستند ، وقتی یک مولد جریان الکتریکی را به سیم وصل می کنیم الکترونها را که تا چندی پیش مسیر حرکت مشخصی نداشتند را وادار می کند تا در مسیری مشخص حرکت کنند ، تقریبا مانند بازی دومینو که با ضربه زدن به اولین مهره ایستاده ، جریان حرکت در تمامی مهر ها انتشار پیدا می کند .
شکل شماره 3 را در نظر بگیرید ، به شاخه 1 و شاخه 2 نگاه کنید ، هر جریانی که از شاخه 1 عبور می کند بدون اینکه منشعب شود از شاخه 2 نیز عبور می کند و این دقیقا بیان مفهوم شاخه های سری است که در آن جریانهای موجود با هم برابر هستند .
KCL(1) : i1 = i2
KCL(2) : i2 + i3 = i4
KCL(3) : i4 + i6 = i5
KCL(4) : i5 = 0
KCL(5) : i6 = i7
KCL(6) : i1 + i3 + i7 = 0
نتیجه :
در KCL جریان شاخه های سری با هم موازی است .
// // // // // مدار باز صفر است .
KVl:
در هر حلقه از مدار الکتریکی مجموع ولتاژهای شاخه ها برابر صفر است .
در شکل 1 / 2 همانطور که ملاحظه می فرمایید ، 6 شاخه و 6 گره مشهود است در ضمن با کمی دقت متوجه وجود 3 حلقه نیز می شویم ، 2 حلقه باز و 1 حلقه بسته . به شکل 2 / 2 توجه فرمایید ،
درحلقه شماره III مجموع ولتاژشاخه ها برابر صفر است
KVL(III) : V1 + V2 + V5 + V6 = 0
برای نوشتن KVL ابتدا باید برای هر شاخه جهت ولتاژ را مشخص کنیم ، جهت حلقه هم اختیاری است ، به شکل 3 / 2توجه کنید ،
همانطور که ملاحظه می کنید برای پیدا کردن علامت ولتاژ هر شاخه کافیست به جهت فلش از یک نقطه ای درمدار حرکت کنیم ، به ابتدای هر شاخه که رسیدیم علامت آن را نگاه کنیم و همان علامت را در فرمول KVL لحاظ کنیم .
و حالا در حلقه راست خواهیم داشت ( شکل 4 / 2 ) ،
KVL(II) : + V3 – V5 + V4 = 0
و اما این فرمول درست نمی باشد ،
آیا علت آن را می دانید ؟
لطفا به توضیح و شکل شماره 5 / 2 توجه کنید ،
درحلقه شماره II باید به این نکته توجه کنیم که حتما تکلیف جهت دو سری را که در آنجا مدار باز است مشخص شود ، شاید سوال شود که قبلا گفته شده در مدار باز جریان نداریم ، درست است جریان نداریم ولی یادمان باشد که در مدار باز ولتاژ را حتما داریم ، بنابراین خواهیم داشت ( شکل 5 / 2 ) ،
KVL(II) : + V3 – V5 + V4 + VAB = 0
و حالا در حلقه شماره I شاخه V5 را در نظر نمی گیریم ( شکل 6 / 2 ) ،
پس خواهیم داشت ،
KVL(I) : – V6 + V4 + VAB + V3 – V2 + V1 = 0
مفهوم شاخه های موازی :
به شکل 7 / 2 توجه کنید ،شاخه 3 و شاخه 5 با هم موازی هستند چون دو سرشان به هم وصل است ،
نتیجه :ولتاژشاخه های موازی با هم مساوی است .
در نتیجه خواهیم داشت ،
KVL(II) : V5 – V3 = 0 V5 = V3
عنصر اول مقاومت
اولین عنصر الکتریکی مقاومت است ، تا اینجا نیز آموختیم که هر شاخه داراییک ولتاژ که با VR نشان داده می شود ودارای یک جریان است که با IR نشان می دهند . واحد مقاومت اهم است ، بنابراین مقاومت عنصری است که بین ولتاژ دو سرش و جریانش قانون اهم برقرار باشد .
قانون اهم :
(چهت های متناظر)
علامت گذاری فرمول قانون اهم :
اگر جریان از سر مثبت وارد مقاومت شود اگر جریان از سر منفی وارد مقاومت شودمی گوییم جهت متناظر است بنابراین سمت راست می گوییم جهت نامتناظر است بنابراین سمت راست تساوی قانون اهم مثبت است تساوی قانون اهم منفی است.
توجه :
اگر ولتاژ مقاومت صفر باشد
اگر جریان مقاومت صفر باشد ، مقاومت بی نهایت است و مقاومت صفر است و مدار اتصال کوتاه می شود مدار باز می شود .
توجه :
اگرمقاومت را عکس کنیم به آن هدایت گوییم و واحد آن مهو می شود .
عنصر دوم منبع ولتاژ
به عنوان مثال باطری یک منبع ولتاژ است با ولتاژی همیشه ثابت ، به این مفهوم که هر چقدر از آن جریان عبور دهیم ولتاژش تغییر نمی کند .
این نمودار نشان می دهد هر چقدر جریان تغییر کند
ولتاژ ثابت است .
رابطه تقسیم ولتاژ :
در یک مدار که مقاومت ها سری هستند می توان برای حل مدار به جای استفاده از KCL و KVL
از رابطه تقسیم ولتاژ استفاده کرد ، مثلا اگر مقاومت شاخه ای را که با شاخه های دیگر سری است بخواهیم بدست آوریم می شود مقاومت خودش تقسیم بر مجموع مقاومت ها ضربدر ولتاژ ورودی ، همانطور که در شکل 8 / 2 ملاحظه می کنید جریان i1 از مقاومت 10 اهمی عبور نمی کند به علت اینکه مدار بازاست ، پس همه جریان از مقاومت 4اهمی عبور می کند ، از اینجا هم جریانی به مقاومت 20 اهمی نمی رود ( به همان علتی که گفته شد )پس همه جریان به مقاومت 6 اهمی می رود ، بنابراین مقاومت های 2 و 4 و 6 سری هستند پس خواهیم داشت :
V1= 4 ÷( 2 + 4 + 6)× 12 = 4 v
همانطور که قبلا گفته شد علامت مثبت است چون متناظر است .
برای در نظر گرفتن جهت + یا – کافیست جهت حلقه را طوری انتخاب کنیم که فلش ما از سر مثبت باطری خارج شود و بر این مبنا اگر جهت ها برای مقاومت متناظر بود علامت مثبت در غیر اینصورت علامت منفی است .
به شکل 9 / 2 دقت کنید ، شاخه 12ولتی و شاخه 6 اهمی با هم موازیند ،پس ولتاژ و علامت آنها با هم یکی می شود و می دانیم که شاخه های سری و موازی با هم قابل جابجایی هستند ،
در شکل 10 / 2 جای آنها را با هم عوض می کنیم ، حالا در هر کدام از حلقه ها که خواستیم و با هر جهتی که خود انتخاب می کنیم KVL ، می نویسیم
مثلا در شاخه سمت راست داریم :
KVL(I) : -12 +V2+V1+V3=0
سه مجهول داریم ، از قانون اهم V1,V2,V3 استفاده کرده و مقادیر را پیدا می کنیم ،
V2= 1 i1=i1
V1=2 i1 و V3=3 i1
-12+i1+2 i1+3 i1=0 i1=2 A
V1=4 , V2=2 , V3=3 i1=6 v
نتیجه اینکه وقتی مدار سری است نیازی به نوشتن KCL ,KVL نیست از همان رابطه تقسیم ولتاژ می توان به سادگی به جواب رسید .
برای درک بهتر موضوع در مثال 11 / 2 مدار به صورت پارامتری بررسی شده است ،
KVL : -V + R1 i1 + R2 i1 + R3 i1 = 0
i1 = V ÷ R1 + R2 + R3
V2 = R2 i1
V2 = R2 ÷ R1 + R2 + R3 × V
دقت کنید که چگونه در شکل 12 / 2 مدار به سادگی حل می شود ،
از شاخه مقاومت 10 اهمی و 20 اهمی به جهت اینکه مدار باز است جریانی عبور نمی کند ، پس شاخه VAB با شاخه V1 برابر می شود
مثالی دیگر برای نشان دادن چگونگی ساده کردن مدارهای بزرگ ، شکل 13 / 2 به ترتیب به شکل های 14 / 2 و 15 / 2 و سپس 16 / 2 تبدیل شده است .
سوپر گره :
وقتی بین یک گره تا زمین منبع ولتاژ وجود داشته باشد برای آن گره نیاز به نوشتن KCL نیست ،( شکل 1/3 ) .
اگر منبع ولتاژ بین دو گره غیر مبناء ( غیر زمین ) وجود داشته باشد ، KCL را برای آن دو گره توام می نویسیم و برای شاخه منبع ولتاژ جریانی در نظر نمی گیریم،( شکل 8/3 ). برای درک بهتر سوپر گره به شکل شماره 1/3 توجه کنید .
در این شکل یک گره را به دلخواه به زمین وصل می کنیم ، و چون بین گره B و زمین منبع ولتاژ وجود دارد ( سوپر گره ) نوشتن
KCL در این گره لازم نیست ،تنها در گره A شروع به نوشتن KCL میکنیم
البته یادمان نرود که جهت جریان مقاومت 2 اهمی و 3/8 اهمی را حتما نیاز داریم ، پس به دلخواه جهت ها را مشخص می کنیم ،
KCL(A) : i = i1 + i2
همانطور که ملاحظه می فرمایید در معادله بالا سه مجهول داریم ، پس سعی می کنیم با استفاده از فرمول قانون اهم بتوانیم تعداد مجهول ها را کم کنیم ، در زیر اشکال مختلف قانون اهم را یاد آور می شویم ،
VR = R iR
iR = VR ÷ R
R = VR ÷ iR
و اما قبل از حل ادامه مسئله بهتر است برای درک واقعی VR به شکل 2/3 توجه کنید :
VR یعنی اختلاف پتانسیل دو سر شاخه که می شود ،
VR = VA – VB
حالا این مفهومVR را در فرمول قانون اهم می گذاریم ،
iR = ( VA – VB ) ÷ R
و حالا ادامه حل مسئله :
KCL(A) : i = i1 + i2
i = (12 – VA) ÷ 8/3
i1 = (VA – 0) ÷ 4
i2 = (VA – 0) ÷ 2
3 (12-VA) ÷ 8 = (VA÷4) + (VA÷2)
36 – 3VA = 2 VA + 4 VA
VA = 36 ÷ 9 = 4
i1 = VA ÷ 4 = 1A
و اما حل این مسئله راه دیگری نیز دارد ،استفاده از راه حل تقسیم ولتاژ، برای یادآوری به شکل 3/3 توجه کنید ، به شرطی که مدل ما شکل روبرو باشد ، بدون نیاز به توضیح اضافی پیداکردن مقاومت های موازی و استفاده از فرمول تقسیم ولتاژ را در شکل 4/3 می بینید ،
R = R1 R2 ÷ R1 + R2
و در نهایت مدار 3/3 به شکل زیر حل خواهد شد (شکل 5/3) ،
V1 = ((4/3) ÷ (8/3) + (4/3)) ×12 = 4 V
i1 = 1A
رابطه تقسیم جریان :
در شکل زیر چنانچه مدل مبنای مابرای تعریف رابطه تقسیم جریان مدار 6/3 باشد،
برای پیدا کردن i1 , i2 از قانون اهم داریم:
(c) i1 = V ÷ R1 , i2 = V ÷ R2
حال همانطور که قبلا نیز گفته شد از موازی بودن دو مقاومت R1 ,R2 استفاده کرده و به شکل 7/3 می رسیم که در آن داریم :
* R = R1 R2 ÷ R1 + R2
و قانون اهم را نیز به یاد می آوریم که در آن داشتیم : V = R i در اینجا به جای R معادلش در رابطه * را می گذاریم ،
V = (R1 R2 ÷ R1 + R2) i
اگر این رابطه را در فرمول بالای صفحه ((c)) بگذاریم رابطه تقسیم جریان اینچنین خواهد بود ،
i1 =( R ÷ R1+R2 )I , i2 =( R ÷ R1+R2 ) I
حال می توانیم مثال قبل را نیز از راه تقسیم جریان حل کنیم ، (شکل 8/3 ) ،
i1 = 2 ÷ (2+4 ) I
KVL : -12 + 8/3 I + 8/6 I = 0
I = 12 ÷ (12/3) = 3
i1 = 2 ÷ (2+4 ) I
i = 1
یک مثال برای درک بهتر مفهوم سوپر گره ، به شکل 9/3 به دقت نگاه کنید، در اینجا با استفاده از KCL می خواهیم i1 را بدست بیاوریم ،
باید این سوالات را از خود بپرسیم ، مدار چند گره دارد ؟ 4 گره برای 4 گره چند تا KCL می توانیم بنویسیم ؟ یکی کمتر از تعداد گره ها یعنی 3 تاولی باید 2 تا KCL بنویسیم چون بین گره C و A سوپر گره داریم ،جهت ها را اختیاری در نظر می گیریم و نامگذاری می کنیم،همیشه بلافاصله بعد از سوپر گره باید در حلقه ای شامل گره هایی که سوپر گره نوشته ایم و گره زمین KVL بنویسیم .
عنصر سوم منبع جریان مستقل
عنصری است که جریانش ثابت است ، یعنی هر چه ولتاژ دو سرش تغییر کند جریا نش تغییر نمی کند
نکته :
دو سر منبع جریان به هیچ وجه نباید باز باشد چون می سوزد .
اگر منبع جریان سوخت مانند این است که مدار باز است .
منبع ولتاژ وابسته منبع جریان وابسته
i x = F( ik) یا F(vk) ——————————- V x = F( ik) یا F(vk)
منبع ولتاژ وابسته یک تابع است ،تابعی از ولتاژ شاخه K ام
مدار منبع جریان وابسته نیز یک تابع است ، تابعی از شاخه Kام مدار با واحد ولت با
واحد آمپر
مسئله 4 فصل سوم ، در مدار شکل 1/ 4 میخواهیم VAB را از روی KCL حساب کنیم ،
این مدار چند گره دارد ؟
5 گره به شکل نگاه کنید
گره B را به زمین وصل کرده و در 4 نقطه KCL می نویسیم ، یادمان نرود که همیشه تعداد KCL ها از تعداد شاخه ها یکی کمتر است یعنی ( n-1 ).
نکته : در اینجا تنها با دو kcl مسئله حل می شود ، آیا می دانید چرا ؟
در گره C می خواهیم KCL بنویسیم ، به شکل 2/4 توجه کنید :
چند شاخه به گره C وصل است ؟
4 شاخه
شاخه سمت راست با مقاومت 2 اهمی جهتش معلوم است ، دو منبع جریان وابسته هم جهت هایشان معلوم است ، فقط می ماند جهت جریان شاخه 3 اهمی که آنرا هم به دلخواه در نظر می گیریم ، حالا KCL می نویسیم ، جریان هایی که وارد حلقه می شوند برابر جریانهایی که از حلقه خارج می شوند .
در شکل مقابل جهت حرکت جریانها یی که وارد گره می شوند و آنهایی که از گره خارج می شوند را ملاحظه می کنید .
ما VAB را می خواهیم حساب کنیم پس باید i1 مقدارش معلوم باشد ، به نوشتن KCL در گره C توجه کنید ،
شکل 1/ 4 را به خاطر بیاورید ،
می خواهیم یک KCL در گره D بنویسیم ، به گره D توجه کنید.
برای شاخه مقاومت یک اهمی جهت جریان را به دلخواه مشخص می کنیم ،
7 آمپر وارد می شود i2 + 2io خارج می شوند ، io هم که قبلا صفر شد بنابراین i2=7 می شود .که از فرمول KCL قابل نتیجه گیری است ، نتیجه ای که می گیریم این است که همه 7 آمپر وارد شاخه مقاومت یک اهمی شده ، و این یعنی اینکه منبع جریان 2io
وجود ندارد ، چون جریانش صفر بود و جریان صفر در منبع جریان یعنی مدار باز
مقاومت دیده شده در سرهای A ,B را بدست اورید .
در مدار شکل 1/5 چون هیچ منیع مستقلی نداریم ( جریان یا ولتاژ ) که به
مدار انرژی بدهد بنابراین نه ولتاژخواهیم داشت نه جریان پس نتیجه
مساوی صفر است ،Vth می گیریم که در چنین مواردی وقتی اتصال کوتاه نیز می کنیم جریانش صفر می شود ، چون همانطور که گفتیم مدار فاقد انرژی است ، ولی در این مدار مقاومت داریم پس مطابق قانون اهم داریم :
خوب Iscو Vth که هر دو صفر بودند پس Rth می شود صفر تقسیم بر صفر که برابر صفر نیست ، بنابراین ما نمی توانیم از این راه Rth را بدست بیاوریم .
نکته :
برای حل مسائلی که در آن مدار فاقد منابع مستقل است ، اگر مداری منابع مستقل نداشت تمام ولتاژهای مدار و تمام جریان های مدار برابر صفر است ، در اینگونه مدارها
راه حل این است که خودمان یک منبع مستقل در مدار بگذاریم تا بدین وسیله مدار دارای انرژی شود ، یا منبع جریان مستقل می گذاریم و یا منبع ولتاژ مستقل و اسمش VT را می گذاریم ،جریانی را هم که این منبع مستقل به مدار می دهد را IT می گذاریم ،
پس شکل مدار اینگونه تغییر کرد ، گره B را به زمین وصل می کنیم و مسئله را حل می کنیم
سوپر حلقه :
وقتی شاخه مشترک بین دو حلقه ، منبع جریان باشد ( چه وابسته و چه مستقل ) نیازی به نوشتنKCL درمدار نیست ، بلکه برای دو حلقه به طور مشترک KVL می نویسیم که این موضوع را سوپر حلقه گویند ،در نوشتن سوپر حلقه باید دقت کنیم که جریان های دو حلقه با هم متفاوت هست .
برای دو حلقه II و I به طور مشترک KVL می نویسیم ،
می توانیم شکل اصلی مدار را بدین صورت بهینه کنیم ،
مسئله 39 ،می خواهیم Vth را حساب کنیم ،
همانطور که ملاحظه می کنید این مدار دارای 4 شاخه و 2 گره است ،
همه شاخه ها با هم موازیند ، یعنی اگر دو سر B و A مدار Vth باشد ، همه شاخه ها دو سرشان Vth است ،
حال می خواهیم Vth را حساب کنیم ،مدار که دو تا گره بیشتر ندارد پس یکی را به زمین وصل کرده ( این کار قبلا انجام شده )و برای دیگری KCL می نویسیم ، بهتر است اول مدار را ساده کنیم ، به شکل توجه کنید :
حالا KCL گره A را می نویسیم ،
سپس مدار را اتصال کوتاه می کنیم ،
ملاحظه می کنید که در این شکل جدید مدار یک گره بیشتر ندارد ، تعداد گره ها قبلا هم گفتیم که تعداد KCL همیشه یکی از تعداد گره ها کمتر است یعنی در اینجا عملا هیچ KCL ی نباید بنویسیم ،
در اصل وقتی دو سر مدار اتصال کوتاه می شود ، شاخه اتصال کوتاه با بقیه شاخه ها موازی می شود ، ولتاژ شاخه اتصال کوتاه صفر است پس ولتاژ مقاومت نیز صفر می شود و جریانش هم صفر می شود چرا که در قانون اهم وقتی ولتاژ صفر شود ، R هر عددی که
باشد i صفر می شود ، و جریان که صفر شد یعنی مدار باز ،
در ضمن هر گاه دو سر مقاومتی اتصال کوتاه شد ، آن مقاومت حذف می شود و دیگر در مدار وجود نخواهد داشت ، ولتاژ هم که صفر شد و منیع جریان صفر یعنی مدار باز ، پس شاخه منبع جریان 2 ولت نیز خذف می شود ، به شکل توجه کنید :
به مثال 3/ 5 توجه کنید :
حالا باید مدار را اتصال کوتاه کنیم ،
مدارهای مرتبه اول
مقایسه مدارهای مرتبه اول با مدارهای ساده
مدارهای ساده مدارهایی هستند شامل تعدادی مقاومت ، منابع وابسته و مستقل ولتاژ و جریان ، اگر به این مدارهای ساده یک عنصر ذخیره کننده انرژی اضافه کنیم ( سلف یا خازن ) مدار مرتبه اول می شود ، روش حل مدارهای مرتبه اول و مدارهای ساده یکسان است یعنی استفاده از قوانین KCL و KVL و روابط تعریف شده قبلی مثل روابط تقسیم ولتاژ و تقسیم جریان و …
تنها تفاوت مدارهای مرتبه اول با مدارهای ساده در این است که وقتی مدارهای مرتبه اول را حل می کنیم ، حاصل یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خواهد بود ولی در مدارهای ساده حاصل حل مدار n معادله و n مجهول می باشد .
خازن
مشخصه خازن از نظر الکتریکی دو خط موازی است و با C که نشان دهنده ظرفیت خازن است نشان می دهیم ، واحد خازن فاراد است که با F نشان می دهیم ،
مانند مقاومت در اینجا نیز به نوشتن روابط نیاز داریم ،در شکل بالا که الگوی ما می باشد جریان به سر مثبت وارد می شود، جهت ها را متناظر اختیار می کنیم و روابط را بر اساس شکل فوق می نویسیم
تعریف خازن :
نحوه شارژ شدن خازن :
برای شارژ شدن خازن باید بارهای مثبت روی یکی از صفحات خازن و بارهای منفی روی صفحه دیگری قرار گیرد ،اگر یک خازن را به یک منبع ولتاژ مستقل DC وصل کنیم خازن شارژ می شود یعنی بارهای مثبت و منفی از هم جدا می شوند ، حال اگر خازن شارژ شده را در مدار ی قرار دهیم که بتواند باعث جابجایی بارهای مثبت و منفی در صفحات خازن شود ، خازن خود را تخلیه می کند که به این حالت دشارژ شدن خازن گویند ،رابطه بار الکتریکی و جریان و ولتاژ خازن به شکل زیر است ،
نکته :
خازن های سری و موازی قابل ساده شدن به یک خازن هستند ، به صورت رابطه زیر ؛
به شکل شماره 1/6 توجه کنید که چگونه در آن جریان iR را بدست می آوریم ،
روش حل مدارهای مرتبه اول :
در t<0 مدار به شکل مقابل است که در آن
است ،
در t = 0 یعنی کلید K1 باز شده و کلید K2 بسته شده
بنابراین ؛
در t>0 هم خازن را داریم و هم مقاومت را پس ،
اول باید v(t) را بدست بیاوریم ،
یادآوری معادله دیفرانسیل مرتبه اول :
معادله دیفرانسیل مرتبه اول یعنی معادله ای که در آن مشتق مرتبه اول یک تابع وجود داشته باشد و معادله دیفرانسیل مرتبه n ام یعنی معادله ای که در آن مشتق مرتبه n ام تابع وجود داشته باشد برای حل معادله دیفرانسیل لازم است شرایط اولیه معلوم باشد ، شرایط اولیه برای معادله دیفرانسیل مرتبه اول یعنی معلوم بودن مقدار تابع در لحظه صفر که در این مثال
می باشد و شرایط اولیه برای معادله دیفرانسیل مرتبه n ام یعنی معلوم بودن مقدار تابع در لحظه صفر بعلاوه معلوم بودن مقدارمشتقات تابع در لحظه صفر تا مشتق مرتبه n-1
و دنباله مسئله به صورت مقابل است ؛
به این مثال توجه کنید ،می خواهیم در یک مدار مرتبه اول که معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه را به شکل زیر داده است v(t) را بدست بیاوریم ؛
مثالی دیگر ،در یک مدار مرتبه اول معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه بصورت زیر داده شده است پاسخ را بدست آورید .
مدارهای مرتبه اول سه دسته اند دسته اول مدارهایی هستند که معادله دیفرانسیل آنها همگن می شود ، این مدارها در t > 0 فاقد منابع مستقل هستند و یک خازن شارژ شده خود را در مدار تخلیه می کنند ، در این حالت پاسخ بدست آمده را پاسخ ورودی صفر می نامیم .
دسته دوم مدارهایی هستند که معادله دیفرانسیل آنها غیر همگن است و شرایط اولیه نیز صفر است ، وقتی معادله دیفرانسیل غیر همگن است یعنی در t > 0 منبع مستقلی وجود دارد و جون شرایط اولیه صفر است یعنی در t < 0 خازن شارژ نشده است ،
پاسخ در این حالت را پاسخ صفر می نامیم .
دسته سوم مدارهایی هستند که معادله دیفرانسیل آنها غیر همگن و شرایط اولیه نیز غیر صفر است ، این حالت را پاسخ کامل می نامیم ،در هر مدار الکتریکی داریم ،پاسخ حالت صفر + پاسخ ورودی صفر = پاسخ کامل تذکر :
اگر عنصر ذخیره کننده انرژی خازن باشد مدار را RC گوییم و اگر سلف باشد RL ،
بدست آوردن پاسخ ورودی صفر و یا پاسخ حالت صفر و یا پاسخ کامل در مدارهای RC و RL یکسان است و به روشی است که در مثالهای فوق توضیح داده شد .
لحظه ثابت زمانی :
لحظه ای که در رابطه بدست آمده برای پاسخ مدار ، توان e منهای یک می شود ، لحظه ثابت زمانی نام دارد ، در این مدار آن لحظه برابر است با Rc تابت زمانی را با T یا t نشان می دهند ،بی نهایت یعنی 4 برابر ثابت زمانی زیرا اگر داشته باشیم ؛
غیر فعال کردن منابع :
یعنی جایگزین کردن اتصال کوتاه به جای منبع ولتاژ و جایگزین کردن مدار باز به جای منبع جریان
مثال 114 :
پیدا کردن Rth و Vth در مدار مقابل :
مسئله 115 :
ix , Vy , iz = ?
به شکل 2/7 توجه کنید :
ابتدا مسئله را ساده می کنیم ،
حال در حلقه وسط KVL می نویسیم ، یادمان باشد ، در حلقه ای که در آن منبع جریان
وجود دارد KVL نمی نویسیم چون سوپر حلقه است ،
حالا در سوپر حلقه KVL می نویسیم :
مسئله 108 :
i A , i B = ?
به شکل 3/7 توجه کنید ،
مسئله 107 :
به شکل 4/7 توجه کنید :
وقتی بخواهیم Vth را بدست بیاوریم چنانچه مدار فقط شامل مقاومت باشد ، برای حل مدار دو راه داریم ؛یا مقاومت ها را ساده می کنیم یا منبع خارجی می گذاریم در این مدار Vth در دوسر دلخواه صفر استچون منبع نداریم Isc هم صفر است ولی مقاومت تونن داریم ئپس برای محاسبه این مقاومت باید یک منبع خارجی قرار دهیم .
به منبع خارجی توجه کنید ،
حالا کافی است در حلقه ای شامل سرA و سر B و منبع خارجی یکKVL بنویسیم ،
جریان حلقه هم که IT است ،مسئله گفته مقاومت ها با هم مساویند پس جریان IT در اول مسیر به سه مقاومت میرسد که سهم هر کدام از آنها 1/3 IT است و …
نکته :
اگر مدار فقط شامل مقاومت باشد ، برای محاسبه Rth در دو سر دلخواه کافی است مقاومت معادل را در آن دو سر بدست آوریم ، اگر نتوانستیم مقاومت ها را ساده کنیم و مقاومت معادل را بدست آوریم می توانیم از منبع مستقل خارجی استفاده کنیم ،
اگر مداری شامل منابع مستقل و مقاومت باشد ، برای محاسبه مقاومت تونن ( Rth ) در دو سر دلخواه می توان منابع را غیر فعال کرد و مقاومت معادل را بدست آورد ، در اینصورت Rth برابر است با مقاومت معادل مدار ،برای غیر فعال کردن منابع به ترتیب زیر عمل کمی کنیم ، به جای منبع ولتاژ اتصال کوتاه و به جای منبع جریان مدار باز قرار می دهیم .
مدارهای مرتبه اول ، مدارهایی هستند که شامل یک عنصر ذخیره کننده انرژی باشند ، عناصر ذخیره کننده انرژی عبارتند از خازن و سلف ،در مدار مرتبه اول با استفاده از روابط KCL و KVL و همچنین با استفاده از روابط بین ولتاژ و جریان خازن و روابط بین ولتاژ و جریان سلف و قانون اهم یک معادله دیفر انسیل مرتبه اول بدست می آوریم ، اگر شرایط اولیه معلوم باشد معادله دیفرانسیل حل خواهد شد ، بنابراین در مدارهای مرتبه اول می توان نوشت :
سلف ( سیم پیچ )
مثال :
به شکل 1/ 8 توجه کنید ،
می خواهیم جریان iL را حساب کنیم ،
U(t) چیست ؟
تابع u(t) را تایع پله گویند ، به عبارتی دیگر تابع پله عمل کلید را انجام می دهد بنابراین در مدار به جای استفاده از کلید می تواناز تابع پله استفاده کرد ،بنا به این توضیح میتوان تصور کرد که شکل مدار 1 / 8 قبلا به چه صورتی بوده ( شکل مقابل ) ،حال کلید را در این مدار حذف کرده و منبع ورودی را در تابع u(t)ضرب می کنیم ،
به شکل جدید مدار توجه کنید ،
وقتی مدار با تابع پله داده می شود ،هنگام حل به جایu(t) مقدار
یک قرار داده و مدار را حل می کنیم ، در نهایت وقتی پاسخ بدست آمد
آنرا در u(t) ضرب می کنیم و در کنار پاسخ عبارت
را حذف می کنیم ،
در این حالت پاسخ را پاسخ پله گویند .
تعریف ریاضی تایع پله u(t) ،
مثال :
توابع زیر را رسم کنید :
الف )
v(t) = 6u(t-2)
در 2 مقدارش 6 است و از منهای بینهایت تا 2 مقدارش صفر است .
ب) v(t) = 3u(2t – 1 )
این تابع در 2/ 1 مقدارش 3 است و قبلش صفر ،کلید لحظه ای عمل می کند که این آرگومان صفر شود .
می خواهیم مثال فصل 4 مسئله 22 را حل کنیم ، برای حل این مسئله به تعاریف زیر نیاز داریم :
صفر منفی و صفر مثبت :
در یک تابع اگر از مقادیر منهای بینهایت به سمت صفر حرکت کنیم
و مقدار تابع را در لحظه t = 0 بدست آوریم ، آن لحظه صفر منفی
نام دارد ، اما اگر از لحظات بزرگتر از صفر به سمت صفر برویم ، لحظه صفر را
صفر مثبت گویند ، به عبارتی دیگر اگر در صفحه مختصات از سمت چپ
به مبدآ مختصات نزدیک شویم صفر منفی و اگر از سمت راست نزدیک شویم صفر مثبت نام دارد تابعی که مقدار آن در
و در
با هم برابر باشد تابع پیوسته است و تابع پیوسته تغییرات آنی ندارد ،
در سلف جریان یک تابع پیوسته است و جریان سلف تغییر آنی ندارد ، بنابراین خواهیم داشت ؛
یعنی برای سلف می توان نمودار زیر را رسم کرد ؛
زیرا ؛
اما ولتاژسلف تغییرات آنی دارد ، یعنی داریم :
با همین استدلال در مورد خازن داریم :
حال که با مفاهیم صفر مثبت و صفر منفی آشنا شدید به حل مسئله 22 فصل 4 می پردازیم ،به شکل 2 / 8 توجه کنید ، می خواهیم i(t) را بدست آوریم ،
می دانیم که این مدار مرتبه اول است چون می توانیم در آن سلف ها راساده کرده و در نهایت مدار را با یک سلف حل کنیم ،
اما سلف ها چگونه ساده می شوند ،سلف های موازی مثل مقاومت های موازی هستند ،
و سلف های سری مثل مقاومت های سری .
نکته :
اگر در لحظه
منبع مستقل در مدار وجود داشته باشد عناصر ذخیره کننده انرژی شارژ شده اند ،
سلف شارژ شده معادل اتصال کوتاه است و خازن شارژ شده معادل مدار باز ،
اگر در لحظه
منبع مستقل در مدار نباشد ، عناصر ذخیره کننده انرژی دشارژ هستند ،
سلف دشارژ شده معادل مدار باز و خازن دشارژ شده معادل اتصال کوتاه است .
نکته :
همیشه در
مدار ، یک مدار مقاومتی ساده است ، یعنی در مدار سلف و خازن وجود ندارد
دنباله حل مسئله :
مدار بالا را مرتب می کنیم ،
می خواهیم v(t) و همچنین h(t) ( پاسخ ضربه ) را بدست بیاوریم ،
و اما مسئله پاسخ ضربه را هم می خواهد ،تعریف تایع ضربه به صورت مقابل داده شده است :
اگر این تابع را رسم کنیم به صورت مقابل مشخص می شود
در مورد تابع ضربه می توان گفت مساحت تابع برابر یک است یعنی خواهیم داشت ،
با توجه به تعریف انجام شده برای تابع ضربه می توان گفت ؛تابع ضربه عبارت است از مشتق تابع پله ، بنابراین خواهیم داشت ،
می توان اثبات کرد که پاسخ ضربه نیز برابر است با مشتق پاسخ پله ، بنابراین برای بدست آوردن پاسخ ضربه یک مدار کافی است پاسخ پله را محاسبه کرد و از آن مشتق گرفت ، در این مثال پاسخ ضربه برابر است با ؛
در این پاسخ جمله سمت راست در تابع ضربه ضرب شده است ، از آنجاکه تابع ضربه در همه زمانها بجز در لحظه t = o مقدار ندارد بنابراین ضریب
در پاسخ ضربه را باید ساده کنیم ،برای ساده کردن آن کافی است در ضریب
به جای t مقدار صفر قرار دهیم ، در این مثال خواهیم داشت ،
پاسخ ضربه را با h(t) نشان می دهند و پاسخ پله را با s(t) .
مسئله 37 فصل 4 ،در شکل 2 / 9 می خواهیم پاسخ پله و پاسخ ضربه ولتاژ دو سر خازن را بدست آوریم ؛
وقتی در مسئله ای گفته می شود پاسخ پله را بدست آورید یعنی ورودی را معادل u(t)قرار دهیم .
مدارهای مرتبه دوم
مدارهایی که شامل دو عنصر ذخیره کننده انرژی باشند را مدارهای مرتبه دوم می نامند زیرا که معادله آنها یک معادله دیفرانسیلمرتبه دوم خواهد شد ، در درس مدار یک مدارهایی را بررسی می کنیم که شامل یک سلف و یک خازن باشند ، این مدارها می توانند تعدادی مقاومت ومنابع وابسته و مستقل نیز داشته باشند ، مدارهای مرتبه دوم را مدارهای RLC و همچنین مدارهای رزونانس می نامند .مدارهای مرتبه دوم یا همگن هستند یا ناهمگن ،
اگر همگن باشد ورودی صفر داریم ، در این مدار منبع مستقل نداریم ، اگر ناهمگن باشد دو حالت داریم ؛یا شرایط اولیه صفر است که در این حالت پاسخ حالت صفر داریم
یا شرایط اولیه صفر نیست که در این حالت پاسخ حالت کامل داریم
بدست آوردن معادله دیفرانسیل مدارهای مرتبه دوم با استفاده از KCL و KVL و همچنین روابط بین ولتاژ و جریان خازن و روابط بین ولتاژ و جریان سلف و قانون اهم امکان پذیر می باشد ، اگر شرایط اولیه معلوم باشد معادله قابل حل است ،برای معادله مدارهای مرتبه دوم مقدار تابع در صفر و مشتق درجه یک در صفر مورد نیاز است .
مثالی برای درک بهتر موضوع ،
در یک مدار مرتبه دوم ، معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه
بصورت زیر بدست آمده است ، مقدار تابع را بدست آورید .
مثال برای درک موضوع فوق میرایی – میرایی بحرانی و زیر میرایی :
در اینجا ترازوی عقربه ای را در فروشگاه میوه فروشی در نظر می گیریم ،
در هنگام وزن کردن 2 کیلو گرم سیب ، اگر عقربه ترازو به آرامی بالا رور تا به عدد 2 کیلو گرم برسد مثالی از حالت فوق میرایی است، اگر عقربه ترازو به سرعت به عدد 2 رسید و ایستاد حالت میرایی بحرانی را نشان می دهد ،اگر عقربه ترازو برای نشان دادن عدد 2 به دفعات روی اعداد دیگر برود و برگردد تا بالاخره روی عدد 2 بایستد حالت زیر میرایی را نشان می دهد .
اگر عقربه ترازو روی هیچ عددی نایستد و دائما حول عدد 2 نوسان کند حالت بدون اتلاف را نشان می دهد.
ضرایب K1 و K2 و K و از روی شرایط اولیه محاسبه می شود ،
الفا با مقاومت رابطه دارد و با سلف و خازن ،
مثال ،در یک مدار معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه بصورت مقابل داده شده است ، مقدار تابع را بدست آورید ،
برای محاسبه K1 و K2 ابتدا V0 را از روی تابع بدست می آوریم ، خواهیم داشت ،
این مقدار V(0) را باV(0) شرایط اولیه مساوی قرار می دهیم یعنی ،
سپس از تابع مشتق گرفته و به جای t عدد صفر قرار می دهیم ، خواهیم داشت ،
این مقدار را با مقدار اولیه مشتق مرتبه اول مساوی قرار می دهیم ، پس خواهیم داشت ،
103