مختصات دکارتی، استوانه ای و کروی
AZ UN
The course of General Calculus2
Engineering Faculty of Ahvaz
در فصل قبل با مختصات دکارتی در فضای 3-بعدی آشنا شدیم.
مختصات دکارتی CARTESIAN COORDINATE SYSTEM
مختصات قطبی در صفحه POLAR COORDINATE SYSTEM
مختصات قطبی (r,ө) در مقایسه با مختصات دکارتی (x,y) با معادلات زیر نمایش داده می شود:
r فاصله از مبدا
ө زاویه با قسمت مثبت محور xها
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
مختصات استوانه ای تعمیم مختصات قطبی در صفحه 2-بعدی به فضای 3-بعدی است.
نقطه P در این مختصات با سه تایی
مرتب نمایش داده می شود.
با توجه به شکل تبدیل از مختصات دکارتی به مختصات استوانه ای با معادلات زیر انجام می شود:
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
و تبدیل از مختصات استوانه ای به مختصات دکارتی:
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
مثال1:
مختصات نقطه (x,y,z)=(1, ,2) را در مختصات استوانه ای بنویسید.
حل: داریم
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
پس:
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
مثال 2:
مکان هندسی نقاطی از فضا را که هر یک از معادلات زیر مشخص می کنند، توصیف کنید.
(a) r = 5
(b)
(c) z = r
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
حل:
a) از آنجایی که نمودار r=5 در مختصات قطبی نمایش دایره ای به مرکز مبدا و شعاع 5 است پس تعمیم آن در راستای محور zها استوانه زیر است:
5
این علت نامگذاری
این سیستم است
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
b)
می دانیم که معادله نمایش کره ای به شعاع 10 و مرکز مبدا می باشد.
10
10
10
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
(c) z = r
به راحتی می توان شکل زیر را تجسم کرد:
مختصات استوانه ای CYLINDERICAL COORDINATE SYSTEM
SPHERICAL COORDINATE SYSTEMمختصات کروی
یک سیستم مختصات بسیار مفید دیگر در فضای 3بعدی، سیستم مختصات کروی می باشد.
این سیستم محاسبه انتگرالهای سه گانه محدود به نواحی مخروطی شکل را ساده می کند.
در زیر مکان هندسی نقطه Pدر فضا با سیستم مختصات کروی(ρ, θ, Φ) نشان داده شده است.
ρ = |OP| فاصله نقطه Pاز مبدا مختصات
θ همان زاویه مشابه در سیستم
مختصات استوانه ای
Φ زاوی بین محور Z ها
و بردار OP
SPHERICAL COORDINATE SYSTEMمختصات کروی
توجه:
ρ ≥ 0
0 ≤ θ ≤ π
SPHERICAL COORDINATE SYSTEMمختصات کروی
SPHERE کره
برای مثال معادله کره ای به مرکز مبدا و شعاع c در سیستم مختصات کروی به صورت زیر در می آید.
این علت نامگذاری
این سیستم است
ρ = c
HALF-PLANEنیم صفحه
نمودار معادله θ = c نیم صفحه زیر می باشد.
HALF-CONEنیم مخروط
معادله Φ = c یک نیم مخروط در راستای محور Zها را نمایش می دهد.
رابطه بین سیستم مختصات کروی و دکارتی در شکل زیر قابل مشاهده است.
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
با توجه به مثلثهای OPQو OPP`داریم:
z = ρ cos(Φ) r = ρ sin(Φ)
همچنین: x = r cos(θ) y = r sin(θ)
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
بنابراین برای تبدیل مختصات کروی به مختصات دکارتی می توان از فرمولهای زیر استفاده کرد:
x = ρ sin(Φ)cos(θ) y = ρ sin(Φ)sin(θ) z = ρ cos(Φ)
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
همچنین فاصله نقطه Pاز مبدا معادله زیر را در اختیار ما قرار می دهد:
ρ2 = x2 + y2 + z2
ما از این معادله برای تبدیل مختصات دکارتی به مختصات کروی استاده می کنیم.
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
مثال1:
نقطه(2, π/4, π/3) در مختصات کروی داده شده است. آن را در فضای 3-بعدی نمایش داده و مختصات دکارتی آن را بدست آورید.
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
از فرمولهای بالا داریم:
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
(2, π/4, π/3)
y
پس نقطه (2, π/4, π/3) در مختصات کروی همان نقطه
در مختصات دکارتی می باشد.
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
مثال2:
نقطه در مختصات دکارتی داده شده است.
مختصات کروی آن را محاسبه کنید.
حل:
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
پس از معادله ها داریم:
توجه: θ ≠ 3π/2 زیرا
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
y = r sin(θ)
پس نمایش نقطه داده شده در مختصات کروی
(4, π/2 , 2π/3)
می باشد.
مقایسه سیستم مختصات کروی و دکارتی
مقایسه یکجای سیستمهای مختصات دکارتی، استوانه ای و کروی با هم
مختصات کروی
Spherical Coordinates
P(r, θ, Φ)
مختصات استوانه ای
Cylindrical Coordinates
P(r, θ, z)
x
y
z
P(x,y,z)
θ
z
r
x
y
z
P(r, θ, z)
θ
Φ
r
z
y
x
P(r, θ, Φ)
سیستمهای مختصات متعامد(بردارهای دو به دو عمود بر هم)
مختصات دکارتی
Cartesian Coordinates
Rectangular Coordinates
P(x,y,z)
بردارهای واحد در مختصات دکارتی
Xبردار در جهت محور
y بردار در جهت محور
z بردار در جهت محور
مختصات دکارتی
نمایش برداری: بردارهای واحد
نمایش بردار دلخواه در مختصات دکارتی
ضرب عددی
ضرب بر داری
اندازه برداری
نمایش برداری: بردارهای واحد
Cartesian Coordinates
Page 109
x
y
z
Z plane
y plane
x plane
x1
y1
z1
Ax
Ay
Az
( x, y, z)
Vector representation
Magnitude of A
Position vector A
Base vector properties
x
y
z
Ax
Ay
Az
Dot product:
Cross product:
Back
Cartesian Coordinates
Page 108
Cylindrical representation uses: r ,f , z
UNIT VECTORS:
Dot Product
(SCALAR)
نمایش برداری: مختصات استوانه ای
Cylindrical Coordinate System
The Unit Vectors imply :
Points in the direction of increasing r
Points in the direction of increasing j
Points in the direction of increasing z
نمایش برداری: مختصات استوانه ای
Spherical representation uses: r ,q , f
UNIT VECTORS:
Dot Product
(SCALAR)
نمایش برداری: مختصات کروی
Spherical Coordinate System
The Unit Vectors imply :
Points in the direction of increasing r
Points in the direction of increasing j
Points in the direction of increasing q
نمایش برداری: مختصات کروی
RECTANGULAR Coordinate Systems
CYLINDRICAL Coordinate Systems
SPHERICAL Coordinate Systems
NOTE THE ORDER!
r,f, z
r,q ,f
Summary
نمایش برداری: ترتیب مختصات
مختصات دیگر
Paraboloidal Coordinates مختصات سهموی
Elliptic Cylindrical Coordinatesمختصات استوانه بیضوی
Prolate Spheroidal Coordinatesمختصات دوکی
Oblate Spheroidal Coordinatesمختصات بیضوی
Bipolar Coordinatesمختصات دو قطبی
Conical Coordinatesمختصات مخروطی
Confocal Ellipsoidal Coordinate مختصات بیضیهای هم کانون