روش سختی در تحلیل ماتریسی سازه ها
فصل سوم- روش سختی در تحلیل ماتریسی سازه ها
1- مقدمه:
-گفتیم که اگر هدف اصلی تحلیل سازه، تعیین تغییر مکان های دو انتهای عنصر یا به عبارت دیگر مشخص کردن تغییر مکان های مربوط به گره های سازه باشد، در این صورت تحلیل سازه به روش تغییر مکان ها (Displacement Method) یا روش سختی (Stiffness Method) انجام می گیرد.
– در روش سختی مجهولات شامل تغییر مکان های گره ها است و تعداد معادلات حاصل برابر درجه آزادی کل گره های سازه می باشد.
– بنابراین در روش سختی ابتدا تغییر مکان های نقاط مشخص به طور اخص در گره های سازه تعیین می شود و سپس نیروهای داخلی محاسبه می شوند.
– در روش سختی معادلاتی بین نیروها و تغییر مکان های سازه در دو سطح عنصر و کل سازه ایجاد می شوند .
– پس در یک جمع بندی روش سختی شامل مراحل عمومی زیر است:
تعیین یک مجموعه از تغییر مکان های سیستم سازه ای
نوشتن روابط نیرو- تغییر مکان
ارضای شرط تعادل
ارضای شرط سازگاری
یافتن معادلات سازگاری
حل معادلات و به دست آوردن تغییر مکان های سیستم سازه ای
به دست آوردن نیروهای اعضاء و واکنش های تکیه گاهی
در تحلیل ماتریسی سازه ها به روش سختی در واقع معادلات مذکور در فرم ماتریسی استخراج می شوند و مبانی جبر ماتریسی به کار گرفته می شوند. این معادلات ماتریسی شامل بردار نیرو و بردار تغییر مکان و در ضمن ماتریس دیگری خواهد بود که به ماتریس سختی معروف است و بستگی به هندسه سازه، خواص هندسی و خواص مصالح اعضاء، نوع اتصالات موجود در سازه، تکیه گاه ها، نحوه اتصال اعضا و … دارد.
2- تعیین معادله روش سختی:
– جسم تغییر شکل پذیری (Deformable body) را در نظر بگیرید که تحت اثر نیروهای Pi قرار دارد (بارگذاری از صفر شروع شده و به طور خطی به مقدار نهایی خود Pi رسیده است) (i نقاطی از سازه می باشند که نیروهای Pi بر آن نقاط وارد می شوند).
– در اثر بارگذاری مذکور سازه تغییر مکان های Δi را متحمل می شود (Δi در راستای اعمال نیروهای Piمی باشند).
– با توجه به فرض رفتار خطی سازه، کار انجام شده توسط نیروهای وارد بر سازه (Pi) ناشی از تغییر مکان های سازه (Δi) به صورت زیر خواهد بود (کار انجام یافته مذکور معادل انرژی تغییر شکل جسم است):
– فرض کنید که در یکی از تغییرمکان ها (مثلاً Δ1) تغییر کوچکی داده می شود، در این صورت تغییرات انرژی تغییر شکل جسم نسبت به تغییرات در Δ1 به صورت زیر درمی آید (لازم به ذکر است که سایر تغییر مکان ها ثابت نگه داشته می شوند):
– اما با توجه به قضیه اول کاستیلیانو داریم:
– حال اگر عمل فوق را برای تمامی تغییرمکان ها (Δi) انجام دهیم به طور کلی به رابطه زیر خواهیم رسید:
– اگر مجموعه معادلات مذکور را به فرم ماتریسی بیان کنیم خواهیم داشت:
– پس کل مساله به تعیین ماتریس مربعی مذکور- یا تعیین اعضای از ماتریس مربعی- و سپس حل این معادلات ماتریسی برمی گردد.
– می توان تقارن ماتریس مذکور را نشان داد (با استفاده از قضیه اول کاستیلیانو):
– بنابراین با توجه به تقارن ماتریسی مربعی می توان نوشت:
=P بردار نیروی تعمیم یافته (Generalized force Vector)
=K ماتریس سختی سازه (Stiffness matrix)
=Δ بردار تغییر مکان تعمیم یافته (Generalized Displacement Vector)
– بنابراین یک روش برای تعیین ماتریس سختی سازه بدین صورت است که در هر دفعه تغییر مکان واحد برای گره ها (برحسب نوع سازه، مثلاً برای خرپای مسطح تغییر مکان واحد در جهت xها و تغییر مکان واحد در جهت yها- برای خرپای فضایی، تغییر مکان واحد در جهت xها و تغییر مکان واحد در جهت yها و تغییر مکان واحد در جهت zها- برای قاب مسطح تغییر مکان واحد در جهت xها و yها و دوران واحد در جهت zها و برای قاب فضایی تغییر مکان های واحد در جهت z ,y ,x و دوران های واحد در جهت z ,y ,x) در نظر گرفته شده و نیروی مورد نیاز برای ایجاد آن تغییر مکان و نیروهای نگه دارنده گره های دیگر در مقابل تغییر مکان مذکور محاسبه می شوند.
مثال 1) مطلوب است تعیین ماتریس سختی سازه شکل زیر:
هنگامی که تغییر مکان تعمیم یافته Δ2=1 را به گره 2 اعمال می کنیم، نیروی K22 برای ایجاد آن مورد نیاز است و نیروهای K21 و K23 وK24 برای جلوگیری از تغییر مکان های گره های 1 و 3 و 4 مورد نیاز می باشند و تاثیری در گره های 5، 6 و 7 ندارند؛ بعبارت دیگر , K52 K62 و K72 همگی مساوی صفرند. بنابراین به روشنی دیده می شود هنگامی که بین دو گره iو jعضوی وجود نداشته باشد Kij مساوی صفر است.
ماتریس نواری قطری
– به نظر می رسد که تشکیل ماتریس سختی به این طریق دارای نکات ضعف عمده ای می باشد:
الف) نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر (خصوصاً برای سازه هایی با درجات آزادی بالا)،
ب) پیاده سازی آن در یک برنامه کامپیوتری بسیار دشوار (یا حتی غیر ممکن) است.
– بنابراین باید به دنبال روش هایی برای تشکیل ماتریس سختی سازه بود که:
الف) نیاز به محاسبات زیاد و وقت گیر نداشته باشد،
ب) قابل پیاده سازی در یک برنامه کامپیوتری باشد،
پ) به صورت ساده تر و موثرتر ماتریس سختی سازه را تشکیل نماید.
– باتوجه به اینکه ماتریس سختی سازه (K) از ترکیب معقول و متناسب ماتریس های سختی هرکدام از اعضای سازه(k) تشکیل شده است، به نظر می رسد که بتوان به صورت ساده تر و موثرتر با استفاده از ماتریس های سختی هرکدام از اعضاء و انجام عملیات ماتریسی، ماتریس سختی سازه را تشکیل داد.
3- تعیین ماتریس سختی عضو سازه(Member) :
– یک عضو با دو گره (Node) مشخص می شود:
– در حالت کلی (در فضای سه بعدی) هر گره عضو دارای شش درجه آزادی است. به عبارت دیگر در فضای سه بعدی فیزیکی، بردار مشخص تغییر مکان ها در یک گره دارای شش مولفه مستقل است، سه مولفه خطی و سه مولفه دورانی.
– دستگاه مختصات کلی زیر را در نظر می گیریم:
(Global Coordinate System)
– بنابراین در مجموع یک عضو در فضا دارای 12 درجه آزادی است. بنابراین ماتریس سختی یک عضو، ماتریسی 12×12 است. می توان ماتریس سختی یک عضو را به طور مستقیم در دستگاه مختصات کلی محاسبه نمود. طبیعی است که در این صورت ماتریس سختی عضو را با وارد کردن تغییر مکان ها (یک به یک) در امتداد هر یک از محورهای مختصات کلی سیستم و محاسبه نیروی مورد نیاز برای ایجاد آن تغییر مکان در امتداد آن محور خاص و نیروهای مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان در سایر امتدادها (در دو انتهای عضو) ایجاد می گردد.
– به نظر می رسد که اولاً محاسبه ماتریس سختی عضو به طور مستقیم در دستگاه مختصات کلی سیستم هم طولانی و هم وقت گیر خواهد بود.
– همچنین در این حالت نیروهای داخلی حاصل در انتهای اعضاء که در پایان محاسبات بدست می آیند در دستگاه مختصات کلی بیان شده و الزاماً نشانگر نیروی محوری، برشی و یا لنگر خمشی عضو نخواهد بود. بنابراین در انتهای عملیات برای یافتن این مولفه ها که در عمل بیشتر مورد لزوم هستند تبدیل مختصات ضروری خواهد بود.
– بنابراین برای سادگی و نیز طولانی و وقت گیر نبودن محاسبات بهتر است که ماتریس سختی عضو در یک دستگاه مختصات مخصوصی که دستگاه مختصات محلی نامیده می شود، محاسبه شود و سپس تبدیل مختصات روی آن انجام گیرد.
– بر این اساس دستگاه مختصات محلی عضو (Local Coordinate System) تعریف می شود. در این دستگاه محلی محور x منطبق بر محور طولی عضو ij (Longitudinal Axis) می باشد و دو محور دیگر منطبق بر محورهای اصلی مقطع عضو می باشند.
– با توجه به اینکه بر مبنای این تعریف بین دو انتهای عضو فرقی گذارده نمی شود، از اینرو مشکل مربوط به نوع نیروهای داخلی (کششی، فشاری و … ) که در دو انتهای عضو بوجود می آید از بین می رود.
– حال ماتریس سختی یک عضو را می توان نسبت به دستگاه مختصات محلی بدست آورد. به عبارت دیگر در این حالت ماتریس سختی عضو با وارد کردن تغییر مکان در امتداد هر یک از محورهـای مختصات محلی و محاسبه نیروی مورد
نیاز برای ایجاد آن در امتدادمحور محلی و نیروهای مورد نیاز برای جلوگیری از تغییر مکان در سایر امتدادها (در دو انتهای عضو) ایجاد می گردد. برای یافتن نیروهای مذکور تنها از دو روش استفاده می شود: (1) استفاده از قضایای انرژی؛ (2) استفاده از روش شیب- افت
” با توجه به سهل و جامع بودن روش شیب- افت، در استخراج ماتریس سختی عضو در مختصات محلی از این روش بهره گرفته شده است.“
تغییر مکان محوری (δ1) در جهت محور x
دوران محوری- پیچش (δ4) حول محور x
تغییر مکان (δ2) در جهت محور y ، در صفحه x-y
دوران (δ6) حول محورz ، در صفحه x-y
تغییر مکان (δ3) در جهت محور z، در صفحه x-z
دوران (δ5) حول محور y ، در صفحه x-z
– بنابراین داریم:
4- تشکیل ماتریس سختی یک سازه: (Assembly of the Structural Stiffness Matrix)
– ماتریس سختی سازه در دستگاه مختصات کلی تشکیل می گردد: (1- متعامد (XYZ)، 2- راستگرد، 3- ثابت و 4- اختیاری)
– در تشکیل ماتریس سازه از دو اصل مهم استفاده می شود:
الف) اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه،
ب) تعادل در گره های سازه.
– اصل سازگاری تغییر مکان ها در گره های سازه ایجاب می کند که:
به عبارت دیگر تغییرمکان های انتهای اعضای متصل به یک گره خاص برابر تغییرمکان آن گره می باشد.
– اصل تعادل نیروها در گره های سازه ایجاب می کند که:
به عبارت دیگر بر اساس این اصل، نیروهای انتهایی اعضای متصل به یک گره خاص باید برابر نیروی خارجی موثر در آن گره باشند.
– در دستگاه مختصات محلی داریم:
– اگر دستگاه مختصات محلی را به عنوان دستگاه جدید و دستگاه مختصات کلی را به عنوان دستگاه مختصات قدیمی در نظر بگیریم خواهیم داشت:
ماتریس دوران Rij ماتریسی است که یک بردار را از دستگاه مختصات کلی (XYZ) به دستگاه مختصات محلی (xyz) (در گره i) تبدیل می کند. ماتریس دوران Rji ماتریسی است که یک بردار را از دستگاه مختصات کلی (XYZ) به دستگاه مختصات محلی (xyz) (در گره j) تبدیل می کند.
– از جایگذاری در معادله مورد نظر داریم:
– فرم دقیق ماتریس Rij برای انواع مختلف سازه ها بعداً ارائه خواهد شد.
– از جایگذاری روابط مذکور در معادله حاصل از اصل تعادل در گرهi و نیز با ملاحظه اصل سازگاری تغییر مکان ها داریم:
– با نوشتن معادله مذکور برای تمام گره ها و ترتیب مناسب آنها رابطه ماتریسی زیر به دست می آید.
اکنون کاملاً روشن می شود که چگونه می توان ماتریس سختی سازه را تشکیل داد
(در یک برنامه کامپیوتری تحلیل ماتریسی سازه ها).
6- تحلیل خرپاها (Analysis of Trusses)
– خرپاها سازه های متشکل از اعضاء مستقیم نسبتاً لاغر هستند که توسط گره های مفصلی بدون اصطکاک به همدیگر متصل شده و فقط در گره ها تحت اثر بارهای خارجی قرار می گیرند (خرپای ایده ال).
– در عمل ایجاد گره های مفصلی بدون اصطکاک کار دشوار و یا غیر ممکن است. تفاوت بین یک خرپای ایده ال و یک خرپای حقیقی در این است که اعضای خرپای حقیقی علاوه بر نیروهای محوری، تحت اثر نیروی برشی و لنگر خمشی نیز قرار می گیرند. هرچه لاغری اعضای خرپا بیشتر می شود، این تفاوت کمتر می شود.
می توان خرپاها را با فرض گره های صلب نیز تحلیل کرد. این چنین تحلیلی با در نظر گرفتن سختی های خمشی اعضاء، نیروهای ثانویه (برش و لنگر) و همچنین نیروهای اولیه (نیروهای محوری) را نتیجه می دهد.
تحلیل تنش های ثانویه در دو مورد پیشنهاد می گردد:
سختی خمشی عضوها زیاد باشد،
نتایج با دقت بیشتری خواسته شده باشد.
– در اینجا صرفاً به تحلیل خرپاهای ایده ال خواهیم پرداخت.
– برای هر عضو ij خرپا فقط محور محلی x را در نظر می گیریم.
– هر گره صرفاً دارای مولفه تغییر مکانی در امتداد محور xها می باشد.
– مراحل تشکیل ماتریس سختی یک سازه خرپایی عبارتند از:
الف) تعیین ماتریس سختی عضو در دستگاه مختصات محلی:
– برای حالت خرپای دو بعدی مسطح داریم:
– همچنین می توان عکس العمل های تکیه گاهی را با استفاده از نیروهای اعضای خرپا به دست آورد:
– با استفاده از ماتریس سختی اولیه (بدون اعمال شرایط مرزی) خواهیم داشت:
برای بررسی تعادل گره i نیز از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(بررسی چند مثال)
7- تحلیل قاب های صلب مسطح (Planar Rigid Frames)
– در قاب های صلب اعضاء توسط گره های صلب به هم دیگر اتصال یافته اند، یعنی در یک گره زاویه بین اعضاء پس از تغییر شکل تغییر نمی کند.
– بارها ممکن است نظیر خرپاها در گره ها وارد شوند و یا مستقیماً بر روی اعضاء اثر نمایند (در این جا صرفاً حالتی را در نظر خواهیم گرفت که بارها بر گره ها وارد می شوند).
– وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:
– مراحل تشکیل ماتریس سختی یک قاب صلب دوبعدی عبارتند از:
الف) تعیین ماتریس سختی هر عضو در دستگاه مختصات محلی:
– همچنین می توان عکس العملهای تکیه گاهی را با استفاده از تغییرمکان های تعمیم یافته و با استفاده از ماتریس سختی اولیه (بدون اعمال شرایط مرزی) بصورت زیر به دست آورد:
– برای بررسی تعادل گرهها از رابطه زیر استفاده می کنیم:
ت) به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می دهیم.
(بررسی چند مثال)
– وضعیت محورهای مختصات محلی و کلی:
– مراحل تشکیل ماتریس سختی یک شبکه عبارتند از:
الف) تعیین ماتریس سختی عضو:
ت) به همان روال قبلی ماتریس سختی سازه را تشکیل می دهیم.
– همچنین می توان عکس العمل های تکیه گاهی را با استفاده از تغییرمکان های تعمیم یافته و با استفاده از ماتریس سختی اولیه (بدون اعمال شرایط مرزی) بصورت زیر به دست آورد:
– برای بررسی تعادل گره ها از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(بررسی چند مثال)
9- تحلیل قاب های صلب سه بعدی (Three Dimensional Rigid Frames)
– ویژگی های این سازه ها عبارتند از:
* سازه و بارهای موثر بر آن در فضای فیزیکی سه بعدی قرار دارند.
* تمام اعضا (بجز تکیه گاه ها) به صورت صلب به همدیگر مرتبط یافته اند.
– محورهای مختصات محلی و کلی
– اکنون باید کوسینوس های محورهای محلی z, y را نسبت به محورهای کلی Z, Y, X بدست آوریم:
محورy عمود بر محور x و Z انتخاب می شود به گونه ای که حاصل برداری Z با x، محور y رانتیجه بدهد:
– حال می توان کوسینوس های هادی محور z را نیز بدست آورد:
– پس ماتریس دوران به صورت زیر بدست می آید:
– شرط استفاده از این ماتریس آن است که
محورمحلی x منطبق بر محور Z کلی نشود
چرا که در این صورت عضو موازی محور
Z بوده و D=o خواهد بود و نمی توان y
را تعیین نمود.
– در حالت خاصی که محور x محلی موازی محور Z در می آید، در این صورت محور y را می توان به عنوان محور Y از دستگاه مختصات کلی انتخاب کرد. در این صورت داریم:
– پس برای قاب های صلب سه بعدی اطلاعات ورودی برای تعریف هندسه سازه عبارتند از:
مختصات گره ها
نحوه اتصال اعضا (ij)
زاویه β برای هر عضو
10- خواص ماتریس های سختی (Properties of the Stiffness Matrices)
الف) در ماتریس سختی زیرماتریس های غیر قطری مساوی ترانسپوز همدیگر هستند، یعنی:
اما با توجه به این قبلاً ثابت کرده ایم که
ب)عناصر ماتریس سختی K مقادیری عددی هستند.
– به همین ترتیب می توان ثابت کرد که نیز یک ماتریس مثبت- معین است.
– مشخص است که به همین ترتیب می توان
ثابت نمود که:
بنابر این تمام درایه های قطری ماتریس سختی نهایی سازه (بعد از اعمال شرایط مرزی) مثبت می باشند.
ث) ماتریس های مثبت- معین، مثبت- نیمه معین و نامعین را به صورت زیر نیز تعریف می کنند:
– ماتریس مثبت- معین، ماتریسی است که ویژه مقادیر(Eigenvalues) آن همگی مثبت می باشند.
– ماتریس مثبت- نیمه معین، ماتریسی است که ویژه مقادیر آن مساوی یا بزرگتر از صفر می باشند.
– ماتریس نامعین ماتریسی است که ویژه مقادیر آن منفی، صفر و مثبت می توانند باشند.
– ویژه مساله استاندارد برای ماتریس سختی K را می توان به صورت زیر نوشت:
( یکی از ویژه مقادیر ماتریس K و یکی از ویژه بردارهای(Eigenvectors) ماتریس K می باشند) جواب های این مساله ویژه جفت های و می باشند.
ج) ماتریس سختی بصورت ماتریس نواری است. به عبارت دیگر عناصر غیر صفر در اطراف قطر اصلی هستند، مشروط بر این که تمام گره ها به همدیگر متصل نشده باشند. شماره گذاری طوری انجام شود که تفاضل بین دو شماره مشخص یک عضو به حداقل ممکن محدود شده باشد. یعنی تفاوت بین دو شماره مربوط به یک عنصر حتی المقدور مینیمم مقدار ممکن را داشته باشد.
3= ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا
تعداد درجات آزادی×[1+(ماکزیمم تفاوت)×2]= عرض نوار ماتریس K
=[(2)(3)+1]3=21
4= ماکزیمم تفاوت بین شماره دو انتهای اعضا
تعداد درجه آزادی×[1+(ماکزیمم تفاوت)×2]= عرض نوار ماتریسK
=[(2)(4)+1]3=27
بنابراین توجه به شماره گذاری گره ها، باعث کاهش عرض نوار ماتریس K و بالنتیجه صرفه جویی در انبار نمودن اطلاعات در ماشین می گردد.
– مثالی دیگر در مورد تاثیر شماره گذاری در عرض نوار ماتریس سختی سازه: