برای عوض شدن صفحات کلید اسپیس یا کلید اینتر را بفشارید
نکته های مهم ریاضی دوره راهنمایی
3- مجموع مقسوم علیه های یک عدد
مثال
1- روش پیدا کردن دو عدد وقتی مجموع و تفاضل معلوم باشد
4- حاصل ضرب مقسوم علیه های یک عدد:
مثال:
5 اگر مجموع دو عدد اول عددی فرد باشد حتماً یکی از آن دو عدد 2 است.
6- اگر تفاضل دو عدد اول عددی فرد باشد حتماً یکی از آن دو عدد 2 است.
7-به 30 لیتر اسید %40 چند لیتر اسید خالص اضافه کنیم تا اسید %60 بدست آید.
فرمول:
8-
9-
10-
11-
12- برای پیدا کردن حاصل عبارت زیر از فرمول استفاده می کنیم. n آخرین پایه مخرج است.
13- برای پیدا کردن حاصل عبارت زیر از فرمول استفاده می کنیم n آخرین پایه است.
14-برای بدست آوردن حاصل عبارت زیر به این ترتیب عمل می کنیم
1= aو4=bو124=n می باشد
15- برای پیدا کردن زاویه بین دو عقربه ساعت . از فرمول
16- هرگاه داشته باشیم (aیک عدد صحیح m رقمی است)و بخواهیم بدانیم این حاصل ضرب چند رقمی است.a را باbجمع می کنیم.
مثال
17-حاصل عبارت زیر برابر است با:
استفاده می کنیم.
18- تعداد اعداد کوچکتر از Aکه نسبت بهA اول باشنداز فرمول زیر استفاده می شود
19- اگر یک عدد مربع کامل باشد و بخواهیم به روش تجزیه جذر عدد را حساب کنیم کافی است پایه ها را نوشته و نماها را نصف کنیم.
20-
21-در تجزیه یک عدد به عاملهای اول، اگر نمای تمام عوامل زوج باشند آن عدد مربع کامل است.و اگر نمای تمام عوامل مضربی از 3 باشد آن عدد مکعب کامل است.
22- برای پیدا کردن حاصل عبارتهای زیر از فرمول
استفاده می کنیم (M آخرین توان وm ا ولین توان می باشد)
23- اگر a عددی بزرگتر از واحد باشد آنگاه:
24- اگر a عددی مثبت و کوچکتر از واحد باشد آنگاه:
25-اگر یا باشد آنگاه:
26- اعداد منفی جذر حقیقی ندارند.
27- اگر رضا کاری را در m ساعت و رضا و علی همان کار را در n ساعت
انجام دهند رضا به تنهایی در مدت ساعت همان کار را انجام می دهد.
28- اگر رضاکاری را در m ساعت و علی همان کار را در n ساعت انجام
دهند دو نفر با هم کار را در ساعت انجام می دهند.
29- اگر رضا کاری را در m ساعت و علی در n ساعت و حسن در p ساعت
انجام دهند سه نفر با هم کار را در ساعت انجام می دهند.
30- اگر متحرکی یک مسیر را با سرعت 1V برود و با سرعت 2V برگردد، سرعت
متوسط متحرک از رابطه بدست می آید.
31- اگر v , x و t به ترتیب مسافت، سرعت و زمان باشند آنگاه:
32- اگر فروشنده ای دو تخفیف متوالی %m و %n برای کالایی در نظر بگیرد
برای اینکه بدانیم چند درصد بهای اولیه کالا را تخفیف داده است از رابطه زیر
استفاده می کنیم:
33- تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر است با
34- تعداد زیر مجموعه های محض یک مجموعه n عضوی برابر است با
35- خواص تناسب:
ترکیب نسبت در صورت:
تفضیل نسبت در صورت:
ترکیب نسبت در مخرج:
تفضیل نسبت در مخرج:
36- هر عدد منفی به توان فرد برسد، حاصل عددی منفی است.
قواعد توان
37- هر عدد منفی به توان زوج برسد، حاصل عددی مثبت است.
38-
39-
40-
41-
42- اگر
و
باشند آنگاه:
43- اگر
و
باشند آنگاه:
44- اگر
یا
و
باشند آنگاه:
45- اگر
و
باشند می توان گفت:
46- اگر
و m عددی فرد باشد، می توان گفت:
47- اگر
و m عددی زوج باشد نمی توان گفت:
مختصات و بردار
48- محورهای مختصات صفحه را به چهار ناحیه تقسیم می کنند.
49- هر نقطه واقع در ناحیه اول طول
و عرضش مثبت است.
50- هر نقطه واقع در ناحیه دوم طولش
منفی و عرضش مثبت است.
51- هر نقطه واقع در ناحیه سوم طول و عرضش منفی است.
52- هر نقطه واقع در ناحیه چهارم طولش مثبت و عرضش منفی است.
53- هر نقطه واقع بر محور طول، عرضش صفر است و بالعکس.
54- هر نقطه واقع بر محور عرض، طولش صفر است و بالعکس.
55- اگر A و B دو سر یک پاره خط و M وسط آن پاره خط باشد آنگاه:
56- در متوازی الاضلاع ABCD داریم:
57- قرینه نقطه نسبت به محور طول نقطه است.
58- قرینه نقطه نسبت به محور عرض نقطه است.
59- قرینه نقطه نسبت به مبدا مختصات نقطه است.
60- قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم نقطه است.
61- قرینه نقطه نسبت به نیمساز ناحیه دوم و چهارم نقطه
است.
62- قرینه نقطه نسبت به نقطه نقطه است.
63- قرینه نقطه
نسبت به خط
نقطه
است.
64- قرینه نقطه
نسبت به خط
نقطه
است.
65- اگر
و
باشند آنگاه:
66- اگر
به جهت انتقال علامت x و y
مختصات یک بردار باشد، با توجه
نمودار زیر مشخص می کند.
67- هر برداری که موازی محور طول باشد، عرضش صفر است و بالعکس
68- هر برداری که موازی محور عرض باشد، طولش صفر است و بالعکس
69- اگر یک بردار و m یک عدد حقیقی باشد درباره بردارهای و می توان گفت
1- باشد آنگاه بردار و بردار هم جهتند.
2- اگر باشد آنگاه بردار و بردار مختلف الجهتند.
3- اگر باشد آنگاه:
4- اگر باشد آنگاه:
5- اگر باشد آنگاه بردار قرینه بردار است.
6- اگر یا باشد آنگاه اندازه بردار از اندازه بردار بزرگتر است.
7- اگر باشد آنگاه اندازه بردار از اندازه بردار کوچکتر است.
8- اگر یا باشد آنگاه اندازه بردار با اندازه بردار مساوی است.
70- اگر و k عددی حقیقی باشد آنگاه:
71- اگر و باشند دو بردار و مساویند در صورتیکه a=c و b=d.
72- اندازه بردار را با نماد نشان می دهند. اگر باشد
آنگاه:
73- برای اینکه سه نقطه A و B و C بر روی یک خط راست قرار گیرند،کافی است داشته باشیم:
74- در شکل زیر اگر
باشد آنگاه:
75- اگر
میانه نظیر ضلع BC از مثلثABC باشد آنگاه:
76- میانه مساحت مثلث را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند.
77- اگرM و N وسط های اضلاع AB و AC از مثلث ABC باشند آنگاه:
ضمنا M N موازی BC نیز می باشد
78- اگر نقطه
را k بار با بردار
انتقال دهیم، نقطه
بدست می آید.
79- اگر
و
دو بردار باشند حاصل تفریقa-b
برداری است مانند
که داشته باشیم
80- اگر O محل تلاقی قطرهای متوازی اضلاع ABCD باشد آنگاه:
81- اگر G محل برخورد میانه های اضلاع مثلث ABC باشد آنگاه:
82-اگردو عدد گویا باشندعدد گویای واقع بین این دو عدداز فرمول زیر
بدست می آید.
جبر
83-نماد علمی هر عدد به صورت نوشته می شود که در آن 10 > k
وnیک عدد صحیح است
84-
1
85 -برای بدست آوردن تعداد مقسوم علیه های طبیعی یک عدد به صورت زیر عمل می کنیم .ابتدا عدد را به عوامل اول تجزیه می کنیم . سپس به توان هر عامل یک واحد اضافه کرده توانها ی بدست آمده را در هم ضرب می کنیم . مثال عدد 2400
تعداد مقسوم علیه های اول هرعدد برابر است با تعداد پایه های اول آن عدد مثال:2400 سه مقسوم علیه اول دارد
تعداد مقسوم علیه های مرکب برابر است با:
(1 +تعداد مقسوم علیه های اول )-تعداد مقسوم علیه های طبیعی
تعداد مقسوم علیه های زوج برابر است با :
به توان تمام عوامل اول آن عدد یک واحد اضافه میکنیم غیر از توان روی2 سپس اعداد بدست آمده را در هم ضرب می کنیم.
تعداد مقسوم علیه های مضرب 3 برابر است با :
به توان تمام عوامل اول آن عدد یک واحد اضافه میکنیم غیر از توان روی3 سپس اعداد بدست آمده را در هم ضرب می کنیم.
88- b-a و a-b قرینه یکدیگرباشند
86-
87-
چند اتحاد
89-
90- حاصل همواره مساوی 2 نیست. بلکه در صورتی مساوی 2
است که یا باشد.
91- اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.
92- اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد منفی ضرب کنیم جهت نامساوی عوض می شود.
93-
94- معادله ax=b را در نظر می گیریم:
1- اگر باشد معادله فقط یک جواب دارد و جواب آن است.
2- اگر و باشند معادله جواب ندارد و آنرا معادله غیرممکن می نامند.
3- اگر و باشند معادله بیشمار جواب دارد و آنرا معادله مبهم می نامند.
اگر
باشد آنگاه:
96-
95-
معادله خط
97- معادله کلی خطوطی که از مبدا مختصات می گذرند و شیبشان a است. به صورت y=ax می باشد.
98- معادله کلی خطوطی که شیبشان a بوده و محور عرض را در نقطه ای به عرض b قطع می کنند بصورت y=ax+b می باشد.
99- شیب، عرض از مبدا و طول از مبدا خط y=ax+b به ترتیب a، b و
می باشند.
100-کلیه خطوطی که شیبشان مساوی و عرض از مبداءشان مختلف باشند با هم موازیند.
101-کلیه خطوطی که شیبشان مساوی و عرض از مبداءشان نیز برابر باشند بر هم منطبقند.
102-کلیه خطوطی که عرض از مبداء شان مساوی باشد در نقطه ای واقع بر محور عرض یکدیگر را قطع می کنند.
103-کلیه خطوطی که طول از مبداء شان مساوی باشند. در نقطه ای واقع بر محور طول یکدیگر را قطع می کنند.
104-معادله عمومی خطوطی که موازی محور طول می باشند به صورت y=b است.
105- معادله محور طول به صورت است.
106- معادله عمومی خطوطی که موازی محور عرض میباشند به صورت است.
107- معادله محور عرض به صورت می باشد.
108- معادله خطی که طول از مبداء و عرض از مبداء آن p و q باشد به صورت
است.
109- اگر معادله خط به صورت
باشد آنگاه:
110- در معادله :
1) اگر A و B و C مخالف صفر باشند، خط در نقاطی غیر از مبداء محورها را قطع می کند.
2) اگر و و باشند، خط از مبداء مختصات می گذرد.
3) اگر و باشند، خط موازی محور عرض یا منطبق برآن است.
4) اگر و باشند، خط موازی محور طول یا منطبق بر آن است.
111- دو خط و را در نظر بگیرید.
1) و موازیند در صورتیکه و باشند.
2) و بر هم منطبقند در صورتیکه و باشند.
3) و بر هم عمودند در صورتیکه یا باشد.
112- معادله خطی که از نقطه بگذرد و شیب آن a باشد از رابطه زیر بدست می آید.
113- شیب خطی که از دو نقطه و می گذرد از رابطه زیر بدست می آید.
114- معادله خطی که از دو نقطه و می گذرد از رابطه زیر
بدست می آید.
115- فاصله نقطه از مبداء مختصات از رابطه
بدست می آید.
116- فاصله دو نقطه و را می توان از فرمول زیر حساب کرد.
117- فاصله نقطه
از خط
به صورت زیر محاسبه می شود.
118- فاصله مبداء مختصات از خط
از فرمول زیر محاسبه می شود.
119- مساحت مثلثی که یک خط با محورهای مختصات می سازد، نصف
حاصلضرب طول از مبدا و عرض از مبدا است (بدون توجه به علامت)
120- دو خط و را در نظر بگیرید:
1) دو خط موازیند در صورتیکه:
2) دو خط بر هم منطبقند در صورتیکه :
3) دو خط بر هم عمودند در صورتیکه:
121- دستگاه جواب ندارد در صورتیکه
بیشمار جواب دارد در صورتیکه:
فقط یک جواب دارد در صورتیکه:
هندسه
122- در هر دایره اگر دو وتر مساوی باشند کمانهای نظیرشان نیز مساوی است و بالعکس.
123- در هر دایره اندازه زاویه مرکزی با کمان مقابلش مساوی است.
124- در هر دایره اندازه زاویه محاطی با نصف کمان مقابلش
مساوی است.
125- در هر دایره اندازه زاویه ظلی با نصف کمان مقابلش
مساوی است.
126-
127-
128-نسبت اندازه زاویه محاطی به مرکزی روبه رو به یک کمان 1به2 می باشد
129-
130- در هر دایره وتری که به مرکز دایره نزدیکتر باشد بزرگتر است.
131- هر دو وتری که به مرکز دایره نزدیکتر باشد بزرگتر است.
132- هر دو وتری که مساوی باشند، از مرکز دایره به یک فاصله اند.
133- اگر قطری از یک دایره بر وتری از آن عمود شود، آن وتر و کمانهای نظیرش نصف می کند.
134- اگر قطری از یک دایره به وسط کمانی از آن دایره وصل شود، بر وتر نظیر آن کمان عمود است و آن را نصف می کند.
135- کمانهای محصور بین دو وتر موازی مساویند و بالعکس.
136- نقطه و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:
1) نقطه داخل دایره است که در این صورت فاصله نقطه تا مرکز دایره از شعاع کوچکتر است.
2) نقطه روی دایره است که در این صورت فاصله نقطه تا مرکز دایره با شعاع مساوی است.
3) نقطه خارج دایره است که در این صورت فاصله نقطه، تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.
137- خط و دایره نسبت به هم سه حالت دارند:
1) خط دایره را در دو نقطه قطع می کند که در این صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع کوچکتر است.
2) خط بر دایره مماس است که در این صورت فاصله خط تا مرکز دایره با شعاع مساوی است.
3) خط در خارج دایره است که در این صورت فاصله خط تا مرکز دایره از شعاع بزرگتر است.
138- خط مماس در نقطه تماس بر شعاع دایره عمود است.
139- دو دایره نسبت به هم سه حالت دارند:
1) دو دایره یکدیگر را در دو نقطه قطع می کنند. در این صورت طول خط
المرکزین از مجموع دو شعاع کوچکتر و از تفاضل دو شعاع بزرگتر است.
2)دو دایره بر هم مماسند.
الف) مماس داخلی: در این صورت طول خط المرکزین با تفاضل دو شعاع مساوی است.
ب) مماس خارجی: در این صورت طول خط المرکزین
با مجموع دو شعاع مساوی است.
140- دو دایره هیچ نقطه مشترکی ندارند.
الف) متداخل: در این صورت طول خط المرکزین از
تفاضل دو شعاع کوچکتر است.
ب) متخارج در این صورت طول خط المرکزین از مجموع دو شعاع بزرگتر است.
141- طول دو مماسی که از نقطه واقع در خارج دایره، بر آن دایره رسم می شوند برابرند.
R
142- دایره محاطی یک چند ضلعی، دایره ای است که
بر اضلاع چند ضلعی مماس است.
143- دایره محیطی یک چند ضلعی، دایره ای است که
از رئوس چند ضلعی می گذرد.
144- مرکز دایره محاطی هر مثلث محل تلاقی نیمساز زوایای مثلث است و شعاع دایره محاطی برابر فاصله مرکز دایره تا هر ضلع مثلث
می باشد.
145- مرکز دایره محیطی هر مثلث محل تلاقی عمود منصفهای اضلاع مثلث
است و شعاع دایره محیطی برابر فاصله مرکز تا رئوس مثلث
می باشد.
146- مرکز دایره محاطی و مرکز دایره محیطی مثلث متساوی الاضلاع بر هم منطبقند.
147- شعاع دایره محیطی مثلث متساوی الاضلاع دو برابر شعاع دایره محاطی آن مثلث است.
148- مساحت هر n ضلعی منتظم برابر است با:
سهم × نصف محیط
149- M نقطه دلخواه داخل مستطیل است.
150- شعاع دایره محاطی هر مثلث برابر است با که در آن S مساحت و p نصف محیط مثلث است.
151- شعاع دایره محیطی مثلث ABC برابر است با که در آن a و b و c طول اضلاع مثلث و s مساحت آن است.
152- مرکز دایره محیطی مثلث قائم الزاویه وسط وتر و شعاع آن نصف وتر است.
153- یک چهار ضلعی در صورتی که در یک دایره محاط می شود که هر دو زاویه مقابل آن مکمل یکدیگر باشند.
154- یک چهار ضلعی در صورتی بر یک دایره محیط می شود که در آن مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل دیگر مساوی باشد.
155- هر ذوزنقه محاط در یک دایره، متساوی الساقین است.
156- دو وتر مساوی که از دو سر یک قطر می گذرند موازیند.
157- دو وتر موازی که از دو سر یک قطر می گذرند مساویند.
158- شعاع دایره محیطی یک شش ضلعی منتظم با ضلع شش ضلعی مساوی است.
159- مساحت مثلثی که به اضلاع a و b و c از رابطه زیر که به رابطه هرون مشهور است بدست می آید.
160-شعاع دایره عمود بر وتر دایره،وتر وکمان مقابل آن را نصف می کند
164- در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر برابر است.
165- در هر مثلث قائم الزاویه میانه وارد بر وتر نصف وتر است.
166- در هر مثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 30 درجه نصف وتر است.
167- درهرمثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 45درجه مساوی وتر است.
168- درهرمثلث قائم الزاویه ضلع مقابل به زاویه 60 درجه مساوی وتر است.
169- درمثلث قائم الزاویه ای که یک زاویه 15 درجه یا 75 درجه داشته باشیم ارتفاع وارد بر وتر ربع وتر است.
170-در مثلث قائم الزاویه مقابل داریم
مساحت قسمت رنگی برابر است با:
171-الف:مساحت قسمت رنگی برابر است با:
ب-
172- تعداد قطرهایn ضلعی برابراست با
173- قطر مربعی به ضلع a برابر است با
174- قطر مستطیلی به ابعاد a و b برابر است با:
175- قطر مکعبی به ضلع a برابر است با:
176- قطر مکعب مستطیلی به ابعاد a و b و c برابر است با:
177- ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a برابر است با:
178- مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a برابر است با:
179- شعاع دایره محیطی مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a برابر است با:
180- شعاع دایره محاطی مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a برابر است با:
181- شعاع دایره محیطی هر مثلث قائم الزاویه نصف وتر است.
b
182- شعاع دایره محاطی مثلث قائم الزاویه ABC برابر است با:
183- سه عدد طبیعی که در رابطه فیثاغورس صدق کنند اعداد فیثاغورسی نامیده می شوند.
184- مساحت شش ضلعی منتظم به ضلع a برابر است با:
185- مثلث قائم الزاویه به وتر a و به اضلاع زاویهقائمه b و c:
186- مجموع مساحتهای هلالین بقراط با مساحت مثلث قائم الزاویه مساوی است.
مثلث
مثال
187- شکلهای زیر
مثلثها متساوی الاضلاعند
188- اگر b و c اضلاع مجاور به زاویه قائمه و h ارتفاع وارد بر وتر مثلث قائم الزاویه باشند آنگاه:
189- شعاع دایره محیطی یک شش ضلعی منتظم به ضلع a برابر است باa.
190- شعاع دایره محاطی یک شش ضلعی منتظم به ضلع a برابر است با:
191- فرمول محاسبه ارتفاع وارد بر ساق مثلث متساوی الساقین به ساق b و قاعدهa به صورت زیر است:
192- فاصله نقطه تقاطع میانه های هر مثلث از یک راس دو برابر فاصله این نقطه تا پای میانه است.
193- تعداد اضلاع یک n ضلعی منتظم بااستفاده از اندازه یک زاویه داخلی آن:
194- اندازه هر زاویه یک n ضلعی منتظم برابر است با:
195- اگر h ارتفاع وارد بر وتر و a وتر یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین باشد می توان گفت:
196- شعاع دایره محاطی مربعی به ضلع a برابر است با:
197- شعاع دایره محیطی مربعی به ضلع a برابر است با:
198- در هر متوازی الاضلاع مجموع مربعات قطرها با مجموع مربعات اضلاع برابر است.
199- دو n ضلعی را متشابه گویند در صورتیکه زاویه هایشان دو بدو مساوی بوده و اضلاعشان متناسب باشند.
200- در مثلث ABC اگر
باشد آنگاه:
203- دو لوزی که یک زاویه مساوی داشته باشند متشابهند.
204- دو مستطیل دلخواه متشابه نیستند.
201-
202-
206- دو مثلث متساوی الساقین که یک زاویه برابر داشته باشند همواره متشابه نیستند.
207- در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاعهای متناطر با نسبت اضلاع(نسبت تشابه) برابر است.
208- در دو مثلث متشابه نسبت نیمسازهای متناظر با نسبت تشابه برابر است.
209- در هر دو مثلث متشابه نسبت میانه های متناظر با نسبت تشابه برابر است.
210- در دو مثلث متشابه نسبت محیطها با نسبت تشابه برابر است.
211- در دو مثلث متشابه نسبت مساحتها با مجذور نسبت تشابه برابر است.
C
H
a
B
205-
212- به طور کلی نسبت محیطهای دو n ضلعی متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.
213- بطور کلی نسبت مساحتهای دو n ضلعی متشابه با مجذور نسبت اضلاع مساوی است.
214- نسبت قطرهای متناظر دو چند ضلع متشابه با نسبت اضلاع مساوی است.
C
D
A
216- اگر
باشد آنگاه:
D
B
E
215-
217- چهارضلعی MENF مربع است.
218- حجم مکعب به ضلع a برابر است با 3a.
219- مساحت جانبی مکعب به ضلع a برابر است با
220- مساحت کل مکعب به ضلع a برابر است با
221- حجم مکعب مستطیل به ابعاد a و b و c برابر است با abc.
222- مساحت جانبی مکعب مستطیل به طول و عرض a و b و ارتفاع c برابر است با
F
223- مساحت کل مکعب مستطیل به ابعاد a و b و c برابر است با: .
224- حجم منشور =ارتفاع×مساحت قاعده
225- مساحت جانبی منشور = ارتفاع× محیط قاعده
226- مساحت کل منشور=مساحت دو قاعده + مساحت جانبی
227- حجم استوانه=ارتفاع× مساحت قاعده
228- مساحت جانبی استوانه= ارتفاع× محیط قاعده
229- حجم هرم= ارتفاع × مساحت قاعده×
230- حجم مخروط= ارتفاع × مساحت قاعده×
231- مساحت جانبی مخروط= ×شعاع قاعده × مولد
232- مساحت کره = حجم کره =
233- اگر شعاع کره ای را m برابر کنیم مساحت آن 2m برابر و حجم آن 3m برابر می شود.
234- اگر ضلع مکعبی را m برابر کنیم حجم آن 3m برابر و مساحت جانبی آن 2m برابر می شود.
235- اگر ابعاد یک مکعب مستطیل را m برابر کنیم حجم آن 3m برابر می شود.
236- اگر مستطیل را حول طول آن دوران دهیم استوانه ای پدید می آید که طول مستطیل ارتفاع استوانه و عرض آن شعاع قاعده می باشد.
237- اگر مثلث قائم الزاویه ای را حول یک ضلع زاویه قائمه دوران دهیم، مخروطی پدید می آید که ارتفاع آن برابر است با طول همان ضلعی که حول آن دوران داده ایم و شعاع قاعده مخروط برابر ضلع دیگر زاویه قائمه می باشد.
238- اگر مثلث قائم الزاویه ای را حول و ترش دوران دهیم دو مخروط پدید می آید.
239- اگر مثلث متساوی الاضلاعی را حول یک ضلع آن دوران دهیم دو مخروط مساوی پدید می آید.
240- با دوران یک ربع دایره حول شعاعش یک نیمکره و با دوران یک نیمدایره حول قطرش یک کره پدید می آید.
241- از دوران یک ذوزنقه قائم الزاویه حول ساق قائم، مخروط ناقصی پدید می آید که حجم آن از دستور زیر قابل محاسبه است.
242- اگرمکعبی رادر یک کره محاط کنیم قطر مکعب با قطر کره مساوی است.
243- اگرکره ای در یک مکعب محاط شود قطرکره با ضلع مکعب مساوی است
244- اگر کره ای در یک استوانه محاط شود ارتفاع استوانه برابر قطر کره و شعاع قاعده استوانه با شعاع کره مساوی است.
245- اگر استوانه ای داخل کره ای محاط شود وسط ارتفاع استوانه بر مرکز کره قرار می گیرد.