Normal distribution توزیع نرمال
بهترین شاخص مرکزی توصیف هر توزیع کمی : میانگین
بهترین شاخص مرکزی برای میانگین : انحراف معیار
توزیع نرمال ، یکی از مهمترین توزیع های احتمالی پیوسته در نظریه احتمالات است.
دلیل اصلی این پدیده، نقش توزیع نرمال در قضیهٔ حد مرکزی است.
در قضیهٔ حد مرکزی نشان داده میشود که تحت شرایطی، مجموع مقادیر حاصل از متغیرهای مختلف که هرکدام میانگین و پراکندگی متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است.
این قانون که تحت شرایط و مفروضات طبیعی نیز برقرار است، سبب شده که برایند نوسان های مختلفِ تعداد زیادی از متغیرهای ناشناخته، در طبیعت به صورت توزیع نرمال آشکار شود.
بعنوان مثال، با اینکه متغیرهای زیادی بر میزان خطای اندازه گیریِ یک کمیت اثر میگذارند،
(مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه گیری، شرایط محیط و …)
اما با اندازه گیری های متعدد، برایند این خطاها همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است.
مثال های دیگری از این نوسان های طبیعی، طول قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.
این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ کارل فردریک گاوس از آن در کارهای خود با نام توزیع یا تابع گوسی (گاوسی) نامیده می شود؛ همچنین به دلیل شکل این توزیع، با نام انحنای زنگوله ای
Bell Shaped (زنگدیس) نیز معروف است.
تابع احتمال این توزیع دارای دو پارامتر است که یکی تعیین کنندهٔ مکان (μ) و دیگری تعیین کنندهٔ مقیاس (σ) توزیع هستند.
منحنی تابع احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر μ = 0 و σ = 1 باشد توزیع، نرمال استاندارد نامیده می شود
قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد.
قسمت آبی روشن و آبی تیره به طور توام، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند.
در توزیع نرمال، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است
توزیع نرمال
میانگین فشار خون جامعه
فراوانی فشار خون ها (اعداد طبیعی)
فشار خون کمیتی پیوسته است
10
11
12
13
14
فشار خون
فراوانی
توزیع نرمال
می خواهیم فراوانی را به احتمال تبدیل کنیم:
P(robability) = F(requency) / N(umber)
10
11
12
13
14
1
فشار خون
احتمال
جمع تمام این احتمالات چند است؟ (سطح زیر منحنی چقدر است؟( 1)
این منحنی چه چیز را نشان می دهد؟ (چگونگی توزیع احتمال فشار خون های مختلف در جامعه)
به این طور نمودارها، نمودارهای نرمال (توزیع نرمال) می گویند
توزیع نرمال
خصوصیات توزیع نرمال:
زنگوله ای بودن
Symmetric بودن
10
11
12
13
14
1
فشار خون
احتمال
توزیع نرمال
آیا انتظار دارید متغییری مثل وزن هم توزیع نرمال داشته باشد؟
55
65
75
85
95
1
وزن
احتمال
توزیع نرمال
شاخص های نماینده توزیع نرمال:
135
138
141
144
147
1
غلظت سدیم خون افراد جامعه
احتمال
توزیع نرمال
شاخص های نماینده توزیع نرمال:
میانگین (µ): نشان دهنده تراکم داده ها حول یک مقدار
انحراف معیار (σ): نشان دهنده میزان پراکندگی داده ها از میانگین
مثال کاربرد µ و σ:
µ
µ + SD
1
غلظت سدیم خون افراد جامعه
احتمال
µ + 2SD
µ – SD
µ – 2SD
66%
95%
توزیع نرمال
تمرین 1: اگر میانگین فشار خون در جامعه 12 و انحراف معیار آن 1 باشد:
چند درصد مردم فشار خون بالای 14 دارند؟
چند درصد مردم فشار خون کمتر از 11 دارند؟
10
11
12
13
14
1
فشار خون
احتمال
2.5%
2.5%
95%
66%
توزیع نمونه برداری
خصوصیات:نمونه های متعدد:
میانگین همه توزیع نرمال ها برابر میانگین جامعه است.
با افزایش اندازه نمونه انحراف معیار منحنی نرمال کاهش می یابد.
معرفی SEM (SD x) SDx = σ/ n
توزیع میانگین یک توزیع نرمال است!
Estimation
SDx = σ/ n = 0.1
µ
µ + 0.1
1
فشار
احتمال
µ + 0.2
µ – 0.1
µ – 0.2
66%
95%
فرض: میانگین نمونه روی تقطه 1 µ=12.7
فرض: میانگین نمونه روی تقطه 2 ← µ=12.6
فرض: میانگین نمونه روی تقطه 3 ← µ=12.5
فرض: میانگین نمونه روی تقطه 4 ← µ=12.4
فرض: میانگین نمونه روی تقطه 5 ← µ=12.3
1
2
3
4
5
Estimation
SDx = σ/ n = 0.1
µ
µ + 0.1
1
فشار
احتمال
µ + 0.2
µ – 0.1
µ – 0.2
66%
95%
اگر میانگین نمونه در نقطه ای بین نقطه 1و 5 باشد، میانگین جامعه بین 3/12 و 7/12 است.
95% میانگین ها بین تقطه 1و 5 هستند.
1و2 ← به احتمال 95% میانگین جامعه بین 3/12 و 7/12 است.
1
2
3
4
5
Estimation
SDx = σ/ n = 0.1
µ
µ + 0.1
1
فشار
احتمال
µ + 0.2
µ – 0.1
µ – 0.2
66%
95%
بیان ریاضی: confidence interval (حدود اطمینان): CI
% 95 CI 12.3 to 12.7
Confidence limits
1
2
3
4
5
Estimation
SDx = σ/ n = 0.1
µ
µ + 0.1
1
فشار
احتمال
µ + 0.2
µ – 0.1
µ – 0.2
66%
95%
1
2
3
4
5
تمرین 2: 66 % confidence interval را در این مطااعه محاسبه کنید.
Hypothesis
مراسم ثبت نام و آزمایشگاه تکمیلی فشار خون!
فرضیه: فشار خون بالا در پسرها بیشبر یافت می شود. (فشار با سن ارتباط دارد)
H1 (فرضیه ای که محقق در صدد اثبات آن است): فشار با جنس دارد.
H0: فشار باجنس ارتباط ندارد.
خطای الفا یا نوع 1:با توجه به اینکه ما یک نمونه از داده ها داریم ممکن تصمیم نادرستی درباره رد یا قبول فرضیه صفر بگیریم خطای نوع 1 زمانی که فرضیه صفرواقعا درست باشد و ما آنرا رد کنیم خطای نوع 1 را با آلفا α نشان می دهند.مقادیر α معمولا 0.05 است
خطای بتا یا نوع 2: خطای نوع2 :زمانی که فرضیه صفرواقعا نادرست باشد و ما آن را قبول کنیم در خطای نوع 2 درحالی که وقعا اثری وجود دارد نتیجه می گیریم که اثری وجود ندارد.خطای نوع 2 را با β نشان می دهند .
توان آزمون را با( β 1- ) نشان می دهند و به صورت در صد بیان می شود.توان، احتمال رد فرضیه صفر است وقتی که نادرست باشد
نمونه گیری تصادفی: 100 نفر پسر و 100 نفر جوان
Hypothesis
انجام آزمایش: میانگین دخترها11.5
میانگین پسرها: 12.5
تکرار 100 بار آزمایش برای رفع خطای نمونه گیری
قبول کردن خطای 5%
Hypothesis
محاسبه خطا!
5%
5%
دخترها
پسرها
Hypothesis
وقتی H0 ثابت شد:
فقط می توان گفت H1 ثابت نشده است.
!نتیجه واقعی مطالعه ما: P value < 0.001 ← significant
Hypothesis
تمرین :
در یک randomized trial، داروی ضد فشار خون و placebo به دو گروه مریض داده شد. نتیجه نشان داد که پس از 6 ماه که در گروه دریافت کننده داروی ضد فشار خون کاهش معنی داری در فشار خون ایجاد شده است. (P value < 0.001) در حالی که در گروه placebo کاهش فشار خون معنی داری دیده نشد.
(P value = 0.8) چه اشکالی به این مطالعه وارد است؟
Hypothesis
تمرین : اگر P value < 0.001 باشد شدت اختلاف بیشتر است یا P value < 0.1؟
در حقیقت P value ی معنی دار یعنی می توان نتیجه موجود را به کل جامعه تعمیم داد اما اندازه اختلاف یا شدت اختلاف را نشان نمی دهد و اساسا هدف اصلی در هر مطالعه ای تعمیم نتیجه آن به کل حامعه است. برای محاسبه شدت اختلاف از آماره های دیگری استفاده می کنیم
شدت اختلاف
Risk یا Rate: درصد افرادی از یک گروه که دچار یک عارضه شده اند.
بررسی اثر پروژسترون بالاتر از حد نرمال بر سرطان پستان
پروژسترون پایین
پروژسترون بالا
سرطان پستان
سالم
risk بروز سرطان در گروه ما با پروژسترون بالا؟ 20%
تعریف EER (Experimental Event Rate):
ریسک بروز سرطان در گروه با پروژسترون پایین ؟ 2%
تعریف CER (Control Event Rate):
شدت اختلاف
راههای محاسبه شدت اختلاف؟
تفاوت دو ریسک
نسبت دو ریسک
شدت اختلاف
نسبت دوریسک= EER/CER=relative risk(RR)
پروژسترون پایین
پروژسترون بالا
سرطان پستان
سالم
RR در این مطالعه چقدر است؟
10 رابطه مثبت
فرمول
میزان بروز بیماری در گروه 1
میزان بروز بیماری در گروه2
در مطالعات کوهورت گروه 1 در معرض یک عامل خاصی قرار دارد و گروه 2 به عنوان گروه شاهد ودر معرض عامل مورد نظر قرار ندارند.
مقدار خطر نسبی بزرگ تر از یک نشان دهنده اثر زیان آور عامل در معرض می باشد و بر عکس آن، خطر نسبی کمتر از یک نشان دهنده اثرات مفید آن عامل در معرض می باشد.
مثلا اگر گروه معرض شامل افراد سیگاری باشد و گروه شاهد شامل افراد غیر سیگاری باشد، ما یک خطر نسبی به علت سیگار را خواهیم داشت.
در یک مطالعه تعداد 200 کارگر که با پنبه نسوز کار می کردند را در نظر گرفته (گروه مورد) و تعداد 200 نفر دیگر از کارگران که از نظر سنی مشابه با گروه مورد بوده ولی در مواجهه با پنبه نسوز نبوده اند (گروه شاهد) را در نظر گرفته و آنها را به مدت 5 سال پیگیری کرده و از نظر ابتلا به بیماری ریوی مورد بررسی قرار دادیم ، تعداد 15 نفر از کارگران گروه مورد و 5 نفر از کارگران گروه شاهد دچار بیماری ریوی شده بودند.
با توجه به اینکه این مطالعه به صورت آینده نگر انجام شده است ، می توان خطر نسبی را محاسبه کرد و مقدار آن برابر است با:
R.R=15/200= 3
5/20
شدت اختلاف
بررسی اثر آسپیرین بر زخم معده
EER= 10/50=20%
CER=8/50=16%
RR=20/16=1.25 رابطه مثبت
عدم مصرف آسپیرین
مصرف آسپیرین
زخم معده
سالم
شدت اختلاف
بررسی اثر دادن داروی ضد فشار خون بر ایجاد عارضه (stroke-MI-death)
EER= 2/100=2%
CER=28/100=28%
RR=2/28=0.07 رابطه منفی
اگر RR برابر 1 باشد رابطه چگونه است؟
عدم مصرف دارو
مصرف دارو
با عارضه
بدون عارضه
شدت اختلاف
بررسی اثر سیگار بر سرطان ریه
RR در این مطالعه چقدر است؟
30/40
20/60
با دوبرابر کردن حجم گروه کنترل:
RR =
غیر سیگاری
سیگاری
سرطان ریه
سالم
= 2.25
= 2.25
30/50
20/100
شدت اختلاف
Odds: نسبت تعداد دفعاتی که یک واقعه رخ می دهد به تعداد دفعاتی که رخ نمی دهد
Odds در گروه سرطانی= 30/20=1.5
Odds در گروه غیر سرطانی = 10/40 = 0.25
Odds ratio : نسبت odds در گروه دارای عارضه به گروه بدون عارضه
Odds ratio = 1.5/0.25= 6
غیر سیگاری
سیگاری
سرطان ریه
سالم
شدت اختلاف
تفاوت دو ریسک:
CER:ریسک پایه
EER-CER| :ریسک مربوط به خودexposure
|EER-CER|=Absolute Risk Reduction)ARR (
ARI=
ریسک پایه
شدت اختلاف
ARR= | 2-27 |=25%
ARR= | 20-16 |=4%
مصرف دارو
با عارضه
بدون عارضه
عدم مصرف دارو
عدم مصرف آسپیرین
مصرف آسپیرین
زخم مZعده
سالم
سوال؟ قدم به قدم جلو می رویم. جلسه بعد : تعاریف آماری وسایل گزارش داده ها انواع مطالعات