بسم الله الرحمن الرحیم
دنباله فیبوناچی و دنباله لوکاس نوع دیگری از رشد و تصاعد را نشان می دهند. بیادآورید که در تصاعد حسابی ، جمله بعدی از جمع یک مقدار ثابت به جمله، کنونی بدست می آید و در تصاعد هندسی، جمله بعدی از ضرب یک مقدار ثابت در جمله کنونی بدست می آید و اما در دنباله فیبوناچی و دنباله لوکاس و امثال اینها، جمله بعدی از ضرب مقدار ثابت 1.618033988 در جمله کنونی بدست می آید که عددی اسرارآمیز است. بررسی این عدد شگفت انگیز صدهاسال قبل از میلاد در هند و 1200 سال بعد از میلاد توسط فیبوناچی، شیربچه یِ پیزا در ایتالیا وارد ریاضیات شد و نسبت مقدس و نسبت طلائی نام گرفت
که به این معادله درجه دوم منجر میشود
و با حل آن دو مقدار برای بخش بزرگتر به دست می آید
را کنار می گذاریمX2ولی چون بخش بزرگتر نمی تواند منفی باشد
دنباله لوکاس
فرض کنید فروشگاهی تاسیس می کنید که در روز اول 1 تومان و در روز دوم 3 تومان می فروشد ولی از آنپس، مقدار فروش هر روز باندازه مجموع فروش دو روز قبل از آن است. با چنین فرضیاتی فروش ما چگونه رشد می کند؟ … 1,3,4,7,11,18,29 این دنباله در ستون LS نشان داده شده و دنباله لوکاس نامیده می شود. در جدول مقابل، اولین ستون از سمت چپ روز را نشان می دهد و ستون LSمیزان فروش روزها و ستون Φ نسبت فروش روز به فروش روز قبل و ستون φ نسبت فروش روز به فروش روزبعد است. چنانکه دیده می شود Φ و φ بسوی مقدار ثابت 1.618033988 و 0.618033988 میل می کنند. این دو مقدار را نسبت فیبوناچی یا نسبت طلائی یا نسبت مقدس نامیده اند
دنباله فیبوناچی
روش بدست آوردن دنباله فیبوناچی نیز مانند دنباله لوکاس است با این تفاوت که مقدار فروش روز اول و دوم بترتیب 0 و 1 می باشد. فی الواقع دو مقدار اولیه می توانندهر عددی باشند بشرطی که مجموعشان صفر نباشد. بین Φ و φ این رابطه بر قرار است: Φ – φ = 1
کل هر چیزی را ، ومثلا پاره خط بالا را چگونه به دو بخش کوچک (b) و بزرگ (a) تقسیم می کنید که نسبت بخش کوچک به بخش بزرگ برابر باشد با نسبت بخش بزرگ به کل هر دو بخش؟ این مساله را می توانید به بیان ریاضی برگردانید: بخش کوچکتر را برابر با 1 و بخش بزرگتر را برابر با x می گیریم. در اینصورت :
نسبت مقدس از فرمولی با کسرهای متداوم و رادیکالهای تودرتو و توابع مثلثاتی هم بدست می آید
توجه: در این مقاله نشانه های Φ و φ بنحو یکسان و کاملا متمایزی بجای نسبت بزرگتر از 1 و نسبت کوچکتر از 1 بکار نرفته ولی از روی مقدارعددی می توان بسهولت تشخیص داد که نشانه به کدامیک مربوط است تشخیص دهیم که مقصود چیست.و گاهی از نشانه های Phi و phi استفاده شده است
ساختن مستطیل طلائی الف – مربعی به ابعاد 1 بسازید ب – از وسط یکی از اضلاع خطی به یکی از زوایای روبرو رسم کند ج – با شعاعی باندازه این خط یک کمان رسم کنید که طول مستطیل را مشخص نماید
مثلث طلائی و ستاره پنج پر طلائی مثلث ABC طلائی است هرگاه متساوی الساقین باشد و با رسم نیمساز زاویه C مثلث CXB بوجود آید چنانکه با مثلث اصلی متشابه باشد. ستاره پنچ پر که Pentagram نام دارد از 5 مثلث طلائی ساخته شده و همه اضلاع یکدیگر را به نسبت طلائی تقسیم می کنند
قضیه بطلمیوس
به ازای هر چهار عدد مختلط
به آسانی می توان تساوی زیر را تحقیق کرد
و با توجه به نابرابری مثلثی خواهیم داشت
اکنون به بررسی حالتی می پردازیم که این نابرابری به برابری بدل شود. در حالت نابرابری مثلثی،
تساوی، فقط و فقط هنگامی برقرار خواهد شد که
یک عدد حقیقی مثبت
( به شرط
باشد.)
پس به جستجوی شرطی می پردازیم که ضامن مثبت و حقیقی بودن عدد
یعنی
همدایره هستند .و
در دو طرف وتر واصل بین دو نقطه
قرار دارند، که نتیجه آن به ترتیب الفبایی قرار گرفتن این نقاط
(ساعتسو یا پادساعتسو ) است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم.
قضیه1.
به ازای هر چهار نقطه
در صفحه داریم
تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار می شود که این چهار نقطه همدایره ( یا همخط ) باشند و به ترتیب الفبایی ( ساعتسو یا پاد ساعتسو ) قرار گرفته باشند. حالت تساوی توسط ک. بطلیموس ( حدود 85 – 165 ب.م ) کشف گردید، در صورتی که حالت کلی متجاوز از هزار سال بعد توسط ل. اویلر (1707 – 1783) پیدا شد. ولی با استفاده از اعداد مختلط نتایج آن را می توان فقط در یک سطر به دست آورد.
عبارت
را نسبت ناهمساز چهار نقطه
گویند
گویند، این نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات، به خصوص در هندسه تصویری، که مسلماً یکی از زیباترین شاخه های ریاضیات است ایفا می کند.
فرع 1.
چهار نقطه همدایره ( همخط ) اند، اگر و فقط اگر
در مطالب بعد، همخطی، حالت خاص ( تباهیده ) همدایرگی در نظر گرفته می شود. هنگامی که چهار ضلعی محاطی به مستطیل بدل شود، قضیه بطلیموس به صورت زیر در می آید:
فرع 2.
( فیثاغورس ) در مثلث قائم الزاویه
، قائمه در راس
داریم
مثال.
فرض می کنیم
پنج ضلعی منتظمی به ضلع
محاط در دایره ای به شعاع
وسط
طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای
خواهیم داشت:
که درآن
طول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به
شعاع
است. از اینجا نتیجه می شود که
در تساوی
صدق می کند.
بنابراین نسبت شعاع
به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی،
، نسبت زرین معروف را می دهد:
ارتباط مثلث خیام /پاسکال و دنباله فیبوناچی
مثلث خیام را در سمت چپ می بینید که هر عدد آن از جمع دو عدد بالایش بدست آمده است هرگاه آنرا به شکل یک مثلث قائم الزاویه بچینیم چنانکه در تصویر سمت راست دیده می شود، آنگاه ارتباطش با دنباله فیبوناچی دیده خواهد شد این ارتباط در ردیف زیر با رنگ نشان داده شده است
این مثلث قائم الزاویه را که از روی مثلث خیام پاسکال ساختیم می توانیم بجای آنکه افقی یا عمودی نگاه کنیم، بطور قطری بنگریم و این نگرش با رنگ نشان داده شده است حاصل جمع هر قطر را در ستون سمت چپ با همان رنگ قطر می نویسیم اگر به اعداد این ستون دقت کنیم می بینیم که همان اعداد دنباله فیبوناچی است
ترتیبی دیگر از مثلث خیام پاسکال
در امتداد قطر ماتریس که در آن نیز مجموع اعداد عر ستون برابر اعداد در دنباله فیبوناچی خوهد شد
یکی از ارتباطات عجیب بین اعداد فیبوناچی و کسر گویای یک هشتاد ونهم است 89/1 که هرچند گویا است ولی اگر تقسیم کنیم عدد اعشاری حاصله هرگز تمام نمی شود. قسمتی ازآن عدد اعشاری اینست:
0.011235955056179775280898876404494
حال اگر اعداد دنباله فیبوناچی را بنحوی که در شکل روبرو دیده می شود بچینیم و از سمت راست، ستون به ستون جمع کنیم دیده می شود که همان عدد اعشاری بدست می آید
یک نکته اضافی که از مطلب این ردیف و دو ردیف بالا می توانیم نتیجه بگیریم اینست که ترتیب می تواند بسیار پرمعنا و نتیجه بخش باشد آنچه که در یک چیدمان خاص پنهان است، در چیدمان دیگری می تواند عیان و آشکار شود
بنا بر این ما حق داریم ترتیبات موجود را قابل تغییر بشماریم
– برای یادآوری ذکر می شود که رابطه یا معادله خطی آن است که متغیرهایش از درجه یک باشند یعنی توان دوم و سوم و…رادیکال و غیره نداشته باشند و همچنین
متغیرها در یکدیگر ضرب نشده باشند. مثلا x.y=5 یا x2-3x+1=y خطی نیستند .
2- علائم Lو F در تصویر روبرو بترتیب نشانه عدد لوکاس و عدد فیبوناچی است
3 – همچنین (F(n نشانه عدد امn در دنباله فیبوناچی است و (F(n+2 نشانه دومین عدد سمت راست آن و (F(n-2 نشانه دومین عدد سمت چپ آن است
با این ترتیب فرمول نخستین را برای n=6 از دنباله فیبوناچی و دو عدد سمت چپ و راستش را می آزمائیم
که درست است زیرا 3+ 8 + 21 = 4 x 8
32 = 32
مجموع فیبوناچی و لوکاس
با تشکر از توجه شما