پاورپوینت اثرات اضافه کردن یک تخمین زننده به سیستم حلقه بسته

بسم ا… الرحمن الرحیم
درس کنترل دیجیتال

اثرات اضافه کردن یک تخمین زننده به سیستم حلقه بسته

Effects of the addition of the observer on a.
Observed state feedback :
در جایگزینی قطبها در فیدبک حالت ، فرض نمودیم که
در دسترس می باشد ، لذا از آن استفاده کردیم و در فیدبک آنرا
closed – loop system
مورد استفاده قرار دادیم.

اما در عمل
واقعی در دسترس نبوده و لذا ماباید حالت تخمین
را مورد استفاده قرار دهیم .حال با توجه به
را به جای
سیستم زیر را که بطور کامل مشاهده پذیر وکنترل پذیر است را در
زده شده
یعنی
این مقدمه اثرات استفاده از
در معادله مشخصه
مورد بررسی قرار می دهیم .
سیستم
نظر می گیریم:

برای فیدبک حالت از حالت تخمین زده شده
استفاده می کنیم :
لذا داریم :
اگر اختلاف بین حالت واقعی و حالت تخمین زده شده را به عنوان
خطا تعریف کنیم ،داریم:

معادله
در معادله
داریم :
از قبل معادله خطای مشاهده کننده را داشتیم :
باجمع معادلات
خواهیم داشت :

Observed – state feedback control system
(دینامیک یک سیستم کنترل پس خور حالت رویت شده) می باشد .
معادله
شرح دهنده دینامیک فیدبک حالت تخمین زده شده میباشد
حال معادله مشخصه این سیستم فیدک حالت تخمین زده شده توسط
و قطبهای دلخواه تخمین زننده می باشند .
و معادله مشخصه عبارتست از :

یعنی طراحی
قطبهای فیدبک حالت را بگونه ای انتخاب می کنیم که سیستم دارای عملکرد مناسب باشد
قطبهای تخمین زننده را بگونه ای انتخاب می کنیم که پاسخ تخمین زننده بسیار سریع تر از پاسخ سیستم باشد . از آنجا که می خواهیم پاسخ سیستم تخمین زده شده در اسرع وقت
همگرا شود لذا معمولا پاسخ را 4 تا 5 برابر پاسخ سیستم واقعی در نظر می گیریم .
از آنجا که طراحی تخمین زننده ، بطورمعمول بصورت سخت افزاری نمی باشد، بلکه بصورت برنامه کامپیوتری است ، افزایش سرعت پاسخ امکانپذیر می باشد بطوریکه حالت تخمین زده شده ،بصورت سریع به حالت واقعی همگرا شود.

و تخمین زننده از یکدیگر مستقل بوده می توان آنها را
جداگانه طراحی نموده و سپس با هم جمع نمود.

– تخمین زننده با حداقل مرتبه
درعمل، بعضی از متغیر های حالت قابل اندازه گیری هستند .لذا نیازی به تخمین آنها نیست . یک مشاهده کننده که کمتر از n متغیر حالت را تخمین می زند
را رویتگر

اگر رتبه مشاهده کننده
حداقل ممکن است،
می نامیم .
می نامیم .
آنرا تخمین زننده
فرض کنیم که بردار حالت
بوده و بردار خروجی
قابل اندازه گیری است
از آنجا که
متغیر خروجی
جمع خطی
متغیرهای حالت است ، لذا :
متغیر حالت را نیاز نداریم که تخمین بزنیم و
متغیر باید تخمین زده شوند.
فقط

اینگونه مشاهده کننده
را

در این صورت یک مشاهده
کننده
داریم.
می نامیم.

Y(K)
U(K)
X
¯(k)

– طراحی Minimum-Order
بردار حالت
را به دو قسمت قابل اندازه گیری و غیر قابل
اندازه گیری جدا می کنیم.

برای قسمت قابل اندازه گیری داریم :
در حالی که قسمت چپ این معادله
این معادله مانند خروجی عمل نموده و در واقع متصل کننده کمیت هایی از حالت است که قابل اندازه گیری و غیر قابل اندازه گیری می باشند .

قسمت غیر قابل اندازه گیری :
باید برای تخمین آن یک رویت گر حداقل مرتبه طراحی نمود .
قابل اندازه گیری است .

باید توجه داشت که
قابل اندازه گیری هستند .

اگر از متد اعلام شده برای
لذا معادلات را نوشته و مقایسه می کنیم :
معادله حالت برای
معادله حالت برای
استفاده کنیم طراحی ساده تر خواهد بود .
معادلات خروجی :

در طراحی تخمین گر
داشتیم :
در حالیکه در طراحی
داریم :

با جایگزینی مقادیر جدول در معادله
داریم :
در حالیکه ماتریس
یک ماتریس
است .
از معادله

معادله
در
داریم :

از معادله
بر می آید که برای تخمین
ما نیاز داریم تا
را اندازه بگیریم که مناسب نیست یعنی در طراحی
ما می توانیم
برحسب
محاسبه کنیم و نیازی به
نداشتیم لذا به شرح زیر اصلاح می کنیم :
را بازنویسی کنیم داریم :
اگر معادله

لذا معادله
را می توانیم بشرح زیر بنویسیم :
معادلات
دینامیک مشاهده کننده
را تعریف
میکنند.

باید توجه داشت که جهت محاسبه و تخمین
، دیگر نیاز نداریم
برای اینکه خطا را بدست آوریم :
با تفریق معادله
از معادله
خواهیم داشت :
اما از معادله
بدست میآید:
تا
را محاسبه کنیم.

پس بنابراین :
باید توجه داشت که
یک بردار
معادله مشخصه مشاهده کننده می نیمم مرتبه عبارتست از :
مقدار ورودی های ماتریس
را می توان با توجه به محل قطبهای
است .
دلخواه سیستم تعیین نمود

خلاصه
وقتی که بهره فیدبک مشاهده کننده یعنی
تعیین شد ( ماتریس
آنگاه می توان مشاهده کننده مینیمم مرتبه را تعریف نمود :
یا برحسب خطا
سیستم تخمین زده شده وفیدبک حالت با مشاهده کننده مینیمم مرتبه بشرح زیر
خواهد بود

در این صورت معادله :
یعنی قطبهای دلخواه سیستم مقادیر ویژه
عملکرد مورد نظر سیستم و قطبهای مشاهده کننده جهت تسریع در سرعت
خواهد بود .
مثال:
برای تامین
برابر با مقادیر ویژه

(1) با استفاده از فیدبک حالت ، ماتریس
را بنحوی پیدا کنید که قطبهای
(2) با فرض اینکه
است یک مشاهده کننده مینیمم مرتبه بنحوی طراحی کند که قطب سیستم
در
(فیدبک حالت و مشاهده کننده مینیمم مرتبه ) باشد
سیستم در
قرار گیرند.
تنها متغیر حالتی است که قابل اندازه گیری
واقع گردد.
(3) تابع تبدیل کل سیستم را بنحوی پیدا کنید که حاوی کنترل کننده

(1) check controllability :

(2) برای طراحی مشاهده کننده مینیمم مرتبهcheck observability:
از آنجا که
یک بردار
است و
بنابراین مرتبه مشاهده کننده یک خواهد بود .
سیگنال کنترل فیدبک عبارت خواهد بود از :
یک کمیت اسکالر ،

حال برای بدست آوردن معادله مشاهده کننده مینیمم – مرتبه داشتیم :

معادله مشاهده کننده مینیمم مرتبه
(3) برای بدست آوردن حالت مشاهده شده توسط فیدبک کنترل:
(**)
داشتیم که :

از معادلات ( )
و((** و(
داریم :

لذا تابع تبدیل پالسی کنترل کننده عبارت از :

برای بدست آوردن تابع تبدیل پالسی سیستم :
– معادله مشخصه سیستم پس از اعمال کنترل کننده :

مقدمه
در بحثهای گذشته ، مباحثRegulator ها را در حالیکه سیگنال ورودیهای نرمال وجود نداشتند ، مورد بررسی قرار دادیم. در این راستا ، هدف از طراحی کنترل کننده آن بود که خطا را به صفر برسانیم . یعنی در واقع بطور کلی گفتیم که برای سیستمی که به طور کامل کنترل پذیر است ، فیدبک حالت، قطبهای سیستم را درهر محل دلخواه قرار خواهد داد.
وقتی که در واقع حالت سیستم برای فیدبک در دسترس نباشد ، آنگاه از مشاهده کننده های طراحی شده جهت استفاده در فیدبک سود خواهیم برد .
برای یک سیستم که بطور کامل کنترل پذیر و مشاهده پذیر است ، سیستم فیدبک دارای مقادیر ویژه مشاهده کننده و مقادیر ویژه ای که باید توسط فیدبک جایگزین شود ، خواهد بود .

1- مقادیر ویژه Plant (مدل)1 توسط p.p. جایگزین نمودیم.

2- سپس فیدبک حالت را با حالت تخمین زده شده توسط یک مشاهده
کننده تعویض نمودیم .

حال می دانیم که بطور کلی دو دسته مهم از سیستم های کنترل عبارتند از :
1-Regulator
2-Tracking systems

در سیستم های Regulator، هدف از طراحی اینست که خروجی سیستم Tracking را با در نظر گرفتن شرایط مورد قبول به صفر برسانیم .
در واقع این کار را توسط Depuration به انجام رساندیم .
پس بنابراین در یک سیستم Observed- state feedbackکار عمده را به انجام رساندیم .

هدف از طراحی در سیستم های tracking آنست که خروجی سیستمtracking ، در حد امکان ورودیهایی مرجع را track یا Follow کند. در واقع Regulation یک حالت خاص ازtracking میباشد ، در حالیکه tracking دلخواه صفر باشد .
برای مثال اگر یک سیستم آنتن Satellite را در نظر گیریم که Motor – driven باشد و این سیستم بر روی یک Moving– vehicle قرار داشته باشد ، برای کنترل آنتن در یک جهت Fixed می توانیم از regulator استفاده کنیم .
به این ترتیب جهت Fixed را به عنوان هدف طراحی خواهیم داشت ، اگر چه Antenna base در حال حرکت باشدویا درحال vibrate کردن قرار گیرد یا حتی باد هم در جریان قرار گیرد .

(*)
باید در نظر داشت که وقتی از tracking جهت میگیریم :
1) را توسط P.P. انجام می دهیم .
2) سه روش را می توان معرفی کرد (*)
یک سیستم دنباله رو ، دارای یک خروجی یا بیشتر خواهد بود که به نحوی کنترل خواهند شد که آنها تبدیل و یا در حد امکان به ورودی مرجع r(k) نزدیک خواهند شد .
Ideal tracking system design
بطور کلی سه سیستم tracking basic داریم :

این خروجی ها را می گوییم که ورودیهای مرجع سیستم راtrack یا Follow نموده اند .از آنجا که سیگنال خروجی سیستم که قرار است سیگنال ورودی مرجع راtrack کند ، ممکن است که متفاوت باشد لذا می توان تفاوت قائل شد مابین خروجی سیستم یعنی Y(k) که قابل اندازه گیری هستد و بعنوان feedback مورد استفاده قرار می گیرند و خروجی های tracking یعنی :
بطور کلی این ایده خوبی است که خروجی سیستم tracking را اندازه گرفته و feedback کنیم اما لازم نیست .

که قرار است عمل tracking
را به انجام برساند .
ممکن است که
پاسخ سیستم tracking :

از آنجا که معمولا مقادیر اولیه سیستم قطعی نیستند ، لذا کار چندانی در خصوص Zero _input بجز آنکه قطبهای سیستم را در محلهای دلخواه جایگزین نموده نمی توان انجام داد . حال Ideal- tracking زمانی بدست خواهد آمد که طراحی بتواند این ارتباط را برقرار کند :
خروجی tracking در ابتدا دارای یک transient اولیه بدلیل مقادیر اولیه غیر صفر خواهد بود .
اگر فرض کنیم که :

باید توجه داشت که
مقادیر ویژه سیستم را عوض نخواهد کرد.
Ideal Tracking : T(z).G(z)=I
یعنی Ideal Tracking وقتی بدست می آید که فیلتر ورودی مرجع یک فیلتر معکوس برای Plant باشد .

مثال :SISO
می خواهیم کاری کنیم که خروجی Tracking ، ورودی مرجع یعنی Y(k) را پیروی کند
اگر توجه داشته باشید سیستم بفرم کنترل پذیر است :

حال اگر از فیلتر فوق یعنی :
استفاده کنیم

Plant
G (z)
R (k)
U (k)
در دو مبحث ویژه گذشته در خصوص Regulators یا تنظیم کننده ها بحث نمودیم . هدف از کنترل آن بود که خطا را را در حداقل زمان به صفر برسانیم. اینگونه Regulator ها را می توان با استفاده از جایگزینی قطبها باضافه تخمین زننده ها به انجام رسانید .

در یک سیستم کنترل ، خروجی سیستم باید ورودی را دنباله روی یا Follow کند ، اینگونه سیستم های کنترل را سیستم servo می نامیم .
در یک سیستم servo بطور معمول لازم است که سیستم دارای یکIntegrator (یا بیشتر) در حلقه بسته باشد .
Ideal tracking خواهیم داشت .

سرو مکانیسم :
یک سیستم کنترل پسخوری است که خروجی آن وضعیت ، سرعت یا شتاب مکانیکی میباشند . یعنی در واقع اصطلاحات سرو مکانیسم و سیستم کنترل وضعیت باهم مترادفند .همین استفاده از سرو مکانیسم ها در بسیاری از کاربردهای صنعتی مانند عمل کاملا خود کار ماشینهای ابزار که با دستور العمل برنامه ریزی شده ای کاری را انجام میدهند می باشد .
اگر سیستمی که می خواهیم کنترل کنیم دارای خاصیت Integrations باشد ، معمولا لازم است که یک یا بیشتر (Integrator) به آن اضافه کنیم تا خطاحالت ماندگار را حذف نماید .
یک راه برای آنکه یک Integrator به مدل ریاضی یک سیستم حلقه بسته اضافه نماییم ، معرفی یک بردار حالت جدید است که اختلاف بین بردارنرمال r و خروجی سیستم یعنی Y را Integrate می نماید .در شکل زیر یک بلوک دیاگرام داریم که در آن برای یک سیستم servo فیدبک حالت و کنترل Integral در نظر گرفته شده است .

پایان