دکتر کاظمی پور
عضو هیات علمی دانشگاه آزاد اسلامی
گروه مهندسی صنایع- برنامه ریزی و تحلیل سیستم ها
شبیه سازی کامپیوتری
منابع
Discrete Event System Simulation, Jerry Banks et all, Fourth Edition, 2005, Prentice-Hall
Handbook of Simulation, Edited by Jerry Banks, 1998, John-Wiley
Stochastic Discrete Event Systems, Armin Zimmermann, 2008, Springer
Simulation: The Practice of Model Development and Use, Robinson, 2004, John-Wiley
Simulation and the Monte Carlo method, Second Edition, Rubinstein and Kroese, Second Edition, 2008, John-Wiley
An Introduction to Computer Simulation, Woolfson and Pert, 1998, Oxford University Press
Prepared By Dr. Kazemipoor
ادامه منابع
Simulation modeling: Handbook A Practical Approach, Chung, 2004, CRC Press
Simulation Modeling and Analysis with Arena, Altiok and Melamed, 2007, Academic Press
Computer Simulation Techniques: The definitive introduction, Harry Perros, Computer Science Department, NC state university, Raleigh, NC, 2008, http://www.csc .ncsu.edu/faculty/perros// simulation.pdf
شبیه سازی سیستمهای گسسته پیشامد، هاشم محلوجی، انتشارات دانشگاه صنعتی شریف
علم و هنر شبیه سازی، ترجمه علی اکبر عرب مازار، مرکز نشر دانشگاهی
آموزش شبیه سازی عملیات با Arena، شهروز انتظامی و عبدالوحید خراسانی، انتشارات ناقوس
Prepared By Dr. Kazemipoor
فهرست موضوعی
آشنایی با مفاهیم و مراحل شبیه سازی
مثال هایی از شبیه سازی و مفاهیم مدل سازی سیستم ها
آمار در شبیه سازی (مفاهیم آمار، توزیع ها و ساخت مقادیر تصادفی، اعداد تصادفی، تحلیل داده های ورودی به مدل)
تصدیق و اعتبارسنجی مدل های شبیه سازی کامپیوتری
تحلیل داده های خروجی و مقایسه و انتخاب آلترناتیو برتر
بهینه سازی در مدل های شبیه سازی
آموزش صورت کلی نرم افزارهای آماری و شبیه سازی (ED, Arena, Showflow, Minitab)
Prepared By Dr. Kazemipoor
پیشگفتار
شبیه سازی چه به صورت دستی چه به صورت کامپیوتری، تقلیدی از عملکرد سیستم واقعی با گذشت زمان است که به ایجاد ساختگی تاریخچه سیستم و بررسی آن به منظور دستیابی به نتیجه گیری در مورد ویژگی های عملکرد واقعی آن می پردازد. شبیه سازی اصولا به شکل مجموعه ای از فرض های مربوط به عملکرد سیستم در چارچوب رابطه های ریاضی و منطقی می باشد. شبیه سازی یکی از پرکاربردترین ابزار موجود علم تحقیق در عملیات است که:
اجازه ارزیابی عملکرد سیستم را پیش از پدید آمدن می دهد.
مقایسه گزینه های گوناگون را بدون ایجاد اختلال در سیستم واقعی مسیر می کند.
فشرده سازی زمان را به منظور اتخاذ تصمیم های به موقع انجام می دهد.
ساختار ساده و استفاده از نرم افزارها، امکان استفاده بسیاری را فراهم می کند.
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی در یک نگاه
Prepared By Dr. Kazemipoor
فصل اول
مفاهیم و تعاریف
سیستم و محدوده عمل
یک سیستم گروهی است از اشیا که در راستای تحقق مقصودی معین در چارچوب روابط یا وابستگی های متقابل، به یکدیگر پیوسته هستند.
محیط سیستم:
عواملی خارج از سیستم که تحت کنترل نیستند، ولی می توانند بر عملکرد سیستم اثر بگذارند محیط سیستم خوانده می شود. یک سیستم معمولا تحت تاثیر تغییراتی است که در خارج سیستم اتفاق می افتد. این تغییرات اصطلاحا در محیط یا پیرامون سیستم اتفاق می افتند. در مدل سازی یک سیستم، تصمیم گیری نسبت به مرز بین سیستم و محیط سیستم از نکات ضروری و مهم است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
نکته ای در تعریف سیستم
اگر عوامل بیرونی به طور جزئی سیستم را تحت تاثیر قرار دهند می توان:
تعریف سیستم را گسترش داد تا عوامل بیرونی را در برگیرد.
عوامل بیرونی را نادیده گرفت.
می توان عوامل بیرونی را به عنوان ورودی های سیستم در نظر گرفت.
Prepared By Dr. Kazemipoor
ارکان سیستم
INPUT
OUTPUT
PROCESS
Prepared By Dr. Kazemipoor
اجزاء سیستم
نهاد یا موجودیت (Entity)
عنصری مورد توجه در سیستم است. عناصر موقتی که در سیستم جاری شده و دارای دیمانسیون مشخص هستند.
مشخصه یا خصیصه (Attribute)
ویژگی موجودیت است و آنرا توصیف می کند.
فعالیت (activity)
هر فعالیت بیانگر یک پریود زمانی با طول مشخص است.
وضعیت یا حالت سیستم: (State)
مجموعه متغیرهای لازم برای توصیف سیستم در هر لحظه از زمان با توجه به هدف مطالعه سیستم و معمولا با مقادیر عددی تخصیصی به مشخصه های موجودیتها تعریف می شود.
واقعه یا پیشامد (Event)
رویدادی لحظه ای است که می تواند وضعیت سیستم را تغییر دهد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
Prepared By Dr. Kazemipoor
مشخصه های ثابت و متغیر
مشخصه ها توصیف کننده موجودیت ها هستند. مقدار یک مشخصه می تواند در طول زمان تغییر کند (مشخصه متغیر) و یا تغییر نکند (مشخصه ثابت). معمولا بیشتر علاقمند به مدل کردن مشخصه های متغیر هستیم.
مثال هایی از مشخصه های متغیر:
تعداد قطعات در خط مونتاژ.
وضعیت یک ماشین ( که منجر به درصد استفاده از ماشین می شود).
زمان تکمیل مونتاژ
اینکه دکتر مشغول و یا بیکار است.
مثال هایی از مشخصه های ثابت:
مسیر تولید یک محصول
توالی مواردی که می بایست روی یک مریض با نوع خاصی از درمان صورت گیرد.
مشخصه در خط مونتاژ
موجودیت ها مشخصه ها
کارگران a) وضعیت کاری (بیکار(0) یا مشغول(1))
b) ایستگاه های کاری تخصیص یافته (1و 2و 3و …)
ماشین آلات a) وضعیت (بیکار(0) ، مشغول(1)، منتظر تعمیر (2) تحت تعمیر (3)، در حال راه اندازی(4))
b) عمر
c) زمان عملیات
ایستگاه های کاری a) تعداد قطعات منتظر در صف (0، 1، 2،…..)
محصولات مونتاژی a) موعد تحویل
b) استقرار
Prepared By Dr. Kazemipoor
مدل سازی
مدل سازی یک اقدام مهم در جهت ایجاد یک نمونه ساده شده از یک سیستم کامل با هدف پیش بینی معیارهای قابل اندازه گیری عملکرد سیستم می باشد.اصولا یک مدل به منظور گرفتن جنبه های رفتاری خاص از یک سیستم و کسب آگاهی و بینش از رفتار سیستم طراحی می شود.
مدل دقیقا همانند سیستم واقعی نیست. بلکه تنها شامل تعدادی از جنبه های اساسی و کلیدی سیستم است که برای هدف مطالعه سیستم تاثیرگذار هستند. از این رو مدل خلاصه ای از سیستم مورد بررسی است. فرایند ساختن مدل برای افراد متخصص و تصمیم گیرندگان مختلف، روشی اصولی، صریح و موثر را فراهم می سازد تا بتوانند قضاوت و ادراک خود را درباره موضوع متمرکز سازند. همچنین با معرفی چارچوبی دقیق، مدل را می توان به عنوان ابزاری موثر در برقرار کردن ارتباط به عنوان کمک در کار تفکر روی موضوع به کار برد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
روش صحیح مدل سازی
شروع با مدلی بسیار ساده
تکمیل تدریجی مدل
به منظور ایجاد مدلی مفید از یک فرایند دو مرحله ای استفاده می شود.
تجزیه: ساده کردن سیستم از طریق حذف جزئیات یا از طریق پذیرش فرضهایی است که روابط حاکم بر عوامل را مهارپذیر می کند. عمل ساده کردن عموما منجر به موارد زیر می شود:
تبدیل متغیرها به مقادیر ثابت
حذف یا ادغام متغیرها در یکدیگر
فرض خطی بودن روابط
افزودن محدودیت های بیشتر
ترکیب
Prepared By Dr. Kazemipoor
انواع مدل ها
مدل فیزیکی
یک شئ فیزیکی ساده شده با مقیاس کوچک شده می باشد. (مانند مدل هواپیما)
مدل تحلیلی یا ریاضی
مجموعه ای از معادلات و ارتباطات میان متغیرهای ریاضیاتی می باشد. (مانند مجموعه ای از معادلات که توصیف کننده جریان کاری در خط تولید در کارخانه می باشد)
مدل کامپیوتری (شبیه سازی)
شرح برنامه ای از سیستم می باشد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی
شبیه سازی، بیان رفتار پویای یک سیستم در حالت پایدار به واسطه حرکت آن از یک وضعیت به وضعیت دیگر بر اساس قواعد عملیاتی تعریف شده است. اصولا در شبیه سازی، از کامپیوتر برای ارزیابی عددی یک مدل استفاده شده و در آن داده ها به جهت تخمین ویژگی های موردنظر مدل جمع آوری می شوند.
شبیه سازی کامپیوتری در عام ترین معنایش، فرایند طراحی مدلی ریاضی- منطقی از سیستم واقعی و آزمایش این مدل با کامپیوتر است. فرایند مدل سازی با استفاده از روابط ریاضی- منطقی و همچنین اجرای مدل به وسیله کامپیوتر به شبیه سازی کامپیوتر می گویند.
Prepared By Dr. Kazemipoor
حالت پایدار Steady State
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی به عنوان یک سیستم
Prepared By Dr. Kazemipoor
کامپیوتر در شبیه سازی
کامپیوتر داده های موردنظر در ارتباط با موجودیتهای شبیه سازی شده را ثبت کرده و یک نمونه ترکیبی از داده های عملکردی سیستم را ایجاد می کند. سپس مفاهیم آماری برای تحلیل این نمونه داده ها در ارتباط با کمیتهای مختلفی چون موارد زیر مورد استفاده قرار می گیرد:
زمانهای انتظار
توان عملیاتی
طول صف
زمانهای پردازش
میزان استفاده از منابع ….
Prepared By Dr. Kazemipoor
مراحل ساخت مدل شبیه سازی
فرموله بندی و تعریف مساله
تعیین اهداف و طرح کلی پروژه
تحلیل مسئله
جمع آوری داده اطلاعات
ساخت مدل
ممیزی مدل
معتبرسازی مدل
طراحی و اجرای آزمایش های شبیه سازی.
تحلیل خروجی
تفسیر و مستندسازی
اجراء
Prepared By Dr. Kazemipoor
Prepared By Dr. Kazemipoor
انواع شبیه سازی
Discrete Event System Simulation
Continuous System Simulation
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد Discrete Event System Simulation
شبیه سازی سیستمی که متغیرهای حالت آن فقط و فقط در نقاط گسسته ای از زمان “در لحظه وقوع رویداد” اتفاق بیفتد را شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد می نامند. در حقیقت وضعیت چنین سیستمی در لحظه های گسسته ای از زمان به روز رسانی می شود.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Some Applications
Financial engineering/quantitative finance
Computer performance modeling
Service industries
Manufacturing
Military
Transportation and logistics
Prepared By Dr. Kazemipoor
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال هایی برای تولید، مراکز خدماتی و حمل و نقل
یک کارخانه تولیدی به همراه ماشینها، پرسنل، وسایل حمل و نقل و فضاهای انبار
یک بانک با انواع مختلف مشتریان، خدمت دهندگان و تسهیلات نظیر پنجره های پاسخگویی، ماشین های ATM، پرداخت وام و …
یک شبکه توزیع کالا از کارخانجات، انبارها و شبکه های حمل و نقل
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی در یک مثال سیستمی
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی سیستم هایی با خصوصیت تصادفی
می توان چنین گفت که اکثر سیستم های موجود معرفی شده خاصیت تصادفی بودن را با خود به همراه دارند. منظور از این جمله این است که؛ سیستم ها همواره عملکرد یکسانی ندارند. همین امر باعث می شود با توجه به نظریه های آماری خصوصیت تصادفی بودن را برای سیستم ها فرض صحیحی دانست. در این درس با شناسایی خصوصیت تصادفی آماری جامعه مورد بررسی، با استفاده از تکنیک های آماری، به شبیه سازی سیستم ها برای مطالعه وضعیت در حالت پایدار سیستم می پردازیم.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مونت کارلو
تعریف
روشی است که در آن به منظور حل مسایل غیر تصادفی یا برخی مسایل تصادفی که گذشت زمان هیچ نقش اساسی در آنها ندارد از اعداد تصادفی (اعداد تصادفی یکنواخت در بازه صفر تا یک) استفاده می شود.
تاریخچه
در خلال جنگ جهانی دوم از رمز مونت کارلو که تعریفی مطابق بالا دارد برای حل مسائلی در ساخت بمب اتمی استفاده شده است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
اساس روش مونت کارلو
Prepared By Dr. Kazemipoor
تعیین تابع توزیع تابعی از متغیرهای تصادفی
تکنیک تابع توزیع
تکنیک تبدیل یک متغیره
تکنیک تبدیل چند متغیره
تکنیک تابع مولد گشتاور
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثالی برای روش مونت کارلو
فرض کنید انتگرال زیر با روش های متداول حل نمی شود، روش حلی با استفاده از مونت کارلو ارائه کنید.
حل:
Prepared By Dr. Kazemipoor
در این درس شبیه سازی با روش مونت کارلو انجام می شود
چه وقت شبیه سازی ابزار مناسبی است؟
مطالعه، بررسی و آزمایش روابط متقابل هر سیستم یا زیر سیستم پیچیده و پویا.
اعمال تغییرات اطلاعاتی، سازمانی و محیطی و مشاهده تاثیر این تغییرات بر رفتار سیستم.
استفاده از شناخت به دست آمده در شبیه سازی برای پیشنهاد انجام اصلاحات روی سیستم در دست بررسی.
شناسایی مهمترین متغیرها و روابط متقابل آن ها، با ایجاد تغییر در ورودی های شبیه سازی و بررسی خروجی ها.
به عنوان ابزاری آموزشی به منظور تقویت روشهای تحلیلی.
آزمایش طرح ها یا خط مشی های جدید پیش از اجرا و کسب آمادگی لازم برای روبرو شدن با پیشامدهای احتمالی.
تحقیق در مورد پاسخ های تحلیلی
Prepared By Dr. Kazemipoor
Advantages
Experimentation in compressed time
Reduced analytic requirements
Easily demonstrated models
Prepared By Dr. Kazemipoor
Disadvantages
Simulation cannot give accurate results when the input data are inaccurate.
Simulation cannot provide easy answers to complex problems.
Simulation cannot solve problems by itself.
Prepared By Dr. Kazemipoor
نرم افزارهای شبیه سازی
پیچیده بودن شبیه سازی سیستم های واقعی، استفاده از نرم افزارهای کامپیوتری را باعث می شود. در اصل نرم افزار کامپیوتری چارچوبی را برای ساخت مدل فراهم می کنند که کار مدل ساز را نسبت به موارد زیر راحت می کنند:
چگونگی پردازش ورودی ها
عملیات ثبت داده ها
گزارش های خروجی
تسهیل در تولید داده های تصادفی
جمع کردن داده ها در متغیرهای خروجی
Prepared By Dr. Kazemipoor
نرم افزارهای شبیه سازی
Prepared By Dr. Kazemipoor
Some criteria for simulation software Selection
Prepared By Dr. Kazemipoor
Enterprise Dynamics
نرم افزار ED در این کلاس ارائه خواهد شد که نسخه دانشجویی آن در دسترس خواهد بود.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Exercises
Think of situations where simulation could be used, for instance, from day-to-day life, a place of study or work. What aspects of each situation make simulation appropriate?
Take a typical operations system, preferably one that can be observed (e.g. a bank or supermarket), and identify the elements of variability, interconnectedness and complexity.
There are many case studies describing the application of simulation to real problems. Obtain and read some simulation case studies. Why was simulation used? What benefits were obtained? Some journals that often publish simulation case studies are: IIE Solutions, Interfaces, OR Insight and the Journal of the Operational Research Society. The Winter Simulation Conference proceedings (www.wintersim.org) include many case studies. Simulation software suppliers also publish case studies on their web sites.
Two points A and B are selected randomly in the unit square. Let D denote the distance between them. Using Monte Carlo:
Estimate E(D) and Var(D).
Plot an empirical distribution function for D.
Suggest a more efficient method for estimating P (D>1.4), bearing in mind that this probability is very small.
Prepared By Dr. Kazemipoor
فصل دوم
مثال هایی از شبیه سازی
شروع با مثالی ساده
Prepared By Dr. Kazemipoor
Prepared By Dr. Kazemipoor
The discrete-event simulation approach
Prepared By Dr. Kazemipoor
The three phase simulation approach
Prepared By Dr. Kazemipoor
توضیح
In the A-phase, which is also known as the simulation executive, the time of the next event is determined by inspecting the event list. The simulation clock is then advanced to the time of the next event. In the B-phase all B-events due at the clock time are executed. In the C-phase all C-events are attempted and those for which the conditions are met are executed. Since the successful execution of a C-event may mean that another C-event can now be executed, the simulation continues to attempt C-events until no further events can be executed. The simulation then returns to the A-phase unless it is deemed that the simulation is complete. Typically a simulation is run for a predetermined run-length or possibly a set number of arrivals.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مدلی پیچیده تر
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی دستی برای مثال
پیشامدها
ورود مشتری x به صف روتر
ورود مشتری y به صف روتر
خروج مشتری از روتر
خروج مشتری از اپراتور 1
خروج مشتری از اپراتور 2
Prepared By Dr. Kazemipoor
1-
2-
Prepared By Dr. Kazemipoor
2-
3-
4-
Prepared By Dr. Kazemipoor
4-
5-
6-
Prepared By Dr. Kazemipoor
6-
7-
-8
Prepared By Dr. Kazemipoor
8-
9-
Prepared By Dr. Kazemipoor
توسعه مثال
فرض کنید ورود مشتریان دارای یک توزیع احتمالی به شرح زیر است:
60% مشتریان از نوع X هستند.
40% مشتریان از نوع Y هستند.
همچنین فرض کنید با جمع آوری اطلاعات به این نتیجه رسیده ایم که زمان بین دو ورود بر حسب مشتریان دارای توزیع فراوانی به قرار زیر است. سیستم را مجدد شبیه سازی کنید.
مشتری x
مشتری y
Prepared By Dr. Kazemipoor
کاربرد مونت کارلو
با تکیه بر اصل مونت کارلو می توان گفت که تابع توزیع تجمعی نوع مشتری و زمان بین دو ورود دارای توزیع احتمالی یکنواخت است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
با توجه به احتمالات دو رقم اعشاری در جداول، و در نظر داشتن خصوصیت مونت کارلو، می توان ارقام تصادفی به شرح زیر برای رویدادهای مثال در نظر گرفت.
مشتری y
مشتری x
Prepared By Dr. Kazemipoor
فرض
فرض را بر این بگیرید که اعداد تصادفی یکنواخت با استفاده از رویه های مشخصی قابل تولید شدن هستند. به عنوان مثال جدول زیر را به عنوان اعداد تصادفی یکنواخت در نظر بگیرید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
پیش بینی وضعیت سیستم با استفاده از روش مونت کارلو
Prepared By Dr. Kazemipoor
صف تک مجرایی
فرض کنید مدت ورود دو مشتری متوالی به صفی 1 تا 8 دقیقه با احتمال های یکسان می باشد. همچنین مدت زمان خدمت دهی نیز بین 1 تا 6 دقیقه با احتمال های مشخص در جدول زیر است.
توزیع مدت های خدمت دهی
توزیع مدت های بین دو ورود متوالی
Prepared By Dr. Kazemipoor
پیش بینی وضعیت سیستم با استفاده از روش مونت کارلو
Prepared By Dr. Kazemipoor
نتایج
0.1*1+0.2*2+0.3*3+0.25*4+0.1*5+0.05*6=3.2= امید ریاضی مدت زمان خدمت دهی
مدت زمان بین دو ورود
متوسط زمان بین دو ورود متوالی
Prepared By Dr. Kazemipoor
احتمال بیکاری خدمت دهنده
متوسط زمان آن هایی که به انتظار می ایستند
20/13=(کل مشتریان)/(تعداد مشتریانی که به انتظار می مانند)=احتمال انتظار=0.65
6.2=20/124=متوسط ماندن در سیستم
3.4+ 2.8=
ادامه نتایج
Prepared By Dr. Kazemipoor
ادامه نتایج
اکثر مشتریان ناچار به انتظار در صف هستند
مدت زمان بیکاری زیاد نیست.
Prepared By Dr. Kazemipoor
صف با دو خدمت دهنده
یک رستوران را با دو تحویل (هابیل و خباز) دهنده غذا به مشتریان در نظر بگیرید. هنگام ورود سفارش جدید به رستوران هر خدمت دهنده که بیکار باشد کار را انجام می دهد و در زمانی که هر دو بیکارند هابیل به دلیل تجربه بیشتر در این امر سفارش دهی به مشتریان را به عهده می گیرد. با توجه به این که زمان خدمت هر خدمت دهنده و زمان ورود متوالی مشتریان دارای توزیع احتمالی مشخص است سیستم فعلی را تحلیل کنید.
توزیع خدمت دهی خباز
توزیع مدتهای بین سفارش مشتریان
توزیع خدمت دهی هابیل
Prepared By Dr. Kazemipoor
خلاصه نتایج شبیه سازی مساله رستوران
Prepared By Dr. Kazemipoor
آمار حاصله از شبیه سازی
مدت وسط زمان انتظار افراد در صف
درصد مشغولیت هابیل
درصد مشغولیت خباز
درصد افراز انتظار کشیده
Prepared By Dr. Kazemipoor
مساله پسرک روزنامه فروش
فردی تعدادی روزنامه برای فروش در یک دوره می خرد. نکته قابل توجه در این مساله این است که روزنامه فروش در انتهای دوره روزنامه های باقیمانده را بایستی به قیمت کاغذ باطله بفروشد.
درآمد فروش روزنامه باطله + سود از دست رفته- هزینه خرید – درآمد فروش = سود
2
13
7
20
Prepared By Dr. Kazemipoor
فرضیات
توزیع روزنامه های مورد تقاضا
توزیع اختمالی نوع روز
Prepared By Dr. Kazemipoor
فرض می کنیم که شبیه سازی را برای خرید 70 روزنامه طی یک دوره 20 روزه انجام می دهیم
خلاصه نتایج شبیه سازی مساله روزنامه فروش
10*2+0-70*13-60*20= سود
Prepared By Dr. Kazemipoor
سیاست بهینه
جدول فوق را برای تعداد خریدهای مختلف روزنامه در ابتدای روز اجرا می کنیم. جدولی که متوسط سود بیشتری را توسط شبیه سازی نشان دهد، مشخص کننده سیاست بهینه تهیه روزنامه در ابتدای روزاست.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مساله موجودی
فرض کنید در یک سیستم کنترل موجودی هر 5 روز یک بار موجودی بررسی شده و در صورتی که مقدار موجودی کمتر از 11 واحد باشد، سفارش صادر می گردد که موجودی به 11 واحد برسد. سطح موجودی ابتدای دوره 3 واحد و ورود یک سفارش 8 واحدی در دو روز بعد دیده شده است. تقاضای روزانه و مهلت تحویل برای کالاهای انبار دارای توزیع احتمالی به شرح زیر است. وضعیت این سیستم را به کمک شبیه سازی بررسی نمایید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
خلاصه نتایج شبیه سازی مساله موجودی
متوسط موجودی در انتهای روز
احتمال رخدادکمبود
Prepared By Dr. Kazemipoor
مساله پایایی
یک ماشین فرز بزرگ، سه برینگ مختلف دارد که در جریان کار دچار خرابی می شوند، با خرابی برینگ فرز از کار افتاده و تعمیرکار برای نصب برینگ تازه احضار می شود، مدت عمر هر برینگ و مدت تاخیر تعمیرکار در ورود به محل برای تعمیر برینگ ها متغیرهای تصادفی به شرح زیر می باشند:
Prepared By Dr. Kazemipoor
سیاست های پیش رو
در حال حاضر هر برینگی که از کار می افتد، تعویض می گردد. با توجه به هزینه های زیر چنین وضعیتی را تحلیل کنید. سیاست بهبود دهنده ای برای تغییر وضعیت این دستگاه پیشنهاد داده و با استفاده از شبیه سازی آن را تحلیل کنید.
16: هزینه هر برینگ
12 واحد پول در ساعت: دستمزد تعمیرکار
هزینه مدت از کار ماندگی فرز: 5 واحد پول در دقیقه
20دقیقه = 1 برینگ
30 دقیقه = 2 برینگ
40 دقیقه = 3 برینگ
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی وضعیت فعلی (20000 ساعت)
Prepared By Dr. Kazemipoor
هزینه ها در وضعیت فعلی
736 = 16 * 46 = هزینه برینگ ها
1650= 5 * (95+125+110) = هزینه مدت تاخیر
4600= 5 *20* 46= هزینه مدت از کارافتادگی حین تعمیر
184=(12/60)*20*46=هزینه تعمیرکار
= هزینه کل 184+4600+1650+736= 7170
Prepared By Dr. Kazemipoor
پیشنهاد
تعویض هر سه برینگ در صورت رخداد یک خرابی
Prepared By Dr. Kazemipoor
هزینه ها در وضعیت پیشنهادی
864=16*54=هزینه برینگها
625=5*125=هزینه تاخیر
3600=5*40*18=هزینه مدت از کارافتادگی
144=(12/60)*40*18= هزینه تعمیرکار
= هزینه کل 184+3600+625+864= 5233
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی زاغه مهمات
یک اسکادران جنگی قصد بمباران یک زاغه مهمات به صورت شکل زیر را دارد. با توجه به مشخصات بمب افکن ها در صورت نشانه گیری مرکز زاغه توسط آن ها، بمب ها با توزیع نرمال با انحراف معیار 300 در جهت افق و 600 در جهت عمودی به زمین اصابت می کنند. احتمال نابودی زاغه توسط یک اسکادران با 10 هواپیما را توسط شبیه سازی بیابید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
یک نکته مهم
Prepared By Dr. Kazemipoor
اعداد تصادفی نرمال استاندارد
Prepared By Dr. Kazemipoor
نتایج شبیه سازی مساله اسکادران
Prepared By Dr. Kazemipoor
تقاضا در مهلت تحویل
تقاضا برای محصولی دارای توزیع احتمالی به شرح زیر است. زمانی که تقاضایی به وجود می آید دستور ساخت داده می شود. زمان دریافت سفارش تا تحویل آن به مشتری به زمان تحویل شهرت یافته است که آن هم دارای توزیع احتمالی به شرح زیر است. با توجه به این اطلاعات وضعیت این سیستم را از لحاظ موجودی به کمک شبیه سازی مدل نمایید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
نتایج شبیه سازی مساله تقاضا در مهلت تحویل
Prepared By Dr. Kazemipoor
نتیجه گیری از مثال ها
هر شبیه سازی گسسته پیشامد، مدل سازی طی زمان از سیستمی است که تمام تغییر حالت های آن در لحظه های گسسته زمان، یعنی در لحظه های وقوع پیشامدها رخ می دهد. در حقیقت شبیه سازی پیشامد با ایجاد توالیی از تصاویر پیش می رود که معرف تکوین سیستم طی زمان است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مرور مجدد مسئله رستوران در راستای مفاهیم شبیه سازی
نهاد
:LQ (t) تعداد افراد در صف
LA (t): وضعیت هابیل
LA (t) =1 اگر هابیل مشغول باشد.
LA (t) =0 اگر هابیل بیکار باشد.
LB (t): وضعیت خباز
LB (t) =1اگر خباز مشغول باشد
LB (t) =0اگر خباز بیکار باشد
حالت سیستم
نه مشتری و نه خدمت دهنده
برای اینکه در قالب متغیرهای حالت نیاز به معرفی صریح ندارند مگر اینکه برخی متوسط های مربوط به مشتری مدنظر باشد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
شبیه سازی معدن سنگ
می توان زمان سفر از بارگیری تا توزین را در نظر نگرفت
قرار است شش کامیون وظیفه حمل و نقل در این سیستم را به عهده بگیرند.
Prepared By Dr. Kazemipoor
اطلاعات موجود در شبیه سازی معدن سنگ
Prepared By Dr. Kazemipoor
متغیرهای حالت
LQ(t) : تعداد کامیون ها در صف بارگیری، 0 تا 4
L(t) : تعداد کامیون ها در حال بارگیری، 0و 1 و 2
WQ(t) : تعداد کامیون ها در صف توزین، 0 تا 5
W(t) : تعداد کامیون ها در حال توزین، 0و 1
Prepared By Dr. Kazemipoor
پیشامدها
ورود کامیون i به صف بارگیری در زمان t
[ALQ(t), t, DTi]
خروج کامیون i از بارگیری (ورود به صف توزین) در زمان t
[EL, t, DTi]
خروج کامیون i از توزین
[EW, t, DTi]
Prepared By Dr. Kazemipoor
فرضیات ضروری برای شبیه سازی
وضعیت سیستم در لحظه صفر
جدول اعداد تصادفی
Prepared By Dr. Kazemipoor
آمارهای تجمعی
Prepared By Dr. Kazemipoor
BS : زمان تجمعی استفاده از دستگاه توزین
BL : زمان تجمعی استفاده از دستگاه های بارگیری
نتایج شبیه سازی معدن سنگ
Prepared By Dr. Kazemipoor
نتایج شبیه سازی معدن سنگ
Prepared By Dr. Kazemipoor
خلاصه نتایج شبیه سازی معدن سنگ
درصد زمان بهره برداری از هر دستگاه باگیری
49/2=24.5 24.5/ 76 * 100 = 32%
درصد زمان بهره برداری ازدستگاه توزین:
76/76 * 100 = 100%
Prepared By Dr. Kazemipoor
سوال
آیا نتایج به دست آمده قابل اعتماد است؟ چرا؟
چگونه نتایج این شبیه سازی را معتبر نماییم؟
آیا اضافه کردن یک دستگاه توزین دیگر وضعیت معدن را بهبود می دهد؟ برای جواب دقیق به این سوال به چه پارامترهای دیگری نیاز دارید؟
آیا می توانید شبیه سازی این مثال را آسان تر انجام دهید؟ چگونه؟
فلوچارتی برای توسعه یک مدل شبیه سازی این معدن ارائه کنید؟
Prepared By Dr. Kazemipoor
زبان های شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد
زبان های برنامه نویسی
نرم افزارهای شبیه سازی
بزرگترین حسن برنامه های شبیه سازی ساختار مشخص و آماده آن ها برای شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد است
Prepared By Dr. Kazemipoor
Following a discussion with the airport’s operations manager, more accurate data on the take-off and landing of aeroplanes have come to light. Aeroplanes are classified into two sizes: small and large. Small aeroplanes only require a 1.5-minute slot on the runway, while large aeroplanes require 2.5 minutes. It is expected that 70% of aeroplanes will be small. The time between aeroplanes arriving for landing is expected to be as follows:
The time between arrivals for take-off is expected to be the same. Develop a three-phase discrete-event simulation of the problem.
a) Define the B-events and C-events for the problem.
b) Create samples from the distributions for inter-arrival time and aeroplane size.
c) Simulate a period of operation at the airport.
Exercises
Prepared By Dr. Kazemipoor
2. تمرین های 9 و10 و 11 و 14 فصل دوم، کتاب شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد
3. تمرین های 30، 42 فصل سوم، کتاب شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد ترجمه دکتر محلوجی (رسم فوچارت و برنامه نویسی به زبان C)
3. فلوچارتی برای مساله قدم زدن تصادفی به منظور مدل کردن این مساله با استفاده از تکنیک شبیه سازی ارائه کنید. (توضیح مساله)
Exercises
Prepared By Dr. Kazemipoor
فصل سوم
آمار در شبیه سازی
مفاهیم و تعاریف
توزیع های آماری گسسته و پیوسته و مقادیر تصادفی
ساخت اعداد تصادفی
تحلیل داده های ورودی
مفاهیم تعاریف
متغیر تصادفی
متغیر تصادفی تابعی حقیقی است از فضای نمونه به مجموعه اعداد حقیقی که به هر پیشامد فضای نمونه عددی حقیقی نسبت می دهد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
انواع متغیر تصادفی
متغیر تصادفی گسسته
X را متغیر تصادفی گسسته می نامند، اگر مقادیری که X می گیرد متناهی یا نامتناهی شمارا باشد.
تعداد سفارش هایی که به کارگاه می رسد
انداختن یک تاس و آمدن یک عدد خاص
تاس ناسالم که احتمال آمدن هر وجه آن با عدد هر وجه متناسب است.
متغیر تصادفی پیوسته
X را متغیر تصادفی پیوسته می نامند، اگر مقادیری که X می گیرد فاصله ای از مجموعه فواصل باشد.
عمر یک لامپ
Prepared By Dr. Kazemipoor
تابع توزیع تجمعی
Prepared By Dr. Kazemipoor
گشتاور، امید ریاضی، واریانس
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
1- تاس غیر منصف
2- عمر لامپ
مد و میانه
مد
مد در متغیر گسسته مقداری از متغیر تصادفی است که بیشتر از همه روی می دهد.
مد در متغیر پیوسته مقدار ماکسیمم تابع توزیع است
میانه
میانه در متغیر تصادفی پیوسته مقداری از متغیر تصادفی است که:F(X<x)=1/2
میانه در متغیر تصادفی گسسته اولین xی است که:
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
تاس غیر منصف
عمر لامپ
Prepared By Dr. Kazemipoor
ضریب چولگی و کشیدگی
با وجود اینکه تعداد گشتاورها نامحدود می باشند ولی در عمل فقط تعداد کمی از آن ها مورد توجه قرار می گیرند.
چولگی
اگر توزیع چوله به چپ باشد چولگی منفی و اگر چوله به راست باشد چولگی مثبت و در صورت متقارن بودن چولگی صفر می شود.
کشیدگی انتهای توزیع
ضریب مربع
این معیار نیز برای اندازه گیری میزان پراکندگی یا تغییرات X به کار می رود با این تفاوت که به صورت مقداری بی واحد نرمال شده است.
اگر کشیدگی انتهای تابع کم باشد این معیار منفی و اگر کشیدگی متوسط باشد صفر و در صورت زیاد بودن کشیدگی، مثبت می باشد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع های رایج متغیرهای تصادفی گسسته و ساخت مقادیر شبه تصادفی
توزیع یکنواخت گسسته
Prepared By Dr. Kazemipoor
روش های ساخت مقادیر تصادفی
روش تبدیل معکوس
روش تبدیل مستقیم
روش رد و قبول
روش پیچش
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع یکنواخت گسسته
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع برنولی
متغیر تصادفی برنولی (x) دارای دو نتیجه پیروزی و شکست می باشد. بنابراین فضای نمونه را می توان به شکل S={0,1} در نظر گرفت که در آن 0 نشانگر شکست و 1 نشان دهنده پیروزی است. توزیع برنولی به صورت Ber(p) نشان داده می شود که در آن p احتمال موفقیت و در نتیجه 1-p احتمال شکست می باشد. نکات زیر در مورد این متغیر تصادفی قابل استخراج است.
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع برنولی
توزیع بینم (دو جمله ای)
فرض کنید n متغیر تصادفی برنولی با هم جمع شوند. حاصل متغیر تصادفی است که می توان آن را با عنوان تعداد پیروزی ها در n آزمایش برنولی تعبیر نمود. تابع توزیع این متغیر تصادفی را می توان به صورت زیر بدست آورد:
با توجه به تعریف متغیر تصادفی دو جمله ای داریم:
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع دو جمله ای
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
در یک فرایندساخت، چیپ های نیمه رسانایی با 2% درست معیوب تولید می شوند. در این سیستم تولیدی هر روز یک نمونه 50تایی گرفته شده و اگر در نمونه بیشتر از 2 معیوب باشد فرایند متوقف می شود. احتمال توقف فرایند را در هر روز بیابید.
حل: ابتدا بایستی متغیر تصادفی در این سوال تعریف شود.
X تعداد واحدهای ناقص
توزیع هندسی
آزمایش های برنولی مستقل از هم را در نظر بگیرید. متغیر تصادفی هندسی (X) تعداد آزمایش های برنولی تا رسیدن به اولین موفقیت می باشد. این توزیع به شکل Ge(p) نشان داده می شود.p) احتمال موفقیت و1-p احتمال شکست می باشد). از آنجا که تعداد آزمایش ها نامحدود می باشد فضای حالت به شکل S={1,2,…,k,…} است. تابع احتمال متغیر تصادفی x به شکل زیر می باشد و داریم:
P(x) =q x-1p; x=1, 2, …
E(x) =1/p
var(x) =q/p2
توزیع هندسی به طور گسترده در مدل های ریاضی به علت خاصیت بی حافظگی این توزیع استفاده می شود. بی حافظگی یعنی:
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع هندسی
مثال
در مثال قبل احتمال اینکه سومین نمونه، اولین معیوب باشد را بیابید.
پیروزی: یافتن معیوب
P(x=3) =0.982 *0.02
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع پواسون
در نتیجه متغیر تصادفی x تمام خصوصیات تابع احتمال را دارد و تابع توزیع آن تقریبی از تابع توزیع متغیر تصادفی دو جمله ای است.
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع پواسون
مثال
اگر تقاضا در مهلت تحویل برای محصولی دارای توزیع پواسون با میانگین 10 داشته باشد، با فاصله اطمینان 95% در برابر کمبود نقطه سفارش مجدد را مشخص نمایید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع های رایج متغیرهای تصادفی پیوسته
توزیع یکنواخت
متغیر تصادفی یکنواخت X در بازه S=[a,b],b>a مقادیری را اختیار می کند که دارای احتمال یکسان می باشند. توزیع یکنواخت به صورت Unif(a,b) نشان داده می شود. تابع چگالی به شکل زیر می باشد:
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع یکنواخت پیوسته
توزیع مثلثی
متغیر تصادفی توزیع مثلثی Xمقادیر موجود در بازه S=[a,b] را اختیار می کند. احتمال در زیربازه [a,c] به صورت خطی افزایش می یابد و در زیربازه [c,b] به صورت خطی کاهش می یابد. بنابراین تابع چگالی این متغیر دارای شکل مثلثی می باشد. توزیع مثلثی با نماد Tria(a,c,b) نشان می دهند و تابع چگالی آن به صورت زیر به دست می آید:
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع نمایی
توزیع نمایی
خاصیت بی حافظگی توزیع نمایی
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع نمایی
توزیع گاما
تابع گاما
تابع توزیع گاما
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع گاما
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع کای دو
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع کای دو
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع ارلنگ
همان تابع توزیع گاما در حالتی است که است. در این حالت داریم
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع ارلنگ
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
دو لامپ با عمر متوسط 1000 ساعت با توزیع نمایی به گونه ای بسته شده اند که در صورت خارج شدن یکی لامپ دیگر روشن می شود. احتمال اینکه بعد از 2160 ساعت لامپی روشن باشد، چقدر است.
X=X1+X2
X1 ~EXP (1/1000)
X2~EXP (1/1000)
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
یک معاینه پزشک سه مرحله دارد که هر کدام دارای توزیع نمایی با میانگین 20 دقیقه است. با این فرضیات احتمال مدت معاینه کمتر از 50 دقیقه باشد را بیابید.
X=X1+X2+X3
X1 ~EXP (1/20)
X2~EXP (1/20)
X3~EXP (1/20)
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع نرمال
,
امید ریاضی و واریانس توزیع نرمال
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع نرمال
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
اگر تقاضا برای محصولی دارای توزیع نرمال با میانگین 25 و واریانس 9 باشد، نقطه سفارش مجدد را به گونه ای بیابید که کمبود فقط در 5% مواقع رخ دهد.
اگر به هنگام رسیدن تقاضا به 30 واحد سفارش خرید صادر شود فقط در 5% مواقع کمبود داریم.
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع لوگنرمال
X
متغیر تصادفی لوگنرمال همواره مثبت می باشد و اغلب برای مدلسازی فرآیندهای تصادفی مالی به کا می رود.
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع لوگنرمال
توزیع بتا
یک متغیر تصادفی بتا، اغلب در آمار برای مدلسازی یک احتمال نامعلوم که متغیر تصادفی نامیده می شود به کار می رود.
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع بتا
Prepared By Dr. Kazemipoor
توزیع وایبول
متغیرهای تصادفی وایبول اغلب در مدلسازی فرآیند فرسودگی اجزا در تحلیل قابلیت اطمینان استفاده می شوند.
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع وایبول
توزیع تی استیودنت
Where Z is a standard normal random variable, Y is a chi-square random variable with n degrees of freedom, and Z and Y are independent. X has T-Student distribution
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع تی استیودنت
توزیع فیشر
where V and W are independent chi-square random variables with the corresponding degrees of freedom n1,n2 X has F distribution with n1,n2 degrees of freedom.
چگونگی ساخت عدد تصادفی با خصوصیت توزیع فیشر
نکته ای در باره توزیع های رایج آماری
می توان بسیاری از اتفافاتی که در پیرامون ما رخ می دهد را به یکی از توزیع های گفته شده با فاصله اطمینان خاصی نسبت داد. پس اگر بتوانیم در مورد یک متغیر تصادفی، یکی از این توزیع ها برازش کنیم، تحلیل ها در شبیه سازی سمت و سوی مشخص تری می گیرد. در ادامه این فصل تعیین توزیع مناسب و تخمین پارامترها برای یک سری ازداده های مشخص انجام خواهد گرفت.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Poisson Process
A Poisson process is a special type of counting process that is a fundamental base case for defining many other types of counting processes.
Definition: The counting process {N(t), t≥0} is said to be a Poisson process with rate λ, λ > 0, if
N(0) = 0
the process has independent increments
the number of events in any interval of length t is Poisson distributed with mean λt.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Poisson Process
The single parameter λ controls the rate at which events occur over time. Since λ is a constant, a Poisson process is often referred to as a homogeneous Poisson process. The third condition is equivalent to
Prepared By Dr. Kazemipoor
نکاتی در توزیع پواسون
ورود به این صف دارای توزیع پواسون با نرخ λp است
ورود به این صف دارای توزیع پواسون با نرخ λ(1-p) است
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
آهنگ ورود به یک فرایند دارای توزیع پواسان با میانگین 20 دقیقه است. احتمال اینکه در یک دوره 2 ساعته هیچ سفارش وارد نشود چیست؟
Prepared By Dr. Kazemipoor
رابطه میان فرآیند پواسون و توزیع نمایی
اگر تعداد پیروزی ها در فاصله زمانی 0 تا t دارای توزیع پواسون باشد، می توان نشان داد که زمان رسیدن به اولین پیروزی دارای توزیع نمایی است.
اثبات:
صفر پیروزی در فاصله زمانی صفر تا t
Prepared By Dr. Kazemipoor
ساخت اعداد تصادفی
عدد تصادفی
یکی از موارد کلیدی در شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد تولید اعداد شبه تصادفی است. بدین منظوردو مرحله کلی وجود دارد:
ساخت مجموعه ای از اعداد
تست این که اعداد تولید شده تصادفی اند، یعنی
دارای توزیع یکنواخت بین صفر تا یک باشند (یعنی احتمال قرار گرفتن در هر فاصله ای برابر با طول آن فاصله باشد).
اعداد تولید شده مستقل از هم باشند (یعنی هیچ گونه ارتباطی بین مقدار فعلی متغیر تصادفی و مقدار پیشین آن وود نداشته باشد).
Prepared By Dr. Kazemipoor
خواص ضمنی اعداد تصادفی
تابع چگالی
امید ریاضی و واریانس
اگر فاصله (1و0) به n رده یا زیر فاصله مساوی تقسیم شود، انتظار می رود که از N مشاهده N/n در هر رده قرار گیرد.
احتمال مشاهده یک عدد در یک رده فاصله خاص مستقل از سایر مشاهده هاست. عنی همبسگی بین اعداد وجود نداشته باشد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
خواص اعداد تصادفی
روش یا الگوریتم تولید اعداد تصادفی می بایست سریع باشد.
الگوریتم نباید نیاز به مقدار زیادی حافظه کامپیوتر داشته باشد و می بایست قابل برنامه نویسی کامپیوتری باشد.
طول دنباله اعداد تولید شده باید به اندازه کافی بلند باشد (به دلیل اینکه در نهایت از یک الگوریتم برای تولید اعداد تصادفی استفاده می شود. ایجاد سیکل اجتناب ناپذیر خواهد بود ولی طول سیکل بلند (مثلا چند میلیون و یا چند میلیارد) اهداف شبیه سازی را تامین خواهد کرد).
Prepared By Dr. Kazemipoor
روش های تولید اعداد تصادفی
روش میان ضربی
روش مضرب ثابت
روش همنهشتی جمعی
مولدهای همنهشتی خطی liner congruential method
مولدهای همنهشتی خطی ترکیبی Combined liner congruential method
Prepared By Dr. Kazemipoor
liner congruential method
X0: مقدار اولیه هسته
a: ضریب ثابت مولد
c: مقدار ثابت مولد
m: مقدار پیمانه
نحوه انتخاب مقادیر پارامترها تاثیر فراوانی در خواص آماری از قبیل میانگین، واریانس و طول سیکل دارد. وقتی c مخالف صفر باشد مولد رامولد همنهشتی آمیخته می نامند و در صورتی که c برابر صفر باشد مولد همنهشت ضربی نامیده می شود.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال
با استفاده از مقادیر x0=27, a=17, c=43, m=100 و بر اساس روش همنهشتی خطی دنباله ای از اعداد تصادفی تولید کنید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Example
Prepared By Dr. Kazemipoor
Combined liner congruential method
با ترکیب دو یا چند مولد همنهشتی ضربی ممکن است طول دنباله اعداد تولید شده بیشتر شده و در نتیجه احتمال تولید اعداد بهتری وجود داشته باشد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
تست یکنواختی و تست های استقلال
1- آزمون های فراوانی برای تست یکنواختی توزیع اعداد تولید شده
1-1- آزمون مربع کای
1-2- آزمون کالموگروف-اسمیرنف
2- آزمون های استقلال اعداد تولیید شده
2-1- آزمون روند
2-1-1- روندهای صعودی و نزولی
2-1-2- روندهای کوچکتر و بزرگتر از میانگین
2-1-3- آزمون روند براساس طول روند (طول روندهای بزرگتر و کوچکتر از میانگین، طول روندهای صعودی و نزولی
2-2- آزمون همبستگی
2-3- آزمون افراز
2-4- آزمون شکاف
Prepared By Dr. Kazemipoor
تست یکنواختی توزیع اعداد تولید شده
الگوریتم های تست یکنواختی اعداد تصادفی بر پایه تئوری های آماری، یا آزمونهای فرض می باشند. به عنوان مثال در تست توزیع یکنواخت ما دو فرض داریم که یکی بیان می کند که اعداد تصادفی توزیع یکنواخت دارند که ما آن را فرض صفر می نامیم و دیگری بیان می کند که اعداد تصادفی توزیع یکنواخت ندارند و ما ان را H1 می نامیم که در آمار به عنوان فرض جایگزین شناخته می شود. در این تست آماری علاقه مند به بررسی نتیجه فرض صفر رد کردن آن و یا عدم رد آن هستیم.
H0 اعداد توزیع یکنواخت دارد :
H1 اعداد دارای توزیع یکنواخت نیستند :
احتمال خطای نوع اول=p((صحت فرض صفر|رد فرض صفر
احتمال خطای نوع دوم=p(فرض صفر غلط| پذیرش فرض صفر)
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 1- تست یکنواختی KS
فرض کنید توسط یک رویه ساخت اعداد تصادفی، اعداد زیر ساخته شده اند:
0.81 و 0.14 و 0.05 و 0.93 و 0.44
آیا این اعداد به طور یکنواخت توزیع شده اند؟
دلیلی بر رد فرض صفر وجود ندارد
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 2- آزمون کای دو
اعداد زیر با یک رویه خاص تولید شده اند، آیا این اعداد در سطح معنی دار 95% دارای تابع توزیع یکنواخت می باشند؟
دلیلی بر رد فرض صفر وجود ندارد
مقایسه آزمون مربع کای و کالموگروف- اسمیرنف
آزمون k-s تک تک مشاهدات را در نظر می گیرد، ولی کای دو مشاهدات را رده بندی کرده و بدین ترتیب تعدادی از داده ها حذف شده و دقت کم می شود.
در مواردی که تعداد مشاهدات کم است، k-s به دلیل دقیق بودن قابل اعمال است، ولی کای دو بیشتر برای نمونه های بزرگ کاربرد دارد.
در کای دو امکان برآورد پارامترها از طریق مشاهده نیز وجود دارد (با تغییر آزمون) ولی k-s این انعطاف پذیری را ندارد.
کای دو هم در مورد داده های پیوسته و هم گسسته قابل به کارگیری است، ولی k-s تنها برای مواردی که تابع توزیع تجمعی جهشی نیست. قابل به کارگیری است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
آزمون همبستگی
اگر داده های تولید شده توسط یک مولد خاص، تصادفی باشند، نبایستی هیج نظمی به هیچ طریقی میان آن ها وجود داشته باشد. در حقیقت برای بررسی عدم وجود نظم میان داده ها، آزمون فرض زیر انجام می شود.
در این آزمون می توان نشان داد که آماره آزمون برابر است با:
در این رابطه پارامترهای به صورت زیر به دست می آید:
مثال
توسط یک مولد خاص، اعداد زیر تولید شده است. آیا بر اساس تست همبستگی، می توان اعداد سوم، هشتم، سیزدهم، … را در سطح 95% تصادفی دانست؟
Prepared By Dr. Kazemipoor
حل
دلیلی بر رد فرض صفر وجودندارد
Prepared By Dr. Kazemipoor
تحلیل داده های ورودی
Data Collection
Data are of course central to the development and use of simulation models. Much effort may go into the design of the conceptual model and into the coding of the computer model. However, if the data that are used to design and populate the model are inaccurate then the results from the model will also be inaccurate. The concentration on quantitative data, however, ignores the importance of qualitative data as well.
Prepared By Dr. Kazemipoor
به منظور طراحی مدل معتبر از داده های ورودی مسله چهار قدم ضروری است:
گردآوری داده های خام
تعیین توزیع های آماری برای داده های خام
برآوردهایی پارامترهای مشخص کننده توزیع
آزمون توزیع ها
در پایان این چهار مرحله در صورت رد فرض صفر به قدم دوم بر می گردیم.
طراحی مدل
Prepared By Dr. Kazemipoor
1- گردآوری داده های خام
برنامه ریزی: طراحی برگه هایی برای جمع آوری اطلاعات با توجه به شرایط قبلی مساله.
البته در مراحل اولیه اشکالی ندارد که این برگه ها چند بار تصحیح شود. این نکته را در جمع آوری اطلاعات به یاد داشته باشید که همواره در پی شناسایی اوضاع و احوال غیر معمول پیرامون مساله باشد.
تجزیه و تحلیل همزمان با گردآوری داده ها
کافی بودن داده های گردآوری شده را از لحاظ مشخص کردن توزیع های آماری مورد نیاز به عنوان ورودی شبیه سازی تعیین کنید و داده های غیر مفیدی جمع آوری نکنید.
ادغام مجموعه های همگن در داده ها
همگنی داده ها را در دوره های متوالی در چند روز مورد بررسی قرار دهید، مثلا داده های 2-3 روز شنبه با 2-3 پنج شنبه ادغام کنید. برای داغاممی توانید آزمون های مقدماتی بررسی میانگین را انجام دهید.
بررسی روابطه میان دو یا چند متغیر
بررسی خود همبستگی داده های ظاهرا مستقل
2- تعیین توزیع های آماری برای داده ها
1- نمودار فراوانی
تقسیم بندی داده های جمع آوری شده
قسمت بندی محور افقی با استفاده از تقسیم بندی متناسب
مشخص کردن فراوانی برای هر طبقه
تقسیم بندی محور عمودی به گونه ای که همه فراوانی ها را در برگیرد
رسم فراوانی ها
2- تعیین توزیع احتمال فرضی
استفاده از توزیع های تجربی
استفاده از توزیع های آماری معروف (میانگین، واریانس و ضریب تعیین توزیع می توانند کمک حال ما باشند)
We use Quantile- Quantile Plote for this section
Prepared By Dr. Kazemipoor
3- برآورد پارامترهای توزیع
برای برآورد پارمترهای یک توزیع بایستی از روشهای آماری برآورد پارامترها استفاده نمود. از جمله این روش ها می توان به موارد زیر اشاره نمود:
روش گشتاورها
روش تخمین ماکزیمم درستنمایی
روش برآورد بیزی
Prepared By Dr. Kazemipoor
براورد پارامترها در برخی توزیع ها
Prepared By Dr. Kazemipoor
4- آزمون های برازندگی برای آزمون توزیع ها
آزمون مربع کای
آزمون مربع کای با احتمال های برابر
آزمون برازندگی کولموگروف- اسنیرنف KS
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 1- آزمون مربع کای
فرض کنید با استفاده از نمونه گیری تعداد وسایل نقلیه وارد شده به یک تقاطع به صورت زیر به دست آمده است.
فرض کنید با مقایسه این جدول با جدول توزیع احتمال پواسون چنین به نظر رسیده است که این اعداد دارای توزیع احتمال فرضی پواسون باشد، آزمون مربوطه را برای تست این فرضیه انجام دهید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 1 ادامه
اولین مرحله برای تست این فرضیه بدست آوردن پارامتر توزیع فرض شده برای اعداد داده شده است. با توجه به جدول برآوردهای ارائه شده برای توزیع های آماری داریم:
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 1 ادامه
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 1 ادامه
آزمون کای با احتمال برابر
سوال اساسی در مواقعی که با توزیع های آماری پیوسته سر و کار داریم، اینست طول هر دسته در رده بندی داده هاچقدر باشد. یک راهکار برای این امر بدین طریق توصیه می شود که بازه هایی با احتمال های یکسان ایجاد کنیم. این امر در ادامه با مثال توضیح داده می شود
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 2- آزمون کای با احتمال برابر برای توزیع نمایی
یک نمونه 50 تایی از چیپ های نیمه رسانا مورد آزمایش تعیین عمر قرار گرفته اند. نتایج عمر بر حسب روز به شرح جدول زیر شده است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 2- نمودار هیستوگرام
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 2- ادامه
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 2- ادامه
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 2- نتیجه
Prepared By Dr. Kazemipoor
مثال 3- تعیین فاصله رده ای در توزیع نرمال
Prepared By Dr. Kazemipoor
آزمون KS
آزمون کالموگروف- اسمیرنف در مواردی که اندازه نمونه کوچک تر باشد، و هیچ یک از پارامترهای توزیع احتمال منتخب بر اساس داده های تجربی برآورد نشده باشد، این آزمون بسیار سودمند است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
تمرین
امید و واریانس تابع توزیع هندسی را بدست آورید.
امید و واریانس تابع توزیع گاما را به طور مستقیم بدست آورید.
امید و واریانس تابع توزیع بتا را به طور مستقیم بدست آورید.
امید و واریانس تابع توزیع وایبول را به طور مستقیم بدست آورید.
با استفاده از یک نرم افزار آماری شکل تابع توزیع گاما، کای دو، وایبول و بتا را به ازای پارامترهای مختلف رسم نمایید.
روش ساخت اعداد تصادفی دارای توزیع برنولی، دو جمله ای، هندسی، و پوسون ارائه کنید.
Prepared By Dr. Kazemipoor
تمرین
تمرین های 9، 20، 21 و 24، فصل چهارم کتاب شبیه سازی گسسته پیشامد
تمرین های5، 9، 19، و 20 تا 22 فصل هشتم کتاب شبیه سازی سیستم های گسسته پیشامد
تمرین های12، 13، 14، 16، 17، 18 و 21، فصل نهم کتاب شبیه سازی گسسته پیشامد
چگونگی کاربرد رگرسیون خطی را در شیبه سازی توضیح دهید.
با استفاده از روش همنهشتی خطی و پارامترهای زیر اعداد تصادفی مربوط را تولید کرده و طول دنباله تصادفی تولید شده را بدست آورید.
a=4951 c=247 m=256
Prepared By Dr. Kazemipoor
فصل چهارم
Verification and Validation
Verification and Validation
از مهمترین وظایف در طراحی هر مدلی اعتبارسنجی مدل است. آزمایش و اعتبارسنجی مدل ها باعث می شود، تردید نسبت به نتایج شبیه سازی میان کارشناسان از میان برداشته شده، و نتایج مدل به منظور بهتر نمودن وضعیت سیستم ها استفاده شود. فرآیند تعیین اعتبار مدل دو هدف را دنبال می نماید:
ایجاد مدلی که رفتار آن به قدری نزدیک به سیستم واقعی باشد، که بتوان به جای آن که تجربه را بر سیستم واقعی اعمال نمود، برمدل اعمال نمود.
ارتقای اعتبار مدل به سطحی قابل پذیرش که مدیران و سایر استفاده کنندگان در شمار استفاده کنندگان از آن قرار گیرند.
Prepared By Dr. Kazemipoor
آزمایش و اعتبار مدل
فرآیند آزمایش و تعیین اعتبار مدل را می توان در دو قسمت مجزا مورد بررسی قرار داد.
منظور از آزمایش مدل، مقایسه مدل ذهنی با مدلی کامپیوتری است. در حقیقت در اینجا بایستی پاسخ سوالات زیر داده شود:
آیا مدل به طرز صحیحی در قالب رمزی کامپیوتری معرفی شده است؟
آیا رمز کامپیوتری به درستی ساختار منطقی مدل و پارامترهای ورودی آن را معرفی کند.
منظور از تعیین از اعتبار مدل، مشخص کردن این نکته است که آیا مدل معرف سیستمسیستم هست یا نه؟ تعیین اعتبار مدل اصولا با انجام یک فرآیند تکرارپذیر حاصل می شود
Prepared By Dr. Kazemipoor
آزمایش و اعتبار مدل به عنوان یک سیستم
Prepared By Dr. Kazemipoor
Verification of simulation models
The purpose of model verification is the assure that the conceptual model is reflected accurately in the operational model. The conceptual model quite often involves some degree of abstraction about system operations or some amount of simplification of actual operations. Many common-sense can be given for use in the verification process:
Have the Operational model checked by some other than its developer
Make a flow diagram for each action for each event type.
Closely examine the model output for reasonableness under a variety of setting of the input parameters.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Verification of simulation models
Have the operational model print the input parameters at the end of the simulation to be sure that these parameter values have not been changed inadvertently.
Make the operational model as self-documenting as possible.
If the operational model is animated, verify that what is seen in the animation imitates the actual system.
Use of Interactive Run Controller or debugger in each software.
Graphical interfaces are recommended for accomplishing verification and validation.
Prepared By Dr. Kazemipoor
نکته ای در آزمایش یک مدل شبیه سازی
آسان ترین راه برای آزمایش مدل شبیه سازی، بررسی دقیق و فراگیر خروجی ها از جهت منطقی بودن آن ها است.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Calibration and Validation Of Models
Prepared By Dr. Kazemipoor
تعیین اعتبار مدل
به طور کلی منظور از تعیین اعتبار مدل، فرایند کلی مقایسه مدل و رفتار آن، با سیتم واقعی و رفتار آن است. از لحاظ مفهومی آزمایش و معتبرسازی مدل دو قسمت جداگانه از هم هستند، ولی با این وجود مدل سازها این دو مرحله را به طور همزمان انجام می دهند.
همواره این موضوع را به خاطر داشته باشید که منظور از تطبیق مدل و واقعیت، همپوشانی کامل نیست.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Validation: Three-step approach
Build a model that has high face validity
Validate model assumption (structural and data assumption)
Compare the model input-output transformation to corresponding input-output transformations for the real system
Prepared By Dr. Kazemipoor
اعتبار صوری Face Validity
اولین گام در اعتبارسنجی مدل شبیه سازی چک کردن مدل از لحاظ ظاهری در چشم آگاهان به سیستم مورد نظر است. بدین منظور از نظرات افراد آگاه به سیستم، در تمامی مراحل استفاده می شود. این افراد به طور کلی کمک شایانی در مرحله عیب زدایی از سیستم انجاممی دهند. بزرگترین حسن این افراد اظهار نظر در مورد خروجی مدل و شناسایی تغییرات غیر منطبق بر واقعیت است.
به منظور وارسی صوری نحوه عمل مدل می توان از تحلیل حساسیت نیز استفاده نمود. این کار بدین طریق انجام می شود که ابتدا برخی از پارامترهای ورودی مدل تغییر کرده و سپس تغیرات مدل با نظر کارشناس تطبیق داده می شود.
Prepared By Dr. Kazemipoor
Validate model assumption
می توان فرض های مدل را به دو رده کلی تقسیم بندی نمود:
فرض های ساختاری
عموما این فرض ها مربوط به نحوه عملکرد سیستم، ساده سازی های انجام شده و خلاصه کردن های سیستم بر می گردد. این فرض ها بایستی از راه مشاهده عملی در زمان های متفاوت مورد بررسی قرار گیرد.
فرض های مربوط به داده ها
عموما در در جمع آوری داده ها این فرض مورد آزمونقرار می گیرد.
Prepared By Dr. Kazemipoor
تعیین اعتبار تبدیل های ورودی به خروجی مدل
عموما مدل یک تبدیل کننده ورودی به خروجی است. پس اگر ورودی های مدل مانند واقعیت باشند، باسیتی خروجی های مانند سیستم واقعی مشاهده شود. اگر چنین اتفاقی حاصل شود، یعنی مدل توانایی پیش بینی سیستم واقعی را دارد. برای بررسی این موضوع معمولا از داده های گذشته سیستم استفاده می شود. یعنی داده های گذشته سیستم که ثبت شده وجود دارند به مدل ساخته شده وارد می شوند و خروجی های مدل با خروجی های ثبت شده سیستم واقعی مقایسه می شوند.
Prepared By Dr. Kazemipoor
تمرین
سوال 1، 2، 3 و 5 فصل 10، کتاب شبیه سازی گسسته پیشامد
Prepared By Dr. Kazemipoor
فصل پنجم
تجزیه تحلیل نتایج خروجی و انتخاب آلترناتیو برتر
Prepared By Dr. Kazemipoor