آشنایی با سیستم اعداد
2
به عنوان مثال عدد 1936.25 را می توان به صورت زیر نمایش داد:
مرور سیستم دهدهی
پایه 10 است و ارقام 0، 1، … 9 می باشند.
برای اعداد بزرگتر از 9، یک رقم با اهمیت تر به سمت چپ اضافه کنید. مثلا: 19>9
هر محل دارای یک وزن است:
3
به عنوان مثال عدد 10111.01 را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:
سیستم عدد نویسی دودویی
پایه 2 است و ارقام 0، 1هستند.
برای اعداد بزرگتر از 1، یک رقم با اهمیت تر به سمت چپ اضافه کنید. مثلا: 10>1
هر محل دارای یک وزن است:
4
مبنای دو (باینری)
5
(110000.0111)2 = ( ? )10
سیستم عدد نویسی دودویی
جواب: 48.4375
در دنیای کامپیوتر:
210=1024 با K (کیلو) نشان داده می شود.
220=1048576 با M (مگا) نشان داده می شود.
230= G (گیگا)
240 = T (ترا)
چه تعداد بیت در یک حافظه 16GByte وجود دارد؟
6
مبنای 8
پایه 8 است و رقمها 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7هستند
مبنای 16
پایه 16 است و رقمهای 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9از سیستم دهدیی قرض گرفته شده اند و از A, B, C, D, E, F به ترتیب برای نمایش رقمهای 10، 11، 12، 13، 14، 15 استفاده می گردد.
(236.4)8 = (158.5)10
(D63FA)16 = (877562)10
مبناهای 8 و 16
7
تبدیل اعداد اعشاری:
معادل دودویی (0.8542)10 را تا شش رقم دقت پیدا کنید.
0.8542 x 2 = 1 + 0.7084 a-1 = 1
0.7084 x 2 = 1 + 0.4168 a-2 = 1
0.4168 x 2 = 0 + 0.8336 a-3 = 0
0.8336 x 2 = 1 + 0.6672 a-4 = 1
0.6672 x 2 = 1 + 0.3344 a-5 = 1
0.3344 x 2 = 0 + 0.6688 a-6 = 0
(53.8542)10 = ( ? )2
تبدیل از دهدهی به دودویی
8
تبدیل از مبنای ده به مبنای دو
9
جمع دودویی
10
مکمل 9 عدد دهدهی N برابر است با : (10n-1) – N
مکمل 10 عدد دهدهی N برابر است با: 10n – N
مکمل 1 عدد باینری N برابر است با : (2n-1) – N
مکمل 2 عدد باینری N برابر است با: 2n – N
مکمل گیری
در کامپیوترهای دیجیتالی از تکنیک مکمل گیری برای انجام عمل تفریق استفاده می کنند.
برای پیدا کردن مکمل 1 یک عدد باینری تمام 0 ها را یک و تمام 1 ها را به 0 تبدیل کنید.
برای پیدا کردن مکمل 2 ، مکمل 1 را 1 جمع کنید.
یک راه دیگر این است که اولین 1 را از سمت راست پیدا کرده و تمام ارقام بعد از آن را معکوس کنید.
11
مکمل 9 عدد 12345 : (105 – 1) – 12345 = 87654
مکمل 9 عدد 012345 : (106 – 1) – 012345 = 987654
مکمل 10 عدد 739821 : 106– 739821 = 260179
مکمل 10 عدد 2500 : 104 – 2500 = 7500
مکمل 9 و 10 عدد 00000000 را پیدا کنید:
جواب: 99999999 and 00000000
مکمل
12
مکمل 1 و مکمل 2
مکمل 1 عدد 1101011 برابر است با 0010100
مکمل 2 عدد0110111 برابر است با 1001001
مکمل 1 و 2 عدد 10000000 را پیدا کنید:
جواب: 01111111 و 10000000
13
تفریق دو عدد n رقمی و بدون علامت (M-N) در مبنای r
M را با مکمل r عدد N جمع کنید: M + (rn – N)
اگرM≥N نتیجه جمع دارای رقم نقلی خواهد بود که از آن صرفنظر می کنیم.
اگر M≤N نتیجه جمع دارای رقم نقلی نخواهد بود و نتیجه منفی است. لذا عدد را دوباره به فرم ممکل دو تبدیل کنید تا متوجه شوید که نتیجه حاصله منفی چه عددی است.
استفاده از مکمل گیری برای تفریق
14
استفاده از مکمل گیری برای تفریق
15
20-75=؟
75=01001011
20=00010100
مکمل دو 20: 11101100
01001011
+ 11101100
00110111 1
چون رقم نقلی داریم آنرا حذف می کنیم.
نتیجه برابر (00110111) یا 55 خواهد بود.
انجام عمل تفریق توسط مکمل 2
16
تفریق با استفاده از مکمل 2
75-20=؟
75=01001011
20=00010100
مکمل دو 75: 10110101
10110101
+ 00010100
11001001
چون رقم نقلی نداریم نتیجه برابر منهای مکمل دو رقم فوق خواهد بود یعنی (00110111)- یا 55-
شیوه های نمایش اعداد منفی
مکمل 1
مکمل 2 (مناسبترین روش)
مقدار و علامت
مثال: عدد 4 بیتی 1011 در روش مکمل 1، مکمل 2 و مقدار علامت به ترتیب نمایش دهنده : 4- ، 5- و 3- است
(اگر پر ارزشترین بیت، 1 بود به معنای منفی بودن عدد است)
نمایش اعداد ممیز شناور
عدد اعشاری را به شکل نرمال تبدیل کرده و سپس از قالب زیر برای نمایش آن استفاده می نماییم.
e به نما یا exponent معروف است
s به مقدار کسری یا Significant و یا Fraction معروف است.
b به پایه یا base معروف است.
نمایش اعداد ممیز شناور
نمایش ممیز شناور یک عدد دارای دو بخش است. بخش اوّل یک عدد ممیز ثابت علامتدار است که مانتیس خوانده میشود. بخش دوم محل ممیز دهدهی (یا دودویی) را معیّن میکند و نما نام دارد. مانتیس ممیز ثابت، ممکن است یک عدد کسری و یا صحیح باشد. مثلاً: نما: +04 +0.6132789 :کسر
در مثال فوق، مقدار نما مشخص میکند که مکان واقعی ممیز چهار واحد به سمت راست ممیز نشان داده شده در کسر است. این نمایش معادل با نماد علمی 0.6132789 × 10 +4 است. بطور کلّی m × re بکار میرود. در ثباتها فقط مانتیس m و نمای e بطور فیزیکی نمایش داده میشوند. یک عدد ممیز شناور دودویی نیز به نحوی مشابه نشان داده میشود بجز اینکه از پایه 2 برای نما استفاده میشود. مثلاً عدد دودویی +1001.11 با بخش کسری 8 بیتی و نمای 6 بیتی بشکل زیر نمایش داده میشود. نما: 000100 01001110 :کسر
بخش کسری دارای یک 0 در منتهاالیه سمت چپ است که مثبت بودن آن را مشخص میکند. نقطه ممیز دودویی بدنبال بیت علامت آمده است ولی در ثبات نشان داده نمیشود. نما دارای معادل دودویی عدد +4 است. عدد ممیز شناور معادل است با: m × 2 e = + (.1001110)2 × 2 +4
یک عدد ممیز شناور، در صورتیکه پر ارزش ترین رقم مانتیس غیر صفر باشد، نرمالیزه (یا بهنجار) خوانده میشود.
مثال از ممیز شناور
اگر عدد ممیز شناور را به صورت 8 بیتی نمایش دهیم و 3 بیت برای توان در نظر گرفته شده باشد و توان را به صورت مکمل 2 نمایش دهیم آنگاه عدد FC، معادل چه عددی در مبنای ده خواهد بود؟
(FC)16=(1111 1100)2= 1 111 1100
=- 0.1100 * 2 -1=0.01100=-0.375
-1
پایان
21