معرفی یک تابع مطلوبیت برای دستیابی به کیفیت Six sigma



معرفی یک تابع مطلوبیت برای دستیابی به کیفیت Six sigma

مهندسین اغلب برای رسیدن به سطح بالایی از روند تولیدات و یا کیفیت
Six sigma ، به بهینه سازی و ارزیابی فرآیندهایی می پردازند که دارای ویژگی های کیفی متعددی هستند. توابع فعلی کیفیت در عین اینکه می توانند در تحقق بخشیدن به اهداف چند گانه موثر واقع شوند دارای نقاط ضعفی نیز هستند. یکی از این نقاط ضعف و محدودیت ها این است که توابع فعلی نمی توانند توضیح روشنی برای اثر مشترک میانگین و پراکندگی کیفیت داشته باشند. به همین دلیل مهندسین که هنگام تولید محصولات، از این توابع استفاده می کنند یا نمی توانند به محصولات مورد نظر خود برسند و یا در صورت تولید این محصولات، آنها را با صرف هزینه های اضافی بدست می آورند. در این مقاله تابع مطلوبیتی مطرح شده است که فاقد این نقاط ضعف است. این تابع پیشنهادی قادر است با توجه به فرضیاتی که در مبحث Six sigma مطرح است " محصول موثر " 1 را تخمین بزند.
همچنین بهتر از توابع دیگر می تواند میزان تغییرات را توجیه کند. برای آنکه متوجه شوید این تابع پیشنهادی تا چه اندازه می تواند به شما در رسیدن به سطح بالاتری از کیفیت کمک کند و در ارزیابی دقتی قابلیتهای فرآیند یاری تان نماید مثالی درباره جوش کاری قوسی برای شما ارائه داده ایم.
توجه: yield به معنی بازده نیز هست اما در این متن در همه جا این کلمه به صورت
"محصول" ترجمه شده است.
ما معتقدیم هنگامی که داده های مربوط به پراکندگی در دسترس شما قرار دارد بهتر است از این تابع مطلوبیت برای تسهیل بخشیدن به بهینه سازی چند معیاری استفاده کنید.
Copyright @ 2003 john wiley & sons , Ltd
کلمات کلیدی:
بهینه سازی چند معیاری multicriterion optimization :
روش سطحی جواب respanse surface methodologh :
طراحی نیرومند ـ طراحی درست و صحیح robust design :

1 ـ مقدمه
مهندسین هنگام طراحی محصولات یا فرآیندها، پارامترهای طراحی رابه گونه ای طراحی می کنند که منجر به ترکیب مناسبی از ویژگی ها یا معیارهای کیفی بشود. برای مثال در جوش کاری قوسی، مهندس هنگام تولید قسمت خاصی از یک محصول، باید سرعت حرکت و زاویه مشعل جوشکاری را به گونه ای تنظیم کند که میزان گودافتادگی، تحدب و زمان چرخه، مطلوب شود. هدف روش های سطحی جواب یا RSM ها، مدل سازی ویژگی های فرآیند است به طوری که بتوان هنگام بهینه سازی فرآیند ازاین مدل ها بهره گرفت.(برای اطلاع بیشتر به Box & Draper ، Khuri & cornell و Myers & Montagomery رجوع کنید). این نوع مدل سازی مستلزم تجربه است. هر فردی با استفاده از RSM ها می تواند مدل هایی را درباره ویژگی های فرآیندی که درحال مطالعه اش است ایجاد کند و میزان تغییرپذیری فرآیند را تخمین بزند. در کنار این مدل ها باید با استفاده از اطلاعاتی که قابل حصول هستند اهداف خاص را مشخص کرد. بطوری که پس از بهینه سازی این اهداف، آن چیزی که حاصل می شود واقعاً یک محصول مطلوب باشد.
توابعی که مجموعه ای از ویژگی ها را به یک هدف خاص تبدیل می کنند توابع مطلوبیت نام دارند و به صورت نوشته می شوند. منابعی که درباره توابع مطلوبیت وجود دارند عبارتند از: castillo و همکارانش، Derringer ، Derriger & suich ، Harrington ، kim& Lin توجه داشته باشید توابع مطلوبیت معمولاً درباره بسته ] 1 و0 [قرار دارند.
اولین توابع مطلوبیت توسط هارینگتون (Harrington) مطرح شدند. وی توابع توان دار را برای محاسبه مطلوبیت هایی در نظر گرفت که با معیارهای فردی1 همراه بودند و استفاده از از میانگین هندسی را برای ارزش گذاری این معیارها و محاسبه مطلوبیت کل در نظر گرفت. Derringer ، Derriger & suich ، فرم های توابعی و طرح های ارزش گذاری به متد هارینگتون را مورد انتقاد قرار دادند زیرا به اعتقاد آنها این فرم ها و متدها بیش از اندازه سخت بودند. در عوض، این افراد مجموعه توابعی را معرفی کردند که به کمک آنها می شود ارزش هدف2 را در هر منطقه ای بین مشخصات محصول قرار داد. برای ایجاد سهولت در کار، castillo و همکارانش مطلوبیت معیارهای فردی ذکر شده توسط Derringer را بسط و توسعه دادند. این عمل بسیار سودمند بود زیرا باعث شد مهندسین و طراحان مبتنی بر گرادیان (gra dient – based) هنگام بهینه سازی توابع مطلوبیت عملکرد بهتری داشته باشند. kim و Lin توابع قبلی را که درباره مطلوبیت وجود داشت مورد انتقاد قرار دادند زیرا به اعتقاد آنها این توابع به وابستگی بین yi حساسیت داشتند همچنین توابع اصلاح شده ای را برای معیارهای فردی پیشنهاد دادند که به کمک آنها می توان خطاهای احتماعی RSM را پیش بینی کرد. اخیراً روش های Six sigma و مفاهیم طراحی مربوط به آن تاثیر بسزایی بر روی طراحی فرآیندها دارند.
هدف Six sigma این است که ورودی های را به گونه ای تعیین می کند که میانگین و واریانس ویژگی های طراحی منجر به ایجاد درصد بالایی از واحدهایی شوند که با ویژگی طراحی مطابقت داشته باشند (حتی زمانی که فرآیند به طور پیش بینی نشده ای تغییر کند).
بنابراین مفهوم "مطلوبیت" در طراحی محصول الزاماً به معنای کنش متقابل بین میانگین و واریانس ویژگی های خاص است. مهمترین ایرادی که از تعریف قطعی استاندارد Six sigma می توان گرفت این است که استاندارد عموماً بر حسب یک معیار کیفی واحد تعریف شده است (رجوع شود به Harry). انگیزه ی مهمی که باعث شده است تابع مطلوبیت جدیدی در این مقاله مطرح شود این است که بتوان تعریف گسترده ای از کیفیت Six sigma ارائه داد و این استاندارد را به گونه ای تعمیم داد که معیارهای چندگانه را نیز در برگیرد. به طور کل ممکن است بعضی از معیارها؛ مشخصات محصول همخوانی نداشته باشند و برخی دیگر مربوط به هدفی بشوند که محصول یا فرآیند به خاطر آن طراحی شده است هدف، بدست آوردن تابع مطلوبیتی است که بعد از حل آن مشخص شود که آیا طراح محصول یا فرآیند به سطح کیفی Six sigma رسیده است یا خیر.
به طور خلاصه، تحقیقاتی که بر روی توابع مطلوبیت صورت گرفته است منجر به ایجاد توابع مطلوبیت انعطاف پذیری شده است: توابعی که اجازه می دهند تکنیک های تحقیقاتی gradient – based (مبتنی بر گرادیان) عملکرد خوبی داشته باشند و نیز باعث می شوند وابستگی هایی که به دلیل کمبود اطلاعات به وجود می آیند تاثیر کلی بر روی تصمیم گیری داشته باشند اما این توابع و روش RSM نیز دارای نقاط ضعف مهمی هستند که عبارتند از:
 اغلب RSM هایی که برای مدل سازی ارزش های میانگین فرآیند به کار می روند، می توانند اطلاعاتی را درباره ی میزان تغییرپذیری فرآیند در اختیار کاربر قرار دهند. اکثر اوقات یک کنش و تاثیر متقابل بین میانگین و انحراف معیار وجود دارد و این دو تاثیر بسزایی بر روی محصول و درنتیجه میزان سوددهی دارند. ما معتقدیم بهینه سازی همزمان چند میانگین و واریانس با استفاده از توابع مطلوبیت استاندارد مشکل آفرین است زیرا اهمیت نسبی هر یک از این میانگین ها تا حد زیادی به واریانس ویژگی ها بستگی دارد.
 همانگونه که در بخش 4 نشان خواهیم داد (بخش مورد پژوهش) روش های فعلی به راحتی به ایجاد موقعیت هایی می انجامد که نمی توان در این موقعیت ها اهداف کیفی را تحقق بخشید.
 تفسیر توابع موجود سخت و دشوار است. در جدول (1) بعضی از ارزش های معیار مطلوبیت به متد هارینگتون تفسیر شده اند اما بقیه افراد نتوانسته اند با توجه به استانداردهای صنعتی، تفسیر واضح و روشنی از توابع خود ارائه دهند.
 در مبحث مطلوبیت، رابطه ای بین مطلوبیت و سود یا بهره مورد انتظار به طور کامل مورد بررسی قرارگرفته است. با توجه به اینکه توابع مطلوبیت با محصول (و در نتیجه با سود) متناسب نیستند این احتمال وجود دارد که با توصیه هایی که در این باره می شود حتی نتوان به طور تقریبی سود مورد انتظار را به حداکثر رسانید.
علاوه بر این، مبحث "به حداکثر رساندن محصول" (plante , tsui , Barton) باعث ایجاد اهداف سودمند و بالقوه ای شده است. ولی این روش ها نمی توانند برای ویژگی هایی که هیچ مشخصه ای برایشان وجود ندارد به کار روند. از این رو استفاده از این ویژگی ها برای ایجاد تابع مطلوبیت یک محصول موثر، ادامه ای از کارهای قبلی به حساب می آید.
به خاطر داشته باشید روش دیگری که برای بهینه سازی معیارهای چندگانه وجود دارد که به عبارتست از "برنامه ی پشتیبانی از تصمیم" یا DSP یعنی تصمیم بر روی انتخاب هایی که برتر از انتخاب های فعلی و شناخته شده نیستند. DSP دارای امتیازات مهمی است اما مهندسین معتقدند که روش های مطلوبیت آسانتر هستند (برای اطلاع بیشتر به castillo و همکاران، و هارینگتون مراجعه کنید) همچنین توابع مطلوبیت را می توان در کنار DSP مورد استفاده قرارداد. در این مقاله ما تابع مطلوبیتی را ارائه داده ایم که نقاط ضعف سایر توابع را ندارد. برخلاف دیگر توابع مطلوبیت موجود، تابع پیشنهادی ما تفسیر حدسی و ساده ای دارد زیرا این تابع قادر است قسمت هایی را که با فرضیات موجود تطابق دارد پیش بینی کند. در بخش اول مقاله، فرمول های مربوط به این تابع را مورد بررسی قرار می دهیم سپس مثالی ارائه می دهیم که در آن تابع پیشنهادی ما به کار رفته است. در پایان نیز مزایا و معایب این تابع را نسبت به دیگر توابع موجود مورد بررسی و مقایسه قرار می دهیم.
2 ـ بررسی و مرور مبحث توابع مطلوبیت
در این بخش در نظر داریم موضوع تابع مطلوبیت را مورد مرور و بررسی قرار دهیم. در متد هارینگون، محاسبه تابع مطلوبیت شامل دو مرحله می شود. در مرحله اول به منظور تعیین مطلوبیت فردی، هر معیار و جواب تحت بررسی قرار می گیرد. معیارها دو نوع هستند: معیارهای دو طرفه (two-sided criteria) که مقادیر قابل قبول آنها هم به حد تعیین بالا2 و هم حد تعیین پایین3 بستگی دارد. و معیارهای یک طرفه (one-sided criteria) که مقادیر قابل قبولشان فقط به یک حد واحد بستگی دارد. درمورد معیارهای دوطرفه می توان ازطریق فرمول زیر محاسبه مقدار جواب مقیاس دار ، مطلوبیت را مشخص کرد:

سپس لازم است کاربر برای معیار و مطلوبیت فرضی do یک مقدار در نظر بگیرد مثلاً: و do=0/63 (این اعداد باید مستقل از مقادیر معیارهای دیگر باشند) سپس با جایگذاری این جفت عدد یعنی در معادله، پارمتر n را محاسبه کند:

در مرحله بعد، مطلوبیت برای یک شاخص دو طرفه، از معادله زیر بدست می آید:
(3)
در مورد معیارهای یک طرفه، مطلوبیت فردی به روش زیر محاسبه می شود. مهندس باید دو جفت و را با معیارهای و در نظر بگیرد و فرض کند که است (البته این قضیه نباید تعمیم داد). سپس با استفاده از فرمول زیر هر یک از مقادیر جواب را مقیاس دارد نماید:
(4) و
سپس با استفاده از رابطه ای خطی زیر مقدار مقیاس دار
را که متناظر با جواب واقعی است محاسبه کند:

و مطلوبیت شاخص یک طرفه را با استفاده از فرمول زیر تخمین بزند:
(6)
در مرحله دوم برای اینکه بتوان مطلوبیت سیستم را به روش هارینگتون برآورده کرد باید با استفاده از فرمول زیر مطلوبیت معیارهای فردی را با یکدیگر ترکیب کرد:
( 7 )
در این فرمول ارزش هر معیار است و
جدول 1 ـ سیستم ارزیابی هارینگتون برای تفسیر میران مطلوبیت d
ارزش
توصیف
1
1-8/0
8/0-63/0
63/0-4/0
4/0-3/0

3/0-0
0
رضایت کامل و کیفیت بالا(هر گونه پیشرفتی بالاتر از این نقطه دارای ارزش قابل ملاحظه ای نخواهد بود).
قابل قبول و عالی (بیانگر کیفیت یا عملکردی است که فراتر از هر گونه عملکرد تجاری صورت گرفته است).
قابل قبول و خوب (بیانگر پیشرفت و بهبود در کیفیت تجاری است.
قابل قبول و ضعیف (کیفیت قابل قبول ایت اما بهبود بیشتری مورد نظر است) .
بینابین (اگر حد تعیینی وجود داشته باشد آنگاه بعضی از محصولات درست در نقطه Max یا min این حد قرار می گیرند)
غیر قابل قبول (محصولاتی که دارای چنین کیفیتی هستند پذیرفته نمی شوند.)
کاملاً غیر قابل قبول
این بحث وجود دارد که 1= برای تمام جواب های i در اکثر موارد کافی خواهد بود (برای اطلاع بیشتر به هارینگتون مراجعه کنید). Derringer در تحقیقات بعدی نشان داده است که انتخاب ارزش های نابرابر چه امتیازات خاصی دارد . یعنی اگر به جای تغییر دادن برخی از پارامترهای مطلوبیت (مثل ) عمل ارزش گذاری را انجام دهیم به روش مستقیم تری برای اصلاح اهمیت نسبی دست خواهیم یافت .
اغلب، توابع مطلوبیت استاندارد موقعیتی را به وجود می آورند که در آن میانگین فرآیند درجایی درون حدهای تعیین قرار می گیرد. (برای اطلاع بیشتر به Derringher ،suich & Harington ، Montgomery و Pande و همکارانش مراجعه کنید) اما هیچیک از این توابع هنگام تعین شیب توابع، و اینکه میانگین دقیقاً در کجای حدها باید واقع شود از انحراف معیار فرآیند استفاده نمی کنند. همچنین هیچ یک از توابع مطلوبیتی که تاکنون وجود داشته است تفسیر ساده ای نداشته اند تنها استانداردهایی که برای تفسیر توابع مطلوبیت وجود دارد همان است که درجدول (1) می بینید.
3 ـ روش پیشنهادی
تابع مطلوبیت پیشنهادی بر اساس برآوردهایی است که از محصول به عمل آمده است یعنی بخشی از واحدهای محصول که با فرضیات six sigma (که این فرضیات در اکثر موارد به عنوان استانداردهای پیش فرض تعادلی می شوند) تطابق دارند. این فرضیات به طور گسترده توسط pande و همکارانش توصیف شده اند. در این بخش فرمولهایی را برای محاسبه محصولاتی که دارای حد تعیین یک طرفه و دو طرفه هستند مطرح می کنیم. سپس دستورالعمل هایی را برای تفسیر میزان مطلوبیت ارائه می دهیم. این دستورالعمل ها براساس فرآیندها و استانداردهای کیفی ای هستند که توسط Harry تعریف شده اند. در پایان این بخش نیز حساسیت تابع پیشنهادی به فرضیاتی که درباره اندازه تغییرات میانگین و تغییرپذیری فرایند وجود دارد را مورد بررسی قرار می دهیم. همچنین می گوییم که چگونه می توان این کمیت ها را به عنوان ضریب تعدیل4 برای ویژگی هایی که حد تعیین ندارند به کار برد.
1 ـ 3 ـ دو نوع فرمول و راه حل
همانگونه که در بخش قبل گفتیم، در متد هارینگتون، در مرحله اول، جهت تعریف تابع پیشنهادی باید برای هر معیار و جواب یک مطلوبیت فردی تعیین کرد هریک از شاخصهای کیفی دارای میانگین و انحراف معیار هستند. این میانگین ها و انحراف معیارها ممکن است خود به عنوان مشخصه یا ویژگی هایی در نظرگرفته شوند که با پارمترهای همراه هستند. مسئله دیگر، توجه به مفهوم تغییر (شیفت) از میانگین به سمت حد تعیین مربوطه است. در مبحث six sigma مهندسین تشویق شده اند که به مفاهیم ضمنی تغییر یا شیفت در طراحی فرآیندها و محصولات خود توجه داشته باشند (برای اطلاع بیشتر به Harry مراجعه کنید).
در مواردی که مشخصه های فردی I دارای حد تعیین بالا (USL) و حد تعیین پایین ((LSL و میانگین، انحراف معیار و دامنه تغییرشان (شیفت) به ترتیب است تابع مطلوبیت پیشنهادی به صورت زیر می گردد:
(8)
که در آن:

در این معادله، تابع توزیع تجمعی برای متغیرهای تصادفی نرمال واحد است (برای اطلاع بیشتر به khuri و cornell رجوع کنید) و

و:
در این روش، مطلوبیت متناظر با برآورد محافظه کارانه5 بخشی از محصولاتی است که با فرضیات six sigma (که استاندارد هستند) مطابقت دارند. فرضیات به این صورتند که مشخصه کیفی به طور نرمال توزیع شده است و تغییری (شیف) از میانگین به سمت حد تعیینی که به میانگین نزدیکتر است صورت گرفته است. با محصول متناظر است (تحت این فرضیه که تغییر و شیفت مثبت بوده است) و با این فرضیه که تغییر و شیفت منفی بوده است با محصول متناظر است. مینیمم مقدار این دو تغییر (شیفت) به عنوان "محافظه کار" در نظر گرفته می شود.
گرچه فرضیه "نرمال بودن" در مبحث six sigma ، استاندارد است ولی در بعضی موارد بهتر است مطلوبیت را براساس تابع توزیع متفاوتی قرارداد. این مسئله در اکثر موارد رعایت می شود زیرا دنباله توزیع مشخصه های کیفی، مطلوبیت را بر اساس تابع توزیع متفاوتی قرارداد. این مسئله در اکثر موارد رعایت می شود زیرا دنباله توزیع مشخصه های کیفی، محصول را کنترل می کند و ممکن است توزیع واقعی نسبت به توزیع نرمال دارای دنباله های سبک تر یا سنگین تر باشد.
با انجام یک آزمون فرضیه در مورد میزان بلندی6 و چولگی می توان این موضوع را مورد آزمایش قرارداد. (برای اطلاع بیشتر به Mantgomevy مراجعه کنید). در صورتی که تبدیل نرمالی در ارزش های مشخصه، حدهای تعیین و تابع توزیع صورت نگیرد معادله (8) نمی تواند بر آورد محافظه کارانه ای از محصول ارائه دهد.
شکل 1 رابطه یک بین تغییرات (شیفت ها) و بخشی از محصولاتی که با فرضیات مطرح درباره "نرمال بودن" تطابق دارند را به صورت هندسی نشان می دهد. شکل 2 نیز بیانگر تابع مطلوبیت برای مقادیر فرضی انحراف معیار، معیارهای فردی است . این تابع به عنوان تابع میانگین معیارها () در نظر گرفته می شود. در مواردی که حد تعیین بالا وجود ندارد، عبارت در معادله (8) برابر با یک می شود. و اگر حد تعیین پایین وجود نداشته باشد عدد صفر جایگزین عبارت – می شود.

شکل 1 ـ کمیت های (مقادیر) به کار رفته برای محاسبه توابع مطلوبیت پیشنهادی.

شکل 2 ـ تابع مطلوبیت پیشنهادی
2 ـ 3 تفسیر تابع مطلوبیت پیشنهادی
برای اینکه بتوان ارزش های مطلوبیت پیشنهادی را تفسیر کرد به سیستم ارزیابی جدیدی نیاز است. درجدول (2) ارزش های سیستم پیشنهادی مورد تفسیر قرار گرفته اند (برای اطلاعت بیشتر به Harry ، pande و همکارانش مراجعه کنید). این سیستم ارزیابی به ویژه زمانی دارای اهمیت می شود که شاخص های کیفی ای که برایشان هیچگونه مشخصاتی وجود ندارد باید مورد بررسی قرار گیرند. برای مثال، در جوش کاری قوسی افزایش سرعت حرکت باید تاثیر بسزایی بر روی کیفیت محصول داشته باشد زیرا این عامل به طور مستقیم با رشد بهره وری ارتباط دارد. در این موارد، تصمیم گیرنده باید به طور ذهنی تصمیم بگیرد که ارزش کدام یک از این معیارها خوب و قابل قبول هستند. در مثال زیر، یک روش برای انجام این کار توضیح داده شده است. این روش شامل تعیین هدف و مقادیر میانگین و تبدیل آنها به مقیاسی که به آسانی با برآوردهای محصول، قابل مقایسه باشد، می شود.
جدول 2 ـ تقسیر مطلوبیت / محصول دراز مدت با فرض تغییر و شیفت
ارزش
توصیف
1-9999966/0
9999966/0-9938/0
9938/0 – 9332/0
9332/0 – 69/0
69/0 – 0
استاندارد جدید برای کیفیت (هر پیشرفتی بالاتر از این مقدار دارای ارزش قابل ملاحظه ای نخواهد بود)
خوب است اما کیفیت عالی محسوب نمی شود (استاندارد منحنی)
قابل قبول ولی شغیف (استاندارد تاریخی)
غیرقابل قبول (یحک استاندارد )
کاملاً غیرقابل قبول

3 ـ 3 روش پیشنهادی برای محاسبه مطلوبیت کلی
روش های زیادی معرفی شده است که از طریق آنها می توان چند تابع مطلوبیت فردی را با یکدگر ترکیب، و تابع مطلوبیت کل یعنی D(x) را محاسبه کرد. برای آنکه تفسیر مطلوبیت به عنوان یک محصول، همچنان به قوت خود باقی بماند در زیر روش مطرح شده توسط Suicg , Derringer با کمی اصلاحات ارائه شده است. معیارهای دیگر مثل I=r+1,……,m ویژگی هایی هستند که ارزش ها برای آنها باید تعیین شوند. فرمول پیشنهادی به شرح زیر است:
(11)
که در آن
مقادیر داخل کروشه ای اول در معادله بالا مربوط به برآورد بازده کل فرآیند (با توجه به فرضیات زیر) می شوند. اولاً فرض بر آن است که شیفت ها و تغییرهای چندگانه در میانگین به صورت همزمان رخ می دهند. ثانیاً فرض می کنیم که حادثه عدم تطابقی که در نتیجه خرابی7 محصولات به وجود می آید مستقل است. توجه داشته باشید این فرضیه که خرابی های تصادفی از هرنوع به طور مثبتی به یکدیگر همبسته هستند به طور ضمنی به این معناست که معادله (11) می تواند برآورد محافظه کارانه ای از محصول (بازده) ارائه دهد.
پارامتر این امکان را فراهم می آورد که بتوان اهمیت محصول کلی (بازده کلی) را در مقایسه با دیگر مطلوبیت های فردی تنظیم کرد. تفاوت اصلی بین راه حل پیشنهادی و روش که suich , Derringer ارائه داده اند این است که مقدار s با افزایش تعداد معیارهایی که مربوط به "عدم تطابق با مشخصه ها" می شوند افزایش نمی یابد. از این رو تاثیر این خرابی های چندگانه با یکدیگر جمع می شوند و میانگین شان محاسبه نمی گردد. این حالت های خرابی (Failure) در واقع بیانگر محصول واقعی ای هستند که طی فرایند بدست آمده است.
در بعضی موارد (از جمله مثالی که در زیر ارائه می کنیم)، ضرر مالی مورد انتظار متناسب با بخشی از محصول است که با استانداردها مطابقت ندارد. از این رو مادامی که ضررهای مالی "کوچک" در نظر گرفته شوند تابع مطلوبیت پیشنهادی با میزان بهره وری متناسب خواهد بود. گر چه ارزش های در مواردی که خرابی های خاص محصول نسبت به موارد دیگر از اهمیت بیشتری برخوردار هستند، از خود انعطاف بیشتری نشان می دهند ولی بهتر است برای متناسب ساختن مطلوبیت با میزان بهره وری از همان روش هایی استفاده کرد که در ترکیب مطلوبیت های فردی به کار می روند.
همچنین در بعضی از موقعیت ها، مهندس باید حدس بزنند که معیارهای کیفی تا حد زیادی همبستگی دارند. یعنی زمانی که یکی از این معیارها خارج از حد تعیین خود قرارگیرند. در این موارد، KIM و LIN روش Maxinin8 را برای ترکیب توابع مطلوبیت پیشنهاد می کند. زیرا در این روش، وابستگی ها منجر به ایجاد ارزش های نامعقول برای تابع مطلوبیت نمی شوند. در این روش، مطلوبیت کلی، حداقل مطلوبیتهای فردی است. (di). هنگام استفاده از روش Maxinin و به کارگیری توابع مطلوبیت فردی باید ارزش های زیر را تعریف کنیم = qi برای I = 1,…….,o حاصل ضرب مطلوبیت های فردی برای مجموعه ای از معیارهای غیر همبسته o است که با حدهای تعیین همراه هستند . هنگامی که در روش Maxinin به جای di از qi استفاده می کنیم تفسیر D(x) به عنوان ارزش بازده (محصول) تا حدی به قوت خود باقی می ماند زیرا qi برآوردهای محصول هستند. ما پیشنهاد می کنیم هنگامی که معیارها، همبستگی زیادی با یکدیگر دارند از روش Kim و Lin برای ترکیب مطلوبیت های فردی استفاده کنید.
4 ـ مورد پژوهشی : جوش کاری قوسی جوش نواری (جوش گوشه)
نمونه ای که در زیر مطرح می کنیم با استفاده از توابع مطلوبیت (از جمله متد هارینگتون) بهنیه سازی شده است. در اینجا در نظرداریم نتایج حاصل از این نوع بهیه سازی را با نتایجی که خود بدست آورده ایم مقایسه کنیم. اهداف طراحی و کاربرد RSM در مدل سازی معیارها به عنوان تابعی از متغیرهای تصمیم، موضوعاتی هستند که در ابتدای امر به آن می پردازیم. سپس به کاربردی که توابع مطلوبیت و تابع مطلوبیت پیشنهادی در بهینه سازی چند معیاری (در فرایند six sigma) دارند اشاره می کنیم.
1 ـ 4 ـ بررسی اهداف و مدلهای رگرسیون
هدف سازندگان لوازم یدکی و تجهیزات سنگین این است که ضمن انجام جوش کاری هایی که با استانداردها مطابقت دارد. میزان بهره وری را به حداکثر برسانند. موردی که در زیر به آن می پردازیم نیز برهمین اساس تنظیم شده است. طراحی پارامتر جوشکاری شامل انتخاب متغیرهای تصمیمی می شود که در شکل 3 نشان داده شده اند به طوری که معیارهای نشان داده شده در شکل 4 با مشخصات مطابقت داشته باشند. سرعت حرکت x5 هم یک ورودی است و هم یک معیار زیرا این متغیر تقریباً با زمان چرخه فرآیند رابطه معکوس دارد. بررسی اهداف شامل رسیدن به برای سرعت حرکت می شود. زیرا قبلاً مشخص شده است که این مقدار سرعت از صرف هزینه های اضافی درتجهیزات اضافی جلوگیری می کند. پارامتر برای تمام Iها برابر 5/1 است و بالاخره از آنجا که معیارها تقریباً از اهمیت یکسانی برخوردار هستند پارامترهای (از معادله ی 11) برای تمام I ها برابر با یک در نظرگرفته می شود.
به منظور مدل سازی از معیارها به عنوان توابع ورودی های فرآیند، از RSM ها استفاده شده است. آزمایش ها، مطابق با یک طرح آزمایشی که توسط Behnken , Box ارائه شده است، صورت گرفته اند زیرا این طرح آزمایشی با محدودیت ها بودجه بندی مطابقت دارد و مهندسین بر این باورند که طرح مذکور می تواند مدلی را ایجاد کند که قادر است پیش بینی های درست و قابل قبولی انجام دهد. برای مقایسه، آزمایش ها یک بار دیگر به روش Ribardo و یا استفاده از روش های چندگانه (از جمله RSM های هزینه پایین که توسط Allen & Liyong ، Koc و همکاران ، Allen و همکاران مطرح شده اند) صورت گرفته اند.
سطوح آزمایش در جدول 3، و جواب ها و ورودی های آزمایشی در جدول 4 نمایش داده شده اند. از آنجا که داده های جواب (Response data) نشان می دهند که احتمال بروز هیچگونه عدم تطابقی وجود ندارد (به دلیل وجود معیارهای جواب دیگری که در شکل 4 نشان داده شده اند و ارزش های مربوط به آنها در جدول 4 ذکر شده است) این معیارها در بهینه سازی چند معیاری مورد توجه و بررسی قرار گرفته اند.
مدل های پیش بینی از روی داده های موجود درجدول 4 و با استفاده از رگرسیون کمترین مجذور است9 که در این حالت با رگرسیون چند جوابی10 هم تراز است ـ به وجود آمده اند. مدل های که برای پیش بینی متوسط گودافتادگی و تحدب ایجاد شده اند: و ، عبارتند از:
0921/0+244+0322/0-001/3+99/3-91/8- =
0015/0+1520+000275/0+93/0+8/10+
0294/0-8/85+0449/0-461/0+
838/0+585/0+43/2+0218/0+
62/2+000822/0-
و
0532/0+262+145/0-141-1/28+95/4- =
00189/0-4160-000109/0+11/5+8/14-
385/0+3/93+167/0-4/20+
13/3+0208/0-130+035/0
17/2+00151/0
(12)

شکل 3 ـ متغیرهای تصمیم برای مطالعه جوش کاری

شکل 4 ـ معیارهای جواب برای بررسی جوش کاری قوسی

جدول 3 ـ عوامل و سطوح انتخابی برای آزمایش RSM
سطوح
عامل ( ضریب )
جاسازی/ شده ، in 4/1 ، 8/1
in 8/7 ، 8/6 ، 8/5
15- و 15 درجه
in 062/0 و 052/0 و 045/0
ipm 40 و 30 و 20
طول قوس =
CTWD =
زاویه ی مشعل =
قطر سیم =
سرعت حرکت =

جدول 4 ـ ورودی ها و داده های جواب طرح Box – Behnken

جدول 4 ، ضرایب هرجواب را از روی عبارتی که در مدل ضرب شده است ارائه داده است. تنظیم شده برای دو مدل به ترتیب برابر با %3/65 و %1/85 است. ما برای انحراف معیارهای فرآیند از sqrt (میانگین مجذورات اشتباه)11 استفاده کرده ایم که این میزان برای گودافتادگی و تحدب به ترتیب برابر است با و . از آنجا که در آزمایش ما محدودیت های هزینه ای وجود دارد، ما در این تحلیل فرض را بر آن می گیریم که تغییرپذیری فرآیند تاحد مطلوبی ثابت است. اگر می توانستیم کل run 46 را مجدداً تکرار کنیم آنگاه قادر بودیم و را به عنوان توابع ورودی های فرآیندمان قراردهیم. برای کسب اطلاع در مورد مدل سازی همزمان میانگین و انحراف معیار به کمک RSM به Myers ، Montgomery ، Ribardo ، Allen و همکارانش مراجعه کنید. به طور مشابه، L چولگی 5 نقطه مرکزی تکراری را برای هر مشخصه محاسبه می کنیم. میزان چولگی برای گودافتادگی و تحدب به ترتیب برابر با 2/2 و 62/0- است. اگر می بینید چولگی گودافتادگی با فرضیاتی که درباره "نرمال بودن" موجود است، همخوانی ندارد تعجب نکنید زیرا طبق تعریف، گودافتادگی نمی تواند منفی باشد.
این الزاماً بیدن معنی نیست که توزیع یک دنباله مهم بایک توزیع نرمال تقریب زده نشده است. بدون داده های اضافی برای بررس داده ها، ما محاسبات مطلوبیتت خود را (با استفاده از معادله 8) براساس این فرض انجام می دهیم که توزیع گودافتادگی تقریباً نرمال است.
2 ـ 4 کاربرد توابع مطلوبیت متفاوت
در این بخش، بهینه سازی تابع مطلوبیت پیشنهادی در مورد جوشکاری را در ارتباط با کشتی سازی مورد بررسی قرار می دهیم دراین مثال چون هزینه آزمایشی هستند لازم است فرض کنیم که واریانس فرایند در تمام منطقه ثابت است. این مثال در صورت ثابت بودن واریانس نیز به، نشان می دهد که متد پیشنهادی چه مزایای مهمی دارد. یک روش کلی برای معیارهایی که فاقد مشخصات هستند ولی می توان برای آنها یک هدف و یک حداقل ارزش قابل قبول تعیین کرد ارائه داده ایم که به کمک آن می توان مطلوبیت معیار سرعت حرکت را که فاقد مشخصه مهندسی است و انحراف معیاری برابر با صفر دارد تعیین کرد.
اصول حاکم بر تعیین تابع مطلوبیت به شرح زیر است: (1) حفظ تناظر و تناسب بین مطلوبیت و محصول (بازده) تا جایی که امکان دارد. (2) مرتبط ساختن مطلوبیت با سطح کیفی فرآیندی که در مبحث six sigma مطرح و در جدول 2 تکرار شده است. . در مرحله بعد نتایج حاصل از بهینه سازی تابع مطلوبیت پیشنهادی که از طریق پیش گویی های مدل رگرسیون درباره متوسط گودافتادگی و تحدب و سرعت حرکت بدست آمده است مورد بررسی قرار می گیرد و بالاخره به منظور مقایسه نتایج حاصل از بهینه سازی تابع مطلوبیت (از طریق متدهارینگتون) مطرح می شود.
تمام توابع مطلوبیت از جمله توابع پیشنهادی ما و توابع دیگر که توسط Castillo و همکارانش ، Derringer ، Harington ، Lin & kim مطرح شده اند به طور دقیق می توانند مواردی را که در آنها مشخصات محصول در دسترس است، توجیه کنند.در این موارد به تنها نکته ای که باید توجه داشت این است که مبادا تغییرپذیری فرایند باعث شود محصولات نتوانند منطبق با مشخصات، تولید شوند. در بقیه موارد معیارها با مشخصات همراه نیستند و تغییرات این معیارها چندان مورد توجه قرار ندارد. برای مثال، سرعت حرکت دارای هیچ حد معینی نیست و می توان آن را به طور دقیق با اپراتور دستگاه تعیین کرد. در این گونه موقعیت ها می توان از روش زیر برای تعیین ذهنی مطلوبیت بهره گرفت. هدف روش پیشنهادی این است که تا حد ممکن تفسیر مطلوبیت کلی را به عنوان یک بازده (محصول) و یا محصول موثر به حداقل برساند و تناسب آن را با استانداردهای six sigma که در جدول 2 مطرح شده است حفظ کند.
روش پیشنهادی شامل تعیین ارزش هدف (Ti) و حداقل ارزش قابل قبول Mi می شود. سپس برای محاسبه مطلوبییت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
(13)
در اینجا نیز تابع توزیع نرمال تجمعی است که در نرم افزار صفحه گسترده استاندارد نیز موجود می باشد.
مقدار بدست آمده با یا متناظر است (برای معیارهایی که دارای حد تعیین یک طرفه هستند).

جدول 5 ـ فرضیاتی که هنگام محاسبه ی مطلوبیت راه حل های خاص به کار می روند.
معیار
نوع
ورودیها
گودافتادگی
یک طرفه

تحدب
دو طرفه

سرعت حرکت
یک طرف

برای اینکه بتوانیم setting فرآیند پیشنهادی را در مورد جوشکاری بدست آوریم باید RSMها و تابع مطلوبیت پیشنهادی در معادلات (7) و (13) را به صورت کد وارد یک صفحه گسترده کنیم سپس با استفاده از و انتخاب تصادفی 20 نقطه شروع به settingهای پیشنهادی زیر می رسیم: و و و و (رجوع شود به جدول 4).
فضای جستجو تنها محدود به ناحیه آزمایشی می شود به طوریکه بتوان انتظار داشت که صحت مدل های پیش بینی بیشتر از تکرارپذیری تخمینی فرآیند است. صحت پیش بینی مربوط به طرح های آزمایشی Box – Behnken ، توسط Allen و yu مورد بررسی قرار
گرفته است. مقادیر معیارهای پبیش بینی شده عبارتند از:
و و ، مطلوبیت کل 9775/0 محاسبه شده است. که این مقدار متناظر با برآورد محافظه کارانه "محصول موثر" می باشد. از آنجا که این مقدار مبتنی بر پیش بینی هایی که در مورد گودافتادگی و محدب صورت رفته است و این پیش بینی ها دارای خطای قابل اغماض نیستند، فرض را بر آن می گیریم که آزمایش های مکرر، این پیش بین ها را تایید کرده اند. فرضیات از این نوع در محبث six sigma متداول هستند و تا حد زیادی توسط فرضیه تغییر (شیفت) . تعدیل شده اند. با این فرضیات و فرضیاتی که قبلاً مطرح شده است مطلوبیت کل را می توان به این صورت تفسیر کرد: فرآیند قابل قبول ولی ضعیف است و منطبق با استاندارهای "" تاریخی می باشد.
کاربرد تابع مطلوبیت به روش هارینگتون در معادلات (1) تا ( 7) مستلزم چند فرض است که در جدول 5 خلاصه آن را مشاهده می کنید انتخاب و پیرو این واقعیت صورت گرفته است که طبق مشخصات (که یک استاندارد کیفی بین المللی است) 1mm حداکثر میزان گودافتادگی مجاز است. انتخاب و از این لحاظ صورت گرفته است که این مقدار، برای این مشخصه مثبت، مقدار ایده آلی است. ارزش های و برای میزان تحدب نیز بر اساس استاندارد صورت گرفته است. انتخاب و منعکس کننده این واقعیت است که تحدب omm یک ایده آل است. انتخاب مطلوبیت به طور ضمنی بیان می کند که ipm 40 باید به عنوان حداکثر سرعت حرکت مطلوب در نظر گرفته شود. اگر سرعت حرکت بالاتر از این مقدار نباشد آنگاه باید و را برای موقعیت هایی انتخاب کرد که در آن نیاز به تجهیزات یدکی احساس شود. استفاده از ExcelTM و انتخاب تصادفی 20 نقطه شروع منجر به ایجاد ارزش ها و مقادیری می شود که در جدول 4 می بینید. مقادیر بدست آمده عبارتند از: و و و و . توجه داشته باشید که این مجموعه از واحدها استاندارد هستند و در مبحث جوش کاری ازجحیت دارند. معیارهای پیش بینی شده عبارتند از و و . با استفاده از تابع مطلوبیت هارینگتون برابر با 1 می شود ولی با استفاده از تابع مطلوبیت پیشنهادی مقدار آن برابر با 8994/0 می گردد. توجه به این نکته مهم است که راه حل بدست آمده به جزئیات فرضیات هارینگتون حساسیت ندارد. برای مثال، اگر ماکزیمم مقدار مطلوب سرعت حرکت برابر با ipm 69 باشد (یعنی ) و یا مقدار برابر 002/0 باشد میزان مطلوبیت بالاتر از 99/0 می گردد.
با برآوردهای محافظه کارانه ای که در مورد محصول (بازده) و محصول موثر به عمل آمده، معلوم شده است که بهینه سازی تابع مطلوبیت به روش هارینگتون منجر به کیفیت می شود که غیر قابل قبول است. از یک دیدگاه عینی، طراحی سیستم انتخاب شده ضعیف و نامناسب بوده است زیرا با توجه به مشخصی تحدب، این سیستم منجر به یک فرایند غیر متمرکز می شود و cpk برابر با 82/0 می گردد. این امر باعث می شود هزینه بالایی صرف بازرسی کامل و دسته بندی شود. ارزیابی هایی که درباره settingهای بدست آمده صورت گرفته است (با استفاده از تابع مطلوبیت هارینگتون) منجر به برآوردهایی شده است که عبارتند از 8089/0 برای محصول (بازده) و 8994/0 برای "محصول موثر". همچنین به کمک تابع مطلوبیت هارینگتون، ارزیابی هایی درباره setting بدست آمده از هر دو روش، صورت گرفته است که مقدار بالای محاسبه شده این حس نادرست را در آزمایشگر به وجود می آورد که اگر هر دو setting پیشنهادی مورد استفاده قرار گیرند فرآیند، عالی می شود.
از طریق بهینه سازی تابع مطلوبیت پیشنهادی، محصول مطلوب با برآورد محافظه کارانه برابر با 9775/0 می شود که این مقدار بیشتر از settingهایی است که به روش هارینگتون بدست می آید. طبق استاندارد six sigma و جدول 2، این میزان با کیفیت (استاندارد تاریخی) متناظر است. همچنین باتوجه به مشخصه تحدب، میزان Cpk برابر با 1/1 می شود. بنابراین پیشنهاد ما این است که بهتر است با استفاده از نمودار کنترل، از صرف هزینه های مربوط به بازرسی کامل جلوگیری کرد. (برای آگاهی به khuri و cornell مراجعه کنید). فرآیند متمرکز است. و این چیزی است که مهندسین کیفی با در نظر گرفته این واقعیت که ممکن است شاخص های صلاحیت12 کوچک در نظرگرفته شوند، آن را به فرآیندهای دیگر ترجیح می دهند.
صرف نظر از جزئیاتی که در فرضیه ما درباره فرآیند و نحوه به کارگیری متد هارینگتون وجود دارد این موضع که تابع مطلوبیت پیشنهادی می تواند منجر به ایجاد یک فرآیند عالی شود منطقی به نظر می رسد. همچنین روش پیشنهای می تواند با صحت کامل تشخیص دهد که چون شاخص صلاحیت فرآیند، پایین است، تکنولوژی مربوط فقط می تواند یک سطح معمولی از کیفیت را بوجود آورد. برای اطلاع بیشتر به khuri و cornell مراجعه کنید. ما بر این باور هستیم که این نتایج را می توان در مورد تمام توابع مطلوبیت (به غیر از تابعی که ما پیشنهاد دادیم) تعمیم داد. زیرا هیچ مولف دیگری روش واضحی را ارائه نداده است که در آن برای تعیین مقادیر مطلوبیت از تغییرپذیری فرآیند استفاده شده باشد.

جدول 6 ـ مقایسه ی نتایج بدست آمده از روش های مختلف
روش پیشنهادی
روش هارینگتون

Setting های مطلوب (x)

متوسط جواب های پیش بینی شده Yi (x)
9996/0
1
مطلوبیت هارینگتون

مقادیر diهای فردی (متد پیشنهادی)
9775/0
8994/0
مطلوبیت/ محصول موثر (متد پیشنهادی)

نتیجه گیری:
در این مقاله تابع مطلوبیت جدیدی ارائه داده ایم که مهندسین را در بهینه سازی چند معیاری یاری می کند امتیازات تابع پیشنهادی عبارتند از:
1 ـ مقادیر موجود در این تابع تفسیر ساده ای دارند و محصول با توجه به فرضیات محافظه کارانه ای که در مبحث six sigma استاندارد تلقی می شوند، تولید می گردد. احتمال اینکه فردی با انجام برآوردهای محافظه کارانه دربارهی بازده فرآیند، به نتیجه غلط برسد کم است. به بیان دیگر هنگامی که فرآیند با استانداردهای مطابقت دارند احتمال کمی وجود دارد که طراحی فرآیند منجر به بازدهی پایین شود.
2 ـ از آنجا که تابع پیشنهادی صریحاً به عنوان تابعی از میانگین و انحراف معیار مشخصه های کیفی و معیارهای مربوطه مطرح شده است این احتمال وجود دارد که setting هایی که با استفاده از تابع ما به دست می آیند نسبت به setting هایی که از طریق توابع مطلوبیت دیگر حاصل می شوند بیشتر با اولویت های مهندسین متناسب باشند . علت این است که در تحقیقاتی که در گذشته صورت گرفته است تابعی در مورد میانگین و انحراف معیار فرآیند به وجود نیامده است . برای کسب آگاهی بیشتر به Castillo و همکاران ، Derringer ، Derringer & suich ، Harringtan ، Kim & Lin مراجعه کنید . این واقعیت که مطلوبیت میانگن setting ها تا حد زیادی به انحراف معیار فرآیند بستگی دارد باعث ایجاد محدودیت در مزایای این توابع می شود . برای مثال در نمونه ای که برای شما ارائه داریم. انحراف معیار مشخصه تحدب بالا بود (cp=1/1) و تابع مطلوبیت پیشنهادی منجر به یک فرآیند متمرکز و یک شد. ولی تابع مبتنی بر هارینگتون منجر به یک فرآیند غیر متمرکز و یک شد که احتمال اینکه در این روش هزینه بیشتری صرف بازرسی کامل شود بیشتر است.
و بالاخره فرصت های متعددی برای به کارگیری و گسترش تابع مطلوبیت پیشنهادی وجود دارد. اولاً توابع مطلوبیت پیشنهادی روش منسجمی را ارائه می دهند که از طریق آن می توان استانداردهای کیفی sixsigma را تا سطح طراحی چند معیاری توسعه داد. برای به حداکثر رساندن مزایای sixsigma لازم است تحقیقات و بررسی های کاملی در مورد معانی ضمنی آن و روش های به کار گیری آن انجام دهیم و ثانیاً این موضوع که باید توابع مطلوبیت پیشنهادی را با فرمول های منطقی و تئوری مرتبط ساخت از اهمیت خاصی برخوردار خواهد شد. برقراری این نوع روابط باعث می شود سطح مناسب تری برای کیفیت sigma و کیفیت محصول مطرح گردد؛ کیفیتی که در آن مسائل اقتصادی مد نظر قرار گرفته می شوند. ثالثاً در موقعیت هایی که در آن به نظر می رسد مدلهای رگرسیون از قدرت پیش بینی ضعیفی برخوردار هستند لازم است توابع مطلوبیت پیشنهادی را به گونه ای اصلاح کنیم که بتوانند عدم قطعیت پیش بینی ها را توجیه کنند. Lin , Kim این کار را در مورد برخی توابع مطلوبیت انجام داده اند و فرصت هایی را برای توسعه میزان مطلوبیت طراحی های مهندسی به وجود آورده اند. برای مثال ممکن است setting های مطلوب خارج از منطقه آزمایش قرار بگیرند اما آنقدر به منطقه نزدیک باشند که مدل های تجربی بتوانند ارزش های آنها را با دقت شایسته ای پیش بینی کنند.

کانال تلگرامی دانشجوفا
@daneshjofa
مفیدترین کانال علمی
کسب و کار و بازار کار رشته های دانشگاهی
@daneshjofa
از جدیدترین اخبار اقتصادی و علمی کشور با خبر شوید!

@daneshjofa
کانال مفید ویژه نخبگان علمی کشور
ایا میدانستید که روزانه 5 ساعت از عمر ما در کانال های تفریحی و گروه های بی هدف تلگرام هدر می رود؟
عضویت در یکی از مفید ترین کانال های تلگرام
@daneshjofa
اهداف کانال : 1.ارائه راه کارهای بازارکار دانشجویی 2.اخبار کاربردی اقتصادی 3.اخبار بروز علمی 4.ارائه تحقیق و مقالات علمی رشته های مختلف
@daneshjofa

1 Effective yield
1 individual criteria
2 target value
2 upper specificaltion limit (USL )
3 lower specificaltion limit (LSL )
4 adjustment factor
5 conservative estimate
6 کشیدگی Kurtosis
7 Failure
8 Maximin حداکثر حداقل ها
9 Least – squares regression
10 multi response regression
11 mean squarec error
12 capabilty indices
—————

————————————————————

—————

————————————————————

17