سمینار درس پایداری سازه ها



به نام ایزد یکتا

سمینار درس پایداری سازه ها

دانشجو:پرهام پاینده

استاد:دکتر حبیبی

گروه مهندسی عمران
پاییز 91

روش رایلی ریتز:
𝑦 𝑥 = 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑖 . 𝜙 𝑖 𝑥
ϕ i تابع شکل ستون است.
با مشتق گیری از تابع y خواهیم داشت:
𝑦 𝑥 ′ = 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑖 𝜙 𝑖(𝑥 ′
𝑦 𝑥 " = 𝑖=1 𝑛 𝑎 𝑖 𝜙 𝑖(𝑥 "
با توجه به رابطه انرژی :
𝜋=𝑢−𝑣= 0 𝐿 𝐸𝐼 2 𝑦 " 2 𝑑𝑥− 0 𝐿 𝑃 𝑦 ′ 2 2 𝑑𝑥

قرار می دهیم 𝛿𝜋=0 و سپس حاصل دترمینان زیر را محاسبه می کنیم:
|𝑢−𝑝𝑣|=𝑜
دترمینان فوق یک معادله درجه n بر حسب متغیر p خواهد بود که به تعداد درجات آزادی ، مقادیر p خواهیم داشت. u و v نیز ماتریس های می باشند:
𝑢 𝑖𝑗 = 0 𝐿 𝐸𝐼 𝜙 𝑖 " 𝜙 𝑗 " 𝑑𝑥 i=1…n
𝑣 𝑖𝑗 = 0 𝐿 𝜙 𝑖 ′ 𝜙 𝑗 ′ 𝑑𝑥 j=1…n
مقدار p مینیمم، بار بحرانی مورد نظر خواهد بود.

مثال ) بار بحرانی ستون یک سرگیردار، یک سر آزاد زیر را به روش رایلی محاسبه کنید.
الف ) با استفاده از تابع درجه دو:

𝑦=𝑎+𝑏𝑥+𝑐 𝑥 2

Boundary conditions:

یک درجه آزادی داریم:
𝑢 11 = 0 𝐿 𝐸𝐼 𝜙 1 " 2 𝑑𝑥 =4𝐸𝐼𝐿 𝑣 11 = 0 𝐿 𝜙 1 ′ 2 𝑑𝑥 = 4 3 𝐿 3
det(𝑢−𝑝𝑣)=0→ 𝑝 𝑐𝑟 = 𝑢 𝑣 = 3𝐸𝐼 𝐿 2
EXACT VALUE: 2.5𝐸𝐼 𝐿 2

با افزایش تعداد توابع شکل می توان جواب را بهبود بخشید.
ب ) با استفاده از تابع درجه سه:
𝑦= 𝑎 1 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑥 3

𝑛=2 𝑖,𝑗=1,2

𝜙 1 ′ =2𝑥, 𝜙 2 ′ =3 𝑥 2 , 𝜙 1 " =2, 𝜙 2 " =6𝑥

ماتریس های u و v را در det(u-Pv)=0 قرار میدهیم:

| 4𝐸𝐼𝐿 6𝐸𝐼 𝐿 2 6𝐸𝐼 𝐿 2 12𝐸𝐼 𝐿 3 −𝑃 4 3 𝐿 3 1.5 𝐿 4 1.5 𝐿 4 9 5 𝐿 5 |=0

تغییر پارامتر α را ایجاد می کنیم:
𝛼= 𝑃 𝐿 2 𝐸𝐼 →𝑃=𝛼 𝐸𝐼 𝐿 2 ⇒3 𝛼 2 −104𝛼+240=0
کوچکترین ریشه معادله فوق جواب پایداری سازه ماست:
𝛼=2.49→ 𝑃 𝑐𝑟 =2.49 𝐸𝐼 𝐿 2

جواب فوق نسبت به جواب دقیق دارد.

مثال ) بار بحرانی ستون با مقطع متغیر:
معمولا وقتی فقط از یک تابع تغییر شکل استفاده کنیم، محاسبات
آسان تر، ولی در عین حال جواب نهایی از دقت کافی برخوردار
نخواهد بود:

طبق اصل بقای انرژی:
کمتر از یک درصد خطا

به علت تقارن انتگرال های قسمت اول و سوم برابرند.پس از محاسبه انتگرال به جواب زیر می رسیم:

اما جواب دقیق برابر است با:

با افزایش تعداد توابع شکل در روش رایلی، جواب نهایی بهبود می یابد.
ERROR: 9.2%

اگر از دو تابع شکل استفاده کنیم:

اصولاً روش رایلی برای سازه های یک دهانه می باشد، اما با ترفندهایی می توان این روش را برای سازه های با بیش از یک دهانه بکار برد. به مثال بعدی توجه کنید.
ERROR= 8.4%

مثال ) بار بحرانی ستون زیر را با روش رایلی – ریتز بدست آورید.
با در نظر گرفتن رابطه انرژی:

در رابطه انرژی فوق، اثر کار خارجی ناشی از نیروی R در تکیه گاه میانی
را اضافه کردیم.

شرایط مرزی را می نویسیم:

; ;

برای برابر شدن تعداد مجهولات و معلومات باید شرط مرزی دیگری را نیز در نظر بگیریم:

با در نظر گرفتن و و محاسبه det=0 خواهیم داشت:

کوچکترین ریشه معادله فوق می باشد. بنابراین مقدار بار بحرانی ما برابر خواهد بود با:

روش گالرکین:

تفاوت اصلی روش گالرکین با روش رایلی- ریتز این است که، روش گالرکین مستقیما با معادلات دیفرانسیل سروکار دارد،حال آنکه روش رایلی- ریتز به انرژی سیستم مربوط است.
در مباحث ریاضی مربوط به حساب تغییرات داشتیم:

و با توجه به رابطه انرژی:

اگر رابطه انرژی را در رابطه حساب تغییرات جایگذاری کنیم:

چون EI و P مقادیر ثابتی دارند، پس انتگرال ما به شکل زیر در خواهد آمد که با Q معرفی می کنیم:

همانطور که داشتیم:

با ضرب تابع Q در δy تنها مجهول باقیمانده معادلات ما مقادیر a خواهد بود:

i=1…n

که در نهایت انتگرال ما به شکل زیر درمی آید:

مثال ) بار بحرانی ستون یک سرگیردار و یک سر مفصل زیر را با انتخاب یک تابع درجه چهار بروش گالرکین بیابید.

جواب بدست آمده نسبت به جواب دقیق ، دارد.
خطا 3.8%

آنالیز پایداری تیر- ستون ها:

در مبحث تیر- ستون ها علاوه بر بار محوری،
بارگذاری عرضی نیز داریم.
این بارگذاری عرضی، در عضو خمش های اولیه
ایجاد می کند. این خمش ها باعث تشدید اثرات
بار محوری و همچنین افزایش میزان لنگر عضو
می شوند.
برای ایجاد تعادل داریم:
همانطور که می دانیم خمش تابع تغییر شکل است:

به معادله دیفرانسیل روبرو می رسیم:

طرف دوم معادله دیفرانسیل فوق، غیر صفر است. پس جواب معادله از مجموع جواب عمومی و خصوصی تشکیل می شود:

Boundary
conditions

همانطور که می دانیم حداکثر تغییر شکل در وسط تیر اتفاق می افتد:

طبق مباحث تحلیل سازه ها، در تیر دهانه ساده تحت اثر بار متمرکز در وسط تیر، بیشترین تغییر شکل برابر است با:

ضریب تشدید β را تعریف می کنیم:

طبق فرمول بدست آمده، β تابع α شده است.

سری تیلور برابر است با:

همانطور که می دانیم، تابع نیروی محوریست:

بر حسب سری تیلور بسط داده شده است: βدر آیین نامه،

همانطور که پیداست، ضرایب عبارات نزدیک به یک است، پس با یک تقریب، به سری معروف زیر می رسیم:

در فرمول فوق:
اگر صفر شود، مقدار تشدید برابر یک خواهد شد،
و اگر به سمت میل کند، ، ضریب تشدید به سمت بینهایت میل می کند و تغییر شکل های نامحدود خواهیم داشت:

لنگر ماگزیمم به وسط تیر اعمال می شود:

برای ضریب تشدید داریم:

ضریب را به صورت زیر تعریف می کنیم:

در معادله فوق بیانگر لنگر اولیه بدون اثرات بار محوری می باشد.

نمودار را بر حسب رسم می کنیم:

مثال ) اگر بر روی تیر – ستون مثال قبلی بار گسترده وارد شود:

معادله دیفرانسیل فوق، یک معادله درجه دو است:

حداکثر تغییر شکل در وسط تیر اتفاق می افتد:

حداکثر تغییر شکل تیر فوق بدون اعمال نیروی محوری است، پس:

با در نظر گرفتن بسط تیلور sec ، فرمول فوق به صورت زیر بیان می شود:

برای محاسبه ضریب تشدید لنگر:

پس از خلاصه سازی:

با تقریب تیلور خواهیم داشت:

با تشکر از همراهیتان