رویکردی نوین در مدلسازی و بهینه سازی پورتفولیوی چند هدفه
چکیده
پیچیدگی بازارها، به ویژه طیف گسترده ابزارهای سرمایه گذاری و عوامل متعدد موثر بر آنها، تصمیم گیری در خصوص انتخاب نوع دارایی را برای سرمایه گذاران دشوار می کند؛ به طوری که سرمایه گذاران همواره در تصمیم گیری های خود با مساله بهینه سازی مجموعه دارایی روبه رو هستند. انتخاب سبد سهام به منظور حداکثرسازی سود یکی از اصلی ترین دغدغه های سرمایه گذاران در بازارهای مالی است. تحقیق حاضر تلاش دارد تا با استفاده از روش های نوین محاسبه ریسک (LPM , Co_ LPM) که مبتنی بر ریسک نامطلوب می باشند، مدل ریاضی انتخاب پورتفولیو را توسعه و با استفاده از رویکردی نوین از الگوریتم ژنتیک که دارای توابع برازش چند هدفه بوده و بنام متد MFFGA مشهور است، اقدام به حل مدل های ارائه شده کرده و نهایتا پاسخ های حاصل را با روش کلاسیک ارائه شده توسط مارکوویتز مورد مقایسه و تجزیه و تحلیل قرار دهد. جامعه آماری این تحقیق 130 شرکت از شرکت های فعال در بورس اوراق بهادار تهران و محدوده زمانی آن نیز
سال های 1381 تا 1391 بود. نتایج تحقیق نشان می دهد که معیار های ریسک نامطلوب نسبت به معیارهای ریسک مطلوب برتری دارند.
واژه های کلیدی: بهینه سازی پورتفولیو، ریسک نامطلوب، الگوریتم ژنتیک با توابع برازش چند هدفه
مقدمه
انتخاب سبد سهام به منظور حداکثر سازی سود، یکی از اصلی ترین دغدغه های سرمایه گذاران در بازارهای مالی است. در ادبیات مالی موضوع رابطه بین بازدهی و ریسک با بررسی های صورت گرفته توسط پژوهشگران مختلف تایید شده است. ریسک یکی از خصوصیات بازده است، و به همین جهت پدیده ریسک و اندازه گیری آن یکی از بحث انگیزترین مباحث موجود در تئوری های مالی است. کمی سازی ریسک برای نخستین بار توسط مارکوویتز صورت گرفته است. نظریه پرتفوی مارکویتز سعی دارد رفتار سرمایه گذاران را براساس دو پارامتر میانگین و واریانس یه عنوان معیارهای بازدهی و ریسک توزیع بازدهی تبیین کند.
در مدل میانگین واریانس دو قسمت ریسک (نوسانات مثبت و ریسک نامطلوب) به یک اندازه جریمه می شوند و اهمیت یکسانی دارند . ولی همانگونه که بدان اشاره شد نمی توان هرگونه انحراف از میانگین را ریسک محسوب نمود. برای رفع این نقیصه می توان از معیارهای ریسک نامطلوب (2LPM و 3Co_ LPM) استفاده نمود. انتشار نظریه انتخاب سبد سهام مارکوویتز، اصلی ترین و مهم ترین موفقیت در این راستا بود (فابوزی و دیگران، 2007).
مبانی نظری
برای اولین بار، در سال 1952 مارکویتزالگوی حل مسئله انتخاب مجموعه بهینه دارایی ها (نظریه میانگین واریانس) را ارائه داد. وی، مسئله را به صورت برنامه ریزی کوادراتیک با هدف کمیته سازی واریانس مجموعه
دارایی ها با این شرط که بازده مورد انتظار با یک مقدار ثابت برابر باشد، مطرح کرد. ریسک گریز بودن کلیه ی یرمایه گذاران، فرض اصلی این مدل ایت. شکل استاندارد مدل میانگین واریانس به صورت زیر است.(التون و گروبر، 1995):
Subject to: Minimize
∑_(i=1)^n▒〖ωi μi〗
∑_(i=1)^n▒〖ωi=〗
ωi≥0
مدل میانگین واریانس مارکوویتز برای انتخاب سبد سهام اقدام به رهگیری یک مرز کارا می نماید. این مرز، منحنی پیوسته ای است که مبادله میان بازده و ریسک سبد سهام را نشان می دهد. که در آن 𝜎ij کواریانس سهام i و j ، ωi و σ_j وزن سهام i و j ، 𝜇i میانگین بازده سهم i و R سطح خاصی از بازده را نشان می دهد. با حل مدل فوق از طریق برنامه ریزی کووادراتیک4، با استفاده از ارزش های مختلف R می توان مرز کارای پیوسته ای را مشخص نمود که بهترین ترکیب ریسک و بازده را در اختیار قرار می دهد. در مدل مارکویتز نکات زیر قابل توجه است:
1) با افزایش تعداد دارایی ها، حجم محاسبات ماتریس کوواریانس بیش از اندازه بزرگ می شود.
2) معیار عمومی ریسک، واریانس و یا ریشه دوم آن یعنی انحراف معیار است. این معیار برای یک دارایی که دارایی توزیع نرمال باشد و در بازاری کارا معامله شود، معیار قابل قبولی است. اگر این دو
خصوصیت برای دارایی وجود نداشته باشد، واریانس نشانگر مناسبی برای ریسک سهام نخواهد بود به همین دلیل معیارهای دیگری برای ریسک مثل LPM وLPM Co_ مطرح می شوند.
عمده ایراد وارد به مدل مارکوویتز (میانگین واریانس) معطوف به عدم پاسخگویی مدل مذکور در توزیع های غیر نرمال می باشد. تحقیقات نشان می دهند که شکل تابع توزیع بازده ها دارای دو انتهای ضخیم تر نسبت به تابع نرمال است. به عبارت دیگر احتمال بوجود آمدن سودها و یا زیان های غیرعادی، بیش از آن است که تابع توزیع نرمال پیش بینی می کند(گئورگی و پست، 2008).
این ایراد در معیار های جدید ریسک همانند LPM وCo_ LPM حل شده است. معیارهای جدید بر مبنای ریسک نامطلوب5 محاسبه می گردند که مبتنی بر فرض عدم تقارن بازدهی و واکنش متفاوت سرمایه گذاران به نوسانات کمتر از میانگین و نوسانات بالای میانگین است. در این چارچوب که زیربنای نظریه فرامادرن پرتفولیو قرار می گیرد، اعتقاد بر آن است که سرمایه گذاران حرکات رو به پایین بازدهی را ریسک تلقی کرده و حرکت رو به بالا را فرصت می دانند. در این معیارها فرض بر این است که برای سرمایه گذاران تامین امنیت اصل سرمایه نسبت به کسب بازدهی اولویت دارد و سرمایه گذاران بیش از آنکه به دنبال کسب بازدهی باشند، به دنبال حفظ اصل سرمایه هستند (صادقی و همکاران، 1389). مدل LPM نخستین بار توسط باوا و لیندنبرگ (1977)، معرفی شد. هدف از ارائه این مدل به کاربردن مدلی کارآتر از مدل اصلی میانگین واریانس بود.
جهت استفاده از معیارهای ریسک نامطلوب در عمل تاکنون الگوریتم های بسیاری ارائه شده است که در همگی آنها برتری نسبی LPM نسبت به واریانس ثابت شده است. اگر فرض کنیم که T تعداد مشاهدات بازده برای دارایی i باشد در این صورت n_ LPM می تواند به صورت یک توزیع گسسته توصیف شود (سینگ واونگ، 2000):
LPM_n (τ,R_i )= 1/(T-1) ∑_(t=1)^T▒[Max (τ-R_it)]^n
در بیان کلی تر می توان اینگونه بیان کرد متغییر n در مدل LMP به عنوان معیار سنجش ریسک گریزی سرمایه گذاران می باشد. به طوریکه با افزایش در متغیر n درجه ریسک گریزی سرمایه گذاران نیز افزایش می یابد. در ادامه معیارهای ریسک نامطلوب برای مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای 6(CAPM) هوگان و وارن 1974 ، مفهوم کو سمی واریانس را بیان کردند، معیاری نامتقارن که برای نشان دادن رابطه بین دارایی ریسک دار و یک پورتفولیوی کارا در بازار مورد استفاده قرار می گیرد. باوا و لیندربرگ (1977)، معیار مو سمی واریانس را در یک ساختار n مرتبه ای LPM عمومیت بخشیدند، که Co_ LPM عمومی یا نامتقارن نام گرفت که به صورت زیر تعریف می شود:
GCLPM_n (τ…
= ∫_(-∞)^τ▒…
GCLPM_n (τ…
GCLPM_n (τ…
= LPMn (τ, …
سینگ و اونگ (2000)، مفهوم LPM , CO_LPM را به عنوان یک معیار نامطلوب از کواریانس بازده توسعه دادند که در مقایسه با مدل مارکوویتز کارایی و فریند بهینه سازی بهتری را ارائه می کند.
اهداف تحقیق
تحقیق حاضر تلاش دارد تا با استفاده از روش های نوین محاسبه ریسک (LPM , CO_LPM) که مبتنی بر ریسک نامطلوب می باشد، مدل ریاضی انتخاب پورتفولیو را توسعه و با استفاده از رویکردی از الگوریتم ژنتیک که دارای توابع برازش چند هدفه بوده و بنام متد MFFGA مشهور است، اقدام به حل مدل های ارائه شده کرده و نهایتا پاسخ های حاصل را با روش کلاسیک ارائه شده توسط مارکوویتز مورد مقایسه و تجزیه و تحلیل قرار دهد.
روش تحقیق
اخیراً روش های فرا ابتکاری در حل مسائل بهینه سازی مد نظر قرار گرفته و پژوهش های زیادی نیز در این زمینه انجام شده است به ویژه، الگوریتم ژنتیک به عنوان یک روش جستجوی کارا کاربرد وسیعی یافته است. مطالعات گسترده ای نیز در خصوص کاربرد الگوریتم ژنتیک در حل مسئله مجموعه دارایی انجام شده که در هر یک ، این روش به شکل خاصی مورد استفاده قرار گرفته و در بعضی از موارد نیز با سایر الگوهای ریاضی ادغام شده است. به ویژه، الگوریتم ژنتیک به عنوان یک روش جستجوی کارا گاربرد وسیعی یافته است. . به منظور جستجو در فضای هدف این الگوریتم با استفاده از بردارهای جستجو، در فرآیند بهینه سازی چند هدفه از دو رویکرد متفاوت بنام های رویکرد یک جهته و رویکرد چندجهته استفاده می گردد. در رویکرد یک جهته تنها از یک بردار وزن دهی استفاده می شود، به عبارت دیگر تنها یک ضریب ثابت و معین به عنوان وزنی بر هر تابع هدف اعمال می گردد. در حالیکه در رویکرد چند جهته، بردارهای وزن دهی متعدد به منظور تعیین ضرایب وزنی توابع هدف بکار می روند و در حقیقت بجای تعیین و تعریف یک بردار وزن دهی و یک ضریب وزنی برای هر تابع هدف، چندین بردار وزن دهی تعریف شده و ضرایب وزنی متفاوت و متعدد بر هر یک از توابع اعمال می گردند. در الگوریتم توسعه داده شده در این تحقیق نیز از رویکرد چند جهته برای جستجو در فضای هدف استفاده گردید. عمداتا برای جستجو در فضای هدف از بردار وزن دهی 7 استفاده می گردد. (سلیمانپور و همکاران، 2004):
الف) جستجوی یک جهته، ب) جستجو در جهات توزیع شده به صورت یکنواخت.
در یک الگوریتم ژنتیک ممکن است جستجوی یک جهته به تعداد کمی از نقاط بهینه پارتو منتهی شود. این نقاط در شکل (الف) توسط دایره ای نشان داده شده اند. ولی جستجوی چند جهته به منظور پیدا نمودن نقاط بیشتری که در طول مرز بهینه توزیع شده اند، بکار می رود. شکل (ب) یک طرح جستجوی چند هدفه را نشان می دهد. دلایل استفاده از این روش:
1) روش سیستماتیک طراحی یکنواخت را برای مجموعه وزن های اهداف مورد توجه قرار می دهد.
2) جستجوهای چندگانه ای را برای پیدا کردن نقاط توزیع شده بیشتر به موازات مرز کارا بکار می گیرد.
3) برخلاف سایر الگوریتم ها که بردارهای تعریف شده توسط کاربر و یا بردارهای تصادفی ایجاد شده، برای جستجوی فضای راه حل استفاده می شوند، روش8 MFFGA از یک روش طراحی یکنواخت برای جستجو در جهات توزیع شده استفاده می کند.
4) سابقه ریاضی MFFGA جامع و فراگیر است.
کارایی محاسباتی الگوریتم ژنتیک پیشنهادی به نحو چشمگیری افزایش می یابد، زیرا:
الف) از آنجایی که جستجو تنها در بین راه حل های موجه صورت می گیرد، فضای راه حل به طور گسترده تری مورد بررسی قرار می گیرد و این باعث می شود که به احتمال زیاد بهترین پورتفوی های ممکن برای مسئله شناسایی شوند.
ب) به دلیل ممانعت از ایجاد راه حل های غیر موجه، زمان اجرای الگوریتم پیشنهادی کاهش و در نتیجه کارایی محاسباتی آن افزایش می یابد.
پرسش های تحقیق:
سوالات اصلی تحقیق به شرح زیر می باشند:
1) آیا بازدهی ماهانه سهام موجود در بورس اوراق بهادار تهران دارای توزیع نرمال است.
2) آیا بین بازدهی پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مبنای مدل میانگین واریانس مارکوویتز توسط الگوریتم ژنتیک و بازدهی پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مینای مدل های CO _ LPM و LPM توسط الگوریتم ژنتیک تفاوت معناداری وجود دارد؟
3) آیا بین ریسک پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مبنای مدل میانگین واریانس مارکوویتز توسط الگوریتم ژنتیک و ریسک پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مبنای مدل های CO _ LPM و LPM توسط الگوریتم ژنتیک تفاوت معناداری وجود دارد؟
نمونه و جامعه ی آماری تحقیق:
جامعه آناری این تحقیق شامل کلیه شرکت های پذیرفته شده در بورس اوراق بهادار تهران می باشد و نمونه آماری با توجه به اعمال محدودیت های زیر از بین جامعه آماری انتخاب گردید:
1. کلیه شرکت هایی که تا پایان سال 1380 در بورس اوراق بهادار تهران پذیرفته شده باشند و تا پایان سال 1390 نیز هم چنان در فهرست بورس قرار داشته باشند.
2. سال مالی آن ها منتهی به پایان اسفند هر سال باشد.
3. شرکت هایی که ماهیت آن ها شرکت سرمایه گذاری نباشد، زیرا که ما قصد نداریم از سبد سهام ، سبد سهام جدیدی تشکیل دهیم.
4. اطلاعات مالی آنها طی این دوره زمانی ده ساله موجود و دسترسی کامل به آن ها وجود داشته باشد. بر این اساس و با توجه به محدودیت های ذکر شده، از میان کلیه شرکت هایی که در فهرست بورس اوراق بهادار قرار داشتند، تعداد 130 شرکت به عنوان نمونه آماری تحقیق انتخاب شدند.
ابزار گرد آوری داده ها:
برای گردآوری داده های مورد نیاز برای آزمون مدل ها از نرم افزارهای شرکت های بورسی هم چون ره آورد نوین استفاده شده و داده های مربوط به قیمت ماهانه شرکت های بورسی استخراج گردیده است.
روش تجزیه و تحلیل داده ها:
به منظور تجزیه و تحلیل اطلاعات و نیز طراحی الگوریتم ژنتیک از نرم افزار MATLAB استفاده شده است. برای آزمون فرضیات تحقیق نیز از نرم افزار SPSS بهره گرفته شده است.
تجزیه و تحلیل اطلاعات:
در ابتدای بازدهی های ماهانه مربوط به 130 شرکت نمونه در نرم افزار MATLAB برای سال های 1381 الی 1391 مرتبت گردید. سپس برای هر شرکت بطور مجزا، میانگین بازدهی و نیز ریسک مربوط به آن با سه روش9 LPM ، SD و Co_ LPM محاسبه شد. در ادامه و به منظور مقایسه سه مدل مذکور اطلاعات مربوط به بازدهی ده ساله شرکت های نمونه وارد نرم افزار MATLAB شد. پس از اجرای الگوریتم ژنتیک برای هر سه مدل، سبد های بهینه سهام شامل اوزان هر سهم بدست آمد. الگوریتم ژنتیک سبد سهام بهینه را تنها بر اساس ریسک و بازده سهم های مختلف و تاثیر آن ها در تابع هدف انتخاب می نماید.
به دلیل حجم نسبتا بالای نمونه تعداد ده سهم که در مدل SD بیشترین اوزان سبد بهینه را به خود اختصاص داده بودند به عنوان سبد بهینه انتخابی برای نشان دادن مقادیر توصیفی زیر به منظور سه مدل به کار گرفته شده است. که نتایج آن به شرح زیر است:
ریسک
بازده
کمک فنر ایندامین
کاشی سعدی
فرآورده نسوزپا رس
سیمان قائن
سایپادیزل
داده پردازی ایران
خوراک دام پارس
پلاستیک شاهین
بهنوش
آبگینه
SD
0.09
0.61
1.66
1.65
1.63
1.6
1.5
1.51
1.61
1.65
1.52
1.67
Minimum
0.1
0.65
0.78
1.1
1.09
0.22
0.9
0.98
0.27
0.63
0.6
1.17
Median
0.12
0.78
0.8
1.04
0.32
1.27
0.75
1.27
1.46
0.35
0.11
0.75
Maximum LPM
0.06
0.61
1.37
0.51
0.58
0.55
0.03
0.66
0.18
0.71
1.18
0.85
Minimum
0.06
0.7
1.16
1.4
0.99
1.54
0.45
0.95
0.08
1.25
0.88
0.69
Median
0.07
0.78
0.52
0.7
0.83
1.21
0.2
0.73
1.52
0.34
0.49
0.6
Maximum Co_ LPM
0.6
0.62
1.05
0.74
0.88
1.18
1.29
0.68
1.18
1.18
1.17
1.25
Minimum
0.008
0.67
0.38
0.72
0.95
0.69
1.2
0.41
0.88
0.31
1.59
0.006
Median
0.009
0.79
0.8
1.04
0.32
1.18
0.75
1.27
1.46
0.35
0.11
0.75
Maximum
co-LPM
LPM
SD
Risk
Return
Risk
Return
Risk
Return
0.008548
0.73
0.064
0.73
0.1061
0.73
آزمون فرضیات تحقیق:
فرضیه اول: برای آزمون نرمال بودن بازدهی از آزمون کولمو گروف- اسمیرنوف استفاده شده است. نتایج اجرای آزمون بر روی تک تک شرکت ها نشان می دهد که نرمال بودن بازدهی در سطح 5 درصد خطا برای 130 شرکت نمونه و نیز در سطح 5 دزصد خطا برای 10 شرکت انتخابی رد می شود.
فرضیه دوم: بین بازدهی پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مبنای مدل میانگین واریانس مارکوویتز توسط الگوریتم ژنتیک و بازدهی پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته برمبنای مدل های LPM و CO _ LPMتوسط الگوریتم ژنتیک تفاوت معناداری وجود دارد.
H_0: μ= μ_0
H_1: μ≠ μ_0
با توجه به جدول زیر که بر اساس مقایسه میانگین بازدهی سه گروه ارائه شده مشاهده می شود که در سطح معناداری 5 درصد تفاوت معناداری بین میانگین بازدهی دو روش SD- LPM و نیز دو روش LPM – Co-LPM وجود دارد، و فرض H0 رد می شود. در ارتباط با مقایسه میانگین بازدهی میان دو روش SD – Co-LPM نیز می توان در سطح معناداری 10 درصد عنوان کرد که این تفاوت قابل توجه است.
سطح معنی داری
Paired Differences
حد بالا
حد پایین
انحراف معیار خطا
انحراف معیار
میانگین
.009
-.01436207
-.05985127
.00884804
.02167317
-.03710667
SD- LPM
.086
.00123098
-.01474098
.00337727
.00955236
-.00675500
SD – Co-
LPM
.048
.06375648
.00047019
.01230972
.03015254
.03211333
LPM –
Co-LPM
فرضیه سوم: بین ریسک پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مبنای مدل میانگین واریانس مارکوویتز توسط الگوریتم ژنتیک و ریسک پورتفولیوهای بهینه تشکیل یافته بر مبنای مدل های CO _ LPM و LPM توسط الگوریتم ژنتیک تفاوت معناداری وجود دارد.
H_0: μ= μ_0
H_1: μ≠ μ_0
با توجه به جدول زیر که بر اساس مقایسه میانگین بازدهی سه گروه ارائه شده می شود که در سطح معناداری 5 درصد تفاوت معناداری بین میانگین ریسک میان دو روش SD- LPM ،SD – Co-LPM و نیز دو روش LPM – Co-LPM وجود دارد، و فرض H0 رد می شود.
سطح معنی داری
Paired Differences
حد بالا
حد پایین
انحراف معیار خطا
انحراف معیار
میانگین
.000
.64356786
.55601547
.01702968
.04171404
.59979167
SD- LPM
.000
.73080525
.63133050
.02103394
.05949298
.68106788
SD – Co-
LPM
.000
.06016447
.05354153
.00128822
.00315548
.05685300
LPM –
Co-LPM
نتیجه گیری:
در این بخش تحقیق نیز معیارهای ریسک نامطلوب برتری خود را نسبت به معیارهای رایج نشان دادند بطور دقیقتر می توان چنین گفت که LMP نسبت به SD و Co-LPM نسبت به LPM برتری دارد.
منابع:
صادقی، م ؛ سروش، ا؛ فرهانیان، م: (1389)، "بررسی معیارهای نوسان پذیری، ریسک نامطلوب در مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای: شواهدی از بورس اوراق بهادار تهران". تحقیقات مالی ، شماره 29، ص59-78.
Bawa, V.S., Lindenberg, E.B,)1977(. "Capital market equilibrium in a mean_lower partial moment framework". Journal of Financial Economics 5, 189_200.
Fabozzi, Frank J., Petter N. Kolm, Dessislava A. Pachamanova, Sergio M. Focardi, (2007). "
Robust Portfolio Optimization and Management", John Wiley & Sons, Inc
Hogan, W.W., Warren, J.M., (1972). Computation of the efficient boundary in the E-S portfolio selection model. J. Financ. Quant. Anal. 7, 1_11.
Mansourfar, G. shamsher Mohamad, Taufiq Hassan (2010). "The behavior of MENA oil and non-oil producing countries in international portfolio optimization", The Quarterly Review of Economics and Finance 50 (415-423)
Markowitz, H.M., (1952)." Portfolio selection", Journal of Finance, 7 (1), 77±91.
Sing T. F. and S. E. Ong (2000), "Asset Allocation in a Downside Risk Framework", Journal of Real Estate Portfolio Management, 6:3, 213-24.
Solimanpur, M. & Ranjdoostfard, F. (2009). "Optimisation of cutting parameters using a multi objective genetic algorithm", International Journal of Production Research, 47(21), 6019 -6036.
Solimanpur, M., Vrat, P., & Shankar, R. (2004). "A multi-objective genetic algorithm approach to the design of cellular manufacturing systems", International Journal of Production Research, 42(7), 1419-1441.
14