تحقیق شبیه سازی سیستم موتور توربوفن



پروژه درس کنترل چندمتغیره
در رشته برق گرایش کنترل

معرفی سیستم موتور توربوفن و ارائه روش های کنترلی چندمتغیره بر روی آن

مجید عمادآبادی

معرفی سیستم موتور توربوفن و ارائه روش های کنترلی چندمتغیره بر روی آن
الف) معرفی سیستم و تحلیل آن
در حقیقت سیستم توربو فن از یک مدل هواپیما نشات گرفته و به صورت یک مدل خطی شده خلاصه شده است.از اینرو مدل سیستم در فضای حالت را به صورت زیر نمایش می دهیم:

که در آن بردارهای حالت سیستم به صورت زیر تعریف می گردد:

که در آن متغیرهای حالت حالت به صورت زیر تعریف می گردد:

همچنین خروجی های سیستم که تحت یک سیستم کنترلی به حالت مطلوب قرار است برسند به صورت زیر تعریف می گردند:

در این سیستم مقادیر نامی فضای حالت (تحقق غیر مینیمال) سیستم به صورت زیر تعریف می گردد:

از اینرو مقادیر نامی پارمترهای سیستم برای شبیه سازی به صورت زیر تعریف می گردد:

از اینرو برای اینکه ورودی و خروجی سیستم نرمالیزه گردد از مقیاس بندی زیر استفاده شده است[1]:

از اینرو تابع تبدیل سیستم ساده شده توربو فن به صورت زیر بدست می آید:

نمایش کسری ماتریسی (MFD) را می توان به صورت زیر در نظر گرفت:

با استفاده از روش اسمیت مک میلان دریم:

بنابراین صفر و قطب های سیستم به صورت زیر تعریف می گردد:
صفرهای سیستم{s=-0.0193}
قطب های سیستم {s=(-0.0588),(-0.0422),(-0.0345),(-0.0204)}
از اینرو سیستم حلقه باز پایدار و مینیمم فاز می باشد.حال برای بررسی اینکه کانال ها تا چه اندازه تاثیرپذیری از یکدیگر دارند به محاسبه آرایه بهره تناسبی (RGA)می پردازیم. از اینرو باید تابع تبدیل را در حالت ماندگار مدنظر قرار دهیم:

کاملا مشخص است که در کانال های سیستم اثر اندرکنش وجود دارد به این صورت که اگر به سیستم ورودی پله را اعمال کنیم در خروجی دوم نیز اثر آنرا ملاحظه می کنیم.که در نمودار های زیر این اثر کاملا مشاهده می شود.

شکل(1)پاسخ پله سیستم حلقه باز
در ادامه لازم است تا برای سیستم فوق یک تحقق ارائه دهیم از اینرو تحقق گیلبرت را با توجه به اینکه قطب های سیستم غیر تکراری هستند ارائه می دهیم. این تحقق به صورت زیر می باشد که به صورت دستی محاسبه شده است(تحقق می نیمال).
و و و می باشد.
حال به بررسی کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم می پردازیم. توجه کنید که اگر سیستم کاملا کنترل پذیر و رویت پذیر باشد تحقق مینیمال بوده و سیستم فاقد صفر کوپله ورودی و خروجی می باشد. از اینرو ماتریس کنترل پذیری و رویت پذیری را تشکیل می دهیم:

بنابریات تحقق می نیمال می باشد و سیستم فاقد صفر دکوپله ورودی و خروجی می باشد.
با توجه به اینکه قطب -0.0204 ,-0.0345 قطبهای سریعی است از اینرو در روش کاهش مرتبه به روش برش می توان آنها را از سیستم حذف نمود از اینرو می توان سیستم اصلی و سیستم بریده شده را با محاسبه مقدارهای استثنایی و هانکل آنها به صورت زیر ارزیابی نمود. برای اینکار با استفاده از کد نویسی متلب داریم:

شکل(2) نمایش مقادیر استثنایی سیستم اصلی و کاهش یافته در فضای حالت

شکل(3) مقادیر هانکل سیستم اصلی وسیستم کاهش یافته
برنامه متلب
clear,clc,close all,syms s
A = [-0.0588 0 0 0;0 -0.0442 0 0;0 0 -0.0345 0;0 0 0 -0.0204];
B = [0 1;1 0;1 1; 0 1];
C = [12 13.397 13.33 0;30.033 4 30.033 30.033];
D = zeros(2);
sys = ss(A,B,C,D);
G = C*(s*eye(4)-A)*B+D;
det_CB = det(C*B);
Zero = zero(sys);
[a1,b1] = sigma(sys);
semilogx(b1,20*log10(a1(1,:)),'m');
hold on
semilogx(b1,20*log10(a1(2,:)),'g')
xlabel('Frequency (radsec)')
ylabel('Singular Values (dB)')
hankelsv(sys)
G0 = limit(G,0);
RGA = G0.*inv(G0)';
sig = eye(2);
K1 = inv(C*B)*sig;
a = -22.34;
K2 = -a*K1;

ب) طراحی کنترل کننده
دکوپله سازی سیستم با فیدبک حالت
با توجه به اینکه ماتریس D دارای دترمینان صفر است از اینرو نمی توان با استفاده از روش پیش جبرانساز به دکوپله سازی سیستم پرداخت از اینرو با استفاده از روش فیدبک حالت قصد داریم سیستم کاهش یافته فوق را دکوپله کنیم، بنابراین ابتدا ماتریس دکوپله ساز را محاسبه می کنیم:
و
از اینرو ماتریس های حالت جدید کاهش یافته به صورت زیر می باشند:

حال پایداری سیستم دکوپله شده را بررسی می کنیم. از اینرو داریم:

از اینرو با استفاده از قانون فیدبک برای سیستم حلقه بسته داریم:

از اینرو سیستم حلقه بسته دکوپله شده به صورت زیر می باشد:

که نمایش یک سیستم پایدار بوده و پاسخ پله آن به صورت زیر می باشد.

شکل(4) پاسخ پله سیستم دکوپله شده پایدار حلقه بسته

طراحی کنترل کنندهPI،PD،PID
الف) استفاده از معیار نایکوسیت برای سیستم حلقه بسته
شکل (5) نمودار بود سیستم حلقه باز را نشان می دهد.

شکل (5) نمودار بود سیستم حلقه باز

شکل (6) چارت نیکولز مقادیر ویژه سیستم
نمودار نایکوئیست مقادیر ویژه نیز درشکل (7) مشاهده می شود.

شکل (7) نمودار نایکوئیست مقادیر ویژه سیستم
با توجه به پایداری سیستم، نباید نمودار نایکوئیست مقادیر ویژه، نقطه (0,1-) را دور بزند که این مسئله در شکل بالا پیداست. دیاگرام بود مقادیر ویژه در شکل (8) نمایان است.

شکل(8) نمودار بود مقادیر ویژه
دوایر گرشگورین و زاویه ناراستایی سیستم اصلی به صورت زیر می باشند.

شکل(9) دوایر گرشگورین سیستم
دوایر گرشگورین سیستم اصلی در مورد مقادیر ویژه اول نقطه (0,1-) را دور نمیزند اما این نقطه در داخل دوایر گرشگورین مقایر ویژه دوم سیستم است که برای تحلیل پایداری نمیتوان چیزی گفت.

شکل (10) زوایای نارستایی سیستم
شکل بالا نشان میدهد زاویه ناراستایی هم در فرکانسهای پایین و هم در فرکانسهای بالا قابل توجه است . این مسئله در تحلیل پاسخ پله سیستم حلقه باز سیستم بررسی شد. حال با استفاده از کنترل کننده ثابت بررسی می کنیم که سیستم حلقه بسته دارای چه تاثیرپذیری است:

پاسخ پله سیستم حلقه بسته به صورت زیر می باشد

شکل(11)پاسخ پله سیستم با استفا ده از آرایه نایکوئیست
ب) طراحی کنترل کننده
برای اینکه اثر ورودی های مختلف را بر روی سیستم فوق متوجه شویم لازم است سیتم را در محیط سیمولینک متلب شبیه سازی نمائیم که شماتیک آن به صورت زیر می باشد:

شکل(12) شماتیک کنترلی سیستم اصلی و اعمال ورودی پله(کنترل کننده PI)

همانگونه که در شکل نمایش داده شده است با استفاده از یک کنترل کننده انتگرالی و با استفاده از ضرائب ثابت می خواهیم عملکرد سیستم حلقه بسته چندمتغیره را بررسی نمائیم. از اینرو کنترل کننده تناسبی زیر را در نظر می گیریم(مقادیرثابت با سعی خطا برای داشتن عملکرد مطلوب خروجی در نظر گرفته شده است)

در این حالت خروجی سیستم به صورت زیر می باشد:

شکل(13) پاسخ پله سیستم حلقه بسته با استفاده از کنترل کننده PI
همانگونه که در شکل (13) مشخص است طراحی کنترل کننده نتوانسته است اثر اندرکنش در کانال ها را جبران کند از اینر به طراحی کنترل کننده پیشرفته تر می پردازیم،حال با انتخاب کنترل کننده مشتقی انتگرالی تناسبی (PID) به صورت زیر عملکرد سیستم حلقه بسته را ارزیابی می کنیم:

از اینرو پاسخ سیستم حلقه بسته سیستم فوق به صورت زیر می باشد:

شکل(14) طراحی کنترل کننده PID و پاسخ پله سیستم
مدل کاهش یافته
برای اجرای برنامه هر دو فایل main و Order_Reduction را ابتدا open می کنید . سپس فایل main را RUN می کنید . در فایل main تابع تبدیل (G) نوشته شده است این تابع تبدیل با استفاده از دستور ss به فضای حالت تبدیل می شود و ماتریس های A و B و C و D فضای حالت سیستم و درجه سیستمی که با سیستم اصلی تقریب زده می شود و نوع تقریب ( یکی از روش های Truncation ، Residualation ، balanced Truncation ، ، balanced Residualation)به عنوان ورودی به تابع Order_Reduction اعمال می شود و پاسخ به پله ی و نمودار مقادیر ویژه ی سیستم اصلی با سیستم تقریبی در نمودار های 1 و 2 مقایسه می شود در نمودارهای 3 و4 نیز پاسخ پله یو و مقادیر ویژه ی سیستم اصلی و سیستمی که با استفاده از دستور pade ( این دستور مخصوص تقریب سیستم های با تاخیر زمانی می باشد) تقریب زده شده است مقایسه می شود .
روش Truncation

روش Residualization

روش Balanced Truncation

روش Balanced Residualization

نتیجه گیری
دراین پروژه به بررسی سیستم موتور توربوفن یک مدل سیستم پرنده پرداخته ایم . سیستم را به صورت دو ورودی – دو خروجی درنظر گرفته و مدل غیر مینیمال آنرا به مدل مینیمال تبدیل کرده (تحقق گیلبرت) و به بررسی ساختار داخلی آن پرداختیم سپس به بررسی کنترل پذیری، رویت پذیری پرداخته و با استفاده از فیدبک حالت به دکوپله سازی وبرش آن پرداختیم در انتها نیز با استفاده از کنترل کننده های مشتقی تناسبی به کنترل سیستم حلقه بشته پرداختیم. همچنین با روش های مختلف برش سیستم و کاهش مرتبه آنرا بررسی کردیم و خروجی ها ار با هم مقایسه نمودیم.
مرجع
[1] Sanjay Gargl," Turbofan Engine Control System Desim Using the LQG/LTR Metllodolonv", NASA Contractor Report 182303, June 1989.

22