خط تاثیر:
تعریف: عبارت است از دیاگرام تغیرات عکس العمل تکیه گاهی، برش و یا لنگر در نقطه ای از سازه در اثر عبور بار واحد روی سازه.
کاربرد: یکی از بارهای وارد بر سازه، بار زنده می باشد. همانطوری که از نام این بار معلوم است، بارهای زنده متحرک هستند و می توانند روی سازه جابجا شوند. خط تاثیر یک عکس العمل تکیه گاهی به ما کمک می کند تا بدانیم که بارهای متحرک در کجا قرار گیرند تا عکس العمل تکیه گاهی ماکزیمم شود.
همینطور خط تاثیر برش و یا لنگر در یک نقطه برای یافتن محل بارهای متحرک تا بیشترین برش و یا لنگر در این نقطه را نتیجه دهند، کاربرد دارند.
خط تاثیر کیفی: ترسیم خط تاثیر در سازه های معین استاتیکی نسبتاً ساده می باشد، ولی ترسیم دقیق خط تاثیر (خط تاثیر کمی) در سازه های نامعین استاتیکی پیچیده و پرکار است. در چنین حالتی می توان از خط تاثیر کیفی استفاده کرد. خط تاثیر کیفی شبیه و یا نظیر خط تاثیر دقیق (خط تاثیر کمی) است. خط تاثیر کیفی با کمک اصل مولد برسلاو و به طرز ساده ای حاصل می گردد.
اصل مولد ـ برسلاو:
1. خط تاثیر کیفی عکس العمل تکیه گاهی: تکیه گاه را حذف نموده و در راستای عکس العمل یک جابجایی واحد به سازه اعمال می کنیم. شکل این سازه در اثر این عمل همان خط تاثیر کیفی عکس العمل تکیه گاهی خواهد بود.
2. خط تاثیر کیفی نیروی برشی در یک نقطه: آن نقطه از سازه را بریده و یک جابجایی متناظر با نیروی داخلی برشی به سازه می دهیم. شکل سازه در اثر این عمل، خط تاثیر کیفی نیروی برشی در آن نقطه از سازه خواهد بود.
3. خط تاثیر کیفی لنگر خمشی در یک نقطه: آن نقطه از سازه را به مفصل تبدیل کرده و یک دوران متناظر با لنگر داخلی به سازه می دهیم. شکل این سازه در اثر این عمل، همان خط تاثیر کیفی لنگر در آن نقطه از سازه خواهد شد.
چند نکته:
1. خطوط تاثیر سازه معین استاتیکی ثابت و یا تغییرات خطی دارد.
2. در تیرهای خط تاثیر، جز در تکیه گاه تیر را قطع نمی کند.
3. خط تاثیر برش در قسمت آزاد کنسول ثابت و برابر یک می باشد.
4. خط تاثیر عکس العمل تکیه گاهی، لنگر و برش در محل مفصل داخلی شکستگی دارد.
5. خط تاثیر لنگر خمشی، مفصل میانی کلاً صفر است.
خطوط تاثیر در خرپا
در خرپاها، خط تاثیر را برای نیروی داخلی عضوی از خرپا رسم می کنند.
طریقه رسم خط تاثیر برای یک عضو، بدین صورت است که بار واحد را به ترتیب بر گره های زیرین و یا فوقانی خرپا اعمال کرده و به ازای هر گره، میروی داخلی عضو مورد نظر را بدست می آوریم. با وصل نقاط نظیر، نیروهای داخلی محاسبه شده، خط تاثیر عضو موردنظر حاصل می شود.
از آنجایی که خرپاها نقش تیرها را ایفا می کنند، بنابراین اعضای افقی، فوقانی و تحتانی خرپا نقش با ل های تیر و اعضای مورب نقش جان تیر را برعهده دارند. لذا خط تاثیر اعضای افقی، فوقانی و تحتانی خرپا، عیناً شبیه خط تاثیر لنگر در تیرهاست و خط تاثیر اعضای مورب شبیه خط تاثیر برش در تیرهاست.
خطوط تاثیر برای سازه های معین
در طرح یک سازه قبل از آن که بتوان تحلیل نیروهای داخلی را انجام داد، شرایط بارگذاری بایستی مشخص شود. در مورد سازه ها، ما به طور عمده با دو نوع بار سروکار داریم: بار مرده و بار زنده (بار ضربه ای به صورت کسری از بار زنده محسوب می شود). بار مرده آن باری است که دارای موقعیت ثابتی بر روی سازه بوده و به طور دائم بر آن اثر می کند، در حالی که بار زنده، چه از نوع متحرک باشد و چه از نوع قابل حرکت، می تواند دارد موقعیت متغیری بر روی سازه باشد.
هنگام طرح هر قسمت مشخصی از یک سازه، باید توجه خاصی به وضعیت قرار گرفتن بار زنده معطوف شود تا حداکثر نیروهای داخلی ناشی از بار زنده برای قسمت موردنظر به دست آید. قسمت موردنظر و نوع نیروی داخلی مربوطه ممکن است عکس العمل یک تکیه گاه، نیروی برشی یا گشتاور خمشی در یک مقطع تیر و یا نیروی محوری در یک عضو خرپا باشد. در رابطه با این موضوع، بایستی توجه داشت که موقعیتی از بار که باعث بوجود آمدن حداکثر گشتارو خمشی در یک مقطع می شود، الزاماً موجب آن نخواهد شد که حداکثر نیروی برشی در آن مقطع بوجود آید و یا مثلاً وضعیتی از بار که باعث ایجاد نیروی محوری ماکزیمم در یک عضو می گردد، ممکن است حداکثر نیروی محوری را در یک عضو دیگر بوجود نیاورد. با توجه به مطالب فوق و سایر ملاحظات مربوط به رابطه بین نیروی داخلی و موقعیت بحرانی بار زنده، ترسیم خط تاثیر از اهمیت فوق العاده ای برخوردار می باشد.
مفهوم خط تاثیر را می توان با درنظر گرفتن تیری تحت اثر تنها یک بار متمرکز به صورت زیر نشان داد:
1. فرض کنید که تنها یک بار متمرکز در امتداد عمود بر تیر اثر کند. در این صورت بار وارد بر تیر بر هر قسمت و یا هر مقطعی از تیر تاثیر خواهد گذارد. برای مثال، هر مقطعی از تیر دارای نیروی برشی و گشتاور خمشی خاصی خواهد شد و نیز تکیه گاه ها عکس العمل مشخصی را بر تیر اعمال خواهند کرد. در صورتی که بار از نظر موقعیت ثابت باشد، مقاطع مختلف تیر عموماً دارای نیروهای داخلی متفاوت خواهند بود، در صورتی که موقعیت بار بر روی تیر تغییر کند، مقادیر نیروهای داخلی مربوطه در یک مقطع ثابت متغیر خواهد بود.
2. همانطور که ملاحظه شد، ما به سه متغیر مجزا اشاره کردیم: مقدار نیروی داخلی، موقعیت مقطع تیر و موقعیت بار. بایستی توجه داشت که یک منحنی مستوی (واقع در یک صفحه) تنها در صورتی امکان وجود خواهد داشت که رابطه ای بین دو متغیر برقرار باشد و نه سه متغیر. در نتیجه ما می توانیم مقدار نیروی داخلی را به صورت تابعی از موقعیت مقطع تیر بیان کنیم، مشروط بر آنکه موقعیت بار ثابت باشد. منحنی های نیروی برشی و گشتاور خمشی چیزی نیستند جز نمایش رابطه زیر به طریق ترسیمی:
y=f(x)
که در آن x موقعیت مکانی مقطع تیر را در امتداد محور تیر مشخص کرده و y مقدار تابع مربوطه (نیروی برشی یا گشتاور خمشی) تحت اثر یک بار ثابت بود.
3. از طرفی دیگر، ما می توانیم مقدار نیروی داخلی در یک مقطع ثابت را به صورت تابعی از موقعیت متغیر بار بیان کنیم. برای سادگی، از یک بار واحد برای نمایش بار زنده متحرک استفاده می کنیم، در حالی که بار واحد طول دهانه تیر را طر می کند، ما توجه خود را به اثر آن بر روی یک مقطع خاص از تیر معطوف داشته و تغییرات نیروی داخلی (نیروی برشی یا گشتاور خمشی) برای آن مقطع را به صورت تابع زیر می نویسیم:
y=g(x)
که در آن x موقعیت متغیر بار واحد در امتداد محور تیر و y مقدار تابع مربوطه (نیروی برشی یا گشتاور خمشی) برای مقطع ثابت می باشد. نمایش تابع y=g(x) به صورت ترسیمی خط تاثیر مربوط به مقدار تابع موردنظر نامیده می شود.
4. تعریف خط تاثیر را می توان به صورت زیر تعمیم داد: یک خط تاثیر عبارت است از آن منحنی که عرض (یعنی مقدار y) هر نقطه از آن تعریف مقدار تابع (نیروی برشی، گشتاور خمشی، عکس العمل، نیروی محوری میله و …) در یک جزء ثابت از سازه (نظیر مقطع عضو، تکیه گاه، میله ای در یک خرپا و غیره) است، وقتی که یک بار واحد در آن نقطه قرار گرفته باشد.
برای روشن شدن موضوع، ابتدا روش اصلی برای ترسیم خط تاثیر مربوط به گشتاور خمشی در مقطع میانی از یک تیر ساده به طول 10 فوت مطابق شکل الف بررسی می نماییم. برای مشخص کردن موقعیت بار، می توان ابتدا دهانه را به قطعاتی مساوی، مثلاً 10 قطعه، AB, BC, …, JK تقسیم کرد، در حالی که بار واحد به تدریج تیر را از سمت چپ به سمت راست طی می کند، نظر خود را به مقطع وسط دهانه، یعنی F معطوف داشته و هر دفعه که بار در هر یک از این نقاط متوالی به فواصل 1 فوت از یکدیگر قرار می گیرد، گشتاور خمشی F را محاسبه می کنیم. نتایج حاصل در شکل ب نشان داده شده است. طول هر نقطه از این دیاگرام موقعیت بار در آن نقطه و عرض آن، گشتاور خمشی در مقطع F ناشی از بار واحدی را که در آن نقطه قرار دارد، نشان می دهد. برای مثال، عرض نقطه D برابر 5/1 می باشد. این بدان معناست که مقدار گشتاور خمشی در F ناشی از تاثیر بار واحدی در D برابر با 5/1 می باشد.
البته احتیاجی نیست که ما همیشه خط تاثیر را به روشی که در بالا نشان داده شده، ترسیم کنیم، زیرا روش مزبور بسیار وقت گیر است. در بیشتر موارد، می توان معادله ای به صورت y=g(x) بدست آورد که بیان کننده نیروی داخلی موردنظر y در مقطع مفروض بر حسب موقعیت بار، x باشد. منحنی نمایش دهنده این معادله خط تاثیر نامیده می شود. برای نشان دادن این روش، همان مساله قبلی را در نظر گرفته، ولی آن را به شکل دیگری، مطابق آنچه که در شکل ج نشان داده شده است، مطرح می کنیم. بار واحد در فاصله ی x از انتهای سمت چپ تیر A قرار داده می شود. عکس العمل ها در تکیه گاه های A, K به صورت توابعی از x به شرح زیر بدست می آیند:
شکل الف و ب
هنگامی که بار متحرک در قسمت سمت چپ مقطع F (مطابق شکل) قرار می گیرد، گشتاور خمشی در F را می توان از RK بدست آورد:
که در آن y همان MF می باشد. هنگامی که بار متحرک در قسمت سمت راست مقطع F قرار می گیرد، گشتاور خمشی در F را می توان با استفاده از RA محاسبه کرد:
با انتخاب محورهای مختصات مطابق شکل، دو تابع y=5-(x/2), y=x/2 توسط دو خط مستقیم ترسیم می شوند. نمودار AfK در شکل خط تاثیر گشتاور خمشی موردنظر برای مقطع F می باشد.
اگرچه در این مثال خاص، نمودار خط تاثیر به دست آمده در شکل شبیه به نمودار گشتاور خمشی مربوط به همان تیر تحت اثر یک بار واحد در وسط دهانه است، ولی ما نباید خط تاثیر را با نمودار گشتاور خمشی تیر اشتباه کنیم، در حالی که عرض هر نقطه از منحنی گشتاور خمشی، مقدار گشتاور خمشی در مقطع مربوط به همان نقطه را تحت اثر یک بار ثابت نشان می دهد، عرض هر نقطه از خط تاثیر، مقدار گشتاور خمشی در یک مقطع ثابت را تحت اثر یک بار واحد در نقطه ای که آن عرض قرار دارد، نمایش می دهد.
کاربرد خط تاثیر
همانطور که تعریف شد، یک خط تاثیر اثر یک بار واحد متحرک بر روی یک دهانه را نشان می دهد. بایستی تذکر داد که بار واحدی که در ازاء آن خط تاثیر رسم می گردد، معمولاً به صورات قائم است. اگرچه ممکن است گاهی به صورت افقی یا مایل نیز باشد، ترسیم خطوط تاثیر در تحلیل نیروهای داخلی سازه های پل که اغلب تحت اثر سیستم های مختلف بارگذاری متحرک قرار دارند، بکار می رود، ولی کاربرد خطوط تاثیر تنها به سازه های پل محدود نمی شود. خطوط تاثیر درتعیین نیروهای داخلی ماکزیمم در سایر سازه های مهندسی که تحت اثر بارهای زنده قرار دارند، نیز حائز اهمیت می باشد.
یک خط تاثیر به دو طریق زیر در تحلیل نیروهای داخلی بکار می رود:
1. خط تاثیر به عنوان ملاکی در تعیین نیروی داخلی ماکزیمم بکار می رود، یعنی به عنوان راهنمایی در بررسی این که درست چه قسمتی از سازه بایستی بارگذاری شود تا بزرگترین اثر را بر روی جزء موردنظر بوجود آورد.
2. خط تاثیر به عنوان ساده شدن محاسبات می شود.
تست های خط تاثیر
223) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه مقابل صحیح نیست؟
(4) گزینه های اول تا سوم صحیح هستند و گزینه چهارم نادرست است. اگر بخواهیم خط تاثیر VC را رسم کنیم، باید سازه را از گره C تفکیک کنیم و گره C در سازه سمت راست را یک واحد به سمت بالا جابجا کنیم. نکته خیلی مهم در رسم خط تاثیر برش یک نقطه، آن است که اگر سازه در آن نقطه پیوسته باشد، برای آنکه کار لنگر صفر شود، باید شیب خط تاثیر برش در چپ و راست آن نقطه برابر باشد، ولی اگر آن نقطه مفصل باشد، لنگر خمشی در آن نقطه صفر است و چه شیب های چپ و راست خط تاثیر در آن نقطه برابر باشند و چه نباشند، کار لنگر صفر است و البته در خط تاثیر برش، شیب های چپ و راست برابر نخواهند بود. خط تاثیر VC به صورت زیر می باشد و می بینیم که چون C مفصل است، شیب ها در چپ و راست C برابر نیستند.
224) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه مثابل صحیح نیست؟
(1) خط تاثیر RA صحیح نیست. چون باید شیب خط تاثیر در تکیه گاه A صفر باشد، والا لنگر تکیه گاه A هم کار انجام می دهد. برای رسم خط تاثیر RA با توجه به گیردار بودن تکیه گاه A باید AB را به صورت صلب یک واحد به سمت بالا جابجا کنیم و شکل سازه را با توجه به تکیه گاه ها و مفصل های خمشی و شرایط دیگر رسم کنیم که نتیجه می شود خط تاثیر RA به صورت زیر می باشد:
225) کدام یک از خطوط تاثیر زیرمربوط به سازه مقابل صحیح نیست؟
(1) خط تاثیر RA صحیح نیست و اگر AB را به صورت صلب یک واحد به سمت بالا جابجا کنیم، با توجه باینکه در B مفصل برشی داریم و برش منتقل نمی شود، تیر BCDE هیچگونه شکلی نخواهد داشت و خط تاثیر RA به صورت شکل زیر است. نکته مهم در مورد سازه هایی که دارای مفصل برشی هستند، این است که اگر برای رسم یک خط تاثیر، تغییر شکلی به سازه اعمال شود، در چپ و راست مفصل برشی تغییر مکان نسبی وجود دارد و جابجایی در چپ و راست مفصل برشی برابر نیست، اما همواره باید شیب در چپ و راست مفصل برشی برابر باشد، مگر اینکه خط تاثیر لنگر در محل مفصل برشی رسم شود که در آنجا ما خودمان این تغییر شیب را ایجاد می کنیم و اگر در خط تاثیر MB دقت شود، نکات فوق در آن دیده می شود.
226) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه تست قبل صحیح نیست؟
(1) خط تاثیر (VC)R صحیح نیست، چون گره C مفصل نیست. بنابراین باید خط تاثیر برش (چه (VC)R و چه (VC)L) در چپ و راست گره C شیب های برابر داشته باشد. اگر خط تاثیر (VC)R را رسم کنیم، به صورت شکل زیر خواهد بود که شیب در چپ و راست گره C، صفر است.
227) کدام یک از خطوط تاثیر زیر مربوط به سازه مقابل صحیح نیست؟
(3) خط تاثیر VB صحیح نیست، چون در خط تاثیر VB در گره C که مفصلی هم نیست تغییر شیب داریم و شیب ناگهان صفر شده است. با توجه باینکه در خط تاثیر برش یک نقطه مفصلی، شیب خط تاثیردر چپ و راست آن نقطه برابر نیستند، خط تاثیر VB به صورت زیر است:
230) در سازه زیر بار گسترده یکنواخت در چه دهانه هایی وارد شود تا برش ایجاد شده در سمت چپ تکیه گاه C، ماکزیمم شود؟
1) 1.2 2) 1.3 3) 2.3.4 4) 2 یا 3
(1) خط تاثیر (VC)L به صورت زیر است و علت اینکه در قسمت BC خط افقی دارد، این است که چون سازه معین است، می دانیم خط تاثیرهای آن به صورت خطی می باشد و چنانچه BC افقی نباشد و شیب داشته باشد، بنا به پیوستگی شیب در گره C (که مفصل نیست) قسمت CD هم خطی شیب دار خواهد بود و بناچار خط تاثیر در قسمت DEF خطی نبوده و منحنی خواهد شد که قابل قبول نیست. با توجه به خط تاثیر زیر، بارگذاری در دهانه های 3.4.5 تاثیری روی (VC)L ندارد و برای ماکزیمم شدن آن باید دهانه های 1.2 بارگذاری شود.
236) کدام یک از خط تاثیرهای مربوط به خرپای مقابل صحیح نیست؟
(4) با استفاده از روش کار مجازی، همه ی گزینه ها صحیح می باشد.
237) کدامیک از خط تاثیرهای زیر مربوط به خرپای تست قبلی صحیح نیست؟
(4) با استفاده از روش کار مجازی، همه ی گزینه ها صحیح است.
238) کدامیک از خطوط تاثیر مربوط به خرپای تست 7 صحیح نیست؟
(4) با استفاده از روش کار مجازی، همه ی گزینه ها صحیح می باشد.
239) کدامیک از خط تاثیرهای زیر مربوط به خرپای داده شده صحیح نیست؟ (بار بر روی گره های بالایی وارد می شود)
(4) با استفاده از روش کار مجازی، همه ی گزینه ها صحیح می باشد.
240) کدامیک از خطوط تاثیر مربوط به خرپای تست قبل صحیح نیست؟
(4) با استفاده از روش کار مجازی، نتیجه می شود که همه خطوط تاثیر صحیح می باشد.
19