بنام خدا
موضوع تحقیق:جایزه نوبل فیریک سال 2016 میلادی
به گزارش روز سه شنبه گروه علمی ایرنا از پایگاه اینترنتی نوبل پرایز، این جایزه به دو قسمت تقسیم شد؛ یک قسمت آن به دیوید جی تولس (David J. Thouless) و قسمت دیگر آن بطور مشترک به اف. دانکن. ام . هالدان (F. Duncan M. Haldane) و جی . مایکل کاستر لیتز ( J. Michael Kosterlitz ) برای اکتشافات نظری گذارهای فاز توپولوژیک و فازهای توپولوژیک ماده تعلق گرفت.
برندگان امسال جایزه نوبل فیزیک پنجره ای بر روی یک جهان ناشناخته باز کردند جایی که ماده می تواند وضعیت های عجیب و غریبی را به خود گیرد.
این محققان برای مطالعه فازهای غیر معمول یا وضعیت ماده مانند ابر رساناها ، ابرسیال ها و یا نوارهای نازک مغناطیسی از روش های پیشرفته ریاضی استفاده کرده اند.به کمک دستاورد آنها اکنون می توان فازهای جدید و عجیب و غریبی از ماده را شکار کرد.
توپولوژی شاخه ای از ریاضیات است که ویژگی هایی را توصیف می کند که گام به گام تغییر می کند.
'دیوید جی. تولس (David J. Thouless) متولد سال 1934 در 'بیرسدن' انگلیس ، مدرک پی.اچ.دی خود را در سال 1958 از دانشگاه 'کرنل' دریافت کرد. وی استاد ممتاز بازنشسته در دانشگاه واشنگتن واقع در سیاتل آمریکا است.
'اف دانکن ام. هالدان' متولد 1951 در لندن مدرک پی.اچ.دی خود را در سال 1978 از دانشگاه کمبریج در انگلیس بدست آورد. وی استاد فیزیک دانشگاه پرینستون در آمریکا است.
'جی مایکل کاسترلیتز' متولد 1942 در 'آبردین' انگلیس مدرک پی.اچ.دی خود را در سال 1969 از دانشگاه آکسفورد بدست آورد. وی استاد فیزیک دانشگاه 'براون' در آمریکاست.
فیزیک اولین جایزه ای است که در وصیت نامه نوبل ذکر شده و این موضوع نشان می دهد که فیزیک محبوب ترین حوزه آلفرد نوبل بوده است. از سال 1901 تا 2015 جایزه نوبل در حوزه فیزیک 109 مرتبه به 201 برنده اعطا شده است.
'جان باردن' تنها برنده جایزه نوبل است که این جایزه را دو بار در سال های 1956 و 1072 از آن خود کرده است که با این احتساب مجموع برندگان جایزه نوبل در حوزه فیزیک به 200 نفر می رسد.
47 جایزه نوبل فیزیک تنها به یک نفر تعلق گرفته است و تاکنون دو محقق زن موفق به دریافت این جایزه شده اند.
جوان ترین برنده جایزه نوبل لورنس براگ نام دارد. این دانشمند استرالیایی هنگام دریافت جایزه فقط 25 سال سن داشت و در سال 1915 به همراه پدر خود موفق به دریافت جایزه نوبل فیزیک شد. میانگین سنی دریافت کنندگان جایزه نوبل فیزیک 55 سال است.
جایزه نوبل شامل مدال طلا، دیپلم افتخار و یک جایزه نقدی است که هر سال مبلغ آن بسته به شرایط می تواند متغیر باشد. در سال 1901 به برندگان جوایز نوبل، 150 هزار و 782 کرون سوئد اهدا شد که برابر با هفت میلیون و 731 هزار کرون در دسامبر 2007 بود.
در سال 2008 به برندگان مبلغ 10 میلون کرون سوئد اهدا شد. این جوایز در یک جشن سالانه در استکهلم و در روز 10 دسامبر (19 آذر) که سالروز مرگ آلفرد نوبل است.
تولس، هالدین و کاسترلیتز، حالات عجیبی از ماده را کشف کرده اند که منجر به پیشرفت هایی بزرگی در الکترونیک شده و به تحقق کامیپوتر کوانتومی در آینده بسیار کمک خواهد کرد. هسته ی اصلی کار این سه دانشمند، توپولوژی بود، یعنی شاخه ای از ریاضیات که شامل تغییرات گام به گام، مثلا ایجاد یک سری حفره در یک شی، است. ما به تغییر فاز را زمان تغییر حالت جامد به مایع و به گاز به وضوح می بینیم، اما مواد می توانند تحت تغییرات گام به گام توپولوژیکی قرار بگیرند که ویژگی های الکتریکی آنها را تحت تاثیر قرار می دهد. شاید مهم ترین مثال در این زمینه، ابررساناست که در دماهای پایین، جریان الکتریکی را بدون مقاومت، هدایت می کند.
اکثر مواد در حالت هایی قرار دارند که ما هر روزه می بینیم: گاز، مایع، جامد؛ اما در دماهای بسیار زیاد یا بسیار کم، ماده می تواند رفتارهای عجیب و غریبی از خود نشان دهد. سه برنده امسال نوبل فیزیک، مدلسازی ریاضیاتی پیشرفته ای را برای اثبات برخی از ویژگی های عجیبی که در حالت های غیرعادی ماده، دیده می شوند، استفاده کردند. لایه های سرد، اما تخت اتمی را می توان به صورت دو بعدی در نظر گرفت و می توان ابررساناها و ابرسیال ها را در آنها پیدا کرد.
با استفاده از توپولوژی، میتوان تغییرات گام به گام یک شی را بررسی کرد. در این تغییرات گام به گام، برخی از ویژگی های ماده با کشیده شدن، پیچ خوردن یا تغییر شکل شی، تغییر نمی کنند. (توجه کنی تغییراتی که طی آنها، شی، چند تکه شود، توپولوژیکی نیستند). تولس، هالدین و کاسترلیتز با استفاده از توپولوژی به کشف رفتارها و حالت های عجیب ماده کمک کردند. از نظر توپولوژیکی، یک رولت، یک دونات و یک نان گره شکل، فقط به وسیله ی تعداد حفره هایی که دارند، از یکدیگر تمیز داده می شوند. اگر حفره های یک شی، از یک به دو تغییر کند؛، گفته می شود که یک انتقال فاز توپولوژیکی اتفاق افتاده است. در جهان توپولوژیکی، تغییر از یک رسانای معمولی به یک ابررسانا را می توان هم ارز تغییر از یک دونات به یک رولت تصور کرد.
در دهه ی ۱۹۷۰، کاسترلیتز و تولس، وجود ابررسانایی و ابرسیالی را در لایه های نازکی، مدلسازی کردند، در حالیکه نظریه ها، وجود چنین ساختارهایی را غیرممکن می دانستند. آنها ثابت کردند که ابررسانایی می تواند در دماهای پایین، رخ دهد و همچنین مکانیسم آن را نیز، که انتقال فاز نام دارد، توضیح دادند که باعث می شد ابررسانایی در دماهای بالاتر، ناپدید شود. در دهه ی ۱۹۸۰، هالدین، کشف کرد که چگونه مفاهیم توپولوژیکی می توانند برای درک ویژگی های زنجیره های آهنرباهای کوچکی که در برخی مواد، دیده می شدند، استفاده شوند.
تماس جادویی!
به رسم همیشگی، پس از اعلام اسامی برندگان از سوی کمیته نوبل، با هریک از برندگان، تماس گرفته می شود. از آنجایی که ساعت محلی سوئد (محل آکادمی نوبل) با ساعت محلی مکان برندگان، تفاوت دارد، در برخی موارد، اتفاقات جالبی در مورد این تماس، رخ داده است. بری مارشال در یک آبجوفروشی استرالیایی، این تماس را پاسخ داد. آمارتیا سن، صدای زنگ تماس نوبل را ساعت ۵ صبح شنید. گونتر گرس در مطب داندانپزشکی یا این تماس مواجه شد. پیتر هیگز معروف، در روز برنده شدنش، حتی در دسترس نبود و در نهایت خبر برنده شدنش را از همسایه اش شنید! امسال این تماس با پروفسور دانکن هالدین برقرار شد. او گفت: "من هم مثل تمام برندگان دیگر، شگفت زده و البته بسیار خوشحال شدم. تکنولوژی های زیادی با تکیه بر کار اولیه ی ما، در حال توسعه است."
امواج گرانشی همچنان باید منتظر بمانند!
بسیاری از کارشناسان جایزه نوبل فیزیک ۲۰۱۶ را برای بزرگترین کشف فیزیکی امسال، یعنی یافتن امواج گرانشی، پیش بینی کرده بودند، اما این پیش بینی ها درمورد این کشف تازه، درست از آب درنیامد و جایزه ی امسال به پژوهش قدیمی تر کاسترلیتز و تیولس و هالدین در دهه های ۱۹۷۰ و ۱۹۸۰ رسید.
نظم توپولوژیک:
در فیزیک، نظم توپولوژیک یک نوع نظم در فاز دمای صفر ماده است ( که به عنوان ماده کوانتومی نیز شناخته می شود). از دید ماکروسکوپی، نظم توپولوژیک بوسیله ی تبهگنی حالت پایه مقاوم و فاز های هندسی غیر آبلی کوانتیزه حالت های پایه تبهگن تعریف/توصیف می شود (دقیقا مانند نظم ابر شاره که بوسیله محو ویسکوزیته و ورتیسیتی کوانتیزه تعریف/توصیف میشود).
از دید میکروسکوپی، نظم توپولوژیکی به الگوهای درهم تنیده کوانتومی بلند برد اشاره دارد (دقیقا مانند نظم ابرشاره که به چگالش بوزونی اشاره دارد). حالت های با نظم های توپولوژیکی متفاوت (یا الگوهای درهم تنیده بلند برد متفاوت) نمی توانند بدون یک گذار فاز به یکدیگر تبدیل شوند
حالت های منظم توپولوژیکی خواص علمی جالبی از خود نشان می دهند، مانند تبهگنی حالت پایه که با اعمال هیچ اختلال موضعی از بین نمی رود اما به توپولوژی فضا بستگی دارد، آمار کسری شبه ذره ای و بار های کسری، حالت های مرزی رسانای کامل حتی در حضور ناخالصی مغناطیسی، آنتروپی درهم تنیدگی توپولوژیک، و … . نظم توپولوژیک در مطالعه سیستم های فیزیکی زیادی از جمله مایع اسپینی و اثر هال کوانتومی مهم است و کاربردهای بالقوه ای در مقاومت در برابر خطا در محاسبات کوانتومی دارد.
در نظر داشته باشید که عایق های توپولوژیک و ابررساناهای توپولوژیک (بالای یک بعد) داری نظم توپولوژیکی که در بالا بحث شد نیستند (بحث زیر را نگاه کنید).
پیش زمینه
اگرچه تمام مواد از اتم ها ساخته شده اند، اما خواص مختلفی دارند و به شکل های متفاوت شکل میگیرند، مانند جامد، مایع، ابرشاره، مگنت، و … . این انواع مختلف از مواد اغلب حالت های ماده یا فاز ها نامیده می شوند. با توجه به فیزیک ماده چگال و اصل پیدایش، خواص متفاوت ماده ناشی از راه های متفاوت کنار هم قرار گرفته شدن اتم ها در مواد است. سازمان یافتگی متفاوت اتم ها (یا ذرات دیگر) نظم در مواد نامیده می شود.
اتم ها می توانند از راه های زیادی سازمان یابند که منجر به نظم های مختلف زیادی و نتیجتاً انواع مواد مختلف می شود. نظریه شکست تقارن لاندائو یک درک عمومی از این نظم های مختلف فراهم می کند. باید در نظر گرفت که نظم های مختلف در واقع اشاره به تقارن های متفاوت در آرایش اتم های تشکیل دهنده دارد. اگر یک ماده از یک نظم به یک نظم دیگر تغییر پیدا کند (یعنی ماده یک گذار فاز انجام دهد)، چیزی که اتفاق میفتد این است که تقارن آرایش اتم های تغییر پیدا می کند.
برای مثال، اتم ها دارای یک توزیع تصادفی در یک مایع هستند، بنابراین اگر آن را در یک فاصله اختیاری جابه جا کنیم به همان شکل باقی می ماند. ما می گویم مایع دارای تقارن انتقالی پیوسته است. بعد از یک گذار فاز، یک مایع می تواند به یک بلور تبدیل شود در یک بلور، اتم ها در یک آرایه منظم (یک شبکه) سازمان می یابند. یک شبکه فقط در صورتی بدون تغییر می ماند که ما در فواصل خاص جابه جا کنیم (به دفعات صحیح از ثابت شبکه) بنابراین یک بلور تنها تقارن انتقالی گسسته دارد. گذار فاز بین یک جامد و یک بلور یک گذار است که تقارن انتقالی پیوسته مایع را به تقارن گسسته بلور کاهش می دهد. این تغییر در تقارن شکست تقارن نامیده می شود. ماهیت تفاوت بین جامدات و مایعات این است که آرایش اتم ها تقارن های متفاوتی در دو فاز دارد.
نظریه شکست تقارن لاندائو یک نظریه کاملا موفق است. برای مدت زمان طولانی، فیزیکدانان باور داشتند که نظریه شکست تقارن لاندائو تمام تظم های موجود در مواد و تمام گذار فاز های (پیوسته) ممکن را توصیف می کند.
کشف و مشخصه یابی
با این حال از اواخر سال 1980، به تدریج آشکار شد که نظریه شکست تقارن لاندائو ممکن است تمام نظم های ممکن را توصیف نکند. در یک تلاش برای توضیح ابررسانایی دما بالا حالت های اسپینی کایرال معرفی شدند. در ابتدا، فیزیک دانان هنوز می خواستند که از نظریه شکست تقارن لاندائو برای توصیف حالت اسپینی کایرال استفاده کنند. آنها حالت اسپینی کایرال را به عنوان حالتی که تقارن های پاریته و بازگشت زمان را می شکند شناسایی کردند، اما نه به عنوان یک تقارن چرخشی اسپینی. بر اساس توصیف شکست تقارن لاندائو از نظم ها این می بایست پایان داستان می بود. اگرچه، به زودی فهمیده شد که حالت های اسپینی کایرال متفاوت زیادی وجود دارد که دقیقا یک تقارن دارند، بنابراین تقارن به تنهایی نمی تواند برای مشخص کردن حالت های اسپینی کایرال متفاوت کافی باشد. این بدان معناست که حالت های اسپینی کایرال نوع جدیدی از نظم اند که فراسوی توصیف تقارنی معمول هستند. نوع جدید نظم پیشنهاد شده "نظم توپولوژیک" نامیده شد (نام "نظم توپولوژیک" از نظریه موثر انرژی کم حالت های اسپینی کایرال ناشی شده است که یک نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی است). اعداد کوانتومی جدید، مانند تبهگنی حالت پایه و فاز هندسی غی آبلی مربوط به حالت های پایه تبهگن، برای مشخصه یابی/تعریف نظم های توپولوژیکی متفاوت در حالت های اسپینی کایرال معرفی شدند. اخیرا، نشان داده شده است که نظم های توپولوژیک می توانند توسط آنتروپی توپولوژیک مشخصه یابی شوند.
اما آزمایش ها به زودی نشان داد که حالت های اسپینی کایرال ابررساناهای دما بالا را توصیف نمی کند و نظریه نظم توپولوژیک به تئوری بدون پشتوانه عملی تبدیل شد. اگرچه، شباهت بین حالت های اسیپینی کایرال و حالت های هال کوانتومی اجازه داد تا نظریه نظم توپولوژیک برای توصیف تفاوت های حالت های هال کوانتومی استفاده شود. دقیقا مانند حالت های اسپینی کایرال، حالت های هال کوانتومی متفاوت همگی دارای تقارن یکسان هستند و ورای توصیف شکست تقارن لاندائو قرار دارند. از طرفی نشان داده شده است که نظم های متفاوت در حالت های هال کوانتومی متفاوت را حقیقتا می توان توسط نظم های توپولوژیک توصیف کرد، بنابراین نظم توپولوژیک دارای پشتبانی تجربی است.
در سال 1982 حالت هال کوانتومی کسری (FQH) قبل از معرفی مفهوم نظم توپولوژیک (در سال1989) کشف شد. اما حالت FQH اولین آزمایش کشف حالت منظم توپولوژیکی نبود. ابررسانا، که در سال 1911 کشف شد اولین کشف تجربی حالت منظم توپولوژیکی بود که دارای نظم توپولوژیک Z2 است.
اگرچه حالت های منظم توپولوژیکی معمولا در سیستم های برهمکنشی قوی فرمیونی/بوزونی ظاهر می شوند، یک نوع ساده از نظم توپولوژیک می تواند در سیستم های فرمیونی آزاد ظاهر شود. این نوع از نظم توپولوژیک به حالت هال کوانتومی صحیح اشاره دارد، که می تواند توسط عدد چرن مربوط به نوار انرژی پر شده مشخصه یابی شود اگر ما حالت هال کوانتومی صحیح را روی یک شبکه در نظر بگیریم. محاسبات نظری نشان داده است که این عدد چرن را می توان به صورت تجربی برای یک سیستم فرمیونی آزاد اندازه گرفت. همچنین مشخص شده است که یک عدد چرن را می توان (شاید به صورت غیر مستقیم) با استفاده از حالت های لبه ای اندازه گرفت.
مکانیسم
یک کلاس وسیع از نظم های توپولوژیک 2+1D بوسیله مکانیسمی به نام چگالش ریسمان-شبکه فهمیده شده است. این کلاس از نظم های توپولوژیک می توانند یک لبه گاف دار داشته باشند بوسیله نظریه رسته ادغام یکانی (یا رسته مونوید) دسته بندی می شود. می توان نشان داد که چگالش ریسمان-شبکه می تواند انواع زیادی از تفاوت ها را تولید کند، که ممکن است نشان دهد که انواع جدید زیادی از مواد هنوز کشف نشده اند.
حرکت جمعی ریسمان های چگالیده منجر به برانگیختگی حالت های چگال ریسمان-شبکه می شود. این برانگیختگی ها به بوزون های پیمانه ای منجر می شود. انتهای این ریسمان ها نقص ها قرار دارند که به نوع دیگری از برانگیختگی اشاره دارند. این برانگیختگی ها بار های پیمانه ای هستند و می توانند از آمار فرمی یا کسری پیروری کنند.
چگالش سایر اشیاء گسترش یافته مانند membrane ها و brane-nets ها و فراکتال ها نیز منجر به حالت های منظم توپولوژیکی و "صلبیت کوانتومی" می شود.
مقدمات ریاضی
می دانیم که نظریه گروه مقدمات ریاضی نظم های شکست تقارن است. مقدمات ریاضی نظم توپولوژیکی چیست؟ چگالش ریسمان-شبکه پیش بینی می کند که رسته تانسوری (مانند رسته ادغام یا رسته مونوید) بخشی از مقدمات ریاضی فاز توپولوژیک در 2+1D است. فاز توپولوژیک در ابعاد بالاتر ممکن است به نظریه n-رسته مربوط باشد. یک زیر کلاس از نظم توپولوژیک -نظم توپولوژیک آبلی در دو بعد- را می توان بوسیله ی روش k-ماتریکس دسته بندی کرد. برخی پیش بینی می کنند که نظم توپولوژیک به صورت ریاضی توسط تقارن کوانتومی توسعه یافته توصیف می شود.
کاربرد ها
موادی که توسط نظریه شکست تقارن لاندائو توصیف شدند اثرات قابل توجی روی تکنولوژی داشتند. برای مثال، مواد فرومغناطیس که تقارن چرخشی اسپینی در آنها شکسته می شود می توانند به عنوان محل ذخره اطلاعات دیجیتالی استفاده کرد. یک دیسک سخت ساخته شده از مواد فرمغناطیس می تواند گیگابایت ها اطلاعات ذخیره کند. کریستال های مایع که تقارن چرخشی مولکول ها را می شکنند کابرد های وسیعی در فناوری صفحه نمایش دارند؛ امروزه به سختی میتوان خانه ای بدون صفحه نمایش های بلور مایع تصور کرد. بلورهایی که تقارن انتقالی را می شکنند منجر به نوارهای الکترونی خوش تعریفی می شوند به ما اجازه می دهد تا دستگاه های نیمه رسانایی مانند ترانزیستور بسازیم. انواع مختلف نظم های توپولوژیک حتی از انواع مختلف نظم های شکست تقارن نیز غنی تر هستند. این پتانسیل آنها را برای کاربرد های نوین هیجان انگیز پیش بینی می کند.
یکی از کاربردهای نظری این است که حالت های منظم توپولوژیکی به عنوان ماده برای محاسبات کوانتومی در یک تکنیک به نام محاسبات کوانتومی توپولوژیکی استفاده کرد. یک حالت منظم توپولوژیکی یک حالت با درهم تنیدگی کوانتومی غیر موضعی پیچیده است. غیر موضعی به این معنی است که درهم تنیدگی کوانتومی در یک حالت منظم توپولوژیکی در میان ذرات مختلف زیادی توزیع شده است. به عنوان یک نتیجه، الگولی درهم تنیدگی های کوانتومی را نمی توان با استفاده از اختلال موضعی از بین برد. این به طور قابل ملاحضه ای اثر ناهمدوسی را کاهش میدهد. این پیش بینی می کند که اگر ما از درهم تنیدگی های کوانتومی متفاوت در یک حالت منظم توپولوژیکی برای رمزگذاری اطلاعات کوانتومی استفاده کنیم، اطلاعات ممکن است مدت زمان بیشتری باقی بمانند. اطلاعات کوانتومی که توسط درهم تنیدگی های کوانتومی توپولوژیکی کدگذاری شده اند را همچنین می توان با جابه جایی نقص های توپولوژیکی دور همدیگر دستکاری کرد. این عمل ممکن است یک دستگاه فیزیکی فراهم آورد که محاسبات کوانتومی را بهبود بخشد. بنابراین، حالت های منظم توپولوژیکی دستگاه های طبیعی برای محاسبات کوانتومی و حافظه های کوانتومی فراهم می آورند. همچنین تحقق حافظه های کوانتومی و محاسبات کوانتومی ممکن است به طور بالقوه موجب تلورانس خطا شود.
حالت های منظم توپولوژیکی در حالت کلی دارای یک ویژگی خاص هستند که حالت های مرزی غیر بدیهی را شامل می شوند. در خیلی موارد، این حالت های مرزی تبدیل به کانال های رسانای کامل می شوند که می توانند الکتریسته را بدون ایجاد گرما هدایت کنند. این می تواند یکی دیگر از پتانسیل های بالقوه نظم توپولوژیک در دستگاه های الکترونیکی است.
در تشابه با نظم توپولوژیک، عایق های توپولوژیک نیز حالت های مرزی بدون گاف دارند. حالت های مرزی در عایق های توپولوژیک نقش کلیدی در شناسایی و کاربرد های عایق های توپولوژیک دارند. این مشاهدات طبیعی منجر به یک پرسش می شوند: آیا عایق های توپولوژیک مثال هایی از حالت های منظم توپولژیکی هستند؟ در حقیقت عایق های توپولوژیک متفاوت از حالت های منظم توپولوژیکی تعریف شده در این مقاله هستند. عایق های توپولوژیک فقط درهم تنیدگی کوتاه برد دارند، در حالی که نظم توپولوژیک که در این مقاله تعریف شده است یک الگوی درهم تنیده بلند برد است. نظم توپولوژیک در برابر هر اختلالی مقاوم است. این نظم شامل نظریه پیمانه ای نوظهور، بار کسری نوظهور و آمار کسری است. در مقابل، عایق های توپولوژیک فقط در برابر اختلال هایی مقاوم هستند که تقارن های برگشت زمان و (U(1 را حفظ میکنند. برهم انگیختگی های شبه ذره ای آنها هیچ بار کسری ندارد و از آمار کسری پیروی نمی کند. به بیان دقیق تر، عایق های توپولوژیک یک مثال از نظم SPT است، که اولین مثال از نظم SPT فاز هالدین مربوط به زنجیره اسپین-1 است.
تاثیرات بالقوه
نظریه شکست تقارن لاندائو یک شالوده از فیزیک ماده چگال است و معمولا برای تعریف محدوده تحقیقات ماده چگال استفاده می شود. وجود نظم توپولوژیک به ما گوشزد می کند که طبعت بسیار فراتر از جیزی است که تاکنون نظریه شکست تقارن لاندائو نشان داده بود. نظم توپولوژیک مسیر جدیدی در فیزیک ماده چگال باز کرده است (مسیری جدید از مواد کوانتومی شدیدا درهم تنیده). ما متوجه شده ایم که فاز های کوانتومی ماده( یعنی فاز های دمای صفر ماده) را می توان به دو کلاس تقسیم کرد: حالت های درهم تنیده بلند برد و حالت های درهم تنیده کوتاه برد. نظم توپولوژیکی مفهومی است که حالت های درهم تنیده بلند برد را توصیف می کند: نظم توپولوژیک = الگوی درهم تنیده بلند برد. حالت های درهم تنیده کوتاه برد از این نظر که تماما به یک فاز تعلق دارند بدیهی هستند. اگر چه، در حضور تقارن، حتی حالت های درهم تنیده کوتاه برد غیر بدیهی هستند . می توانند به فاز های متفاوت تعلق داشته باشند. به این فاز ها نظم SPT گفته می شود. نظم SPT مفهوم عایق های توپولوژیک را به سیستم های برهمکنشی عمومیت می بخشد.
بعضی پیش بینی می کنند نظم توپولوژیک (یا به صورت دقیق تر، چگالش ریسمان-شبکه) در مدل های بوزنی موضعی (اسپینی) این پتانسیل را دارد تا یک منشا متحد از فوتون ها،الکترون ها و سایر ذرات بنیادی در جهان ما فراهم آورد.
توپولوژی یکی از زمینه های مهم ریاضیات است که از پیشرفت مفاهیمی از هندسی و نظریه مجموعه ها مانند فضا، بعد، اشکال، تبدیلات و… بوجود آمده است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال ۱۸۴۷ از سوی لیستنگ، یکی از شاگردان گاوس، معرفی شد. نام دیگری که در آغاز بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق می شد، آنالیز موقعیت (Analysis Situs) بود.
توپولوژی دارای زیرشاخه های زیادی است. بنیادی ترین و قدیمی ترین زیرشاخه، توپولوژی نقطه-مجموعه است که بنیادهای توپولوژی بر آن بنا شده است و به مطالعه در زمینه های فشردگی، پیوستگی و هم بندی می پردازد. توپولوژی جبری نیز یکی دیگر از زیرشاخه های توپولوژی است که سعی در محاسبه درجه هم بندی دارد. همچنین زیرشاخه هایی مانند توپولوژی هندسی، توپولوژی گراف و توپولوژی ابعاد پایین نیز وجود دارند.
توپولوژی مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء، به طور ثابت حفظ می شوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز با یک بیضی می باشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره با یک سطح بیضی وار هم ارز است (یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که می تواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.
توپولوژی با منحنی ها، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود می توانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد.
توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضاهای مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شویم (مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت)، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک راس و غیره در ارتباط است.
توپولوژی برای جداسازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد. اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضاهای توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند. البته اگر دقیق تر بگوییم، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطهٔ هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی، خصیصه ذاتی است.
حدود سال ۱۹۰۰، پوانکاره معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد. به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.
توپولوژِی با مطالعاتی که در زمینه پرسش هایی که در هندسه مطرح بود، آغاز شد. مسئله ۷ پل کانیگزبرگ اویلر جز اولین نتایج توپولوژیک بود. نمونه رابطه توپولوژیکی، فرمول اویلر است در مورد چندوجهی ها که تعداد رئوس (v) منهای تعداد خطوط یا لبه ها (e) باضافه تعداد سطوح (f) همیشه برابر است با ۲ است. (v – e + f = ۲)
فرمول اویلر در سال ۱۷۵۲ منتشر شد ولی ۶۳ سال بعد در سال ۱۸۱۳ ریاضیدان سویسی بنام لیولیر اثبات کرد که فرمول اویلر برای چندوجهی های سوراخدار صحیح نیست و فرمول کامل چنین است: v – e + f = ۲g، که g تعداد سوراخ ها است.
۵۲ سال بعد از لیولیر، در سال ۱۸۶۵، موبیوس نوار خود را معرفی کرد که فقط یک رویه دارد و از نواری بدست می آید که قبل از چسباندن دو سرش به یکدیگر، یک سر را ۱۸۰درجه بچرخانیم و بعد بچسبانیم. ۱۷ سال بعد در سال ۱۸۸۲ ریاضیدان آلمانی فلیکس کلاین بطری معروف به "بطری کلاین" را معرفی کرد که درون و برون آن از هم متمایز نیستند و بعبارتی دیگر حجم آن صفر است. توپولوژی مدرن وابسته به ایدهٔ تئوری مجموعه های کانتر می باشد که در اواخر قرن ۱۹ مطرح شد.
مجموعه X به همراه گردایه T از زیرمجموعه های X را یک فضای توپولوژیکی گویند هر گاه: مجموعه های تهی و X، عضو T باشند. اجتماع هر گردایه از مجموعه های عضو T در T قرار دارد. اشتراک هر دو مجموعه عضو T در T قرار دارد. مجموعه T را یک توپولوژی روی X می گوییم. همچنین اعضای T مجموعه های باز در X و متتم آنها مجموعه های بسته در X هستند. اعضای X را نقاط می نامیم. وی یک مجموعه مانند X توپولوژیهای متعددی می توان تعریف کرد (حداقل دو توپولوژی گسسته و ناگسسته را می توانیم روی X تعریف کنیم). حال فرض کنید T۱ و T۲ دو توپولوژی روی X هستند. اگر هر عضو T۱، عضوی از T۲ نیز باشد آنگاه می گوییم T۲ ظریفتر از T۱ است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه باز معین ارائه می دهیم در مورد توپولوژی ظریفتر هم برقرار است. توابع پیوسته: فرض می کنیم (X,T) و (Y,U) دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند: تابع در نقطه x واقع در X را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعه باز شامل f(x) مانند BY، مجموعه بازی مانند BX شامل x وجود داشته باشد به طوری که f[BX] زیر مجموعه BY باشد. مثال: R یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه های باز در آن بازه های باز هستند. به طور کلی فضای اقلیدسی Rn یک فضای توپولوژیکی است و مجموعه های باز در آن گوی های باز هستند. چند قضیه توپولوژی: هر بازه بسته با طول متناهی در Rn فشرده است؛ و معکوس تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده است. قضیه تیخونوف: حاصلضرب فضاهای فشرده، یک فضای فشرده است. زیر مجموعه فشرده یک فضای هاسدورف، بسته است. هر فضای متری هاسدورف است. به همین ترتیب می گوییم تابع در مجموعهٔ A واقع در X پیوسته است رد صورتی که در تمام نقاط A پیوسته باشد. قضیه: تابع در X پیوسته است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در Y مانند BY، مجموعه یf[BY] − ۱ زیر مجموعه باز X باشد. به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در X یک مجموعه باز در Y باشد. در واقع نشان می دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.
عایق توپولوژیک:
عایق های توپولوژیک مواد الکترونیکی هستند که هم رسانا و هم عایق می باشند و مرتبه های غیر بدیهی توپولوژیکی را دارا می باشند.
در حالت توده ای یک گاف انرژی الکترونی دارند و بنابراین عایق می باشند ولی در روی سطح آن ها، ماده دارای حالت های سطحی بدون گاف انرژی و خاصیت رسانش می باشد.
ساختارهای دو بعدی و سه بعدی این دسته از مواد هم به طور تجربی و هم نظری مورد بررسی قرار گرفته اند.
وجود حالت های فلزی و بدون گاف در سطوح می توانند به خواص غیر عادی در هدایت الکترونی منجر شود.
این حالت ها به دلیل برهمکنش اسپین – مدار و تقارن وارون زمانی امکان پذیر خواهند بود.
یک عایق توپولوژیک دو بعدی، عایق کوانتومی – اسپین هال می باشد.
عایق سه بعدی توپولوژیکی فرمیون های دیراک را روی سطح خودشان دربر می گیرد.
حالت های سطح عایق توپولوژیک با استفاده از پایستگی تعداد ذرات و تقارن وارون زمانی، متقارن هستند و ازین جهت این نوع مواد بسیار خاص هستند.
در توده ای از عایق توپولوژیک غیر برهمکنشی، ساختار نواری الکترونی به ساختار نواری عایق های معمولی شباهت دارد به طوری که سطح فرمی، میان نوارهای رسانش و ظرفیت قرار گرفته است.
در یک حجم، سطح انرژی فرمی میان نوار رسانش و نوار ظرفیت قرار می گیرد.
روی عایق توپولوژیک حالت های خاصی وجود دارد که باعث می شود گاف انرژی ازمیان برداشته شود و به سطح این امکان را می دهد که رسانا شود.
حامل های بار روی سطح، در این شرایط طوری حرکت می کنند که اسپینشان در یک جهت قرار گرفته باشد (اسپین حامل ها به صورت راست – زاویه قفل شده اند).
در یک انرژی داده شده، حالت های در دسترس الکترونی دیگر، اسپین متفاوتی دارند بنابراین پراکندگی به شدت سرکوب می شود و سطح به شدت قابلیت رسانایی پیدا می کند.
حالت های رسانشی رو سطح عایق توپولوژیک توسط تقارن وارون زمانی و ساختار نواری ماده محافظت می شود و این حالت ها توسط تغییرهای کوچک در ماده اگر تقارن وارون زمانی شکسته نشود، ازبین نمی روند.
حالت کوانتومی هال زمانی اتفاق می افتد که الکترون ها در دو بعد محبوس باشند (جریان الکترونی از یک مولد روی یک سطح دوبعدی) و یک میدان مغناطیس قوی در راستای عمود بر جریان به آن اعمال شوند .
کوانتیزه بودن مدار چرخش الکترون ها (چرخش بواسطه وارد آمدن نیروی لورنتس از طریق میدان مغناطیسی ایجاد می شود) با فرکانس سیکلوترون منجربه کوانتیزه شدن سطوح انرژی می شود .
قبل از اعمال میدان، الکترون ها همانند ذره آزاد عمل می کردند و در نتیجه ویژه مقادیر انرژی تبهگن بود اما پس از اعمال میدان تبهگنی ازبین می رود و ویژه مقادیر انرژی کوانتیزه می شود.
ویژه مقادیر انرژی همانند ویژه مقادیر نوسانگر هارمونیک خواهد بود و به سطوح انرژی لانداءو شهرت دارد (ویژه مقادیر انرژی برای گاز الکترونی بدون اسپین توسط لانداءو بدست آمده است و به همین دلیل سطوح انرژی به نام او شهرت دارد).
اگر N تا از سطوح لانداءو پر شده باشند و بقیه خالی باشند، گاف انرژی، سطوح پر شده و خالی را همانند یک عایق جدا می کند .
برخلاف یک عایق، میدان الکتریکی ایجاد شده (با انحراف جریان الکترون ها از طریق نیروی وارده از سمت میدان مغناطیسی، یک میدان الکتریکی در جهت عرض ایجاد می شود) و منجر به جریان هال می شود، لبه های دارای چگالی بار می شوند، مقادیر این چگالی کوانتیزه است.