پاورپوینت سیگنال ها و سیستم ها

درس هشتم
سیگنال ها و سیستم ها

تبدیل فوریه
مثال هایی از تبدیل فوریه
تبدیل فوریه سیگنال های پریودیک
خصوصیات تبدیل فوریه
موضوعات این جلسه

x(t) را یک سیگنال غیرپریودیک در نظر بگیرید
این سیگنال را می توانید یک سیگنال پریودیک با پریود بی نهایت فرض کنید
برای یک سیگنال پریودیک، هارمونیک ها به فاصله ی ω0=2π/T از هم قرار دارند
پس اگر T∞ بنابراین ω00 و لذا اجزای هارمونیک ها در بعد فرکانس به هم نزدیک و نزدیکتر می شوند

سری فوریه تبدیل می شود به تبدیل فوریه
تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان

یک مثال جالب: موج مربعی

تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان
ثابت نگه می داریم
افزایش می دهیم
همچنانکه T افزایش می یابد نقاط گسسته در بعد فرکانس فشرده تر می شوند

بنابراین

تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان
برای سادگی، فرض کنید که x(t) دارای دوام محدود است
همچنانکه T∞، برای تمام tها

بنابراین

تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان
در این بازه زمانی
اگر تعریف کنیم:
در این صورت رابطه (1) تبدیل می شود به:

بنابراین برای محدوده –T/2<t<T/2

همچنانکه T∞، Σω0∫dω، ما به جفت رابطه ی تبدیل فوریه خواهیم رسید

تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان

این تبدیل حتی برای سیگنال x(t) که تا بی نهایت مقدار داشته باشد قابل استفاده است. البته با تحقق این شرط ها
انرژی محدود داشته باشد
در این حال انرژی خطا صفر است

شرایط دیریکله

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد
تبدیل فوریه برای سیگنالهای پریودیک نیز قابل استفاده است

مثال 1:
الف)

ب)

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد

مثال 2: تابع نمایی

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد
تقارن زوج
تقارن فرد

مثال 3: پالس مربعی در حوزه زمان

واقعیت های مفید در رابطه با تبدیل فوریه پیوسته در زمان

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد
رابطه معکوس بین عرض ها در حوزه زمان و فرکانس

مثال 4: تابع گوسی

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد
تابع گوسی در احتمالات، اپتیک و … مفید است
خود یک تابع گوسی است

فرض کنید

که در آن

در حالت عمومی تر

تبدیل فوریه سیگنال پیوسته در زمان برای سیگنال های پریودیک
یک سیگنال پریودیک در حوزه t و با فرکانس ω0
همه انرژی در یک فرکانس متمرکز است یعنی در ω0

مثال 5:

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد

مثال 5: تابع نمونه گیری

برای چه سیگنال هایی می توان از تبدیل فوریه استفاده کرد
شکل تابع در بعد فرکانس هم همانند بعد زمان است!
نکته: پریود در حزه زمان T و در حوزه فرکانس 2π/T است. رابطه عکس با هم دارند

خطی بودن

شیفت زمان
اثبات

دامنه تبدیل فوریه تغییر نکرده

تغییر در فاز تبدیل فوریه

خصوصیات تبدیل فوریه پیوسته در زمان

تقارن مزدوج

خصوصیات تبدیل فوریه پیوسته در زمان

اسکیل زمانی

الف) x(t) سیگنال حقیقی و زوج

ب) x(t) سیگنال حقیقی و فرد

پ)

خصوصیات تبدیل فوریه پیوسته در زمان