درس کنترل دیجیتال
بسم ا… الرحمن الرحیم
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش مکان ریشه توسعه یافته برای سیستم های زمان پیوسته را می توان بدون تغییری به سیستم های زمان گسسته تعمیم داد بجز اینکه مرز پایداری در محور در صفحه S به دایره واحد در صفحه Z تبدیل می شود.
دلیل اینکه روش مکان ریشه را می توان برای سیستم های زمان-گسسته تعمیم داد آن است که معادله مشخصه سیستم های زمان-گسسته از همان نوع مانند مکان ریشه در صفحه S است.
معادله مشخصه سیستم ذیل مطابق رابطه ارائه شده می باشد که مشابه معادله تحلیل مکان ریشه در صفحه S است:
طراحی بر اساس مکان ریشه
شرایط زاویه و اندازه:
در بسیاری از سیستم های کنترل زمان گسسته خطی تغییرناپذیر با زمان، معادله مشخصه را می توان به یکی از دو شکل ذیل بیان نمود:
برای ترکیب این دو شکل به یک شکل، معادله مشخصه به صورت ذیل تعریف می گردد:
که در آن:
طراحی بر اساس مکان ریشه
شرایط زاویه و اندازه:
در بسیاری از سیستم های کنترل زمان گسسته خطی تغییرناپذیر با زمان، معادله مشخصه را می توان به یکی از دو شکل ذیل بیان نمود:
برای ترکیب این دو شکل به یک شکل، معادله مشخصه به صورت ذیل تعریف می گردد:
که در آن:
تابع تبدیل پالسی حلقه باز:
طراحی بر اساس مکان ریشه
شرایط زاویه و اندازه:
شرایط زاویه:
شرایط اندازه:
مقادیری از Zکه هر دو شرط زاویه و فاز را برآورده نماید ریشه های معادله مشخصه یا قطبهای حلقه بسته هستند
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● شکلی از نقاط در صفحه مختلط که تنها شرط زاویه را براورده می کنند مکان ریشه است. ریشه های معادله مشخصه (قطبهای حلقه بسته) متناظر با یک مقدار داده شده ضریب بهره را می توان از شرط اندازه تعیین نمود
● به علت اینکه قطبهای مختلط مزدوج و صفرهای مختلط مزدوج حلقه باز، در صورتی که وجود داشته باشند نسبت به محور حقیقی همیشه بطور متقارن قرار می گیرند، مکان ریشه ها نسبت به محور حقیقی همواره متقارن می باشد، بنابراین لازم است که تنها نیمه بالای مکان ریشه را بسازیم و سپس تصویر آئینه ای نیمه بالا را در نیمه پائین صفحه رسم نمائیم
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
در ذیل قواعد کلی ساختن مکان ریشه عنوان می گردد:
مرحله 1: در این مرحله باید معادله مشخصه را بصورت ذیل بدست آورد:
معادله فوق را باید بصورت ذیل چنان اصلاح کرد که پارامتر مورد نظر مانند ضریب بهره K بعنوان عامل ضرب شونده به شکل ذیل ظاهر شود:
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
مطابق معادله فوق مشخص است که صفرهای حلقه باز صفرهای در حالیکه صفرهای حلقه بسته شامل صفرهای و قطبهای می باشد.
مرحله دوم-پیدا کردن نقاط شروع، نقاط پایانه ای و تعداد شاخه های جدا از هم مکان ریشه:
نقاط روی مکان ریشه متناظر با این مقدار قطبهای حلقه باز هستند
نقاط روی مکان ریشه متناظر با این مقدار صفرهای حلقه باز هستند
● وقتی از صفر تا بینهایت افزایش می یابد یک مکان ریشه از یک قطب حلقه باز شروع شده و در یک صفر پایاندار حلقه باز یا یک صفر بی پایان حلقه باز پایان می یابد.
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● پس منحنی مکان ریشه به تعداد ریشه های معادله مشخصه شاخه خواهد داشت.
● اگر تعداد قطبهای حلقه بسته n برابر تعداد قطبهای حلقه باز باشد، در آن صورت تعداد شاخه های جدا از هم مکان ریشه که در یک صفر پایاندار حلقه باز پایان می یابد برابر عدد m تعداد صفرهای حلقه باز است. تعداد n-m شاخه باقیمانده در بینهایت (در n-m صفر ضمنی در بینهایت ) در امتداد مجانبها پایان می یابد
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
مرحله سوم-تعیین مکان ریشه روی محور حقیقی: مکان ریشه روی محور حقیقی از قطبها و صفرهای حلقه باز قرار گرفته روی آن تعیین می شود. قطبها و صفرهای مختلط مزدوج تابع تبدیل پالسی حلقه باز تاثیری بر روی محل مکان ریشه روی محور حقیقی ندارند.
● در ساختن مکان ریشه روی محور حقیقی یک نقطه آزمایشی بر روی آن انتخاب کرده و از معیار ذیل استفاده می گردد:
● اگر تعداد کل قطب های حقیقی و صفرهای حقیقی در سمت راست این نقطه آزمایشی فرد باشد، در این صورت این نقطه بر روی مکان قرار دارد.
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
مرحله چهارم-تعیین مجانبهای مکان ریشه : اگر نقطه آزمایشی دور از مبدا قرار گرفته باشد، می توان زوایای تمامی کمیتهای مختلط را یکسان در نظر گرفت.
● برای مقادیر بزرگ مکان ریشه باید به خطوط مستقیمی که زاویه آنها در زیر داده می شود مجانب گردد:
● که در آن:
تعداد قطبهای پایان دار
تعداد صفرهای پایان دار
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
در اینجا با مجانبی که کوچکترین زاویه را با محور حقیقی می سازد متناظر است. اگر چه تعداد بینهایت مقدار را به خود می گیرد، با افزایش زاویه ها تکرار می شوند و تعداد مجانبهای متمایز است.
● تمام مجانبها همدیگر را روی محور حقیقی قطع می کنند. نقطه ای که در آن همدیگر را قطع می کنند مطابق ذیل بدست آورده می شود:
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● برای مقادیر بزرگ معادله فوق را می توان بصورت ذیل تقریب زد:
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● اگر طول نقطه تقاطع مجانبها و محور حقیقی را با نشان دهیم، خواهیم داشت:
● با معلوم بودن تقاطع مجانبها و محور حقیقی، مجانبها را می توان در صفحه مختلط رسم کرد.
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● مرحله پنجم- نقاط برشکست و نقاط درشکست: به علت تقارن مزدوجی مکان ریشه، نقاط برشکست و نقاط درشکست یا بر روی محور حقیقی هستند یا به صورت جفتهای مختلط مزدوج ظاهر می شوند.
● اگر مکان ریشه میان دو قطب حلقه باز مجاور روی محور حقیقی قرار گرفته باشد در این صورت میان این دو قطب حداقل یک نقطه شکست وجود دارد.
● بطور مشابه اگر مکان ریشه میان دو صفر مجاور (یک صفر ممکن است در قرار گیرد) روی محور حقیقی قرار بگیرد، در این صورت همیشه حداقل یک نقطه در شکست میان این دو صفر وجود خواهد داشت.
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● برای پیدا کردن نقاط شکست، معادله مشخصه ذیل در نظر گرفته می شود:
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● نقاط برشکست و درشکست را می توان از ریشه های معادله زیر تعیین کرد :
● اگر مقدار متناظر با یک ریشه از معادله مثبت باشد، نقطه یک نقطه برشکست یا درشکست است، زیرا نامنفی فرض شده است.
● اگر مقدار بدست آمده منفی باشد، نقطه نه نقطه برشکست و نه نقطه درشکست است.
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● مرحله ششم- تعیین زاویه ورود یا زاویه خروج مکان ریشه از قطبها یا صفرهای مختلط
● زاویه خروج (یا زاویه ورود) مکان ریشه از یک قطب مختلط (یا در یک صفر مختلط) را می توان با تفریق کردن مجموع تمام زوایای خطوط (کمیتهای مختلط) از همه قطبها و صفرهای دیگر به قطب مختلط (یا صفر مختلط) مورد نظر از 180 درجه با منظور کردن علامتهای مناسب پیدا کرد.
زاویه خروج از قطب
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● مرحله هفتم- پیدا کردن نقاطی که در آن مکان ریشه محور انگاری را قطع می کند
● نقاطی را که در آن مکان ریشه محور انگاری را قطع می کند با قرار دادن در معادله مشخصه (که شامل ضریب بهره نامشخص نیز هست) و صفر قرار دادن هم جزء حقیقی و هم جزء موهومی و حل کردن آنها نسبت به و بدست آورد.
● مقادیر و فوق به ترتیب محل تلاقی مکان ریشه با محور انگاری و مقدار ضریب بهره متناظر را به دست می دهند.
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● مرحله هشتم- یافتن قطبهای حلقه بسته برای یک ضریب بهره
● یک نقطه خاص وقتی قطب حلقه بسته خواهد بود که مقدار ضریب بهره شرط اندازه را برآورده نماید.
● شرط اندازه مطابق ذیل می باشد:
طراحی بر اساس مکان ریشه
روش کلی ساختن مکان ریشه:
● اگر مقدار ضریب بهره تابع تبدیل پالسی حلقه باز در مسئله داده شده باشد، در این صورت با اعمال شرط اندازه فوق می توان قطبهای حلقه بسته را برای یک داده شده در روی هر شاخه از مکان ریشه با روش خطا و آزمون تعیین کرد.
طراحی بر اساس مکان ریشه
دیاگرامهای مکان ریشه سیستم های کنترل دیجیتال
● در این بخش سیستم کنترل دیجیتال ذیل در نظر گرفته می شود:
● کنترل کننده دیجیتال از نوع انتگرالی می باشد:
طراحی بر اساس مکان ریشه
دیاگرامهای مکان ریشه سیستم های کنترل دیجیتال
● هدف این است که دیاگرام های مکان ریشه برای سه مقدار دوره تناوب نمونه برداری 5/ ثانیه، 1 ثانیه و 2 ثانیه رسم گردد. همچنین مقدار بحرانی را برای هر یک از این سه حالت تعیین کرده و در نهایت محل قطبهای حلقه بسته متناظر با را برای هر یک از این سه حالت بدست آوریم.
● حل: برای این منظور ابتدا تبدیل را بدست می آوریم:
طراحی بر اساس مکان ریشه
دیاگرامهای مکان ریشه سیستم های کنترل دیجیتال
● در این صورت تابع تبدیل پالسی پیش خور چنین می شود:
طراحی بر اساس مکان ریشه
دیاگرامهای مکان ریشه سیستم های کنترل دیجیتال
1-
در این حالت داریم:
در این حالت دارای قطبهائی در و و یک صفر در می باشد
برای رسم مکان هندسی ابتدا باید قطبها و صفرها را در صفحه مشخص کرد و سپس نقاط برشکست و درشکست را تعیین نمود.
طراحی بر اساس مکان ریشه
دیاگرامهای مکان ریشه سیستم های کنترل دیجیتال
نحوه بدست آوردن نقاط شکست:
نقطه برشکست
نقطه درشکست
طراحی بر اساس مکان ریشه
دیاگرامهای مکان ریشه سیستم های کنترل دیجیتال
نمودار مکان ریشه
مقدار بحرانی ضریب را می توان با استفاده از شرط اندازه بدست آورد:
چون مقدار بحرانی به ازای بدست آورده می شود، بنابراین بجای مقدار را قرار می دهیم:
قطبهای حلقه بسته متناظر با را می توان بصورت ذیل بدست آورد که در شکل ذیل با نقطه ها مشخص شده اند:
2- دوره تناوب
در این حالت داریم:
که دارای قطبی در و و صفری در می باشد
مقادیر نقاط برشکست و درشکست مطابق ذیل می باشند:
نقطه برشکست
نقطه درشکست
در این حالت مکان هندسی ذیل را خواهیم داشت:
در این حالت مقدار بحرانی ضریب بهره برابر می باشد
در این حالت قطبهای حلقه بسته متناظر با بصورت ذیل می باشد :
3- دوره تناوب
در این حالت داریم:
که دارای قطبی در و و صفری در می باشد
مقادیر نقاط برشکست و درشکست مطابق ذیل می باشند:
نقطه برشکست
نقطه درشکست
در این حالت مکان هندسی ذیل را خواهیم داشت:
در این حالت مقدار بحرانی ضریب بهره برابر می باشد
در این حالت قطبهای حلقه بسته متناظر با بصورت ذیل می باشد :
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
مشخصه های پاسخ گذرای سیستم کنترل زمان گسسته به دوره تناوب بستگی دارد ●
● اگر سیستم میرای ضعیف باشد، یک قاعده سرانگشتی آن است که در طول نوسانات سینوسی میرا شده 8 تا 10 بار باید از خروجی سیستم حلقه بسته نمونه برداری شود. برای سیستم های میرای شدید 8 تا 10 بار در طول زمان صعود پاسخ پله نمونه برداری گردد.
● تحلیل قبل نشان داد که برای یک مقدار داده شده ضریب بهره افزایش دوره تناوب نمونه برداری پایداری سیستم کنترل زمان گسسته را کمتر کرده و سرانجام آن را ناپایدار می کند. برعکس کاهش دوره تناوب نمونه برداری موجب می شود مقدار بحرانی ضریب بهره برای پایداری زیادتر شود.
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● برای سیستم ذیل نسبت میرائی قطبهای حلقه بسته را برای برای هر یک از سه حالت پیشین می توان مطابق دیاگرامهای ارائه شده بدست آورد
اثر دوره تناوب بر نسبت میرائی
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● مطابق شکل نسبتهای میرائی برای قطبهای حلقه بسته متناظر با ، و به ترتیب برابر با ، و می باشند
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● نسبت میرائی یک قطب حلقه بسته را می توان از محل قطب حلقه بسته در صفحه بطور تحلیلی نیز تعیین کرد
● اگر نسبت میرائی قطب حلقه بسته برابر باشد، در این صورت محل قطب حلقه بسته در صفحه (در نیمه بالای صفحه) را می توان بصورت زیر بیان کرد:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● نسبت میرائی را می توان از دو معادله فوق (اندازه و فاز) بدست آورد.
●بعنوان مثال برای دوره تناوب برابر 5/ ثانیه و برای قطب حلقه بسته را خواهیم داشت که از روی آن می توان نسبت میرائی را بصورت ذیل بدست آورد:
● که به مقدار که از روی گراف بدست آمد نزدیک می باشد.
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● مطابق شکل نسبتهای میرائی برای قطبهای حلقه بسته متناظر با ، و به ترتیب برابر با ، و می باشند
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● برای بررسی اثر در پاسخهای گذرا، دنباله های پاسخ پله واحد برای سه مقدار در نظر گرفته شده در تحلیل قبل مقایسه خواهیم کرد
● برای این منظور تابع تبدیل پالسی حلقه بسته را برای سیستم ذیل بدست می آوریم
اثر دوره تناوب بر پاسخ پله
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● در این صورت دنباله پاسخ پله واحد ذیل را خواهیم داشت:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● زاویه خطی که مبدا و قطب حلقه بسته غالب را در بهم وصل می کند مطابق شکل ذیل تقریبا 25/58 درجه می باشد.
● زاویه در واقع تعداد نمونه ها در هر سیکل نوسانات سینوسی را تعیین می کند.
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● باید توجه کرد که
● بنابراین برای زاویه همانطور که از شکل پاسخ پله مشهود است، تعداد نمونه در هر سیکل نوسانات میرا شده داریم
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● برای و داریم
● در این صورت پاسخ پله ذیل را خواهیم داشت:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● زاویه خطی که مبدا و قطب حلقه بسته غالب را در این حالت بهم وصل می کند مطابق شکل ذیل تقریبا 1/85 درجه می باشد و تقریبا نمونه در هر سیکل داریم که از مقدار توصیه شده به مراتب کمتر می باشد
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● برای و داریم
● در این صورت پاسخ پله ذیل را خواهیم داشت:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● زاویه خطی که مبدا و قطب حلقه بسته غالب را در این حالت بهم وصل می کند مطابق شکل ذیل تقریبا 87/143 درجه می باشد و در نتیجه نمونه در هر سیکل داریم
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● بنابراین مطابق شبیه سازیهای انجام داده اگر دوره تناوب نمونه برداری کوچک باشد در این صورت منحنی نسبت به تصویر روشن نسبتا دقیقی از پاسخ بدست می دهد. اما اگر دوره تناوب نمونه برداری کوچک نباشد در این صورت منحنی نسبت به نتایج دقیق را به روشنی تصویر نخواهد کرد.
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● اثر دوره تناوب بر دقت حالت دائمی
● برای این منظور برای هر یک از سه حالت قبل پاسخ شیب واحد را در نظر می گیریم
● برای حالتی که دوره تناوب برابر 5/ ثانیه و ضریب بهره برابر 2 باشد داریم:
● ثابت خطای سرعت استاتیکی
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● خطای دائمی در پاسخ به ورودی شیب مطابق ذیل خواهد گردید:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● اثر دوره تناوب بر دقت حالت دائمی
● برای حالتی که دوره تناوب برابر 1 ثانیه و ضریب بهره برابر 2 باشد داریم:
● ثابت خطای سرعت استاتیکی
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● خطای دائمی در پاسخ به ورودی شیب مطابق ذیل خواهد گردید:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● اثر دوره تناوب بر دقت حالت دائمی
● برای حالتی که دوره تناوب برابر 2 ثانیه و ضریب بهره برابر 2 باشد داریم:
● ثابت خطای سرعت استاتیکی
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● خطای دائمی در پاسخ به ورودی شیب مطابق ذیل خواهد گردید:
اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا
● باید توجه گردد که نسبت میرائی قطبهای حلقه بسته سیستم کنترل دیجیتال تنها وقتی نشانگر پایداری نسبی است که فرکانس نمونه برداری به قدر کافی بالا باشد(8 نمونه یا بیشتر برای هر سیکل نوسانی میرا شده). اگر دوره تناوب نمونه برداری پائین باشد (کمتر از 6 نمونه برای هر سیکل نوسان سینوسی میرا شده) در این صورت پیش بینی پایداری نسبی از نسبت میرائی نادرست است
● نتیجه گیری:
● سه حالت در نظر گرفته شده در فوق نشان می دهند که افزایش دوره تناوب نمونه برداری اثر معکوس بر پایداری نسبی سیستم می گذارد. حتی در برخی مواقع ممکن است موجب ناپایداری شود.
● مثال: سیستم کنترل دیجیتال ذیل در نظر گرفته می شود، یک کنترل کننده دیجیتال در صفحه چنان طراحی کنید که قطبهای حلقه بسته غالب دارای نسبت میرائی 5/ بوده و زمان مستقر شدن آن 2 ثانیه باشد. دوره تناوب نمونه برداری برابر 2/ ثانیه فرض شده است. پاسخ سیستم کنترل دیجیتال طراحی شده را به ورودی پله واحد بدست آورید. همچنین ثابت خطای سرعت استاتیکی سیستم را بدست آورید.
● برای سیستم مرتبه دوم استاندارد با یک جفت قطب حلقه بسته غالب، زمان مستقر شدن 2 ثانیه بدین معناست که:
● بنابراین فرکانس طبیعی میرا شده سیستم مطابق ذیل خواهد بود:
● همچنین چون زمان نمونه برداری 2/ ثانیه است داریم:
● بنابراین در قیاس با فرکانس طبیعی میرا نشده تقریبا 9 نمونه در هر سیکل نوسان میرا شده داریم که رضایت بخش است
● برای بدست آوردن قطبهای حلقه بسته غالب سیستم از روابط ذیل استفاده می کنیم:
● بنابراین:
● معادل نقطه در شکل ذیل
● با توجه به اینکه دوره تناوب نمونه برداری 2/ ثانیه است، تابع تبدیل پالسی دستگاهی که نگهدارنده مرتبه صفر پیش از آن قرار دارد را می توان به صورت زیر بدست آورد:
● در این صورت قطبها و صفر را مطابق شکل ذیل در صفحه معین می کنیم.
● اگر نقطه باید محل قطب حلقه بسته غالب مورد نظر در نیمه بالای صفحه باشد در این صورت مجموع زوایا در این نقطه باید باشد این در حالی است که مجموع زوایا مطابق شکل چنین است:
● نقص زاویه
● در نتیجه: تابع تبدیل پالسی کنترل کننده باید 51/26+ را فراهم نماید. برای این منظور تابع تبدیلی بصورت ذیل در نظر گرفته می شود:
● نحوه تعیین قطب و صفر فوق:
● صفر کنترل کننده را طوری انتخاب می کنیم که با قطب در حذف شود
● قطب کنترل کننده را طوری انتخاب می کنیم که زاویه 51/26+ را فراهم نماید
● پس ساختار کنترل کننده ذیل را خواهیم داشت:
تابع تبدیل حلقه باز
بدست آوردن ثابت از شرط اندازه
● پس کنترل کننده دیجیتال طراحی شده ذیل را خواهیم داشت:
● تابع تبدیل پالسی حلقه باز سیستم کنونی
● تابع تبدیل پالسی حلقه بسته
● پاسخ پله:
● می توان نشان داد که شکل پاسخ پله مطابق ذیل خواهد گردید:
● مطابق شکل حداکثر فراجهش تقریبا 16 درصد(به معنای نسبت میرائی تقریبا 0/5) و زمان مستقر شدن تقریبا 2 ثانیه است. و بنابراین کنترل دیجیتال طراحی شده شرایط مورد نظر را براورده می سازد.
● ثابت خطای استاتیکی مطابق ذیل بدست آورده می شود:
● اگر لازم باشد که مقدار بزرگی برای داشته باشیم، در این صورت باید جبران کننده پس افت در نظر بگیریم. مثلا اضافه کردن یک صفر در و یک قطب در مقدار را سه برابر افزایش می دهد:
● تذکر:
● جبران کننده پس افت که دارای یک قطب و صفر بسیار نزدیک هم باشد، مکان ریشه را در نزدیکی قطبهای حلقه بسته غالب به مقدار قابل ملاحظه ای تغییر نمی دهد. اثر جبران کننده پس افت بر پاسخ گذرا، بوجود آمدن مولفه گذرای کوچک اما با کاهش آهسته است. اما چنین گذرای کوچک اما آهسته، از دیدگاه اغتشاش یا تضعیف نویزی مطلوب نیست، زیرا پاسخ ناشی از اغتشاشات سریعا تضعیف نخواهد شد.