پاورپوینت اندازه حرکت و کاربردهای آن

به نام آن که فکرت آموخت
مکانیک کوانتومی
نوشته بالنتین
فصل 5
اندازه حرکت وکاربردهای آن

آنچه در این فصل می خوانیم :
1- نمایش تکانه
2- توزیع تکانه در یک اتم
3- قضیه بلوخ
4- تئوری پراش
5- آزمایش پراش
6- حرکت در میدان یکنواخت نیرو

تکانه با انتخاب بردارهای یکه به عنوان سه مولفه ازاین عملگر تعریف می شود
شرایط راست هنجاری را برای مقادری که به فرم پیوستارند به شکل زیر می پذیریم
که یک ویژه بردار با هنجار بینهایت است.
برای پیدا کردن ویژه بردارهای تکانه ومکان به بررسی ضرب داخلی آنها می پردازیم
(4-1)
(4-3)
با به کار بردن رابطه های زیر:
و

نمایش تکانه

که جواب آن به صورت زیر است
نتیجه این که :
با جایگذاری در * داریم :
*
نمایش در فضای مکان یک تابع از x است
از شرط بهنجارش داریم :

به همین ترتیب نمایش در فضای تکانه به این صورت است
تبدیل فوریه است
هر عملگر در فضای خود قطری است بنابراین در فضای قطری است.
اثرعملگرمکان به این صورت است:

بنابراین عملگر مکان در فضای تکانه به این شکل است
ویژه بردارهای تکانه نابهنجارند بنابراین متعلق به فضای هیلبرت نیستند
با وجود این که این موضوع مشکلی ایجاد نمی کند اما فرض می کنیم فضای ما مکعبی با ابعاد بزرگی از L است .به این صورت از بی نهایت شدن نرم جلوگیری می کنیم و شرایط مرزی دوره ای را اعمال می کنیم.
اگربخواهیم عملگرتکانه در به صورت دوره ای باشد مقادیرمجاز به ازای شرایط مرزی مضرب صحیحی از خواهد بود.
بنابراین یک مقدار مجاز kبرای هر در فضای kوجود دارد.
با نشان دادن ویژه بردارهای این مکعب به صورت زیر آن ها را از قسمت قبل جدا می کنیم

به این صورت ویژه بردار ها را بهنجار کردیم پس از شرایط راست هنجاری را ارضا می کنند
در حد نتیجه این روش باید با فضای بدون مرزمطابقت کند .در صورتی که رابطه در این حد به تبدیل نمی شود.
آن چه برای ما اهمیت دارد مقدار چشم داشتی مشاهده پذیری چون روی حالت
است
چگالی احتمال در فضای اندازه حرکت است.بنابراین نتیجه روش اول به این صورت است

در دومین روش (جعبه ای) احتمال در فضای اندازه حرکت به ازای مقادیر گسسته در است. (k مقادیر مجاز در شرایط مرزی)
مجموع برای مقادیر مجازk در شبکه است.برای L بزرگ (در هر حجم در فضایk )مقادیر مجاز k متراکم می شود

در L های بزرگ مقایسه رابطه 5-8 با 5-4 نشان می دهد که :
پس نتیجه دومین روش مشابه پاسخ اولین روش است با تفاوت در یک ضریب

توزیع تکانه در یک اتم

طبق تئوری , توزیع احتمال اندازه حرکت برای حالت به شکل زیر است
ساده ترین حالت , اتم هیدروژن با یک الکترون ویک پروتون است
یونش اتم هیدروژن با باریکه ای از الکترون با انرژی بالا انجام می گیرد

معادله پایستگی تکانه ایجاب می کند که :
و تکانه الکترون و پروتون قبل از برخورد هستندو تکانه نهایی هسته پس از یونیزاسیون است.
برخورد الکترون پر انرژی و الکترون اتمی به سرعت اتفاق می افتد بطوری که الکترون بدون تاثیر بر هسته پس زده می شود .بنابراین :
آشکارسازها به صورتی تنظیم می شوند که طول و مساوی شود و هردو زاویه یکسانی نسبت به تکانه فرودی داشته باشند. چون سه بردار و و لزوما هم صفحه نیستند.
بنابراین طبق شکل زاویه میان صفحه و و صفحه و مساوی است

اندازه تکانه الکترون اتمی به شکل زیر به دست می آید :
در این آزمایش برای زاویه ثابت به ازای مقادیر مختلف تغییر می کند.اگر ترم در معادله وجود نداشت سه بردار و و درون یک صفحه قرار می گرفتند ولی اکنون مقدار متناسب با است.
احتمال رخداد چنین پدیده پراکندگی با سطح مقطع پراکندگی الکترون – الکترون ( ) برای برخورد الکترون فرودی و اتمی متناسب است ودر نهایت در احتمال اینکه الکترون اتمی دارای اندازه حرکت باشد ضرب می گردد.
آهنگ آشکارسازی مشاهده شده برای چنین رویدادی عبارت است از
مقطع برخورد پراکندگی برای الکترون تابعی از انرژی الکترون ها و زاویه پراکندگی است .بنابراین مقدار ثابتی به خود اختصاص می دهد.

آهنگ آشکارسازی تنها مقداری متناسب با توزیع تکانه الکترون اتمی دارد که این امکان یک مقایسه صریح میان تئوری وتجربه را ممکن می سازد.سایر نکات ارائه شده در مورد این آزمایش به این صورت است .
اول اینکه :
تمامی الکترون ها یکسانند .پس امکان تفکیک الکترون پراکنده شده و الکترون پس زده غیر ممکن است که با انتخاب , توجیه این مسئله آسان است
دوم اینکه :
برخورد الکترون با اتم را می توان به دو صورت در نظر گرفت .
یکی شامل برخورد الکترون–الکترون بهمراه یک پروتون که نقش ناظررا بازی می کند
و دیگری برخورد الکترون – پروتون که درآن الکترون ناظربا انرژی کم میل به پس زده شدن دارد

اکنون دلیل انتخاب معین شد.با این عمل برخوردهای نا خواسته را (برخوردالکترون- پروتون) حذف کرده ایم.
پاسخ حالت ساکن (مانا) معادله شرودینگربرای ذره به جرم M در پتانسیل متقارن کروی به صورت زیر است :
( C ضریب بهنجارش و )
برطبق رابطه10- 5 توزیع احتمال اندازه حرکت متناسب با مربع تبدیل فوریه است.
انرژی الکترون فرودی بایستی از انرژی حالت پایه اتم هیدروژن ( ) بیشتر باشد اما تا آنجا که به مقدار احتمال لطمه نزند زیرا:
در نها یت به سازگاری تئوری و تجربه خواهیم رسید.

قضیه بلوخ

این قضیه به بررسی حالت های ساکن برای سیستم های تناوبی مانند کریستال ها در فیزیک حالت جامد می پردازد
بردار انتقال برای یک کریستال به این صورت تعریف می شود:
شبکه تحت این انتقال ثابت می ماند می خواهیم هامیلتونی نیز ناوردایی خود را حفظ کند برای این همخوانی عملگر یکانی را به صورت زیر تعریف می کنیم:

در نتیجه k حقیقی است.
عملگر یکانی است بنابراین باید داشته باشیم:
این نتایج برای هر سیستمی با پتانسیل دوره ای صادق است
این عملگر های یکانی با یکدیگر و همچنین با H جابجا می شوند. پس داریم:
آنچه در معادله ویژه مقداری دوم صدق می کند به شکل زیر است:

ویژه تابع یک ذره در فضای مکان به شکل زیر است:
تعریف می کنیم:
ویژه توابع مشترک H و به شکل زیر به دست می آیند:
K بردار بلوخ است.
تابع موج بلوخ را به صورت یک سری امواج تخت بسط می دهیم:

بلوخ این قضیه مهم را اثبات کرد که پاسخ های معادله شرودینگر برای یک پتانسیل دوره ای باید به شکل خاص ای باشد
موج تخت دوره شبکه بلور=
با جایگزینی بسط در ویژه توابع مشترک داریم:
این رابطه در صورتی سازگاری دارد که در شرط صدق نماید .
بردار هایی که این شرط را ارضا می کنند عبارتند از:
بردار شبکه وارون است.

ساده ترین شبکه ای که می توان برای در نظر گرفت یک شبکه ساده است که یاخته آن مربعی به ضلع a است. شبکه وارون آن نیز یک شبکه مربعی به ضلع است.
رابطه جایگزین در بسط را به شکل زیر بازنویسی می کنیم :
از آنجا که بسط روی امواج تخت بسط روی ویژه توابع تکانه است توزیع تکانه برای رابطه بالا گسسته است .

تئوری پراکندگی پراش

هدف ما در این قسمت بررسی تئوری پراش و کاربردهای کوانتوم در این قسمت است.
پراکندگی پراش به وسیله آرایه دوره ای:
این مسئله را از دو روش متفاوت دنبال می کنیم :
چگونگی چگالی احتمال
توزیع احتمال تکانه
a- چگونگی چگالی احتمال
اولین روش حل معادله شرودینگر با در نظر گرفتن شرایط مرزی برای باریکه فرودی است

هدف تعیین در آشکارسازهاست.
حل معادله تنها باروش های فیزیک نور آسان می گردد.بنابراین بدون در نظر گرفتن تعابیر فیزیکی به کاربرد روش های ریاضی اپتیکی در بالا می پردازیم.
معادله شرودینگر

تکانه باریکه فرودی ذرات است.
اگر اختلاف راه طی شده برای در پرتو از منبع تا آشکارساز مضرب صحیحی از طول موج فرودی پراکنده شده باشد ایجاد تداخل می کنند.
نتیجه آن وجود مقادیر قابل توجهی از در آشکارسازهاست .
نتیجه به دست آمده توسط خاصیت دوگانه موجی- ذره ای تفسیر می شود.
b- توریع احتمال تکانه:
احتمال اینکه یک ذره اندازه حرکت را داشته باشد معادل است با این که ذره در راستای حرکت کند

با نوعی آرایش دوره ای بهمراه یک فضای تکانه به یاد قضیه بلوخ در حالت دو بعدی می افتیم
سیستم دوره ای در جهات x و y است حل معادله شرودینگرشکل دو بعدی تابع موج بلوخ را می دهد.
اما پاسخ کلی معادله شرودینگر ترکیب خطی از معادله بالا است که به منظور صدق در شرایط مرزی در آن تولید شده است.
1 – تابع موج فرودی برای z>0 شامل امواج تخت با است.
2 – تابع موج به شکل تابع بلوخ با است.
3 – برای فضای آزاد بالای کریستال w=0 است و داریم :

(z>0)
احتمال اینکه یک ذره در جهت پراکنده شود برابر است با
بنابراین داریم:

مولفه توسط مقدار و شرط پایستگی انرژی معین می گردد.
مقادیر منحصر به مجموعه ای گسسته می گردند بنابراین پراکندگی تنها در مجموعه ای از جهات گسسته رخ می دهد زیرا:
مولفه z تکانه تابع شرایط کوانتیدگی نیست زیرا شبکه در جهت z دوره ای نبوده است.
برای مقایسه با روش اول:
آرایه های دوره ای از اتم ها در بعدy در نظر می گیریم بنابراین

اگر در نتیجه روش اول قرار دهیم:
سه مثال متعارف برای وابستگی دوره ای بودن و گسستگی :
1- تناوب فضایی با دوره تناوبa
2- تناوب زمانی با دوره تناوب T
3- تناوب گردشی با دوره تناوب
آنچه در تمامی مثال ها مشترک اند تناسب کوانتوم با عکس دوره تناوب X است

پراش دو شکافی

عبور گروهی از ذرات مشابه از پرده ای که دو شکاف دارد.
اگر فقط یکی از شکاف ها باز باشد توزیع فضایی یکنواختی خواهیم داشت که پهنای آن به عرض شکاف بستگی دارد.
اما اگردوشکاف بازباشند توزیع فضایی ذرات یک الگوی تداخلی ایجادخواهد کرد.
که وضعیت ماکزیمم و مینیمم ها قابل اندازه گیری است.
فرض کنید که بتوان الگوی تداخلی ساخته شده ازنقاط متوالی الکترون های رسیده را در همان لحظه دید.نسبت الکترون های ورودی کم است به طوری که در هر لحظه فقط یک الکترون بین چشمه وآشکارساز وجود داشته باشد.
طرح پراش را می توان بر حسب بر هم کنش الکترون- الکترون توصیف کرد.

الکترون را نمی توان با یک بسته موج نشان داد به دلیل اینکه مکان یک الکترون خیلی ظریف تر از پهنای فرانژهای تداخلی است.
الگوی تداخل فقط یک توزیع آماری از ذرات پراشیده می باشد.
البته این موضوع یک نقض ازاحتمالات کلاسیکی روی نظریه کوانتوم را ایجاد کرده است.
اگر فقط شکاف 1 باز باشد احتمال آشکارسازی یک ذره درمکان xبه صورت است و به همین ترتیب اگر فقط شکاف 2 باز باشد احتمال آشکار سازی درx به صورت است. اگر هر دو شکاف باز باشند احتمال آشکارسازی در x به صورت است.
الکترون مجبور است یا از شکاف 1 عبور کند یا از شکاف 2 .
بنابراین از قانون جمع احتمالات داریم:

اما سه احتمال همگی اندازه گیری شدند وهیچ تساوی حاصل نشد.بنابراین نتیجه می گیریم که قانون جمع تئوری احتمال درمکانیک کوانتومی رعایت نمی شود.
( تابع موج – شکاف1 باز و شکاف 2 بسته) =
نباید از به جای استفاده کرد شکل اول مربوط است به حالتی که وضیعت از ابتدا معلوم باشد و تا آخر آزمایش تغییر نکند .در حالی که اینجا وضعیت در حال تغییر است.
سه شرایط مجزا را در نظر می گیریم
( تابع موج – شکاف 2 باز و شکاف 1 بسته) =
( تابع موج – شکاف 1 باز و شکاف 2 باز) =
در آزمایش مشاهده می کنیم که :

پراکندگی پراش و آزمایش :
پراکندگی پراش ازساختارهای دوره ای (معمولا شبکه های کریستالی) برای بسیاری از ذرات مشاهده شده است

طول موج موثر به یک ذره مرتبط شد به صورت تجربی از 5-25 به دست می آید باp ذره مرتبط است
به وسیله فرمول دوبروی که ثابت پلانک است

بنابراین آزمایشات پراش یک راه اندازه گیری ثابت جهانی را به وجود می آورد
را برای فوتونها با رابطه زیر مشخص می شود
فرکانس پرتو تابش , در طول یک انتقال بین دو سطح انرژی است.
هرچند اندازه گیری پارامتر با اندازه گیری مستقیم کمیت ها ممکن است,اما مقادیر صحیح تر از ترکیب یک اندازه گیری غیر مستقیم می تواند به دست آید.
از این جا نشان داده شده است که اختلاف نسبت و ازمقدار واحد کسری از مرتبه است.

نتایج برای اتم هلیم و مولکولهای هیدروژن سازگار است زیرا که پدیده پراش مخصوص ذرات ساده نیست .
یک ذره به جرم با سرعت حرکت می کند(درمقایسه با سرعت نور کوچک است) نشان می دهد طول موج در یک آزمایش پراش است.
اگر یک موج فیزیکی حقیقی در فضا در حال انتشار باشد با این طول انتظار داریم که یک ترکیب از چند ذره که با چندین طول موج در ارتباط است و همه طول موجها (‍‍‍‍ ), در الگوی پراش ظاهر می شوند.اما این اتفاق نمی افتد.
فقط یک طول موج مرتبط با اندازه حرکت کل در یک سیستم مرکب مشاهده شده است .
در پراکندگی پراش قرار است انتقال تکانه کوانتیزه باشد.
سایز کوانتوم به دوره شبکه وابسته است. بنابراین نتایج مشاهده شده برای مجموعه ای از ذرات قابل پذیرش است.

مثال کلاسیکی , پراش نور به وسیله توری است که یک پراکندگی دوره ای از ماده است. وارون این پدیده , پراش ماده به وسیله نور است که با اثر دیراک نشان داده شده است.
اتم های سدیم خنثی به وسیله یک موج تخت ایستاده میدان لیزر منحرف شده است .اتم ها به خاطر قطبش الکتریکی شان با میدان برهم کنش دارند.انرژی برهم کنش با مربع میدان الکتریکی متناسب است. از این روتناوب فضایی وجود دارد که شدت (مربع دامنه) نصف طول موج لیزر می شود .
هم اکنون تداخل سنج اتمی یک رشته در حال رشد و پیشرفت است.اخیرا آزمایشاتی که معادل اتمی تداخل الکترون هاست انجام گرفته است.

باریکه فرودی در A به باریکه عبوری AC و باریکه پراشیده AB تقسیم می شود.
آزمایشات تداخل نوترونها با تداخل سنج تک کریستالی امکان پذیر است. این کریستال با شکل زیرازیک کریستال سیلیکان در حدود 10سانتی مترساخته شده است.
تداخل دامنه های دو باریکه با دو آشکارساز در و مشاهده می شود.
دامنه درمجموع بخش های عبوری CD به اضافه بخش های پراشیده BD است

فرض می کنیم که ضرائب بازتاب و عبور در هر یک از رئوس A و BوC و D یکسان هستند.
فقط دو راستای انتشار متمایز مورد بحث است.
شکل زیریک قله پراش کلی را شرح می دهد
تحول وانتشار با عملگرهای واحد خطی مشخص می شود.
ارتباط بین دامنه های موج خروجی و ورودی به این شکل است :
عناصر t وu ضرائب عبور و عناصرr وs ضرائب بازتابند

چند رابطه بین درایه های U وجود دارد که به دلیل واحد بودن آن است.
دترمینان ماتریس واحد باید دارای قدر مطلق 1باشد.
از رابطه داریم :
از دورابطه آخر می رسیم به:
با استفاده ازنامساوی مثلثی:

فراوانی درB
فراوانی در c
دامنه ای که به سوی آشکارساز پیش می آید مجموع دامنه ها از مسیرهای
و است
به همین ترتیب دامنه ای که به سوی پیش می آید
بنابر روابط قبلی داریم:
این موضوع در صورتی با نامساوی سازگار است که tu و -rs فاز مختلط یکسانی داشته باشند
حقیقی و منفی

که در آن از روابط روبه رو استفاده کردیم
هر اختلالی که یک اثر نابرابر روی فازهای مرتبط با دو مسیردارد روی شدت باریکه های رسیده به آشکارسازها موثر خواهد بود.
چون فاز منفی است,می فهمیم که اثر تداخل بین دو جمله در5-36 ویرانگر است و برعکس.
تداخل کوانتومی گرانشی :
تداخل سنج حول محور افقی موازی با پرتو فرودی چرخانده می شود و باعث تفاوت درپتانسیل گرانشی در مسیرهای AC و BD می شود و از این رو تغییر فاز در الگوی تداخل ایجاد می شود.

تغییر فاز بین دو مسیر از ثابت بودن مجموع انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی محاسبه می شود.
فاز در طول راه تغییر می کند و با فرمول نشان داده می شود.
از آنجا که انرژی پتانسیل در مقایسه با انرژی کل کوچک است داریم که:
اختلاف فاز بین دو مسیر است که تغییرات مربوط به z است

در دومین تساوی از رابطه زیر استفاده کردیم:
اکنون انتگرال حول یک مسیر بسته فقط تصویر عمودی از مساحت محصور شده با مسیر است.

حرکت در میدان یکنواخت نیرو

اگریک سیستم فیزیکی تحت تبدیل فضا ناوردا باشد بررسی آن در فضای تکانه آسانتر از فضای اندازه حرکت است.
مثال:
حرکت ذره آزاد را در یک بعد
در فضای مکان این مسئله نیازمند حل یک معادله دیفرانسیلی جزئی مرتبه دوم است.
درفضای اندازه حرکت بردارحالت شرح یک بعدی معادله 5-5 است.
معادله شرودینگر:

جواب آن به این صورت است:
وبا یک تبدیل فوریه به فضای مکان می رود.
مثال :
که تبدیل فوریه آن به صورت روبه رو است:
و وابستگی زمانی تابع حالت از* به دست می آید
*

با تغییر متغیر در نما داریم:
اکنون به بررسی یک ذره در میدان نیروی همگن می پردازیم
مولفه های اندازه حرکت در راستای عمود بر نیرو ثابت خواهد بود.فقط حرکت کردن در راستای نیرو را داریم و بنابراین مسئله به طوراساسی یک بعدی است .
پتانسیل به صورت روبه رو است : W= -Fx
اگر چه نیرو تحت تبدیل ناوردا است اما هامیلتونی ناوردا نیست

معادله شرودینگر تحت مجموع دو تبدیل ناوردا است:
فقط به حساب کردن یک ویژه تابع انرژی نیاز داریم
این یک معادله ی دیفرانسیلی درجه اول است در صورتی در نمایش مکان که یک معادله ی درجه 2 به دست می آید
حل آن به صورت زیر است
و با یک تبدیل فوریه داریم:

حقیقی است چون
بنابراین ویژه تابع برای انرژی های متفاوت با رابطه زیر شرح داده می شود :
بدین ترتیب کافی است به بررسی برای E=0 بپردازیم
اما می توان رفتار مجانبی آن را درحد بررسی کرد.
تابع یک Ariy function است و حل ساده ای ندارد.

با تشکر از:
جناب آقای دکتر جلالی
و دوستان گرامی