Multiplying
Larger Numbers
You can introduce your child to the general concepts of multiplication at quite a young age – see my article 'Introducing multiplication' for some ideas about how to do this. But moving from the practical application to written arithmetic can cause difficulties for many children. All too often, text-books present multiplication as a formula to be learned, without full and complete explanation as to why it works. Children may follow examples, and even work some correctly on their own. But if they don't know why the technique is successful, they are likely to get it wrong – perhaps missing out a line, or forgetting to multiply by tens or hundreds as appopriate. No amount of drill or busy-work will help a child to understand something which isn't explained properly in the first place. So if you have any doubts about your child's understanding of the basic concept of multiplication, don't introduce it on paper just yet!
When you're sure your child is familiar with the principles, you can see if he's ready to think about learning how to multiply large numbers, and the shorthand techniques for doing so.
Firstly, however, introduce the idea of simple multiplication in terms of carpet tiles on a floor. If you want to multiply 4 by 6, for instance, you could represent it like this:
Assume that there are 6 cm (or inches, if you prefer – not to scale) along the top, and four down the side. The total, which can be counted – or checked on a multiplication grid – is 24.
It's also easy to multiply by 10 or by multiples of 10. Again, if your child is not familiar with doing this, don't continue any further with this topic until he is. He should be able to see for himself how to multiply by 10, and also by 100, and have a good understanding of place value, before he can fully understand written multiplication. If the grid above were 6 by 40 cm instead of 6 by 4, there would be 240 square cm in all. If it were 60 by 40, there would be 2400. Before doing any long multiplication, it's crucial to understand about place value, and how to multiply and divide by 10, so ensure your child does know the methods.
Now, what happens if you want to multiply 6 by a larger number such as 64? You're unlikely to want to create a tables chart that goes up that far. Of course, you could use a calculator. If that's your child's immediate choice, encourage it. But offer to show him how to do it on paper as well. If he's been introduced to multiplication in ways that are enjoyable, he will probably want to know how he can multiply larger numbers without the calculator. So draw another diagram. Rather than dividing +
Imagine that the top is 64 cm and the side is 6 cm high. To a child who has only done simple multiplication, this could look quite daunting. But ask your child how you might split the rectangle up into countable sections. For instance, he might suggest marking the top in tens, so that you would have six lots of 10 x 6 rectangles, and a 4 x 6 rectangle at the end. This would be an excellent way of finding out the answer, and a child is most likely to remember things like this which he has discovered himself.
Once your child has tried various methods, show him (if he hasn't thought of it for himself) how you could divide it into two rectangles, one of 60 x 6 and the other 4 x 6, like this:
The larger, yellow section represents 60 x 6, the smaller, blue section at the right represents 4 x 6.
Since 6 x 6 = 36, your child knows that 6 x 60 = 360. He also knows that 4 x 6 = 24. Adding them together, you get a total of 384.
It's a good idea to check this kind of answer on a calculator, to be sure you haven't made any mistakes. It's also fun for a child to see that he has found the right result! If he liked this challenge, try some other, similar problems which he can do by splitting into two simple multiplication problems, and then adding them together.
When your child is familiar with this kind of problem solving – and this may happen in half an hour when he's in the mood for concentrating on new ideas, or it may take place over several weeks, or even months – then is the time to show how he can write out a multiplication problem on paper, as a shorthand for a diagram and repeated addition:
64
x 6
——-
Explain that the first thing to do is to multiply the 6 by the 4 of 64, which gives 24, just as it did when using the diagram technique. If your child is not yet familiar with 'carrying' tens, simply write the 24 down:
64
x 6
——-
24
Now explain that the 6 must also be multiplied by the 60 part of 64. Don't say 'by the 6' because many children become confused at that. The '6' in '64' is not representing the number 6, but the number 60. When we multiply 6 by 60, we get 360. So put that underneath the 24:
64
x 6
——-
24
360
Then add 24 to 360 – by whatever method your child likes to add – and you will get the answer 384.
If your child is confident with carrying units, and fairly complex addition, you can explain that, when you multiply the 6 by the 4 and get 24, you usually just write down the '4', as that's the 'units' part of the answer, and remember that there are an extra 20 units waiting. This is often written as a little '2' under the tens column, like this:
64
x 6
——-
4
2
Then when you multiply 6 by 60, and get 360, you must add in the extra 20 units which are waiting, to get 380. As you already have the units part of the answer, add 380 to 4 and again you will have 384.
This is a complicated process for a child to grasp, and needs a great deal of practice. Not busywork or drill, which generally just make a child bored with the whole subject, but examples in real life, and problems to solve at odd moments. Keep returning to the idea that multiplication is repeated addition, and counting out lego pieces or carpet tiles or measuring anything appropriate that shows in practical terms what multiplication is. If your child enjoys working out new methods, and finds the techniques fun, suggest that you could give him a new problem each week, and challenge him to solve it in three different ways each time. If he finds this easy, you could see if he can work out how to multiply a three-digit number by a single-digit number. Start with lower numbers, to avoid 'carrying', such as 213 x 3. Always encourage your child to check his workings on the calculator. This teaches him to check his work, and also gives immediate feedback which is non-emotive. He may surprise you by trying much higher numbers and developing his own techniques. That's fine: there are usually several possible methods to solve any kind of mathematical problem, and none is inhernently better than any other. Eventually your child will want to know the quickest techniques of solving problems on paper, but in the meantime he will enjoy maths much more if he has as much time and space as he likes to work out number relationships in his own way.
http://www.geocities.com/Heartland/Lake/3262/maths/multiplying_larger.htm
ضرب اعداد بزگتر :
شما می توانید معرفی کنید به فرزندتان مفاهیم عمومی ضرب را در سن نسبتا جوانی .نگاهی بیندازید به مقاله من( معرفی ضرب)برای بعضی ایده ها درباره اینکه چگونه اینکار را می کند .اما موثر از امتحان عملی مناسب برای نوشتن ریاضیات می تواند باعث مشکلاتی برای بچه های زیادی شود .در اکثر مواردکتابهای متنی ضرب را به عنوان یک فرمول ارائه می دهند که باید یاد گرفته شود،بدون توضیح کامل و مناسب به این صورت که چرا آن کار را می کنند .ممکن است بچه ها مثالهایی را بفهمند و حتی بعضی از آن مسائل را خودشان بصورت صحیح کار کنند (حل کنند)اما اگر آنها ندانند که چرا تفکیک موفقیت آمیز است ،احتمالا آنها آن را اشتباه به دست می آورند شاید اشتباه بیش از یک خط،یا ضرب ده تایی و صد تایی را فراموش کنند .مقادیر تمرین یا کار کردن تمرینات به یک بچه کمک نخواهد کرد که بفهمد چیزی را که در اولین مرحله به صورت صحیح توضیح داده نشده است .بنابراین اگر شما هرگونه تردید درباره درک مفاهیم اصلی ضرب در مورد فرزندتان دارید هنوز معرفی نکنید که آن را روی کاغذ بنویسد.وقتیکه شما مطمئن شدیدکه فرزند شما با اصول آشناست ،شما می توانید ببینید اگر او حاضر به فکر کردن درباره یادگیری ضرب اعدادبزرگتر است ،و تکنیکهای تند نویسی را برای انجام آن.
اولا ،هر چند که ایده ضرب ساده رادر مورد گرههای قالی روی کف اتاق معرفی می کنیم .اگر شما می خواهید ضرب 4×6را انجام دهید ،برای نمونه ،شما می توانید آن را به صورت شکل زیر ارائه دهید.
فرض کنید که وجود دارد 6 سانتی متر (یا اینچ اگر شما ترجیح می دهید مقیاس مهم نیست)در امتداد سر ،و 4 سانتی متر پایین تر از طرفین .کلا ،چیزی که می تواند شمرده شود،یا چک شودبا یک ضرب خطی ،24 است.همچنین آن ساده است برای ضرب در 10 یا بوسیله مضاربی از 10 .دوباره،اگر فرزند شما آشنا به این روش انجام نبود ،هیچ چیز بیشتر ی در مورد این موضوع ادامه ندهیدتا وقتیکه او آشنا نیست.او باید قادر باشد برای خودش که ببیند چگونه ضرب در 10 صورت می گیرد و همچنین ضرب در 100،و یک فهم خوب از ارزش مکان دارد.قبل از اینکه او بتواند بصورت کامل نوشتن ضرب را درک کند اگر در خط بالا 6در 40 سانتیمتر به جای 6×4 وجود داشت ،باید 240 سانتیمتر مربع در کل بود .اگر 60در 40 بود ،باید 2400میشد ،قبل از انجام هر ضرب طولانی ،آن قاطع برای فهمیدن درباره ارزش مکان است ،و چگو نگی ضرب و تقسیم 10 ،بنابراین فرزند شما باید مطمئن باشد که می تواند این روش ها را بشناسد.
اکنون ،چه اتفاقی می افتد اگر شما بخواهید 6را در یک عدد بزرگتر مثل 64 ضرب کنید بعید است که شما بخواهید ایجاد کنید یک چارت را که آنرا خیلی جلو ببرد .البته شما می توانید از یک ماشین حساب استفاده کنید .اگر آن انتخاب سریع فرزند شماست آن را تشویق کنید .امابه او پیشنهاد کنید که چگونه انجام دادن آن را روی کاغذ بصورت خوبی نشان دهد.اگرروشهایی که لذت بخش هستند برای عمل ضرب به او معرفی شده اند،احتمالا او بخواهد بداند که چگونه او می تواند اعداد بزرگتر را ضرب کند بدون ماشین حساب.بنابراین دیاگرام دیگری بکشید ،نسبت به تقسیم بندی به همه مربعات کوچک اینجا یک مربع مستطیل ساده باشد .
فرض کنید که طول 64سانتی متر است برای بچه ای که تنها ضرب ساده را انجام داده است ،این می تواند نسبتا تشویش آور به نظر برسد .اما سوال کنید از فرزندتان که چگونه ممکن است شما مربع مستطیل را به دو بخش قابل شمارش تقسیم کنید .برای نمونه ،او ممکن است پیشنهاد کند علامت گذاری کنید طول را به صورت ده تایی ،بنابراین شما خواهید داشت 6 قطعه از مربع مسطتیل های 6×10 و یک مربع مستطیل 6×4در پایان این یک روش عالی برای فهمیدن جواب می تواند باشد بیشتر احتمال داردکه یک بچه به یاد آورد چیزهایی شبیه این که خودش کشف کرده است.
یک مرتبه فرزند شماسعی کرده از روشهای متعددی استفاده کند.(اگر او فکر نکرده است آن را برای خودش)شما چگونه می توانید آن را به دو مربع مستطیل تقسیم کنید بکی 6×60و دیگری 4×6شبیه این .
قسمت بزرگتر ،بخش زردرنگ 6×60را ارائه می دهدو قسمت کوچکتر ،بخش آبی در سمت راست 4×6را ارائه می دهد.از آنجاکه 36 =6×6است فرزند شمامیداندکه 60×6است.همچنین او می داند که 24 = 6 ×4،این اعداد را با یکدیگر جمع کنید شما مجموع 384 را به دست می آورید.آن یک ایده خوب است برای چک کردن این جواب ها بایک ماشین حساب ،برای اینکه مطمئن شوید که شما هیچ اشتباهی نداشته اید همچنین آن برای یک بچه جالب است که ببیند او نتیجه درست را یافته است .اگر او این چالش را دوست داشت ،مقدار بیشتری سعی کنید،مشابه همین مسائل که بتواند انجام دهدبوسیله جداسازی به دو مسئله ضرب ساده ،و سپس جمع کردن آنها با یکدیگر.هنگامی که فرزند شما آشنا است باحل این گونه مسائل ،و ممکن است این اتفاق بیفتددر نصف یک ساعت هنگامی که او حوصله دارد برای تمرکز روی ایده های جدید،یا ممکن است آن اتفاق بیفتد در بیش از چند هفته یاحتی چند ماه،بعد زمان آن است که نشان دهیم چگونه او می تواند به تفصیل بنویسد ضرب یک مسئله را روی کاغذ ،بصورت یک تند نویسی برای یک دیاگرام و جمع تکرار شده 64
6 ×
ـــــــــ
اولین چیزی که باید توضیح بدهید این است که اول باید 6 را درعدد 4 عدد 64 ضرب کنیم که عدد 24را میدهد.به همان آن انجام شد بااستفاده ازتکنیک دیاگرام.
اگر فرزند شماهنوز با انتقال ده تایی هاآشنا نیست به سادگی 24 رازیر آن بنویسید: 64
6 ×
ـــــــــ
24
اکنون توضیح دهید که همچنین 6 باید ضرب شود در قسمت 60 عدد64.نگویید ضرب در 6 زیرا تعداد زیادی از بچه ها در آن گیج می شوند .6 ارائه شده در عدد 64 ،عدد 6 نیست ،اما عدد 60 نامیده می شود .وقتیکه ما 6 در عدد 60 ضرب کنیم ،360را بدست می آوریم بنابراین عدد 360 را در پایین 24 قرار دهید.
سپس 24 را با 360 جمع کنید به هر روشی که فرزند شما دوست داردجمع کند ،و جواب شما 384بدست خواهدآمد
اگر فرزند شما با حمل واحدها گیج می شود و جمع نسبتا پیچیده است ،شما می توانید آنرا توضیح دهید وقتیکه شما ضرب می کنید 6رادر 4و24 به دست می آید ،شما معمولا فقط عدد 4 را پایین می نویسید،به صورتیکه آن بخش واحدهای جواب است ،و به خاطر بیاورید که یک 20 واحد اضافی منتظر وجود دارد.این اغلب به صورت یک 2کوچک زیر ستون ده تایی ها نوشته می شود ،شبیه این 64
6×
ــــــــــ
24
بعدا وقتی که شما 6 را در عدد 60 ضرب کردید و 360 به دست آمد ،شما باید جمع کنید 20 واحد اضافی را که منتظر هستند برای به دست آوردن 380.به محض اینکه شما حاضر ید بخش واحدهای جواب را داشته باشید ،جمع کنید 380 را با 4و دوباره خواهید داشت عدد384را.وجوددارد یک پروسه پیچیده برای پیشرفت یک بچه،و نیاز دارد یه مقدار زیادی تمرین.نه مشق یا سرگرمی که عموما یک بچه کسل شده با کل موضوع می سازد ،اما مثالها در زندگی واقعی،ومسائل را حل کند در لحظات متفرقه. جواب را نگه دارید برای این ایده که ضرب جمع تکرار شده است ،و شمارش قطعات الگو با گره های فرش یا اندازه گیری هر چیز مناسب که نشان دهد واژه ها رادر امتحان عملی که ضرب چیست .اگر فرزند شما از کار با روشهای جدید لذت میبردوفهمید که تکنیک ها جالب است ،پیشنهاد کنید که شما می توانید به او یک مسئله جدید در هر هفته بدهید ،و به مبارزه دعوت کنید اورا برای حل آن مسئله در سه روش متفاوت در هر زمان .اگر او فهمید که این آسان است ،شما می توانید ببینید اگر او بتواند به تفضیل کار کندکه چگونه کار کند در ضرب یک عدد سه رقمی بوسیله یک عدد ساده تک رقمی شروع کنید با اعداد پایین تر ،برای اجتناب از انتقال مثل 3 ×213
همیشه فرزندانتان را تشویق کند که چک کند کارهایش را با ماشین حساب .او یاد می دهد به او که کارش را چک کند ،و همچنین فورا جواب می دهد که غیر مهیج است او ممکن است شما را متعجب کند با سعی در اعداد خیلی بزرگتر و گسترش تکنیکهای خودش .آن خوب است که معمولا چندین روش ممکن برای حل هر نوع مسئله بصورت ریاضی وجو د دارد و هیچکدام بصورت ذاتی بهتر نیست از دیگری .احتمالا فرزند شما می خواهد سریعترین تکنیکهای حل مسائل روی دفتر را بشناسد.اما در ضمن او لذت خواهد برد به مقدار بیشتری ازریاضی اگر او به اندازه کافی زمان و فضایی داشته باشدبه همان صورت که او دوست دارد روابط اعداد را در همان روش خودش به تفضیل کار کند.
4