مقاله بررسی مبحث دینامیک

علم دینامیک شاخه ای از مکانیک است که در مورد حرکت اجسام در اثر اعمال نیرو بحث می کند. معمولاً در مهندسی، دینامیک پس از استاتیک مورد مطالعه قرار می گیرد و موضوع آن تاثیر نیروها بر اجسام ساکن است. دینامیک دارای دو بخش مجزا می باشد: سینماتیک، که عبارت از مطالعه حرکت بدون در نظر گرفتن عامل آن یعنی نیرو است و سینتیک، علمی است که نیروهای وارد بر جسم را به حرکت ناشی از آنها ارتباط می دهد. دانشجوی مهندسی در می یابد که درک کامل دینامیک، او را به یکی از مفید ترین و قوی ترین ابزرهای تحلیل در مهندسی تجهیز می کند.
موضوع علم دینامیک در مقایسه با استاتیک از نظر تاریخی، نسبتا جدید است. شروع درک دینامیک با استفاده از اصول استدلالی به گالیله (1642- 1564) نسبت داده می شود که در مورد سقوط آزاد اجسام، حرکت روی سطح شیبدار و حرکت پاندول مشاهدات دقیقی را انجام داد. وی در زمینه ارائه روشی علمی برای تحقیقات ودر مسائل فیزیکی مسئولیت بزرگی را متحمل شده است.گالیله به جهت نپذیرفتن اعتقادات زمان خود که مبتنی بر فلسفه ارسطویی بود، مثلاً این عقیده که اجسام سنگین تر سریعتر از اجسام سبک تر سقوط می کنند پیوسته مورد انتقاد شدید قرار داشت. فقدان روشهای دقیق برای اندازه گیری زمان از موانع جدی گالیله بود و پیشرفتهای مهم بعدی در دینامیک در انتظار اختراع ساعت پاندولی توسط هویگنس در سال 1657 بود.
نیوتن (1727- 1642) بر اساس تحقیقات گالیله توانست فرمولهای دقیقی را برای قوانین حرکت ارائه کند و در نتیجه، دینامیک را در جایگاه استواری قرار دهد. کار مشهور نیوتن در اولین ویرایش کتابش با عنوان اصول منتشر شد، که معمولاً از آن به عنوان یکی از بزرگترین مقالات علمی ثبت شده یاد می شود. نیوتن علاوه بر بیان قوانین حاکم بر حرکت ذرات اولین کسی بود که قانون جاذبه عمومی را به طور صحیح فوموله کرد. با اینکه توصیف ریاضی او دقیق بود، او حس می کرد که انتقال خارجی نیروی جاذبه بدون پشتیبانی یک واسطه کار بیهوده ای است. دانشمندانی که پس از دوره نیوتن مشارکت های مهمی در توسعه علم مکانیک داشتند عبارتند از: اولر، دالامبر، لاگرانژ، لاپلاس،پوآنسو، کوریولیس، انیشتین و دیگران
از نظر کاربردهای مهندسی دینامیک علم جدیدتری است. فقط از زمانی که ماشینها و سازه هایی با سرعت زیاد و شتاب های قابل توجه به کار افتاده اند محاسبات بر اساس اصول دینامیک در مقایسه با اصول استاتیک ضروری تر شد. امروزه رشد سریع تکنولوژی افزایش کاربردهای اصول مکانیک به ویژه دینامیک را طلب می کند. این اصول مبنای تحلیل و طراحی سازه های متحرک، سازه های ثابت با بار ضربه ای، رباتها، سیستمهای کنترل اتوماتیک، راکتها، موشکها، فضاپیماها، وسایل حمل و نقل زمینی و هوایی، بالستیک الکترونیکی در دستگاههای الکتریکی، و انواع ماشینها نظیر توربینها، پمپها، موتورهای پیستونی، بالابرها، ماشینهای ابزار و غیره می باشد. دانشجویانی که به یک و یا چند مورد از فعالیتهای مذکور علاقه مند هستند، نیاز مستمر به کارگیری اصول و مبانی دینامیک را در خواهند یافت.
فضا ناحیه هندسی اشغال شده توسط جسم می باشد. موقعیت در فضا بوسیله اندازه گیری های خطی و زاویه ای نسبت به سیستم مرجع هندسی تعیین می شود. چارچوب اساسی سیستم مرجع در قوانین مکانیک نیوتن عبارت است از سیستم اینرسی اصلی یا دستگاه مرجع نجومی، که سیستم مختصاتی مجازی با محورهای متعامد می باشد و فرض می شود که هیچگونه انتقال یا دورانی در فضا نداشته باشد. اندازه گیری ها نشان می دهند که اعتبار قوانین مکانیک نیوتنی در این سیستم مختصات تا هنگامی است که سرعتها در مقایسه سرعت نور که برابر km/s 000،300 یا mi/s 000،186 می باشد قابل صرفنظر کردن باشند. به اندازه گیری هایی که نسبت به این دستگاه صورت می گیرند مطلق گفته می شود و این سیستم مرجع در فضا “ثابت” در نظر گرفته می شود. دستگاه مرجع الصاقی به سطح زمین دارای حرکت پیچیده ای در سیستم مرجع اصلی است و بنابراین باید بر مبنای اندازه گیریهای انجام شده در دستگاه مرجع روی زمین، تصحیحاتی در معادلات اساسی مکانیک صورت گیرد. مثلاً حرکت مطلق زمین در محاسبه مسیر راکتها و پروازهای فضایی پارامتر مهمی محسوب می شود. در بیشتر مسائل مهندسی مربوط ب ماشینها و سازه هایی که بطور ثابت در سطح زمین مستقر شده اند، تصحیحات فوق الذکر کوچک بوده و می توان از آن صرفنظر کرد. در چنین مسائلی قوانین مکانیک را می توان مستقیما در اندازه گیریهای انجام شده نسبت به زمین بکار برد، که در عمل چنین اندازه گیریهای مطلق تلقی می شوند.
زمان عبارت است از سنجش وقایع متوالی که در مکانیک نیوتنی به عنوان کمیت مطلق در نظر گرفته می شود.
جرم عبارت از سنجش کمی اینرسی یا مقاومت در مقابل تغییر حرکت یک جسم است. همچنین جرم را می توان کمیت مادی موجود در یک جسم در نظر گرفت که سبب جاذبه می شود.
نیرو بردار عمل یک جسم بر جسم دیگر است. خواص نیروها در کتاب استاتیک به طور کامل مورد بحث قرار گرفته است.
ذره جسمی است با ابعاد ناچیز. همچنین هنگامی که ابعاد جسمی در توصیف حرکت آن یا عمل نیروهای وارد بر آن بی تاثیر باشند با آن می توان بصورت یک ذره برخورد کرد. مثلاً برای توصیف مسیر پرواز هواپیما می توان آن را بصورت یک ذره در نظر گرفت.
جسم صلب جسمی است که تغییر شکل آن در مقایسه با ابعاد کلی و یا تغییر مکان جسم به عنوان یک کل ناچیز باشد. به عنوان مثال از فرض صلبیت می توان حرکت خمشی کوچک لبه بال هواپیمای در حال پرواز در یک هوای آشفته را در توصیف حرکت کلی هواپیما در سراسر مسیر پروازش کاملا بی تاثیر دانست. به همین جهت این فرض که هواپیما یک صلب است هیچگونه مشکلی ایجاد نمی کند. از طرفی، اگر منظور مسئله یافتن تنشهای داخلی موجود در بال در اثر تغییر بارهای دینامیکی باشد، در آن صورت باید مشخصات تغییر شکل سازه در نظر گرفته شود، و به همین دلیل هواپیما را نمی توان بصورت جسم صلب در نظر گرفت.
بردار و اسکالر کمیتهایی هستند که در کتاب استاتیک مورد بحث بسیار قرار گرفته اند و اکنون باید فرق آنها را به روشنی مشخص کرد. کمیتهای اسکالر با حروف نازک و کمیتهای برداری با حروف سیاه نشان داده می شوند. در نتیجه v اندزه اسکالری بردار v است. بنابراین استفاده از علائم خاص بسیار مهم است، مثلاً خط تیره زیرین در v که در نوشتن تمام بردارها می توان آن را جایگزین حروف چاپی سیاه کرد. برای دوبردار غیر موازی، باید به خاطر داشت که V1+V2 و V1+V2 دارای دو مفهوم کاملا متفاوت می باشند.
در دینامیک مشتقات بردار و اسکالر نسبت به زمان اغلب مورد استفاده قرار می گیرد. اکثرا برای تسریع در نوشتن، جهت بیان مشتق نسبت به زمان یک کمیت، از یک نقطه در بالا استفاده می شود. بنابراین، به معنای و به مفهوم d2x/dt2 می باشد.
قانون اول: تا هنگامی که نیروی نامتوازنی به یک ذره اثر نکند یا ساکن می ماند و یا به حرکت مستقیم الخط با سرعت ثابت ادامه می دهد.
قانون دوم: شتاب یک ذره متناسب با برآیند نیروهای وارد بر آن بوده و در جهت این نیرو می باشد.
قانون سوم: نیروهای عمل و عکس العمل میان اجسام عمل کننده با تاثیر متقابل، از نظر اندازه، مساوی و در جهت مخالف یکدیگر بوده و هم راستا هستند.
درستی این قوانین با اندازه گیریهای فیزیکی فراوان به اثبات رسیده است. در قانون اول و دوم برای اندازه گیریهایی که در دستگاه مرجع مطلق انجام گرفته صادق است، اما هنگامی که همانند دستگاه الصاقی به سطح زمین، حرکت نسبت به دستگاه مرجعی صورت می گیرد که خود دارای شتاب است، باید تصحیحاتی انجام شود.
قانون دوم نیوتن مبنای اکثر تحلیلهای دینامیکی را تشکیل می دهد. این قانون برای ذره ای به جرم m که تحت تاثیر نیروی برآیند F قرار گرفته، چنین بیان می شود:
F = ma
که در آن a شتاب برآینده اندازه گیری شده در دستگاه مرجع بدون شتاب می باشد. قانون اول نیوتن نتیجه قانون دوم است زیرا هنگامی که نیرو صفر باشد هیچگونه شتابی وجود ندارد و ذره یا در حال سکون است و یا با سرعت ثابت حرکت می نماید. قانون سوم نیوتن بیانگر اصل عمل و عکس العمل است که ما می بایست در مسائل استاتیک با آن کاملا آشنا باشیم.
قانون جاذبه نیوتن که بر جاذبه متقابل بین دو جسم حاکم است بصورت زیر می باشد:

که در آن:
F = نیروی جاذبه متقابل بین دو ذره
G = ثابت جهانی موسوم به ثابت جاذبه
m1, m2 = جرم دو ذره
r = فاصله بین مراکز ذرات
مقدار عددی ثابت جاذبه از روی آزمایش برابر G= 6/673 (10-11) m3/ (kg.s2) بدست آمده است. تنها نیروی جاذبه ای که بزرگی آن قابل توجه است نیروی ناشی از جاذبه زمین می باشد. مثلاً دو کره آهنی به قطر mm 100 ، با نیروی جاذبه N 1/37 به سمت زمین جذب می شوند، که وزن نامیده می شود، اما هنگامی که کاملا به هم نزدیک باشند نیروی جاذبه متقابل بین آنها برابر تا N 0000000951/0 می شود.
چون جاذبه ثقلی یا وزن جسم از جنس نیرو بنابراین باید همیشه بر حسب واحدهای نیرو یعنی نیوتن (N) در سیستم SI و پوند نیرو ( lb) در سیستم آمریکایی بیان شوند. متاسفانه در کارهای روزمره واحد جرم یعنی کیلوگرم بطور گسترده ای برای اندازه گیری وزن بکار می رود. هنگامی که “وزن” بر حسب کیلوگرم بیان می شود، معنای فنی آن جرم خواهد بود.
نیروی جاذبه ای که از طرف زمین به جسم وارد می شود بستگی به موقعیت جسم نسبت به زمین دارد. اگر زمین یک کره کامل با همان حجم می بود در آن صورت جسمی به جرم دقیقا 1kg با نیروی برابر با N 825/9 در ارتفاع 1kg ، با نیروی N 523/9 در ارتفاع km 100 ، با نیروی N 340/7 در ارتفاع km 1000، و با نیروی N 456/2 در ارتفاعی برابر با شعاع متوسط زمین (km 6371 ) به سمت زمین جذب می شد. کاملا واضح است که برای راکتها و فضاپیماهائی که در ارتفاع بالا حرکت می کنند، تغییرات جاذبه از اهمیت ویژه ای برخوردار می شود.
هر شیئی که از نزدیک سطح زمین سقوط کند همان شتاب g را خواهد داشت . این مطلب را می توان با ترکیب معادله 1/1 و 2/1 و حذف جرم شئی در حال سقوط یافت. نتیجه ترکیب این معادلات چنین است

که me جرم زمین و R شعاع آن می باشد. جرم me و شعاع متوسط R زمین از طریق آزمایش به ترتیب برابر 6/371 (106) m, 5/976 (1024) kg بدست آمده اند. پس از جایگزینی این مقادیر به همراه مقدار G در رابطه مربوط به g، مقدار متوسطی برابر با g=9/825 m/s2 بدست می آید.
در تعیین شتاب جاذبه از روی قانون آن، از محورهایی استفاده می شود که در مرکز زمین قرار داشته و بدون دوران می باشند. در این صورت با “ثابت” بودن محورها، این مقدار برابر با مقدار مطلق g خواهد بود. با توجه به این واقعیت که زمین در حال چرخش است، شتاب سقوط آزاد یک جسم که از سطح زمین اندازه گیری می شود قدری کمتر از مقدار مطلق آن است. اندازه گیری مقادیر دقیق شتاب جاذبه نسبت به زمین بر اساس این واقعیت صورت می گیرد که زمین شبه کره دواری است که در قطبها فشرده و نیز مسطح است. این مقادیر را می توان با دقتی بالا از فرمول بین المللی جاذبه که در سال 1980 ارائه شده بدست آورد که چنین است:
g= 9/780327 (1+0/005279 sin2y + 0/000023 sin4 y + …)
که در آن yعرض جغرافیایی و g بر حسب متر بر مجذور ثانیه بیان شده است. این فرمول بر اساس یک مدل بیضی وار از زمین ارائه شده و همچنین اثر دوران آن را در بر دارد. در تعیین شتاب مطلق ناشی از جاذبه برای زمین غیر دوار، می توان عبارت 3/382(102) cos2 y m/s2 را به فرمول فوق افزود و آن را با تقریب خوبی محاسبه کرد، که به این ترتیب اثر دوران زمین از بین می رود. در شکل 1/1 تغییرات مقادیر مطلق و نسبی g با عرض جغرافیایی در شرایط آزاد دریا با هم نشان داده شده اند.
مقدار استاندارد بین المللی برای شتاب جاذبه نسبت به زمین دوار در سطح آزاد دریا و عرض جغرافیایی 450 برابر با m/s2 80665/9 و یا ft/sec 1740/32 پذیرفته شده است. این مقدار اندکی با آنچه که از فرمول بین المللی جاذبه در 450 y= بدست می آید متفاوت است. این اختلاف کوچک به این دلیل است که زمین مطابق فرضی که در فرمول بین المللی جاذبه انجام شده کاملا بیضی وار نیست.
نزدیکی اجرام بزرگ مربوط به عوارض طبیعی و نیز تغییرات در چگالی پوسته زمین اثرات کوچک ولی قابل ملاحظه ای را بر مقدار محلی g می گذارد. در اغلب مسائل مهندسی که اندازه گیری ها نسبت به سطح زمین صورت می گیرد از اختلاف بین مقادیر مطلق و نسبی شتاب جاذبه و نیز اثر تغییرات محلی صرفنظر می شود، و مقدار g در شرایط سطح آزاد دریا در سیستم SI برابر با m/s2 81/9 و در سیستم آمریکایی برابر با fi/sec2 2/32 بکار می رود.
تغییرات g بر حسب ارتفاع از قانون جاذبه به آسانی تعیین می شود. اگر g0 بیانگر شتاب مطلق جاذبه در سطح آزاد دریا باشد، مقدار مطلق آن در ارتفاع h چنین است

که در آن R شعاع زمین است.
مقدار جاذبه ای که از طرف زمین به یک جسم اعمال می شود را به کمک آزمایش های ساده گرانشی می توان تعیین کرد. اگر نیروی جاذبه یا وزن حقیقی جسمی برابر W باشد، در آن صورت چون جسم با شتاب مطلق g در خلاء سقوط خواهد کرد، از معادله 1/1 نتیجه می شود.
W=mg
وزی ظاهری یک جسم که به کمک یک ترازوی فنری و مدرج برای خواندن نیروی صحیح در سطح زمین انجام می شود از وزن واقعی آن کمتر است. این اختلاف به دلیل دوران زمین می باشد. نسبت وزن ظاهری به شتاب ظاهری یا نسبی ناشی از جاذبه نیز مقدار صحیح جرم را به دست می دهد. وزن ظاهری و شتاب نسبی جاذبه کمیتهایی هستند که از طریق آزمایش در سطح زمین اندازه گیری می شوند.
این نیرو در اثر خاصیت کشسانی فنر به وجود می آید و در واقع نتیجه ای از تغییر طول فنر تحت نیروهای خارجی است و متناسب با آن اما در خلاف جهت آن می باشد، زیرا فنر تا آنجا باز می شود که اثر نیروی F را خنثی کند F=-kx که x مقدار تغییر طول فنر است و k ضریبی است که فقط به خصوصیات فنر (مانند جنس، میزان سختی و… صرفنظر است).
از لحاظ فیزیکی منشاء این نیرو با نیروی کشش فیزیکی است اما با این تفاوت که تغییر طول فنر محسوس است اما تغییر طول یک طناب محسوس نیست و یا ضریب k برای یک نخ بسیار بزرگ است. یعنی عملا طول طنابهای فیزیکی که ما داریم و معمولاً طنابها را نیز بدون جرم در نظر می گیریم.
اگر نیروی کشش نخ را با T نشان دهیم T با F برابر خواهد بود (چه نخ جرم داشته باشد و چه جرم نداشته باشد)، زیرا مجموع نیروهای وارده به نقطه A باید صفر باشد، چون نقطه A جرم ندارد و طبق معادله نیوتون به نقاط بدون جرم نیروهای غیر صفر نمی تواند وارد شود. “نیروی کشش نخ در کل طول نخ بدون جرم، همواره ثابت است” (دقیقا با همین استدلال که در مورد نقطه A کردیم این نتیجه دیده می شود).
هرگاه جسمی روی سطحی قرار گیرد، از طرف آن سطح نیرویی عمود بر سطح به جسم وارد می شود که اگر سطح افقی باشد این نیرو در راستای قائم خواهد بود. عکس العمل این نیرو که معمولاً آن را با N نشان می دهیم و رو به خارج سطح است به سطح وارد می شود و در خلاف جهت N است.

نیروی اصطحکاک که نیرویی مقاوم است (همواره در خلاف جهتی است که جسم حرکت می کند) در اثر درهم رفتگیهای در سطحی که با هم در تماس هستند، ایجاد می شود. این نیرو که متناسب با نیروی عکس العمل سطح تماس است بر آن عمود می باشد:
که ضریب تناسب است ضریب اصطحکاک نامیده می شود.
بسته به اینکه جسم در حال سکون باشد یا حرکت، نیروی اصطحکاک با به دو دسته ایستا (سکون) و جنبشی دسته بندی می کنیم. تا وقتی که جسم m که به نیروی F وارد می شود به حرکت در نیامده نیروی F کاملا با Ff خنثی می شود، یعنی اگر F را از صفر تا آستانه ای که جسم به حرکت در می آید تغییر دهیم Ff نیز دقیقا برابر آن تغییر می کند. در حدی که جسم شروع به حرکت می کند (Fs) نیروی F بر اثر Ff غلبه می کند که:
از این آستانه به بعد، جسم به حرکت خود ادامه می دهد اما نیروی اصطحکاک دیگر مقدار ثابتی خواهد بود که: در ضمن این اصطحکاک معمولاً (تقریبا همشیه) از Fs باید کوچکتر باشد جنبشی که یعنی ضریب اصطحکاک جنبشی: کوچکتر یا مساوی است: .
بعد از معرفی چند، نیرو باز هم به معادله نیوتون برمی گردیم، با داشتن نیروها همان طور که در معادله دیده می شود، شتاب به دست می آید، در بخش بعد نحوه به دست آوردن سرعت و مکان و سیر حرکت را از روی شتاب بررسی می کنیم و سپس در بخش بعد از آن با ذکر چند مثال و مسئله موضوع را بازتر خواهیم کرد.
بعدی نظیر طول را می توان بر حسب واحدهای مختلفی همچون متر، میلی متر، یا کیلومتر بیان کرد. به این ترتیب کلمه بعد از واحد متمایز می گردد. روابط فیزیکی همواره باید از نظر ابعادی همگن باشند، یعنی تمامی عبارات موجود در یک معادله باید یکسان باشند. معمولاً نمادهای T,M,L و F به ترتیب برای طول، جرم، زمان و نیرو بکار می رود. در سیستم SI نیرو یک کمیت بدست آمده از سایر کمیتها می باشد و بنابر معادله 1/1 دارای بعد حاصلضرب جرم در شتاب است.
F=ML/T
یکی از کاربرهای مهم نظریه ابعاد، بررسی صحت ابعادی روابط فیزیکی به دست آمده می باشد. رابطه زیر برای جسمی با سرعت v و جرمm که توسط نیروی F از حالت سکون در آمده و مسیر افقی x طی کرده، قابل استخراج است:

که در آن ضریب بی بعدی است که در نتیجه انتگرال گیری بدست می آید. این معادله از نظر ابعادی صحیح است زیرا با جایگزینی M,L و T داریم:
[MLT-2] [L] = [M] [LT-1]2
همگنی ابعادی شرط لازم درستی رابطه است اما کافی نیست زیرا با این روش درستی ضریب بی بعد بررسی نیست.
جهت گیری مطالعه دینامیک در راستای درک و تشریح کمیتهای مختلفی است که حرکت اجسام را بیان می کنند. چنین بیانی که بخش عمده آن در قالب ریاضی است، توانایی پیش بینی رفتار دینامیکی را ایجاد می کند. برای فرمول بندی چنین توصیفی و نیز بر اساس شرایط فیزیکی و نیز بر اساس توصیف ریاضی مرتبط با آن تدبیر لازم اندیشیده شود. تحلیل هر مسئله نیازمند کار فکری مکرر میان فیزیک و ریاضی مسئله است. بی شک یکی از بزرگترین مشکلاتی که دانشجویان با آن مواجه هستند، عدم توانایی در ایجاد این انتقال آزادانه فکر می باشد. آنان باید بدانند که فرمول بندی ریاضی یک مسئله فیزیکی بیانگر توصیف محدود و ایده آل آن، یا همان مدل، است که مسئله را تقریب می زند ولی هیچگاه با شرایط فیزیکی واقعی تطابق ندارد.
در مرحله ساخت مدل ریاضی ایده آل برای هر مسئله مهندسی، همواره تقریبهای خاصی وجود دارد. برخی از این تقریبها ریاضی و بقیه فیزیکی اند. به عنوان مثال، غالبا لازم است که از فواصل، زوایا و نیروهای کوچک در مقایسه با مقادیر بزرگ آنها صرفنظر شود، اگر میزان تغییر سرعت جسم نسبت به زمان تقریبا یکنواخت باشد، آنگاه می توان شتاب را ثابت فرض کرد. اگر برهه ای از حرکت را نتوان به آسانی و مرتبط با کل آن توصیف کرد اغلب به نموهای کوچک باشند، می توان از اثر کاهشی آن در مقابل حرکت ناشی از نیرو یا گشتاور اعمالی بر ماشین صرفنظر کرد. در حالی که اگر منظور، تعیین افت بازده ماشین در اثر فرایند اصطحکاک باشد، دیگر از همین نیروهای اصطحکاک نمی توان صرفنظر کرد. بنابراین میزان فرض انجام شده به اطلاعات موردنظر و دقت لازم بستگی دارد. دانشجو باید همواره به دنبال فرضیاتی باشد که در فرمول بندی مسائل واقعی بکار می آید. توانایی در درک و بکارگیری فرضیات مناسب در مرحله فرمول بندی و حل مسائل مهندسی مسلما یکی از مهمترین ویژگیهای یک مهندس موفق است.
در این بخش با حل چند مثال از مسائل مختلفی که با معادلات نیوتون قابل حل هستند روش به کارگیری این معادلات را شرح می دهیم.
مسائلی که در آنها چند نیرو به جسم وارد می شود
اگر دو یا چند نیرو به جسم اثر کند به جای جمله F در طرف چپ معادله مجموع (برآیند) نیروها را قرار می دهیم.

مثال: جسمی به جرم m روی سطح شیبداری با زاویه شیب a قرار دارد. شتاب حرکت جسم و نیروی عکس العمل سطح را به دست آورید، ضریب اصطحکاک سطح را فرض کنید.
حل: به این جسم عملا سه نیرو وارد می شودN وF (اصطکاک) و W (وزن)

اگر نیروهای وارده را در دستگاه بکشیم داریم:
این کار را برای به دست آوردن راحت تر مجموع سه نیرو انجام می دهیم. اصطلاحا نمودار جسم آزاد می گویند.
Fcosa – Nsina :مجموع نیروها در راستای x
N Cosa + Fsina – W :مجموع نیروها در راستای y

معادلات نیوتون
ax : مولفه شتاب در راستای
ay مولفه شتاب در راستای

در این دستگاه معادلات مجهولات F و N و ax و ay هستند.
یعنی چهار مجهول و سه معادله در اختیار داریم که برای حل کافی نیستند. معادله چهارم از اینجا به دست می آید که جسم ناگزیر است روی این سطح شیب حرکت کند، یعنی دو مولفه شتاب ax و ay مستقل نیستند.
اگر جسم به اندزه L روی سطح شیب دار پایین بیاید به اندازه -Lcosa در جهت x و – Lsina در جهت y حرکت کرده یعنی: مقدار حرکت در راستای x * =tga مقدار حرکت در راستای y
پس اگر از طرفین رابطه بالا دو بار مشتق بگیریم رابطه بین شتابها به دست می آید که:
ay = tga ax
این معادله با سه معادله قبلی تشکیل یک دستگاه کامل چهار معادله و چهار مجهول را می دهد که قابل حل است:

یا با جایگذاری ay :

اندازه بردار شتاب:
روش حل دوم: یکی از محاسن استفاده از زبان برداری آن است که محورهای مختصات را هر طور که بخواهیم اختیار می کنیم زیرا بردارها (نه مولفه های آنها) تغییر نمی کنند و بردارها موجوداتی هندسی و مستقل از دستگاه مختصات هستند، با استفاده از این خاصیت دستگاه مختصات را به اندازه می چرخانیم به طوری که نمودار جسم آزاد به صورت مقابل درآید: که زاویه بین محور x , x’ ، می‎باشد. در این دستگاه مختصات:
: مجموع نیروهای در راستای x’
: مجموع نیروهای در راستای y’

معادلات نیوتن:
این بار قید اینکه ذره روی سطح حرکت می کند به صورت نوشته می‎شود و در واقع همان اندازه بردار شتاب است که در روش قبلی به دست آمد.

حل معادلات

یا

که همان چیزی است که از حل روش قبل به دست آمد، با این تفاوت که این روش بسیار ساده تر به جواب می رسد.

قیود حرکت و درجات آزادی
کلاً هر ذره در دو بعد با دو متغیر (درجه آزادی) توصیف می‎شود و در مجموع برای N ذره، احتیاج به N2 درجه آزادی داریم. اما معمولاً این درجات آزادی مستقل از هم نیستند بلکه به گونه ای به یکدیگر مربوط اند. نمونه ای از این ارتباط را در مثال بخش قبل برای حرکت روی سطح شیبدار دیدیم.
کلاً روش سیستماتیکی که برای نوشتن این گونه قیدها وجود دارد آن است که عامل ایجاد آن قید را شناخته و اثر آن را روی درجات آزادی بررسی کنیم. به عنوان مثال:
دو جسم به جرمهای m2 , m1 را به دو سر قرقره ای با طنابی به جرم ناچیز متصل کرده ایم، شتاب حرکت هر یک و نیروی کشش نخ را محاسبه کنید. اگر مسئله، بیشتر از یک جسم داشته باشد برای هر یک جداگانه نمودار جسم آزاد کشیده و معادلات حرکت را بررسی می کنیم:
چون طناب جرم ندارد و T’ , T باید مساوی باشند زیرا اختلاف آنها باید صفر شود.
a2 , a1 شتابهای ذرات 1 و 2 هستند.
زیرا قرقره ساکن است T- m1g= m1a1
دو معادله 1 و 2 دارای سه مجهول هستند T و a2 , a1 T- m2g= m2a2
T”=T+T’=2T
برای حل این دو معادله با سه مجهول یک رابطه قیدی بین a2 , a1 نیاز داریم. “روابط قیدی اصولاً روابطی مستقل از دینامیک هستند و از معادلات نیوتون به دست نمی آیند اما با آنها سازگارند.” این رابطه قیدی از اینجا به دست می‎آید که واقعاً دو درجه آزادی سیستم (یک درجه آزادی مربوط به هر یک از جرمهای یک و دو) به واسطه وجود طناب به یکی تقلیل پیدا کرده زیرا اگر مکان ذرات را نسبت به محور قرقره با y2 , y1 مشخص کنیم:
طول طناب = ثابت = y1 + y2
پس عملاً اگر y1 تعیین گردد، y2 نیز به دست خواهد آمد، پس یک درجه آزادی بیشتر نداریم با دوبار مشتق گیری از رابطه فوق به رابطه بین شتابها می رسیم:
a1+a2=0
حال سه معادله و سه مجهول را حل می کنیم:
T=m1(g+a1) = m2(g+a2)
a1 = -a2

مثال: شتاب حرکت m2 , m1 و کشش نخ و عکس العمل سطح را به دست آورید. اگر خود سطح شیبدار دارای جرم M باشد و کل مجموعه روی یک ترازو قرار گیرد ترازو چه عددی را نشان خواهد داد؟ سطح شیب را بدون اصطکاک فرض کنید.
حل: الف) نمودارهای جسم آزاد
در اینجا با توجه به بحثهای قبلی، کشش را در کل طول طناب یکسان فرض کرده ایم و برای رسم نمودار 3 نیروهای عکس العمل N و نیروهای وارد به قرقره را نیز در نظر گرفته ایم که مجموع دو نیروی T1 رسم شده در واقع نیرویی است که به پایه قرقره وارد می‎شود.
معادلات نیوتون
a1y=0 : قید حرکت روی سطح

a2y= -a1x : قید ثابت بودن طول طناب و T-m2g = m2a2y
T1 = T = طناب بدون جرم است و
پس با در نظر گرفتن قیدهای نوشته شده تعداد مجهولات با تعداد معادلات مساوی می‎شود و مسئله قابل حل است.

(حذف a1x) T=m2 (g-a1x)
که در حالت حدی به همان جواب مثال قبلی بدل می‎شود.

معادله نیوتون برای ناظر غیرلخت، نیروی مجازی
تاکنون در مورد اینکه ناظرهای غیرلخت چه معادله ای را باید به کار ببرند صحبتی به میان نیاورده ایم. به هر حال معادله دینامیکی نیوتون برای این ناظرها به کار نمی آید.
بدین منظور از رابطه سینماتیکی که برای شتابهای دو ناظر به دست آورده ایم استفاده می کنیم. اگر ناظر بدون پریم ناظری لخت باشد و ناظر پریم دار نسبت به آن با شتاب حرکت کند:
که شتاب ذره در دستگاه پریم دار است.

یعنی جرم x شتاب در دستگاه غیرلخت = نیرو در دستگاه غیرلخت
یا “نیرو در دستگاه غیرلخت همان نیرو در دستگاه لخت است منهای نیروی مجازی که جرم در شتاب نسبی دستگاه نسبت به ناظر لخت می‎باشد”.
مثال: نقطه آویز یک آونگ را با شتاب a حرکت می‎دهیم زاویه تعادل آونگ چقدر است؟
اگر دستگاه مختصات ناظر روی نقطه A را که ناظری غیرلخت است در نظر بگیریم، در این دستگاه نمودار جسم آزاد به صورت مقابل خواهد بود:
که F نیروی مجازی است که در این دستگاه باید اثر آن را در نظر بگیریم.
شرط اینکه جسم ساکن (در حالت تعادل) باشد آن است که:

از حل این دو معادله به دست خواهد آمد:

منابع:
1- دینامیک جلد اول- تالیف جی. ال. مریام/ ال. جی. کریگ. ترجمه دکتر سعید محجوب مقدس
2- کتاب دوره ی مفهومی فیزیک، تالیف محمد مهدی شیخ جباری

موضوع:
دینامیک

نام محقق:

فهرست مطالب
عنوان صفحه
1) مقدمه ای بر دینامیک 1
1/1) تاریخچه و کاربردهای جدید 1
2/1) مفاهیم اساسی 3
3/1) قوانین نیوتن 5
4/1) جاذبه 10
5/1) نیروی کشش فنر 10
6/1) نیروی کشش نخ 11
7/1) نیروی عکس العمل سطح 11
8/1) نیروی اصطکاک 12
9/1) ابعاد (دیمانسیونها) 13
2) به کار بردن معادلات نیوتن برای حل مسائل 15
1/2) مسائلی که در آنها چند نیرو به جسم وارد می‎شود 15
معادلات نیوتن 16
معادلات نیوتن 18
حل معادلات 18
2/2) قیود حرکت و درجات آزادی 19
معادلات نیوتن 21
3/2) معادله ی نیوتن برای ناظر غیرلخته نیروی مجازی 22
1

23