مسئله 18-1: همان طور که در شکل نشان داده شده، یک نیروی افقی F=30 lb به یخچالlb 230 وارد می شود. اصطاک قابل چشم پوشی است.
(a) مقدار شتاب یخچال چقدر است؟
(b) چه نیروهای عمودی بر یخچال توسط کف اتاق در نقاطA و B وارد می شود؟
راه حل: فرض کنید که یخچال بدون اوج حرکت می کند. ما معادلات حرکت زیر را داریم:
با حل این معادلات نتایج زیر بدست می آید:
چون A>0 و B>0 است پس فرض ما درست است.
مسئله 18-2: مسئله 18-1 را در شرایطی که ضریب اصطکاک جنبشی در A و B برابر با μ_k=0.1 باشد حل کنید.
راه حل: فرض کنید لغزش بدون اوج باشد.
با حل این معادلات نتایج زیر بدست می آید:
مسئله 18-3: زمانی که هواپیما شروع به بلند شدن از زمین می کند، نیروهای عمودی وارد بر چرخهای آن توسط باند فرودگاه در نقاط A و B برابر است با NA=720 lb و NB=1660 lb . شتاب هواپیما چقدر است؟
راه حل:NA=720 lb و NB=1660 lb داده شده است. از g=32.2 ft/s2 استفاده می کنیم.
سه مجهول وجود دارد (وزن W، نیروی رانش T، و شتاب a).
با حل این معادلات نتایج زیر بدست می آید:
مسئله 18-4: جرم بوئینگ 777، kg 300000 است. زمانی که آن شروع به بلند شدن از زمین می کند، دو موتور آن یک نیروی رانش افقی کلی برابر با T=670 KNاعمال می کنند. از نیروهای افقی وارده بر چرخها صرف نظر کنید.
(a) شتاب هواپیما چقدر است؟
(b) چه نیروهای عمودی بر چرخها در نقاط A و B وارد می شود؟
راه حل: ما اطلاعات زیر را داریم.
با حل معادلات فوق نتایج زیر بدست می آید:
مسئله 18-5: جرثقیل با شتاب ثابت به سمت راست حرکت می کند، و بار 800 kg بدون نوسان جابجا می شود.
(a) شتاب جرثقیل و بار چقدر است؟
(b) تنش در کابل های متصل به نقاط A و B چقدر است؟
راه حل: طبق قانون دوم نیوتن: Fx=800a N. مجموع نیروها در بار برابر است با:
مجموع گشتاورها در اطراف مرکز جرم برابر است با:
با حل این سه معادله همزمان:
مسئله 18-6: مجموع وزن گوکارت و راننده 240 lb است. موقعیت مرکز جرم ترکیبی آنها نشان داده شده است. چرخهای محرک عقب با همدیگر یک نیروی افقی 24 lb بر مسیر وارد می کنند. از نیروهای افقی اعمال شده به چرخهای جلو چشم پوشی کنید.
(a) شتاب گوکارت چقدر است؟
(b) چه نیروهای عمودی بر چرخها در نقاط A و B وارد می شود؟
راه حل:
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
مسئله 18-7: مجموع وزن دوچرخه و دوچرخه سوار 160 lb است. موقعیت مرکز جرم ترکیبی آنها در شکل نشان داده شده است. ابعاد نشان داده شده برابرند با b=21 in.، c=16 in.، و h=38 in.. بیشترین شتابی که دوچرخه می تواند بدون اینکه چرخ جلو زمین را ترک کند داشته باشد، چقدر است؟ از نیروی افقی وارد بر چرخ جلو توسط جاده صرف نظر کنید.
استراتژی: شما می خواهید مقدار شتابی که موجب می شود نیروی عمودی وارد بر چرخ جلو توسط جاده صفر باشد را تعیین کنید.
راه حل: معلومات: b=21 in.، c=16 in.، h=38 in.
پیدا کنید a را طوریکه NA=0 باشد.
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
مسئله 18-8:مجموع جرم دوچرخه و دوچرخه سوار 72 kg است. موقعیت مرکز جرم ترکیبی آنها در شکل نشان داده شده است. ابعاد نشان داده شده عبارتند از b=530 mm، c=400 mm، و h=960 mm. اگر دوچرخه با سرعت 5 m/s در حال حرکت باشد و دوچرخه سوار ترمز بگیرد، با رسیدن به بیشترین کاهش سرعت که در آن چرخ عقب زمین را ترک نخواهد کرد، چه مدت طول می کشد که دوچرخه بایستد، و در طول این زمان چه مسافتی را طی می کند؟
راه حل: معلومات:
پیدا کنید a را طوریکه NB=0 باشد.
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
حالا معادلات حرکت را می نویسیم:
زمانی که دوچرخه متوقف می شود:
مسافتی که دوچرخه پیموده است برابر است با:
مسئله 18-9: مجموع جرم موتورسیکلت و راننده آن kg 160 است. چرخ عقب یک نیروی افقی N 400 بر جاده وارد می آورد، و شما می توانید از نیروی افقی وارد شده توسط چرخ جلو صرف نظر کنید. با مدل سازی موتورسیکلت و چرخ های آن بصورت یک جسم صلب، (a) شتاب موتورسیکلت و (b) نیروهای عمودی وارد بر جاده توسط چرخهای عقب و جلو را تعیین کنید.
راه حل: نیروی اصطکاک در چرخ عقب برابر است با F=400 N. طبق قانون دوم نیوتن، شتاب برابر است با:
برآیند نیروها در جهت y برابر است با:
گشتاور در اطراف مرکز جرم برابر است با:
با حل این دو معادله دو مجهولی:
مسئله 18-10: ممان اینرسی دیسک در نقطهO برابر است با kg-m2 22. در t=0، این دیسک ایستا در معرض یک گشتاور ثابت برابر با N-m 50 قرار می گیرد.
(a) اندازه ی سرعت زاویه ای دیسک در t=5 s چقدر است؟
(b) از t=0 تا t=5 s دیسک چند دور می چرخد؟
راه حل: دینامیک:
سینماتیک:
در t=5 s،
مسئله 18-11: در طول راه پیمایی فضایی، فضانورد پیش ران واحد مانور خود را روشن می کند، که یک نیروی رانشی برابر با T=14.2 N به مدت 1 s اعمال می کند. از زمانی که پیش ران روشن می شود 60 ثانیه زمان لازم است که او یک دور بچرخد. اگر فضانورد و واحد مانور را به صورت یک جسم صلب مدل سازی کنید، ممان اینرسی در نزدیکی مرکز جرم آنها چقدر است؟
راه حل: سرعت زاویه ای برابر است با
از زمانی که پیش ران به مدت یک ثانیه روشن می شود
برایند گشتاورها برابر است با:
طبق معادله حرکت زاویه ای
که از آن نتیجه زیر بدست می آید:
مسئله 18-12: ممان اینرسی روتور هلی کوپتر برابر است با slug-ft2 420. روتور از حالت استراحت در t=0 شروع بکار می کند. گشتاور وارد بر آن توسط موتور به عنوان تابعی از زمانبصورت 500-20t ft-lb داده می شود.
(a) اندازه سرعت زاویه ای روتور در t=10 s چقدر است؟
(b) از t=0 تا t=10 s روتور چند دور می چرخد؟
راه حل: طبق دینامیک و سینماتیک
در t=10 s:
مسئله 18-13: ممان اینرسی بازوی کنترل کننده روبات به دور محور y برابر است با 10 kg-m2. ممان اینرسی قطعه ریخته گری شده 14 کیلوگرمی نگه داشته شده توسط بازو به دور محور y' برابر است با1.2 kg-m2. سیستم در ابتدا ساکن است. در t=0، این بازو در معرض یک گشتاور به دور محور y قرار می گیرد که به عنوان تابعی از زمان بصورت 220+100t N-m بیان می شود. چه مدت طول می کشد که بازو یک دور بچرخد؟
راه حل: ممان اینرسی این سازه به دور محور y برابر است با:
بنابراین:
با قرار دادن θ=1 rev=2π و حل معادلات فوق نتیجه می شود:
مسئله 18-14: ممان اینرسی فن تونل باد kg-m2 225 است. فن از حالت استراحت شروع بکار می کند. گشتاور وارد بر آن توسط موتور به عنوان تابعی از سرعت زاویه ای فن بصورت T=140-0.02ω^2 N-m ارائه می شود.
(a) زمانی که فن 620 دور چرخیده است، سرعت زاویه ای آن بر حسب rpm (دور در دقیقه) چقدر است؟
(b) ماکزیمم سرعت زاویه ای بر حسب rpm که فن بدست می آورد چقدر است؟
استراتژی: با نوشتن معادله ی حرکت زاویه ای، شتاب زاویه ای فن را بر حسب سرعت زاویه ای تعیین کنید. سپس از قانون زنجیره ای استفاده کنید:
راه حل:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
(b) ماکزیمم سرعت زاویه ای زمانی اتفاق می افتد که شتاب زاویه ای صفر است
مسئله 18-15: چرخ دنده های A و B می توانند بطور آزاد حول پین خود بچرخند. ممان اینرسی آنها برابر است باIA=0.002 kg-m2 و IB=0.006 kg-m2. آنها در ابتدا ساکن هستند، و در t=0 یک گشتاور ثابت M=2 N-m به چرخ دنده ی B اعمال می شود. در t=4 s چرخ دنده ی A چند دور چرخیده است؟
راه حل: از قراردهای جهتی معمول برای زوایا و شتاب زاویه ای استفاده کنید. شعاع چرخ دنده ی A60 mm و شعاع چرخ دنده B90 mm است. شتاب های مماسی در نقطه ی تماس برابر هستند: −rAαA= rBαB. طبق معادله ی حرکت زاویه ای
و
که از آن
زاویه چرخش در 4 ثانیه برابر است با:
که از آن
مسئله 18-16: دیسک های A، B و C در نقاط تماس خود نسبت به یکدیگر لغزشی ندارند. جرم آنها عبارت است از mA=4 kg، mB=16 kg و mC=9 kg. آنها در ابتدا ساکن هستند. در t=0، یک گشتاور ثابت پاد ساعتگرد 10 N-m به دیسک A اعمال می شود. سرعت زاویه ای دیسک C در t=5 s چقدر است؟
راه حل: نمودار جسم آزاد شکل فوق بصورت زیر است:
طبق دینامیک
محدودیت های سینماتیکی:
با حل پنج معادله برای پنج مجهول خواهیم داشت:
طبق روابط سینماتیک برای چرخ دنده C:
مسئله 18-17: ممان اینرسی قرقره 0.4 slug-ft2 است. وزنه ی 5-lb در سطح افقی صاف به حرکت در می آید. اگر سیستم از حالت سکون شروع به حرکت کند، در هر دو مورد تعیین کنید که در عرض 1 s وزن 5-lb چه مسافتی را به سمت راست طی می کند.
راه حل:
(a) روابط دینامیک
محدودیت سینماتیکی:
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
طبق روابط سینماتیکی:
در t=1 s داریم:
(b) روابط دینامیک
محدودیت سینماتیکی:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
طبق روابط سینماتیک:
در t=1 s خواهیم داشت:
مسئله 18-18: جرم میله باریک و دیسک به ترتیب برابر است با 5 kg و 10 kg. ضریب اصطکاک جنبشی بین دیسک و سطح افقی برابر است با μ_k=0.1 . شتاب زاویه ای دیسک را تعیین کنید اگر در معرض (a) یک گشتاور پاد ساعتگرد 8 N-m؛ (b) یک گشتاور ساعتگرد 8 N-m قرار گیرد.
راه حل:
برای میله داریم:
برای دیسک:
6 معادله 6 مجهول
با حل معادلات فوق،
نگاهی به راه حل مسئله 18-18(a) بیندازید. دو تغییر وجود دارد. مقدار MCبه -8 N-m تبدیل می شود و جهت نیروی اصطکاک تغییر پیدا می کند. معادلات برای دیسک به صورت زیر در می آید
توجه- علاومت MC در معادله فوق تغییر نداشت چون ما مقدار عددی آن را تغییر دادیم. با حل شش معادله نتایج زیر بدست می آید
مسئله 18-19: میله باریک 5-kg از حالت سکون در موقعیت افقی نشان داده شده رها می شود. اندازه سرعت زاویه ای میله را زمانی که به حالت عمودی در آمده است، تعیین کنید.
استراتژی: با رسم نمودار جسم آزاد میله زمانی که تا زاویه دلخواهθ سقوط کرده است و با استفاده از معادله حرکت زاویه ای، شتاب زاویه ای میله را به عنوان تابعی از θ تعیین کنید. سپس قانون زنجیره ای را اعمال کنید:
راه حل:
مسئله 18-20: اجسام متشکل از میله های یکسان 3-ft و 10-lb به یکدیگر جوش داده شده اند. اگر آنها در موقعیت های نشان داده شده از حالت سکون رها شوند، شتاب زاویه ای آنها چقدر است و مولفه های عکس العمل ها در نقطه A در آن لحظه چقدر است؟ (محورهای y عمودی هستند).
راه حل: سرعت زاویه ای در لحظه ی مورد نظر زمانی که سیستم از حالت سکون رها می شود برابر است با ω = 0. ممان اینرسی یک میله باریک در نزدیکی انتهای آن برابر است با I_end=(mL^2)⁄3 . ممان اینرسی در نزدیکی مرکز میله باریک برابر است با
(a) ممان اینرسی سیستم (a) در نزدیکی A برابر است با
مرکز جرم این سیستم برابر است با
گشتاور در نزدیکی A برابر است با
طبق معادله ی حرکت زاویه ای،
که از آن نتیجه می شود
عکس العمل ها در نقطه A از قانون دوم نیوتن بدست می آیند:
که در آن ax و ay شتاب در مرکز جرم سیستم هستند. از روابط سینماتیک:
که از آن، چون ω = 0 ،
عکس العمل در A: Ax=0،
(b) ممان اینرسی سیستم (b) در نزدیکی A برابر است با
مرکز جرم این سیستم برابر است با
این نتایج با نتایج قسمت (a) برابر هستند، که از آن
مسئله 18-21: جسم نشان داده شده از میله باریک 2-kgABC جوش داده شده به میله باریک 3-kgBDE تشکیل یافته است. محور y عمودی است. این جسم از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها می شود. شتاب زاویه ای آن و مولفه های نیروی اعمال شده به جسم توسط پین در نقطه D در لحظه ای که رها می شود را تعیین کنید.
راه حل: مرکز جرم در سمت چپ نقطه D در فاصله ی زیر واقع می شود
ممان اینرسی در نزدیکی نقطه O برابر است با
نمودار جسم آزاد
روابط دینامیک:
محدودیت سینماتیکی: a= (0.22 m)α
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
مسئله 18-22: در مسئله 18-21 شتاب زاویه ای و مولفه های نیروی اعمال شده به جسم توسط پین در نقطه Dدر لحظه ای که میله BDE در حالت عمودی قرار گرفته است را تعیین کنید.
راه حل: در یک زاویه دلخواه θ داریم
در موقعیت عمودی معادلات دینامیک زیر را داریم
و محدودیت های سینماتیک عبارتند از:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
مسئله 18-23: برای چه مقدار از x شتاب زاویه ای میله افقی ماکزیمم است، و ماکزیمم شتاب زاویه ای چقدر است؟
راه حل: ممان اینرسی برابر است با I=mx^2+1/12 mL^2 . گشتاور به دور پین برابر است با M=mgx. از معادله ی حرکت زاویه ای، Iα=mgx، که از آن
با مشتق گیری از رابطه فوق:
با حل معادله فوق:
مسئله 18-24: بازوی ABC را بعنوان یک جسم صلب مجزا مدل سازی کنید. جرم آن 300kg است، و ممان اینرسی در اطراف مرکز جرم آن I = 360 kg-m2 است. اگر نقطه A ساکن باشد و شتاب زاویه ای بازو 0.6 rad/s2 پاد ساعتگرد باشد، استوانه ی هیدرولیکی چه نیرویی به بازو در نقطه B اعمال می کند؟ (این بازو دو استوانه هیدرولیک دارد، در هر سمت وسیله یک استوانه وجود دارد. شما باید کل نیروی وارده توسط دو استوانه را تعیین کنید.)
راه حل: زاویه ی استوانه هیدرولیک با افق برابر است با:
ممان اینرسی در نزدیکی A برابر است با:
این ممان، مجموع گشتاورهای اعمال شده توسط استوانه و وزن بازو است:
از معادله ی حرکت زاویه ای: M=IAα، که از آن
مسئله 18-25: جرم کفی کامیون 2500 kg است و ممان اینرسی آن در نزدیکی نقطه o برابر است با 78000 kg-m2. در لحظه ی نشان داده شده، مختصات مرکز جرم کفی برابر است با m(3, 3.75) و مختصات نقطه ی B برابر است با m(4.5, 3.5). اگر شتاب زاویه ای کفی 0.5 rad/s2 در جهت ساعتگرد باشد، اندازه ی نیروی وارده بر کفی در نقطه B توسط استوانه ی هیدرولیک AB چقدر است؟
راه حل:
که در آن
که در آن I0=78000 kg-m2
با حل معادلات 1، 2، و 3 نتیجه می شود:
مسئله 18-26: بازوی BC دارای جرم kg 12 است و ممان اینرسی در نزدیکی مرکز جرم آن kg-m2 3 است. نقطه ی B ثابت است و بازوی BC یک سرعت زوایه ای پاد ساعتگرد ثابت برابر با rad/s 2 دارد. در لحظه ی نشان داده شده، گشتاور و مولفه های نیروی وارده بر بازوی BC در نقطه ی B چقدر است؟
راه حل: چون شتاب زاویه ای بازوی BC صفر است، مجموع گشتاورها در نقطه ی ثابت B بایستی صفر باشد.MB گشتاور وارده بر پشتیبان در نقطه ی B است. پس
MBگشتاور وارد بر نقطه ی B است. از قانون دوم نیوتن داریم: Bx=max، By-mg=may که در آن ax و ayشتاب های مرکز جرم هستند. طبق روابط سینماتیک:
که در آن طبق بیان مسئله شتاب زاویه ای صفر است. با جایگذاری در قانون دوم نیوتن برای بدست آوردن عکس العمل ها در نقطه B، خواهیم داشت:
مسئله 18-27: جرم بازوی BCkg 12 و ممان اینرسی در نزدیکی مرکز جرم آن kg-m2 3 است. در لحظه ی نشان داده شده، بازوی AB دارای یک سرعت زاویه ای ثابت ساعتگرد برابر با rad/s 2 و بازوی BC دارای یک سرعت زاویه ای پاد ساعتگرد برابر با rad/s 2 و یک شتاب زاویه ای ساعتگرد برابر با rad/s2 4 است. گشتاور و مولفه های نیروی وارد بر بازوی BC در نقطه B چقدر است؟
راه حل: چون نقطه B در حال شتاب گرفتن است، معادلات حرکت زاویه ای بایستی در نزدیکی مرکز جرم بازوی BC نوشته شوند. فاصله های برداری از A تا B و B تا G بترتیب عبارتند از:
شتاب نقطه B برابر است با:
شتاب مرکز جرم برابر است با:
طبق قانون دوم نیوتن،
از معادله ی حرکت زاویه ای، MG=IαBC. گشتاور به دور مرکز جرم برابر است با:
توجه داشته باشید که I=3 kg-m2 و αBC=-4k (rad/s2)، که از آن نتیجه می شود:
مسئله 18-28: موتورهای کنترل وضعیت شاتل فضایی دو نیروی Ff=8KN و Fr=2 KN را اعمال می کنند. بردارهای نیرو و مرکز جرم G در صفحه x-y چارچوب مرجع داخلی قرار می گیرند. جرم شاتل kg 54000، و ممان اینرسی آن به دور محور گذرنده از مرکز جرم که موازی محور z است برابر با 4.5×106 kg-m2 است. شتاب مرکز جرم و شتاب زاویه ای را تعیین کنید. (می توانید از نیروی وارد بر شاتل در اثر وزن آن صرف نظر کنید).
راه حل: طبق قانون دوم نیوتن
با قرار دادن Ff=8000 N، Fr=2000 N، و m=54000 kg و حل معادله فوق برای یافتن a، a=0.1108i-0.0168j (m/s2) بدست می آید. معادله ی حرکت زاویه ای برابر است با:
که در آن I=4.5×106 kg-m2. با حل معادله فوق برای α، شتاب زاویه ای پاد ساعتگرد برابر است با α=-0.000427 rad/s2.
مسئله 18-29: در مسئله 18-28 فرض کنید که Ff=4 KN و شما می خواهید که شتاب زاویه ای شاتل صفر باشد. نیروی لازم Fr و شتاب مرکز جرم حاصله را تعیین کنید.
راه حل: گشتاور کل به دور مرکز جرم بایستی برابر با صفر باشد:
با قرار دادن Ff=4000 N و حل معادله فوق،Fr=2306 N بدست می آید. از قانون دوم نیوتن داریم:
با حل معادله فوق،a=0.0313i-0.0109j (m/s2) بدست می آید.
مسئله 18-30: نقاط B و C در صفحه x-y قرار دارند. محور y عمودی است. مرکز جرم بازوی kg 18 BC در نقطه وسط خط عبوری از B تا C قرار دارد، و ممان اینرسی این بازو به دور محور گذرنده از مرکز جرم که موازی با محور z است، برابر است با 1.5 kg-m2. در لحظه نشان داده شده، بردارهای سرعت و شتاب زاویه ای بازوی AB برابرند با ωAB= 0.6k (rad/s)و αAB= −0.3k (rad/s2). بردارهای سرعت و شتاب زاویه ای بازوی BC عبارتند از ωBC= 0.4k (rad/s) و αBC= 2k (rad/s2). نیرو و گشتاور وارد بر بازوی BC را در نقطه Bتعیین کنید.
راه حل: شتاب نقطه B برابر است با aB= aA+ αAB×rA/B- ω2ABrA/B یا
شتاب مرکز جرم G بازوی BC برابر است با
یا aG= −1.059i + 0.374j (m/s2). طبق نمودار جسم آزاد بازوی BC :
قانون دوم نیوتن برابر است با
با حل معادله فوق، Bx=-19.1 N و By=183.3 N بدست می آید.
معادله حرکت زوایه برابر است با:
با حل معادله فوق برای MB، MB=62.6 N-m بدست می آید.
مسئله 18-31: نقاط B و C در صفحه x-y قرار دارند. محور y عمودی است. مرکز جرم بازوی kg 18 BC در نقطه وسط خط عبوری از B تا C قرار دارد، و ممان اینرسی این بازو به دور محور گذرنده از مرکز جرم که موازی با محور z است، برابر است با 1.5 kg-m2. در لحظه نشان داده شده، بردارهای سرعت و شتاب زاویه ای بازوی AB برابرند با ωAB= 0.6k (rad/s)و αAB= −0.3k (rad/s2). بردارهای سرعت زاویه ای بازوی BC برابر است با ωBC= 0.4k (rad/s). اگر شما بخواهید روبات را طوری برنامه ریزی کنید که شتاب زاویه ای بازوی BC در این لحظه صفر باشد، چه گشتاوری به بازوی BC در نقطه B باید وارد شود؟
راه حل: با توجه به راه حل مسئله 18-30، شتاب نقطه B برابر است با aB= −0.323i − 0.149j (m/s2). اگر αBC= 0 باشد، شتاب مرکز جرم G بازوی BC برابر است با:
از نمودار جسم آزاد بازوی BC در راه حل مسئله 18-30. طبق قانون دوم نیوتن:
با حل معادله فوق، Bx= −6.65 N و By= 172.90 N بدست می آیند. معادله ی حرکت زاویه ای برابر است با:
با حل معادله فوق برای MB، MB=52.3 N-m بدست می آید.
مسئله 18-32:هواپیمای 9000-kg تازه فرود آمده است. در لحظه نشان داده شده، سرعت زاویه ای آن صفر است. چرخ عقب آن در حال چرخش و تماس با مسیر فرود در x=10 m است. نیروی اصطکاک وارد بر چرخها قابل چشم پوشی است. مختصات مرکز جرم هواپیما برابر است با x=10.50، y=3.00 m. نیروی آیرودینامیک کل برابر است با −26.8i + 30.4j (kN)، و بطور موثر در مرکز فشار قرار گرفته در x=10.75، y=3.2m عمل می کند. نیروی رانش T=4.40 KN هیچ گشتاوری به دور مرکز جرم اعمال نمی کند. ممان اینرسی هواپیما به دور مرکز جرم آن 75000 kg-m2 است. شتاب زاویه ای هواپیما را تعیین کنید.
استراتژی: یک نمودار جسم آزاد از هواپیما، شامل نیروی عمودی وارد بر چرخ عقب رسم کنید. برای ایجاد رابطه بین شتاب مرکز جرم و شتاب زاویه ای، از این حقیقت که شتاب هواپیما (که بصورت یک جسم صلب در نظر گرفته می شود) در نقطه ای که چرخها با باند فرود تماس پیدا می کنند افقی است، استفاده کنید.
راه حل: نمودار جسم آزاد بصورت زیر است. C مرکز فشار و A نیروی آیرودینامیک است. طبق قانون دوم نیوتن می توان نوشت:
با جایگذاری مولفه های i و j،
گشتاور A به دور مرکز جرم برابر است با:
معادله ی حرکت زاویه ای بصورت زیر است:
برای ایجاد رابطه بین ax، ay و α، ما شتاب نقطه ی تماس P را بصورت زیر بیان می کنیم:
با جایگذاری مولفه های j،
با حل معادله های (1) تا (3)، شتاب زاویه ای بصورت زیر بدست می آید:
مسئله 18-33: شعاع دیسک 2-kg برابر است با R=80 mm. آن از حالت سکون بر روی سطح شیبدار رها می شود.
(a) چه مدت طول می کشد که دیسک یک دور کامل بچرخد؟
(b) حداقل ضریب اصطکاک ایستایی لازم بین دیسک و سطح چقدر باشد تا زمانی که دیسک رها می شود به جای اینکه بلغزد، چرخ بزند؟
راه حل: معلومات: R = 80 mm, g = 9.81 m/s2, θ = 30◦، بدون لغزش
ما معادلات دینامیک، سینماتیک، و حالت بدون لغزش را داریم:
با حل معادلات فوق نتایج زیر بدست می آید:
برای یک دور چرخش
مسئله 18-34: یک حلقه نازک و یک دیسک دایره ای شکل، هر یک با جرم m و شعاع R، بر روی یک سطح شیبدار از حالت سکون رها می شوند و اجازه داده می شود تا مسافت D چرخبزنند. نسبت زمانهایی که برای طی مسافت D در دو مورد اشاره شده لازم است را تعیین کنید.
راه حل: یک سیستم مختصات با محور x موازی با سطح شیبدار و مبدا واقع بر مرکز دیسک در لحظه ی رها شدن، انتخاب کنید. گشتاور در نزدیکی مرکز جرم برابر است با:
از معادله حرکت زاویه ای، M = Iα، که از آن بدست می آید:
طبق قانون دوم نیوتن و نمودار جسم آزاد:
که در آن α و ax از روابط سینماتیک بدست می آیند: شتاب نقطه ی تماس P با سطح شیبدار صفر است، که از آن نتیجه می شود
و
از محدودیت موجود بر حرکت، ACM=axi، که از آن ax=-Rα، یا
با جایگذاری و حل:
زمان لازم برای طی مسافت D پس از رها شدن از حالت سکون برابر است با:
ممان اینرسی برای یک حلقه ی نازک با شعاع R و جرم mدر نزدیکی محور قطبی برابر است با Iring=MR2. زمان مورد نیاز برای طی یک مسافت D برابر است با:
ممان اینرسی یک دیسک به شعاع R و جرم m در نزدیکی محور قطبی برابر است با I_disk=1/2 mR^2.
زمان لازم برای طی مسافت Dبرابر است با:
نسبت زمانها برابر است با:
مسئله 18-35: وزن استپ دیسک 40 lb و ممان اینرسی آن I = 0.2 slug-ft2. اگر دیسک از حالت سکون رها شود، چه مدت طول می کشد که مرکز آن به اندازه ی 3 ft سقوط کند؟ (فرض کنید که نخ به حالت عمودی باقی می ماند).
راه حل: گشتاور به دور مرکز جرم برابر است با M=-RT. طبق معادله ی حرکت زاویه ای، -RT=Iα، که از آن نتیجه می شود T=-Iα/R . از نمودار جسم آزاد و قانون دوم نیوتن: ∑▒〖F_y=T-W=ma_y 〗، که در آن ay شتاب مرکز جرم است. طبق روابط سینماتیک: ay=-Rα. با جایگذاری و حل:
زمان لازم برای سقوط به اندازه یک مسافت D برابر است با:
برای D=3 ft، ftR=4/12=0.3333 ، W=40 lb، m=W/g=1.24 slug، I = 0.2 slug-ft2:
مسئله 18-36: شعاع قرقره برابر است با R=100 mm و ممان اینرسی آن برابر است با I = 0.1 kg-m2. جرم وزنه m=5 kg است. ثابت فنر برابر است با K=135 N/m. سیستم از حالت سکون بدون کشیده شدن فنر رها می شود. تعیین کنید سرعت وزنه زمانی که مسافت x=0.5 m را طی کرده است چقدر است؟
استراتژی: نمودارهای جسم آزاد وزنه و قرقره را بطور جداگانه رسم کنید، و با استفاده از آنها شتاب a وزنه را به عنوان تابعی از مسافت سقوط کرده x تعیین کنید. سپس از قاعده ی زنجیره ای استفاده کنید:
a = dv/dt= (dv/dx)(dx/dt) = (dv/dx)v
راه حل:
با ترکیب معادلات فوق:
با جمع کردن دو معادله نتیجه می شود:
که در آن T1=+kx، a_x=v dv/dx
مسئله 18-37:شعاع قرقره برابر است با R=100 mm و ممان اینرسی آن برابر است با I = 0.1 kg-m2. جرم وزنه m=5 kg است. ثابت فنر برابر است با K=135 N/m. سیستم از حالت سکون بدون کشیده شدن فنر رها می شود. ماکزیمم سرعتی که وزنه به هنگام سقوط بدست می آورد چقدر است؟
راه حل: با توجه به راه حل مسئله 18-36،
با قرار دادن c = (m + I0/R2) و ضرب رابطه فوق در عدد 2:
با قرار دادن dv/dx=0 ، x=mg/k و محاسبه ی v در این مقدار xنتیجه می شود:
مسئله 18-38: جرم دیسک 45 kgو شعاع آن R=0.3 mاست. ثابت فنر برابر است با k=60 N/m. دیسک تا زمانی که به اندازه ی 0.5 m فشرده شود به سمت چپ حرکت داده می شود و سپس از حالت سکون رها می شود.
(a) با فرض اینکه دیسک می چرخد، شتاب آن در لحظه ای که رها می شود چقدر است؟
(b) حداقل ضریب اصطکاک ایستایی برای اینکه دیسک وقتی رها می شود نلغزد چقدر است؟
راه حل:
چرخیدن مستلزم این است که a0x= −Rα باشد.
در x = −0.5 mداریم،
چهار معادله، چهار مجهول (a0x,α,N,f)
(a) با حل معادلات نتیجه می شود:
(b) برای جلوگیری از لغزش،
مسئله 18-39: وزن دیسک 12 lb و شعاع آن R=6 in است. ثابت فنر برابر است با k=3 lb/ft. فنر بدون کشیده شدن از حالت سکون رها می شود. مقدار سرعت مرکز دیسک را زمانی که از موقعیت اولیه 2 ft حرکت کرده است، تعیین کنید اگر
(a) سطح شیبدار صاف باشد (اصطکاک قابل چشم پوشی است)؛
(b) دیسک بر روی سطح بچرخد.
راه حل: نمودار جسم آزاد را پس از اینکه دیسک یک فاصله دلخواه x را به سمت پایین سراشیبی طی کرده است رسم می کنیم.
معلومات مسئله:
برای هر دو مورد داریم:
(a) سطح شیبدار صاف است F=0. با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
(b) دیسک بدون لغزش چرخ می زند a=Rα. با حل معادلات خواهیم داشت:
مسئله 18-40: یک کره 42 lb با شعاع R=4 in. بر روی یک سطح افقی با سرعت زاویه ای اولیه ω0 = 40 rad/s قرار داده می شود. ضریب اصطکاک جنبشی بین کره و سطح برابر است با µk = 0.06. ماکزیمم سرعتی که مرکز کره بدست می آورد چقدر است، و چه مدت طول می کشد که به آن برسد؟
استراتژی: نیروی اصطکاک وارد بر کره در حال چرخش موجب خواهد شد که کره به سمت راست شتاب بگیرد. همچنین این نیروی اصطکاک موجب کاهش سرعت زاویه ای کره خواهد شد. مرکز کره تا زمانی که کره به جای اینکه بر روی آن بلغزد بر روی سطح می چرخد، شتاب خواهد گرفت. از رابطه بین سرعت مرکز و سرعت زاویه ای کره زمانی که در حال چرخش است برای تعیین اینکه چه زمانی کره شروع به چرخش می کند استفاده کنید.
راه حل: معلومات مسئله:
داریم:
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
از سینماتیک ما می دانیم که:
زمانی که ما به حرکت پایدار می رسیم داریم:
با حل معادله فوق برای زمان نتیجه می شود:
مسئله 18-41: یک بازیکن فوتبال توپ را به سمت هم تیمی خود واقع در فاصله 8 m شوت می کند. توپ با سرعت 6 m/s موازی با زمین و بدون سرعت زاویه ای پای بازیکن را ترک می کند. ضریب اصطکاک جنبشی بین توپ و چمن µk = 0.32 است. چه مدت طول می کشد توپ به هم تیمی او برسد؟ شعاع توپ 112 mm و جرم آن 0.4 kg است. ممان اینرسی توپ را با استفاده از معادله مربوطه برای یک پوسته کروی نازک تخمین بزنید: I=2/3 mR^2.
راه حل: معلومات مسئله µ = 0.32, r = 0.112 m, g = 9.81 m/s2, v0 =6 m/s
حرکت در دو مرحله اتفاق می افتد.
(a) لغزش.
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
زمانی که لغزش متوقف می شود داریم:
(b) چرخیدن (غلتیدن)- حرکت پایدار
وقتی که توپ به هم تیمی می رسد داریم:
مسئله 18-42:زمانی که نیروی F به نخ پیچیده شده به دور دیسک استوانه ای 100 kg اعمال می شود دیسک در حالت سکون است. ضرایب اصطکاک ایستایی و جنبشی بین دیسک و سطح برابرند با 0.2. شتاب زاویه ای دیسک را تعیین کنید اگر (a) F=500 N و (b) F=1000 N.
استراتژی: ابتدا مسئله را با فرض اینکه دیسک لغزش نمی کند، اما بر روی سطح می چرخد حل کنید. نیروی اصطکاک را تعیین کنید، و بیابید که آیا این نیرو از حاصلضرب ضریب اصطکاک و نیروی عمودی تجاوز می کند یا نه. اگر تجاوز کند، شما باید مجدداً مسئله را با فرض اینکه دیسک لغزش می کند حل کنید.
راه حل: یک سیستم مختصات با مبدا واقع در مرکز دیسک در حالت سکون، با محور x موازی با سطح صفحه انتخاب کنید. گشتاور به دور مرکز جرم برابر است با M = −RF – Rf، که از آن −RF − Rf= Iα. از این رابطه نتیجه می شود:
طبق قانون دوم نیوتن: F − f = max، که در آن ax شتاب مرکز جرم است. فرض کنید که دیسک می چرخد. در نقطه ی تماس aP= 0؛ که از آن نتیجه می شود 0 = aG+ α × rP/G− ω2rP/G.
که از آن ay= 0 و ax= −Rα. با جایگذاری برای f و حل معادله:
برای یک دیسک، ممان اینرسی به دور محور قطبی برابر است با I=1/2 mR^2، که از آن نتیجه می شود:
(a) برای F = 500 N، نیروی اصطکاک برابر است با
توجه: −µkW = −0.2 mg = −196.2 N، دیسک لغزش نمی کند. سرعت زاویه ای برابر است با:
(b) برای F=100 N شتاب برابر است با:
نیروی اصطکاک برابر است با:
دیسک استوانه ای می لغزد. معادله ی گشتاور برای لغزش −RF +Rµkgm= Iα است، که از آن:
مسئله 18-43: چرخ دنده ی حلقه ای ثابت است. جرم و ممان اینرسی چرخ دنده ی خورشیدی برابر است با mS= 320 kg و IS= 40 kg-m2. جرم و ممان اینرسی هر یک از چرخ دنده های سیاره ای برابر است با mP= 38 kg و IP= 0.60 kg-m2. اگر یک گشتاور M = 200 N-m به چرخ دنده ی خورشیدی اعمال شود، شتاب زاویه ای آن چقدر است؟
راه حل:
برای چرخ دنده ی خورشیدی:
برای چرخ دنده های سیاره ای:
طبق سینماتیک:
ما پنج معادله با پنج مجهول داریم. با حل این معادلات، αS= 3.95 rad/s2 (پاد ساعتگرد)
مسئله 18-44: در مسئله ی 18-43، زمانی که گشتاور 200 N-m به چرخ دنده ی خورشیدی اعمال می شود، اندازه ی نیروی مماس وارد بر چرخ دنده ی خورشیدی توسط چرخ دنده ی سیاره ای در نقطه ی تماس چقدر است؟
راه حل: به راه حل مسئله 18-43 رجوع کنید. با حل پنج معادله با پنج مجهول نتیجه می شود:
F مقدار مورد نیاز است.
مسئله 18-45: نردبان 18-kg در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شود. آن را بصورت یک میله ی باریک مدل سازی کنید و از اصطکاک صرف نظر کنید. در لحظه ی رها شدن، (a) شتاب زاویه ای نردبان و (b) نیروی عمودی وارد بر نردبان توسط کف را تعیین کنید.
راه حل: موقعیت برداری مرکز جرم برابر است با rG= (L/2) sin 30◦i + (L/2) cos 30◦j = 1i + 1.732j (m). نیروهای عمودی در بالا و پایین نردبان را با P و N نشان دهید. موقعیت نقاط A و B برابر است با rA= L sin 30◦i = 2i (m)، rB= L cos 30◦j = 3.46j (m). بردارها عبارتند از rA/G= rA− rG= 1i − 1.732j (m)، rB/G=rB− rG= −1i + 1.732j (m). گشتاور به دور مرکز جرم برابر است با:
طبق معادله ی حرکت زاویه ای:
طبق قانون دوم نیوتن:
که در آن axوay شتاب های مرکز جرم هستند.
از روابط سینماتیک داریم: aG= aA+ α × rG/A− ω2rG/A. چون سیستم از حالت سکون رها شده است سرعت زاویه ای صفر است،
که از آن نتیجه می شود ay= −α.
بطور مشابه،
که از آن نتیجه می شود ax = 1.732α. با جایگذاری در روابط (1)، (2) و (3)، سه معادله با سه مجهول بدست می آید:
با حل این معادلات نتایج زیر بدست می آید:
(a) α = 1.84 rad/s2, P = 57.3 N,
(b) N = 143.47 N
مسئله 18-46: نردبان 18-kg از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها می شود. آن را به صورت یک میله ی باریک مدل سازی کنید و از اصطکاک چشم پوشی کنید. شتاب زاویه ای آن را در لحظه ی رها شدن تعیین کنید.
راه حل: معلومات مسئله،
ابتدا محدودیت های سینماتیکی را پیدا کنید. داریم:
محدودیت ها عبارتند از:
معادلات دینامیک:
با حل پنج معادله با پنج مجهول داریم:
همچنین:
مسئله 18-47: میله باریک 4-kg از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده بر روی یک سطح زبر رها می شود. حداقل مقدار ضریب اصطکاک ایستایی را تعیین کنید که در آن میله زمانی که رها می شود نسبت به کف لغزشی نخواهد داشت.
راه حل: معلومات مسئله،
روابط سینماتیک:
تماس با کف مستلزم این است که،
معادلات دینامیک:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
همچنین داریم،
مسئله 18-48: جرم میله و جرم دیسک به ترتیب برابر است با 14 kg و 9 kg. سیستم از حالت سکون که در آن میله افقی است رها می شود. شتاب زاویه ای میله را در آن لحظه تعیین کنید اگر
(a) میله و دیسک در نقطه A به همدیگر جوش داده شوند،
(b) میله و دیسک توسط یک پین صاف در نقطه A به یکدیگر متصل شوند.
استراتژی: در بخش (b)، نمودار جسم آزاد میله و دیسک را بطور جداگانه رسم کنید.
راه حل:
O یک نقطه ثابت است.
برای میله:
برای دیسک:
ممان اینرسی کل دیسک و میله ی جوش داده شده به دور O برابر است با:
می توانیم معادله ی آخر را برای α بدون یافتن موقعیت و شتاب مرکز جرم، G، حل کنیم. با حل معادله،
(b) در این مورد، تنها ممان اینرسی تغییر می کند. چون دیسک بر روی یک پین صاف است نمی چرخد. آن تنها به عنوان یک جرم نقطه ای در یک فاصله ی L از نقطه ی O عمل می کند.
در این مورد، I'OD=mDl2 و I'T=IOB+I'OD=19.68 N-m2 است.
اکنون داریم:
با حل معادله فوق نتیجه می شود:α'=-9.57 rad/s2(ساعتگرد)
مسئله 18-49: میله افقی 5-lb بوسیله ی یک پین صاف در نقطه ی A به دیسک 10-lb متصل می شود. سیستم در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شود. شتاب های زوایه ای میله و دیسک در آن لحظه چقدر است؟
راه حل: معلومات
نمودار جسم آزاد:
معادلات دینامیک:
محدودیت سینماتیکی:
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
بنابراین:
مسئله 18-50: میله باریک 0.1-kg و دیسک استوانه ای در حالی که میله افقی است از حالت سکون رها می شوند. دیسک بر روی سطح منحنی شکل می چرخد. شتاب زاویه ای میله در لحظه ای که رها می شود چقدر است؟
راه حل: گشتاور به دور مرکز جرم دیسک برابر است با M = fR، از معادله ی حرکت زاویه ای داریم، Rf= Idαd. طبق قانون دوم نیوتن: f − By− Wd= mdady. چون دیسک می چرخد، شرایط سینماتیکی برابر است با ady= −Rαd . با ترکیب و آرایش مجدد روابط فوق: f = Iαd/R, Iαd/R − By− Wd= mdady، که از آن نتیجه می شود By+ Wd= (Rmd+ Id/R)αd. گشتاور به دور مرکز جرم میله برابر است با:
که از آن بدست می آید:
طبق قانون دوم نیوتن Ay− Wb+ By= mbaby، که در آن aby شتاب مرکز جرم میله است. شرایط سینماتیکی برای میله عبارت است از:
که از آن نتیجه می شود:
بطور مشابه، aD= aCM+ αb× ((L/2)i)، که از آن ady= Lαb. که از آن نتیجه می شود: αd= −Lαb/R. با جایگذاری این رابطه سه معادله با سه مجهول بدست می آید:
مقادیر عددی معلوم را جایگذاری کنید:
با حل معادلات نتایج زیر بدست می آید:
مسئله 18-51: جرم جسم معلق A8 kg است. جرم قرقره 5 kg و ممان اینرسی آن 0.036 kg-m2 است. اگر نیروی T=70 N باشد، اندازه ی شتاب A چقدر است؟
راه حل: معلومات مسئله
نمودار جسم آزاد:
معادلات دینامیک:
محدودیت های سینماتیکی:
با حل معادلات نتیجه می شود:
همچنین داریم:
مسئله 18-52: وزن جسم معلق A20 lb است. قرقره ها یکسان هستند، هر یک دارای وزن 10 lb و ممان اینرسی 0.022 slug-ft2. اگر نیروی T=15 lb باشد، اندازه ی شتاب A چقدر است؟
راه حل: معلومات مسئله
نمودارهای جسم آزاد:
معادلات دینامیک:
محدودیت های سینماتیکی:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
همچنین داریم:
مسئله 18-53: میله ی نازک 2 kg و بلوک 5 kg در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شوند. اگر اصطکاک ناچیز باشد، شتاب بلوک در آن لحظه چقدر است؟
راه حل:
جهت هایی برای Bx، By، I_G=1/12 m_B L^2 فرض کنید
طبق سینماتیک، ω = 0(در ابتدا)
که در آن
با توجه به نمودار a0=a0xi
می دانیم که θ = 55◦, IG = 0.167 kg-m2, L = 1 m, m = 2 kg, M = 5 kg. ما 7 معادله و 7 مجهول داریم:
با حل معادلات خواهیم داشت:
مسئله 18-54: میله نازک 2-kg و بلوک 5-kg در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شوند. حداقل ضریب اصطکاک ایستایی لازم بین بلوک و سطح افقی برای اینکه بلوک زمانی که سیستم رها می شود حرکت نکند، چقدر است؟
راه حل: این راه حل بسیار شبیه به راه حل مسئله 18-53 است. یک نیروی اصطکاک f = µsNاضافه می کنیم و a0x= 0قرار می دهیم.
(این معادلات همانند معادلات موجود در مسئله 18-53 هستند)
توجه: در مسئله 18-53، Bx=-5.77 N (آن در جهت مخالف جهت فرض شده بود). این امر منجر شد به اینکه a0x به سمت راست باشد. بنابراین، اصطکاکی بایستی به سمت چپ باشد
طبق سینماتیک:
با حل 7 معادله با 7 مجهول، نتیجه می شود:
مسئله 18-55: میله نازک 0.4-kg و دیسک 1-kg در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شوند. اگر دیسک بچرخد، شتاب زاویه ای میله در لحظه ی رها شدن چقدر است؟
راه حل: یک سیستم مختصات با مبدا واقع بر نقطه B و محور x موازی با سطح صفحه انتخاب کنید. از قانون دوم نیوتن اعمال شده به دیسک،
گشتاور به دور مرکز جرم دیسک برابر است با Md= −Rf، که از آن نتیجه می شود −Rf= Idα. از قانون دوم نیوتن اعمال شده به میله: −Bx= mbabx، By− Wb= mbaby، که در آن abxو aby شتاب مرکز جرم میله هستند. موقعیت برداری مرکز جرم میله برابر است با:
طبق معادله حرکت زاویه ای برای میله:
با توجه به سینماتیک، شتاب دیسک با رابطه ی adx= −Rαdبه شتاب زاویه ای ربط داده می شود. شتاب مرکز جرم میله برابر است با ab= ad+ αb× rCM/B. از محدودیت موجود بر حرکت دیسک، ad= adxi.
که از آن
روابط فوق را جایگذاری کنید تا شش معادله با شش مجهول بدست آید:
با جایگذاری مقادیر عددی معلوم:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
مسئله 18-56: جرم میله باریک و صندوق بترتیب برابر است با 9 kg و 36 kg. صندوق بر روی یک سطح افقی صاف قرار دارد. اگر سیستم در لحظه ی نشان داده شده در حالت سکون باشد و یک گشتاور پاد ساعتگرد برابر با M=300 N-m به میله اعمال شود، شتاب حاصله ی صندوق چقدر است؟
راه حل:
طبق سینماتیک:
که در آن
در نهایت نیاز داریم به رابطه ی بین aB و aC. کابل BC کشیده نمی شود
ما 11 معادله و 11 مجهول داریم:
با حل این معادلات خواهیم داشت:
مسئله 18-57: در مسئله ی 18-56، اگر ضریب اصطکاک جنبشی بین صندوق و سطح افقی برابر با µk= 0.2باشد، شتاب صندوق را تعیین کنید.
راه حل: معادلات مورد استفاده به استثنای معادله (4) همانند معادلات بکار رفته برای حل مسئله 18-56 هستند. نمودار جسم آزاد برای صندوق بصورت زیر است:
معادله (4) جدید برابر است با:
با حل مجموعه ی حاصله از یازده معادله و یازده مجهول (همان مجهولات موجود در مسئله 18-56(، نتایج زیر بدست می آید:
مسئله 18-58: میله ی AB با سرعت زوایه ای ثابت برابر با 6 rad/s در جهت پادساعتگرد می چرخد. وزن میله ی باریک BCD10 lb است و حلقه ای که میله BCD به آن در نقطه C ضمیمه می شود دارای وزن 2 lb است. محور y به سمت بالا است. با صرف نظر از اصطکاک، مولفه های نیروهای وارد بر میله BCD توسط پین های موجود در نقاط B و C را در لحظه ی نشان داده شده تعیین کنید.
راه حل: سرعت در نقطه ی B برابر است با:
سرعت در نقطه ی C برابر است با:
با توجه به محدودیت وارد بر حلقه در نقطه ی C، مولفه ی y سرعت صفر است، که از آن نتیجه می شود
شتاب در نقطه ی B برابر است با:
شتاب در نقطه ی C برابر است با:
با توجه به محدودیت وارده بر حلقه، aC=aCi. با جداسازی مولفه ها دو معادله با دو مجهول بدست می آید:
با حل معادلات:
شتاب مرکز جرم میله برابر است با:
طبق قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای اعمال شده به نمودار جسم آزاد میله ی BCD و حلقه ی C: برای میله BCD داریم،
و برای حلقه ی C، -Cx=mCaC، که در آن واحدها بایستی ثابت باشند. با حل معادلات فوق:
مسئله 18-59: جرم میله های باریک AB و BC بترتیب برابر است با 10 kg و 12 kg. سرعت های زاویه ای میله ها در لحظه ی نشان داده شده صفر است و نیروی افقی برابر است با F=150 N. سطح افقی صاف است. شتاب های زاویه ای میله ها را تعیین کنید.
راه حل: معلومات مسئله
نمودار جسم آزاد:
معادلات دینامیک:
محدودیت های سینماتیکی:
با حل معادلات فوق خواهیم داشت:
همچنین داریم:
مسئله 18-60: ممان اینرسی کل چرخ های عقب اتومبیل و اکسل را برابر با IR، و ممان اینرسی کل چرخ های جلو را IF در نظر بگیرید. شعاع تایرها R، و جرم کلی اتومبیل، شامل چرخها، m است. اگر موتور اتومبیل یک گشتاور T بر چرخهای عقب وارد کند و چرخها نلغزند، نشان دهید که شتاب اتومبیل برابر است با:
استراتژی: چرخها را جدا کنید و نمودارهای جسم آزاد را رسم کنید.
راه حل: نمودارهای جسم آزاد در شکل نشان داده شده است: ما باید سه معادله ی حرکت برای هر چرخ و دو معادله ی حرکت برای بدنه ی اتومبیل بنویسیم: بایستی گشتاورهای وارد بر چرخها به دور اکسل را جمع کنیم.
چرخ عقب:
چرخ جلو:
بدنه ی اتومبیل:
با جمع کردن معادلات y برای هر سه جسم، خواهیم داشت NR+NF=(mB+mR+mF)g=mg. با جمع معادلات برای هر سه جسم در جهت x نتیجه می شود :
از معادلات گشتاور برای چرخ ها خواهیم داشت:
و
با جایگذاری این روابط در معادله ی (1)، نتیجه می شود:
مسئله 18-61: جرم موتورسیکلت و راننده ی آن روی هم رفته 160 kg است. هر یک از چرخهای 9 kg دارای شعاع 330 mm و ممان اینرسی I=0.8 kg-m2 است. موتور چرخ عقب را با اعمال یک گشتاور بر آن به حرکت در می آورد. اگر چرخ عقب یک نیروی افقی 400-N بر جاده وارد آورد و نیروی افقی وارد بر جاده توسط چرخ جلو قابل چشم پوشی نباشد، (a) شتاب موتور سیکلت و (b) نیروهای عمودی وارد شده بر جاده توسط چرخهای عقب و جلو را تعیین کنید. (موقعیت مرکز جرم موتور سیکلت بدون در نظر گرفتن چرخهای آن در شکل نشان داده شده است).
راه حل: در نمودارهای جسم آزاد نشان داده شده، mw=9kg و m=160-18=142 kg. a شتاب موتورسیکلت به سمت راست و α شتاب زاویه ای ساعتگرد چرخهاست. توجه داشته باشید که
چرخ جلو:
چرخ عقب:
موتور سیکلت:
با حل معادلات (1) تا (10) با fR= 400 N، نتیجه می شود:
مسئله 18-62: در مسئله ی 18-61، اگر چرخ جلو زمانی که راننده شتاب را افزایش می دهد اندکی از جاده بلند شود، (a) شتاب موتورسیکلت و (b) گشتاور اعمال شده توسط موتور بر چرخ عقب را تعیین کنید.
راه حل: به راه حل مسئله 18-61 رجوع کنید. ما NF=0 قرار می دهیم و معادله ی (4) را با fF= 0جایگزین می کنیم. سپس با حل معادلات (1) تا (10) نتیجه می شود:
مسئله 18-63: ممان اینرسی دستگیره ی عمودی به دور نقطه O برابر است با 0.12 slug-ft2. جسم B دارای وزن 15 lb است و بر روی یک سطح صاف در حالت سکون قرار دارد. وزن میله ی AB قابل چشم پوشی است (که به معنی آن است که می توانید میله را به عنوان یک عضو دو نیرویی در نظر بگیرید). اگر شخص یک نیروی افقی 0.2 lb بر دستگیره 15 in.بالای نقطه O وارد کند، شتاب زاویه ای دستگیره چقدر خواهد بود؟
راه حل:α را شتاب زاویه ای ساعتگرد دستگیره در نظر بگیرید. شتاب نقطه B برابر است با:
می دانیم که αAB=0 و
نمودار جسم آزاد دستگیره و جسم B همانند شکل نشان داده شده است. توجه داشته باشید که β = arctan(6/12) = 26.6◦. قانون دوم نیوتن برای جسمB بصورت زیر است:
معادله ی حرکت زاویه ای برای دستگیره برابر است با:
با حل معادلات (1) تا (3) با F=0.2 lb نتیجه می شود:
مسئله 18-64:طول هر یک از میله ها 1 m و جرم آنها 2 kg است. آنها در صفحه ی افقی می چرخند. میله ی AB با سرعت زاویه ای ثابت 4 rad/s در جهت پاد ساعتگرد می چرخد. در لحظه ی نشان داده شده، میله BC با سرعت 6 rad/s در جهت پاد ساعتگرد در حال چرخش است. شتاب زاویه ای میله ی BC چقدر است؟
راه حل: معلومات مسئله
نمودار جسم آزاد:
روابط سینماتیک:
محدودیت های سینماتیکی ما عبارتند از:
معادلات دینامیک:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
مسئله 18-65: وزن هر یک از میله های OQ و PQ6 lb است. وزن حلقه ی P و اصطکاک بین حلقه و میله ی افقی ناچیز است. اگر سیستم از حالت سکون با زاویه ی θ = 45◦رها شود، شتاب زاویه ای این دو میله چقدر است؟
راه حل: اجازه دهید αOQ و αPQشتاب زاویه ای ساعتگرد میله ی OQ و شتاب زاویه ای پاد ساعتگرد میله ی PQ باشند. شتاب نقطه Q برابر است با
شتاب نقطه ی P برابر است با
با مساوی قرار دادن مولفه های i و j،
شتاب مرکز جرم میله ی PQ برابر است با
بنابراین،
طبق نمودارها:
معادله ی حرکت زاویه ای میله ی OQ برابر است با:
معادله های حرکت میله ی PQ عبارتند از:
با حل معادلات (1) تا (8) نتیجه می شود:
مسئله 18-66: در مسئله ی 18-65، اگر وزن حلقه ی P2 lb باشد، شتاب های زاویه ای دو میله چقدر خواهد بود؟
راه حل: در راه حل مسئله ی 18-65، نمودار جسم آزاد میله ی PQ دارای یک مولفه ی افقی P به سمت چپ می باشد که در آن P نیروی وارد بر میله توسط حلقه است. در این حالت معادله های (6) و (8) بصورت زیر در می آیند:
و معادله ی حرکت برای حلقه برابر است با:
با حل معادلات (9-1)، نتیجه می شود:
مسئله 18-67: میله ی باریک 4-kg بوسیله پین به لغزنده های 2-kg در نقاط A و B متصل می شود. اگر اصطکاک ناچیز باشد و سیستم در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها شود، شتاب زاویه ای میله در آن لحظه چقدر است؟
راه حل: شتاب نقطه ی B را برحسب شتاب نقطه ی A بنویسید،
شتاب نقطه ی G را بر حسب شتاب نقطه ی A بیان می کنیم،
نمودارهای جسم آزاد همانند شکل نشان داده شده هستند. معادله های حرکت عبارتند از:
لغزنده ی A:
لغزنده ی B:
و
میله:
و
که در آن
و
با حل معادلات (1) تا (11) نتیجه می شود:
مسئله 18-68: جرم میله ی باریک m و جرم دیسک همگن 4m است. سیستم در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شود. اگر دیسک بچرخد و اصطکاک بین میله و سطح افقی ناچیز باشد، نشان دهید که شتاب زاویه ای دیسک α=6g/95R پاد ساعتگرد است.
راه حل: برای میله: طول میله برابر است با L=√5 R. با اعمال قانون دوم نیوتن به نمودار جسم آزاد میله: Bx= maGx، By+ NA − mg = maGy، که در آن aGxو aGy شتاب مرکز جرم میله هستند. گشتاور به دور مرکز جرم میله برابر است با
برای دیسک: قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای را به نمودار جسم آزاد دیسک اعمال کنید. f − Bx= 4maDx، ND−4mg − By= 0، RBy+ Rf= IDαD
طبق سینماتیک: چون سیستم از حالت سکون رها می شود، ωAB=ωD= 0. شتاب مرکز دیسک برابر است با aD= −RαDi. شتاب نقطه ی B بر حسب شتاب مرکز دیسک برابر است با
شتاب مرکز جرم میله بر حسب شتاب نقطه ی B برابر است با
شتاب مرکز جرم میله بر حسب شتاب نقطه ی A برابر است با
از محدودیت وارد بر حرکت، aA= aAi. با مساوی قرار دادن روابط برای aG، جداسازی مولفه ها و حل معادلات خواهیم داشت:
جایگذاری کنید تا نتایج زیر بدست آید:
نتایج را جمع آوری کنید:
از روابط (1)، (2) و (3)
از روابط (1)، (4) و (6)،
با مساوی قرار دادن روابط برای By و کاهش آنها نتیجه می شود:
برای یک استوانه ی همگن با جرم 4m، ID= 2R2m. برای یک میله باریک با جرم m به دور مرکز جرم،
با جایگذاری و کم کردن:
مسئله 18-69: میله ی AB در صفحه ی افقی با سرعت زاویه ای ثابت 10 rad/s در جهت پادساعتگرد می چرخد. جرم میله های باریک BC و CD به ترتیب برابر است با3 kg و 4.5 kg. مولفه های x و y نیروهای وارد بر میله ی BC توسط پین های موجود در نقطه B و C را در لحظه ی نشان داده شده تعیین کنید.
راه حل: ابتدا روابط سینماتیکی را بدست می آوریم
سرعت:
چون نقطه ی D با پین ثابت شده است، داریم:
شتاب:
چون نقطه D با پین ثابت شده است، خواهیم داشت:
حالا شتاب های مرکز جرم G را پیدا کنید.
نمودارهای جسم آزاد:
روابط دینامیکی:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
مسئله 18-70: میله ی 2-kg در صفحه ی افقی به دور پین صاف می چرخد. حلقه ی 6-kgA بر روی میله ی صاف می لغزد. در لحظه ی نشان داده شده، r=1.2 m، ω =0.4 rad/s، و حلقه با سرعت 0.5 m/s نسبت به میله به سمت خارج در حال لغزش است. اگر از ممان اینرسی حلقه صرف نظر شود (یعنی، حلقه بصورت یک ذره در نظر گرفته می شود)، شتاب زاویه ای میله چقدر خواهد بود؟
استراتژی: نمودارهای جسم آزاد میله و حلقه را رسم کنید و قانون دوم نیوتن را برای حلقه بر حسب مختصات قطبی بنویسید.
راه حل: نمودارهای میله و حلقه که نشان دهنده ی نیروی وارد بر هریک از آنها توسط دیگری در صفحه ی افقی است، مطابق شکل زیر است.
معادله ی حرکت زاویه ای میله برابر است با:
در مختصات قطبی، قانون دوم نیوتن برای حلقه به صورت زیر است:
با مساوی قرار دادن مولفه های eθ،
با حل معادلات (1) و (2) با r=1.2 m، نتیجه می شود:
مسئله 18-71: در مسئله ی 18-70، ممان اینرسی حلقه به دور مرکز جرم آن برابر است با 0.2 kg-m2. شتاب زاویه ای میله را تعیین کنید و جواب خود را با جواب مسئله ی 18-70 مقایسه کنید.
راه حل: اجازه دهید C گشتاور اعمال شده توسط حلقه و میله بر یکدیگر باشد: معادله ی حرکت زاویه ای میله برابر است با
معادله ی حرکت زاویه ای حلقه برابر است با
از راه حل مسئله ی 18-70، مولفه ی eθقانون دوم نیوتن برای حلقه برابر است با
حل معادله های (3)-(1) با r=1.2 m نتیجه می دهد:
مسئله 18-72: موشک 3-Mg در 2g' s در حال شتاب گرفتن به سمت بالاست. اگر آن را بصورت یک میله ی همگن مدل سازی کنید، اندازه ی نیروی P در نقطه ی وسط چقدر است.
راه حل: در نقطه ی وسط، جرم در بالای نقطه ی وسط برابر است با m/2=3/2 Mg=1500 kg. با اعمال قانون دوم نیوتن به نمودار جسم آزاد:
که در آن a=2g. با مرتب سازی مجدد رابطه:
مسئله 18-73: میله ی باریک 20-kg به یک شفت عمودی در نقطه ی A متصل می شود و با سرعت زاویه ای ثابت 10 rad/s در صفحه ی افقی می چرخد. نیروی محوری P در نقطه ی میانی میله چقدر است؟
راه حل: جرم نیمه ی خارجی میله m/2=10 kg است. با اعمال قانون دوم نیوتن به نمودار جسم آزاد -P=(m/2) a_CM، که در آن aCM شتاب مرکز جرم نیمه ی خارجی میله است.
طبق سینماتیک:
که از آن نتیجه می شود:
مسئله 18-74: میله ی باریک 20-kg به یک شفت عمودی در نقطه ی A متصل می شود و با سرعت زاویه ای ثابت 10 rad/s در صفحه ی افقی می چرخد. نمودار نیروی محوری در میله را بعنوان تابعی از x رسم کنید.
راه حل: موقعیت برداری مرکز جرم بخش خارجی میله، x، برابر است با
با اعمال قانون نیوتن به بخش خارجی میله:
جرم بخش خارجی میله برابر است با
که از آن نتیجه می شود
از سینماتیک، شتاب مرکز جرم بخش خارجی میله برابر است با
که از آن
نمودار بصورت زیر نشان داده می شود:
مسئله 18-75: میله ی باریک 100-lbAB دارای یک تکیه گاه توکار در نقطه ی A است. محور y به سمت بالاست. مقدار نیروی برشی و گشتاور خمشی نقطه ی میانی میله را تعیین کنید اگر (a) تکیه گاه ثابت باشد و (b) تکیه گاه با شتاب 10 ft/s2 به سمت بالا در حال شتاب گرفتن باشد.
راه حل:
(a) برش در نقطه ی میانی، طبق تعریف، برابر است با مجموع بار وارد بر سمت راست. بنابراینV=(50+20)=70 lb. گشتاور برابر است با M=-(50)(1)-20(2)=-90 ft-lb. کنترل کنید: چگالی در واحد طول برابر است با 25 lb/ft. توزیع برشی برابر است با V(x)=120-25x، که از آن نتیجه می شود V(2)=70lb. کنترل کنید: گشتاور برابر است با
ثابت یکپارچگی از M(4)=0 پیدا می شود، که از آن C=-280، که از آن نتیجه می شود M(2)=-90 lb-ft. کنترل کنید.
(b) فرض کنید که خمش میله زمانی که نقطه A شتاب می گیرد ناچیز باشد. چگالی جرمی برابر است با 25/g=0.778 slug/ft. برش برابر است با
که از آن نتیجه می شود V(2)=85.54 lb. توزیع گشتاور برابر است با
ثابت یکپارچگی از M(4)=0 تعیین می شود، که از آن نتیجه می شود C=-342.2، و M(2)=-105.5 lb-ft. کنترل کنید: بار وارد به سمت راست نقطه ی میانی برابر است با
گشتاور برابر است با
مسئله 18-76: برای میله در مسئله 18-75، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را برای هر دو مورد رسم کنید.
راه حل: از راه حل مسئله 18-75 استفاده کنید:
(a) توزیع های برش و گشتاور برابرند با
(b) توزیع های برش و گشتاور برابر هستند با
نمودارها بصورت زیر رسم می شوند.
مسئله 18-77: نردبان 18-kg در موقعیت نشان داده شده، توسط نیروی F در حالت تعادل نگه داشته می شود. از اصطکاک صرف نظر کنید و نردبان را بصورت یک میله ی باریک مدل سازی کنید.
(a) نیروی محوری، نیروی برشی، و گشتاور خمشی در نقطه ی میانی نردبان چقدر است؟
(b) اگر نیروی F بطور ناگهانی برداشته شود، نیروی محوری، نیروی برشی، و گشتاور خمشی در نقطه ی میانی نردبان در آن لحظه چقدر خواهد بود؟
راه حل:استراتژی برای حل مسئله، پیدا کردن عکس العمل ها در سطوح و استفاده از آن برای تعیین نیروی محوری، نیروی برشی، و گشتاور خمشی در نقطه ی میانی نردبان برای حالت استاتیک است. این فرایند برای حالت دینامیک نیز تکرار می شود.
(a) عکس العمل ها در حالت استاتیک: یک سیستم مختصات با مبدا واقع در O و محور x موازی با کف انتخاب کنید. از هندسه و نمودار جسم آزاد نردبان،
که در آن θ=30°. با اعمال شرایط تعادل استاتیکی به نمودار جسم آزاد: -F+A=0، B-W=0. گشتاور به دور مرکز جرم نردبان برابر است با
با جایگذاری مقادیر عددی و حل معادلات: B=176.58 N، A=50.97 N، F=50.97 N.
نیروی محوری، نیروی برشی، و گشتاور خمشی در نقطه ی میانی در حالت استاتیک: نیمه ی پایینی نردبان را در نظر بگیرید، و توجه داشته باشید که طبق تعریف گشتاور خمشی، Mbend=-M. از تعاریف و سیستم مختصات برای عکس العمل های حالت استاتیک ارائه شده در بالا استفاده کنید. با اعمال شرایط تعادل به نمودار جسم آزاد:
که از آن نتیجه می شود P=-101.9 N، V=0M=-44.15 N-m، Mbend=-M=44 N-m.15 N-m.
(b) حالت دینامیک؛ عکس العمل ها: نیروی F صفر است. از نمودار جسم آزاد، اعمال قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای برای حالت دینامیک، سه معادله ی زیر حاصل می شود:
که در آن aGx و aGy شتاب های مرکز جرم هستند. از محدودیت وارد بر حرکت، شتاب نقاط A و B برابر است با
که در آن θ=30°. از سینماتیک، شتاب G بر حسب شتاب A برابر است با
که از آن
شتاب نقطه G بر حسب شتاب نقطه B برابر است با
که از آن
با جایگذاری این روابط در قوانین نیوتن سه معادله با سه مجهول بدست می آید: A=m√3 α، B-W=-mα، B sinθ-A cosθ=(I_G α)/2، که در آن
با حل معادلات فوق:
کنترل کنید: از مثال 18-4،
نیروی محوری، نیروی برشی، و گشتاور خمشی در نقطه ی میانی: نیمه ی پایینی نردبان را در نظر بگیرید. موقعیت برداری مرکز جرم برابر است با
که از آن
از روابط سینماتیکی: شتاب نقطه ی میانی نیمه ی پایینی بر حسب شتاب نقطه B برابر است با
که در آن aG شتاب مرکز جرم نیمه ی پایینی نردبان است، که از آن
شتاب
با اعمال قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه به نمودار جسم آزاد نیمه ی پایینی نردبان (نمودار در بخش (a)، با F=0) و استفاده از روابط سینماتیکی، نتیجه می شود:
گشتاور به دور مرکز جرم برابر است با
که در آن
با حل معادلات نتیجه می شود:
طبق تعریف گشتاور خمشی، Mbend=-M=60.70 N-m.
مسئله 18-78: برای نردبان مسئله 18-77، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را برای هر دو مورد رسم کنید.
راه حل: یک سیستم مختصات همانند راه حل مسئله 18-77 انتخاب کنید. از راه حل مسئله 18-77 برای عکس العمل ها در نقطه A و B برای هردو مورد استفاده کنید. میله را در فاصله ی x از نقطه A برش دهید، و نیمه ی پایینی میله را در نظر بگیرید، (همان طور که در نمودار جسم آزاد نشان داده شده است)، توجه داشته باشید که طبق تعریف گشتاور خمشی، Mbend=-M. چگالی جرمی در واحد طول نردبان برابر است با
جرم بخش پایینی نردبان برابر است با
(a) حالت استاتیک: در راه حل مسئله ی 18-77 عکس العمل های B و F برابر بودند با B=176.58 N، F=50.97 N. با اعمال شرایط تعادل به نمودار جسم آزاد نتیجه می شود:
گشتاور به دور مرکز جرم بخش پایینی نردبان برابر است با
راه حل این سه معادله عبارت است از:
نمودار نشان داده شده است. ]کنترل کنید: طبق تعریف، گشتاور خمشی برابر است با انتگرال برش،
در x=L گشتاور خمشی صفر است، که از آن نتیجه می شود C=-WL/2+(B sinθ-F cosθ )L. با جایگذاری:
کنترل کنید. در x=0، Mbend=0، که از آن
(b) حالت دینامیک: از راه حل مسئله 18-77 برای عکس العمل ها استفاده کنید: B=143.5 N، α=1.84 rad/s2. از نمودار جسم آزاد و نتایج (a) استفاده کنید. فاصله ی برداری از نقطه A تا مرکز جرم بخش پایینی برابر است با
که از آن
از روابط سینماتیک:
که از آن
که از آن نتیجه می شود
با اعمال قانون دوم نیوتن و معادله حرکت زاویه ای به نمودار جسم آزاد، و جایگذاری نتایج سینماتیکی نتیجه می شود
که در آن
نمودار ها بصورت زیر رسم می شوند.
مسئله 18-79: محاسبات ارائه شده در مثال 18-8 را، با استفاده از ∆t=0.1 s، ادامه دهیدو مکان زاویه ای و سرعت زاویه نردبان را در t=0.6 sو t=0.7 s تعیین کنید.
راه حل: زمان بصورت یک آرایه (لیست) بیان شده است طوریکه t[i]=t[1]+(i-1)∆t(1≤i≤8)، t[1]=0، ∆t=0.1 s. مقادیر اولیه در آرایه ها برای θ، ω و α برابر است با θ[1]=5°=0.0873 rad، ω[1]=0، α[1]=3g/2L sin〖(θ[1])=0.3206 rad/S^2 〗. الگوریتم برای یکپارچه سازی برابر است با
مقادیر بدست آمده در جدل ارائه شده است. به عنوان یک کنترل، مقادیر اولیه با مثال 18-10 در توافق هستند.
مسئله 18-80: ممان اینرسی روتور هلی کوپتر 400 slug-ft2 است. آن از حالت سکون در t=0 شروع به کار می کند، موتور یک گشتاور ثابت 500 ft-lb اعمال می کند، و کشش آیرودینامیکی یک گشتاور به اندازه ی 20ω2 ft-lb وارد می کند، که در آن ω سرعت زاویه ای روتور بر حسب شعاع بر ثانیه است. با استفاده از ∆t=0.2 s، موقعیت و سرعت زاویه ای روتور را برای پنج گام زمانی اول تعیین کنید. نتایج خود را برای سرعت زاویه ای با راه حل شکل بسته مقایسه کنید.
راه حل: شتاب زاویه ای از معادله ی حرکت زاویه ای برای روتور بدست می آید، Iα = T − 20ω2. برای راحتی، b=20 نشان دهید. طبق تعریف، α=dω/dt، که از آن، با جداسازی متغیرها، dω/(T-bω^2 )=dt/I . فرض کنید که در فاصله ی زمانی مورد نظر T>bω^2. با انتگرال گیری:
که در آن C ثابت انتگرال است. با مرتب سازی مجدد:
که از آن نتیجه می شود
زمانیکه t=0، ω=0، که از آن C2=0.
که راه حل شکل بسته برای سرعت زاویه ای است. هر چند که در مسئله خواسته نشده، شکل بسته برای موقعیت زاویه ای، یک انتگرال مستقیم است: طبق تعریف،
با انتگرال گیری:
که در آن C ثابت انتگرال است. زمانی که t=0، cosh(0)=1، ln(1)=0، پس θ=0 است که از آن نتیجه می شود C=0.
راه حل شکل بسته برای موقعیت زاویه ای است. با جایگذاری مقادیر عددی:
کنترل کنید:
برای انتگرال گیری عددی، زمان به شکل آرایه ی t[i]=t[1]+(i-1)∆t(1≤i≤6)، که در آن ∆t=0.2 s، t[1]=0. مقادیر اولیه عبارتند از θ[1]=0، ω[1]=0. انتگرال گیری عددی از الگوریتم زیر استفاده می کند:
نتایج در جدول ارائه شده است. ستون اول زمان است، بر حسب ثانیه. ستون دوم راه حل شکل بسته برای ω، بر حسب rad/s است. ستون سوم مقدار ω، rad/s، بدست آمده از انتگرال گیری عددی است. ستون چهارم مقدار شکل بسته ی θ، rads، است. ستون پنجم مقدار θ، rads، بدست آمده از انتگرال گیری عددی است. توجه داشته باشید مقادیر آخری توافق ضعیفی برای پنج گام اول نشان می دهند. (هر چه تعداد گام ها افزایش می یابد این توافق بهبود پیدا می کند).
مسئله 18-81: در مسئله 18-80، نمودار سرعت زاویه ای روتور را به عنوان تابعی از زمان از t=0 تا t=10s رسم کنید، با مقایسه ی راه حل شکل بسته، راه حل عددی با استفاده از ∆t=1.0 s و راه حل عددی با استفاده از ∆t=0.2 s.
راه حل: نمودار ها در شکل زیر نشان داده شده است.مشاهده ی تفاوت بین راه حل شکل بسته و راه حل عددی در مقیاس نمودار برای ∆t=0.2 s دشوار است، اما شکل بسته اندکی در سرتاسر کل محدوده اندکی بالاتر از راه حل عددی است. مشاهده عدم توافق برای ∆t=1 s راحت است.
مسئله 18-82: میله ی باریک 10 kg از حالت سکون درسطح افقی در موقعیت نشان داده شده رها می شود. با استفاده از ∆t=0.1 s، موقعیت زاویه ای و سرعت زاویه ای میله را برای پنج گام زمانی اول تعیین کنید.
راه حل: از معادله ی حرکت زاویه ای، گشتاور به دور تکیه گاه پین شده در نقطه A برابر است با
که در آن
که از آن، طبق تعریف، نتیجه می شود،
با جایگذاری مقادیر عددی:
الگوریتم برای انتگرال گیری عددی به صورت زیر است
نتایج در جدول زیر ارائه شده است.
مسئله 18-83: در مسئله 18-82، با استفاده از ∆t=0.1 s، ∆t=0.01 s، و ∆t=0.001 s، موقعیت و سرعت زاویه ای میله را به صورت تابعی از زمان، از t=0 تا t=0.8 s تعیین کنید. نمودارهای سرعت زاویه ای را به عنوان تابعی از موقعیت زاویه ای برای این سه مورد رسم کنید، و آنها را با نمودار راه حل شکل بسته برای سرعت زاویه ای به عنوان تابعی از موقعیت زاویه ای مقایسه کنید.
راه حل: از راه حل مسئله ی 18-82، شتاب زاویه ای برابر است با
با استفاده از قاعده ی زنجیره ای و تعریف سرعت زاویه ای نتیجه می شود
با جداسازی متغیرها و انتگرال گیری.
برای θ=0، ω=0، که از آن نتیجه می شود C=0، و راه حل شکل بسته برابر است با
که در آن علامت مثبت بنا به استدلال فیزیکی انتخاب شده است (میله در جهت پادساعتگرد می چرخد). الگوریتم مورد نیاز برای انتگرال گیری عددی همانند انتگرال ارائه شده در راه حل مسئله 18-82 است.
مسئله 18-84: در مسئله 18-82، فرض کنید که تکیه گاه پین میله شامل یک وسیله ی میرا کننده است که یک گشتاور ثابت مقاومت کننده به اندازه ی (N-m) cω وارد می کند، که در آن ω سرعت زاویه ای بر حسب شعاع بر ثانیه است. با استفاده از ∆t=0.001 s، نمودارهای سرعت زاویه ای میله را بصورت تابعی از زمان، از t=0 تا t=0.8 s برای حالت های c=0، c=2، c=4، و c=8 رسم کنید.
راه حل:از اعمال معادله ی حرکت زاویه ای به میله (رجوع کنید به راه حل مسئله 18-82)
که در آن
از رابطه فوق داریم
با جایگذاری مقادیر عددی:
الگوریتم برای انتگرال گیری عددی برابر است با: θ[1]=0، ω[1]=0، برایi=2 تا i=6،
نمودارها بصورت زیر است.
مسئله 18-85: نردبان 18-kg در موقعیت نشان داده شده از حالت سکون رها می شود. کف و دیوار صاف هستند. نردبان قبل از اینکه به کف برخورد کند تماس خود را با دیوار از دست خواهد داد. با استفاده از ∆t=0.001 s، زمان و مقدار زاویه ی بین دیوار و نردبان را زمانی که این اتفاق می افتد تخمین بزنید.
استراتژی: فرمولاسیون مسئله فرض می کند که نردبان در تماس با دیوار باقی می ماند. برای زمان های بزرگتر از زمانی که در آن نردبان تماس خود را از دست می دهد، راه حل برای نیروی عمودی وارد بر نردبان توسط دیوار منفی خواهد شد. بنابراین شما می توانید با تعیین زمانی که در آن نیروی عمودی به صفر کاهش می یابد زمانی را که در آن تماس از دست می رود را تعیین کنید.
راه حل: یک سیستم مختصات با مبدا واقع در گوشه ی دیوار و کف با محور x موازی با کف انتخاب کنید. نقطه تماس با دیوار را با P، نقطه تماس با کف را با N، و مرکز جرم را با G نشان دهید. از قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای،
که در آن
از روابط سینماتیک: فاصله ی برداری
شتاب مرکز جرم بر حسب شتاب در نقطه P برابر است با
محدودیت وارد بر حرکت در نقطه P به گونه ایست که
که از آن
شتاب مرکز جرم بر حسب شتاب نقطه ی N برابر است با
محدودیت وارد بر حرکت در نقطه N بگونه ایست که
که از آن
با گردآوری نتایج و جایگذاری روابط سینماتیکی نتیجه می شود:
با جایگذاری (1) و (2) در (3) و کم کردن نتیجه می شود
نردبان زمانی دیوار را ترک می کند که P=0 و α cosθ=ω^2 sinθ، بنابراین روابط (2) و (3) در حل عددی مورد نیاز نیستند. با جایگذاری مقادیر عددی: m=18 kg، L=4m، روابط NP=36(α cosθ-ω^2 sinθ ) و rad/s2α=3.68 sinθ بدست می آید. یک کپی از الگوریتم مورد استفاده در TK Solver Plus نشان داده شده است. این الگوریتم یک رویه ی معروفی است، که زمان و زاویه ای را که در آن نیروی وارد شده توسط دیوار از بین می رود را بر می گرداند. این مقادیر برابرند با: t=1.554 s و θ=0.8455 rads=48.44°. اگر چه توسط مسئله خواسته نشده، اما نمودار نیرویP برحسب زمان نشان داده می شود.
]کنترل: یک راه حل تحلیلی: از P=0، α cosθ=ω^2 sin〖θ=0〗. α=3g/2L sinθ را جایگذاری کنید. توجه داشته باشید که α=dω/dt، از قاعده زنجیره ای استفاده کنید:
با جداسازی متغیرها و انتگرال گیری:
فرض کنید که ω=0 در 0←θ (نردبان شروع به افتادن نخواهد کرد اگر دقیقا θ=0 باشد، اما ما فرض می کنیم که θ بسیار کوچک است)، که از آن نتیجه می شود
که از آن خواهیم داشت
که در آن علامت مثبت به این خاطر اتخاذ شده است که نردبان در جهت پادساعتگرد می چرخد. با جایگذاری:
با تفریق جبری، cosθ=2/3 بدست می آید که از آن نتیجه می شود θ=48.2°
مسئله 18-86: فنر پیچشی یک گشتاور پادساعتگرد kθ بر میله وارد می کند، که در آن k=20 N-m و θ بر حسب رادیان است. میله ی 2-kg دارای طول1 m است. در t=0، میله از حالت سکون در موقعیت افقی (θ=0) رها می شود. با استفاده از ∆t=0.01 s، موقعیت زاویه ای و سرعت زاویه ای میله را برای پنج گام زمانی اول تعیین کنید.
راه حل: معادله ی حرکت زاویه ای میله برابر است با
می دانیم که
شرایط اولیه:
گام زمانی اول: در t=t_0+∆t=0.01 s، زاویه برابر است با
و سرعت زاویه ای برابر است با
گام زمانی دوم: در t=t_0+2∆t=0.02 s زاویه برابر است با
و سرعت زاویه ای برابر است با
با ادامه ی محاسبات خواهیم داشت:
مسئله 18-87: با استفاده از یک راه حل عددی با ∆t=0.001 s، ماکزیمم زاویه ی θ که میله موجود در مسئله 18-86 زمانی که از حالت سکون در موقعیت افقی رها می شود به آن دست می یابد را تخمین بزنید. در چه زمانی پس از رها شدن زاویه ی ماکزیمم اتفاق می افتد؟
راه حل: با اجرای راه حل عددی به شیوه ای که در راه حل مسئله ی 18-86 توضیح داده شده، نمودار θ حاصله بر حسب زمان در زیر نشان داده می شود: با آزمایش نتایج کامپیوتر در نزدیکی ماکزیمم، ما تخمین زدیم که ماکزیمم زاویه θ=0.867 rad یا (49.7˚) درt=0.524 s اتفاق می افتد.
مسئله 18-88: محور L0 بر هر دو بخش میله ی باریک L شکل عمود است. جرم میله 6 kg و ماده صاف است. با استفاده از انتگرال گیری، ممان اینرسی میله را به دور L0 تعیین کنید.
راه حل: اجازه دهید A مساحت سطح مقطع عرضی میله باشد. جرم میله برابر است با m=6 kg=ρA(3 m)، بنابراین ρA=2 kg/m.
برای بخش افقی (شکل a)،
برای بخش عمودی (شکل b)،
بنابراین
مسئله 18-89: دو میله ی باریک همگن، هر یک با جرم m و طول l، به یکدیگر جوش داده می شوند تا جسم T شکل تشکیل دهند. با استفاده از انتگرال گیری، ممان اینرسی جسم را به دور محور گذرنده از O که عمود بر میله هاست تعیین کنید.
راه حل: جسم را به دو تکه تقسیم کنید، هر یک مربوط به یک میله ی باریک به جرم m؛ اولی موازی با محور y، دومی موازی با محور x. طبق تعریف
برای اولین میله، جرم دیفرانسیلی برابر است با dm=ρAdr. فرض کنید که میله ی دوم بسیار باریک باشد، طوریکه جرم آن در فاصله ی l از نقطه O متمرکز شود. پس dm=ρAdx، که در آن x بین محدوده ی -1/2≤x≤1/2 قرار می گیرد. فاصله تا یک dx دیفرانسیلی برابر است با r=√(l^2+x^2 ). بنابراین تعریف فوق تبدیل می شود به
مسئله 18-90: میله باریک در صفحه ی x-y قرار دارد. جرم آن 6 kg و ماده ی آن همگن است. با استفاده از انتگرال گیری ممان اینرسی آن را به دور محور z تعیین کنید.
راه حل: چگالی برابر است باρ=(6 kg)/(3 m)=2 kg/m
مسئله 18-91: میله ی باریک در صفحه ی x-y قرار دارد. جرم آن 6 kg و ماده ی آن همگن است. با استفاده از انتگرال گیری ممان اینرسی آن را به دور محور y تعیین کنید.
راه حل: چگالی برابر است با ρ=(6 kg)/(3 m)=2 kg/m
مسئله 18-92: صفحه ی نازک یکنواخت دارای جرم m=12 kgو ابعاد b=1 m و h=2 m است. ممان های اینرسی جرمی صفحه را به دور محورهای x، y، و z تعیین کنید.
استراتژی: ممان های اینرسی جرمی یک صفحه نازک با شکل دلخواه بوسیله ی معادله های (18-39)-(18-37) بر حسب ممان های اینرسی مساحت سطح مقطع صفحه ارائه می شوند. می توانید ممان های اینرسی مساحت مثلثی را از Appendix B بدست آورید.
راه حل:
از Appendix B،
مسئله 18-93: واشر برنجی دارای ضخامت یکنواخت و جرم m است.
(a) ممان های اینرسی آن را به دور محور x و z تعیین کنید.
(b) اجازه دهید Ri=0 باشد، و نتایج خود را با مقادیر ارائه شده در Appendix C برای یک صفحه ی دایره ای نازک مقایسه کنید.
راه حل:
(a) ممان های اینرسی سطحی برای یک سطح دایره ای برابر است با
برای یک صفحه با مقطع دایره ای،
چگالی جرمی سطحی برابر است با m/A ، بنابراین برای یک صفحه با یک برش دایره ای،
که برای آن ممان های اینرسی برابر است با
(b) با فرض Ri=0، نتیجه می شود
که با نتایج ارائه شده در جدول در توافق است.
مسئله 18-94: صفحه نازک همگن دارای ضخامت یکنواخت و وزن 20 lb است. ممان اینرسی آن را به دور محور y تعیین کنید.
راه حل: تعریف ممان اینرسی عبارت است از
فاصله از محور y برابر است با x، که x در محدوده ی -4≤x≤4 تغییر می کند. اجازه دهید τ=m/A=W/gA چگالی جرمی سطحی باشد. جرم یک المان ydx برابر است با dm=W/gA ydx. با جایگذاری در تعریف:
مساحت برابر است با
ممان ایترسی به دور محور y برابر است با
مسئله 18-95: در مسئله 18-94 ممان اینرسی صفحه را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: جرم دیفرانسیلی برابر است با dm=W/gA dydx. فاصله ی یک المان جرمی از محور x برابر است با y، بنابراین
از راه حل مسئله 18-94، A=21.333 ft2. بنابراین ممان اینرسی به دور محور x برابر است با
مسئله 18-96: جرم جسم 10 kg است. ممان اینرسی آن به دور L1 برابر است با 10 kg-m2. ممان اینرسی آن به دور L2 چقدر است؟ (سه محور نشان داده شده در یک صفحه قرار دارند).
راه حل: استراتژی این است که از داده ها برای یافتن ممان اینرسی به دور L استفاده کرد، و از آن ممان اینرسی به دور L2 می تواند تعیین شود.
که از آن
مسئله 18-97: یک مهندس که در حال جمع آوری داده ها برای طراحی یک واحد مانور است، تعیین می کند که مرکز جرم فضانورد در x=1.01، y=0.16 m قرار دارد و ممان اینرسی او به دور محور z برابر است با 105.6 kg-m2. جرم فضانورد 81.6 kg است. ممان اینرسی او به دور محور z' که از مرکز جرم او می گذرد چقدر است؟
راه حل: فاصله از محور z' تا محور z برابر است با √(x^2+y^2 )=1.02257 m. ممان اینرسی به دور محور z' برابر است با
مسئله 18-98: دو میله باریک همگن، هر یک با جرم m و طول l، به یکدیگر جوش داده می شوند تا یک جسم T شکل بسازند. از قضیه ی محور موازی برای تعیین ممان اینرسی جسم به دور محور گذرنده از نقطه O که عمود بر میله هاست، استفاده کنید.
راه حل: جسم را به دو تکه تقسیم کنید، هر تکه متناظر با یک میله به جرم m. طبق تعریف I=∫_0^l▒〖r^2 dm〗. برای میله ی اول، جرم دیفرانسیلی برابر است با dm=ρAdr، که از آن ممان اینرسی به دور یک سر میله برابر است با
برای میله دوم
ممان اینرسی به دور مرکز میله است. از قضیه ی محور موازی، ممان اینرسی به دور نقطه O برابر است با
مسئله 18-99: از قضیه ی محور موازی برای تعیین ممان اینرسی جسم T شکل در مسئله 18-98 به دور محوری که از مرکز جرم جسم می گذرد و بر هر دو میله عمود است، استفاده کنید.
راه حل: موقعیت مرکز جرم جسم برابر است با
از نتایج مسئله 18-98 برای ممان اینرسی یک میله به دور مرکز آن استفاده کنید،
برای میله دوم،
کامپوزیت:
کنترل: از نتایج مسئله 18-98 استفاده کنید:
مسئله 18-100: جرم میله باریک همگن 30 kg است. ممان اینرسی آن را به دور محور z تعیین کنید.
راه حل: چگالی برابر است با ρ=(30 kg)/(3 m)=10 kg/m
مسئله 18-101: جرم میله باریک همگن 30 kg است. ممان اینرسی میله را به دور محور z' که از مرکز جرم آن می گذرد تعیین کنید.
راه حل: ابتدا موقعیت مرکز جرم را تعیین کنید
با استفاده از جواب مسئله 18-100
مسئله 18-102: وزن میله باریک همگن 5 lb است. ممان اینرسی آن را به دور محور z تعیین کنید.
راه حل: جرم میله برابر است با m=5/32.2 slugs. طول آن برابر است با L=L_1+L_2+L_3=8+√(8^2+8^2 )+π(4)=31.9 in. بنابراین جرم بخش ها برابر است با،
مرکز جرم بخش 3 در سمت راست مرکز آن C در فاصله ی 2R⁄π=(2(4))⁄(π=2.55 in) قرار دارد. ممان اینرسی بخش 3 به دور C برابر است با
بنابراین ممان اینرسی بخش 3 به دور مرکز جرم بخش 3 برابر است با I_3=0.979-m_3 〖(2.55)〗^2=0.582 slug-〖in〗^2. ممان اینرسی میله به دور محور z برابر است با
مسئله 18-103: در مسئله 18-102 ممان اینرسی میله را به دور محور z' که از مرکز جرم آن می گذرد تعیین کنید.
راه حل: در راه حل مسئله 18-102، نشان داده شده است که ممان اینرسی میله به دور محور z برابر است با I(z axis)=11.6 slug-in2. مختصات x و y مرکز جرم منطبق است بر مرکز ثقل میله:
ممان اینرسی به دور محور z' برابر است با
مسئله 18-104: موشک نشان داده شده برای پژوهشهای جوی مورد استفاده قرار می گیرد. وزن و ممان اینرسی آن به دور محور z که از مرکز جرم آن می گذرد (شامل سوخت آن) بترتیب برابر است با 101000 lb و 10200 slug-ft2. وزن سوخت موشک 6000 lb است، مرکز جرم آن در نقطه x=-3 ft، y=0، و z=0 قرار می گیرد، و ممان اینرسی سوخت آن به دور محوری که از مرکز جرم سوخت موازی با محور z می گذرد برابر است با 2000 slug-ft2. زمانیکه سوخت تمام می شود ممان اینرسی موشک به دور محوری که از مرکز جرم جدید آن موازی با محور z می گذرد چقدر است؟
راه حل: ممان اینرسی موشک خالی را به دور مرکز جرم xEبه صورت IE ، و ممان اینرسی سوخت را به دور مرکز جرم xF بصورت IF نشان دهید. با استفاده از قضیه ی محور موازی، ممان اینرسی موشک پر شده به دور یک مرکز جرم در مبدا (xR=0) برابر است با
با حل این معادله:
هدف تعیین مقادیر عبارت های سمت راست با استفاده از اطلاعات داده شده است. چون موشک پر شده دارای یک مرکز جرم واقع در مبدا است، مرکز جرم موشک خالی از رابطه زیر بدست می آید:
که از آن
با استفاده از مقدار g=32 ft/s2،
که از آن
xE موقعیت جدید مرکز جرم است.
با جایگذاری:
مسئله 18-105: جرم صفحه نازک همگن 36 kg است. ممان اینرسی صفحه را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: صفحه را به دو ناحیه تقسیم کنید: مستطیل 0.4 m ×0.6 m در سمت چپ، و مستطیل 0.4 m ×0.3 m در سمت راست. چگالی جرمی برابر است با
مساحت برابر است با
که از آن
ممان اینرسی به دور محور x برابر است با
مسئله 18-106: ممان اینرسی صفحه ی مسئله 18-105 را به دور محور z تعیین کنید.
راه حل: رابطه اساسی که باید استفاده کرد عبارت است از
مقدار Ix-axisدر راه حل مسئله 18-105 داده شده است. ممان اینرسی به دور محور y با استفاده از همان تقسیمات صورت گرفته در مسئله 18-105 و قضیه ی محور موازی برابر است با
که از آن
مسئله 18-107: جرم صفحه نازک همگن 20 kg است. ممان اینرسی آن را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: همانند شکل زیر صفحه را به سه ناحیه تقسیم کنید.
با استفاده از جداول انتگرال داریم
مسئله 18-108: جرم صفحه نازک همگن 20 kg است. ممان اینرسی آن را به دور محور y تعیین کنید.
راه حل: رجوع کنید به راه حل مسئله 18-107
مسئله 18-109: رادیاتور حرارتی (که برای حذف حرارت اضافی از یک ماهواره مورد استفاده قرار می گیرد) می تواند بصورت یک صفحه ی مستطیلی نازک همگن مدل سازی شود. جرم رادیاتور 5 slugs است. ممان اینرسی آن را به دور محورهای x، y و z تعیین کنید.
راه حل: مساحت برابر است با
چگالی جرمی برابر است با
ممان اینرسی به دور مرکز ثقل مستطیل برابر است با
با استفاده از قضیه ی محور موازی:
مسئله 18-110: جرم صفحه نازک همگن 2 kg است. ممان اینرسی صفحه را به دور محور گذرنده از نقطه O که عمود بر صفحه است تعیین کنید.
راه حل: با تعیین ممان اینرسی مساحت صفحه به دور محورهای x و y، ممان اینرسی صفحه به دور محورهای x و y را تعیین خواهیم کرد، سپس برای بدست آوردن ممان اینرسی آن به دور محور z آنها را جمع خواهیم کرد، که برابر است با I0.
مساحت ها برابر است با
با استفاده از Appendix B،
بنابراین
سپس
مسئله 18-111: جرم مخروط همگن برابر است باm. ممان اینرسی آن را به دور محور z تعیین کنید، و نتیجه خود را با مقدار ارائه شده در Appendix C مقایسه کنید.
استراتژی: از همان روش استفاده شده در مثال 18-13 برای بدست آوردن ممان های اینرسی یک استوانه همگن استفاده کنید.
راه حل: جرم دیفرانسیلی برابر است با
ممان اینرسی این دیسک به دور محور z برابر است با 1/2 mr^2 . شعاع دیسک با zتغییر می کند، r=(R/h)z ، که از آن
مسئله 18-112:ممان های اینرسی مخروط همگن مسئله 18-111 را به دور محورهای x و y تعیین کنید، و نتایج خود را با مقادیر ارائه شده در Appendix C مقایسه کنید.
راه حل: چگالی جرمی برابر است با
المان دیفرانسیلی جرم برابر است با
ممان اینرسی این دیسک المانی به دور یک محور گذرنده از مرکز جرم آن، موازی با محورهای x و y، برابر است با
با استفاده از قضیه ی محور موازی،
با توجه به اینکه r=R/h z، پس
و
با جایگذاری:
مسئله 18-113: جسم همگن دارای یک شکل مخروط ناقص است و از برنز با چگالی جرمی ρ=8200 kg⁄m^3 ساخته شده است. ممان اینرسی این جسم را به دور محورz تعیین کنید.
راه حل: یک المان از مخروط شامل یک دیسک با ضخامت dz را در نظر بگیرید: ما می توانیم شعاع دیسک را بصورت یک تابع خطی zr=az+b بیان کنیم. با استفاده از شرایطی که در آن r=0 در z=0 و r=0.06 m در z=0.36 m برای محاسبه ی a و b نتیجه خواهد شد r=0.167 z. از Appendix C، ممان اینرسی این المان به دور محور z برابر است با
ما از این نتایج انتگرال می گیریم تا ممان اینرسی جرمی به دور محور z برای مخروط بدست آید:
مسئله 18-114: ممان اینرسی جسم مسئله 18-113 را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: المان دیسکی شرح داده شده در راه حل مسئله 18-113 را در نظر بگیرید. شعاع این لایه برابر است با r=0.167z. با استفاده از Appendix C و قضیه محور موازی، ممان اینرسی این المان به دور محور x برابر است با
با انتگرال گیری از نتیجه فوق،
مسئله 18-115: جرم متوازی السطوح مستطیلی همگن m است. ممان اینرسی آن را به دور محورهای x، y، و z تعیین کنید و نتایج خود را با مقادیر ارائه شده در Appendix C مقایسه کنید.
راه حل: یک برش مستطیلی عمود بر محور x به ابعاد b×c و جرم dm در نظر بگیرید. چگالی سطحی این تکه برابر است با ρ=dm/bc. ممان اینرسی به دور محورy مرکز ثقل یک صفحه نازک برابر است با حاصلضرب چگالی سطحی و ممان اینرسی سطحی صفحه:
که از آن
با استفاده از تقارن، ممان اینرسی بدور محور z برابر است با
چون نامگذاری محورهای x، y و z دلخواه است،
که در آن محور x بر مساحت صفحه عمود است. بنابراین
که از آن
با استفاده از تقارن، این استدلال می تواند برای هر یک از مختصات تکرار شود، تا نتایج زیر بدست آید:
مسئله 18-116: مخروط با قاعده ی کروی از ماده ای با چگالی 7800 kg/m3 ساخته شده است. شعاع R=80 mm است. ممان اینرسی آن را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: معلومات مسئله
با استفاده از جداول داریم:
مسئله 18-117: ممان اینرسی مخروط مسئله 18-116 را به دور محور y تعیین کنید.
راه حل: مرکز جرم یک نیم کره در فاصله ی 3R/8 از مرکز هندسی دایره قرار می گیرد.
مسئله 18-118: استوانه ی مدور از آلومینیم (Al) با چگالی 2700 kg/m3 و آهن (Fe) با چگالی 7860 kg/m3 ساخته شده است. ممان اینرسی آن را به دور محور x' تعیین کنید.
راه حل:
مسئله 18-119: ممان اینرسی استوانه ی مرکب در مسئله 18-118 را به دور محور y' تعیین کنید.
راه حل: ابتدا مختصات مرکز جرم را تعیین کنید
مسئله 18-120: قطعه ماشین همگن از آلیاژ آلومینیم با چگالی جرمی kg/m3ρ=2800 ساخته شده است. ممان اینرسی این قطعه را به دور محورz تعیین کنید.
راه حل: ما قطعه ماشین را همانند شکل به 3 قسمت تقسیم می کنیم: (ابعاد درون صفحه 0.04 m است) جرم این قسمت ها برابر است با
با استفاده از Appendix C و قضیه ی محور موازی، ممان اینرسی قسمت 1 به دور محور z برابر است با
ممان اینرسی قسمت 2 به دور محور گذرنده از مرکز C که موازی با محور z است برابر است با
فاصله در امتداد محور x از C تا مرکز جرم قسمت 2 برابر است با
بنابراین، ممان اینرسی قسمت 2 به دور محور z از میان مرکز جرم که موازی با این محور است برابر است با
با استفاده از این نتایج، ممان اینرسی قسمت 2 به دور محور z برابر است با
ممان اینرسی ماده ای که حفره 3 را اشغال می کند به دور محور z برابر است با
بنابراین،
مسئله 18-121: ممان اینرسی قطعه ماشین در مسئله 18-120 را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: همانند راه حل مسئله 18-120 قطعه ماشین را به سه قسمت تقسیم می کنیم. با استفاده از Appendix C و قضیه محور موازی، ممان اینرسی این قسمت ها به دور محور x برابرند با:
بنابراین،
مسئله 18-122: جسم نشان داده شده از فولاد با چگالی kg/m3ρ=7800 به عرض w=40 mm ساخته شده است. ممان اینرسی آن را به دور محور L0 تعیین کنید.
راه حل: جسم را به چهار بخش تقسیم کنید:
بخش (1): نیم استوانه با شعاع R=0.02 m، ارتفاع h1=0.01 m.
بخش (2): جامد مستطیلی به ابعاد L=0.1 m × h2=0.01 m × w=0.04 m.
بخش (3): نیم استوانه با شعاع R=0.02 m، h1=0.01 m.
بخش (4): استوانه به شعاع R=0.02 m، ارتفاع h=0.03 m.
بخش (1)
بخش (2)
بخش (3)
بخش (4)
ترکیب این چهار بخش:
مسئله 18-123: ممان اینرسی جسم در مسئله 18-122 را به دور محور گذرنده از مرکز جرم جسم موازی با L0 تعیین کنید.
راه حل: محل قرارگیری مرکز جرم نسبت به L0 بوسیله رابطه زیر داده می شود
مسئله 18-124: صفحه ضخیم از فولاد با چگالی slug/ft3ρ=15 ساخته شده است. ممان اینرسی این صفحه را به دور محور z تعیین کنید.
راه حل: جسم را به سه بخش تقسیم کنید: بخش (1) مستطیل به ابعاد 8 in × 16 in، بخشهای (2) و (3) برشهای استوانه ای.
بخش (1):
بخش (2):
بخش (3):
ترکیب این سه بخش:
مسئله 18-125: ممان اینرسی جسم در مسئله 18-124 را به دور محور x تعیین کنید.
راه حل: از همان تقسیمات صورت گرفته در مسئله 18-124 برای جسم استفاده کنید.
بخش (1):
بخش (2):
ترکیب بخشها:
مسئله 18-126: هواپیما در ابتدای مرحله بلند شدن خود است. وزن آن 1000 lb است و نیروی رانش اولیه T اعمال شده توسط موتور آن 300 lb است. فرض کنید که نیروی رانش افقی است، و از نیروهای مماسی وارد بر چرخهای آن صرف نظر کنید.
(a) اگر شتاب هواپیما ثابت بماند، چه مدت طول می کشد که هواپیما به سرعت بلند شدن برابر با 80 mi/hr برسد؟
(b) نیروی عمودی وارد بر چرخ دنده ی فرود جلو را در ابتدای مرحله بلند شدن تعیین کنید.
راه حل: شتاب تحت نیروی رانش ثابت برابر است با
زمان مورد نیاز برای رسیدن به سرعت 80 mph=117.33 ft/s برابر است با
برایند نیروهای عمودی برابر است با:
برایند گشتاورها برابر است با:
با حل معادلات فوق نتیجه می شود:
مسئله 18-127: قرقره ها می توانند بطور آزادانه بر روی تکیه گاه های پینی خود بچرخند. ممان اینرسی آنها برابر است با IA=0.002 kg-m2، IB=0.036 kg-m2، و IC=0.032 kg-m2. آنها ابتدا در حالت سکون قرار دارند، و در t=0 یک گشتاور ثابت M=2 N-m به قرقره A اعمال می شود. سرعت زاویه ای قرقره C چقدر است و در t=2 s چند دور چرخیده است؟
راه حل: تسمه های بالایی و پایینی را با زیروندهای U و L نشان دهید. تفاوت در مولفه ی مماسی کشش در تسمه ها را به صورت زیر نشان دهید
از معادله حرکت زاویه ای:
از سینماتیک:
که از آن
با جایگذاری و حل:
که از آن
مسئله 18-128: یک جعبه ی 2-kg در معرض یک نیروی افقی 40-N قرار می گیرد. از اصطکاک چشم پوشی کنید.
(a) اگر جعبه بر روی کف باقی بماند، شتاب آن چقدر است؟
(b) محدوده ی مقادیر c را که برای آن جعبه زمانی که نیرو اعمال می شود بر روی کف باقی خواهد ماند را تعیین کنید.
راه حل:
(a) از قانون دوم نیوتن، 40=(2)a، که از آن
(b) برآیند نیروها:
برایند گشتاورها به دور مرکز جرم:
∑▒M=0.1B-0.1A-40c=0.
با جایگذاری مقدار B از معادله ی اول در معادله دوم و حل آن برای c:
پایه ی جعبه در نقطه A زمانی که A≤0 کف را ترک خواهد کرد، که از آن
برای مقادیر A≥0.
مسئله 18-129: میله باریک 2-slugAB دارای 3 ft طول است. آن در نقطه A به گاری با پین متصل شده است و در نقطه B به آن تکیه دارد.
(a) اگر شتاب گاری a=20 ft/s2 باشد، چه نیروی عمودی بر میله توسط گاری در نقطه B وارد می شود؟
(b) بزرگترین شتاب a که برای آن میله در تماس با سطح در نقطه B باقی می ماند چقدر است؟
راه حل: با اعمال قانون دوم نیوتن به مرکز جرم میله نتیجه می شود
که در آن aGxو aGyشتاب مرکز جرم هستند. از سینماتیک،
که در آن مادامی که میله بر روی گاری در نقطه B در حال سکون قرار دارد و با پین به نقطه A متصل است α=0، ω_AB=0. با جایگذاری روابط سینماتیکی سه معادله با سه مجهول بدست می آید:
با حل معادلات:
برای W=mg=64 lb، θ=60°، m=2 slug، و a=20 ft/s2 نتیجه می شود B=-1.43 lb، که در آن میله از گاری در نقطه B جدا می شود. (b) شتابی که باعث تولید یک نیروی عمودی صفر می شود برابر است با
مسئله 18-130: یک مهندس برای تعیین ممان اینرسی یک تایر 4.5-kg اجازه می دهد که تایر بر روی یک سطح شیبدار بچرخد. اگر از لحظه شروع از حالت سکون تا چرخیدن به اندازه 3 m بر روی سطح 3.5 s طول بکشد، ممان اینرسی تایر به دور مرکز جرم آن چقدر است؟
راه حل: از قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای،
از این معادلات و رابطه ی a=Rα، بدست می آید
می توانیم شتاب را از رابطه زیر بدست آوریم
که از آن نتیجه می شود a=0.490 m/s2. سپس از رابطه (1) بدست می آید
مسئله 18-131:وزن قرقره A4 lb، IA=0.060 slug-ft2، و IB=0.014 slug-ft2 است. اگر سیستم از حالت سکون رها شود، در 0.5 s وزنه ی 16-lb چه مسافتی را سقوط خواهد کرد؟
راه حل: استراتژی، اعمال قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای به نمودارهای جسم آزاد است. وزن سمت راست را با WR=16 lb، و جرم آن را با mR=0.4974 slug نشان دهید و وزن سمت چپ را با WL=4+8=12 lb، و جرم آن را با mL=0.3730 slug.RB=8 in شعاع قرقره B است، IB=0.014 slug-ft2، و RA=12 in شعاع قرقره A است، IA=0.060 slug-ft2. یک سیستم مختصات با محور y به سمت بالا انتخاب کنید.
وزنه 16 lb:
قرقره B: مرکز این قرقره در برابر حرکت محدود شده است، و شتاب طناب (به جز جهت) در هر سمت قرقره برابر است.
از سینماتیک،
(3) A_Ry=R_B α_B.
با ترکیب روابط (1)، (2) و (3) و تفریق:
قرقره A:
که در آن aAy شتاب مرکز قرقره است.
از سینماتیک قرقره A، شتاب سمت چپ قرقره صفر است، بنابراین شتاب سمت راست نسبت به سمت چپ برابر است با
که از آن
که در آن تغییر در جهت شتاب وزنه ی 16 lb در سرتاسر قرقره B در نظر گرفته می شود. بطور مشابه، شتاب سمت راست نسبت به شتاب مرکز این قرقره برابر است با
که از آن
با ترکیب و کاهش روابط (5)، (6)، (7) و (8) نتیجه می شود
سیستم کل: با مساوی قرار دادن روابط (4) و (9) (دو رابطه برای T2) و حل:
با جایگذاری مقادیر عددی:
مسافتی که وزنه ی 16 lb در نیم ثانیه به سمت پایین طی می کند برابر است با
مسئله 18-132: بازوی ABC بیل مکانیکی را به صورت یک جسم صلب مجزا مدل سازی کنید. جرم آن 1200 kg، و ممان اینرسی آن به دور مرکز جرم خود I=3600 kg-m2 است. اگر نقطه A ثابت باشد، سرعت زاویه ای این بازو صفر، و شتاب زاویه ای آن 1.0 rad/s2 پادساعتگرد خواهد بود، استوانه ی هیدرولیک عمودی چه نیرویی به بازو در نقطه ی B وارد می کند؟
راه حل: فاصله از نقطه A تا مرکز جرم برابر است با
ممان اینرسی به دور نقطه A برابر است با
از معادله ی حرکت زاویه ای:
با جایگذاری α=1.0 rad/s2 نتیجه می شود:
مسئله 18-133: بازوی ABC بیل مکانیکی را به صورت یک جسم صلب مجزا مدل سازی کنید. جرم آن 1200 kg، و ممان اینرسی آن به دور مرکز جرم خود I=3600 kg-m2 است. سرعت زاویه ای بازو 2 rad/s در جهت پادساعتگرد و شتاب زاویه ای آن 1 rad/s2 در جهت پادساعتگرد است. مولفه های نیروی وارد بر بازو در نقطه A چقدر است؟
راه حل: شتاب مرکز جرم برابر است با
از قانون دوم نیوتن:
از راه حل مسئله 18-132، B=40,170 N، که از آن نتیجه می شود
مسئله 18-134: برای کاهش زاویه ی ارتفاع نردبان ثابت 200 kg، چرخ دنده هایی که آن را بالا می برند خلاص شده و در کسری از ثانیه یک مجموعه ی دوم از چرخ دنده ها که آن را پایین می آورند درگیر می شوند. در لحظه ای که چرخ دنده های بالابرنده ی نردبان خلاص می شوند، شتاب زاویه ای نردبان و مولفه های نیروی وارد بر نردبان توسط تکیه گاه آن در نقطه O چقدر است؟ ممان اینرسی نردبان به دور نقطه O برابر است با I0=14,000 kg-m2، و مختصات مرکز جرم آن در لحظه ای که چرخ دنده ها خلاص می شوند برابر است با x=3 m، y=4 m.
راه حل: گشتاور به دور نقطه O برابر است با -mgx=I0α، که از آن
شتاب مرکز جرم برابر است با
از قانون دوم نیوتن:
که از آن نتیجه می شود:
مسئله 18-135: میله های باریک هر یک دارای 4 lb وزن و 10 in طول هستند. وزن صفحه همگن 10 lb است. اگر سیستم از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها شود، شتاب زاویه ای میله ها در آن لحظه چقدر است؟
راه حل: از هندسه، این سیستم یک متوازی الاضلاع است، بنابراین صفحه بدون چرخش جابجا می شود، از این رو شتاب هر نقطه بر روی صفحه برابر است.
با اعمال قانون دوم نیوتن و معادله ی حرکت زاویه ای به صفحه:
حرکت به دور مرکز جرم:
قانون دوم نیوتن برای میله ها:
شتاب زاویه ای به دور مرکز جرم:
از سینماتیک: شتاب مرکز جرم میله ها بر حسب شتاب در نقطه A برابر است با
که از آن
چون در لحظه رها شدن ω=0.
شتاب صفحه:
که از آن
با جایگذاری نه معادله با نه مجهول بدست می آید:
با ترکیب روابط می توان تعداد معادله ها و تعداد مجهولات را کاهش داد، اما در اینجا انتخاب، حل این سیستم بوسیله تکرار با استفاده از TK Solver Plusاست. نتایج عبارت است از:
مسئله 18-136: یک میله باریک به جرمm از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها می شود. ضرایب اصطکاک ایستایی و جنبشی در کف و دیوار دارای مقدار یکسان µ هستند. اگر میله لغزش کند، شتاب زاویه ای آن در لحظه رها شدن چقدر خواهد بود؟
راه حل: یک سیستم مختصات با مبدا واقع در نقطه تلاقی دیوار و کف، با محور x موازی با کف انتخاب کنید. نقاط تماس در دیوار و کف را بترتیب با P و N، و مرکز جرم میله را با G نشان دهید. موقعیت های برداری برابر است با
از قانون دوم نیوتن:
که در آن aGx، aGy شتاب مرکز جرم هستند. گشتاور به دور مرکز جرم برابر است با
از معادله ی حرکت زاویه ای:
از روابط سینماتیک: فرض کنید که در لحظه ی لغزش سرعت زاویه ای ω=0 است. شتاب مرکز جرم برحسب شتاب در نقطه N برابر است با
که از آن نتیجه می شود،
شتاب مرکز جرم برحسب شتاب در نقطه P برابر است با
که از آن نتیجه می شود،
با جایگذاری سه معادله با سه مجهول بدست می آید:
با حل دو معادله ی اول برای یافتن P و N:
با جایگذاری دو معادله ی اول در معادله سوم، و کم کردن
با جایگذاری I_B=(1/2)mL^2، کم کردن، و حل:
مسئله 18-137: هر یک از چرخهای جلوی گوکارت 5 lb وزن دارد و دارای ممان اینرسی 0.01 slug-ft2 است. دو چرخ عقب و اکسل عقب یک جسم صلب مجزا به وزن 40 lb و دارای یک ممان اینرسی 0.1 slug-ft2 را تشکیل می دهند. (موقعیت مرکز جرم گوکارت و راننده، به استثنای چرخ های جلو یا چرخهای عقب و اکسل عقب نشان داده شده است). اگر موتور یک گشتاور 12 ft-lb بر اکسل عقب وارد کند، شتاب گوکارت چقدر خواهد بود؟
راه حل: اجازه دهید a شتاب کارت و αAو αBشتاب های زوایه ای چرخها باشد. توجه داشته باشید که
چرخ جلو:
چرخ عقب:
کارت:
با حل معادلات (1) تا (11) نتیجه می شود:
مسئله 18-138: میله AB با یک سرعت زاویه ای ثابت 10 rad/s در جهت پادساعتگرد می چرخد. جرم میله های باریک BC و CDE بترتیب برابر است با 2 kg و 3.6 kg. محور y به سمت بالاست. مولفه های نیروهای وارد بر میله ی BC توسط پینهای واقع در نقاط B و C را در لحظه ی نشان داده شده تعیین کنید.
راه حل: سرعت نقطه B برابر است با
سرعت نقطه C برابر است با
با توجه به محدودیت وارد بر حرکت در نقطه C،
با مساوی قرار دادن مولفه ها:
که از آن نتیجه می شود rad/sω_BC=10،m/sν_C=7. سرعت در نقطه C برحسب سرعت زاویه ای ω_CDE،
که از آن
شتاب نقطه B برابر است با
شتاب در نقطه C برابر است با
شتاب بر حسب شتاب در نقطه D برابر است با
با مساوی قرار دادن مولفه ها و حل:
شتاب مرکز جرم BC برابر است با
که از آن نتیجه می شود،
معادله های حرکت:
که در آن شتاب های aGxو aGyمعلوم هستند. معادله ی گشتاور،
که در آن αBCمعلوم است، و
که در آن
ممان اینرسی به دور نقطه ی لولایی D است، و 0.15 m فاصله ی بین نقطه D و مرکز جرم میله ی CDE است. با حل این چهار معادله با چهار مجهول بوسیله ی روش تکرار:
مسئله 18-139: در لحظه نشان داده شده، بازوهای بازوی مکانیکی روباتیک دارای سرعت های زاویه ای ثابت پادساعتگرد rad/sω_AB=-0.5، rad/sω_BC=2، و rad/sω_CD=4 هستند. جرم بازوی CD10 kg است و مرکز جرم در نقطه ی وسط آن قرار دارد. در این لحظه، چه نیرو و گشتاوری به بازوی CD در نقطه C وارد می شود؟
راه حل: موقعیت های برداری نسبی نقاط B، C و D برابر است با
شتاب نقطه B برابر است با
شتاب در نقطه C برابر است با
شتاب مرکز جرم CD برابر است با
که از آن نتیجه می شود
برای بازوی CD سه معادله حرکت با سه مجهول عبارتند از
که دارای راه حل مستقیم هستند:
که در آن علامت منفی به معنای جهت مخالف با جهت نشان داده شده در نمودار جسم آزاد است.
مسئله 18-140: هر یک از میله ها دارای طول 1 m و جرم 4 kg است. سطح شیبدار صاف است. اگر سیستم از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها شود، شتاب زاویه ای میله ها در آن لحظه چقدر خواهد بود؟
راه حل: برای راحتی، θ=45°، β=30°، و L=1 m در نظر بگیرید. شتاب نقطه A برابر است با
شتاب نقطه A همچنین بصورت زیر ارائه می شود
با توجه به محدودیت وارد بر حرکت در نقطه B، با مساوی قرار دادن روابط بیان شده برای شتاب نقطه A دو معادله بدست می آید:
شتاب مرکز جرم AB برابر است با
که از آن نتیجه می شود
معادله های حرکت برای میله ها: برای میله سمت چپ حمایت شده با پین:
که در آن
معادله های حرکت برای میله سمت راست:
که در آن
این هشت معادله با هشت مجهول بوسیله روش تکرار حل می شوند:
مسئله 18-141: هر یک از میله ها دارای طول 1 m و جرم 4 kg است. سطح شیبدار صاف است. اگر سیستم از حالت سکون در موقعیت نشان داده شده رها شود، اندازه ی نیروی وارد بر میله OA توسط تکیه گاه در نقطه O در آن لحظه چقدر است؟
راه حل: شتاب مرکز جرم میله OA برابر است با
معادله های حرکت عبارتند از:
با استفاده از راه حل مسئله 18-140:
که از آن
که از آن نتیجه می شود
مسئله 18-142: چرخ دنده ی حلقوی تثبیت شده در صفحه ی افقی قرار دارد. چرخ دنده های مرکزی و سیاره ای به یکدیگر اتصال داده می شوند. جرم و ممان اینرسی چرخ دنده های مرکب مرکزی و سیاره ای برابر است با mHP=130 kg و IHP=130 kg-m2. ممان اینرسی چرخ دنده ی خورشیدی برابر است با Is=60 kg-m2. جرم میله ی رابط 5 kg است و می تواند بصورت یک میله ی باریک مدل سازی شود. اگر یک گشتاور پادساعتگرد 1 KN به چرخ دنده ی خورشیدی اعمال شود، شتاب زاویه ای حاصله ی چرخ دنده های مرکزی و سیاره ای متصل بهم چقدر خواهد بود؟
راه حل: معادله ی گشتاور برای چرخ دنده ی خورشیدی برابر است با
برای چرخ دنده های مرکزی و سیاره ای:
برای میله ی رابط:
که در آن
شش معادله با شش مجهول بوسیله ی روش تکرار حل می شوند:
مسئله 18-143: سیستم در لحظه ی نشان داده شده در حالت سکون است. نیروی خالص وارد بر پیستون توسط انفجار مخلوط سوخت-هوا و اصطکاک 5 kN به سمت چپ است. یک گشتاور ساعتگرد M=200 N-m بر میل لنگ AB عمل می کند. ممان اینرسی میل لنگ به دور نقطه A برابر است با 0.0003 kg-m2. جرم میله ی رابط BC0.36 kg است، و مرکز جرم آن در فاصله ی 40 mm از نقطه B بر روی خط گذرنده از B و C قرار دارد. ممان اینرسی میله رابط به دور مرکز جرم 0.0004 kg-m2 است. جرم پیستون 4.6 kg است. شتاب پیستون چقدر است؟ (از نیروهای گرانشی وارد بر میل لنگ و میله رابط صرف نظر کنید)
راه حل: از قانون سینوسها:
که از آن نتیجه می شود β=14.9°. بردارها:
شتاب نقطه B برابر است با
شتاب نقطه B برحسب شتاب نقطه C برابر است با
با مساوی قرار دادن دو رابطه بیان شده برای شتاب نقطه B، توجه داشته باشید که ω_AB=ω_BC=0، و جداسازی مولفه ها:
شتاب مرکز جرم میله رابط برابر است با
که از آن نتیجه می شود
معادله های حرکت برای میل لنگ:
برای میله رابط:
برای پیستون:
نه معادله با نه مجهول به روش تکرار حل می شوند:
مسئله 18-144: اگر میل لنگAB در مسئله 18-143 در لحظه ی نشان داده شده دارای یک سرعت زاویه ای پادساعتگرد 2000 rpm باشد، شتاب پیستون چقدر خواهد بود؟
راه حل: سرعت زاویه ای AB برابر است با
سرعت زاویه ای میله رابط BC از روابط بیان شده برای سرعت در نقطه B و مقدار مشخص ω_AB بدست می آید:
از مولفه ی j،
که از آن نتیجه می شود rad/sω_BC=-66.4. نه معادله با نه مجهول بدست آمده در راه حل مسئله 18-143 عبارتند از:
این نه معادله با نه مجهول با روش تکرار حل می شوند:
مرجع بزرگ خرید و فروش فایل های قابل دانلود
دارای سیستم پیشرفته همکاری در فروش فایل
مشاوره در زمینه تدوین پروپوزال، پایان نامه، مقاله،…
www.FaraFile.ir