مقدمه
هندسه تحلیلی شامل مباحثی چون بردارها ، معادلات حرکت پرتابه ، معادلات خط ، ضرب عددی و برداری، بردارها. مقاطع مخروطی که در هندسه یونان پا گرفت و امروزه با معادلات درجه دو بعنوان منحنی هایی در صفحه مختصات توصیف می شوند یونانیان زمان افلاطون این منحنی ها را فصل مشترک یک صفحه با یک مخروط می گرفتند که نام مقطع مخروطی از آن ناشی شده است. نکته ای که حائز اهمیت اشاره به این مسئله است که در مطالعات هندسه تحلیلی مختصات دکارتی از اهمیت فوق العاده ای دارد زیرا توسط این مختصات ما می توانیم طول و عرض و ارتفاع اجسامی را که می بینیم به صفحه منتقل کرده و درباره آنها براحتی به مطالعه پردازیم.
بردارها
برخی از کمیات که اندازه می گیریم با اندازه شان کاملا مشخص می شوند مانند جرم ، طول ، زمان. اما همانطور که می دانیم توصیف یک نیرو ، تغییر مکان و سرعت تنها با اندازه مشخص نمی شوند بلکه برای درک صحیحی از آنها باید جهت آنها نیز برای ما مشخص باشند کمیاتی که علاوه بر اندازه دارای جهت نیز می باشند معمولا با پیکانهایی به نمایش درمی آیند که به جهت اثر کمیت اشاره می کنند و طول هایشان به اندازه اثر آنها برحسب واحد مشخص اشاره می کنند. به این کمیات بردار می گوییم.
یک بردار واقع در صفحه عبارت است از پاره خطی جهتدار از آنجا که بردار اساسا از طول و جهت تشکیل می شود و بردار را همسنگ و یا حتی یکی می نامیم هرگاه طول و جهتشان یکی باشد.
بردارهای نوین امروزی ریشه در کواترنیونها دارند. کواترنیونها تعمیمی هستند از جفت به چهارتایی مرتب . جبر کواترنیونها را ویلیام همیلتن ریاضیدان ایرلندی (1805-1865) ابداع کرد. اما مهندسان علی الخصوص اولیور هویساید آنالیز برداری را رواج دادند. برخی از فیزیکدانان از جمله شاخص ترین آنها جیمز کلارک ماکسول ، از هر دو مضمون کواترنیونها و بردارها بهره بردند. سرانجام مقارن با تحویل قرن ، آنالیز برداری گیبس و هوسیاید غلبه کرد. مهندسان از جمله نخستین معتقدان، فیزیکدانان از نخستین گروندگان و ریاضیدانان آخرین پذیرندگان این باب از ریاضیات بودند.
بردارها درفضا
مهمترین ویژگی بردارها در فضا مانند حالتی که در صفحه داشتند طول و جهت آنهاست. طول برداری مانند با دوبار استفاده از قضیه فیثاغورث بدست می آید. و جهت آنها از تقسیم مولفه های برداری چون A بر اندازه اش بدست می آید.
معادلات پارامتری حرکت ایده آل پرتابه
برای بدست آوردن معادلات حرکت پرتابه فرض می کنیم پرتابه مانند ذره ای رفتار می کند که در صفحه مختصات قائم حرکت می کند و تنها نیروی موثر بر آن در ضمن حرکتش ، نیروی ثابت گرانش است که همواره روبه پایین است. در عمل هیچ یک از این فرضیات برقرار نیست زمین در زیر پرتابه می چرخد هوا نیروی اصطکاکی ایجاد می کند که به سرعت و ارتفاع پرتابه بستگی دارد. برای توصیف حرکت در یک دستگاه مختصات مشخص فرض می کنیم پرتابه در لحظه از مبدا صفحه xy پرتاب می شود. همچنین فرض می کنیم پرتابه در ربع اول حرکت می کند و مقدار سرعت اولیه است و بردار سرعت با محور xهای مثبت زاویه می سازد. در هر لحظه t ، ، مکان پرتابه با جفت مختصات . مشخص می شود.
بنابراین پس از ساده کردن یک سری از معادلات به روابط زیر دست می یابیم که مکان ذره t ثانیه پس از پرتاب برای ما مشخص می سازد:
مسیر ایده آل یک سهمی است.
اغلب ادعا می شود که مسیر حرکت آبی که از یک لوله بیرون می جهد یک سهمی است اما اگر به دقت این مسیر بنگریم می بینیم که هوا سقوط آب را کند می کند و حرکت آن رو به جلو آنقدر کند است که از انتهای سقوطش از شکل سهموی خارج می شود. ادعایی که در مورد سهموی بودن حرکت می شود فقط در مورد پرتابه های ایده آل واقعا درست است. این مطلب را می توان از روابط که در بالا برای y ,x ذکر شد بدست آورد. بدین ترتنیب که هرگاه مقدار t را از معادله x بدست آوردیم و آن را در معادله y جاگذاری کنیم معادله دکارتی بدست آمده نسبت به x از درجه دوم و نسبت به y از درجه اول است پس نمودارش یک سهمی است.
خط در فضا
فاصله در فضا
گاهی لازم است که فاصله بین دو نقطه مثل در فضا مشخص باشد برای این کار طول را می یابیم که در اینصورت داریم:
وسط پاره خط
مختصات نقطه وسط M پاره خطی که دو نقطه را بهم وصل می کند متوسط مختصات هستند. برای پی بردن به دلیل این مطلب کافی است توجه کنیم که این نقطه مختصات مولفه عددی برداری است که مبدا را به M وصل می کند که به این ترتیب تمام مولفه های M از نصف مجموع مولفه های نظیر به نظیر بدست می آید.
زوایای بین خم ها
زوایای بین دو خم مشتق پذیر در یک نقطه تقاطع آنها عبارت اند از زوایای بین خط های راس بر آنها در آن نقطه.
معادله های خط و پاره خط
فرض می کنیم L خطی باشد در فضا که از نقطه بگذرد و موازی با بردار باشد. پس L مجموعه نقاطی است مانند به قسمی که بردار با V موازی است یعنی P بر L واقع است اگر و تنها اگر به ازای عددی مانند t داشته باشیم: این معادلات را پس از ساده کردن بصورت معادلات پارامتری متعارف خط L درست می یابیم که عبارت اند از:
وقتی پارامتر t از تا افزایش می یابد نقطه دقیقا یکبار خط را می پیماید. وقتی t بازه بسته را می پیماید، P از نقطه ای که در آن t=a تا نقطه ای که در آن t=b بر روی یک پاره خط جابجا می شود.
فاصله یک نقطه از یک خط
برای یافتن نقطه ای چون P از خطی مانند L کافی است برای اولین قدم نقطه ای مانند Q را روی L در نظر بگیریم که نزدیکترین فاصله را تا P داشته باشد سپس برای قدم دوم لازم است فاصله P تا Q را محاسبه کنیم بدین ترتیب فاصله یک نقطه از خط دیگری را بدست آورده ایم.