اعداد حسابی

ریاضیات یا انگارش[۱] را بیش تر دانش بررسی کمیت ها و ساختار ها و فضا و دگرگونی (تغییر) تعریف می کنند. دیدگاه دیگری ریاضی را دانشی می داند که در آن با استدلال منطقی از اصول و تعریف ها به نتایج دقیق و جدیدی می رسیم (دیدگاه های دیگری نیز در فلسفه ریاضیات بیان شده است).
ریاضیات خود یکی از علوم طبیعی به شمار نمی رود، ولی ساختارهای ویژه ای که ریاضیدانان می پژوهند بیشتر از دانشهای طبیعی به ویژه فیزیک سرچشمه می گیرند و در فضایی جدا از طبیعت و محض گونه گسترش پیدا می کند به طوری که علوم طبیعی برای حل مسائل خود به ریاضی باز می گردند تا جوابشان را با آن مقایسه و بررسی کنند.
علوم طبیعی، مهندسی، اقتصاد و پزشکی بسیار به ریاضیات تکیه دارد ولی گاه ریاضیدانان به دلایل صرفاً ریاضی (و نه کاربردی) به تعریف و بررسی برخی ساختارها می پردازند.
موضوع های اصلی ریاضیات
فهرستی الفبائی از عنوان های ریاضی موجود است. در زیر بعضی از اصلی ترین شاخه ها و موضوعات ریاضی به صورت دسته بندی شده ارائه شده است:
کمیت
مجموعه، رابطه، تابع، عمل، گروه، میدان، عدد، اعداد طبیعی، اعداد بداست حسابی، اعداد ریاضی اخ است صحیح، اعداد اول، اعداد مرکب، اعداد گویا، اعداد گنگ، اعداد حقیقی، اعداد مختلط، اعداد جبری، عدد پی، عدد ای، چهارگان ها، هشت گان ها، شانزده گان ها، اعداد پی-ادیک، اعداد فوق پیچیده (Hypercomplex numbers)،اعداد فوق حقیقی (Hyperreal number)،اعداد فراواقعی (Surreal numbers)، بینهایت، اعداد ترتیبی، اعداد اصلی، ثابت های ریاضی، پایه

جبر مجرد
نظریه اعداد
نظریه گروه ها

توپولوژی
نظریه مدول ها
نظریه ترتیب
ساختار
جبر مجرد، نظریه اعداد، هندسه جبری، نظریه گروه ها، مونوئیدها، آنالیز ریاضی، آنالیز تابعی، توپولوژی، جبر خطی، نظریه گراف، جبر عمومی، نظریه مدول ها، نظریه ترتیب، نظریه مزور
فضا

توپولوژی
هندسه
مثلثات
هندسه دیفرانسیل
هندسه برخال ها
توپولوژی، هندسه، مثلثات، هندسه جبری، هندسه دیفرانسیل، توپولوژی دیفرانسیل، توپولوژی جبری، جبر خطی، هندسه برخال ها، متری
تغییر

حساب
حسابان
حساب برداری
آنالیز ریاضی

معادلات دیفرانسیل
سیستم های دینامیکی
نظریه آشوب

حساب، حسابان، حساب برداری، آنالیز ریاضی، معادلات دیفرانسیل، سیستم های دینامیکی، نظریه آشوب، فهرست تابع ها
پایه ها و روش های ریاضیات
فلسفه ریاضیات، شهودگرایی، ساخت گرائی، مبانی ریاضیات، نظریه مجموعه ها، منطق نمادی، نظریه مدل، نظریه رسته ها، منطق ریاضی، ریاضیات معکوس، جدول نمادهای ریاضی

ریاضیات گسسته
[1,2,3][1,3,2]
[2,1,3][2,3,1]
[3,1,2][3,2,1]

ترکیبیات
نظریه شهودی مجموعه ها
نظریه رایانش
رمزنگاری
نظریه گراف
ترکیبیات، نظریه شهودی مجموعه ها، نظریه رایانش، رمزنگاری، نظریه گراف
ریاضیات کاربردی
فیزیک ریاضی، مکانیک، مکانیک سیالات، آنالیز عددی، بهینه سازی، احتمالات، آمار، اقتصاد ریاضی، ریاضیات مالی، نظریه بازی ها، ریاضیات زیستی، رمزنگاری، نظریه اطلاعات
عَدَد یا یکی از مفاهیم پایه ریاضیات است. در آغاز عدد برای شمارش و اندازه گیری به کار می رفت ولی بعدها ریاضی دانان مفهوم آن را توسعه دادند و مفهوم عدد صفر و عدد منفی و عدد موهومی و عدد مختلط را ابداع کردند.
عدد را نباید با رقم اشتباه کرد. رقم نشانه ای است که برای نوشتن عدد به کار می رود.

تاریخ پیدایش عدد
در آغاز، عدد به صورت محدود خود بود. حتی عدد را تا ۲ بیشتر نمی توانستند بشمارند. برای عدد، مرزی برای شمار داشتند. برای نمونه،زمانی در بسیاری جاها، مرز شمار، عدد ۶ بود. تا ۶ میشمردند و پس از آن را میگفتند "بسیار". هنوز هم در بسیاری زبان ها "هفت" به معنای بسیار است. در زبان فارسی، ضرب المثلی است که می گوید: "هفت بار گز کن، یکبار پاره کن." در این ضرب المثل، منظور دقیقاً هفت بار عمل کردن نیست، بلکه منظور این است که پس از عمل "بسیار"، نتیجه بگیر. در زبان روسی نیز ضرب المثلی است به این مفهوم که "هفت نفر منتظر یک نفر نمی مانند" که باز هم منظور این است که تعداد زیادی منتظر یک نفر نمی مانند.
همچنین در داستان ها ،وقتی از پادشاهی صحبت می شود که در قصریست که هفت برج و بارو دارد، و یا هفت دریا، هفت سرزمین، هفت آسمان و … همه جا "هفت"،به معنای بسیار به کار رفته است.
عدد سیزده نیز چنین سرنوشتی دارد. دوازده را "دوجین" میگفتند و چون پس از آن را نمیشناختند، روی آن نام "دوجین شیطانی" گذاشتند. از اینجا، عدد سیزده نحس شد، چرا که پس از دوازده برای آنها ناشناخته بود و خبر از ابهام و تاریکی میداد. البته پیش آمدها یا روایتهایی هم به نحسی سیزده کمک کرد؛ مانند روایتی که در شام آخر، نفر سیزدهم به عیسای مسیح خیانت کرد و او را لو داد، وگرنه عدد ۱۳ با عددهای دیگر هیچ تفاوتی ندارد. (نمونه های دیگری هم از اینگونه، برای برخی عددها داریم. چهل چراغ به معنای درست ۴۰ چراغ نیست. هزار پا به معنای این نیست که این جانور ۱۰۰۰ پا دارد.
برخی عددها هم نشانه عدد شماری بوده است. دست پنج انگشت دارد و اغلب چیزها را به یاری انگشتان دست و پا میشمردند. واژه پنج از پنجه گرفته شده است؛ زیرا پنجه دارای ۵ انگشت است. در زبان فارسی، واژه سی با واژه سه، هم ریشه است. همینطور چهل با چهار، پنجاه با پنج و … ولی واژه بیست، هیچ ربطی به واژه "دو" ندارد. این نشانه آن است که عدد ۲۰ به معنای مجموعه انگشتان دست و پاست و در زمانهای دور، مبنای عدد شماری بوده است. در زبان فرانسوی به بیست می گویند "وَن" که هیچ ربطی به (دو=deux) ندارد. به جز آن، به هشتاد می گویند "چهار بیست تاً و به نود می گویند"چهار بیست تا و ده تاً.
تنها در دوره ای از پیشرفت تمدن به بی پایان بودن عددهای طبیعی پی بردند و به عنوان نمونه، اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) ثابت کرد، تعداد عددهای اول، بی نهایت است.
اعداد حسابی
اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعه ی اعداد زیر ، اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش می دهند:
z={ … , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , …}
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگی های اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.
صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.
اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار می روند. مجموعه اعداد طبیعی
(. ,۳ ,۲ ,۱} است.
در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.
در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش می دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.
اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آن ها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه ای ناشمارا است ولی می توان اعداد گنگ را روی محور اعداد نمایش داد کار بسیار ساده ایی است کافی است هندسه را در ریاضیات مورد استفاده قرار دهیم . امتحان
کنیدمیتوان از رابطه فیثاغورث استفاده کرد
عددهای طبیعی: (natural nmuber)
طبیعی منسوب به طبیعت است و به معنی آنچه به طبیعت اختصاص دارد و مربوط به طبیعت است ، می باشد. هر یک از اعداد 1, 2 , 3, … که در طبیعت برای شمارش از آن ها استفاده می شود را عدد طبیعی می نامیم. مجموعه عددهای طبیعی شامل اعداد طبیعی می باشد و آنرا با حرف که از کلمه انگلیسی Natural گرفته شده است، نمایش می دهند.
{… , 3, 2, 1} =
عدد اول : (Prime Number)
هر عدد طبیعی بزرگتر از یک که غیر از خودش و عدد یک مقسوم علیه دیگری نداشته باشد، عدد اول نامیده می شود. 2, 3, 5, 7 اعداد اول کوچکتر از 10 می باشند؛ هر عدد طبیعی که بیش از دو مقسوم علیه داشته باشد ، عدد مرکب نامیده می شود. 4, 6, 8, 9, اعداد مرکب کوچکتر از 10 هستند؛ عدد 1 نه اول است و نه مرکب.
تعیین عددهای اول:
برای مشخص کردن اعداد اول از بین عددهای طبیعی از الگوریتم غربال اراتستن استفاده می شود.
(sieve Algorithm of Eratosthenes)
اراتستن نام ریاضی دان و منجم یونانی است و غربال در فارسی به معنی جداکردن می باشد و الگوریتم به روشی از محاسبه گفته می شود که در آن ، محاسبات مرحله به مرحله انجام می شود و محاسبه هر مرحله نیز به مراحل قبلی بستگی دارد.
مراحل کار برای تعیین عددهای اول بین 1 و عدد طبیعی n به ترتیب نمودار زیر انجام می شود.
اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ تر از ۱ اول نباشد مرکب است.
عدد یکان اعداد اول بزرگ تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.
اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
سری اعداد اول به این صورت شروع می شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ …
قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی نهایت است.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل ضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ تر از ۱ را به شکل حاصل ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضیه ۴ هر عدد زوج را می توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.
قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴
قضیه 6-هر عدد فرد را می توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.
خواص اعداد اول:
1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 یا 6n-1 که n یک عدد صحیح است.
2- مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3- تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24 است.
4- حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربی از 6 بعلاوه یا منهای یک است.
توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربی از 240 بعلاوه یک است.
5- بزرگ ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۰‬میلیون و ‪ ۴۰۲‬هزار و ‪ ۴۵۷‬منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.
لازم به ذکر است که تعداد 3000 عدد اول در سایت مگاسندر
وجود دارد و افرادی که مایل به دریافت بیشتر این اعداد هستند می توانند با سایت مذکور تماس گرفته و تعداد بیشتری از آنها را بر روی لوح فشرده دریافت نمایند و طراحان این سایت خودشان این اعداد را محاسبه نموده اند.
اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادله ای به شکل زیر باشند:
anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0
ضریب های a0 تا an در این معادله چند جمله ای اعداد گویا هستند.
تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده می شود.
اعداد حقیقی
میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با R نمایش می دهند. اعداد حقیقی را می توان با اضافه کردن عدد موهومی( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.
اعداد صحیح به مجموعهٔ اعداد طبیعی مثبت، اعداد طبیعی منفی، و عدد صفر گفته می شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی ست.
شاخه ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.
خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Z تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل خواه هستند
جمع ضرب
بسته بودن: a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a ×
) × c تعویض پذیری: a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد: a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس: a + (−a) = 0
توزیع پذیری: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه های صفر: اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0
مطابق بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می دهد که مجموعهٔ Z به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که نسبتZ به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی سازد.
مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که ، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می گیرد.
اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می دهد.
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه دامنه ایده آل اصلی می باشد و هر عدد طبیعی بزرگ تر از یک را می توان به طور یکتا به حاصل ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)
اعداد گویا1 حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می توان به شکل a/b یا آ بیم نوشت (که a و b اعداد صحیح اند.
در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش می دهند. به عنوان مجموعه ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعه ای ست چگال (dense) از مجموعهٔ بزرگ تر و عمومی تر اعداد حقیقی.
به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می دانند. این در حالی ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل آمده باشد. به عنوان نمونه، نسبت رادیکال سه دوم کسر هست، ولی، گویا نیست.
عدد مختلط عددی به فرم a + bi است که در آن a و b از اعداد حقیقی و i عدد موهومی برابر با ریشهٔ دوم عدد ۱- است.
اعداد مختلط از کجا آمدند
همان طور که میدانید یک معادله درجه دو مثل ax2 + bX + c = 0 در اعداد حقیقی وقتی که Delta = b2 − 4avc مقداری منفی باشد گوئیم جواب ندارد.این یعنی اداد حقیقی شمول همه اعداد نیست پس اعداد مختط تعریف شدد. عدد مختلط a + bi را می توان به صورت (a,b) نوشت. برای اینکه مفهوم اعداد مختلط را نتوجه شوید ،ابتدا باید با اعداد مختلط آشنایی کامل داشته باشید. عداد مختلط: می خواهیم معادله را حل کنیم.این معادله درمجموعه های دارای جواب نیست. برای اینکه هیچ عددی بتوان 2 و به علاوه 1 صفر نمیشود.همچنین اگرعددی به توان زوج برسد،غیرممکن است که علامت آن منفی شود."با به پشت مساوی بردن معلوم معادله(1+) می بینیم که مجهول عددیست که به توان رسیده ومنفی شده که محال است".اما باید گفت که اعداد را با علامت دیگری غیر از+و- شان میدهیم؛ آن علامت شامل اعداد مختلط و متناهی می شود. در اعداد متناهی این قانون هست که عددی با بتوان زوج رسیدن منفی هم بشود.این اعداد رابا علامت نشان می دهند. برای یک عدد حقیقی عدد متناهی را به صورت زیر نشان میدهند: اعدادی راکه دارای علامت i هستند را موهومی می گوئیم. پس باتوجه به مطالب فوق دریافته ایدکه:جواب معادله درمجموعه ی اعداد متناهی دارای دو جواب است: i,+i- اعداد متناهی: به نظر شما اگر دلتای معادله ی درجه دومی منفی بودچطور می توان ریشه معادله موردنظر را پیداکرد؟ می خواهیم معادله ی را حل کنیم. حل:
ازطرفی: ملاحظه می کنیم دو جوابی که بدست آمده اند بطورخالص نه حقیقی و نه موهومی به شمار می روند. لذاچنین اعدادی را در گروه اعداد مختلط جای دارند. یک عدد مختلط به صورت زوج مرتب :z=(x,y)معرفی می شوند.x: مولفه حقیقی و y: مولفه موهومی نام دارد. اعداد مختلط را می توان بصورت روبرو نشان داد: z=x+iy مزدوج آنر بصورت روبرو نشان می دهیم: 85.133.173.228 ۱۷:۲۸, ۱۹ ژوئیه ۲۰۰۶ (UTC) هرگاه مولفه های دو عدد مختلط دو به دو برابر بود؛آنرا؛دو عدد مختلط برابرنامیده می شود.
نکته:این اعداد همچون سایر مجموعه اعداد دارای خواصص توزیع پذیری،شرکت پذیری و جابجایی نیز هست.
میدان اعداد مختلط () میدان اعداد حقیقی () را به صورت زیر میدان، شامل می شود. درضمن z=(x,y) —>: x:مولفه حقیقی است و y:مولفه موهومی است.
عدد ای (e) یکی از ثابت های ریاضی و پایه لگاریتم طبیعی است. عدد e تا ۲۹ رقم پس از ممیز چنین است:
e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135
ثابت شده است که e عددی گنگ و نیز عددی متعالی است.
می خوام یه طوری براتون بگم عدد پی چیه که خودتون هم بتونید حسابش کنید..
ثابت ریاضی π (پی)، عددی حقیقی، تقریباً برابر با 3.14159 است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسه ی اقلیدسی مشخص می کند و کاربردهای فراوانی دارد در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.

15